Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Модули и линейные пространства

Модули и линейные пространства


Рассмотрим абелеву группу [math]\mathcal{G}= (G,+,\bold{0})[/math] и кольцо [math]\mathcal{R}= (\mathbb{R}, +,\cdot, \bold{0},\bold{1})[/math]. Пусть каждому элементу [math]\alpha[/math] кольца [math]\mathcal{R}[/math] сопоставлено отображение [math]\omega_{\alpha}[/math] носителя группы [math]\mathcal{G}[/math] в себя так, что для любых [math]\alpha,\beta\in \mathbb{R}[/math] и любых [math]x,y\in G[/math] выполняются равенства:


1) [math]\omega_{\alpha}(x+y)= \omega_{\alpha}(x)+ \omega_{\alpha}(y)[/math];
2) [math]\omega_{\alpha+\beta}(x)= \omega_{\alpha}(x)+ \omega_{\beta}(x)[/math];
3) [math]\omega_{\alpha\cdot\beta}(x)= \omega_{\alpha}(\omega_{\beta}(x))[/math];
4) [math]\omega_{\bold{1}}(x)=x[/math].

Последнее равенство означает, что отображение [math]\omega_{\bold{1}}[/math], сопоставленное единице кольца [math]\mathcal{R}[/math], является тождественным отображением множества [math]G[/math] на себя.


Тогда абелева группа [math]\mathcal{G}[/math] называется левым модулем над кольцом [math]\mathcal{R}[/math].


Если равенство 3 в определении модуля переписать так: 3') [math]\omega_{\alpha\cdot\beta}(x)= \omega_{\alpha}\bigl(\omega_{\alpha}(x)\bigr)[/math], то получим определение правого модуля над кольцом [math]\mathcal{R}[/math].


Для коммутативного кольца [math]\mathcal{R}[/math] левый и правый модули совпадают, так как


[math]\omega_{\alpha}\bigl(\omega_{\beta}(x)\bigr)= \omega_{\beta\cdot\alpha}(x)= \omega_{\beta}\bigl(\omega_{\alpha}(x)\bigr).[/math]

Заметим, что модуль можно рассматривать как алгебру с бесконечной сигнатурой, если множество [math]R[/math] бесконечно:


[math]\mathcal{G}= \bigl(G,+,\cdot,\bold{0}, \{\omega_{\alpha}\colon\, \alpha\in \mathcal{R}\}\bigr).[/math]

Следует подчеркнуть, что модуль есть именно абелева группа с дополнительными операциями, отображениями [math]\omega_{\alpha}[/math], сопоставленными элементам кольца [math]\mathcal{R}[/math]. Носитель модуля есть носитель [math]G[/math] группы [math]\mathcal{G}[/math].


Теорема 2.10. В любом [math]\mathcal{R}[/math]-модуле имеют место тождества:


[math]\begin{aligned}&\mathsf{1)}\quad \omega_{\bold{0}}(x)=\bold{0}\,;\\ &\mathsf{2)}\quad \omega_{-\bold{1}}(x)=-x\,. \end{aligned}[/math]


1) [math]x+\omega_{\bold{0}}(x)= \omega_{\bold{1}}(x)+ \omega_{\bold{0}}(x)= \omega_{\bold{1}+ n\bold{0}}(x)= \omega_{\bold{1}}(x)=x[/math]. Решая уравнение [math]x+ \omega_{\bold{0}} (x)=x[/math] относительно [math]\omega_{\bold{0}}(x)[/math] получаем [math]\omega_{\bold{0}}(x)= x-x=\bold{0}[/math].


2) [math]x+\omega_{-\bold{1}}(x)= \omega_{\bold{1}}(x)+ \omega_{-\bold{1}}(x)= \omega_{-\bold{1}+(\bold{1})}(x)= \omega_{\bold{1}}(x)= \bold{1}[/math]. Таким образом, [math]x+\omega_{-\bold{1}}(x)=\bold{0}[/math], откуда в силу определения противоположного элемента получаем [math]\omega_{-\bold{1}}(x)=-x[/math].




Пример 2.16. а. Пусть [math]\mathcal{R}=(R,+,\cdot,\bold{0},\bold{1})[/math] — произвольное кольцо. В качестве группы [math]\mathcal{G}[/math] возьмем аддитивную группу этого кольца, а отображение [math]\omega_{\alpha},~ \alpha\in \mathbb{R}[/math], определим так, что [math]\omega_{\alpha}(x)=\alpha\cdot x,[/math] [math]x\in \mathbb{R}[/math]. Это отображение называют левым сдвигом на [math]\alpha[/math]. Тогда равенства 1-4 выполнены в силу аксиом кольца. Таким образом, получаем левый модуль, носитель которого — аддитивная группа кольца, а отображение [math]\omega_{\alpha}[/math] есть левый сдвиг произвольного элемента кольца на заданное [math]alpha[/math].


Если теперь задать для каждого [math]\alpha\in \mathbb{R}[/math] отображение [math]\widetilde{\omega}_{\alpha}\colon R\to R[/math] так, что [math]\widetilde{\omega}_{\alpha}= x\cdot \alpha[/math] (правый сдвиг на [math]\alpha[/math]), то получим правый модуль с тем же носителем, но сигнатура его (помимо операции сложения исходного кольца [math]\mathbb{R}[/math]) будет состоять из всевозможных правых сдвигов [math]\widetilde{\omega}_{\alpha}[/math].


б. Пусть [math]\mathcal{G}[/math] есть аддитивная группа векторов какого-либо линейного пространства [math]L[/math], а [math]\mathcal{R}[/math] — кольцо линейных операторов из [math]L[/math] в [math]L[/math]. Тогда, полагая для произвольных линейного оператора [math]A[/math] и вектора [math]\boldsymbol{x}[/math] пространства [math]L[/math] и [math]\omega_{A}(\boldsymbol{x})= A\boldsymbol{x}[/math], получаем, как нетрудно проверить, левый модуль над кольцом [math]\mathcal{R}[/math].


в. Пусть [math]\mathcal{R}[/math] — кольцо квадратных числовых матриц порядка [math]n[/math] с обычными операциями сложения и умножения матриц (см. пример 2.12.г), a [math]\mathcal{G}[/math] — группа матриц-столбцов типа [math]n\times1[/math] по сложению. Отображение [math]\omega_{\alpha}[/math] определим по правилу [math]\omega_{\alpha}(X)= AX[/math], где [math]A[/math] — квадратная матрица, а [math]X[/math] — вектор-столбец. Легко видеть, что равенства 1-4 вытекают из свойств умножения матриц и линейных операций над матрицами.


В результате получим левый модуль над кольцом квадратных матриц.


Аналогично, взяв в качестве [math]\mathcal{G}[/math] аддитивную группу матриц-строк типа [math]1\times n[/math] и определив отображение [math]\widetilde{\omega}_{\alpha}(Y)= YA[/math], где [math]A[/math] — квадратная матрица порядка [math]n[/math], а [math]Y[/math] — матрица-строка, получим правый модуль над кольцом квадратных матриц.




Если рассматривается левый [math]\mathcal{R}[/math]-модуль, то отображение иа называют левым умножением на элемент [math]\alpha[/math] кольца [math]\mathcal{R}[/math] и применяют обозначение [math]\omega_{\alpha}(x)= \alpha\circ x[/math]. Для правого [math]\mathcal{R}[/math]-модуля отображение [math]\omega_{\alpha}[/math] называют правым умножением на элемент [math]\alpha[/math] кольца [math]\mathbb{R}[/math] и пишут [math]\omega_{\alpha}= x\circ\alpha[/math].


Модуль [math]\mathcal{R}[/math], у которого кольцо [math]\mathcal{R}[/math] является полем, называют линейным пространством над полем [math]\mathcal{R}[/math]. Если кольцо [math]\mathcal{R}[/math] является полем действительных чисел (или полем комплексных чисел), то мы получаем действительное (соответственно комплексное) линейное пространство.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved