Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Модули и линейные пространства

Модули и линейные пространства


Рассмотрим абелеву группу \mathcal{G}= (G,+,\bold{0}) и кольцо \mathcal{R}= (\mathbb{R}, +,\cdot, \bold{0},\bold{1}). Пусть каждому элементу \alpha кольца \mathcal{R} сопоставлено отображение \omega_{\alpha} носителя группы \mathcal{G} в себя так, что для любых \alpha,\beta\in \mathbb{R} и любых x,y\in G выполняются равенства:


1) \omega_{\alpha}(x+y)= \omega_{\alpha}(x)+ \omega_{\alpha}(y);
2) \omega_{\alpha+\beta}(x)= \omega_{\alpha}(x)+ \omega_{\beta}(x);
3) \omega_{\alpha\cdot\beta}(x)= \omega_{\alpha}(\omega_{\beta}(x));
4) \omega_{\bold{1}}(x)=x.

Последнее равенство означает, что отображение \omega_{\bold{1}}, сопоставленное единице кольца \mathcal{R}, является тождественным отображением множества G на себя.


Тогда абелева группа \mathcal{G} называется левым модулем над кольцом \mathcal{R}.


Если равенство 3 в определении модуля переписать так: 3') \omega_{\alpha\cdot\beta}(x)= \omega_{\alpha}\bigl(\omega_{\alpha}(x)\bigr), то получим определение правого модуля над кольцом \mathcal{R}.


Для коммутативного кольца \mathcal{R} левый и правый модули совпадают, так как


\omega_{\alpha}\bigl(\omega_{\beta}(x)\bigr)= \omega_{\beta\cdot\alpha}(x)= \omega_{\beta}\bigl(\omega_{\alpha}(x)\bigr).

Заметим, что модуль можно рассматривать как алгебру с бесконечной сигнатурой, если множество R бесконечно:


\mathcal{G}= \bigl(G,+,\cdot,\bold{0}, \{\omega_{\alpha}\colon\, \alpha\in \mathcal{R}\}\bigr).

Следует подчеркнуть, что модуль есть именно абелева группа с дополнительными операциями, отображениями \omega_{\alpha}, сопоставленными элементам кольца \mathcal{R}. Носитель модуля есть носитель G группы \mathcal{G}.


Теорема 2.10. В любом \mathcal{R}-модуле имеют место тождества:


\begin{aligned}&\mathsf{1)}\quad \omega_{\bold{0}}(x)=\bold{0}\,;\\ &\mathsf{2)}\quad \omega_{-\bold{1}}(x)=-x\,. \end{aligned}


1) x+\omega_{\bold{0}}(x)= \omega_{\bold{1}}(x)+ \omega_{\bold{0}}(x)= \omega_{\bold{1}+ n\bold{0}}(x)= \omega_{\bold{1}}(x)=x. Решая уравнение x+ \omega_{\bold{0}} (x)=x относительно \omega_{\bold{0}}(x) получаем \omega_{\bold{0}}(x)= x-x=\bold{0}.


2) x+\omega_{-\bold{1}}(x)= \omega_{\bold{1}}(x)+ \omega_{-\bold{1}}(x)= \omega_{-\bold{1}+(\bold{1})}(x)= \omega_{\bold{1}}(x)= \bold{1}. Таким образом, x+\omega_{-\bold{1}}(x)=\bold{0}, откуда в силу определения противоположного элемента получаем \omega_{-\bold{1}}(x)=-x.




Пример 2.16. а. Пусть \mathcal{R}=(R,+,\cdot,\bold{0},\bold{1}) — произвольное кольцо. В качестве группы \mathcal{G} возьмем аддитивную группу этого кольца, а отображение \omega_{\alpha},~ \alpha\in \mathbb{R}, определим так, что \omega_{\alpha}(x)=\alpha\cdot x, x\in \mathbb{R}. Это отображение называют левым сдвигом на \alpha. Тогда равенства 1-4 выполнены в силу аксиом кольца. Таким образом, получаем левый модуль, носитель которого — аддитивная группа кольца, а отображение \omega_{\alpha} есть левый сдвиг произвольного элемента кольца на заданное alpha.


Если теперь задать для каждого \alpha\in \mathbb{R} отображение \widetilde{\omega}_{\alpha}\colon R\to R так, что \widetilde{\omega}_{\alpha}= x\cdot \alpha (правый сдвиг на \alpha), то получим правый модуль с тем же носителем, но сигнатура его (помимо операции сложения исходного кольца \mathbb{R}) будет состоять из всевозможных правых сдвигов \widetilde{\omega}_{\alpha}.


б. Пусть \mathcal{G} есть аддитивная группа векторов какого-либо линейного пространства L, а \mathcal{R} — кольцо линейных операторов из L в L. Тогда, полагая для произвольных линейного оператора A и вектора \boldsymbol{x} пространства L и \omega_{A}(\boldsymbol{x})= A\boldsymbol{x}, получаем, как нетрудно проверить, левый модуль над кольцом \mathcal{R}.


в. Пусть \mathcal{R} — кольцо квадратных числовых матриц порядка n с обычными операциями сложения и умножения матриц (см. пример 2.12.г), a \mathcal{G} — группа матриц-столбцов типа n\times1 по сложению. Отображение \omega_{\alpha} определим по правилу \omega_{\alpha}(X)= AX, где A — квадратная матрица, а X — вектор-столбец. Легко видеть, что равенства 1-4 вытекают из свойств умножения матриц и линейных операций над матрицами.


В результате получим левый модуль над кольцом квадратных матриц.


Аналогично, взяв в качестве \mathcal{G} аддитивную группу матриц-строк типа 1\times n и определив отображение \widetilde{\omega}_{\alpha}(Y)= YA, где A — квадратная матрица порядка n, а Y — матрица-строка, получим правый модуль над кольцом квадратных матриц.




Если рассматривается левый \mathcal{R}-модуль, то отображение иа называют левым умножением на элемент \alpha кольца \mathcal{R} и применяют обозначение \omega_{\alpha}(x)= \alpha\circ x. Для правого \mathcal{R}-модуля отображение \omega_{\alpha} называют правым умножением на элемент \alpha кольца \mathbb{R} и пишут \omega_{\alpha}= x\circ\alpha.


Модуль \mathcal{R}, у которого кольцо \mathcal{R} является полем, называют линейным пространством над полем \mathcal{R}. Если кольцо \mathcal{R} является полем действительных чисел (или полем комплексных чисел), то мы получаем действительное (соответственно комплексное) линейное пространство.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved