Нахождение интегрируемых комбинаций. Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений
Нахождение интегрируемых комбинаций
Этот метод интегрирования системы дифференциальных уравнений
 (1)
состоит в следующем: с помощью проходящих арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) из уравнений системы (I) образуют так называемые интегрируемые комбинации, т.е. достаточно просто решаемые уравнения вида
где — некоторая функция от искомой функции . Каждая интегрируемая комбинация дает один первый интеграл. Если найдено независимых первых интегралов системы (1), то ее интегрирование закончено; если же найдено независимых первых интегралов, где , то система (1) сводится к системе с меньшим числом неизвестных функций.
Пример 1. Решить систему
![\begin{cases}\dfrac{dx_1}{dt}=2(x_1^2+x_2^2)t,\\[9pt] \dfrac{dx_2}{dt}=4x_1x_2t.\end{cases}](data:image/png;base64,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) (2)
Решение. Складывая почленно оба уравнения, получаем
Вычитая почленно оба уравнения, получаем
 откуда 
Итак, найдены два первых интеграла данной системы
которые являются независимыми, так как якобиан отличен от нуля:
Общий интеграл системы (2)
 (3)
Разрешая систему (3) относительно неизвестных функций, получаем общее решение системы (2):
Пример 2. Решить систему
![\begin{cases}\dfrac{dx_1}{dt}= \dfrac{x_1-x_2}{x_3-t},\\[9pt] \dfrac{dx_2}{dt}= \dfrac{x_1-x_2}{x_3-t},\\[9pt] \dfrac{dx_3}{dt}= x_1-x_2+1.\end{cases}](data:image/png;base64,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) (4)
Решение. Вычитая почленно из первого уравнения второе, получаем , откуда первый интеграл системы (4)
 (5)
Подставив (5) во второе и третье уравнения системы (4), получим систему с двумя неизвестными функциями
![\begin{cases}\dfrac{dx_2}{dt}=\dfrac{C_1}{x_3-t}\,,\\[9pt] \dfrac{dx_3}{dt}=C_1+1.\end{cases}](data:image/png;base64,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) (6)
Из второго уравнения системы (6) находим
 (7)
Подставляя (7) в первое уравнение системы (6), будем иметь
Итак,
Отсюда находим общее решение системы (4):
Пример 3. Найти частное решение системы
![\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=1-\dfrac{1}{y},\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1}{x-t},\end{cases}](data:image/png;base64,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) удовлетворяющее начальным условиям 
Решение. Запишем данную систему в виде
![\begin{cases}y\!\left(\dfrac{dx}{dt}-1\right)=-1,\\[9pt] (x-t)\dfrac{dy}{dt}=1,\end{cases}](data:image/png;base64,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) или ![\begin{cases}y\!\dfrac{d(x-t)}{dt}=-1,\\[9pt] (x-t)\dfrac{dy}{dt}=1.\end{cases}](data:image/png;base64,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)
Складывая почленно последние уравнения, получаем
 или ![\dfrac{d}{dt}[(x-t)y]=0.](data:image/png;base64,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)
Отсюда находим первый интеграл . Так как , то второе уравнение системы примет вид , откуда . Итак,
откуда получаем общее решение
Полагая в этих равенствах, найдем , т.е. , и искомым частным решением будет
Пример 4. (разложение вещества). Вещество разлагается на два вещества и со скоростью образования каждого из них, пропорциональной количеству неразложившегося вещества. Найти закон изменения количеств и веществ и в зависимости от времени , если при имеем , а через час , где — первоначальное количество вещества .
Решение. В момент времени количество неразложившегося вещества равно . В силу условия задачи будем иметь
![\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=k_1(a-x-y),\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=k_2(a-x-y).\end{cases}](data:image/png;base64,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) (8)
Разделив почленно второе уравнение на первое, получим
 откуда 
При имеем , поэтому из последнего уравнения находим , а значит
 (9)
Подставив (9) в первое уравнение системы, получим уравнение
 общее решение которого 
Используя начальное условие , найдем , так что
![x=\frac{k_1a}{k_1+k_2}\Bigl[1-e^{-(k_1+k_2)t}\Bigr].](data:image/png;base64,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) (10)
Подставляя (10) в (9), будем иметь
![x=\frac{k_2a}{k_1+k_2}\Bigl[1-e^{-(k_1+k_2)t}\Bigr].](data:image/png;base64,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) (10')
Для определения коэффициентов и примем за единицу времени час. Учитывая, что при , из (10) и (10') найдем
откуда
так что , и искомое решение системы (8)
Пример 5. (равновесие газов в сообщающихся сосудах). Пусть имеются для сосуда объемов и соответственно, наполненные газом. Давление газа в начальный момент времени равно в первом сосуде и — во втором. Сосуды соединены трубкой, по которой газ перетекает из одного сосуда в другой. Считая, что количество газа, перетекающего в одну секунду, пропорционально разности квадратов давлений, определить давления и в сосудах в момент времени .
Решение. Пусть — количество газа, перетекающего в единицу времени при разности давлений, равной единице. Тогда в течение времени из одного сосуда в другой протечет количество газа . Это количество равно убыли газа за время в одном сосуде и прибыли за то же время — в другом. Последнее выражается системой уравнений
![\begin{cases}a(p_1^2-p_2^2)=bV_2\dfrac{dp_2}{dt}\,,\\[9pt] a(p_1^2-p_2^2)=-bV_1\dfrac{dp_1}{dt}\,,\end{cases}](data:image/png;base64,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) (11)
где — постоянный коэффициент.
Вычитая почленно уравнения системы (II), получаем
откуда  (12)
Умножим обе части первого уравнения системы (11) на , а второго — на и сложим почленно:
 (13)
Учитывая (12) и деля обе части (13) на , будем иметь
![\frac{d}{dt}\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right)=\left[1-{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)\!}^2\right]k,](data:image/png;base64,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) где 
Обозначив , получаем
 откуда  или  (14)
Подставляя в (14) вместо величину , получаем
 (15)
В начальный момент времени имеем , так что из уравнения (12) имеем
 (16) а из уравнения (15)
Из уравнений (12) и (15) находим искомые давления и в любой момент времени , при этом постоянные и определяются формулами (16) и (17).
Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений
Для нахождения интегрируемых комбинаций при решении системы дифференциальных уравнений (1) иногда бывает удобно записать ее в симметричной форме
 (18)
В системе дифференциальных уравнений, записанной в симметрической форме, переменные равноправны, что в некоторых случаях упрощает нахождение интегрируемых комбинаций.
Для решения системы (18) либо берут пары отношений, допускающие разделение переменных, либо же используют производные пропорции
 (19)
где коэффициенты производные и их выбирают так, чтобы числитель был дифференциалом знаменателя, либо равен нулю.
Пример 6. Найти общее решение системы уравнений
 (20)
Решение. Первая интегрируемая комбинация . Разделяя переменные и интегрируя, найдем первый интеграл
 (21)
Вторую интегрируемую комбинацию получим, используя производные пропорции (19). Для этого сложим числители и знаменатели дробей системы (20):
здесь . Отсюда , или и, значит,
 (22)
Первые интегралы (21) и (22) дают общий интеграл системы (20)
из которого находим общее решение системы
Пример 7. Решить систему уравнений
 (23)
Решение. Умножая в системе (23) числители и знаменатели дробей соответственно на 3, 4, 5 и складывая числители и знаменатели, получаем в силу (19)
здесь . Отсюда
 или 
а значит — это первый интеграл системы (23).
Умножая в системе (23) числители и знаменатели дробей соответственно на и складывая числители и знаменатели, получаем в силу (19)
отсюда  , или 
и, значит, второй первый интеграл будет .
Совокупность первых интегралов, которые являются независимыми, дает общий интеграл системы (23):
Итак, система (23) решена.
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|