Модули и линейные пространства
Рассмотрим абелеву группу и кольцо . Пусть каждому элементу кольца сопоставлено отображение носителя группы в себя так, что для любых и любых выполняются равенства:
Последнее равенство означает, что отображение , сопоставленное единице кольца , является тождественным отображением множества на себя.
Тогда абелева группа называется левым модулем над кольцом .
Если равенство 3 в определении модуля переписать так: 3') , то получим определение правого модуля над кольцом .
Для коммутативного кольца левый и правый модули совпадают, так как
Заметим, что модуль можно рассматривать как алгебру с бесконечной сигнатурой, если множество бесконечно:
Следует подчеркнуть, что модуль есть именно абелева группа с дополнительными операциями, отображениями , сопоставленными элементам кольца . Носитель модуля есть носитель группы .
Теорема 2.10. В любом -модуле имеют место тождества:
1) . Решая уравнение относительно получаем .
2) . Таким образом, , откуда в силу определения противоположного элемента получаем .
Пример 2.16. а. Пусть — произвольное кольцо. В качестве группы возьмем аддитивную группу этого кольца, а отображение , определим так, что . Это отображение называют левым сдвигом на . Тогда равенства 1-4 выполнены в силу аксиом кольца. Таким образом, получаем левый модуль, носитель которого — аддитивная группа кольца, а отображение есть левый сдвиг произвольного элемента кольца на заданное .
Если теперь задать для каждого отображение так, что (правый сдвиг на ), то получим правый модуль с тем же носителем, но сигнатура его (помимо операции сложения исходного кольца ) будет состоять из всевозможных правых сдвигов .
б. Пусть есть аддитивная группа векторов какого-либо линейного пространства , а — кольцо линейных операторов из в . Тогда, полагая для произвольных линейного оператора и вектора пространства и , получаем, как нетрудно проверить, левый модуль над кольцом .
в. Пусть — кольцо квадратных числовых матриц порядка с обычными операциями сложения и умножения матриц (см. пример 2.12.г), a — группа матриц-столбцов типа по сложению. Отображение определим по правилу , где — квадратная матрица, а — вектор-столбец. Легко видеть, что равенства 1-4 вытекают из свойств умножения матриц и линейных операций над матрицами.
В результате получим левый модуль над кольцом квадратных матриц.
Аналогично, взяв в качестве аддитивную группу матриц-строк типа и определив отображение , где — квадратная матрица порядка , а — матрица-строка, получим правый модуль над кольцом квадратных матриц.
Если рассматривается левый -модуль, то отображение иа называют левым умножением на элемент кольца и применяют обозначение . Для правого -модуля отображение называют правым умножением на элемент кольца и пишут .
Модуль , у которого кольцо является полем, называют линейным пространством над полем . Если кольцо является полем действительных чисел (или полем комплексных чисел), то мы получаем действительное (соответственно комплексное) линейное пространство.
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|