Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Множества на комплексной плоскости
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Множества на комплексной плоскости Содержание 1. Расположение точек 2. Кривые 3. Уравнения кривых 4. Области 5. Теорема Жордана Расположение точек на комплексной плоскости Напомним известные из анализа функций двух действительных переменных основные геометрические понятия, связанные с расположением точек на плоскости. Определения будем давать в терминах комплексной плоскости, т.е. точка $M(x,y)$ плоскости — это точка $z$ комплексной плоскости. 1. Множество точек $z$ , удаленных от заданной точки $z_0$ на расстояние, меньшее чем заданное число $\varepsilon$ , называется ε-окрестностью точки $z_0$ , будем обозначать ее $O_{\varepsilon}(z_0)$ . Используя понятие расстояния между точками плоскости $(\|z-z_0\|)$ , определение можно записать в виде соотношения: $O_{\varepsilon}(z_0)= \bigl\{z\colon\, \|z-z_0\|<\varepsilon\bigr\}.$ Очевидно, что геометрически $O_{\varepsilon}(z_0)$ — круг с центром в точке $z_0$ и радиусом $\varepsilon$ . 2. Множество точек $z$ , удовлетворяющих неравенству $0<\|z-z_0\|< \varepsilon$ , образует проколотую окрестность точки $z_0\colon\, O_{\varepsilon}(z_0) \setminus z_0$ . 3. Точка называется внутренней точкой множества, если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью, т.е. $z_0$ — внутренняя точка множества $M$ , если $z_0\in M$ и $\exists \varepsilon>0$ , что $O_{\varepsilon}(z_0)\subset M$ . 4. Множество, состоящее только из внутренних точек (множество, все точки которого являются внутренними), называется открытым. 5. Точка называется граничной точкой множества, если в любой ее окрестности есть точки, принадлежащие множеству, и точки, не принадлежащие ему, т.е. $z_0$ — граничная точка множества $M$ , если для $\forall \varepsilon>0$ существуют точки $z_1$ и $z_2$ , то $z_1\in O_{\varepsilon}(z_0),~ z_2\in O_{\varepsilon}(z_0)$ , такие. что $z_1\in M,~ z_2\notin M$ . Совокупность граничных точек множества образует границу множества. Направление обхода границы называется положительным, если область, ограниченная контуром, при обходе расположена слева. 6. Множество, содержащее все свои граничные точки (множество вместе с границей), называется замкнутым. Оно обозначается $\overline{M}$ , то есть $\overline{M}= M\cup C$ , где $C$ — граница множества $M~(C=\delta M)$ . 7. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат множеству. 8. Открытое, связное множество называется областью. Область с присоединенной границей — замкнутая обметь, $\overline{D}=D\cup C$ и $C=\delta D$ . 9. Область (множество) называется односвязной, если для любой замкнутой кривой, принадлежащей области, точки множества, границей которого является кривая, также принадлежат области. В противном случае — область многосвязная. 10. Многосвязная область называется n-связной, если ее граница состоит из $n$ компонент. Порядок $(n)$ связности многосвязной (n-связной) области определяется числом $(n)$ связных компонент границы области. На рис. 1.10 приведены геометрические примеры односвязных $(n=1)$ и многосвязных $(n=2,~ n=3)$ областей. Обход границы области указан стрелкой. 11. Множество называется ограниченным, если существует круг с центром в начале координат, содержащий это множество, т.е. $M$ ограничено, если $\exists R>0$ , что $M\subset O_{R}(0)~ \bigl(M\subset O_{R}(z_0),~ z_0=0\bigr),\quad O_{R}(0)= \{z\colon\, \|z\|<R\}.$ Кривые на комплексной плоскости На множестве действительных чисел можно обычным образом определить функцию, которая принимает на этом множестве комплексные значения: любому $t\in T,~ T\subset \mathbb{R}$ соответствует $z\in G,~z(t)$ — комплекснозначная функция действительной переменной. Например, $z(t)=it+2t,~ z(t)= \frac{2-i}{t+i},~ z(t)=\frac{i}{t-1}$ — комплекснозначные функции, первые две определены для любого $t\in\mathbb{R}$ , последняя — для любого $t\ne1$ . Для функции $z(t)$ , так же как для действительной функции действительной переменной, вводится понятие предела в точке, а на его основе — понятия непрерывности, производной, интеграла. Так как для любого значения $t$ из области определения число $z(t)$ является комплексным числом, то, записав его в алгебраической форме $z=x+iy$ , получим, что задание комплексной функции $z(t)$ действительной переменной на некотором множестве $T\subset\mathbb{R}$ равносильно заданию на этом множестве двух действительных функций $x(t)=\operatorname{Re}z(t)$ и $y(t)=\operatorname{Im}z(t)$ . Используя соответствующие определения, нетрудно убедиться в справедливости следующих утверждений и формул: 1. Для непрерывности функции $z(t)$ в точке $t_0$ необходимо и достаточно, чтобы в этой точке были непрерывны функции $x(t)=\operatorname{Re}z(t)$ и $y(t)=\operatorname{Im}z(t)$ . 2. $\lim_{t\to t_0}z(t)= \lim_{t\to t_0}x(t)+i \lim_{t\to t_0}y(t)$ . 3. $z'(t)=x'(t)+i\,y'(t),~ dz=dx+i\,dy$ . 4. $\int\limits_{a}^{b}z(t)\,dt= \int\limits_{a}^{b}x(t)\,dt+ i\int\limits_{a}^{b}y(t)\,dt$ . Уравнения кривых на комплексной плоскости Одним из способов задания кривой на плоскости является параметрическое задание: $\begin{cases}x=x(t),\\ y=y(t) \end{cases},t\in T.$ (1.18) Будем рассматривать гладкие и кусочно-гладкие кривые. Кривая называется гладкой на множестве $T$ , если функции $x(t),~y(t)$ имеют на $T$ непрерывные производные $x'(t),~ y'(t)$ . Геометрически гладкая кривая характеризуется существованием касательной к этой кривой в каждой точке, причем направление касательной изменяется непрерывно при движении точки по кривой. Кривая называется кусочно-гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких кривых. На рис. 1.11 изображены кривые, которые являются кусочно-гладкими на $(a,c)$ и гладкими на каждом из интервалов $(a,b)$ и $(b,c)$ . Из определения функции $z(t)$ , данного выше, следует, что геометрически её задание определяет кривую на плоскости (и обратно): по формуле (1.18) любому значению $t\in T$ соответствует точка $(x,y)$ , то есть число $z=x+iy$ . Следовательно, параметрическое задание кривой в форме (1.18) равносильно заданию $z(t)=x(t)+i\,y(t)$ . Равенство $z=z(t),\quad t\in T$ (1.19) называется уравнением кривой в параметрической форме. Пример 1.26. Записать в параметрической форме уравнение окружности, центр которой находится в точке $C(x_0,y_0)$ , а радиус равен $R$ . Решение Используем известные параметрические уравнения окружности: $\begin{cases}x=x_0+R\cos{t},\\ y=y_0+R\sin{t},\end{cases} t\in[0;2\pi].$ Отсюда получаем $z(t)= x(t)+i\,y(t)= x_0+R\cos{t}+i(y_0+R\sin{t})$ или $z(t)=z_0+ R(\cos{t}+i\sin{t})$ , где $z_0=x_0+i\,y_0$ — центр окружности. Используя формулу Эйлера, окончательно запишем уравнение окружности в параметрической форме: $z(t)= z_0+R\,e^{i\,t},\quad t\in[0;2\pi].$ (1.20) Заметим, что если переписать (1.20) в виде $z-z_0=R\,e^{it}$ , то получим равенство $\|z-z_0\|=R$ , которое определяет окружность как геометрическое место точек плоскости (точек $z$ ), равноудаленных (на заданное расстояние $R$ ) от заданной точки $(z_0)$ . Очевидно, уравнение (1.20) определяет гладкую кривую, что соответствует геометрическому виду этой кривой. Уравнение плоской кривой, как известно, можно также записать в виде $F(x,y)=0$ , т.е. соотношения, связывающего декартовы координаты $(x,y)$ точек, принадлежащих этой линии; в частности, $y=f(x)$ — явное задание линии. Но так как пара $(x,y)$ определяет комплексное число $z=x+iy$ , то, выразив $x$ и $y$ через $z$ , можно записать соотношение в комплексной форме. Из $z=x+iy$ и $\overline{z}=x-iy$ получаем $x=\frac{z+\overline{z}}{2}$ и $y=\frac{z-\overline{z}}{2i}$ . Поэтому равенство $F\!\left(\frac{z+\overline{z}}{2},\, \frac{z-\overline{z}}{2i}\right)=0$ (1.21) есть уравнение кривой на плоскости, записанное в комплексной форме. Используя тригонометрическую форму задания комплексного числа, можно получить и другие виды уравнений кривых на комплексной плоскости. Пример 1.27. Записать в комплексной форме уравнения: а) прямой; б) окружности. Решение а) Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид $Ax+By+C=0$ . Подставляя в это уравнение $x=\frac{z+\overline{z}}{2}$ и $y=\frac{z-\overline{z}}{2i}$ , находим $\frac{A}{2}(z+\overline{z})- i\,\frac{B}{2}(z-\overline{z})+C=0$ , или $z \left(\frac{A}{2}-i\,\frac{B}{2}\right)+ \overline{z}\left(\frac{A}{2}+ i\,\frac{B}{2}\right)+C=0$ . Введя обозначение $\frac{A}{2}+ i\,\frac{B}{2}=M$ , окончательно получим $\overline{M}z+M \overline{z}+C=0$ — уравнение прямой в комплексной форме. б) Используем уравнение окружности в общем виде $Ax^2+Ay^2+Bx+Cy+F=0$ . Подставляя в это уравнение $x=\frac{z+\overline{z}}{2},~ y=\frac{z-\overline{z}}{2i}$ и $x^2+y^2=z \overline{z}$ получаем $Az \overline{z}+ z \left(\frac{B}{2}-i\,\frac{C}{2}\right)+ \overline{z} \left(\frac{B}{2}-i\,\frac{C}{2}\right)+F=0$ , или, обозначая $M=\frac{B}{2}+i\,\frac{C}{2},~~ Az \overline{z}+ \overline{M}z+ M \overline{z}+F=0$ уравнение окружности в комплексной форме. Заметим, что при $A=0$ получаем задачу, рассмотренную в пункте "а". Замечание 1.2. Утверждение, что уравнение прямой на плоскости является частным случаем уравнения окружности на комплексной плоскости имеет более глубокий смысл: прямые как геометрический образ являются частным случаем окружности (их можно рассматривать как окружности "бесконечного" радиуса, $R=\infty$ ). Обоснование этого можно получить, используя стереографическую проекцию — геометрическое изображение комплексных чисел (множества $\overline{\mathbb{C}}$ ) точками на сфере Римана. Имеет место утверждение: окружности и прямые плоскости при стереографической проекции отображаются в окружности, причем образом окружности является окружность на сфере Римана, не проходящая через точку $N$ , а образом прямой — окружность, проходящая через $N$ . Для доказательства используем формулы связи координат точки плоскости $\mathbb{C}$ и ее образа на сфере (см. рис. 1.12,а). Если положить диаметр сферы равным единице $(ON=1)$ и ввести систему координат $(\xi,\eta,\varphi)$ , направив по лучу $ON$ ось $O\varphi$ , а плоскость $\mathbb{C}$ выбрав за плоскость $O\xi\eta$ , где ось $O\xi$ , совпадает с $Ox$ , а ось $O\eta$ — с $Oy$ , то, используя коллинеарность векторов $zN$ и $ZN$ , получим выражение координат точки $z(x,y)$ плоскости $\mathbb{C}$ через координаты ее образа $Z(\xi,\eta,\varphi)$ на сфере. Эти формулы имеют вид $x=\frac{\xi}{1-\varphi},~ y=\frac{\eta}{1-\varphi}$ . Подставляем их в уравнение окружности $Ax^2+Ay^2+Bx+Cy+D=0$ и учитывая, что точка $Z(\xi,\eta,\varphi)$ лежит на сфере, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению $\xi^2+\eta^2+\left(\varphi-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$ или $\xi^2+\eta^2+ \varphi^2=\varphi$ , после преобразований получаем уравнение плоскости $B\xi+C\eta+(A-D)\varphi+D=0$ . Следовательно, образом окружности является линия пересечения сферы этой плоскостью, т.е. окружность на сфере. При $A=0$ на плоскости имеем прямую с уравнением $Bx+Cy+D=0$ ; ее образом на сфере будет окружность $\begin{cases}B\xi+C\eta-D\varphi+D=0,\\ \xi^2+\eta^2+ \varphi^2=\varphi, \end{cases}$ проходящая через точку $N$ , так как координаты точки $N(0;0;1)$ удовлетворяют этой системе. Аналогично доказывается обратное утверждение: окружностям на сфере, не проходящим через точку $N$ , соответствуют окружности плоскости $C$ , а окружностям, проходящим через $N$ , — прямые. Пример 1.28. Записать в комплексной форме уравнения: а) координатных осей; б) биссектрисы первого и третьего координатных углов. Решение а) Для уравнения оси $Ox$ из $y=0$ и $y=\frac{z-\overline{z}}{2i}$ получаем $z-\overline{z}=0$ ; для оси $Oy$ из $x=0$ и $x=\frac{z+\overline{z}}{2}$ следует $z+\overline{z}=0$ . б) Уравнение биссектрисы $y=x$ принимает вид $\frac{z-\overline{z}}{2i}= \frac{z+\overline{z}}{2},~~ z-\overline{z}= (z+\overline{z})i$ , или $z(1-i)- \overline{z}(1+i)=0$ . Если умножить уравнение на $(1+i)$ , то его можно записать иначе: $z-\overline{z}i=0$ . Пример 1.29. Записать в комплексной форме уравнение: а) дуги окружности единичного радиуса с центром в начале координат, расположенной в первой четверти; б) биссектрисы первого координатного угла; в) отрезка $OA$ биссектрисы первого координатного угла, где $A(1,1)$ . Решение Для решения удобно использовать задание комплексного числа в тригонометрической форме, т.е. через $\|z\|$ и $\arg z$ : а) любой точке дуги соответствует число $z$ , для которого $\|z\|=1$ , а аргумент удовлетворяет условию $0\leqslant \arg z\leqslant \frac{\pi}{2}$ . Соотношения $\begin{cases}\|z\|=1,\\ 0\leqslant \arg z\leqslant \frac{\pi}{2}\end{cases}$ определяют соответствующую дугу. Полученный результат можно записать в комплексной форме: $z\overline{z}-1=0,~ \operatorname{Re}z\geqslant0,~ \operatorname{Im}z\geqslant0$ или в параметрической форме: $z=e^{it},~ 0\leqslant t\leqslant\frac{\pi}{2}$ ; б) используя результат примера 1.28, ответ можно записать в вид $\begin{cases}z-\overline{z}i=0,\\ \operatorname{Re}z\geqslant0.\end{cases}$ Более удобной является запись $\arg z=\frac{\pi}{4}$ ; в) используя результат предыдущего пункта, ответ можно записать в виде $\begin{cases}\arg z=\pi\slash 4,\\ \|z\|\leqslant \sqrt{2}.\end{cases}$ . Пример 1.30. Определить вид кривой, заданной комплексным соотношением: a) $\|z-2\|=\|z+2i\|$ ; б) $\|z+3\|=\|z-5\|$ . Решение а) Подставив $z=x+iy$ , запишем числа в алгебраической форме: $\|(x-2)+iy\|=\|x+i(y+2)\|$ . Далее по определению модуля запишем квадраты модулей полученных комплексных чисел: $(x-2)^2+y^2=x^2+(y+2)^2$ . Отсюда после преобразований имеем $y=-x$ — уравнение биссектрисы второго и четвертого координатных углов. Задачу можно решить иначе, геометрически, если воспользоваться геометрическим смыслом модуля $\|z_1-z_2\|$ как расстояния между точками. Переформулируем условие следующим образом: найти геометрическое место точек $z$ , равноудаленных от двух заданных точек 2 и –2i. Очевидно, что геометрическое место точек есть прямая, которая перпендикулярна отрезку, соединяющему заданные точки, и проходит через его середину. Такой прямой является $y=-x$ . б) Решим задачу геометрически. На оси $Ox$ отмечаем точки –3 и 5 и через середину отрезка их соединяющего (точку $x=1$ ) проводим перпендикулярную прямую; ее уравнение $x=1$ . Пример 1.31. Определить вид кривой, заданной уравнением в комплексной форме: а) $\operatorname{Im}\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$ ; б) $\operatorname{Re} \frac{1}{\overline{z}}=1$ . Решение а) Используя правило деления $\frac{1}{z}= \frac{1}{x+iy}= \frac{x-iy}{x^2+y^2}$ , находим $\operatorname{Im}\frac{1}{z}= \frac{-y}{x^2+y^2}$ . Получаем уравнение кривой в действительной форме: $\frac{-y}{x^2+y^2}= \frac{1}{2}$ , то есть $x^2+y^2+2y=0$ , или $x^2+(y+1)^2=1$ . Это уравнение окружности радиуса $R=1$ с центром в точке $C(0;-1)$ . б) Производим действия, как в предыдущем пункте: $\begin{gathered}\operatorname{Re}\frac{1}{\overline{z}}= \operatorname{Re}\frac{1}{x-iy}= \operatorname{Re}\frac{x+iy}{x^2+y^2}= \frac{x}{x^2+y^2},\\[2pt] \frac{x}{x^2+y^2}=1,\quad x^2+y^2=x,\quad \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{1}{4} .\end{gathered}$ В результате получено уравнение окружности радиуса $R=1\!\!\not{\phantom{\|}}\,2$ с центром в точке $C(1\!\!\not{\phantom{\|}}\,2;0)$ . Области на комплексной плоскости Будем рассматривать области, границы которых состоят из конечного числа кусочно-гладких кривых, в частности простых кривых, т.е. не имеющих точек самопересечения, а также отдельных изолированных точек. Приведем аналитические выражения для областей простейшего вида, границами которых являются простейшие линии — прямые, окружности. 1. Круг радиуса $R$ с центром в точке $z_0$ задается неравенством $\|z-z_0\|<R$ . Это — открытое, связное множество, т.е. область. Область — ограниченная, односвязная; ее границей является окружность $\|z-z_0\|=R$ (рис. 1.12,а). В частности, круг $\|z-z_0\|<\varepsilon$ есть окрестность точки $z_0\colon\, O_{\varepsilon}(z_0)$ . Заметим, что неравенство $\|z-z_0\|\leqslant R$ определяет замкнутую область, т.е. область вместе с границей. 2. Проколотая окрестность точки $z_0\colon\, O_{\varepsilon}(z_0)\setminus z_0$ — круг с выброшенным центром задается неравенством $0<\|z-z_0\|<\varepsilon$ . Это двусвязная, ограниченная область, граница которой состоит из двух компонент — окружности $\|z-z_0\|=\varepsilon$ и точки $z_0$ (рис. 1.12,б). 3. Окрестность бесконечно удаленной точки определяется как множество точек плоскости $C$ , образами которых на сфере Римана являются точки, принадлежащие окрестности точки $N$ (см. рис. 1.12,а). Эта окрестность получается отсечением от сферы некоторой области плоскостью, перпендикулярной лучу $ON$ . Границей этой окрестности на сфере является окружность — пересечение сферы и плоскости. На плоскости $C$ этой окружности соответствует также окружность, центр которой, очевидно, находится в точке $O$ ; ее уравнение $\|z\|=R$ . Сферической окрестности точки $N$ будет соответствовать часть плоскости, границей которой является окружность $\|z\|=R$ и которая содержит бесконечно удаленную точку (образ точки $N$ ), эта область — внешность круга $\|z\|>R$ (рис. 1.12,в). 4. Кольцо с центром в точке $z_0$ , радиус внешней окружности которого $R$ и внутренней $r$ , задается неравенством $r<\|z-z_0\|<R$ (рис. 1.12,г). Это — ограниченная, двусвязная область, граница которой состоит из двух окружностей $C_1\colon\,\|z-z_0\|=R$ и $C_2\colon \|z-z_0\|=r$ . 5. Верхняя полуплоскость плоскости $C$ — множество точек, для которых $y>0$ , т.е. в комплексной форме $\operatorname{Im}z>0$ (рис. 1.12,д); соответственно $\operatorname{Im}z<0$ — нижняя полуплоскость. Неравенство $\operatorname{Re}z>0$ определяет правую полуплоскость (рис. 1.12,е), $\operatorname{Re}z<0$ — левую полуплоскость. Это односвязные, неограниченные области. Заметим, что на расширенной комплексной плоскости $\overline{\mathbb{C}}$ граница односвязной области состоит либо только из одной замкнутой кривой, либо её границей является единственная точка $z=\infty$ (область $\mathbb{C}$ ), или граница не содержит ни одной точки (сама расширенная плоскость $\overline{\mathbb{C}}$ ). Замкнутая кривая на $\overline{\mathbb{C}}$ может быть неограниченной (кривая "проходит" через бесконечно удаленную точку). Например, на рис. 1.12,д границей односвязной области $\operatorname{Im}z>0$ является прямая $\operatorname{Im}z=0$ , которую рассматриваем на $\overline{\mathbb{C}}$ как окружность радиуса $R=\infty$ ; её образом на сфере Римана является окружность (см. замечание 1.2). Теорема Жордана Утверждение 1.1. Простая замкнутая непрерывная кривая разбивает расширенную комплексную плоскость на две области. Если граница — ограниченная кривая, то области называются внутренней и внешней; внутренняя — та из двух областей, которая не содержит бесконечно удаленную точку, внешняя — другая область. Так, на рис. 1.12,в область $\|z\|>R$ внешность круга; а множество $\|z\|<R$ — внутренняя часть круга, или просто круг Пример 1.32. Определить вид множеств, заданных соотношениями: $\bold{1)}~ \begin{cases}1<\|z\|<3,\\ \operatorname{Im}z<0;\end{cases}\quad \bold{2)}~ \begin{cases}\|z-i\|<1,\\ \operatorname{Re}z>0;\end{cases}\quad \bold{3)}~ \begin{cases} \operatorname{Im}\frac{1}{z}<-\frac{1}{2},\\ \|\arg z\|<\frac{\pi}{2}.\end{cases}$ Решение 1) Искомым множеством является пересечение кольца $1<\|z\|<3$ и нижней полуплоскости — нижнее полукольцо (рис. 1.13,а). Это — ограниченная односвязная область. 2) Искомым множеством является пересечение круга $\|z-i\|<1$ и правой полуплоскости — правый полукруг (рис.1.13,б). Область ограниченная односвязная. 3) Определяем вид границы множеств — линий $\operatorname{Im}\frac{1}{z}=-\frac{1}{2}$ и $\|\arg z\|=\frac{\pi}{2}$ . Второе равенство определяет два луча $\arg z=-\frac{\pi}{2}$ и $\arg z=\frac{\pi}{2}$ и, следовательно, мнимую ось. Чтобы определить вид другой линии, запишем уравнение в действительной форме, производя указанные действия с $z=x+iy\colon$ $\frac{1}{z}= \frac{x-iy}{x^2+y^2}= \frac{x}{x^2+y^2}+ i\,\frac{-y}{x^2+y^2}, \qquad \operatorname{Im}\frac{1}{z}=-\frac{y}{x^2+y^2}\,.$ Поэтому уравнение $\operatorname{Im}\frac{1}{z}=-\frac{1}{2}$ , то есть $x^2+y^2=2y$ , есть уравнение окружности $x^2+(y-1)^2=1$ , а неравенство $\operatorname{Im}\frac{1}{z}<-\frac{1}{2}$ — круг, который можно записав иначе $\|z-i\|<1$ . Ответом является та же область, что и в предыдущем пункте (рис. 1.13,б). Пример 1.33. Определить вид множеств, заданных неравенствами: $\bold{1)}~ \operatorname{Re}z+\operatorname{Im}z>0;\qquad \bold{2)}~ \|\operatorname{Re}z\|<1;\qquad \bold{3)}~ \begin{cases}\|\operatorname{Re}z\|<1,\\ \|\operatorname{Im}z\|<2.\end{cases}$ Решение Для выяснения вида множества в каждом случае сначала определяем вид границы: 1) границей множества является линия $\operatorname{Re}z+\operatorname{Im}z=0$ , или $x+y=0$ , то есть $x=-y$ . Она разбивает плоскость на две полуплоскости — верхнюю (содержит, например, точку $i$ ) и нижнюю (не содержит точку $i$ ). Условию задачи удовлетворяет верхняя полуплоскость (рис. 1.14,а). На рисунке указан обход границы и точки, принадлежащая множеству. Множество, очевидно, является односвязным и неограниченным; 2) граница области состоит из двух компонент — прямых $\|\operatorname{Re}z\|=1$ , то есть $x=1$ и $x=-1$ . Условие $\|\operatorname{Re}z\|=\|x\|<1$ определяет полосу на плоскости (условию удовлетворяет, например, точка $z=0$ ). На рис. 1.14,б указан обход границы. Множество является неограниченным односвязным; 3) граница области состоит из отрезков прямых $x=\pm1$ и $y=\pm2$ . Контур прямоугольника, сторонами которого являются эти отрезки, разбивает плоскость МП два множества: внутреннюю часть и внешнюю. Условию задачи удовлетворяет, например, точка $z=0$ , поэтому система $\begin{cases}\|\operatorname{Re}z\|<1,\\ \|\operatorname{Im}z\|<2\end{cases}$ , описывает внутреннюю часть прямоугольника (рис. 1.14,в). Пример 1.34. Записать в виде неравенств множества точек: а) угла $AOB$ ; б) сектора $AOB$ , если $A(\sqrt{3};1),~ B(1;\sqrt{3}),~ O(0;0)$ . Решение Чтобы получить неравенства, определяющие эти множества, сначала составим уравнения, описывающие их границы: а) границами множества являются лучи $OA$ и $OB$ , уравнения которых i полярных координатах $\varphi=\varphi_1$ и $\varphi=\varphi_2$ , где $\operatorname{tg}\varphi_1= \frac{y_A}{x_A}= \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\operatorname{tg}\varphi_2= \frac{y_B}{x_B}= \sqrt{3}$ , то есть $\varphi_1=\frac{\pi}{6}$ и $\varphi_2=\frac{\pi}{3}$ . На комплексной плоскости уравнения этих лучей записываются в виде равенств $\arg z=\frac{\pi}{6}$ и $\arg z=\frac{\pi}{3}$ ; область, ими ограниченная, — в виде неравенства $\frac{\pi}{6}<\arg z<\frac{\pi}{3}$ (рис. 1.15,д); б) сектор $AOB$ геометрически можно рассматривать как пересечение двух множеств: угла $AOB$ и круга радиуса 2 с центром в начале координат, т.е. множество точек сектора $AOB$ может быть записано системой $\begin{cases}\|z\|<2,\\ \frac{\pi}{6}<\arg z<\frac{\pi}{3}.\end{cases}$ . Это множество — ограниченная односвязная область (рис. 1.15,б). Пример 1.35. Записать в виде неравенств множества, изображенные на рис. 1.16 (области заштрихованы, обход границ указан стрелками). Решение Как и в предыдущем примере, для каждого случая составим уравнение, описывающие границы множеств: а) геометрически множество есть первый квадрант с разрезок (выброшенным лучом). Границами множества являются лучи $\arg z=0,~ \arg z=\frac{\pi}{2}$ и луч по биссектрисе от точки $A(1;1)$ в бесконечность. Уравнение этого луча можно писать в виде $\begin{cases}\arg z=\frac{\pi}{4},\\ \|z\|>\sqrt{2}.\end{cases}$ . Следовательно, множество, изображенное на рис. 1.16,а, можно описать соотношениями: $0<\arg z<\frac{\pi}{2},~ \arg z\ne \frac{\pi}{4}$ для точек $z$ , у которых $\|z\|>\sqrt{2}$ или $0<\arg z<\frac{\pi}{2},~ z\notin \begin{cases}\arg z=\frac{\pi}{4},\\ \|z\|>\sqrt{2};\end{cases}$ . б) геометрически множество есть верхняя полуплоскость с разрезом по лучу от точки $A(0;1)$ в бесконечность; уравнение луча: $\begin{cases}\arg z=\frac{\pi}{2},\\ \|z\|>1. \end{cases}$ Следовательно, множество, изображенное на рис. 1.16,б, можно описать соотношениями $\operatorname{Im}z>0,~ z\notin \begin{cases}\arg z=\frac{\pi}{2},\\ \|z\|>1. \end{cases}$ в) на рис. 1.16,в изображена верхняя полуплоскость с "выброшенным" полукругом. Точки полукруга описываются системой $\begin{cases}\|z\|<1,\\ 0<\arg z<\pi.\end{cases}$ Следовательно, изображенное множество можно описать соотношениями $\operatorname{Im}z>0,\qquad z\notin \begin{cases}\|z\|<1,\\ 0<\arg z<\pi,\end{cases}$ или $\begin{cases}\|z\|>1,\\ \operatorname{Im}z>0.\end{cases}$ . Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Множества на комплексной плоскости

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Множества на комплексной плоскости

Расположение точек на комплексной плоскости

Напомним известные из анализа функций двух действительных переменных основные геометрические понятия, связанные с расположением точек на плоскости. Определения будем давать в терминах комплексной плоскости, т.е. точка $M(x,y)$ плоскости — это точка $z$ комплексной плоскости.

1. Множество точек $z$ , удаленных от заданной точки $z_0$ на расстояние, меньшее чем заданное число $\varepsilon$ , называется ε-окрестностью точки $z_0$ , будем обозначать ее $O_{\varepsilon}(z_0)$ . Используя понятие расстояния между точками плоскости $(|z-z_0|)$ , определение можно записать в виде соотношения:

$O_{\varepsilon}(z_0)= \bigl\{z\colon\, |z-z_0|<\varepsilon\bigr\}.$

Очевидно, что геометрически $O_{\varepsilon}(z_0)$ — круг с центром в точке $z_0$ и радиусом $\varepsilon$ .

2. Множество точек $z$ , удовлетворяющих неравенству $0<|z-z_0|< \varepsilon$ , образует проколотую окрестность точки $z_0\colon\, O_{\varepsilon}(z_0) \setminus z_0$ .

3. Точка называется внутренней точкой множества, если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью, т.е. $z_0$ — внутренняя точка множества $M$ , если $z_0\in M$ и $\exists \varepsilon>0$ , что $O_{\varepsilon}(z_0)\subset M$ .

4. Множество, состоящее только из внутренних точек (множество, все точки которого являются внутренними), называется открытым.

5. Точка называется граничной точкой множества, если в любой ее окрестности есть точки, принадлежащие множеству, и точки, не принадлежащие ему, т.е. $z_0$ — граничная точка множества $M$ , если для $\forall \varepsilon>0$ существуют точки $z_1$ и $z_2$ , то $z_1\in O_{\varepsilon}(z_0),~ z_2\in O_{\varepsilon}(z_0)$ , такие. что $z_1\in M,~ z_2\notin M$ .

Совокупность граничных точек множества образует границу множества.

Направление обхода границы называется положительным, если область, ограниченная контуром, при обходе расположена слева.

6. Множество, содержащее все свои граничные точки (множество вместе с границей), называется замкнутым. Оно обозначается $\overline{M}$ , то есть $\overline{M}= M\cup C$ , где $C$ — граница множества $M~(C=\delta M)$ .

7. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат множеству.

8. Открытое, связное множество называется областью. Область с присоединенной границей — замкнутая обметь, $\overline{D}=D\cup C$ и $C=\delta D$ .

9. Область (множество) называется односвязной, если для любой замкнутой кривой, принадлежащей области, точки множества, границей которого является кривая, также принадлежат области. В противном случае — область многосвязная.

10. Многосвязная область называется n-связной, если ее граница состоит из $n$ компонент. Порядок $(n)$ связности многосвязной (n-связной) области определяется числом $(n)$ связных компонент границы области.

На рис. 1.10 приведены геометрические примеры односвязных $(n=1)$ и многосвязных $(n=2,~ n=3)$ областей. Обход границы области указан стрелкой.

11. Множество называется ограниченным, если существует круг с центром в начале координат, содержащий это множество, т.е. $M$ ограничено, если $\exists R>0$ , что

$M\subset O_{R}(0)~ \bigl(M\subset O_{R}(z_0),~ z_0=0\bigr),\quad O_{R}(0)= \{z\colon\, |z|<R\}.$

Геометрические примеры односвязных и многосвязных областей

Кривые на комплексной плоскости

На множестве действительных чисел можно обычным образом определить функцию, которая принимает на этом множестве комплексные значения: любому $t\in T,~ T\subset \mathbb{R}$ соответствует $z\in G,~z(t)$ — комплекснозначная функция действительной переменной.

Например, $z(t)=it+2t,~ z(t)= \frac{2-i}{t+i},~ z(t)=\frac{i}{t-1}$ — комплекснозначные функции, первые две определены для любого $t\in\mathbb{R}$ , последняя — для любого $t\ne1$ .

Для функции $z(t)$ , так же как для действительной функции действительной переменной, вводится понятие предела в точке, а на его основе — понятия непрерывности, производной, интеграла.

Так как для любого значения $t$ из области определения число $z(t)$ является комплексным числом, то, записав его в алгебраической форме $z=x+iy$ , получим, что задание комплексной функции $z(t)$ действительной переменной на некотором множестве $T\subset\mathbb{R}$ равносильно заданию на этом множестве двух действительных функций $x(t)=\operatorname{Re}z(t)$ и $y(t)=\operatorname{Im}z(t)$ .

Используя соответствующие определения, нетрудно убедиться в справедливости следующих утверждений и формул:

1. Для непрерывности функции $z(t)$ в точке $t_0$ необходимо и достаточно, чтобы в этой точке были непрерывны функции $x(t)=\operatorname{Re}z(t)$ и $y(t)=\operatorname{Im}z(t)$ .

2. $\lim_{t\to t_0}z(t)= \lim_{t\to t_0}x(t)+i \lim_{t\to t_0}y(t)$ .

3. $z'(t)=x'(t)+i\,y'(t),~ dz=dx+i\,dy$ .

4. $\int\limits_{a}^{b}z(t)\,dt= \int\limits_{a}^{b}x(t)\,dt+ i\int\limits_{a}^{b}y(t)\,dt$ .

Уравнения кривых на комплексной плоскости

Одним из способов задания кривой на плоскости является параметрическое задание:

$\begin{cases}x=x(t),\\ y=y(t) \end{cases},t\in T.$

(1.18)

Будем рассматривать гладкие и кусочно-гладкие кривые.

Кривая называется гладкой на множестве $T$ , если функции $x(t),~y(t)$ имеют на $T$ непрерывные производные $x'(t),~ y'(t)$ . Геометрически гладкая кривая характеризуется существованием касательной к этой кривой в каждой точке, причем направление касательной изменяется непрерывно при движении точки по кривой.

Кривая называется кусочно-гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких кривых.

На рис. 1.11 изображены кривые, которые являются кусочно-гладкими на $(a,c)$ и гладкими на каждом из интервалов $(a,b)$ и $(b,c)$ .

Из определения функции $z(t)$ , данного выше, следует, что геометрически её задание определяет кривую на плоскости (и обратно): по формуле (1.18) любому значению $t\in T$ соответствует точка $(x,y)$ , то есть число $z=x+iy$ .

Следовательно, параметрическое задание кривой в форме (1.18) равносильно заданию $z(t)=x(t)+i\,y(t)$ . Равенство

$z=z(t),\quad t\in T$

(1.19)

называется уравнением кривой в параметрической форме.

Пример 1.26. Записать в параметрической форме уравнение окружности, центр которой находится в точке $C(x_0,y_0)$ , а радиус равен $R$ .

Решение

Используем известные параметрические уравнения окружности:

$\begin{cases}x=x_0+R\cos{t},\\ y=y_0+R\sin{t},\end{cases} t\in[0;2\pi].$

Отсюда получаем $z(t)= x(t)+i\,y(t)= x_0+R\cos{t}+i(y_0+R\sin{t})$ или $z(t)=z_0+ R(\cos{t}+i\sin{t})$ , где $z_0=x_0+i\,y_0$ — центр окружности. Используя формулу Эйлера, окончательно запишем уравнение окружности в параметрической форме:

$z(t)= z_0+R\,e^{i\,t},\quad t\in[0;2\pi].$

(1.20)

Заметим, что если переписать (1.20) в виде $z-z_0=R\,e^{it}$ , то получим равенство $|z-z_0|=R$ , которое определяет окружность как геометрическое место точек плоскости (точек $z$ ), равноудаленных (на заданное расстояние $R$ ) от заданной точки $(z_0)$ . Очевидно, уравнение (1.20) определяет гладкую кривую, что соответствует геометрическому виду этой кривой.

Уравнение плоской кривой, как известно, можно также записать в виде $F(x,y)=0$ , т.е. соотношения, связывающего декартовы координаты $(x,y)$ точек, принадлежащих этой линии; в частности, $y=f(x)$ — явное задание линии. Но так как пара $(x,y)$ определяет комплексное число $z=x+iy$ , то, выразив $x$ и $y$ через $z$ , можно записать соотношение в комплексной форме. Из $z=x+iy$ и $\overline{z}=x-iy$ получаем $x=\frac{z+\overline{z}}{2}$ и $y=\frac{z-\overline{z}}{2i}$ . Поэтому равенство

$F\!\left(\frac{z+\overline{z}}{2},\, \frac{z-\overline{z}}{2i}\right)=0$

(1.21)

есть уравнение кривой на плоскости, записанное в комплексной форме. Используя тригонометрическую форму задания комплексного числа, можно получить и другие виды уравнений кривых на комплексной плоскости.

Пример 1.27. Записать в комплексной форме уравнения: а) прямой; б) окружности.

Решение

а) Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид $Ax+By+C=0$ . Подставляя в это уравнение $x=\frac{z+\overline{z}}{2}$ и $y=\frac{z-\overline{z}}{2i}$ , находим

$\frac{A}{2}(z+\overline{z})- i\,\frac{B}{2}(z-\overline{z})+C=0$ , или $z \left(\frac{A}{2}-i\,\frac{B}{2}\right)+ \overline{z}\left(\frac{A}{2}+ i\,\frac{B}{2}\right)+C=0$ .

Введя обозначение $\frac{A}{2}+ i\,\frac{B}{2}=M$ , окончательно получим $\overline{M}z+M \overline{z}+C=0$ — уравнение прямой в комплексной форме.

б) Используем уравнение окружности в общем виде $Ax^2+Ay^2+Bx+Cy+F=0$ . Подставляя в это уравнение $x=\frac{z+\overline{z}}{2},~ y=\frac{z-\overline{z}}{2i}$ и $x^2+y^2=z \overline{z}$ получаем

$Az \overline{z}+ z \left(\frac{B}{2}-i\,\frac{C}{2}\right)+ \overline{z} \left(\frac{B}{2}-i\,\frac{C}{2}\right)+F=0$ , или, обозначая $M=\frac{B}{2}+i\,\frac{C}{2},~~ Az \overline{z}+ \overline{M}z+ M \overline{z}+F=0$

уравнение окружности в комплексной форме. Заметим, что при $A=0$ получаем задачу, рассмотренную в пункте "а".

Замечание 1.2. Утверждение, что уравнение прямой на плоскости является частным случаем уравнения окружности на комплексной плоскости имеет более глубокий смысл: прямые как геометрический образ являются частным случаем окружности (их можно рассматривать как окружности "бесконечного" радиуса, $R=\infty$ ). Обоснование этого можно получить, используя стереографическую проекцию — геометрическое изображение комплексных чисел (множества $\overline{\mathbb{C}}$ ) точками на сфере Римана.

Имеет место утверждение: окружности и прямые плоскости при стереографической проекции отображаются в окружности, причем образом окружности является окружность на сфере Римана, не проходящая через точку $N$ , а образом прямой — окружность, проходящая через $N$ .

Для доказательства используем формулы связи координат точки плоскости $\mathbb{C}$ и ее образа на сфере (см. рис. 1.12,а).

Если положить диаметр сферы равным единице $(ON=1)$ и ввести систему координат $(\xi,\eta,\varphi)$ , направив по лучу $ON$ ось $O\varphi$ , а плоскость $\mathbb{C}$ выбрав за плоскость $O\xi\eta$ , где ось $O\xi$ , совпадает с $Ox$ , а ось $O\eta$ — с $Oy$ , то, используя коллинеарность векторов $zN$ и $ZN$ , получим выражение координат точки $z(x,y)$ плоскости $\mathbb{C}$ через координаты ее образа $Z(\xi,\eta,\varphi)$ на сфере. Эти формулы имеют вид $x=\frac{\xi}{1-\varphi},~ y=\frac{\eta}{1-\varphi}$ .

Подставляем их в уравнение окружности $Ax^2+Ay^2+Bx+Cy+D=0$ и учитывая, что точка $Z(\xi,\eta,\varphi)$ лежит на сфере, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению $\xi^2+\eta^2+\left(\varphi-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$ или $\xi^2+\eta^2+ \varphi^2=\varphi$ , после преобразований получаем уравнение плоскости $B\xi+C\eta+(A-D)\varphi+D=0$ . Следовательно, образом окружности является линия пересечения сферы этой плоскостью, т.е. окружность на сфере. При $A=0$ на плоскости имеем прямую с уравнением $Bx+Cy+D=0$ ; ее образом на сфере будет окружность

$\begin{cases}B\xi+C\eta-D\varphi+D=0,\\ \xi^2+\eta^2+ \varphi^2=\varphi, \end{cases}$

проходящая через точку $N$ , так как координаты точки $N(0;0;1)$ удовлетворяют этой системе.

Аналогично доказывается обратное утверждение: окружностям на сфере, не проходящим через точку $N$ , соответствуют окружности плоскости $C$ , а окружностям, проходящим через $N$ , — прямые.

Пример 1.28. Записать в комплексной форме уравнения: а) координатных осей; б) биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Решение

а) Для уравнения оси $Ox$ из $y=0$ и $y=\frac{z-\overline{z}}{2i}$ получаем $z-\overline{z}=0$ ; для оси $Oy$ из $x=0$ и $x=\frac{z+\overline{z}}{2}$ следует $z+\overline{z}=0$ .

б) Уравнение биссектрисы $y=x$ принимает вид $\frac{z-\overline{z}}{2i}= \frac{z+\overline{z}}{2},~~ z-\overline{z}= (z+\overline{z})i$ , или $z(1-i)- \overline{z}(1+i)=0$ .

Если умножить уравнение на $(1+i)$ , то его можно записать иначе: $z-\overline{z}i=0$ .

Пример 1.29. Записать в комплексной форме уравнение:

а) дуги окружности единичного радиуса с центром в начале координат, расположенной в первой четверти;
б) биссектрисы первого координатного угла;
в) отрезка $OA$ биссектрисы первого координатного угла, где $A(1,1)$ .

Решение

Для решения удобно использовать задание комплексного числа в тригонометрической форме, т.е. через $|z|$ и $\arg z$ :

а) любой точке дуги соответствует число $z$ , для которого $|z|=1$ , а аргумент удовлетворяет условию $0\leqslant \arg z\leqslant \frac{\pi}{2}$ . Соотношения $\begin{cases}|z|=1,\\ 0\leqslant \arg z\leqslant \frac{\pi}{2}\end{cases}$ определяют соответствующую дугу. Полученный результат можно записать в комплексной форме: $z\overline{z}-1=0,~ \operatorname{Re}z\geqslant0,~ \operatorname{Im}z\geqslant0$ или в параметрической форме: $z=e^{it},~ 0\leqslant t\leqslant\frac{\pi}{2}$ ;

б) используя результат примера 1.28, ответ можно записать в вид $\begin{cases}z-\overline{z}i=0,\\ \operatorname{Re}z\geqslant0.\end{cases}$ Более удобной является запись $\arg z=\frac{\pi}{4}$ ;

в) используя результат предыдущего пункта, ответ можно записать в виде $\begin{cases}\arg z=\pi\slash 4,\\ |z|\leqslant \sqrt{2}.\end{cases}$ .

Пример 1.30. Определить вид кривой, заданной комплексным соотношением: a) $|z-2|=|z+2i|$ ; б) $|z+3|=|z-5|$ .

Решение

а) Подставив $z=x+iy$ , запишем числа в алгебраической форме: $|(x-2)+iy|=|x+i(y+2)|$ . Далее по определению модуля запишем квадраты модулей полученных комплексных чисел: $(x-2)^2+y^2=x^2+(y+2)^2$ . Отсюда после преобразований имеем $y=-x$ — уравнение биссектрисы второго и четвертого координатных углов. Задачу можно решить иначе, геометрически, если воспользоваться геометрическим смыслом модуля $|z_1-z_2|$ как расстояния между точками. Переформулируем условие следующим образом: найти геометрическое место точек $z$ , равноудаленных от двух заданных точек 2 и –2i. Очевидно, что геометрическое место точек есть прямая, которая перпендикулярна отрезку, соединяющему заданные точки, и проходит через его середину. Такой прямой является $y=-x$ .

б) Решим задачу геометрически. На оси $Ox$ отмечаем точки –3 и 5 и через середину отрезка их соединяющего (точку $x=1$ ) проводим перпендикулярную прямую; ее уравнение $x=1$ .

Пример 1.31. Определить вид кривой, заданной уравнением в комплексной форме:

а) $\operatorname{Im}\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$ ; б) $\operatorname{Re} \frac{1}{\overline{z}}=1$ .

Решение

а) Используя правило деления $\frac{1}{z}= \frac{1}{x+iy}= \frac{x-iy}{x^2+y^2}$ , находим $\operatorname{Im}\frac{1}{z}= \frac{-y}{x^2+y^2}$ . Получаем уравнение кривой в действительной форме:

$\frac{-y}{x^2+y^2}= \frac{1}{2}$ , то есть $x^2+y^2+2y=0$ , или $x^2+(y+1)^2=1$ .

Это уравнение окружности радиуса $R=1$ с центром в точке $C(0;-1)$ .

б) Производим действия, как в предыдущем пункте:

$\begin{gathered}\operatorname{Re}\frac{1}{\overline{z}}= \operatorname{Re}\frac{1}{x-iy}= \operatorname{Re}\frac{x+iy}{x^2+y^2}= \frac{x}{x^2+y^2},\\[2pt] \frac{x}{x^2+y^2}=1,\quad x^2+y^2=x,\quad \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{1}{4} .\end{gathered}$

В результате получено уравнение окружности радиуса $R=1\!\!\not{\phantom{|}}\,2$ с центром в точке $C(1\!\!\not{\phantom{|}}\,2;0)$ .

Области на комплексной плоскости

Будем рассматривать области, границы которых состоят из конечного числа кусочно-гладких кривых, в частности простых кривых, т.е. не имеющих точек самопересечения, а также отдельных изолированных точек.

Приведем аналитические выражения для областей простейшего вида, границами которых являются простейшие линии — прямые, окружности.

1. Круг радиуса $R$ с центром в точке $z_0$ задается неравенством $|z-z_0|<R$ . Это — открытое, связное множество, т.е. область. Область — ограниченная, односвязная; ее границей является окружность $|z-z_0|=R$ (рис. 1.12,а). В частности, круг $|z-z_0|<\varepsilon$ есть окрестность точки $z_0\colon\, O_{\varepsilon}(z_0)$ . Заметим, что неравенство $|z-z_0|\leqslant R$ определяет замкнутую область, т.е. область вместе с границей.

2. Проколотая окрестность точки $z_0\colon\, O_{\varepsilon}(z_0)\setminus z_0$ — круг с выброшенным центром задается неравенством $0<|z-z_0|<\varepsilon$ . Это двусвязная, ограниченная область, граница которой состоит из двух компонент — окружности $|z-z_0|=\varepsilon$ и точки $z_0$ (рис. 1.12,б).

3. Окрестность бесконечно удаленной точки определяется как множество точек плоскости $C$ , образами которых на сфере Римана являются точки, принадлежащие окрестности точки $N$ (см. рис. 1.12,а). Эта окрестность получается отсечением от сферы некоторой области плоскостью, перпендикулярной лучу $ON$ . Границей этой окрестности на сфере является окружность — пересечение сферы и плоскости. На плоскости $C$ этой окружности соответствует также окружность, центр которой, очевидно, находится в точке $O$ ; ее уравнение $|z|=R$ . Сферической окрестности точки $N$ будет соответствовать часть плоскости, границей которой является окружность $|z|=R$ и которая содержит бесконечно удаленную точку (образ точки $N$ ), эта область — внешность круга $|z|>R$ (рис. 1.12,в).

4. Кольцо с центром в точке $z_0$ , радиус внешней окружности которого $R$ и внутренней $r$ , задается неравенством $r<|z-z_0|<R$ (рис. 1.12,г). Это — ограниченная, двусвязная область, граница которой состоит из двух окружностей $C_1\colon\,|z-z_0|=R$ и $C_2\colon |z-z_0|=r$ .

5. Верхняя полуплоскость плоскости $C$ — множество точек, для которых $y>0$ , т.е. в комплексной форме $\operatorname{Im}z>0$ (рис. 1.12,д); соответственно $\operatorname{Im}z<0$ — нижняя полуплоскость. Неравенство $\operatorname{Re}z>0$ определяет правую полуплоскость (рис. 1.12,е), $\operatorname{Re}z<0$ — левую полуплоскость. Это односвязные, неограниченные области.

Заметим, что на расширенной комплексной плоскости $\overline{\mathbb{C}}$ граница односвязной области состоит либо только из одной замкнутой кривой, либо её границей является единственная точка $z=\infty$ (область $\mathbb{C}$ ), или граница не содержит ни одной точки (сама расширенная плоскость $\overline{\mathbb{C}}$ ).

Замкнутая кривая на $\overline{\mathbb{C}}$ может быть неограниченной (кривая "проходит" через бесконечно удаленную точку). Например, на рис. 1.12,д границей односвязной области $\operatorname{Im}z>0$ является прямая $\operatorname{Im}z=0$ , которую рассматриваем на $\overline{\mathbb{C}}$ как окружность радиуса $R=\infty$ ; её образом на сфере Римана является окружность (см. замечание 1.2).

Теорема Жордана

Утверждение 1.1. Простая замкнутая непрерывная кривая разбивает расширенную комплексную плоскость на две области.

Если граница — ограниченная кривая, то области называются внутренней и внешней; внутренняя — та из двух областей, которая не содержит бесконечно удаленную точку, внешняя — другая область. Так, на рис. 1.12,в область $|z|>R$ внешность круга; а множество $|z|<R$ — внутренняя часть круга, или просто круг

Пример 1.32. Определить вид множеств, заданных соотношениями:

$\bold{1)}~ \begin{cases}1<|z|<3,\\ \operatorname{Im}z<0;\end{cases}\quad \bold{2)}~ \begin{cases}|z-i|<1,\\ \operatorname{Re}z>0;\end{cases}\quad \bold{3)}~ \begin{cases} \operatorname{Im}\frac{1}{z}<-\frac{1}{2},\\ |\arg z|<\frac{\pi}{2}.\end{cases}$

Решение

1) Искомым множеством является пересечение кольца $1<|z|<3$ и нижней полуплоскости — нижнее полукольцо (рис. 1.13,а). Это — ограниченная односвязная область.

2) Искомым множеством является пересечение круга $|z-i|<1$ и правой полуплоскости — правый полукруг (рис.1.13,б). Область ограниченная односвязная.

3) Определяем вид границы множеств — линий $\operatorname{Im}\frac{1}{z}=-\frac{1}{2}$ и $|\arg z|=\frac{\pi}{2}$ . Второе равенство определяет два луча $\arg z=-\frac{\pi}{2}$ и $\arg z=\frac{\pi}{2}$ и, следовательно, мнимую ось. Чтобы определить вид другой линии, запишем уравнение в действительной форме, производя указанные действия с $z=x+iy\colon$

$\frac{1}{z}= \frac{x-iy}{x^2+y^2}= \frac{x}{x^2+y^2}+ i\,\frac{-y}{x^2+y^2}, \qquad \operatorname{Im}\frac{1}{z}=-\frac{y}{x^2+y^2}\,.$

Поэтому уравнение $\operatorname{Im}\frac{1}{z}=-\frac{1}{2}$ , то есть $x^2+y^2=2y$ , есть уравнение окружности $x^2+(y-1)^2=1$ , а неравенство $\operatorname{Im}\frac{1}{z}<-\frac{1}{2}$ — круг, который можно записав иначе $|z-i|<1$ . Ответом является та же область, что и в предыдущем пункте (рис. 1.13,б).

Пример 1.33. Определить вид множеств, заданных неравенствами:

$\bold{1)}~ \operatorname{Re}z+\operatorname{Im}z>0;\qquad \bold{2)}~ |\operatorname{Re}z|<1;\qquad \bold{3)}~ \begin{cases}|\operatorname{Re}z|<1,\\ |\operatorname{Im}z|<2.\end{cases}$

Решение

Для выяснения вида множества в каждом случае сначала определяем вид границы:

1) границей множества является линия $\operatorname{Re}z+\operatorname{Im}z=0$ , или $x+y=0$ , то есть $x=-y$ . Она разбивает плоскость на две полуплоскости — верхнюю (содержит, например, точку $i$ ) и нижнюю (не содержит точку $i$ ). Условию задачи удовлетворяет верхняя полуплоскость (рис. 1.14,а). На рисунке указан обход границы и точки, принадлежащая множеству. Множество, очевидно, является односвязным и неограниченным;

2) граница области состоит из двух компонент — прямых $|\operatorname{Re}z|=1$ , то есть $x=1$ и $x=-1$ . Условие $|\operatorname{Re}z|=|x|<1$ определяет полосу на плоскости (условию удовлетворяет, например, точка $z=0$ ). На рис. 1.14,б указан обход границы. Множество является неограниченным односвязным;

3) граница области состоит из отрезков прямых $x=\pm1$ и $y=\pm2$ . Контур прямоугольника, сторонами которого являются эти отрезки, разбивает плоскость МП два множества: внутреннюю часть и внешнюю. Условию задачи удовлетворяет, например, точка $z=0$ , поэтому система $\begin{cases}|\operatorname{Re}z|<1,\\ |\operatorname{Im}z|<2\end{cases}$ , описывает внутреннюю часть прямоугольника (рис. 1.14,в).

Пример 1.34. Записать в виде неравенств множества точек:

а) угла $AOB$ ; б) сектора $AOB$ , если $A(\sqrt{3};1),~ B(1;\sqrt{3}),~ O(0;0)$ .

Решение

Чтобы получить неравенства, определяющие эти множества, сначала составим уравнения, описывающие их границы:

а) границами множества являются лучи $OA$ и $OB$ , уравнения которых i полярных координатах $\varphi=\varphi_1$ и $\varphi=\varphi_2$ , где $\operatorname{tg}\varphi_1= \frac{y_A}{x_A}= \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\operatorname{tg}\varphi_2= \frac{y_B}{x_B}= \sqrt{3}$ , то есть $\varphi_1=\frac{\pi}{6}$ и $\varphi_2=\frac{\pi}{3}$ . На комплексной плоскости уравнения этих лучей записываются в виде равенств $\arg z=\frac{\pi}{6}$ и $\arg z=\frac{\pi}{3}$ ; область, ими ограниченная, — в виде неравенства $\frac{\pi}{6}<\arg z<\frac{\pi}{3}$ (рис. 1.15,д);

Записать в виде неравенств множества точек

б) сектор $AOB$ геометрически можно рассматривать как пересечение двух множеств: угла $AOB$ и круга радиуса 2 с центром в начале координат, т.е. множество точек сектора $AOB$ может быть записано системой $\begin{cases}|z|<2,\\ \frac{\pi}{6}<\arg z<\frac{\pi}{3}.\end{cases}$ . Это множество — ограниченная односвязная область (рис. 1.15,б).

Пример 1.35. Записать в виде неравенств множества, изображенные на рис. 1.16 (области заштрихованы, обход границ указан стрелками).

Примеры множеств на комплексной плоскости

Решение

Как и в предыдущем примере, для каждого случая составим уравнение, описывающие границы множеств:

а) геометрически множество есть первый квадрант с разрезок (выброшенным лучом). Границами множества являются лучи $\arg z=0,~ \arg z=\frac{\pi}{2}$ и луч по биссектрисе от точки $A(1;1)$ в бесконечность. Уравнение этого луча можно писать в виде $\begin{cases}\arg z=\frac{\pi}{4},\\ |z|>\sqrt{2}.\end{cases}$ .

Следовательно, множество, изображенное на рис. 1.16,а, можно описать соотношениями: $0<\arg z<\frac{\pi}{2},~ \arg z\ne \frac{\pi}{4}$ для точек $z$ , у которых $|z|>\sqrt{2}$ или $0<\arg z<\frac{\pi}{2},~ z\notin \begin{cases}\arg z=\frac{\pi}{4},\\ |z|>\sqrt{2};\end{cases}$ .

б) геометрически множество есть верхняя полуплоскость с разрезом по лучу от точки $A(0;1)$ в бесконечность; уравнение луча: $\begin{cases}\arg z=\frac{\pi}{2},\\ |z|>1. \end{cases}$ Следовательно, множество, изображенное на рис. 1.16,б, можно описать соотношениями $\operatorname{Im}z>0,~ z\notin \begin{cases}\arg z=\frac{\pi}{2},\\ |z|>1. \end{cases}$

в) на рис. 1.16,в изображена верхняя полуплоскость с "выброшенным" полукругом. Точки полукруга описываются системой $\begin{cases}|z|<1,\\ 0<\arg z<\pi.\end{cases}$

Следовательно, изображенное множество можно описать соотношениями

$\operatorname{Im}z>0,\qquad z\notin \begin{cases}|z|<1,\\ 0<\arg z<\pi,\end{cases}$ или $\begin{cases}|z|>1,\\ \operatorname{Im}z>0.\end{cases}$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]