Нахождение интегрируемых комбинаций. Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений
Нахождение интегрируемых комбинаций
Этот метод интегрирования системы дифференциальных уравнений
(1)
состоит в следующем: с помощью проходящих арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) из уравнений системы (I) образуют так называемые интегрируемые комбинации, т.е. достаточно просто решаемые уравнения вида
где — некоторая функция от искомой функции . Каждая интегрируемая комбинация дает один первый интеграл. Если найдено независимых первых интегралов системы (1), то ее интегрирование закончено; если же найдено независимых первых интегралов, где , то система (1) сводится к системе с меньшим числом неизвестных функций.
Пример 1. Решить систему
(2)
Решение. Складывая почленно оба уравнения, получаем
Вычитая почленно оба уравнения, получаем
откуда
Итак, найдены два первых интеграла данной системы
которые являются независимыми, так как якобиан отличен от нуля:
Общий интеграл системы (2)
(3)
Разрешая систему (3) относительно неизвестных функций, получаем общее решение системы (2):
Пример 2. Решить систему
(4)
Решение. Вычитая почленно из первого уравнения второе, получаем , откуда первый интеграл системы (4)
(5)
Подставив (5) во второе и третье уравнения системы (4), получим систему с двумя неизвестными функциями
(6)
Из второго уравнения системы (6) находим
(7)
Подставляя (7) в первое уравнение системы (6), будем иметь
Итак,
Отсюда находим общее решение системы (4):
Пример 3. Найти частное решение системы
удовлетворяющее начальным условиям
Решение. Запишем данную систему в виде
или
Складывая почленно последние уравнения, получаем
или
Отсюда находим первый интеграл . Так как , то второе уравнение системы примет вид , откуда . Итак,
откуда получаем общее решение
Полагая в этих равенствах, найдем , т.е. , и искомым частным решением будет
Пример 4. (разложение вещества). Вещество разлагается на два вещества и со скоростью образования каждого из них, пропорциональной количеству неразложившегося вещества. Найти закон изменения количеств и веществ и в зависимости от времени , если при имеем , а через час , где — первоначальное количество вещества .
Решение. В момент времени количество неразложившегося вещества равно . В силу условия задачи будем иметь
(8)
Разделив почленно второе уравнение на первое, получим
откуда
При имеем , поэтому из последнего уравнения находим , а значит
(9)
Подставив (9) в первое уравнение системы, получим уравнение
общее решение которого
Используя начальное условие , найдем , так что
(10)
Подставляя (10) в (9), будем иметь
(10')
Для определения коэффициентов и примем за единицу времени час. Учитывая, что при , из (10) и (10') найдем
откуда
так что , и искомое решение системы (8)
Пример 5. (равновесие газов в сообщающихся сосудах). Пусть имеются для сосуда объемов и соответственно, наполненные газом. Давление газа в начальный момент времени равно в первом сосуде и — во втором. Сосуды соединены трубкой, по которой газ перетекает из одного сосуда в другой. Считая, что количество газа, перетекающего в одну секунду, пропорционально разности квадратов давлений, определить давления и в сосудах в момент времени .
Решение. Пусть — количество газа, перетекающего в единицу времени при разности давлений, равной единице. Тогда в течение времени из одного сосуда в другой протечет количество газа . Это количество равно убыли газа за время в одном сосуде и прибыли за то же время — в другом. Последнее выражается системой уравнений
(11)
где — постоянный коэффициент.
Вычитая почленно уравнения системы (II), получаем
откуда (12)
Умножим обе части первого уравнения системы (11) на , а второго — на и сложим почленно:
(13)
Учитывая (12) и деля обе части (13) на , будем иметь
где
Обозначив , получаем
откуда или (14)
Подставляя в (14) вместо величину , получаем
(15)
В начальный момент времени имеем , так что из уравнения (12) имеем
(16) а из уравнения (15)
Из уравнений (12) и (15) находим искомые давления и в любой момент времени , при этом постоянные и определяются формулами (16) и (17).
Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений
Для нахождения интегрируемых комбинаций при решении системы дифференциальных уравнений (1) иногда бывает удобно записать ее в симметричной форме
(18)
В системе дифференциальных уравнений, записанной в симметрической форме, переменные равноправны, что в некоторых случаях упрощает нахождение интегрируемых комбинаций.
Для решения системы (18) либо берут пары отношений, допускающие разделение переменных, либо же используют производные пропорции
(19)
где коэффициенты производные и их выбирают так, чтобы числитель был дифференциалом знаменателя, либо равен нулю.
Пример 6. Найти общее решение системы уравнений
(20)
Решение. Первая интегрируемая комбинация . Разделяя переменные и интегрируя, найдем первый интеграл
(21)
Вторую интегрируемую комбинацию получим, используя производные пропорции (19). Для этого сложим числители и знаменатели дробей системы (20):
здесь . Отсюда , или и, значит,
(22)
Первые интегралы (21) и (22) дают общий интеграл системы (20)
из которого находим общее решение системы
Пример 7. Решить систему уравнений
(23)
Решение. Умножая в системе (23) числители и знаменатели дробей соответственно на 3, 4, 5 и складывая числители и знаменатели, получаем в силу (19)
здесь . Отсюда
или
а значит — это первый интеграл системы (23).
Умножая в системе (23) числители и знаменатели дробей соответственно на и складывая числители и знаменатели, получаем в силу (19)
отсюда , или
и, значит, второй первый интеграл будет .
Совокупность первых интегралов, которые являются независимыми, дает общий интеграл системы (23):
Итак, система (23) решена.
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|