Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Множества на комплексной плоскости

Множества на комплексной плоскости


Расположение точек на комплексной плоскости


Напомним известные из анализа функций двух действительных переменных основные геометрические понятия, связанные с расположением точек на плоскости. Определения будем давать в терминах комплексной плоскости, т.е. точка M(x,y) плоскости — это точка z комплексной плоскости.


1. Множество точек z, удаленных от заданной точки z_0 на расстояние, меньшее чем заданное число \varepsilon, называется ε-окрестностью точки z_0, будем обозначать ее O_{\varepsilon}(z_0). Используя понятие расстояния между точками плоскости (|z-z_0|), определение можно записать в виде соотношения:


O_{\varepsilon}(z_0)= \bigl\{z\colon\, |z-z_0|<\varepsilon\bigr\}.

Очевидно, что геометрически O_{\varepsilon}(z_0) — круг с центром в точке z_0 и радиусом \varepsilon.


2. Множество точек z, удовлетворяющих неравенству 0<|z-z_0|< \varepsilon, образует проколотую окрестность точки z_0\colon\, O_{\varepsilon}(z_0) \setminus z_0.


3. Точка называется внутренней точкой множества, если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью, т.е. z_0 — внутренняя точка множества M, если z_0\in M и \exists \varepsilon>0, что O_{\varepsilon}(z_0)\subset M.


4. Множество, состоящее только из внутренних точек (множество, все точки которого являются внутренними), называется открытым.


5. Точка называется граничной точкой множества, если в любой ее окрестности есть точки, принадлежащие множеству, и точки, не принадлежащие ему, т.е. z_0 — граничная точка множества M, если для \forall \varepsilon>0 существуют точки z_1 и z_2, то z_1\in O_{\varepsilon}(z_0),~ z_2\in O_{\varepsilon}(z_0), такие. что z_1\in M,~ z_2\notin M.


Совокупность граничных точек множества образует границу множества.


Направление обхода границы называется положительным, если область, ограниченная контуром, при обходе расположена слева.


6. Множество, содержащее все свои граничные точки (множество вместе с границей), называется замкнутым. Оно обозначается \overline{M}, то есть \overline{M}= M\cup C, где C — граница множества M~(C=\delta M).


7. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат множеству.


8. Открытое, связное множество называется областью. Область с присоединенной границей — замкнутая обметь, \overline{D}=D\cup C и C=\delta D.


9. Область (множество) называется односвязной, если для любой замкнутой кривой, принадлежащей области, точки множества, границей которого является кривая, также принадлежат области. В противном случае — область многосвязная.


10. Многосвязная область называется n-связной, если ее граница состоит из n компонент. Порядок (n) связности многосвязной (n-связной) области определяется числом (n) связных компонент границы области.


На рис. 1.10 приведены геометрические примеры односвязных (n=1) и многосвязных (n=2,~ n=3) областей. Обход границы области указан стрелкой.


11. Множество называется ограниченным, если существует круг с центром в начале координат, содержащий это множество, т.е. M ограничено, если \exists R>0, что


M\subset O_{R}(0)~ \bigl(M\subset O_{R}(z_0),~ z_0=0\bigr),\quad O_{R}(0)= \{z\colon\, |z|<R\}.

Геометрические примеры односвязных и многосвязных областей



Кривые на комплексной плоскости


На множестве действительных чисел можно обычным образом определить функцию, которая принимает на этом множестве комплексные значения: любому t\in T,~ T\subset \mathbb{R} соответствует z\in G,~z(t) — комплекснозначная функция действительной переменной.


Например, z(t)=it+2t,~ z(t)= \frac{2-i}{t+i},~ z(t)=\frac{i}{t-1} — комплекснозначные функции, первые две определены для любого t\in\mathbb{R}, последняя — для любого t\ne1.

Для функции z(t), так же как для действительной функции действительной переменной, вводится понятие предела в точке, а на его основе — понятия непрерывности, производной, интеграла.


Так как для любого значения t из области определения число z(t) является комплексным числом, то, записав его в алгебраической форме z=x+iy, получим, что задание комплексной функции z(t) действительной переменной на некотором множестве T\subset\mathbb{R} равносильно заданию на этом множестве двух действительных функций x(t)=\operatorname{Re}z(t) и y(t)=\operatorname{Im}z(t).


Используя соответствующие определения, нетрудно убедиться в справедливости следующих утверждений и формул:


1. Для непрерывности функции z(t) в точке t_0 необходимо и достаточно, чтобы в этой точке были непрерывны функции x(t)=\operatorname{Re}z(t) и y(t)=\operatorname{Im}z(t).


2. \lim_{t\to t_0}z(t)= \lim_{t\to t_0}x(t)+i \lim_{t\to t_0}y(t).


3. z'(t)=x'(t)+i\,y'(t),~ dz=dx+i\,dy.


4. \int\limits_{a}^{b}z(t)\,dt= \int\limits_{a}^{b}x(t)\,dt+ i\int\limits_{a}^{b}y(t)\,dt.




Уравнения кривых на комплексной плоскости


Одним из способов задания кривой на плоскости является параметрическое задание:


\begin{cases}x=x(t),\\ y=y(t) \end{cases},t\in T.
(1.18)

Будем рассматривать гладкие и кусочно-гладкие кривые.


Кривая называется гладкой на множестве T, если функции x(t),~y(t) имеют на T непрерывные производные x'(t),~ y'(t). Геометрически гладкая кривая характеризуется существованием касательной к этой кривой в каждой точке, причем направление касательной изменяется непрерывно при движении точки по кривой.


Кривая называется кусочно-гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких кривых.


На рис. 1.11 изображены кривые, которые являются кусочно-гладкими на (a,c) и гладкими на каждом из интервалов (a,b) и (b,c).


Кусочно-гладкие кривые на интервалах

Из определения функции z(t), данного выше, следует, что геометрически её задание определяет кривую на плоскости (и обратно): по формуле (1.18) любому значению t\in T соответствует точка (x,y), то есть число z=x+iy.


Следовательно, параметрическое задание кривой в форме (1.18) равносильно заданию z(t)=x(t)+i\,y(t). Равенство


z=z(t),\quad t\in T
(1.19)

называется уравнением кривой в параметрической форме.


Пример 1.26. Записать в параметрической форме уравнение окружности, центр которой находится в точке C(x_0,y_0), а радиус равен R.


▼ Решение

Используем известные параметрические уравнения окружности:


\begin{cases}x=x_0+R\cos{t},\\ y=y_0+R\sin{t},\end{cases} t\in[0;2\pi].

Отсюда получаем z(t)= x(t)+i\,y(t)= x_0+R\cos{t}+i(y_0+R\sin{t}) или z(t)=z_0+ R(\cos{t}+i\sin{t}), где z_0=x_0+i\,y_0 — центр окружности. Используя формулу Эйлера, окончательно запишем уравнение окружности в параметрической форме:


z(t)= z_0+R\,e^{i\,t},\quad t\in[0;2\pi].
(1.20)

Заметим, что если переписать (1.20) в виде z-z_0=R\,e^{it}, то получим равенство |z-z_0|=R, которое определяет окружность как геометрическое место точек плоскости (точек z), равноудаленных (на заданное расстояние R) от заданной точки (z_0). Очевидно, уравнение (1.20) определяет гладкую кривую, что соответствует геометрическому виду этой кривой.


Уравнение плоской кривой, как известно, можно также записать в виде F(x,y)=0, т.е. соотношения, связывающего декартовы координаты (x,y) точек, принадлежащих этой линии; в частности, y=f(x) — явное задание линии. Но так как пара (x,y) определяет комплексное число z=x+iy, то, выразив x и y через z, можно записать соотношение в комплексной форме. Из z=x+iy и \overline{z}=x-iy получаем x=\frac{z+\overline{z}}{2} и y=\frac{z-\overline{z}}{2i}. Поэтому равенство


F\!\left(\frac{z+\overline{z}}{2},\, \frac{z-\overline{z}}{2i}\right)=0
(1.21)

есть уравнение кривой на плоскости, записанное в комплексной форме. Используя тригонометрическую форму задания комплексного числа, можно получить и другие виды уравнений кривых на комплексной плоскости.


Пример 1.27. Записать в комплексной форме уравнения: а) прямой; б) окружности.


▼ Решение

а) Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид Ax+By+C=0. Подставляя в это уравнение x=\frac{z+\overline{z}}{2} и y=\frac{z-\overline{z}}{2i}, находим


\frac{A}{2}(z+\overline{z})- i\,\frac{B}{2}(z-\overline{z})+C=0, или z \left(\frac{A}{2}-i\,\frac{B}{2}\right)+ \overline{z}\left(\frac{A}{2}+ i\,\frac{B}{2}\right)+C=0.


Введя обозначение \frac{A}{2}+ i\,\frac{B}{2}=M, окончательно получим \overline{M}z+M \overline{z}+C=0 — уравнение прямой в комплексной форме.


б) Используем уравнение окружности в общем виде Ax^2+Ay^2+Bx+Cy+F=0. Подставляя в это уравнение x=\frac{z+\overline{z}}{2},~ y=\frac{z-\overline{z}}{2i} и x^2+y^2=z \overline{z} получаем


Az \overline{z}+ z \left(\frac{B}{2}-i\,\frac{C}{2}\right)+ \overline{z} \left(\frac{B}{2}-i\,\frac{C}{2}\right)+F=0, или, обозначая M=\frac{B}{2}+i\,\frac{C}{2},~~ Az \overline{z}+ \overline{M}z+ M \overline{z}+F=0

уравнение окружности в комплексной форме. Заметим, что при A=0 получаем задачу, рассмотренную в пункте "а".


Замечание 1.2. Утверждение, что уравнение прямой на плоскости является частным случаем уравнения окружности на комплексной плоскости имеет более глубокий смысл: прямые как геометрический образ являются частным случаем окружности (их можно рассматривать как окружности "бесконечного" радиуса, R=\infty). Обоснование этого можно получить, используя стереографическую проекцию — геометрическое изображение комплексных чисел (множества \overline{\mathbb{C}}) точками на сфере Римана.


Имеет место утверждение: окружности и прямые плоскости при стереографической проекции отображаются в окружности, причем образом окружности является окружность на сфере Римана, не проходящая через точку N, а образом прямой — окружность, проходящая через N.


Для доказательства используем формулы связи координат точки плоскости \mathbb{C} и ее образа на сфере (см. рис. 1.12,а).


Если положить диаметр сферы равным единице (ON=1) и ввести систему координат (\xi,\eta,\varphi), направив по лучу ON ось O\varphi, а плоскость \mathbb{C} выбрав за плоскость O\xi\eta, где ось O\xi, совпадает с Ox, а ось O\eta — с Oy, то, используя коллинеарность векторов zN и ZN, получим выражение координат точки z(x,y) плоскости \mathbb{C} через координаты ее образа Z(\xi,\eta,\varphi) на сфере. Эти формулы имеют вид x=\frac{\xi}{1-\varphi},~ y=\frac{\eta}{1-\varphi}.


Подставляем их в уравнение окружности Ax^2+Ay^2+Bx+Cy+D=0 и учитывая, что точка Z(\xi,\eta,\varphi) лежит на сфере, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению \xi^2+\eta^2+\left(\varphi-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4} или \xi^2+\eta^2+ \varphi^2=\varphi, после преобразований получаем уравнение плоскости B\xi+C\eta+(A-D)\varphi+D=0. Следовательно, образом окружности является линия пересечения сферы этой плоскостью, т.е. окружность на сфере. При A=0 на плоскости имеем прямую с уравнением Bx+Cy+D=0; ее образом на сфере будет окружность


\begin{cases}B\xi+C\eta-D\varphi+D=0,\\ \xi^2+\eta^2+ \varphi^2=\varphi, \end{cases}

проходящая через точку N, так как координаты точки N(0;0;1) удовлетворяют этой системе.


Аналогично доказывается обратное утверждение: окружностям на сфере, не проходящим через точку N, соответствуют окружности плоскости C, а окружностям, проходящим через N, — прямые.


Пример 1.28. Записать в комплексной форме уравнения: а) координатных осей; б) биссектрисы первого и третьего координатных углов.


▼ Решение

а) Для уравнения оси Ox из y=0 и y=\frac{z-\overline{z}}{2i} получаем z-\overline{z}=0; для оси Oy из x=0 и x=\frac{z+\overline{z}}{2} следует z+\overline{z}=0.


б) Уравнение биссектрисы y=x принимает вид \frac{z-\overline{z}}{2i}= \frac{z+\overline{z}}{2},~~ z-\overline{z}= (z+\overline{z})i, или z(1-i)- \overline{z}(1+i)=0.


Если умножить уравнение на (1+i), то его можно записать иначе: z-\overline{z}i=0.


Пример 1.29. Записать в комплексной форме уравнение:


а) дуги окружности единичного радиуса с центром в начале координат, расположенной в первой четверти;
б) биссектрисы первого координатного угла;
в) отрезка OA биссектрисы первого координатного угла, где A(1,1).

▼ Решение

Для решения удобно использовать задание комплексного числа в тригонометрической форме, т.е. через |z| и \arg z:


а) любой точке дуги соответствует число z, для которого |z|=1, а аргумент удовлетворяет условию 0\leqslant \arg z\leqslant \frac{\pi}{2}. Соотношения \begin{cases}|z|=1,\\ 0\leqslant \arg z\leqslant \frac{\pi}{2}\end{cases} определяют соответствующую дугу. Полученный результат можно записать в комплексной форме: z\overline{z}-1=0,~ \operatorname{Re}z\geqslant0,~ \operatorname{Im}z\geqslant0 или в параметрической форме: z=e^{it},~ 0\leqslant t\leqslant\frac{\pi}{2};


б) используя результат примера 1.28, ответ можно записать в вид \begin{cases}z-\overline{z}i=0,\\ \operatorname{Re}z\geqslant0.\end{cases} Более удобной является запись \arg z=\frac{\pi}{4};


в) используя результат предыдущего пункта, ответ можно записать в виде \begin{cases}\arg z=\pi\slash 4,\\ |z|\leqslant \sqrt{2}.\end{cases}.


Пример 1.30. Определить вид кривой, заданной комплексным соотношением: a) |z-2|=|z+2i|; б) |z+3|=|z-5|.


▼ Решение

а) Подставив z=x+iy, запишем числа в алгебраической форме: |(x-2)+iy|=|x+i(y+2)|. Далее по определению модуля запишем квадраты модулей полученных комплексных чисел: (x-2)^2+y^2=x^2+(y+2)^2. Отсюда после преобразований имеем y=-x — уравнение биссектрисы второго и четвертого координатных углов. Задачу можно решить иначе, геометрически, если воспользоваться геометрическим смыслом модуля |z_1-z_2| как расстояния между точками. Переформулируем условие следующим образом: найти геометрическое место точек z, равноудаленных от двух заданных точек 2 и –2i. Очевидно, что геометрическое место точек есть прямая, которая перпендикулярна отрезку, соединяющему заданные точки, и проходит через его середину. Такой прямой является y=-x.


б) Решим задачу геометрически. На оси Ox отмечаем точки –3 и 5 и через середину отрезка их соединяющего (точку x=1) проводим перпендикулярную прямую; ее уравнение x=1.


Пример 1.31. Определить вид кривой, заданной уравнением в комплексной форме:


а) \operatorname{Im}\frac{1}{z}=\frac{1}{2}; б) \operatorname{Re} \frac{1}{\overline{z}}=1.


▼ Решение

а) Используя правило деления \frac{1}{z}= \frac{1}{x+iy}= \frac{x-iy}{x^2+y^2}, находим \operatorname{Im}\frac{1}{z}= \frac{-y}{x^2+y^2}. Получаем уравнение кривой в действительной форме:


\frac{-y}{x^2+y^2}= \frac{1}{2}, то есть x^2+y^2+2y=0, или x^2+(y+1)^2=1.

Это уравнение окружности радиуса R=1 с центром в точке C(0;-1).


б) Производим действия, как в предыдущем пункте:


\begin{gathered}\operatorname{Re}\frac{1}{\overline{z}}= \operatorname{Re}\frac{1}{x-iy}= \operatorname{Re}\frac{x+iy}{x^2+y^2}= \frac{x}{x^2+y^2},\\[2pt] \frac{x}{x^2+y^2}=1,\quad x^2+y^2=x,\quad \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{1}{4} .\end{gathered}

В результате получено уравнение окружности радиуса R=1\!\!\not{\phantom{|}}\,2 с центром в точке C(1\!\!\not{\phantom{|}}\,2;0).




Области на комплексной плоскости


Будем рассматривать области, границы которых состоят из конечного числа кусочно-гладких кривых, в частности простых кривых, т.е. не имеющих точек самопересечения, а также отдельных изолированных точек.


Приведем аналитические выражения для областей простейшего вида, границами которых являются простейшие линии — прямые, окружности.


1. Круг радиуса R с центром в точке z_0 задается неравенством |z-z_0|<R. Это — открытое, связное множество, т.е. область. Область — ограниченная, односвязная; ее границей является окружность |z-z_0|=R (рис. 1.12,а). В частности, круг |z-z_0|<\varepsilon есть окрестность точки z_0\colon\, O_{\varepsilon}(z_0). Заметим, что неравенство |z-z_0|\leqslant R определяет замкнутую область, т.е. область вместе с границей.


2. Проколотая окрестность точки z_0\colon\, O_{\varepsilon}(z_0)\setminus z_0 — круг с выброшенным центром задается неравенством 0<|z-z_0|<\varepsilon. Это двусвязная, ограниченная область, граница которой состоит из двух компонент — окружности |z-z_0|=\varepsilon и точки z_0 (рис. 1.12,б).


3. Окрестность бесконечно удаленной точки определяется как множество точек плоскости C, образами которых на сфере Римана являются точки, принадлежащие окрестности точки N (см. рис. 1.12,а). Эта окрестность получается отсечением от сферы некоторой области плоскостью, перпендикулярной лучу ON. Границей этой окрестности на сфере является окружность — пересечение сферы и плоскости. На плоскости C этой окружности соответствует также окружность, центр которой, очевидно, находится в точке O; ее уравнение |z|=R. Сферической окрестности точки N будет соответствовать часть плоскости, границей которой является окружность |z|=R и которая содержит бесконечно удаленную точку (образ точки N), эта область — внешность круга |z|>R (рис. 1.12,в).


4. Кольцо с центром в точке z_0, радиус внешней окружности которого R и внутренней r, задается неравенством r<|z-z_0|<R (рис. 1.12,г). Это — ограниченная, двусвязная область, граница которой состоит из двух окружностей C_1\colon\,|z-z_0|=R и C_2\colon |z-z_0|=r.


5. Верхняя полуплоскость плоскости C — множество точек, для которых y>0, т.е. в комплексной форме \operatorname{Im}z>0 (рис. 1.12,д); соответственно \operatorname{Im}z<0 — нижняя полуплоскость. Неравенство \operatorname{Re}z>0 определяет правую полуплоскость (рис. 1.12,е), \operatorname{Re}z<0 — левую полуплоскость. Это односвязные, неограниченные области.


Области на комплексной плоскости

Заметим, что на расширенной комплексной плоскости \overline{\mathbb{C}} граница односвязной области состоит либо только из одной замкнутой кривой, либо её границей является единственная точка z=\infty (область \mathbb{C}), или граница не содержит ни одной точки (сама расширенная плоскость \overline{\mathbb{C}}).


Замкнутая кривая на \overline{\mathbb{C}} может быть неограниченной (кривая "проходит" через бесконечно удаленную точку). Например, на рис. 1.12,д границей односвязной области \operatorname{Im}z>0 является прямая \operatorname{Im}z=0, которую рассматриваем на \overline{\mathbb{C}} как окружность радиуса R=\infty; её образом на сфере Римана является окружность (см. замечание 1.2).




Теорема Жордана


Утверждение 1.1. Простая замкнутая непрерывная кривая разбивает расширенную комплексную плоскость на две области.


Если граница — ограниченная кривая, то области называются внутренней и внешней; внутренняя — та из двух областей, которая не содержит бесконечно удаленную точку, внешняя — другая область. Так, на рис. 1.12,в область |z|>R внешность круга; а множество |z|<R — внутренняя часть круга, или просто круг


Пример 1.32. Определить вид множеств, заданных соотношениями:


\bold{1)}~ \begin{cases}1<|z|<3,\\ \operatorname{Im}z<0;\end{cases}\quad \bold{2)}~ \begin{cases}|z-i|<1,\\ \operatorname{Re}z>0;\end{cases}\quad \bold{3)}~ \begin{cases} \operatorname{Im}\frac{1}{z}<-\frac{1}{2},\\ |\arg z|<\frac{\pi}{2}.\end{cases}

▼ Решение

1) Искомым множеством является пересечение кольца 1<|z|<3 и нижней полуплоскости — нижнее полукольцо (рис. 1.13,а). Это — ограниченная односвязная область.


2) Искомым множеством является пересечение круга |z-i|<1 и правой полуплоскости — правый полукруг (рис.1.13,б). Область ограниченная односвязная.


3) Определяем вид границы множеств — линий \operatorname{Im}\frac{1}{z}=-\frac{1}{2} и |\arg z|=\frac{\pi}{2}. Второе равенство определяет два луча \arg z=-\frac{\pi}{2} и \arg z=\frac{\pi}{2} и, следовательно, мнимую ось. Чтобы определить вид другой линии, запишем уравнение в действительной форме, производя указанные действия с z=x+iy\colon


\frac{1}{z}= \frac{x-iy}{x^2+y^2}= \frac{x}{x^2+y^2}+ i\,\frac{-y}{x^2+y^2}, \qquad \operatorname{Im}\frac{1}{z}=-\frac{y}{x^2+y^2}\,.

Поэтому уравнение \operatorname{Im}\frac{1}{z}=-\frac{1}{2}, то есть x^2+y^2=2y, есть уравнение окружности x^2+(y-1)^2=1, а неравенство \operatorname{Im}\frac{1}{z}<-\frac{1}{2} — круг, который можно записав иначе |z-i|<1. Ответом является та же область, что и в предыдущем пункте (рис. 1.13,б).


Множества на комплексной плоскости

Пример 1.33. Определить вид множеств, заданных неравенствами:


\bold{1)}~ \operatorname{Re}z+\operatorname{Im}z>0;\qquad \bold{2)}~ |\operatorname{Re}z|<1;\qquad \bold{3)}~ \begin{cases}|\operatorname{Re}z|<1,\\ |\operatorname{Im}z|<2.\end{cases}

▼ Решение

Для выяснения вида множества в каждом случае сначала определяем вид границы:


1) границей множества является линия \operatorname{Re}z+\operatorname{Im}z=0, или x+y=0, то есть x=-y. Она разбивает плоскость на две полуплоскости — верхнюю (содержит, например, точку i) и нижнюю (не содержит точку i). Условию задачи удовлетворяет верхняя полуплоскость (рис. 1.14,а). На рисунке указан обход границы и точки, принадлежащая множеству. Множество, очевидно, является односвязным и неограниченным;


2) граница области состоит из двух компонент — прямых |\operatorname{Re}z|=1, то есть x=1 и x=-1. Условие |\operatorname{Re}z|=|x|<1 определяет полосу на плоскости (условию удовлетворяет, например, точка z=0). На рис. 1.14,б указан обход границы. Множество является неограниченным односвязным;


3) граница области состоит из отрезков прямых x=\pm1 и y=\pm2. Контур прямоугольника, сторонами которого являются эти отрезки, разбивает плоскость МП два множества: внутреннюю часть и внешнюю. Условию задачи удовлетворяет, например, точка z=0, поэтому система \begin{cases}|\operatorname{Re}z|<1,\\ |\operatorname{Im}z|<2\end{cases}, описывает внутреннюю часть прямоугольника (рис. 1.14,в).


Неравенства на комплексной плоскости

Пример 1.34. Записать в виде неравенств множества точек:


а) угла AOB; б) сектора AOB, если A(\sqrt{3};1),~ B(1;\sqrt{3}),~ O(0;0).


▼ Решение

Чтобы получить неравенства, определяющие эти множества, сначала составим уравнения, описывающие их границы:


а) границами множества являются лучи OA и OB, уравнения которых i полярных координатах \varphi=\varphi_1 и \varphi=\varphi_2, где \operatorname{tg}\varphi_1= \frac{y_A}{x_A}= \frac{1}{\sqrt{3}} и \operatorname{tg}\varphi_2= \frac{y_B}{x_B}= \sqrt{3}, то есть \varphi_1=\frac{\pi}{6} и \varphi_2=\frac{\pi}{3}. На комплексной плоскости уравнения этих лучей записываются в виде равенств \arg z=\frac{\pi}{6} и \arg z=\frac{\pi}{3}; область, ими ограниченная, — в виде неравенства \frac{\pi}{6}<\arg z<\frac{\pi}{3} (рис. 1.15,д);


Записать в виде неравенств множества точек

б) сектор AOB геометрически можно рассматривать как пересечение двух множеств: угла AOB и круга радиуса 2 с центром в начале координат, т.е. множество точек сектора AOB может быть записано системой \begin{cases}|z|<2,\\ \frac{\pi}{6}<\arg z<\frac{\pi}{3}.\end{cases}. Это множество — ограниченная односвязная область (рис. 1.15,б).


Пример 1.35. Записать в виде неравенств множества, изображенные на рис. 1.16 (области заштрихованы, обход границ указан стрелками).


Примеры множеств на комплексной плоскости

▼ Решение

Как и в предыдущем примере, для каждого случая составим уравнение, описывающие границы множеств:


а) геометрически множество есть первый квадрант с разрезок (выброшенным лучом). Границами множества являются лучи \arg z=0,~ \arg z=\frac{\pi}{2} и луч по биссектрисе от точки A(1;1) в бесконечность. Уравнение этого луча можно писать в виде \begin{cases}\arg z=\frac{\pi}{4},\\ |z|>\sqrt{2}.\end{cases}.


Следовательно, множество, изображенное на рис. 1.16,а, можно описать соотношениями: 0<\arg z<\frac{\pi}{2},~ \arg z\ne \frac{\pi}{4} для точек z, у которых |z|>\sqrt{2} или 0<\arg z<\frac{\pi}{2},~ z\notin \begin{cases}\arg z=\frac{\pi}{4},\\ |z|>\sqrt{2};\end{cases}.

б) геометрически множество есть верхняя полуплоскость с разрезом по лучу от точки A(0;1) в бесконечность; уравнение луча: \begin{cases}\arg z=\frac{\pi}{2},\\ |z|>1. \end{cases} Следовательно, множество, изображенное на рис. 1.16,б, можно описать соотношениями \operatorname{Im}z>0,~ z\notin \begin{cases}\arg z=\frac{\pi}{2},\\ |z|>1. \end{cases}


в) на рис. 1.16,в изображена верхняя полуплоскость с "выброшенным" полукругом. Точки полукруга описываются системой \begin{cases}|z|<1,\\ 0<\arg z<\pi.\end{cases}

Следовательно, изображенное множество можно описать соотношениями


\operatorname{Im}z>0,\qquad z\notin \begin{cases}|z|<1,\\ 0<\arg z<\pi,\end{cases} или \begin{cases}|z|>1,\\ \operatorname{Im}z>0.\end{cases}.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved