Глава 3. Системы дифференциальных уравнений
Нахождение интегрируемых комбинаций.
Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений
Нахождение интегрируемых комбинаций
Этот метод интегрирования системы дифференциальных уравнений
[math]\frac{dx_k}{dt}=f_k(t,x_1,x_2,\ldots,x_n),\quad k=1,2,\ldots,n[/math](1)
состоит в следующем: с помощью проходящих арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) из уравнений системы (I) образуют так называемые интегрируемые комбинации, т.е. достаточно просто решаемые уравнения вида
[math]F\!\left(t,u,\frac{du}{dt}\right)=0,[/math]
где [math]u[/math] — некоторая функция от искомой функции [math]x_1(t),x_2(t),\ldots,x_n(t)[/math]. Каждая интегрируемая комбинация дает один первый интеграл. Если найдено [math]n[/math] независимых первых интегралов системы (1), то ее интегрирование закончено; если же найдено [math]m[/math] независимых первых интегралов, где [math]m<n[/math], то система (1) сводится к системе с меньшим числом неизвестных функций.
Пример 1. Решить систему
[math]\begin{cases}\dfrac{dx_1}{dt}=2(x_1^2+x_2^2)t,\\[9pt] \dfrac{dx_2}{dt}=4x_1x_2t.\end{cases}[/math](2)
Решение. Складывая почленно оба уравнения, получаем
[math]\frac{d(x_1+x_2)}{dt}=(x_1+x_2)^22t,[/math] откуда [math]-\frac{1}{x_1+x_2}=t^2-C_1,[/math] или [math]\frac{1}{x_1+x_2}+t^2=C_1,[/math]
Вычитая почленно оба уравнения, получаем
[math]\frac{d(x_1-x_2)}{dt}=2t(x_1-x_2)^2,[/math] откуда [math]\frac{1}{x_1-x_2}+t^2=C_1,[/math]
Итак, найдены два первых интеграла данной системы
[math]\psi_1(t,x_1,x_2)=t^2+\frac{1}{x_1+x_2}=C_1,\quad \psi_2(t,x_1,x_2)=t^2+\frac{1}{x_1-x_2}=C_2,[/math]
которые являются независимыми, так как якобиан отличен от нуля:
[math]\frac{D(\psi_1,\psi_2)}{D(x_1,x_2)}= \begin{vmatrix}\dfrac{\partial\psi_1}{\partial x_1}& \dfrac{\partial\psi_1}{\partial x_2}\\[9pt] \dfrac{\partial\psi_2}{\partial x_1}& \dfrac{\partial\psi_2}{\partial x_2}\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}-\dfrac{1}{(x_1+x_2)^2}& -\dfrac{1}{(x_1+x_2)^2}\\[9pt] -\dfrac{1}{(x_1-x_2)^2}& -\dfrac{1}{(x_1-x_2)^2}\end{vmatrix}=-\frac{2}{(x_1^2-x_2^2)^2}\ne0.[/math]
Общий интеграл системы (2)
[math]t^2+\frac{1}{x_1+x_2}=C_1,\quad t^2+\frac{1}{x_1-x_2}=C_2.[/math](3)
Разрешая систему (3) относительно неизвестных функций, получаем общее решение системы (2):
[math]x_1=\frac{C_1+C_2-2t^2}{2(C_1-t^2)(C_2-t^2)}\,,\quad x_2=\frac{C_1-C_2-2t^2}{2(C_1-t^2)(C_2-t^2)}\,.[/math]
Пример 2. Решить систему
[math]\begin{cases}\dfrac{dx_1}{dt}= \dfrac{x_1-x_2}{x_3-t},\\[9pt] \dfrac{dx_2}{dt}= \dfrac{x_1-x_2}{x_3-t},\\[9pt] \dfrac{dx_3}{dt}= x_1-x_2+1.\end{cases}[/math](4)
Решение. Вычитая почленно из первого уравнения второе, получаем [math]\frac{d(x_1-x_2)}{dt}=0[/math], откуда первый интеграл системы (4)
[math]x_1-x_2=C_1.[/math](5)
Подставив (5) во второе и третье уравнения системы (4), получим систему с двумя неизвестными функциями
[math]\begin{cases}\dfrac{dx_2}{dt}=\dfrac{C_1}{x_3-t}\,,\\[9pt] \dfrac{dx_3}{dt}=C_1+1.\end{cases}[/math](6)
Из второго уравнения системы (6) находим
[math]x_3=(C_1+1)t+C_2.[/math](7)
Подставляя (7) в первое уравнение системы (6), будем иметь
[math]\frac{dx_2}{dt}=\frac{C_1}{C_1t+C_2},\quad x_2=\ln|C_1t+C_2|+C_3.[/math]
Итак, [math]x_1-x_2=C_1,\quad x_2=\ln|C_1t+C_2|+C_3,\quad x_3=(C_1+1)t+C_2.[/math]
Отсюда находим общее решение системы (4):
[math]x_1=\ln|C_1t+C_2|+C_1+C_3,\quad x_2=\ln|C_1t+C_2|+C_3,\quad x_3=(C_1+1)t+C_2.[/math]
Пример 3. Найти частное решение системы
[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=1-\dfrac{1}{y},\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1}{x-t},\end{cases}[/math] удовлетворяющее начальным условиям [math]x|_{t=0}=y|_{t=0}=1.[/math]
Решение. Запишем данную систему в виде
[math]\begin{cases}y\!\left(\dfrac{dx}{dt}-1\right)=-1,\\[9pt] (x-t)\dfrac{dy}{dt}=1,\end{cases}[/math] или [math]\begin{cases}y\!\dfrac{d(x-t)}{dt}=-1,\\[9pt] (x-t)\dfrac{dy}{dt}=1.\end{cases}[/math]
Складывая почленно последние уравнения, получаем
[math]y\!\dfrac{d(x-t)}{dt}+(x-t)\dfrac{dy}{dt}=0,[/math] или [math]\dfrac{d}{dt}[(x-t)y]=0.[/math]
Отсюда находим первый интеграл [math](x-t)y=C_1[/math]. Так как [math]x-t=\frac{C_1}{y}[/math], то второе уравнение системы примет вид [math]\frac{dy}{dt}=\frac{y}{C_1}[/math], откуда [math]y=C_2e^{t/C_1}[/math]. Итак,
[math](x-t)y=C_1,\quad y=C_2e^{t/C_1}.[/math]
откуда получаем общее решение
[math]x=t+\frac{C_1}{C_2}\,e^{-1/C_1},\quad y=C_2e^{t/C_1}.[/math]
Полагая [math]t=0[/math] в этих равенствах, найдем [math]1=\frac{C_1}{C_2},[/math] [math]1=C_2[/math], т.е. [math]C_1=C_2=1[/math], и искомым частным решением будет
[math]x=t+e^{-t},\quad y=e^t.[/math]
Пример 4. (разложение вещества). Вещество [math]A[/math] разлагается на два вещества [math]X[/math] и [math]Y[/math] со скоростью образования каждого из них, пропорциональной количеству неразложившегося вещества. Найти закон изменения количеств [math]x[/math] и [math]y[/math] веществ [math]X[/math] и [math]Y[/math] в зависимости от времени [math]t[/math], если при [math]t=0[/math] имеем [math]x=y=0[/math], а через час [math]x=\frac{a}{8},[/math] [math]y=\frac{3a}{8}[/math], где [math]a[/math] — первоначальное количество вещества [math]A[/math].
Решение. В момент времени [math]t[/math] количество неразложившегося вещества [math]A[/math] равно [math]a-x-y[/math]. В силу условия задачи будем иметь
[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=k_1(a-x-y),\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=k_2(a-x-y).\end{cases}[/math](8)
Разделив почленно второе уравнение на первое, получим
[math]\frac{dy}{dt}=\frac{k_2}{k_1},[/math] откуда [math]y=\frac{k_2}{k_1}\,x+C_1.[/math]
При [math]t=0[/math] имеем [math]x=y=0[/math], поэтому из последнего уравнения находим [math]C_1=0[/math], а значит
[math]y=\frac{k_2}{k_1}\,x\,.[/math](9)
Подставив (9) в первое уравнение системы, получим уравнение
[math]\frac{dx}{dt}+(k_1+k_2)x=k_1a,[/math] общее решение которого [math]x=\frac{k_1a}{k_1+k_2}+C_2e^{-(k_1+k_2)t}.[/math]
Используя начальное условие [math]x|_{t=0}=0[/math], найдем [math]C_2=-\frac{k_1a}{k_1+k_2}[/math], так что
[math]x=\frac{k_1a}{k_1+k_2}\Bigl[1-e^{-(k_1+k_2)t}\Bigr].[/math](10)
Подставляя (10) в (9), будем иметь
[math]x=\frac{k_2a}{k_1+k_2}\Bigl[1-e^{-(k_1+k_2)t}\Bigr].[/math](10')
Для определения коэффициентов [math]k_1[/math] и [math]k_2[/math] примем за единицу времени час. Учитывая, что [math]x=\frac{a}{8},[/math] [math]y=\frac{3a}{8}[/math] при [math]t=1[/math], из (10) и (10') найдем
[math]\frac{k_1}{k_1+k_2}\Bigl[1-e^{-(k_1+k_2)}\Bigr]=\frac{1}{8},\quad \frac{k_2}{k_1+k_2}\Bigl[1-e^{-(k_1+k_2)}\Bigr]=\frac{3}{8},[/math]
откуда
[math]k_2=3k_1,\quad k_1+k_2=\ln2\,,[/math]
так что [math]k_1=\frac{\ln2}{4},~k_2=\frac{3}{4}\ln2[/math], и искомое решение системы (8)
[math]x=\frac{a}{4}(1-2^{-t}),\quad y=\frac{3a}{4}(1-2^{-t}).[/math]
Пример 5. (равновесие газов в сообщающихся сосудах). Пусть имеются для сосуда объемов [math]V_1[/math] и [math]V_2[/math] соответственно, наполненные газом. Давление газа в начальный момент времени равно [math]P_1[/math] в первом сосуде и [math]P_2[/math] — во втором. Сосуды соединены трубкой, по которой газ перетекает из одного сосуда в другой. Считая, что количество газа, перетекающего в одну секунду, пропорционально разности квадратов давлений, определить давления [math]p_1[/math] и [math]p_2[/math] в сосудах в момент времени [math]t[/math].
Решение. Пусть [math]a[/math] — количество газа, перетекающего в единицу времени при разности давлений, равной единице. Тогда в течение времени [math]dt[/math] из одного сосуда в другой протечет количество газа [math]a(p_1^2-p_2^2)dt[/math]. Это количество равно убыли газа за время [math]dt[/math] в одном сосуде и прибыли за то же время — в другом. Последнее выражается системой уравнений
[math]\begin{cases}a(p_1^2-p_2^2)=bV_2\dfrac{dp_2}{dt}\,,\\[9pt] a(p_1^2-p_2^2)=-bV_1\dfrac{dp_1}{dt}\,,\end{cases}[/math](11)
где [math]b[/math] — постоянный коэффициент.
Вычитая почленно уравнения системы (II), получаем
[math]V_1\,\frac{dp_1}{dt}+ V_2\,\frac{dp_2}{dt}=0,[/math]
откуда
[math]V_1p_1+V_2p_2=C_1.[/math](12)
Умножим обе части первого уравнения системы (11) на [math]p_1V_1[/math], а второго — на [math]p_2V_2[/math] и сложим почленно:
[math]a(p_1^2-p_2^2)(V_1p_1+V_2p_2)= bV_1V_2\!\left(p_1\,\frac{dp_2}{dt}-p_2\,\frac{dp_1}{dt}\right)\!.[/math](13)
Учитывая (12) и деля обе части (13) на [math]p_1^2[/math], будем иметь
[math]\frac{d}{dt}\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right)=\left[1-{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)\!}^2\right]k,[/math] где [math]k=\frac{aC_1}{bV_1V_2}\,.[/math]
Обозначив [math]\frac{p_2}{p_1}=z[/math], получаем
[math]\frac{dz}{1-z_2}=k\,dt[/math] откуда [math]\ln\!\left|\frac{1+z}{1-z}\right|=2kt+\ln{C_2}\,,[/math]
или
[math]\frac{1+z}{1-z}=C_2e^{2kt}.[/math](14)
Подставляя в (14) вместо [math]z[/math] величину [math]\frac{p_2}{p_1}[/math], получаем
[math]\frac{p_1+p_2}{p_1-p_2}=C_2e^{2kt}.[/math](15)
В начальный момент времени [math]t=0[/math] имеем [math]p_1=P_1,~p_2=P_2[/math], так что из уравнения (12) имеем
[math]C_1=P_1V_1+P_2V_2,[/math](16)
а из уравнения (15)
[math]C_2=\frac{P_1+P_2}{P_1-P_2}\,.[/math]
Из уравнений (12) и (15) находим искомые давления [math]p_1(t)[/math] и [math]p_2(t)[/math] в любой момент времени [math]t[/math], при этом постоянные [math]C_1[/math] и [math]C_2[/math] определяются формулами (16) и (17).
Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений
Для нахождения интегрируемых комбинаций при решении системы дифференциальных уравнений (1) иногда бывает удобно записать ее в симметричной форме
[math]\frac{dx_1}{f_1(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)}= \frac{dx_2}{f_1(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)}= \ldots= \frac{dx_n}{f_1(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)}= \frac{dt}{1}\,.[/math](18)
В системе дифференциальных уравнений, записанной в симметрической форме, переменные [math]t,x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] равноправны, что в некоторых случаях упрощает нахождение интегрируемых комбинаций.
Для решения системы (18) либо берут пары отношений, допускающие разделение переменных, либо же используют производные пропорции
[math]\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\ldots=\frac{a_m}{b_m}=\frac{\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\ldots+\lambda_ma_m}{\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+\ldots+\lambda_mb_m}\,,[/math](19)
где коэффициенты [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m[/math] производные и их выбирают так, чтобы числитель был дифференциалом знаменателя, либо равен нулю.
Пример 6. Найти общее решение системы уравнений
[math]\frac{dt}{2x}=\frac{dx}{-\ln{t}}=\frac{dy}{\ln{t}-2x}\,.[/math](20)
Решение. Первая интегрируемая комбинация [math]\frac{dt}{2x}=-\frac{dx}{\ln{t}}[/math]. Разделяя переменные и интегрируя, найдем первый интеграл
[math]t(\ln{t}-1)+x^2=C_1,[/math](21)
Вторую интегрируемую комбинацию получим, используя производные пропорции (19). Для этого сложим числители и знаменатели дробей системы (20):
[math]\frac{dt}{2x}=-\frac{dx}{\ln{t}}=\frac{dy}{\ln{t}-2x}=\frac{dt+dx+dy}{0}\,,[/math]
здесь [math]\lambda_1=1,~\lambda_2=1,~\lambda_3=1[/math]. Отсюда [math]dt+dx+dy=0[/math], или [math]d(t+x+y)=0[/math] и, значит,
[math]t+x+y=C_2.[/math](22)
Первые интегралы (21) и (22) дают общий интеграл системы (20)
[math]x^2+t(\ln{t}-1)=C_1,\quad x+y+t=C_2,[/math]
из которого находим общее решение системы
[math]x=\pm\sqrt{C_1-t(\ln{t}-1)},\quad y=C_2-t\pm\sqrt{C_1-t(\ln{t}-1)}\,.[/math]
Пример 7. Решить систему уравнений
[math]\frac{dt}{4y-5x}=\frac{dx}{5t-3y}=\frac{dy}{3x-4t}\,.[/math](23)
Решение. Умножая в системе (23) числители и знаменатели дробей соответственно на 3, 4, 5 и складывая числители и знаменатели, получаем в силу (19)
[math]\frac{3\,dt}{12y-15x}=\frac{4\,dx}{20t-12y}=\frac{5\,dy}{15x-20t}=\frac{3\,dt+4\,dx+5\,dy}{0}[/math]
здесь [math]\lambda_1=3,~\lambda_2=4,~\lambda_3=5[/math]. Отсюда
[math]3\,dt+4\,dx+5\,dy=0[/math] или [math]d(3t+4x+5y)=0,[/math]
а значит [math]3t+4x+5y=C_1[/math] — это первый интеграл системы (23).
Умножая в системе (23) числители и знаменатели дробей соответственно на [math]\lambda_1=2t,~\lambda_2=2x,~\lambda_3=2y[/math] и складывая числители и знаменатели, получаем в силу (19)
[math]\frac{2t\,dt}{8yt-10xt}=\frac{2x\,dx}{10tx-6yx}=\frac{2y\,dy}{6xy-8ty}=\frac{2t\,dt+2x\,dx+2y\,dy}{0}\,,[/math]
отсюда
[math]2t\,dt+2x\,dx+2y\,dy=0,[/math] или [math]d(t^2+x^2+y^2)=0,[/math]
и, значит, второй первый интеграл будет [math]t^2+x^2+y^2=C_2[/math].
Совокупность первых интегралов, которые являются независимыми, дает общий интеграл системы (23):
[math]3t+4x+5y=C_1,\quad t^2+x^2+y^2=C_2.[/math]
Итак, система (23) решена.
|
Вход
Регистрация
Альбомы
FAQ
Поиск
