Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Множества на комплексной плоскости

Множества на комплексной плоскости


Расположение точек на комплексной плоскости


Напомним известные из анализа функций двух действительных переменных основные геометрические понятия, связанные с расположением точек на плоскости. Определения будем давать в терминах комплексной плоскости, т.е. точка [math]M(x,y)[/math] плоскости — это точка [math]z[/math] комплексной плоскости.


1. Множество точек [math]z[/math], удаленных от заданной точки [math]z_0[/math] на расстояние, меньшее чем заданное число [math]\varepsilon[/math], называется ε-окрестностью точки [math]z_0[/math], будем обозначать ее [math]O_{\varepsilon}(z_0)[/math]. Используя понятие расстояния между точками плоскости [math](|z-z_0|)[/math], определение можно записать в виде соотношения:


[math]O_{\varepsilon}(z_0)= \bigl\{z\colon\, |z-z_0|<\varepsilon\bigr\}.[/math]

Очевидно, что геометрически [math]O_{\varepsilon}(z_0)[/math] — круг с центром в точке [math]z_0[/math] и радиусом [math]\varepsilon[/math].


2. Множество точек [math]z[/math], удовлетворяющих неравенству [math]0<|z-z_0|< \varepsilon[/math], образует проколотую окрестность точки [math]z_0\colon\, O_{\varepsilon}(z_0) \setminus z_0[/math].


3. Точка называется внутренней точкой множества, если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью, т.е. [math]z_0[/math] — внутренняя точка множества [math]M[/math], если [math]z_0\in M[/math] и [math]\exists \varepsilon>0[/math], что [math]O_{\varepsilon}(z_0)\subset M[/math].


4. Множество, состоящее только из внутренних точек (множество, все точки которого являются внутренними), называется открытым.


5. Точка называется граничной точкой множества, если в любой ее окрестности есть точки, принадлежащие множеству, и точки, не принадлежащие ему, т.е. [math]z_0[/math] — граничная точка множества [math]M[/math], если для [math]\forall \varepsilon>0[/math] существуют точки [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math], то [math]z_1\in O_{\varepsilon}(z_0),~ z_2\in O_{\varepsilon}(z_0)[/math], такие. что [math]z_1\in M,~ z_2\notin M[/math].


Совокупность граничных точек множества образует границу множества.


Направление обхода границы называется положительным, если область, ограниченная контуром, при обходе расположена слева.


6. Множество, содержащее все свои граничные точки (множество вместе с границей), называется замкнутым. Оно обозначается [math]\overline{M}[/math], то есть [math]\overline{M}= M\cup C[/math], где [math]C[/math] — граница множества [math]M~(C=\delta M)[/math].


7. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат множеству.


8. Открытое, связное множество называется областью. Область с присоединенной границей — замкнутая обметь, [math]\overline{D}=D\cup C[/math] и [math]C=\delta D[/math].


9. Область (множество) называется односвязной, если для любой замкнутой кривой, принадлежащей области, точки множества, границей которого является кривая, также принадлежат области. В противном случае — область многосвязная.


10. Многосвязная область называется n-связной, если ее граница состоит из [math]n[/math] компонент. Порядок [math](n)[/math] связности многосвязной (n-связной) области определяется числом [math](n)[/math] связных компонент границы области.


На рис. 1.10 приведены геометрические примеры односвязных [math](n=1)[/math] и многосвязных [math](n=2,~ n=3)[/math] областей. Обход границы области указан стрелкой.


11. Множество называется ограниченным, если существует круг с центром в начале координат, содержащий это множество, т.е. [math]M[/math] ограничено, если [math]\exists R>0[/math], что


[math]M\subset O_{R}(0)~ \bigl(M\subset O_{R}(z_0),~ z_0=0\bigr),\quad O_{R}(0)= \{z\colon\, |z|<R\}.[/math]

Геометрические примеры односвязных и многосвязных областей



Кривые на комплексной плоскости


На множестве действительных чисел можно обычным образом определить функцию, которая принимает на этом множестве комплексные значения: любому [math]t\in T,~ T\subset \mathbb{R}[/math] соответствует [math]z\in G,~z(t)[/math] — комплекснозначная функция действительной переменной.


Например, [math]z(t)=it+2t,~ z(t)= \frac{2-i}{t+i},~ z(t)=\frac{i}{t-1}[/math] — комплекснозначные функции, первые две определены для любого [math]t\in\mathbb{R}[/math], последняя — для любого [math]t\ne1[/math].

Для функции [math]z(t)[/math], так же как для действительной функции действительной переменной, вводится понятие предела в точке, а на его основе — понятия непрерывности, производной, интеграла.


Так как для любого значения [math]t[/math] из области определения число [math]z(t)[/math] является комплексным числом, то, записав его в алгебраической форме [math]z=x+iy[/math], получим, что задание комплексной функции [math]z(t)[/math] действительной переменной на некотором множестве [math]T\subset\mathbb{R}[/math] равносильно заданию на этом множестве двух действительных функций [math]x(t)=\operatorname{Re}z(t)[/math] и [math]y(t)=\operatorname{Im}z(t)[/math].


Используя соответствующие определения, нетрудно убедиться в справедливости следующих утверждений и формул:


1. Для непрерывности функции [math]z(t)[/math] в точке [math]t_0[/math] необходимо и достаточно, чтобы в этой точке были непрерывны функции [math]x(t)=\operatorname{Re}z(t)[/math] и [math]y(t)=\operatorname{Im}z(t)[/math].


2. [math]\lim_{t\to t_0}z(t)= \lim_{t\to t_0}x(t)+i \lim_{t\to t_0}y(t)[/math].


3. [math]z'(t)=x'(t)+i\,y'(t),~ dz=dx+i\,dy[/math].


4. [math]\int\limits_{a}^{b}z(t)\,dt= \int\limits_{a}^{b}x(t)\,dt+ i\int\limits_{a}^{b}y(t)\,dt[/math].




Уравнения кривых на комплексной плоскости


Одним из способов задания кривой на плоскости является параметрическое задание:


[math]\begin{cases}x=x(t),\\ y=y(t) \end{cases},t\in T.[/math]
(1.18)

Будем рассматривать гладкие и кусочно-гладкие кривые.


Кривая называется гладкой на множестве [math]T[/math], если функции [math]x(t),~y(t)[/math] имеют на [math]T[/math] непрерывные производные [math]x'(t),~ y'(t)[/math]. Геометрически гладкая кривая характеризуется существованием касательной к этой кривой в каждой точке, причем направление касательной изменяется непрерывно при движении точки по кривой.


Кривая называется кусочно-гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких кривых.


На рис. 1.11 изображены кривые, которые являются кусочно-гладкими на [math](a,c)[/math] и гладкими на каждом из интервалов [math](a,b)[/math] и [math](b,c)[/math].


Кусочно-гладкие кривые на интервалах

Из определения функции [math]z(t)[/math], данного выше, следует, что геометрически её задание определяет кривую на плоскости (и обратно): по формуле (1.18) любому значению [math]t\in T[/math] соответствует точка [math](x,y)[/math], то есть число [math]z=x+iy[/math].


Следовательно, параметрическое задание кривой в форме (1.18) равносильно заданию [math]z(t)=x(t)+i\,y(t)[/math]. Равенство


[math]z=z(t),\quad t\in T[/math]
(1.19)

называется уравнением кривой в параметрической форме.


Пример 1.26. Записать в параметрической форме уравнение окружности, центр которой находится в точке [math]C(x_0,y_0)[/math], а радиус равен [math]R[/math].


▼ Решение

Используем известные параметрические уравнения окружности:


[math]\begin{cases}x=x_0+R\cos{t},\\ y=y_0+R\sin{t},\end{cases} t\in[0;2\pi].[/math]

Отсюда получаем [math]z(t)= x(t)+i\,y(t)= x_0+R\cos{t}+i(y_0+R\sin{t})[/math] или [math]z(t)=z_0+ R(\cos{t}+i\sin{t})[/math], где [math]z_0=x_0+i\,y_0[/math] — центр окружности. Используя формулу Эйлера, окончательно запишем уравнение окружности в параметрической форме:


[math]z(t)= z_0+R\,e^{i\,t},\quad t\in[0;2\pi].[/math]
(1.20)

Заметим, что если переписать (1.20) в виде [math]z-z_0=R\,e^{it}[/math], то получим равенство [math]|z-z_0|=R[/math], которое определяет окружность как геометрическое место точек плоскости (точек [math]z[/math]), равноудаленных (на заданное расстояние [math]R[/math]) от заданной точки [math](z_0)[/math]. Очевидно, уравнение (1.20) определяет гладкую кривую, что соответствует геометрическому виду этой кривой.


Уравнение плоской кривой, как известно, можно также записать в виде [math]F(x,y)=0[/math], т.е. соотношения, связывающего декартовы координаты [math](x,y)[/math] точек, принадлежащих этой линии; в частности, [math]y=f(x)[/math] — явное задание линии. Но так как пара [math](x,y)[/math] определяет комплексное число [math]z=x+iy[/math], то, выразив [math]x[/math] и [math]y[/math] через [math]z[/math], можно записать соотношение в комплексной форме. Из [math]z=x+iy[/math] и [math]\overline{z}=x-iy[/math] получаем [math]x=\frac{z+\overline{z}}{2}[/math] и [math]y=\frac{z-\overline{z}}{2i}[/math]. Поэтому равенство


[math]F\!\left(\frac{z+\overline{z}}{2},\, \frac{z-\overline{z}}{2i}\right)=0[/math]
(1.21)

есть уравнение кривой на плоскости, записанное в комплексной форме. Используя тригонометрическую форму задания комплексного числа, можно получить и другие виды уравнений кривых на комплексной плоскости.


Пример 1.27. Записать в комплексной форме уравнения: а) прямой; б) окружности.


▼ Решение

а) Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид [math]Ax+By+C=0[/math]. Подставляя в это уравнение [math]x=\frac{z+\overline{z}}{2}[/math] и [math]y=\frac{z-\overline{z}}{2i}[/math], находим


[math]\frac{A}{2}(z+\overline{z})- i\,\frac{B}{2}(z-\overline{z})+C=0[/math], или [math]z \left(\frac{A}{2}-i\,\frac{B}{2}\right)+ \overline{z}\left(\frac{A}{2}+ i\,\frac{B}{2}\right)+C=0[/math].


Введя обозначение [math]\frac{A}{2}+ i\,\frac{B}{2}=M[/math], окончательно получим [math]\overline{M}z+M \overline{z}+C=0[/math] — уравнение прямой в комплексной форме.


б) Используем уравнение окружности в общем виде [math]Ax^2+Ay^2+Bx+Cy+F=0[/math]. Подставляя в это уравнение [math]x=\frac{z+\overline{z}}{2},~ y=\frac{z-\overline{z}}{2i}[/math] и [math]x^2+y^2=z \overline{z}[/math] получаем


[math]Az \overline{z}+ z \left(\frac{B}{2}-i\,\frac{C}{2}\right)+ \overline{z} \left(\frac{B}{2}-i\,\frac{C}{2}\right)+F=0[/math], или, обозначая [math]M=\frac{B}{2}+i\,\frac{C}{2},~~ Az \overline{z}+ \overline{M}z+ M \overline{z}+F=0[/math]

уравнение окружности в комплексной форме. Заметим, что при [math]A=0[/math] получаем задачу, рассмотренную в пункте "а".


Замечание 1.2. Утверждение, что уравнение прямой на плоскости является частным случаем уравнения окружности на комплексной плоскости имеет более глубокий смысл: прямые как геометрический образ являются частным случаем окружности (их можно рассматривать как окружности "бесконечного" радиуса, [math]R=\infty[/math]). Обоснование этого можно получить, используя стереографическую проекцию — геометрическое изображение комплексных чисел (множества [math]\overline{\mathbb{C}}[/math]) точками на сфере Римана.


Имеет место утверждение: окружности и прямые плоскости при стереографической проекции отображаются в окружности, причем образом окружности является окружность на сфере Римана, не проходящая через точку [math]N[/math], а образом прямой — окружность, проходящая через [math]N[/math].


Для доказательства используем формулы связи координат точки плоскости [math]\mathbb{C}[/math] и ее образа на сфере (см. рис. 1.2,а).


Если положить диаметр сферы равным единице [math](ON=1)[/math] и ввести систему координат [math](\xi,\eta,\varphi)[/math], направив по лучу [math]ON[/math] ось [math]O\varphi[/math], а плоскость [math]\mathbb{C}[/math] выбрав за плоскость [math]O\xi\eta[/math], где ось [math]O\xi[/math], совпадает с [math]Ox[/math], а ось [math]O\eta[/math] — с [math]Oy[/math], то, используя коллинеарность векторов [math]zN[/math] и [math]ZN[/math], получим выражение координат точки [math]z(x,y)[/math] плоскости [math]\mathbb{C}[/math] через координаты ее образа [math]Z(\xi,\eta,\varphi)[/math] на сфере. Эти формулы имеют вид [math]x=\frac{\xi}{1-\varphi},~ y=\frac{\eta}{1-\varphi}[/math].


Подставляем их в уравнение окружности [math]Ax^2+Ay^2+Bx+Cy+D=0[/math] и учитывая, что точка [math]Z(\xi,\eta,\varphi)[/math] лежит на сфере, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению [math]\xi^2+\eta^2+\left(\varphi-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}[/math] или [math]\xi^2+\eta^2+ \varphi^2=\varphi[/math], после преобразований получаем уравнение плоскости [math]B\xi+C\eta+(A-D)\varphi+D=0[/math]. Следовательно, образом окружности является линия пересечения сферы этой плоскостью, т.е. окружность на сфере. При [math]A=0[/math] на плоскости имеем прямую с уравнением [math]Bx+Cy+D=0[/math]; ее образом на сфере будет окружность


[math]\begin{cases}B\xi+C\eta-D\varphi+D=0,\\ \xi^2+\eta^2+ \varphi^2=\varphi, \end{cases}[/math]

проходящая через точку [math]N[/math], так как координаты точки [math]N(0;0;1)[/math] удовлетворяют этой системе.


Аналогично доказывается обратное утверждение: окружностям на сфере, не проходящим через точку [math]N[/math], соответствуют окружности плоскости [math]C[/math], а окружностям, проходящим через [math]N[/math], — прямые.


Пример 1.28. Записать в комплексной форме уравнения: а) координатных осей; б) биссектрисы первого и третьего координатных углов.


▼ Решение

а) Для уравнения оси [math]Ox[/math] из [math]y=0[/math] и [math]y=\frac{z-\overline{z}}{2i}[/math] получаем [math]z-\overline{z}=0[/math]; для оси [math]Oy[/math] из [math]x=0[/math] и [math]x=\frac{z+\overline{z}}{2}[/math] следует [math]z+\overline{z}=0[/math].


б) Уравнение биссектрисы [math]y=x[/math] принимает вид [math]\frac{z-\overline{z}}{2i}= \frac{z+\overline{z}}{2},~~ z-\overline{z}= (z+\overline{z})i[/math], или [math]z(1-i)- \overline{z}(1+i)=0[/math].


Если умножить уравнение на [math](1+i)[/math], то его можно записать иначе: [math]z-\overline{z}i=0[/math].


Пример 1.29. Записать в комплексной форме уравнение:


а) дуги окружности единичного радиуса с центром в начале координат, расположенной в первой четверти;
б) биссектрисы первого координатного угла;
в) отрезка [math]OA[/math] биссектрисы первого координатного угла, где [math]A(1,1)[/math].

▼ Решение

Для решения удобно использовать задание комплексного числа в тригонометрической форме, т.е. через [math]|z|[/math] и [math]\arg z^[/math]


а) любой точке дуги соответствует число [math]z[/math], для которого [math]|z|=1[/math], а аргумент удовлетворяет условию [math]0\leqslant \arg z\leqslant \frac{\pi}{2}[/math]. Соотношения [math]\begin{cases}|z|=1,\\ 0\leqslant \arg z\leqslant \frac{\pi}{2}\end{cases}[/math] определяют соответствующую дугу. Полученный результат можно записать в комплексной форме: [math]z\overline{z}-1=0,~ \operatorname{Re}z\geqslant0,~ \operatorname{Im}z\geqslant0[/math] или в параметрической форме: [math]z=e^{it},~ 0\leqslant t\leqslant\frac{\pi}{2}[/math];


б) используя результат примера 1.28, ответ можно записать в вид [math]\begin{cases}z-\overline{z}i=0,\\ \operatorname{Re}z\geqslant0.\end{cases}[/math] Более удобной является запись [math]\arg z=\frac{\pi}{4}[/math];


в) используя результат предыдущего пункта, ответ можно записать в виде [math]\begin{cases}\arg z=\frac{\pi}{4},\\ |z|\leqslant1.\end{cases}[/math].


Пример 1.30. Определить вид кривой, заданной комплексным соотношением: a) [math]|z-2|=|z+2i|[/math]; б) [math]|z+3|=|z-5|[/math].


▼ Решение

а) Подставив [math]z=x+iy[/math], запишем числа в алгебраической форме: [math]|(x-2)+iy|=|x+i(y+2)|[/math]. Далее по определению модуля запишем квадраты модулей полученных комплексных чисел: [math](x-2)^2+y^2=x^2+(y+2)^2[/math]. Отсюда после преобразований имеем [math]y=-x[/math] — уравнение биссектрисы второго и четвертого координатных углов. Задачу можно решить иначе, геометрически, если воспользоваться геометрическим смыслом модуля [math]|z_1-z_2|[/math] как расстояния между точками. Переформулируем условие следующим образом: найти геометрическое место точек [math]z[/math], равноудаленных от двух заданных точек 2 и –2i. Очевидно, что геометрическое место точек есть прямая, которая перпендикулярна отрезку, соединяющему заданные точки, и проходит через его середину. Такой прямой является [math]y=-x[/math].


б) Решим задачу геометрически. На оси [math]Ox[/math] отмечаем точки –3 и 5 и через середину отрезка их соединяющего (точку [math]x=1[/math]) проводим перпендикулярную прямую; ее уравнение [math]x=1[/math].


Пример 1.31. Определить вид кривой, заданной уравнением в комплексной форме:


а) [math]\operatorname{Im}\frac{1}{z}=\frac{1}{2}[/math]; б) [math]\operatorname{Re} \frac{1}{\overline{z}}=1[/math].


▼ Решение

а) Используя правило деления [math]\frac{1}{z}= \frac{1}{x+iy}= \frac{x-iy}{x^2+y^2}[/math], находим [math]\operatorname{Im}\frac{1}{z}= \frac{-y}{x^2+y^2}[/math]. Получаем уравнение кривой в действительной форме:


[math]\frac{-y}{x^2+y^2}= \frac{1}{2}[/math], то есть [math]x^2+y^2+2y=0[/math], или [math]x^2+(y+1)^2=1[/math].

Это уравнение окружности радиуса [math]R=1[/math] с центром в точке [math]C(0;-1)[/math].


б) Производим действия, как в предыдущем пункте:


[math]\begin{gathered}\operatorname{Re}\frac{1}{\overline{z}}= \operatorname{Re}\frac{1}{x-iy}= \operatorname{Re}\frac{x+iy}{x^2+y^2}= \frac{x}{x^2+y^2},\\[2pt] \frac{x}{x^2+y^2}=1,\quad x^2+y^2=x,\quad \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{1}{4} .\end{gathered}[/math]

В результате получено уравнение окружности радиуса [math]R=1\!\!\not{\phantom{|}}\,2[/math] с центром в точке [math]C(1\!\!\not{\phantom{|}}\,2;0)[/math].




Области на комплексной плоскости


Будем рассматривать области, границы которых состоят из конечного числа кусочно-гладких кривых, в частности простых кривых, т.е. не имеющих точек самопересечения, а также отдельных изолированных точек.


Приведем аналитические выражения для областей простейшего вида, границами которых являются простейшие линии — прямые, окружности.


1. Круг радиуса [math]R[/math] с центром в точке [math]z_0[/math] задается неравенством [math]|z-z_0|<R[/math]. Это — открытое, связное множество, т.е. область. Область — ограниченная, односвязная; ее границей является окружность [math]|z-z_0|=R[/math] (рис. 1.12,а). В частности, круг [math]|z-z_0|<\varepsilon[/math] есть окрестность точки [math]z_0\colon\, O_{\varepsilon}(z_0)[/math]. Заметим, что неравенство [math]|z-z_0|\leqslant R[/math] определяет замкнутую область, т.е. область вместе с границей.


2. Проколотая окрестность точки [math]z_0\colon\, O_{\varepsilon}(z_0)\setminus z_0[/math] — круг с выброшенным центром задается неравенством [math]0<|z-z_0|<\varepsilon[/math]. Это двусвязная, ограниченная область, граница которой состоит из двух компонент — окружности [math]|z-z_0|=\varepsilon[/math] и точки [math]z_0[/math] (рис. 1.12,б).


3. Окрестность бесконечно удаленной точки определяется как множество точек плоскости [math]C[/math], образами которых на сфере Римана являются точки, принадлежащие окрестности точки [math]N[/math] (см. рис. 1.2,а). Эта окрестность получается отсечением от сферы некоторой области плоскостью, перпендикулярной лучу [math]ON[/math]. Границей этой окрестности на сфере является окружность — пересечение сферы и плоскости. На плоскости [math]C[/math] этой окружности соответствует также окружность, центр которой, очевидно, находится в точке [math]O[/math]; ее уравнение [math]|z|=R[/math]. Сферической окрестности точки [math]N[/math] будет соответствовать часть плоскости, границей которой является окружность [math]|z|=R[/math] и которая содержит бесконечно удаленную точку (образ точки [math]N[/math]), эта область — внешность круга [math]|z|>R[/math] (рис. 1.12,в).


4. Кольцо с центром в точке [math]z_0[/math], радиус внешней окружности которого [math]R[/math] и внутренней [math]r[/math], задается неравенством [math]r<|z-z_0|<R[/math] (рис. 1.12,г). Это — ограниченная, двусвязная область, граница которой состоит из двух окружностей [math]C_1\colon\,|z-z_0|=R[/math] и [math]C_2\colon |z-z_0|=r[/math].


5. Верхняя полуплоскость плоскости [math]C[/math] — множество точек, для которых [math]y>0[/math], т.е. в комплексной форме [math]\operatorname{Im}z>0[/math] (рис. 1.12,д); соответственно [math]\operatorname{Im}z<0[/math] — нижняя полуплоскость. Неравенство [math]\operatorname{Re}z>0[/math] определяет правую полуплоскость (рис. 1.12,е), [math]\operatorname{Re}z>0[/math] — левую полуплоскость. Это односвязные, неограниченные области.


Области на комплексной плоскости

Заметим, что на расширенной комплексной плоскости [math]\overline{\mathbb{C}}[/math] граница односвязной области состоит либо только из одной замкнутой кривой, либо её границей является единственная точка [math]z=\infty[/math] (область [math]\mathbb{C}[/math]), или граница не содержит ни одной точки (сама расширенная плоскость [math]\overline{\mathbb{C}}[/math]).


Замкнутая кривая на [math]\overline{\mathbb{C}}[/math] может быть неограниченной (кривая "проходит" через бесконечно удаленную точку). Например, на рис. 1.12,д границей односвязной области [math]\operatorname{Im}z>0[/math] является прямая [math]\operatorname{Im}z=0[/math], которую рассматриваем на [math]\overline{\mathbb{C}}[/math] как окружность радиуса [math]R=\infty[/math]; её образом на сфере Римана является окружность (см. замечание 1.2).




Теорема Жордана


Утверждение 1.1. Простая замкнутая непрерывная кривая разбивает расширенную комплексную плоскость на две области.


Если граница — ограниченная кривая, то области называются внутренней и внешней; внутренняя — та из двух областей, которая не содержит бесконечно удаленную точку, внешняя — другая область. Так, на рис. 1.12,в область [math]|z|>R[/math] внешность круга; а множество [math]|z|<R[/math] — внутренняя часть круга, или просто круг


Пример 1.32. Определить вид множеств, заданных соотношениями:


[math]\bold{1)}~ \begin{cases}1<|z|<3,\\ \operatorname{Im}z<0;\end{cases}\quad \bold{2)}~ \begin{cases}|z-i|<1,\\ \operatorname{Re}z>0;\end{cases}\quad \bold{3)}~ \begin{cases} \operatorname{Im}\frac{1}{z}<-\frac{1}{2},\\ |\arg z|<\frac{\pi}{2}.\end{cases}[/math]

▼ Решение

1) Искомым множеством является пересечение кольца [math]1<|z|<3[/math] и нижней полуплоскости — нижнее полукольцо (рис. 1.13,а). Это — ограниченная односвязная область.


2) Искомым множеством является пересечение круга [math]|z-i|<1[/math] и правой полуплоскости — правый полукруг (рис.1.13,6). Область ограниченная односвязная.


3) Определяем вид границы множеств — линий [math]\operatorname{Im}\frac{1}{z}=-\frac{1}{2}[/math] и [math]|\arg z|=\frac{\pi}{2}[/math]. Второе равенство определяет два луча [math]\arg z=-\frac{\pi}{2}[/math] и [math]\arg z=\frac{\pi}{2}[/math] и, следовательно, мнимую ось. Чтобы определить вид другой линии, запишем уравнение в действительной форме, производя указанные действия с [math]z=x+iy\colon[/math]


[math]\frac{1}{z}= \frac{x-iy}{x^2+y^2}= \frac{x}{x^2+y^2}+ i\,\frac{-y}{x^2+y^2}, \qquad \operatorname{Im}\frac{1}{z}=-\frac{y}{x^2+y^2}\,.[/math]

Поэтому уравнение [math]\operatorname{Im}\frac{1}{z}=-\frac{1}{2}[/math], то есть [math]x^2+y^2=2y[/math], есть уравнение окружности [math]x^2+(y-1)^2=1[/math], а неравенство [math]\operatorname{Im}\frac{1}{z}<-\frac{1}{2}[/math] — круг, который можно записав иначе [math]|z-i|<1[/math]. Ответом является та же область, что и в предыдущем пункте (рис. 1.13,б).


Множества на комплексной плоскости

Пример 1.33. Определить вид множеств, заданных неравенствами:


[math]\bold{1)}~ \operatorname{Re}z+\operatorname{Im}z>0;\qquad \bold{2)}~ |\operatorname{Re}z|<1;\qquad \bold{3)}~ \begin{cases}|\operatorname{Re}z|<1,\\ |\operatorname{Im}z|<2.\end{cases}[/math]

▼ Решение

Для выяснения вида множества в каждом случае сначала определяем вид границы:


1) границей множества является линия [math]\operatorname{Re}z+\operatorname{Im}z=0[/math], или [math]x+y=0[/math], то есть [math]x=-y[/math]. Она разбивает плоскость на две полуплоскости — верхнюю (содержит, например, точку [math]i[/math]) и нижнюю (не содержит точку [math]i[/math]). Условию задачи удовлетворяет верхняя полуплоскость (рис. 1.14,а). На рисунке указан обход границы и точки, принадлежащая множеству. Множество, очевидно, является односвязным и неограниченным;


2) граница области состоит из двух компонент — прямых [math]|\operatorname{Re}z|=1[/math], то есть [math]x=1[/math] и [math]x=-1[/math]. Условие [math]|\operatorname{Re}z|=|x|<1[/math] определяет полосу на плоскости (условию удовлетворяет, например, точка [math]z=0[/math]). На рис. 1.14,б указан обход границы. Множество является неограниченным односвязным;


3) граница области состоит из отрезков прямых [math]x=\pm1[/math] и [math]y=\pm2[/math]. Контур прямоугольника, сторонами которого являются эти отрезки, разбивает плоскость МП два множества: внутреннюю часть и внешнюю. Условию задачи удовлетворяет, например, точка [math]z=0[/math], поэтому система [math]\begin{cases}|\operatorname{Re}z|<1,\\ |\operatorname{Im}z|<2\end{cases}[/math], описывает внутреннюю часть прямоугольника (рис. 1.14,в).


Неравенства на комплексной плоскости

Пример 1.34. Записать в виде неравенств множества точек:


а) угла [math]AOB[/math]; б) сектора [math]AOB[/math], если [math]A(\sqrt{3};1),~ B(1;\sqrt{3}),~ O(0;0)[/math].


▼ Решение

Чтобы получить неравенства, определяющие эти множества, сначала составим уравнения, описывающие их границы:


а) границами множества являются лучи [math]OA[/math] и [math]OB[/math], уравнения которых i полярных координатах [math]\varphi=\varphi_1[/math] и [math]\varphi=\varphi_2[/math], где [math]\operatorname{tg}\varphi_1= \frac{y_A}{x_A}= \frac{1}{\sqrt{3}}[/math] и [math]\operatorname{tg}\varphi_2= \frac{y_B}{x_B}= \sqrt{3}[/math], то есть [math]\varphi_1=\frac{\pi}{6}[/math] и [math]\varphi_2=\frac{\pi}{3}[/math]. На комплексной плоскости уравнения этих лучей записываются в виде равенств [math]\arg z=\frac{\pi}{6}[/math] и [math]\arg z=\frac{\pi}{3}[/math]; область, ими ограниченная, — в виде неравенства [math]\frac{\pi}{6}<\arg z<\frac{\pi}{3}[/math] (рис. 1.15,д);


Записать в виде неравенств множества точек

б) сектор [math]AOB[/math] геометрически можно рассматривать как пересечение двух множеств: угла [math]AOB[/math] и круга радиуса 2 с центром в начале координат, т.е. множество точек сектора [math]AOB[/math] может быть записано системой [math]\begin{cases}|z|<2,\\ \frac{\pi}{6}<\arg z<\frac{\pi}{3}.\end{cases}[/math]. Это множество — ограниченная односвязная область (рис. 1.15,б).


Пример 1.35. Записать в виде неравенств множества, изображенные на рис. 1.16 (области заштрихованы, обход границ указан стрелками).


Примеры множеств на комплексной плоскости

▼ Решение

Как и в предыдущем примере, для каждого случая составим уравнение, описывающие границы множеств:


а) геометрически множество есть первый квадрант с разрезок (выброшенным лучом). Границами множества являются лучи [math]\arg z=0,~ \arg z=\frac{\pi}{2}[/math] и луч по биссектрисе от точки [math]A(1;1)[/math] в бесконечность. Уравнение этого луча можно писать в виде [math]\begin{cases}\arg z=\frac{\pi}{4},\\ |z|>\sqrt{2}.\end{cases}[/math].


Следовательно, множество, изображенное на рис. 1.16,а, можно описать соотношениями: [math]0<\arg z<\frac{\pi}{2},~ \arg z\ne \frac{\pi}{4}[/math] для точек [math]z[/math], у которых [math]|z|>\sqrt{2}[/math] или [math]0<\arg z<\frac{\pi}{2},~ z\notin \begin{cases}\arg z=\frac{\pi}{4},\\ |z|>\sqrt{2};\end{cases}[/math].

б) геометрически множество есть верхняя полуплоскость с разрезом по лучу от точки [math]A(0;1)[/math] в бесконечность; уравнение луча: [math]\begin{cases}\arg z=\frac{\pi}{2},\\ |z|>1. \end{cases}[/math] Следовательно, множество, изображенное на рис. 1.16,б, можно описать соотношениями [math]\operatorname{Im}z>0,~ z\notin \begin{cases}\arg z=\frac{\pi}{2},\\ |z|>1. \end{cases}[/math]


в) на рис. 1.16,в изображена верхняя полуплоскость с "выброшенным" полукругом. Точки полукруга описываются системой [math]\begin{cases}|z|<1,\\ 0<\arg z<\pi.\end{cases}[/math]

Следовательно, изображенное множество можно описать соотношениями


[math]\operatorname{Im}z>0,\qquad z\notin \begin{cases}|z|<1,\\ 0<\arg z<\pi,\end{cases}[/math] или [math]|z|>1,\\ \operatorname{Im}z>0.[/math].

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved