Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Многочлены от матриц
ОглавлениеЛинейная алгебра

Многочлены от матриц


Напомним определение многочлена от матрицы. Пусть заданы многочлен (степени [math]m[/math]) переменной [math]\lambda:[/math]


[math]f(\lambda)=a_m\cdot \lambda^m+a_{m-1}\cdot \lambda^{m-1}+\ldots+a_1\cdot \lambda+a_0,[/math]
(7.40)

где [math]A[/math] — квадратная матрица n-го порядка. Выражение вида

[math]f(A)=a_m\cdot A^m+a_{m-1}\cdot A^{m-1}+\ldots+a_1\cdot A+a_0\cdot E,[/math]
(7.41)

называется многочленом от матрицы [math]A[/math].

При больших значениях [math]m[/math] и [math]n[/math] вычисление выражения (7.41) затруднительно из-за операции возведения матрицы в натуральную степень. Поэтому требуется найти другие, эквивалентные определению (7.41), формы записи и алгоритмы эффективного вычисления многочлена от матрицы. Для упрощения (7.41) имеются две возможности. Во-первых, можно упростить матрицу [math]A[/math] так, чтобы многочлен (7.40) от упрощенной матрицы уже вычислялся сравнительно просто. Например, выражение (7.41) легко вычисляется, если матрица [math]A[/math] диагональная. Во-вторых, можно понизить степень [math]m[/math] многочлена, тогда самая трудоемкая операция — возведение матрицы в степень — упрощается.




Использование жордановой формы для нахождения многочлена от матрицы


Использование жордановой формы матрицы для нахождения многочлена от матрицы основано на трех свойствах.


1. Многочлены от подобных матриц подобны.


Действительно, пусть при помощи преобразования подобия матрица [math]A[/math] приведена к жордановой форме [math]J_A=S^{-1}AS[/math]. Подставим [math]A=SJ_AS^{-1}[/math] в правую часть (7.41):


[math]f(A)=a_m\cdot(SJ_AS^{-1})^m+ a_{m-1}\cdot(SJ_AS^{-1})^{m-1}+\ldots+ a_1\cdot(SJ_AS^{-1})+a_0\cdot E[/math]

Учитывая, что [math](SJ_AS^{-1})^k= \underbrace{SJ_AS^{-1}\cdot SJ_AS^{-1} \cdot\ldots\cdot SJ_AS^{-1}}_{k}= SJ_A^kS^{-1}[/math] для любого натурального [math]k[/math], получаем


[math]f(A)=S\cdot\Bigl(a_mJ_A^m+a_{m-1}J_A^{m-1}+\ldots+a_1J_A+a_0E\Bigr)\cdot S^{-1}=S\cdot f(J_A)\cdot S^{-1}.[/math]

Таким образом, многочлены [math]f(A)[/math] и [math]f(J_A)[/math] подобны (с той же самой преобразующей матрицей [math]S[/math]):


[math]A=S\cdot J_A\cdot S^{-1}\qquad \Rightarrow\qquad f(A)=S\cdot f(J_A)\cdot S^{-1}.[/math]

2. Многочлен от блочно-диагоналъной матрицы является блочно-диагоналъной матрицей.


Пусть [math]A=\begin{pmatrix}A_1\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&A_2\end{pmatrix}[/math], где [math]A_1[/math] и [math]A_2[/math] — квадратные матрицы, а [math]O[/math] — нулевые матрицы соответствующих размеров. Для блочно-диагональных матриц справедливы равенства (они следуют из операций над блочными матрицами):


[math]A^k=\begin{pmatrix} A_1\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&A_2\end{pmatrix}^k= \begin{pmatrix} A_1^k\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&A_2^k\end{pmatrix}\!,\quad a_k\cdot A_k=\begin{pmatrix} a_kA_1\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&a_kA_2\end{pmatrix}\!,[/math] где [math]k\in\mathbb{N}[/math]

Поэтому [math]f(A)=\begin{pmatrix} f(A_1)\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!& f(A_2) \end{pmatrix}[/math].Для большего числа блоков доказательство V. о 1\Аг)) аналогичное.


3. Многочлен (7.41) от жордановой клетки [math]J_r(\lambda_0)[/math] имеет вид


[math]f(J_r(\lambda_0))= \begin{pmatrix}f(\lambda_0)& \dfrac{1}{1!}f'(\lambda_0)& \cdots& \dfrac{1}{(r-1)!}f^{(r-1)}(\lambda_0)\\[8pt] 0&f(\lambda_0)& \cdots& \dfrac{1}{(r-2)!}f^{(r-2)}(\lambda_0)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&f(\lambda_0) \end{pmatrix}\!.[/math]
(7.42)

Это верхняя треугольная матрица r-го порядка, на главной диагонали которой стоят значения функции [math]f(\lambda)[/math] в точке [math]\lambda_0[/math], над диагональю — значения первой производной в этой же точке и т.д., т.е. коэффициенты ряда Тейлора для функции [math]f(\lambda)[/math].


Действительно, разложим многочлен (7.40) по формуле Тейлора в окрестности точки [math]\lambda=\lambda_0:[/math]


[math]f(\lambda)= f(\lambda_0)+ \frac{1}{1!}\,f'(\lambda_0)(\lambda-\lambda_0)+ \frac{1}{2!}\, f''(\lambda_0)(\lambda-\lambda_0)^2+\ldots+ \frac{1}{m!}\,f^{(m)} (\lambda_0)(\lambda-\lambda_0)^m.[/math]

Остаточный член в данном случае равен нулю, так как все производные более высокого порядка, чем [math]m[/math], тождественно равны нулю. При вычислении [math]f(J_r(\lambda_0))[/math] линейный двучлен [math](\lambda-\lambda_0)[/math] заменяется матрицей


[math]I=\Bigl(J_r(\lambda_0)-\lambda_0E\Bigr)= \begin{pmatrix}\lambda_0&1&\cdots&0&0\\ 0&\lambda_0&\ddots&0&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\lambda_0&1\\ 0& 0&\cdots&0&\lambda_0\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}\lambda_0&0&\cdots&0&0\\ 0&\lambda_0 &\ddots&0&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\lambda_0&0\\ 0&0&\cdots& 0&\lambda_0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&1&\cdots&0&0\\ 0&0&\ddots&0&0\\ \vdots&\vdots& \ddots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0&1\\ 0&0&\cdots&0&0 \end{pmatrix}\!,[/math]

у которой элементы над главной диагональю равны единице, а остальные элементы равны нулю, т.е. [math]I=\begin{pmatrix}0&e_1&e_2&\cdots&e_{r-1}\end{pmatrix}[/math], где [math]e_i[/math] — i-й столбец единичной матрицы r-го порядка.


Можно показать, что при возведении в степень единичные элементы матрицы [math]I[/math] смещаются вверх:


[math]I^2=\begin{pmatrix}0&0&e_1&e_2&\cdots&e_{r-2}\end{pmatrix},\quad I^3=\begin{pmatrix}0&0&0&e_1&\cdots&e_{r-3}\end{pmatrix}[/math] и т.д.

причем [math]I^k[/math] — нулевая матрица при [math]k\geqslant r[/math]. Подставляя эти матрицы в формулу Тейлора, получаем

[math]f(A)= f(\lambda_0)\cdot E+\frac{1}{1!}\,f'(\lambda_0)\cdot I+ \frac{1}{2!}\, f''(\lambda_0)\cdot I^2+ \frac{1}{m!}\,f'^{(m)}(\lambda_0)\cdot I^m,[/math]

Складывая матрицы в правой части, получаем квадратную матрицу r-го порядка, у которой элементы главной диагонали равны [math]f(\lambda_0)[/math], элементы над главной диагональю равны — [math]\frac{1}{1!}\,f'(\lambda_0)[/math] и т.д., т.е. матрицу вида (7.42).




Пример 7.16. Найти многочлен [math]f(\lambda)= \lambda^2+ \lambda+1[/math] от матриц


[math]A=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}\!,\qquad B=\begin{pmatrix} 2&1&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix}\!,\qquad C=\begin{pmatrix}2&1&0\\ 0&2&0\\ 0&0&3 \end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. а) Матрица [math]A[/math]- это жорданова клетка 3-го порядка, соответствующая собственному значению 2: [math]A=J_3(2)[/math]. Находим значения функции и ее производных в точке [math]\lambda=2:[/math] [math]f(2)=7,[/math] [math]f'(2)=5,[/math] [math]f''(2)=2[/math]. Составляем матрицу вида (7.42), учитывая, что [math]r=3:[/math]


[math]f(A)=f(J_3(2))= \begin{pmatrix}f(2)&\dfrac{1}{1!}\,f'(2)&\dfrac{1}{2!}\,f''(2)\\[8pt] 0&f(2)&\dfrac{1}{1!}\,f'(2)\\[4pt] 0&0&f(2) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}7&5&1\\ 0&7&5\\ 0&0&7 \end{pmatrix}\!.[/math]

Матрица [math]B[/math] имеет жорданову форму [math]B=\operatorname{diag} (J_2(2),\,J_1(2))[/math], т.е. является блочно-диагональной. По свойству 2 многочлен от матрицы [math]B[/math] является блочно-диагональной матрицей. Записываем многочлен [math]f(\lambda)[/math] от каждой жордановой клетки по формуле (7.42):


[math]f(J_2(2))=\begin{pmatrix}7&5\\0&7\end{pmatrix}\!,\qquad f(J_1(2))=f(2)=7.[/math]

Здесь число 7 рассматривается как квадратная матрица 1-го порядка. Составляем из этих квадратных матриц искомую блочно-диагональную матрицу

[math]f(B)= \operatorname{diag}\!\left(\begin{pmatrix}7&5\\0&7\end{pmatrix}\!,\,(7)\right)= \begin{pmatrix} 7&5\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&7\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&0\!\!&\vline\!\!&7 \end{pmatrix}\!.[/math]

Матрица [math]C[/math] имеет жорданову форму [math]C=\operatorname{diag} (J_2(2),J_1(3))[/math], т.е. является блочно-диагональной. Записываем многочлен [math]f(\lambda)[/math] от каждой жордановой клетки по формуле (7.42):


[math]f(J_2(2))=\begin{pmatrix}7&5\\0&7\end{pmatrix}\!,\qquad f(J_1(3))=f(3)=13.[/math]

Составляем из этих квадратных матриц искомую блочно-диагональную матрицу

[math]f(C)= \operatorname{diag}\!\left(\begin{pmatrix}7&5\\0&7\end{pmatrix}\!,\,(13)\right)= \begin{pmatrix} 7&5\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&7\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&0\!\!&\vline\!\!&13 \end{pmatrix}\!.[/math]



Первый способ нахождения многочлена от матрицы


1. Привести матрицу [math]A[/math] к жордановой форме [math]J_A=S^{-1}AS[/math], т.е. определить жорданову форму [math]J_A[/math] и преобразующую матрицу [math]S[/math].


2. Составить блочно-диагональную матрицу [math]f(J_A)[/math], размещая на ее диагонали многочлены от жордановых клеток (7.42).


3. Найти многочлен от матрицы А по формуле [math]f(A)=S\cdot f(J_A)\cdot S^{-1}[/math].


Пример 7.17. Найти многочлен [math]f(\lambda)=\lambda^m[/math] (при [math]m>1[/math]) от матриц:


[math]A=\begin{pmatrix} 4&4\\-1&0 \end{pmatrix}\!;\quad B=\begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&1&-1\\ -1&-1&1 \end{pmatrix}\!;\quad C=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}\!;\quad D=\begin{pmatrix} -2&5&-3\\ -2&5&-3\\ 1&-1&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Матрица [math]A[/math]. 1. Жорданова форма [math]J_A[/math] и преобразующая матрица [math]S[/math] были найдены в примере 7.15:


[math]J_A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\!,\qquad S=\begin{pmatrix}2&1\\-1&0 \end{pmatrix}\!,\qquad S^{-1}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&2 \end{pmatrix}\!.[/math]

2. Жорданова форма [math]J_A[/math] состоит из одной жордановой клетки [math]J_A=J_2(2)[/math] 2-го порядка, соответствующей собственному значению [math]\lambda=2[/math]. Найдем значения функции [math]f(\lambda)=\lambda^m[/math] и ее производной [math]f'(\lambda)=m \lambda^{m-1}[/math] при [math]\lambda=2:[/math] [math]f(2)=2^m,[/math] [math]f'(2)=m2^{m-1}[/math]. Запишем многочлен от жордановой формы (блочно-диагональную матрицу с одним блоком): [math]f(J_A)= \begin{pmatrix} 2^m&m2^{m-1}\\ 0&2^m\end{pmatrix}[/math].


3. Найдем многочлен от матрицы [math]A:[/math]


[math]\begin{aligned}f(A)&= \begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 2^m&m2^{m-1}\\ 0&2^m \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&-1\\1&2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2&1\\-1&0 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}m2^{m-1}&(m-1)2^{m}\\ 2^m&2^{m+1} \end{pmatrix}=\\[2pt] &= \begin{pmatrix}(m+1)2^m&m2^{m+1}\\ -m2^{m-1}&-(m-1)2^{m} \end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]

Матрица В. 1. Жорданова форма [math]J_B[/math] и преобразующая матрица [math]S[/math] были найдены в примере 7.15:


[math]J_B=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{pmatrix}\!,\qquad S=\begin{pmatrix}-1&0&1\\ 1&0&0\\ 0&-1&0\end{pmatrix}\!,\qquad S^{-1}= \begin{pmatrix}0&1&1\\ 0&0&-1\\ 1&1&0 \end{pmatrix}\!.[/math]

2. Жорданова форма [math]J_B[/math] состоит из одной жордановой клетки [math]J_B=J_3(1)[/math] 3-го порядка, соответствующей собственному значению [math]\lambda=1[/math]. Найдем значения функции [math]f(\lambda)[/math] и ее производных [math]f'(\lambda),\,f''(\lambda)[/math] при [math]\lambda=1:[/math] [math]f(1)=1,[/math] [math]f'(1)=m,[/math] [math]f''(1)=m(m-1)[/math]. Запишем многочлен от жордановой формы [math](r=3)\colon[/math]


[math]f(J_B)= \begin{pmatrix} 1&m&\frac{m}{2}(m-1)\\ 0&1&m\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

3. Найдем многочлен от матрицы [math]B:[/math]


[math]f(b)= \begin{pmatrix}-1&0&1\\ 1&0&0\\ 0&-1&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 1&m&\frac{m}{2}(m-1)\\ 0&1&m\\ 0&0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&-1\\ 1&1&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1-\dfrac{m}{2}(m-1)&-\dfrac{m}{2}(m-1)&m\\[9pt] \dfrac{m}{2}(m-1)& 1+\dfrac{m}{2}(m-1)&-m\\[4pt] -m&-m&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Матрица [math]C[/math]. 1. Жорданова форма [math]J_C[/math] и преобразующая матрица [math]S[/math] были найдены в примере 7.15:


[math]J_C=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&3\end{pmatrix}\!,\qquad S=\begin{pmatrix} 1&0&-1\\ 1&1&-1\\ -2&-1&-1 \end{pmatrix}\!,\qquad S^{-1}=\begin{pmatrix} 2/3&-1/3&-1/3\\ -1&1&0\\ -1/3&-1/3&-1/3\end{pmatrix}\!.[/math]

2. Жорданова форма [math]J_C[/math] состоит из трех жордановых клеток 1-го порядка [math]J_C= \operatorname{diag}(J_1(0),\,J_1(0),\,J_1(3))[/math], соответствующих собственным значениям [math]\lambda=0[/math] и [math]\lambda=3[/math]. Найдем значения функции [math]f(\lambda)=\lambda^m[/math] при [math]\lambda=0[/math] и [math]\lambda=3:[/math] [math]f(0)=0,[/math] [math]f(3)=3^m[/math]. Запишем многочлен от жордановой формы:


[math]f(J_C)= \operatorname{diag}\Bigl(f(J_1(0)),\,f(J_1(0)),\,f(J_1(3))\Bigr)= \begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&3^m \end{pmatrix}\!.[/math]

3. Найдем многочлен от матрицы [math]C:[/math]


[math]\begin{aligned}f(C)&= \begin{pmatrix} 1&0&-1\\ 1&1&-1\\ -2&-1&-1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&3^m \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 2/3&-1/3&-1/3\\ -1&1&0\\ -1/3&-1/3&-1/3\end{pmatrix}=\\[2pt] &=\begin{pmatrix} 3^{m-1}&3^{m-1}&3^{m-1}\\3^{m-1}&3^{m-1}&3^{m-1}\\3^{m-1}&3^{m-1}&3^{m-1}\end{pmatrix}= 3^{m-1}\cdot\! \begin{pmatrix}1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]

Результат совпадает с найденным в примерах 7.10, 7.12.


Матрица [math]D[/math]. 1. Жорданова форма [math]J_D[/math] и преобразующая матрица [math]S[/math] были найдены в примере 7.15:


[math]J_D=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&3\end{pmatrix}\!;\qquad S= \frac{1}{9}\!\begin{pmatrix} 3&5&9\\3&2&9\\3&-1&0\end{pmatrix}\!;\qquad S^{-1}=\begin{pmatrix} 1&-1&3\\3&-3&0\\ -1&2&-1\end{pmatrix}\!.[/math]

2. Жорданова форма [math]J_D[/math] состоит из двух жордановых клеток 2-го и 1-го порядков [math]J_D=\operatorname{diag}(J_2(0),\,J_1(3))[/math]. соответствующих собственным значениям [math]\lambda=0[/math] и [math]\lambda=3[/math]. Найдем значения функции [math]f(0)=0,[/math] [math]f(3)=3^m[/math] и производной [math]f'(0)=0[/math] (так как [math]m>1[/math]). Запишем многочлен от жордановой формы


[math]f(J_D)= \operatorname{diag}\Bigl(f(J_2(0)),\,f(J_1(3))\Bigr)= \begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&3^m \end{pmatrix}\!.[/math]

3. Найдем многочлен от матрицы [math]D:[/math]


[math]f(D)= \frac{1}{9}\!\begin{pmatrix} 3&5&9\\3&2&9\\ 3&-1&0 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&3^m \end{pmatrix}\! \cdot\! \begin{pmatrix} 1&-1&3\\ 3&-3&0\\ -1&2&-1 \end{pmatrix}= 3^m\! \begin{pmatrix}-1&2&-1\\ -1&2&-1\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\!.[/math]



Использование аннулирующих многочленов


Для понижения степени многочлена (7.41) можно использовать аннулирующие многочлены матрицы [math]A[/math], например, ее характеристический [math]\Delta_A(\lambda)=\det(A-\lambda E)[/math] или минимальный [math]\mu_A(\lambda)[/math] многочлены.


Обозначим через [math]\nu[/math] степень минимального многочлена


[math]\mu_A(\lambda)= (\lambda-\lambda_1)^{m_1}\cdot (\lambda-\lambda_2)^{m_2}\cdot \ldots\cdot (\lambda-\lambda_k)^{m_k}.[/math]

Заметим, что [math]\nu[/math] не превосходит порядка [math]n[/math] матрицы [math]A[/math] (или, что то же самое, степени [math]n[/math] характеристического многочлена [math]\Delta_A(\lambda)[/math]), т.е. [math]\nu=m_1+\ldots+m_k\leqslant n[/math]. Разделим заданный многочлен (7.40) на минимальный:


[math]f(\lambda)= q(\lambda)\cdot \mu_A(\lambda)+r(\lambda).[/math]
(7.43)

Здесь [math]q(\lambda)[/math] — частное, а [math]r(\lambda)[/math] — остаток, степень которого меньше [math]\nu:[/math]


[math]r(\lambda)= r_{\nu-1}\cdot \lambda^{\nu-1}+ r_{\nu-2}\cdot \lambda^{\nu-2}+\ldots+ r_1\cdot \lambda+r_0.[/math]
(7.44)

Подставив в (7.43) вместо переменной [math]\lambda[/math] матрицу [math]A[/math], получим:


[math]f(A)=r(A).[/math]
(7.45)

поскольку минимальный многочлен является аннулирующим [math](\mu_A(\lambda)=O)[/math].


Таким образом, вместо вычисления многочлена (7.41) степени [math]m[/math] можно вычислить многочлен (7.44), степень которого меньше [math]\nu[/math]. Коэффициенты [math]r_0,r_1,\ldots,r_{\nu-1}[/math] многочлена (7.44) находятся следующим образом.


Если все корни минимального многочлена простые, то, подставляя корень [math]\lambda_j[/math] в (7.43), получаем [math]f(\lambda_j)=r(\lambda_j)[/math], так как [math]\mu_A(\lambda_j)=0[/math], т.е.


[math]f(\lambda_j)= r_{\nu-1}\lambda_j^{\nu-1}+ r_{\nu-2} \lambda_j^{\nu-2}+\ldots+ r_1 \lambda_j+r_0,\quad j=1,2,\ldots,\nu.[/math]

Если [math]\lambda_j[/math] — корень минимального многочлена кратности [math]m_j[/math], учитывая, что


[math]\mu_A(\lambda_j)=0,\quad \mu'_A(\lambda_j)=0,\quad \ldots,\quad \mu_{A}^{(m_j-1)}(\lambda_j)=0[/math]

из (7.43), последовательно дифференцируя, получаем

[math]f(\lambda_j)=r(\lambda_j),\quad \left.{\left(\dfrac{d^i}{d \lambda^i} f(\lambda)\right)}\!\right|_{\lambda=\lambda_j}= \left.{\left(\dfrac{d^i}{d \lambda^i} r(\lambda)\right)}\!\right|_{\lambda=\lambda_j},\quad i=1,2,\ldots,m_j-1.[/math]
(7.46)

Записывая равенства (7.46) для каждого корня минимального многочлена, получим совместную систему [math]\nu[/math] линейных уравнений с [math]\nu[/math] неизвестными [math]r_0,r_1,\ldots,r_{\nu-1}[/math].




Второй способ нахождения многочлена от матрицы



1. Найти минимальный многочлен [math]\mu_A(\lambda)[/math] матрицы [math]A[/math] одним из способов, рассмотренных в разд.7.2.4. Определить его степень [math]\mu[/math] и записать многочлен (7.44) с неопределенными коэффициентами [math]r_0,r_1,\ldots,r_{\nu-1}:[/math]


[math]r(\lambda)= r_{\nu-1}\cdot \lambda^{\nu-1}+ r_{\nu-2}\cdot \lambda^{\nu-2}+\ldots+ r_1\cdot \lambda+r_0.[/math]

2. Для каждого корня [math]\lambda_j[/math] (кратности [math]m_j[/math]) минимального многочлена по формулам (7.46) составить [math]m_j[/math] уравнений. Все уравнения объединить в одну систему.


3. Решить составленную систему, т.е. найти коэффициенты [math]r_0,r_1,\ldots,r_{\nu-1}[/math] многочлена [math]r(\lambda)[/math].


4. По формуле (7.45) найти многочлен от матрицы:


[math]f(A)=r(A)= r_{\nu-1}\cdot A^{\nu-1}+ r_{\nu-2}\cdot A^{\nu-2}+\ldots+r_1\cdot A+r_0\cdot E.[/math]



Замечания 7.8.


1. Вместо минимального многочлена можно использовать характеристический многочлен матрицы, который также является аннулирующим (см. теорему Гамильтона-Кэли). При этом в пунктах 1,2 алгоритма минимальный многочлен заменяется характеристическим, степень которого равна [math]n[/math].


2. В первом способе нахождения многочлена от матрицы используются все инвариантные множители, так как нужно получить жорданову форму. Во втором способе требуется только один последний инвариантный множитель, который совпадает с минимальным многочленом. Можно сказать, что жорданова форма матрицы излишне информативна для решения поставленной задачи.




Пример 7.18. Найти (вторым способом) многочлен [math]f(\lambda)= \lambda^m[/math] (при [math]m>1[/math]) от матриц:


[math]A=\begin{pmatrix}4&4\\-1&0\end{pmatrix}\!;\quad B=\begin{pmatrix}1&0&1\\ 0&1&-1\\ -1&-1&1 \end{pmatrix}\!;\quad C=\begin{pmatrix}1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}\!;\quad D=\begin{pmatrix}-2&5&-3\\ -2&5&-3\\ 1&-1&0 \end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Матрица [math]A[/math]. 1. Для матрицы [math]A[/math] в примере 7.15 были найдены инвариантные множители. Минимальный многочлен совпадает с последним инвариантным множителем. Поэтому [math]\mu_A(\lambda)=e_2(\lambda)=(\lambda-2)^2[/math]. Степень [math]\nu[/math] минимального многочлена равна двум. Значит, многочлен (7.44) линейный: [math]r(\lambda)=r_1 \lambda+r_0[/math].


2. Для двойного корня [math]\lambda=\lambda_1=2~(m_1=2)[/math] составляем уравнения (7.46):


[math]\begin{cases}f(2)=r(2),\\ \left.{\dfrac{df(\lambda )}{d \lambda}}\right|_{\lambda=2}= \left.{\dfrac{dr(\lambda )}{d \lambda}}\right|_{\lambda=2},\end{cases}\Rightarrow\quad \begin{cases}2^m=r_1\cdot2+r_0,\\m\cdot2^{m-1}=r_1.\end{cases}[/math]

3. Решая систему, получаем [math]r_1=m2^{m-1},~r_0=(1-m)2^m[/math] и [math]r(\lambda)=m2^{m-1}\cdot \lambda+(1-m)2^m[/math].


4. Находим многочлен от матрицы [math]A:[/math]


[math]f(A)=r(A)= m2^{m-1}\cdot\! \begin{pmatrix}4&4\\-1&0\end{pmatrix}+()2^m\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}(m+1)2^m&m2^{m+1}\\ -m2^{m-1}& -(m-1)2^m\end{pmatrix}\!.[/math]

Матрица [math]B[/math]. 1. Инвариантные множители характеристической матрицы [math](B-\lambda E)[/math] найдены в примере 7.15. Минимальный многочлен равен последнему инвариантному множителю: [math]\mu_B(\lambda)=e_3(\lambda)=(\lambda-1)^3[/math]. Степень [math]\nu[/math] минимального многочлена равна 3. Значит, многочлен (7.44) — это квадратный трехчлен: [math]r(\lambda)=r_2 \lambda^2+r_1 \lambda+r_0[/math].


2. Для тройного корня [math]\lambda=\lambda_1=1~(m_1=3)[/math] составляем уравнения (7.46):


[math]\begin{cases} f(1)=r(1),\\[4pt] \left.{\dfrac{df(\lambda )}{d \lambda}}\right|_{\lambda=1}= \left.{\dfrac{dr(\lambda )}{d \lambda}}\right|_{\lambda=1},\\[8pt] \left.{\dfrac{d^2f(\lambda )}{d \lambda^2}}\right|_{\lambda=1}= \left.{\dfrac{d^2r(\lambda )}{d \lambda^2}}\right|_{\lambda=1}, \end{cases}\Rightarrow\quad \begin{cases}1^m=r_2\cdot1^2+r_1\cdot1+r_0,\\ m\cdot1^{m-1}=2r_2\cdot1+r_1,\\ m(m-1)\cdot1^{m-2}=2r_2. \end{cases}[/math]

3. Решая систему, получаем [math]r_2=\frac{m(m-1)}{2},~~r_1=m(2-m),~~r_0=\frac{(m-1)(m-2)}{2}[/math] и


[math]r(\lambda)=\frac{m(m-1)}{2}\cdot \lambda^2+ m(m-1)\cdot \lambda+\frac{(m-1)(m-2)}{2}.[/math]

4. Вычисляя [math]B^2=\begin{pmatrix}0&-1&2\\ 1&2&-2\\ -2&-2&1 \end{pmatrix}[/math], записываем искомый многочлен:


[math]\begin{aligned} f(B)=r(B)&= \frac{m(m-1)}{2}\cdot\! \begin{pmatrix}0&-1&2\\ 1&2&-2\\ -2&-2&1\end{pmatrix}+ m(2-m)\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&1\\ 0&1&-1\\ -1&-1&1 \end{pmatrix}+ \frac{(m-1)(m-2)}{2}\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}=\\[2pt] &= \begin{pmatrix}1- \dfrac{m(m-1)}{2}&-\dfrac{m(m-1)}{2}&m\\[9pt] \dfrac{m(m-1)}{2}& 1+\dfrac{m(m-1)}{2}&-m\\[4pt] -m&-m&1 \end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]

Матрица [math]C[/math]. 1. Минимальный многочлен найден в примере7.15: [math]\mu_C(\lambda)=\lambda(\lambda-3)[/math]. Степень [math]\nu[/math] многочлена равна 2. Следовательно, многочлен (7.44) имеет первую степень: [math]r(\lambda)=r_1 \lambda+r_0[/math].


2. Для каждого простого корня [math]\lambda=\lambda_0=0[/math] и [math]\lambda= \lambda_2=3[/math] записываем пер вое равенство из (7.46):


[math]\begin{cases}f(0)=r(0),\\ f(3)=r(3),\end{cases}\,\Rightarrow\quad \begin{cases} 0^m=r_1\cdot0+r_0,\\ 3^m=r_1\cdot3+r_0.\end{cases}[/math]

3. Решая систему, получаем [math]r_1=3^{m-1},~r_0=0[/math] и [math]r(\lambda)=3^{m-1}\lambda[/math].


4. Находим многочлен от матрицы [math]C:[/math]


[math]f(C)=r(C)=3^{m-1}C= 3^{m-1}\cdot\! \begin{pmatrix}1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Найдем [math]f(C)[/math], используя характеристический многочлен вместо минимального. Согласно пункту 1 замечаний 7.8, выполняем все действия второго способа, заменяя минимальный многочлен характеристическим.


1. Найдем характеристический многочлен матрицы [math]C[/math] (см. при мер 7.11): [math]\Delta_C(\lambda)=\lambda^2(3-\lambda)[/math]. Это многочлен 3-й степени. Поэтому многочлен (7.44) будет 2-ой степени: [math]r(\lambda)=r_2 \lambda^2+r_1 \lambda+r_0[/math].


2. Для двойного корня [math]\lambda=0[/math] записываем два уравнения из (7.46), а для простого корня [math]\lambda=3[/math] одно:


[math]\begin{cases} f(0)=r(0),\\ \left.{\dfrac{df(\lambda)}{d \lambda}}\right|_{\lambda=0}= \left.{\dfrac{dr(\lambda)}{d \lambda}} \right|_{\lambda=0},\\ f(3)=r(3), \end{cases}\,\Rightarrow\quad \begin{cases} 0^m=r_2\cdot 0^2+r_1\cdot0+r_0,\\ m\cdot0^{m-1}=2r_2\cdot0+r_1,\\ 3^m=r_2\cdot 3^2+r_1\cdot3+r_0.\end{cases}[/math]

3. Решая систему, получаем [math]r_2=3^{m-2},~ r_1=r_0=0[/math] и [math]r(\lambda)=3^{m-2}\lambda^2[/math].


4. Вычисляя [math]C^2=\begin{pmatrix} 3&3&3\\ 3&3&3\\ 3&3&3 \end{pmatrix}[/math], записываем искомый многочлен:


[math]f(C)=r(C)=3^{m-2}\cdot\! \begin{pmatrix}3&3&3\\ 3&3&3\\ 3&3&3\end{pmatrix}= 3^{m-1}\cdot\! \begin{pmatrix}1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Поскольку степень характеристического многочлена больше степени минимального многочлена [math](3>2)[/math], его применение менее эффективно.


Матрица [math]D[/math]. 1. Инвариантные множители характеристической матрицы [math](D-\lambda E)[/math] найдены в примере 7.15. Минимальный многочлен равен последнему инвариантному множителю: [math]\mu_D(\lambda)=e_3(\lambda)=\lambda^2(\lambda-3)[/math]. Степень [math]\nu[/math] минимального многочлена равна 3. Значит, многочлен (7.44) — это квадратный трехчлен: [math]r(\lambda)=r_2 \lambda^2+r_1 \lambda+r_0[/math].


2. Для двойного корня [math]\lambda=\lambda_1=0~(m_1=2)[/math] записываем первые два равенства (7.46), а для простого корня [math]\lambda=\lambda_2=3[/math] [math](m_2=1)[/math] — первое равенство из (7.46). Получаем систему трех уравнений относительно коэффициентов квадратного трехчлена [math]r(\lambda):[/math]


[math]\begin{cases} f(0)=r(0),\\ \left.{\dfrac{df(\lambda)}{d \lambda}}\right|_{\lambda=0}= \left.{\dfrac{dr(\lambda)}{d \lambda}}\right|_{\lambda=0},\\ f(3)=r(3), \end{cases}\Rightarrow\quad \begin{cases}0^m=r_2\cdot0^2+r_1\cdot0+r_0,\\ m\cdot0^{m-1}=2r_2\cdot0+r_1,\\ 3^m=r_2\cdot3^2+r_1\cdot3+r_0. \end{cases}[/math]

3. Решая систему, получаем [math]r_2=3^{m-2},~r_1=r_0=0[/math] и [math]r(\lambda)=3^{m-2}\lambda^2[/math].


4. Находим многочлен от матрицы [math]D:[/math]


[math]f(D)=r(D)=3^{m-2}D^2= 3^{m-2}\cdot\! \begin{pmatrix}-2&5&-3\\ -2&5&-3\\ 1&-1&0 \end{pmatrix}= 3^m\cdot\! \begin{pmatrix}-1&2&-1\\ -1&2&-1\\ 0&0&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Эта формула справедлива при [math]m>1[/math], так как при [math]m=1[/math] или [math]m=0[/math] в системе для нахождения коэффициентов многочлена [math]r(\lambda)[/math] появляются неопределенные выражения [math](0^0)[/math]. Впрочем, для этих показателей степени [math](m=1,~m=0)[/math] многочлен [math]f(D)[/math] легко находится по определению [math]D^1=D,~D^0=E[/math].


Все результаты совпадают с полученными в примере 7.17.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved