Многомерное координатное пространство
Точки, векторы и операции над ними в многомерном пространстве
В разделе аффинные координаты подчеркивалось, что введение аффинной системы координат на прямой, на плоскости, в пространстве устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками и их координатами. Эта идея, лежащая в основе аналитической геометрии, обобщается в данном разделе.
Рассмотрим множество упорядоченных наборов действительных чисел , которое будем называть n-мерным аффинным пространством (n-мерным декартовым пространством, n-мерным арифметическим пространством), а его элементы – точками и обозначать их прописными буквами, например, . Две точки и называются совпадающими, если .
Число называется числом измерений или размерностью пространства . Например, в силу введения аффинных систем координат на прямой, на плоскости и в пространстве можно говорить, что прямая, плоскость, пространство являются одномерным , двумерным и трехмерным аффинными пространствами соответственно. Примером четырехмерного пространства служит пространственно-временной континуум, используемый для описания физических процессов, в котором каждому "событию" ставится в соответствие набор четырех чисел , где — момент времени, в который произошло "событие", а — координаты "места события".
Упорядоченная пара точек многомерного пространства называется вектором. Первая точка называется началом вектора, вторая — концом вектора. Начало вектора называют также его точкой приложения. Вектором с началом в точке и концом в точке называется матрица-столбец.
Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается .
Линейные операции над векторами в многомерном пространстве
Операции сложения векторов и умножения векторов на число в многомерном пространстве определяются как соответствующие операции над столбцами:
– суммой векторов в многомерном пространстве и называется вектор
– произведением вектора в многомерном пространстве на число называется вектор
Эти операции удовлетворяют свойствам 1-8 линейных операций над векторами. Поэтому многомерное пространство можно рассматривать как линейное (векторное) пространство.
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если существует такое число , что . Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Каждый вектор коллинеарен самому себе.
Замечания 2.9.
1. Совершенно так же, как на плоскости и в трёхмерном пространстве, вводятся следующие, связанные с линейными операциями над векторами, понятия: противоположных векторов, разности векторов, отношения коллинеарных векторов, линейной зависимости и линейной независимости векторов. Свойства 1-7 линейно зависимых и независимых векторов переносятся на векторы пространства без изменений.
2. Рассматривая множество упорядоченных наборов комплексных чисел , приходим к понятию n-мерного комплексного арифметического пространства , где и — множество комплексных чисел. Все точки многомерного пространства содержатся в (при ) и называются вещественными (действительными) точками пространства .
Понятия вектора, размерности многомерного комплексного пространства , линейных операций над векторами и их свойства аналогичны соответствующим понятиям и свойствам действительного арифметического пространства .
Стандартная система координат в многомерном пространстве
Базисом многомерного пространства называется упорядоченная система линейно независимых векторов (базисных векторов).
Упорядоченный набор векторов
(2.23) называются стандартным базисом в многомерном пространстве .
Векторы стандартного базиса линейно независимы и любой вектор может быть разложен по базису, т.е. представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:
(2.24)
Как и ранее, координатами вектора относительно базиса называются коэффициенты в разложении (2.24). Как видим, в стандартном базисе (2.23) координаты вектора совпадают с его элементами, а координатный столбец — с самим вектором .
Например, в одномерном пространстве вектор представляется столбцом ,в двумерном пространстве — столбцом , в трехмерном пространстве — столбцом
Совокупность точки и базиса называется аффинной (декартовой) системой координат многомерного пространства . Точка называется началом системы координат.
Вектор , начало которого совпадает с началом системы координат, а конец — с точкой пространства, называется радиус-вектором точки . Координатами точки в многомерном пространстве называются координаты ее радиус-вектора относительно базиса . Разумеется, что соответствия
(точка) (радиус-вектор точки) (координаты точки) (координатный столбец радиус-вектора точки) взаимно однозначные.
Система координат с началом в точке и стандартным базисом (2.23) считается стандартной системой координат многомерного пространства и обозначается или . В этой системе координат точка имеет координаты , так как .
Заметим, что правило нахождения координат вектора, согласно которому из координат конца вектора нужно вычесть координаты его начала, было фактически принято в качестве определения векторов в . Действительно, в стандартной системе координат вектор с началом в точке и концом в точке обозначается матрицей-столбцом
где и — радиус-векторы точек и соответственно.
Линейные, аффинные и выпуклые комбинации векторов в многомерном пространстве
Вектор многомерного пространства называется линейной комбинацией векторов , если он может быть представлен в виде (где — некоторые числа)
Множество линейных комбинаций векторов называется их линейной оболочкой и обозначается
Векторы называются образующими линейной оболочки.
Линейная комбинация радиус-векторов называется неотрицательной, если все ее коэффициенты — неотрицательные числа. Множество неотрицательных комбинаций радиус-векторов называется их конической оболочкой и обозначается:
Линейная комбинация радиус-векторов называется аффинной, если сумма ее коэффициентов равна единице: . Множество аффинных комбинаций радиус-векторов называется их аффинной оболочкой и обозначается:
Линейная комбинация радиус-векторов называется выпуклой, если все ее коэффициенты – неотрицательные числа, а их сумма равна единице: . Множество выпуклых комбинаций радиус-векторов называется их выпуклой оболочкой и обозначается:
Радиус-векторы называются образующими конической оболочки , аффинной оболочки , выпуклой оболочки .
Учитывая взаимно однозначное соответствие радиус-векторов и точек многомерного пространства , можно говорить о неотрицательной, аффинной или выпуклой комбинации точек , полагая (по определению)
Свойства линейных, конических, аффинных и выпуклых оболочек использовались ранее для описания простейших геометрических объектов: прямых, плоскостей, отрезков, треугольников, плоских и трехгранных углов, тетраэдров. В -мерном пространстве линейные, конические, аффинные и выпуклые оболочки служат для определения аналогичных геометрических объектов.
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|