Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Нахождение интегрируемых комбинаций

Нахождение интегрируемых комбинаций.
Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений


Нахождение интегрируемых комбинаций


Этот метод интегрирования системы дифференциальных уравнений


\frac{dx_k}{dt}=f_k(t,x_1,x_2,\ldots,x_n),\quad k=1,2,\ldots,n
(1)

состоит в следующем: с помощью проходящих арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) из уравнений системы (I) образуют так называемые интегрируемые комбинации, т.е. достаточно просто решаемые уравнения вида


F\!\left(t,u,\frac{du}{dt}\right)=0,

где u — некоторая функция от искомой функции x_1(t),x_2(t),\ldots,x_n(t). Каждая интегрируемая комбинация дает один первый интеграл. Если найдено n независимых первых интегралов системы (1), то ее интегрирование закончено; если же найдено m независимых первых интегралов, где m<n, то система (1) сводится к системе с меньшим числом неизвестных функций.




Пример 1. Решить систему


\begin{cases}\dfrac{dx_1}{dt}=2(x_1^2+x_2^2)t,\\[9pt] \dfrac{dx_2}{dt}=4x_1x_2t.\end{cases}
(2)

Решение. Складывая почленно оба уравнения, получаем


\frac{d(x_1+x_2)}{dt}=(x_1+x_2)^22t, откуда -\frac{1}{x_1+x_2}=t^2-C_1, или \frac{1}{x_1+x_2}+t^2=C_1,

Вычитая почленно оба уравнения, получаем


\frac{d(x_1-x_2)}{dt}=2t(x_1-x_2)^2, откуда \frac{1}{x_1-x_2}+t^2=C_1,

Итак, найдены два первых интеграла данной системы


\psi_1(t,x_1,x_2)=t^2+\frac{1}{x_1+x_2}=C_1,\quad \psi_2(t,x_1,x_2)=t^2+\frac{1}{x_1-x_2}=C_2,

которые являются независимыми, так как якобиан отличен от нуля:


\frac{D(\psi_1,\psi_2)}{D(x_1,x_2)}= \begin{vmatrix}\dfrac{\partial\psi_1}{\partial x_1}& \dfrac{\partial\psi_1}{\partial x_2}\\[9pt] \dfrac{\partial\psi_2}{\partial x_1}& \dfrac{\partial\psi_2}{\partial x_2}\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}-\dfrac{1}{(x_1+x_2)^2}& -\dfrac{1}{(x_1+x_2)^2}\\[9pt] -\dfrac{1}{(x_1-x_2)^2}& -\dfrac{1}{(x_1-x_2)^2}\end{vmatrix}=-\frac{2}{(x_1^2-x_2^2)^2}\ne0.

Общий интеграл системы (2)


t^2+\frac{1}{x_1+x_2}=C_1,\quad t^2+\frac{1}{x_1-x_2}=C_2.
(3)

Разрешая систему (3) относительно неизвестных функций, получаем общее решение системы (2):


x_1=\frac{C_1+C_2-2t^2}{2(C_1-t^2)(C_2-t^2)}\,,\quad x_2=\frac{C_1-C_2-2t^2}{2(C_1-t^2)(C_2-t^2)}\,.



Пример 2. Решить систему


\begin{cases}\dfrac{dx_1}{dt}= \dfrac{x_1-x_2}{x_3-t},\\[9pt] \dfrac{dx_2}{dt}= \dfrac{x_1-x_2}{x_3-t},\\[9pt] \dfrac{dx_3}{dt}= x_1-x_2+1.\end{cases}
(4)

Решение. Вычитая почленно из первого уравнения второе, получаем \frac{d(x_1-x_2)}{dt}=0, откуда первый интеграл системы (4)


x_1-x_2=C_1.
(5)

Подставив (5) во второе и третье уравнения системы (4), получим систему с двумя неизвестными функциями


\begin{cases}\dfrac{dx_2}{dt}=\dfrac{C_1}{x_3-t}\,,\\[9pt] \dfrac{dx_3}{dt}=C_1+1.\end{cases}
(6)

Из второго уравнения системы (6) находим


x_3=(C_1+1)t+C_2.
(7)

Подставляя (7) в первое уравнение системы (6), будем иметь


\frac{dx_2}{dt}=\frac{C_1}{C_1t+C_2},\quad x_2=\ln|C_1t+C_2|+C_3.

Итак,

x_1-x_2=C_1,\quad x_2=\ln|C_1t+C_2|+C_3,\quad x_3=(C_1+1)t+C_2.

Отсюда находим общее решение системы (4):


x_1=\ln|C_1t+C_2|+C_1+C_3,\quad x_2=\ln|C_1t+C_2|+C_3,\quad x_3=(C_1+1)t+C_2.



Пример 3. Найти частное решение системы


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=1-\dfrac{1}{y},\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1}{x-t},\end{cases} удовлетворяющее начальным условиям x|_{t=0}=y|_{t=0}=1.

Решение. Запишем данную систему в виде


\begin{cases}y\!\left(\dfrac{dx}{dt}-1\right)=-1,\\[9pt] (x-t)\dfrac{dy}{dt}=1,\end{cases} или \begin{cases}y\!\dfrac{d(x-t)}{dt}=-1,\\[9pt] (x-t)\dfrac{dy}{dt}=1.\end{cases}

Складывая почленно последние уравнения, получаем


y\!\dfrac{d(x-t)}{dt}+(x-t)\dfrac{dy}{dt}=0, или \dfrac{d}{dt}[(x-t)y]=0.

Отсюда находим первый интеграл (x-t)y=C_1. Так как x-t=\frac{C_1}{y}, то второе уравнение системы примет вид \frac{dy}{dt}=\frac{y}{C_1}, откуда y=C_2e^{t/C_1}. Итак,


(x-t)y=C_1,\quad y=C_2e^{t/C_1}.

откуда получаем общее решение


x=t+\frac{C_1}{C_2}\,e^{-1/C_1},\quad y=C_2e^{t/C_1}.

Полагая t=0 в этих равенствах, найдем 1=\frac{C_1}{C_2}, 1=C_2, т.е. C_1=C_2=1, и искомым частным решением будет


x=t+e^{-t},\quad y=e^t.



Пример 4. (разложение вещества). Вещество A разлагается на два вещества X и Y со скоростью образования каждого из них, пропорциональной количеству неразложившегося вещества. Найти закон изменения количеств x и y веществ X и Y в зависимости от времени t, если при t=0 имеем x=y=0, а через час x=\frac{a}{8}, y=\frac{3a}{8}, где a — первоначальное количество вещества A.


Решение. В момент времени t количество неразложившегося вещества A равно a-x-y. В силу условия задачи будем иметь


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=k_1(a-x-y),\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=k_2(a-x-y).\end{cases}
(8)

Разделив почленно второе уравнение на первое, получим


\frac{dy}{dt}=\frac{k_2}{k_1}, откуда y=\frac{k_2}{k_1}\,x+C_1.

При t=0 имеем x=y=0, поэтому из последнего уравнения находим C_1=0, а значит


y=\frac{k_2}{k_1}\,x\,.
(9)

Подставив (9) в первое уравнение системы, получим уравнение


\frac{dx}{dt}+(k_1+k_2)x=k_1a, общее решение которого x=\frac{k_1a}{k_1+k_2}+C_2e^{-(k_1+k_2)t}.

Используя начальное условие x|_{t=0}=0, найдем C_2=-\frac{k_1a}{k_1+k_2}, так что


x=\frac{k_1a}{k_1+k_2}\Bigl[1-e^{-(k_1+k_2)t}\Bigr].
(10)

Подставляя (10) в (9), будем иметь


x=\frac{k_2a}{k_1+k_2}\Bigl[1-e^{-(k_1+k_2)t}\Bigr].
(10')

Для определения коэффициентов k_1 и k_2 примем за единицу времени час. Учитывая, что x=\frac{a}{8}, y=\frac{3a}{8} при t=1, из (10) и (10') найдем


\frac{k_1}{k_1+k_2}\Bigl[1-e^{-(k_1+k_2)}\Bigr]=\frac{1}{8},\quad \frac{k_2}{k_1+k_2}\Bigl[1-e^{-(k_1+k_2)}\Bigr]=\frac{3}{8},

откуда

k_2=3k_1,\quad k_1+k_2=\ln2\,,

так что k_1=\frac{\ln2}{4},~k_2=\frac{3}{4}\ln2, и искомое решение системы (8)


x=\frac{a}{4}(1-2^{-t}),\quad y=\frac{3a}{4}(1-2^{-t}).



Пример 5. (равновесие газов в сообщающихся сосудах). Пусть имеются для сосуда объемов V_1 и V_2 соответственно, наполненные газом. Давление газа в начальный момент времени равно P_1 в первом сосуде и P_2 — во втором. Сосуды соединены трубкой, по которой газ перетекает из одного сосуда в другой. Считая, что количество газа, перетекающего в одну секунду, пропорционально разности квадратов давлений, определить давления p_1 и p_2 в сосудах в момент времени t.


Решение. Пусть a — количество газа, перетекающего в единицу времени при разности давлений, равной единице. Тогда в течение времени dt из одного сосуда в другой протечет количество газа a(p_1^2-p_2^2)dt. Это количество равно убыли газа за время dt в одном сосуде и прибыли за то же время — в другом. Последнее выражается системой уравнений


\begin{cases}a(p_1^2-p_2^2)=bV_2\dfrac{dp_2}{dt}\,,\\[9pt] a(p_1^2-p_2^2)=-bV_1\dfrac{dp_1}{dt}\,,\end{cases}
(11)

где b — постоянный коэффициент.


Вычитая почленно уравнения системы (II), получаем


V_1\,\frac{dp_1}{dt}+ V_2\,\frac{dp_2}{dt}=0,

откуда

V_1p_1+V_2p_2=C_1.
(12)

Умножим обе части первого уравнения системы (11) на p_1V_1, а второго — на p_2V_2 и сложим почленно:


a(p_1^2-p_2^2)(V_1p_1+V_2p_2)= bV_1V_2\!\left(p_1\,\frac{dp_2}{dt}-p_2\,\frac{dp_1}{dt}\right)\!.
(13)

Учитывая (12) и деля обе части (13) на p_1^2, будем иметь


\frac{d}{dt}\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right)=\left[1-{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)\!}^2\right]k, где k=\frac{aC_1}{bV_1V_2}\,.

Обозначив \frac{p_2}{p_1}=z, получаем


\frac{dz}{1-z_2}=k\,dt откуда \ln\!\left|\frac{1+z}{1-z}\right|=2kt+\ln{C_2}\,,
или
\frac{1+z}{1-z}=C_2e^{2kt}.
(14)

Подставляя в (14) вместо z величину \frac{p_2}{p_1}, получаем


\frac{p_1+p_2}{p_1-p_2}=C_2e^{2kt}.
(15)

В начальный момент времени t=0 имеем p_1=P_1,~p_2=P_2, так что из уравнения (12) имеем


C_1=P_1V_1+P_2V_2,
(16)

а из уравнения (15)

C_2=\frac{P_1+P_2}{P_1-P_2}\,.

Из уравнений (12) и (15) находим искомые давления p_1(t) и p_2(t) в любой момент времени t, при этом постоянные C_1 и C_2 определяются формулами (16) и (17).


Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений


Для нахождения интегрируемых комбинаций при решении системы дифференциальных уравнений (1) иногда бывает удобно записать ее в симметричной форме


\frac{dx_1}{f_1(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)}= \frac{dx_2}{f_1(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)}= \ldots= \frac{dx_n}{f_1(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)}= \frac{dt}{1}\,.
(18)

В системе дифференциальных уравнений, записанной в симметрической форме, переменные t,x_1,x_2,\ldots,x_n равноправны, что в некоторых случаях упрощает нахождение интегрируемых комбинаций.


Для решения системы (18) либо берут пары отношений, допускающие разделение переменных, либо же используют производные пропорции


\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\ldots=\frac{a_m}{b_m}=\frac{\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\ldots+\lambda_ma_m}{\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+\ldots+\lambda_mb_m}\,,
(19)

где коэффициенты \lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m производные и их выбирают так, чтобы числитель был дифференциалом знаменателя, либо равен нулю.




Пример 6. Найти общее решение системы уравнений


\frac{dt}{2x}=\frac{dx}{-\ln{t}}=\frac{dy}{\ln{t}-2x}\,.
(20)

Решение. Первая интегрируемая комбинация \frac{dt}{2x}=-\frac{dx}{\ln{t}}. Разделяя переменные и интегрируя, найдем первый интеграл


t(\ln{t}-1)+x^2=C_1,
(21)

Вторую интегрируемую комбинацию получим, используя производные пропорции (19). Для этого сложим числители и знаменатели дробей системы (20):


\frac{dt}{2x}=-\frac{dx}{\ln{t}}=\frac{dy}{\ln{t}-2x}=\frac{dt+dx+dy}{0}\,,

здесь \lambda_1=1,~\lambda_2=1,~\lambda_3=1. Отсюда dt+dx+dy=0, или d(t+x+y)=0 и, значит,


t+x+y=C_2.
(22)

Первые интегралы (21) и (22) дают общий интеграл системы (20)


x^2+t(\ln{t}-1)=C_1,\quad x+y+t=C_2,

из которого находим общее решение системы


x=\pm\sqrt{C_1-t(\ln{t}-1)},\quad y=C_2-t\pm\sqrt{C_1-t(\ln{t}-1)}\,.



Пример 7. Решить систему уравнений


\frac{dt}{4y-5x}=\frac{dx}{5t-3y}=\frac{dy}{3x-4t}\,.
(23)

Решение. Умножая в системе (23) числители и знаменатели дробей соответственно на 3, 4, 5 и складывая числители и знаменатели, получаем в силу (19)


\frac{3\,dt}{12y-15x}=\frac{4\,dx}{20t-12y}=\frac{5\,dy}{15x-20t}=\frac{3\,dt+4\,dx+5\,dy}{0}

здесь \lambda_1=3,~\lambda_2=4,~\lambda_3=5. Отсюда


3\,dt+4\,dx+5\,dy=0 или d(3t+4x+5y)=0,

а значит 3t+4x+5y=C_1 — это первый интеграл системы (23).


Умножая в системе (23) числители и знаменатели дробей соответственно на \lambda_1=2t,~\lambda_2=2x,~\lambda_3=2y и складывая числители и знаменатели, получаем в силу (19)


\frac{2t\,dt}{8yt-10xt}=\frac{2x\,dx}{10tx-6yx}=\frac{2y\,dy}{6xy-8ty}=\frac{2t\,dt+2x\,dx+2y\,dy}{0}\,,

отсюда

2t\,dt+2x\,dx+2y\,dy=0, или d(t^2+x^2+y^2)=0,

и, значит, второй первый интеграл будет t^2+x^2+y^2=C_2.


Совокупность первых интегралов, которые являются независимыми, дает общий интеграл системы (23):


3t+4x+5y=C_1,\quad t^2+x^2+y^2=C_2.

Итак, система (23) решена.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved