Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Многомерное координатное пространство

Многомерное координатное пространство


Точки, векторы и операции над ними в многомерном пространстве


В разделе аффинные координаты подчеркивалось, что введение аффинной системы координат на прямой, на плоскости, в пространстве устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками и их координатами. Эта идея, лежащая в основе аналитической геометрии, обобщается в данном разделе.


Рассмотрим множество [math]\mathbb{R}^n[/math] упорядоченных наборов [math]n[/math] действительных чисел [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math], которое будем называть n-мерным аффинным пространством (n-мерным декартовым пространством, n-мерным арифметическим пространством), а его элементы – точками и обозначать их прописными буквами, например, [math]A(a_1,\ldots,a_n)[/math]. Две точки [math]A(a_1,\ldots,a_n)[/math] и [math]B(b_1,\ldots,b_n)[/math] называются совпадающими, если [math]a_1=b_1,\ldots,a_n=b_n[/math].


Число [math]n[/math] называется числом измерений или размерностью пространства [math]\mathbb{R}^n[/math]. Например, в силу введения аффинных систем координат на прямой, на плоскости и в пространстве можно говорить, что прямая, плоскость, пространство являются одномерным [math](\mathbb{R})[/math], двумерным [math](\mathbb{R}^2)[/math] и трехмерным [math](\mathbb{R}^3)[/math] аффинными пространствами соответственно. Примером четырехмерного пространства служит пространственно-временной континуум, используемый для описания физических процессов, в котором каждому "событию" ставится в соответствие набор четырех чисел [math](t,x_1,x_2,x_3)[/math], где [math]t[/math] — момент времени, в который произошло "событие", а [math]x_1,x_2,x_3[/math] — координаты "места события".


Упорядоченная пара точек многомерного пространства [math]\mathbb{R}^n[/math] называется вектором. Первая точка называется началом вектора, вторая — концом вектора. Начало вектора называют также его точкой приложения. Вектором [math]\overrightarrow{AB}[/math] с началом в точке [math]A(a_1,\ldots,a_n)[/math] и концом в точке [math]B(b_1,\ldots,b_n)[/math] называется матрица-столбец.


[math]\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}b_1-a_1\\\vdots\\b_n-a_n\end{pmatrix}.[/math]

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается [math]\vec{o}=\begin{pmatrix}0&\cdots&0\end{pmatrix}^T[/math].




Линейные операции над векторами в многомерном пространстве


Операции сложения векторов и умножения векторов на число в многомерном пространстве определяются как соответствующие операции над столбцами:


суммой векторов в многомерном пространстве [math]\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}^T[/math] и [math]\vec{y}=\begin{pmatrix}y_1&\cdots&y_n\end{pmatrix}^T[/math] называется вектор


[math]\vec{x}+\vec{y}=\begin{pmatrix}x_1+y_1\\\vdots\\x_n+y_n\end{pmatrix};[/math]

произведением вектора в многомерном пространстве [math]\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}^T[/math] на число [math]\lambda[/math] называется вектор


[math]\lambda\cdot\vec{x}=\begin{pmatrix}\lambda\cdot x_1\\\vdots\\\lambda\cdot x_n\end{pmatrix};[/math]

Эти операции удовлетворяют свойствам 1-8 линейных операций над векторами. Поэтому многомерное пространство [math]\mathbb{R}^n[/math] можно рассматривать как линейное (векторное) пространство.


Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если существует такое число [math]\lambda[/math], что [math]\vec{y}=\lambda\vec{x}[/math]. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Каждый вектор коллинеарен самому себе.




Замечания 2.9.


1. Совершенно так же, как на плоскости и в трёхмерном пространстве, вводятся следующие, связанные с линейными операциями над векторами, понятия: противоположных векторов, разности векторов, отношения коллинеарных векторов, линейной зависимости и линейной независимости векторов. Свойства 1-7 линейно зависимых и независимых векторов переносятся на векторы пространства [math]\mathbb{R}^n[/math] без изменений.


2. Рассматривая множество упорядоченных наборов [math]n[/math] комплексных чисел [math]z_1,z_2,\ldots,z_n[/math], приходим к понятию n-мерного комплексного арифметического пространства [math]\mathbb{C}^n[/math], где [math]z_1=x_1+iy_1\in\mathbb{C},\ldots,z_n=x_n+iy_n\in\mathbb{C}[/math] и [math]\mathbb{C}[/math] — множество комплексных чисел. Все точки многомерного пространства [math]\mathbb{R}^n[/math] содержатся в [math]\mathbb{C}^n[/math] (при [math]y_1=\ldots=y_n=0[/math]) и называются вещественными (действительными) точками пространства [math]\mathbb{C}^n[/math].


Понятия вектора, размерности многомерного комплексного пространства [math]\mathbb{C}^n[/math], линейных операций над векторами и их свойства аналогичны соответствующим понятиям и свойствам действительного арифметического пространства [math]\mathbb{R}^n[/math].




Стандартная система координат в многомерном пространстве


Базисом многомерного пространства [math]\mathbb{R}^n[/math] называется упорядоченная система [math]n[/math] линейно независимых векторов (базисных векторов).


Упорядоченный набор векторов


[math]\vec{e}_1= \begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots\\0 \end{pmatrix}\!,\quad \vec{e}_2= \begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots\\0 \end{pmatrix}\!,\quad \ldots,\quad \vec{e}_n= \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\\vdots\\0 \end{pmatrix}\!.[/math]
(2.23)

называются стандартным базисом в многомерном пространстве [math]\mathbb{R}[/math].

Векторы стандартного базиса линейно независимы и любой вектор [math]\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}^T[/math] может быть разложен по базису, т.е. представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:


[math]\vec{x}_1= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}= x_1 \begin{pmatrix} 1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}+ x_2 \begin{pmatrix} 0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}+ \cdots+ x_n \begin{pmatrix} 0\\\vdots\\0\\1 \end{pmatrix}= x_1 \vec{e}_1+ x_2\vec{e}_2+ \cdots+ x_n\vec{e}_n.[/math]
(2.24)

Как и ранее, координатами вектора [math]\vec{x}[/math] относительно базиса [math](\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{e}_1&\cdots&\vec{e}_n\end{pmatrix}[/math] называются коэффициенты [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] в разложении (2.24). Как видим, в стандартном базисе (2.23) координаты [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] вектора [math]\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}^T[/math] совпадают с его элементами, а координатный столбец [math]\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}^T[/math] — с самим вектором [math]\vec{x}[/math].


Например, в одномерном пространстве [math]\mathbb{R}[/math] вектор [math]\vec{x}[/math] представляется столбцом [math]\vec{x}=(x_1)[/math],в двумерном пространстве [math]\mathbb{R}^2[/math] — столбцом [math]\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1&x_2\end{pmatrix}^T[/math], в трехмерном пространстве [math]\mathbb{R}^3[/math] — столбцом [math]\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1&x_2&x_3\end{pmatrix}^T.[/math]


Совокупность точки [math]O[/math] и базиса [math](\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{e}_1&\cdots&\vec{e}_n\end{pmatrix}[/math] называется аффинной (декартовой) системой координат многомерного пространства [math]\mathbb{R}^n[/math]. Точка [math]O[/math] называется началом системы координат.


Вектор [math]\overrightarrow{OX}[/math], начало которого совпадает с началом [math]O[/math] системы координат, а конец — с точкой [math]X(x_1,\ldots,x_n)[/math] пространства, называется радиус-вектором точки [math]X[/math]. Координатами точки [math]X(x_1,\ldots,x_n)[/math] в многомерном пространстве [math]\mathbb{R}^n[/math] называются координаты ее радиус-вектора [math]\overrightarrow{OX}[/math] относительно базиса [math]\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n[/math]. Разумеется, что соответствия


(точка) [math]\leftrightarrow[/math] (радиус-вектор точки) [math]\leftrightarrow[/math] (координаты точки) [math]\leftrightarrow[/math]
[math]\leftrightarrow[/math] (координатный столбец радиус-вектора точки)

взаимно однозначные.

Система координат с началом в точке [math]O(0,\ldots,0)[/math] и стандартным базисом [math]\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n[/math] (2.23) считается стандартной системой координат многомерного пространства [math]\mathbb{R}^n[/math] и обозначается [math]O\vec{e}_1\ldots\vec{e}_n[/math] или [math]O\vec{x}_1\ldots\vec{x}_n[/math]. В этой системе координат точка [math]X(x_1,\ldots,x_2)[/math] имеет координаты [math]x_1,\ldots,x_2[/math], так как [math]\overrightarrow{OX}=x_1\vec{e}_1+\cdots+x_n\vec{e}_n[/math].


Заметим, что правило нахождения координат вектора, согласно которому из координат конца вектора нужно вычесть координаты его начала, было фактически принято в качестве определения векторов в [math]\mathbb{R}^n[/math]. Действительно, в стандартной системе координат вектор [math]\overrightarrow{AB}[/math] с началом в точке [math]A(a_1,\ldots,a_2)[/math] и концом в точке [math]B(b_1,\ldots,b_2)[/math] обозначается матрицей-столбцом


[math]\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix}b_1-a_1\\\vdots\\b_n-a_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}= \vec{a}-\vec{b}= \overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OA},[/math]

где [math]\vec{a}=\overrightarrow{OA}[/math] и [math]\vec{b}=\overrightarrow{OB}[/math] — радиус-векторы точек [math]A[/math] и [math]B[/math] соответственно.




Линейные, аффинные и выпуклые комбинации векторов в многомерном пространстве


Вектор [math]\vec{v}[/math] многомерного пространства [math]\mathbb{R}^n[/math] называется линейной комбинацией векторов [math]\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_k[/math], если он может быть представлен в виде (где [math]\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k[/math] — некоторые числа)


[math]\vec{v}=\alpha_1\cdot\vec{v}_1+\alpha_2\cdot\vec{v}_2+\ldots+\alpha_k\cdot\vec{v}_k,[/math]

Множество линейных комбинаций векторов [math]\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_k[/math] называется их линейной оболочкой и обозначается


[math]\operatorname{Lin}(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_k)= \,\Bigl\{\vec{v}\colon \vec{v}=\alpha_1\cdot\vec{v}_1+\alpha_2\cdot\vec{v}_2+\ldots+\alpha_k\cdot\vec{v}_k;~\alpha_i\in\mathbb{R},\,i=1,\ldots,k\Bigl\}\,.[/math]

Векторы [math]\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_k[/math] называются образующими линейной оболочки.


Линейная комбинация [math]\alpha_1\overrightarrow{OA_1}+ \alpha_2\overrightarrow{OA_2}+ \cdots+ \alpha_k\overrightarrow{OA_k}[/math] радиус-векторов [math]\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k}[/math] называется неотрицательной, если все ее коэффициенты — неотрицательные числа. Множество неотрицательных комбинаций радиус-векторов [math]\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k}[/math] называется их конической оболочкой и обозначается:


[math]\begin{gathered} \operatorname{Con} \Bigl(\overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2}, \cdots, \overrightarrow{OA_k} \Bigr)=\\ =\Bigl\{\overrightarrow{OM}: \overrightarrow{OM}= \alpha_1 \overrightarrow{OA_1}+ \alpha_2 \overrightarrow{OA_2}+ \cdots+ \alpha_k \overrightarrow{OA_k};~ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k\geqslant0,~ \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k\in \mathbb{R}\Bigr\}. \end{gathered}[/math]

Линейная комбинация [math]\alpha_1\overrightarrow{OA_1}+ \alpha_2\overrightarrow{OA_2}+\cdots+\alpha_k\overrightarrow{OA_k}[/math] радиус-векторов [math]\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k}[/math] называется аффинной, если сумма ее коэффициентов равна единице: [math]\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k=1[/math]. Множество аффинных комбинаций радиус-векторов [math]\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k}[/math] называется их аффинной оболочкой и обозначается:


[math]\begin{gathered}\operatorname{Aff}\Bigl(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k}\Bigr)=\\ =\Bigl\{ \overrightarrow{OM}: \overrightarrow{OM}= \alpha_1 \overrightarrow{OA_1}+ \alpha_2 \overrightarrow{OA_2}+\cdots+\alpha_k\overrightarrow{OA_k};~ \alpha_1+ \alpha_2+ \cdots+ \alpha_k=1,~ \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k\in \mathbb{R}\Bigr\}.\end{gathered}[/math]

Линейная комбинация [math]\alpha_1\overrightarrow{OA_1}+ \alpha_2 \overrightarrow{OA_2}+ \cdots+\alpha_k\overrightarrow{OA_k}[/math] радиус-векторов [math]\overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k}[/math] называется выпуклой, если все ее коэффициенты – неотрицательные числа, а их сумма равна единице: [math]\alpha_1+ \alpha_2+ \cdots+ \alpha_k=1[/math]. Множество выпуклых комбинаций радиус-векторов [math]\overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2}, \cdots,\overrightarrow{OA_k}[/math] называется их выпуклой оболочкой и обозначается:


[math]\begin{aligned}\operatorname{Conv}\Bigl(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k}\Bigl)\,=\! \Big\{&\overrightarrow{OM}:\overrightarrow{OM}= \alpha_1\overrightarrow{OA_1}+\alpha_2\overrightarrow{OA_2}+\cdots+\alpha_k\overrightarrow{OA_k};\\[2pt] &\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k=1,~\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k\geqslant0,~ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k\in\mathbb{R}\Big\}.\end{aligned}[/math]

Радиус-векторы [math]\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k}[/math] называются образующими конической оболочки [math]\operatorname{Con}(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k})[/math], аффинной оболочки [math]\operatorname{Aff}(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k})[/math], выпуклой оболочки [math]\operatorname{Conv}(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k})[/math].


Учитывая взаимно однозначное соответствие радиус-векторов и точек многомерного пространства [math]\mathbb{R}^n[/math], можно говорить о неотрицательной, аффинной или выпуклой комбинации точек [math]A_1,A_2,\ldots,A_k[/math], полагая (по определению)


[math]\begin{aligned} \operatorname{Con}(A_1,A_2,\ldots,A_k)&= \operatorname{Con}\Bigl(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k}\Bigr),\\[3pt] \operatorname{Aff}(A_1,A_2,\ldots,A_k)&= \operatorname{Aff} \Bigl(\overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2}, \cdots,\overrightarrow{OA_k}\Bigr),\\[3pt] \operatorname{Conv} (A_1,A_2,\ldots,A_k)&= \operatorname{Conv} \Bigl(\overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2}, \cdots,\overrightarrow{OA_k}\Bigr).\end{aligned}[/math]


Свойства линейных, конических, аффинных и выпуклых оболочек использовались ранее для описания простейших геометрических объектов: прямых, плоскостей, отрезков, треугольников, плоских и трехгранных углов, тетраэдров. В [math]n[/math]-мерном пространстве линейные, конические, аффинные и выпуклые оболочки служат для определения аналогичных геометрических объектов.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved