Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Многомерное координатное пространство

Многомерное координатное пространство


Точки, векторы и операции над ними в многомерном пространстве


В разделе аффинные координаты подчеркивалось, что введение аффинной системы координат на прямой, на плоскости, в пространстве устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками и их координатами. Эта идея, лежащая в основе аналитической геометрии, обобщается в данном разделе.


Рассмотрим множество \mathbb{R}^n упорядоченных наборов n действительных чисел x_1,x_2,\ldots,x_n, которое будем называть n-мерным аффинным пространством (n-мерным декартовым пространством, n-мерным арифметическим пространством), а его элементы – точками и обозначать их прописными буквами, например, A(a_1,\ldots,a_n). Две точки A(a_1,\ldots,a_n) и B(b_1,\ldots,b_n) называются совпадающими, если a_1=b_1,\ldots,a_n=b_n.


Число n называется числом измерений или размерностью пространства \mathbb{R}^n. Например, в силу введения аффинных систем координат на прямой, на плоскости и в пространстве можно говорить, что прямая, плоскость, пространство являются одномерным (\mathbb{R}), двумерным (\mathbb{R}^2) и трехмерным (\mathbb{R}^3) аффинными пространствами соответственно. Примером четырехмерного пространства служит пространственно-временной континуум, используемый для описания физических процессов, в котором каждому "событию" ставится в соответствие набор четырех чисел (t,x_1,x_2,x_3), где t — момент времени, в который произошло "событие", а x_1,x_2,x_3 — координаты "места события".


Упорядоченная пара точек многомерного пространства \mathbb{R}^n называется вектором. Первая точка называется началом вектора, вторая — концом вектора. Начало вектора называют также его точкой приложения. Вектором \overrightarrow{AB} с началом в точке A(a_1,\ldots,a_n) и концом в точке B(b_1,\ldots,b_n) называется матрица-столбец.


\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}b_1-a_1\\\vdots\\b_n-a_n\end{pmatrix}.

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается \vec{o}=\begin{pmatrix}0&\cdots&0\end{pmatrix}^T.




Линейные операции над векторами в многомерном пространстве


Операции сложения векторов и умножения векторов на число в многомерном пространстве определяются как соответствующие операции над столбцами:


суммой векторов в многомерном пространстве \vec{x}=\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}^T и \vec{y}=\begin{pmatrix}y_1&\cdots&y_n\end{pmatrix}^T называется вектор


\vec{x}+\vec{y}=\begin{pmatrix}x_1+y_1\\\vdots\\x_n+y_n\end{pmatrix};

произведением вектора в многомерном пространстве \vec{x}=\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}^T на число \lambda называется вектор


\lambda\cdot\vec{x}=\begin{pmatrix}\lambda\cdot x_1\\\vdots\\\lambda\cdot x_n\end{pmatrix};

Эти операции удовлетворяют свойствам 1-8 линейных операций над векторами. Поэтому многомерное пространство \mathbb{R}^n можно рассматривать как линейное (векторное) пространство.


Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если существует такое число \lambda, что \vec{y}=\lambda\vec{x}. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Каждый вектор коллинеарен самому себе.




Замечания 2.9.


1. Совершенно так же, как на плоскости и в трёхмерном пространстве, вводятся следующие, связанные с линейными операциями над векторами, понятия: противоположных векторов, разности векторов, отношения коллинеарных векторов, линейной зависимости и линейной независимости векторов. Свойства 1-7 линейно зависимых и независимых векторов переносятся на векторы пространства \mathbb{R}^n без изменений.


2. Рассматривая множество упорядоченных наборов n комплексных чисел z_1,z_2,\ldots,z_n, приходим к понятию n-мерного комплексного арифметического пространства \mathbb{C}^n, где z_1=x_1+iy_1\in\mathbb{C},\ldots,z_n=x_n+iy_n\in\mathbb{C} и \mathbb{C} — множество комплексных чисел. Все точки многомерного пространства \mathbb{R}^n содержатся в \mathbb{C}^n (при y_1=\ldots=y_n=0) и называются вещественными (действительными) точками пространства \mathbb{C}^n.


Понятия вектора, размерности многомерного комплексного пространства \mathbb{C}^n, линейных операций над векторами и их свойства аналогичны соответствующим понятиям и свойствам действительного арифметического пространства \mathbb{R}^n.




Стандартная система координат в многомерном пространстве


Базисом многомерного пространства \mathbb{R}^n называется упорядоченная система n линейно независимых векторов (базисных векторов).


Упорядоченный набор векторов


\vec{e}_1= \begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots\\0 \end{pmatrix}\!,\quad \vec{e}_2= \begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots\\0 \end{pmatrix}\!,\quad \ldots,\quad \vec{e}_n= \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\\vdots\\0 \end{pmatrix}\!.
(2.23)

называются стандартным базисом в многомерном пространстве \mathbb{R}.

Векторы стандартного базиса линейно независимы и любой вектор \vec{x}=\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}^T может быть разложен по базису, т.е. представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:


\vec{x}_1= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}= x_1 \begin{pmatrix} 1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}+ x_2 \begin{pmatrix} 0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}+ \cdots+ x_n \begin{pmatrix} 0\\\vdots\\0\\1 \end{pmatrix}= x_1 \vec{e}_1+ x_2\vec{e}_2+ \cdots+ x_n\vec{e}_n.
(2.24)

Как и ранее, координатами вектора \vec{x} относительно базиса (\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{e}_1&\cdots&\vec{e}_n\end{pmatrix} называются коэффициенты x_1,x_2,\ldots,x_n в разложении (2.24). Как видим, в стандартном базисе (2.23) координаты x_1,x_2,\ldots,x_n вектора \vec{x}=\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}^T совпадают с его элементами, а координатный столбец \begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}^T — с самим вектором \vec{x}.


Например, в одномерном пространстве \mathbb{R} вектор \vec{x} представляется столбцом \vec{x}=(x_1),в двумерном пространстве \mathbb{R}^2 — столбцом \vec{x}=\begin{pmatrix}x_1&x_2\end{pmatrix}^T, в трехмерном пространстве \mathbb{R}^3 — столбцом \vec{x}=\begin{pmatrix}x_1&x_2&x_3\end{pmatrix}^T.


Совокупность точки O и базиса (\vec{e})=\begin{pmatrix}\vec{e}_1&\cdots&\vec{e}_n\end{pmatrix} называется аффинной (декартовой) системой координат многомерного пространства \mathbb{R}^n. Точка O называется началом системы координат.


Вектор \overrightarrow{OX}, начало которого совпадает с началом O системы координат, а конец — с точкой X(x_1,\ldots,x_n) пространства, называется радиус-вектором точки X. Координатами точки X(x_1,\ldots,x_n) в многомерном пространстве \mathbb{R}^n называются координаты ее радиус-вектора \overrightarrow{OX} относительно базиса \vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n. Разумеется, что соответствия


(точка) \leftrightarrow (радиус-вектор точки) \leftrightarrow (координаты точки) \leftrightarrow
\leftrightarrow (координатный столбец радиус-вектора точки)

взаимно однозначные.

Система координат с началом в точке O(0,\ldots,0) и стандартным базисом \vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n (2.23) считается стандартной системой координат многомерного пространства \mathbb{R}^n и обозначается O\vec{e}_1\ldots\vec{e}_n или O\vec{x}_1\ldots\vec{x}_n. В этой системе координат точка X(x_1,\ldots,x_2) имеет координаты x_1,\ldots,x_2, так как \overrightarrow{OX}=x_1\vec{e}_1+\cdots+x_n\vec{e}_n.


Заметим, что правило нахождения координат вектора, согласно которому из координат конца вектора нужно вычесть координаты его начала, было фактически принято в качестве определения векторов в \mathbb{R}^n. Действительно, в стандартной системе координат вектор \overrightarrow{AB} с началом в точке A(a_1,\ldots,a_2) и концом в точке B(b_1,\ldots,b_2) обозначается матрицей-столбцом


\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix}b_1-a_1\\\vdots\\b_n-a_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}= \vec{a}-\vec{b}= \overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OA},

где \vec{a}=\overrightarrow{OA} и \vec{b}=\overrightarrow{OB} — радиус-векторы точек A и B соответственно.




Линейные, аффинные и выпуклые комбинации векторов в многомерном пространстве


Вектор \vec{v} многомерного пространства \mathbb{R}^n называется линейной комбинацией векторов \vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_k, если он может быть представлен в виде (где \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k — некоторые числа)


\vec{v}=\alpha_1\cdot\vec{v}_1+\alpha_2\cdot\vec{v}_2+\ldots+\alpha_k\cdot\vec{v}_k,

Множество линейных комбинаций векторов \vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_k называется их линейной оболочкой и обозначается


\operatorname{Lin}(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_k)= \,\Bigl\{\vec{v}\colon \vec{v}=\alpha_1\cdot\vec{v}_1+\alpha_2\cdot\vec{v}_2+\ldots+\alpha_k\cdot\vec{v}_k;~\alpha_i\in\mathbb{R},\,i=1,\ldots,k\Bigl\}\,.

Векторы \vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_k называются образующими линейной оболочки.


Линейная комбинация \alpha_1\overrightarrow{OA_1}+ \alpha_2\overrightarrow{OA_2}+ \cdots+ \alpha_k\overrightarrow{OA_k} радиус-векторов \overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k} называется неотрицательной, если все ее коэффициенты — неотрицательные числа. Множество неотрицательных комбинаций радиус-векторов \overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k} называется их конической оболочкой и обозначается:


\begin{gathered} \operatorname{Con} \Bigl(\overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2}, \cdots, \overrightarrow{OA_k} \Bigr)=\\ =\Bigl\{\overrightarrow{OM}: \overrightarrow{OM}= \alpha_1 \overrightarrow{OA_1}+ \alpha_2 \overrightarrow{OA_2}+ \cdots+ \alpha_k \overrightarrow{OA_k};~ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k\geqslant0,~ \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k\in \mathbb{R}\Bigr\}. \end{gathered}

Линейная комбинация \alpha_1\overrightarrow{OA_1}+ \alpha_2\overrightarrow{OA_2}+\cdots+\alpha_k\overrightarrow{OA_k} радиус-векторов \overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k} называется аффинной, если сумма ее коэффициентов равна единице: \alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k=1. Множество аффинных комбинаций радиус-векторов \overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k} называется их аффинной оболочкой и обозначается:


\begin{gathered}\operatorname{Aff}\Bigl(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k}\Bigr)=\\ =\Bigl\{ \overrightarrow{OM}: \overrightarrow{OM}= \alpha_1 \overrightarrow{OA_1}+ \alpha_2 \overrightarrow{OA_2}+\cdots+\alpha_k\overrightarrow{OA_k};~ \alpha_1+ \alpha_2+ \cdots+ \alpha_k=1,~ \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k\in \mathbb{R}\Bigr\}.\end{gathered}

Линейная комбинация \alpha_1\overrightarrow{OA_1}+ \alpha_2 \overrightarrow{OA_2}+ \cdots+\alpha_k\overrightarrow{OA_k} радиус-векторов \overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k} называется выпуклой, если все ее коэффициенты – неотрицательные числа, а их сумма равна единице: \alpha_1+ \alpha_2+ \cdots+ \alpha_k=1. Множество выпуклых комбинаций радиус-векторов \overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2}, \cdots,\overrightarrow{OA_k} называется их выпуклой оболочкой и обозначается:


\begin{aligned}\operatorname{Conv}\Bigl(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k}\Bigl)\,=\! \Big\{&\overrightarrow{OM}:\overrightarrow{OM}= \alpha_1\overrightarrow{OA_1}+\alpha_2\overrightarrow{OA_2}+\cdots+\alpha_k\overrightarrow{OA_k};\\[2pt] &\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k=1,~\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k\geqslant0,~ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k\in\mathbb{R}\Big\}.\end{aligned}

Радиус-векторы \overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k} называются образующими конической оболочки \operatorname{Con}(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k}), аффинной оболочки \operatorname{Aff}(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k}), выпуклой оболочки \operatorname{Conv}(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k}).


Учитывая взаимно однозначное соответствие радиус-векторов и точек многомерного пространства \mathbb{R}^n, можно говорить о неотрицательной, аффинной или выпуклой комбинации точек A_1,A_2,\ldots,A_k, полагая (по определению)


\begin{aligned} \operatorname{Con}(A_1,A_2,\ldots,A_k)&= \operatorname{Con}\Bigl(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\cdots,\overrightarrow{OA_k}\Bigr),\\[3pt] \operatorname{Aff}(A_1,A_2,\ldots,A_k)&= \operatorname{Aff} \Bigl(\overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2}, \cdots,\overrightarrow{OA_k}\Bigr),\\[3pt] \operatorname{Conv} (A_1,A_2,\ldots,A_k)&= \operatorname{Conv} \Bigl(\overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2}, \cdots,\overrightarrow{OA_k}\Bigr).\end{aligned}


Свойства линейных, конических, аффинных и выпуклых оболочек использовались ранее для описания простейших геометрических объектов: прямых, плоскостей, отрезков, треугольников, плоских и трехгранных углов, тетраэдров. В n-мерном пространстве линейные, конические, аффинные и выпуклые оболочки служат для определения аналогичных геометрических объектов.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved