Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Многочленные матрицы (λ-матрицы) и операции над ними
ОглавлениеЛинейная алгебра

Многочленные матрицы (λ-матрицы) и операции над ними


Определение многочленных матриц (λ-матриц)


Многочленной матрицей (или λ-матрицей) называется матрица, элементами которой являются многочлены переменной [math]\lambda[/math]. Многочленные матрицы являются частным случаем функциональных. Далее будут рассматриваться только квадратные λ-матрицы n-го порядка:


[math]A(\lambda)= \begin{pmatrix}a_{11}(\lambda)&\cdots&a_{1n}(\lambda)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}(\lambda)&\cdots&a_{nn}(\lambda)\end{pmatrix}\!.[/math]
(7.1)

Элементы λ-матрицы — это многочлены вида


[math]a_{ij}(\lambda)= a_{ij}^{(m)}\lambda^m+ a_{ij}^{(m-1)}\lambda^{m-1}+\ldots+ a_{ij}^{(1)}\lambda+a_{ij}^{(0)},[/math]

где [math]a_{ij}^{(m)},\ldots,a_{ij}^{(0)}[/math] — коэффициенты; [math]m[/math] — степень многочлена (в общем случае разная для разных элементов матрицы).


Случай, когда все элементы λ-матрицы тождественно равны нулю, сводится к числовой нулевой матрице. Поэтому нулевые λ-матрицы далее не рассматриваются.


Любую λ-матрицу n-го порядка можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами:


[math]A(\lambda)=A_m \lambda^m+A_{m-1}\lambda^{m-1}+\ldots+A_1 \lambda+A_0,[/math]
(7.2)

где [math]A_{m},A_{m-1},\ldots,A_1,A_0[/math] — числовые квадратные матрицы n-го порядка, матрица [math]A_m\ne O[/math] — старший коэффициент, матрица [math]A_0[/math] — свободный член, неотрицательное целое число [math]m[/math] — степень многочлена (7.2). Заметим, что степень [math]m[/math] многочлена (7.2) равна наибольшей из степеней элементов λ-матрицы (7.1). Многочлен (7.2) называется регулярным, если определитель старшего коэффициента не равен нулю: [math]\det{A_m}\ne0[/math].


Две λ-матрицы [math]A(\lambda)[/math] и [math]B(\lambda)[/math] называются равными [math](A(\lambda)=B(\lambda))[/math], если они имеют одинаковый порядок [math](n)[/math] и равные соответствующие элементы:


[math]a_{ij}(\lambda)=b_{ij}(\lambda)\quad (i=1,2,\ldots,n;~ j=1,2,\ldots,n).[/math]



Пример 7.1. Представить λ-матрицу [math]A(\lambda)= \begin{pmatrix} \lambda^3-2 \lambda^2&\lambda^2+\lambda+2\\ 3 \lambda^3+4&5 \lambda^2+6\end{pmatrix}[/math] в виде многочлена с матричными коэффициентами.


Решение. Данная λ-матрица 2-го порядка [math](n=2)[/math], наибольшая из степеней многочленов-элементов матрицы равна 3 [math](m=3)[/math]. Применяя линейные операции над матрицами, получаем


[math]A(\lambda)= \begin{pmatrix} \lambda^3-2 \lambda^2&\lambda^2+\lambda+2\\ 3 \lambda^3+4&5 \lambda^2+6\end{pmatrix}= \underbrace{\begin{pmatrix} 1&0\\3&0\end{pmatrix}}_{A_3}\cdot \lambda^3+ \underbrace{\begin{pmatrix} -2&1\\0&5\end{pmatrix}}_{A_2}\cdot \lambda^2+ \underbrace{\begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix}}_{A_1}\cdot \lambda+\underbrace{\begin{pmatrix} 0&2\\4&6\end{pmatrix}}_{A_3}.[/math]

Полученный многочлен не является регулярным, так как определитель старшего коэффициента равен нулю: [math]\begin{vmatrix}1&0\\3&0\end{vmatrix}=0[/math].




Замечания 7.1


1. Учитывая представление λ-матриц в виде многочленов (7.2) с матричными коэффициентами, можно показать, что λ-матрицы [math]A(\lambda)[/math] и [math]B(\lambda)[/math] равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый порядок [math](n)[/math], одинаковую степень [math](m)[/math] и равные матричные коэффициенты при одинаковых степенях [math]\lambda[/math].


2. Еще один критерий равенства λ-матриц нетрудно получить, вспоминая следствие 2 основной теоремы алгебры: λ-матрицы [math]A(\lambda)[/math] и [math]B(\lambda)[/math], степень которых не превосходит [math]m[/math], равны тогда и только тогда, когда равны числовые матрицы [math]A(\lambda_i)=B(\lambda_i)[/math] при [math](m+1)[/math] различных значениях [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m,\lambda_{m+1}[/math] переменной [math]\lambda[/math].




Операции над многочленными λ-матрицами


Все операции, определенные для числовых матриц, переносятся на λ-матрицы.




Сложение многочленных матриц (λ-матриц)


Пусть [math]A(\lambda)[/math] и [math]B(\lambda)[/math]λ-матрицы n-го порядка:


[math]\begin{aligned}A(\lambda)&=A_m \lambda^m+A_{m-1} \lambda^{m-1}+\ldots+A_1 \lambda+A_0,\quad A_m\ne O,\\[5pt] B(\lambda)&=B_{\ell} \lambda^{\ell}+B_{\ell-1} \lambda^{\ell-1}+\ldots+B_1 \lambda+B_0,\quad B_m\ne O. \end{aligned}[/math]
(7.3)

Суммой λ-матриц [math]A(\lambda)[/math] и [math]B(\lambda)[/math] называется матрица [math]C(\lambda)[/math] n-го порядка, элементы которой вычисляются по формуле:


[math]c_{ij}(\lambda)=a_{ij}(\lambda)+b_{ij}(\lambda)\quad (i=1,2,\ldots,n;~ j=1,2,\ldots,n).[/math]

При этом сумма [math]A(\lambda)+B(\lambda)[/math] может быть представлена в виде многочлена с матричными коэффициентами, степень которого не превосходит наибольшей из степеней слагаемых:


[math]A(\lambda)+B(\lambda)= (A_k+B_k)\lambda^k+(A_{k-1}+B_{k-1})\lambda^{k-1}+\ldots+ (A_1+B_1)\lambda+(A_0+B_0),[/math]
(7.4)

где [math]k=\max\{m,\ell\},~A_i=O[/math] при [math]i>m[/math], [math]B_j=O[/math] при [math]j>\ell[/math].




Умножение многочленной матрицы (λ-матрицы) на многочлен


Произведением [math]p(\lambda)\cdot A(\lambda)[/math] λ-матрицы [math]A(\lambda)[/math] на многочлен [math]p(\lambda)[/math] называется λ-матрица [math]C(\lambda)[/math] того же порядка, что и [math]A(\lambda)[/math], элементы которой вычисляются по формуле


[math]c_{ij}(\lambda)=p(\lambda)\cdot a_{ij}(\lambda),\quad (i=1,2,\ldots,n;~ j=1,2,\ldots,n).[/math]

Произведение матрицы (7.2) на многочлен [math]p(\lambda)=p_k \lambda^k+\ldots+p_1 \lambda+p_0,~ p_k\ne0[/math] можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами


[math]p(\lambda)\cdot A(\lambda)= p_k\cdot A_k \lambda^{m+k}+(p_kA_{m-1}+ p_{k-1}A_m)\lambda^{m+k-1}+\ldots+p_0\cdot A_0,[/math]
(7.5)

степень которого равна сумме степеней множителей.

В частном случае, когда многочлен [math]p(\lambda)[/math] тождественно равен постоянной [math]p_0[/math], получаем операцию умножения λ-матрицы на число.


Операция вычитания λ-матриц [math]A(\lambda)[/math] и [math]B(\lambda)[/math] определяется как сложение матрицы [math]A(\lambda)[/math] с матрицей [math](-1)\cdot B(\lambda):[/math]


[math]A(\lambda)-B(\lambda)=A(\lambda)+(-1)\cdot B(\lambda).[/math]

Линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число, умножение на многочлен) с λ-матрицами обладают теми же свойствами, что и линейные операции с числовыми матрицами.




Умножение многочленных матриц (λ-матриц)


Пусть [math]A(\lambda)[/math] и [math]B(\lambda)[/math]λ-матрицы n-го порядка (7.3). Матрицу [math]C(\lambda)[/math] того же порядка, элементы которой вычисляются по формуле


[math]c_{ij}(\lambda)= a_{i1}(\lambda)b_{1j}(\lambda)+ a_{i2}(\lambda)b_{2j}(\lambda)+\ldots+ a_{in}(\lambda)b_{nj}(\lambda)\quad (i=1,\ldots,n;~ j=1,\ldots,n),[/math]

называют произведением λ-матриц [math]A(\lambda)[/math] и [math]B(\lambda)[/math] и обозначают [math]C(\lambda)=A(\lambda)\cdot B(\lambda)[/math]. Произведение λ-матриц можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами, степень которого не превышает суммы степеней множителей:

[math]A(\lambda)\cdot B(\lambda)= A_mB_{\ell}\lambda^{m+\ell}+ (A_mB_{\ell-1}+A_{m-\ell}B_{\ell})\lambda^{m+\ell-1}+\ldots+A_0B_0.[/math]
(7.6)



Транспонирование многочленных матриц (λ-матриц)


Транспонированной для λ-матрицы [math]A(\lambda)[/math] называется λ-матрица [math]C(\lambda)[/math], элементы которой вычисляются по формуле


[math]c_{ij}(\lambda)=a_{ji}(\lambda)\quad (i=1,2,\ldots,n;~ j=1,2,\ldots,n).[/math]

Она обозначается [math]A^T(\lambda)[/math].


Транспонируя выражение [math]A(\lambda)=A_m \lambda^m+A_{m-1}\lambda^{m-1}+\ldots+ A_1 \lambda+A_0[/math], получаем представление транспонированной λ-матрицы в виде многочлена


[math]A^T(\lambda)=A_m^T \lambda^m+A_{m-1}^T\lambda^{m-1}+\ldots+ A_1^T \lambda+A_0^T[/math]



Пример 7.2. Даны λ-матрицы [math]A(\lambda)=\begin{pmatrix} \lambda^2-1&\lambda+1\\ \lambda-2&3\end{pmatrix}\!,~ B(\lambda)=\begin{pmatrix}1&2\\ \lambda+2& \lambda \end{pmatrix}[/math] и многочлен [math]p(\lambda)=2 \lambda+3[/math]. Найти [math]A(\lambda)+ B(\lambda),[/math] [math]p(\lambda)B(\lambda),[/math] [math]A(\lambda) B(\lambda),[/math] [math]B(\lambda)A(\lambda)[/math] и [math]A^T(\lambda)[/math].


Решение. Запишем данные λ-матрицы 2-го порядка [math](n=2)[/math] как многочлены (степени [math]m=2[/math] и [math]\ell=1[/math] соответственно) с матричными коэффициентами:


[math]\begin{gathered}A(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda^2-1&\lambda+1\\ \lambda-2&3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\! \lambda^2+ \begin{pmatrix}0&1\\1&0 \end{pmatrix}\! \lambda+ \begin{pmatrix}-1&1\\-2&3\end{pmatrix}= A_2 \lambda^2+A_1 \lambda+A_0;\\[5pt] B(\lambda)= \begin{pmatrix}1&2\\ \lambda+2& \lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0\\1&1 \end{pmatrix}\! \lambda+ \begin{pmatrix}1&2\\2&0\end{pmatrix}= B_1 \lambda+B_0. \end{gathered}[/math]

Найдем по определению сумму и представим ее как многочлен с матричными коэффициентами


[math]\begin{aligned}A(\lambda)+B(\lambda)&= \begin{pmatrix}\lambda^2-1&\lambda+1\\ \lambda-2&3\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&2\\ \lambda+2& \lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda^2-1+1& \lambda+1+2\\ \lambda-2+ \lambda+2&3+ \lambda\end{pmatrix}=\\[2pt] &= \begin{pmatrix} \lambda^2&\lambda+3\\ 2 \lambda&\lambda+3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\0&0 \end{pmatrix}\! \lambda^2+ \begin{pmatrix}0&1\\2&1\end{pmatrix}\! \lambda+ \begin{pmatrix} 0&3\\0&3\end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]

Тот же результат получаем по формуле (7.4), где [math]k=\max\{2;1\}=2:[/math]


[math]\begin{aligned}A(\lambda)+B(\lambda)&= A_2\cdot \lambda^2+(A_1+B_1)\cdot \lambda+ (A_0+B_0)=\\ &=\begin{pmatrix} 1&0\\0&0\end{pmatrix}\! \lambda^2+ \left[\begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0&0\\1&1\end{pmatrix}\right]\! \lambda+ \left[\begin{pmatrix} -1&1\\-2&3\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1&2\\2&0\end{pmatrix}\right]=\\ &=\begin{pmatrix} 1&0\\0&0 \end{pmatrix}\! \lambda^2+ \begin{pmatrix} 0&1\\2&1\end{pmatrix}\! \lambda+ \begin{pmatrix} 0&3\\0&3\end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]

Заметим, что степень суммы (равная двум) не превышает наибольшей из степеней слагаемых.


Найдем по определению произведение [math]p(\lambda)\cdot B(\lambda)[/math] и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами


[math]\begin{aligned}p(\lambda)\cdot B(\lambda)&= (2 \lambda+3)\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\ \lambda+2& \lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} (2 \lambda+3)\cdot 1&(2 \lambda+3)\cdot2\\ (2 \lambda+3)\cdot(\lambda+2)&(2 \lambda+3)\cdot \lambda\end{pmatrix}=\\[2pt] &=\begin{pmatrix}2 \lambda+3&4\lambda+6\\ 2 \lambda^2+7 \lambda+6& 2 \lambda^2+3 \lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0\\2&2\end{pmatrix}\! \lambda^2+ \begin{pmatrix}2&4\\7&3\end{pmatrix}\! \lambda+\begin{pmatrix}3&6\\6&0\end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]

Тот же результат получаем по формуле (7.5), где [math]k=1,~m=1,~p_1=2,~p_0=3:[/math]


[math]\begin{aligned}p(\lambda)\cdot B(\lambda)&=(p_1 \lambda+p_0)(B_1 \lambda+B_0)= p_1B_1 \lambda^2+(p_1B_0+p_0B_1)\lambda+p_0B_0=\\[2pt] &=2\cdot\! \begin{pmatrix}0&0\\1&1 \end{pmatrix}\! \lambda^2+ \left[2\cdot\!\begin{pmatrix}1&2\\2&0 \end{pmatrix}+ 3\cdot\!\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}\right]\! \lambda+3\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\2&0 \end{pmatrix}=\\[2pt] &=\begin{pmatrix}0&0\\2&2\end{pmatrix}\! \lambda^2+\begin{pmatrix}2&4\\7&3 \end{pmatrix}\! \lambda+ \begin{pmatrix}3&6\\6&0\end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]

Заметим, что степень произведения равна сумме степеней множителей.


Найдем по определению произведение [math]A(\lambda)B(\lambda)[/math] и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами:


[math]\begin{aligned}A(\lambda)\cdot B(\lambda)&=\begin{pmatrix} \lambda^2-1&\lambda+1\\ \lambda-2&3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\ \lambda+2&\lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}(\lambda^2-1)\cdot1+(\lambda+1)\cdot(\lambda+2)& (\lambda^2-1)\cdot2+ (\lambda+1)\cdot \lambda\\ (\lambda-2)\cdot1+3\cdot(\lambda+2)& (\lambda-2)\cdot2+3\cdot \lambda \end{pmatrix}=\\[2pt] &=\begin{pmatrix}2 \lambda^2+3 \lambda+1&3 \lambda^2+\lambda-2\\ 4 \lambda+4&5 \lambda-4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&3\\0&0\end{pmatrix}\! \lambda^2+ \begin{pmatrix}3&1\\4&5\end{pmatrix}\! \lambda+ \begin{pmatrix}1&-2\\4&-4 \end{pmatrix}\!. \end{aligned}[/math]

Тот же результат получается по формуле (7.6). Заметим, что в данном случае произведение λ-матриц имеет степень меньше, чем сумма степеней множителей: [math]2<2+1[/math].


Найдем по определению произведение [math]B(\lambda)A(\lambda)[/math] и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами:


[math]\begin{aligned}B(\lambda)\cdot A(\lambda)&= \begin{pmatrix}1&2\\ \lambda+2& \lambda\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} \lambda^2-1&\lambda+1\\ \lambda-2&3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\cdot(\lambda^2-1)+2\cdot(\lambda-2)&1\cdot(\lambda+1)+2\cdot3\\ (\lambda+2)\cdot (\lambda^2-1)+\lambda\cdot(\lambda-2)& (\lambda+2)\cdot(\lambda+1)+\lambda\cdot3 \end{pmatrix}=\\[2pt] &=\begin{pmatrix}\lambda^2+2 \lambda-5&\lambda+7\\ \lambda^3+3 \lambda^2-3 \lambda-2& \lambda^2+6 \lambda+2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\! \lambda^3 \begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}\! \lambda^2+\begin{pmatrix}2&1\\-3&6\end{pmatrix}\! \lambda+\begin{pmatrix}-5&7\\-2&2\end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]

В данном случае степень произведения оказалась равной сумме степеней множителей.


Найдем транспонированную λ-матрицу [math]A^T(\lambda)= \begin{pmatrix}\lambda^2-1&\lambda+1\\ \lambda-2&3\end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix}\lambda^2-1&\lambda-2\\ \lambda+1&3 \end{pmatrix}[/math].




Замечания 7.2


1. Произведение многочленов (7.5) с матричными коэффициентами в отличие от произведения обычных многочленов может иметь степень меньше, чем сумма степеней множителей (см. пример 7.2). Действительно, старший коэффициент [math]A_mB_{\ell}[/math] произведения (7.6) может быть равен нулю, даже если матрицы [math]A_m[/math] и [math]B_{\ell}[/math] ненулевые. Если хотя бы один из множителей — регулярный многочлен, то степень произведения равна сумме степеней множителей. В самом деле, если матрицы [math]A_m[/math] и [math]B_{\ell}[/math] — ненулевые и, кроме того, [math]\det{A_m}\ne0[/math], то произведение [math]A_mB_{\ell}\ne O[/math].


2. Как и у числовых матриц, произведение λ-матриц некоммутативно, т.е. [math]A(\lambda)B(\lambda)\ne B(\lambda)A(\lambda)[/math] (см. пример 7.2).




Определитель многочленной матрицы (λ-матриц)


Для нахождения определителя λ-матрицы используются те же правила и свойства, что и для числовых матриц, поскольку λ-матрица при фиксированном значении [math]\lambda[/math] становится числовой. Заметим, что определитель λ-матрицы, ее миноры и алгебраические дополнения представляют собой многочлены переменной [math]\lambda[/math]. Рангом λ-матрицы называется максимальный порядок минора, не равного тождественно нулю, т.е. [math]\operatorname{rg}A(\lambda)=r[/math], если в матрице [math]A(\lambda)[/math] имеется отличный от нуля минор r-го порядка, а все миноры большего порядка тождественно равны нулю или не существуют.


Присоединенная λ-матрица [math]A^{+}(\lambda)[/math], транспонированная для матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы [math]A(\lambda)[/math], представляет собой λ-матрицу, причем, как и ранее, справедливо равенство


[math]A(\lambda)\cdot A^{+}(\lambda)= A^{+}(\lambda)\cdot A(\lambda)= \det{A(\lambda)}\cdot E,[/math]
(7.6)

где [math]E[/math] — единичная матрица того же порядка, что и матрица [math]A(\lambda)[/math].


Действительно, докажем, что [math]A(\lambda)A^{+}(\lambda)=\det{A(\lambda)}\cdot E[/math], используя пункт 2 замечаний 7.1. Пусть степени левой и правой частей не превосходят [math]m[/math]. Возьмем [math](m+1)[/math] различных чисел [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots, \lambda_m,\lambda_{m+1}[/math]. Для любого из них имеет место равенство


[math]A(\lambda_i)\cdot A^{+}(\lambda_i)= \det{A(\lambda_i)}\cdot E\quad (i=1,2,\ldots,m,m+1),[/math]

справедливое для числовых матриц. Следовательно, λ-матрицы в левой и правой частях доказываемого равенства совпадают. Аналогично можно доказать равенство [math]A^{+}(\lambda)A(\lambda)=\det{A(\lambda)}\cdot E[/math].




Обращение многочленных матриц (λ-матриц)


Обратной для квадратной λ-матрицы [math]A(\lambda)[/math] называется λ-матрица [math]A^{-1}(\lambda)[/math], если


[math]A(\lambda)\cdot A^{-1}(\lambda)= A^{-1}(\lambda)\cdot A(\lambda)=E,[/math]
(7.8)

где [math]E[/math] — единичная матрица того же порядка, что и матрица [math]A(\lambda)[/math].


Необходимым и достаточным условием существования обратной λ-матрицы [math]A^{-1}(\lambda)[/math] является условие [math]\det{A(\lambda)}=\text{const}\ne0[/math], т.е. определитель обращаемой λ-матрицы должен быть отличным от нуля многочленом нулевой степени (постоянной). Необходимость следует из (7.8). Действительно, по теореме 2.2 об определителе произведения матриц имеем [math]\det{A(\lambda)}\cdot\det{A^{-1}(\lambda)}=1[/math], т.е. произведение двух многочленов (определителей λ-матриц) равно многочлену нулевой степени. Значит, оба множителя — постоянны (многочлены нулевой степени), поэтому [math]\det{A(\lambda)}=d[/math], где [math]d\ne0[/math]. Достаточность условия [math]\det{A(\lambda)}=d\ne0[/math] следует из теоремы 4.1 существования и единственности обратной матрицы. Формула


[math]A^{-1}(\lambda)= \frac{1}{\det{A(\lambda)}}\cdot A^{+}(\lambda)= \frac{1}{d}\cdot A^{+}(\lambda)[/math]

действительно определяет λ-матрицу. В этом можно убедиться прямой подстановкой в (7.8) с учетом (7.7) найти обратную.

Матрица [math]A(\lambda)[/math], для которой существует обратная [math]A^{-1}(\lambda)[/math], называется обратимой.




Пример 7.3. Для λ-матрицы [math]A(\lambda)= \begin{pmatrix}1& \lambda-1\\ \lambda+1&\lambda^2\end{pmatrix}[/math] найти обратную λ-матрицу.


Решение. Вычислим определитель данной матрицы


[math]\det{A(\lambda)}= \begin{vmatrix}1&\lambda-1\\ \lambda+1& \lambda^2\end{vmatrix}= \lambda^2-(\lambda-1)(\lambda+1)=1.[/math]

Находим обратную λ-матрицу (по правилу пункта 1 замечаний 4.3): [math]A^{-1}(\lambda)= \begin{pmatrix} \lambda^2&-\lambda+1\\ -\lambda-1&1\end{pmatrix}[/math]. Сделаем проверку:


[math]\begin{aligned}A(\lambda)\cdot A^{-1}(\lambda)&= \begin{pmatrix}1&\lambda-1\\ \lambda+1& \lambda^2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\lambda^2&-\lambda+1\\ -\lambda-1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\!,\\[5pt] A^{-1}(\lambda)\cdot A(\lambda)&= \begin{pmatrix} \lambda^2&-\lambda+1\\ -\lambda-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&\lambda-1\\ \lambda+1& \lambda^2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\0&1 \end{pmatrix}\!. \end{aligned}[/math]

Соотношения (7.8), определяющие обратную матрицу, выполняются.




Делимость многочленных матриц (λ-матриц)


Рассматривая λ-матрицы как многочлены (7.2) с матричными коэффициентами, можно ввести операцию деления многочлена на многочлен с остатком. Нам потребуется операция деления λ-матрицы на линейный двучлен вида [math](A-\lambda E)[/math], где [math]A[/math] — числовая матрица.


Теорема 7.1 о делимости λ-матриц на линейный двучлен. Любую λ-матрицу [math]P(\lambda)= P_m \lambda^m+\ldots+P_1 \lambda+P_0[/math] можно разделить слева на линейный двучлен [math](A-\lambda E)[/math], где [math]A[/math] — числовая матрица того же порядка, что и [math]P(\lambda)[/math], т.е. существуют единственные λ-матрица [math]Q_{\text{left}}(\lambda)[/math] и числовая матрица [math]R_{\text{left}}[/math] такие, что [math]P(\lambda)=(A-\lambda E)Q_{\text{left}}(\lambda)+R_{\text{left}}[/math], где [math]Q_{\text{left}}(\lambda)[/math] — левое частное, [math]R_{\text{left}}[/math] — левый остаток.


Доказательство этого утверждения проводится как для обычных многочленов, только при умножении нельзя изменять порядок множителей (в силу некоммутативности произведения матриц).


Аналогично определяется деление λ-матрицы [math]P(\lambda)[/math] справа на [math](A-\lambda E)\colon[/math] [math]P(\lambda)= Q_{\text{right}}(\lambda)(A-\lambda E)+R_{\text{right}}[/math]. Частные и остатки при делении слева и справа в общем случае не совпадают: [math]Q_{\text{left}}(\lambda)\ne Q_{\text{right}}(\lambda),[/math] [math]R_{\text{left}}\ne R_{\text{right}}[/math]. При делении с остатком левое частное [math]Q_{\text{left}}(\lambda)[/math] умножается слева на двучлен [math](A-\lambda E)[/math], а правое частное [math]Q_{\text{right}}(\lambda)[/math] — справа.


Многочлен с матричными коэффициентами можно записать двумя способами


[math]P(\lambda)=P_m \lambda^m+\ldots+P_1 \lambda+P_0[/math] и [math]P(\lambda)=\lambda^m P_m+\ldots+\lambda P_1+P_0,[/math]

которые, разумеется, при любом значении [math]\lambda[/math] дают один и тот же результат. Если же вместо переменной [math]\lambda[/math] подставить числовую квадратную матрицу [math]A[/math] того же порядка, что и [math]P(\lambda)[/math], то получим, в общем случае, разные матрицы:

[math]P_{\text{right}}(\lambda)=P_m A^m+\ldots+P_1 A+P_0[/math] и [math]P_{\text{left}}(\lambda)=A^m P_m+\ldots+A P_1+P_0,[/math]

которые называются, соответственно, правым и левым значениями многочлена [math]P(\lambda)[/math] при подстановке матрицы [math]A[/math] вместо [math]\lambda[/math]. При вычислении правого значения [math]P_{\text{right}}(\lambda)[/math] матричные коэффициенты многочлена умножаются справа на матрицу [math]A[/math], а при вычислении левого значения [math]P_{\text{left}}(\lambda)[/math] — слева.


Подставляя в равенства [math]P(\lambda)=Q_{\text{right}}(\lambda)(A-\lambda E)+R_{\text{right}}[/math] и [math]P(\lambda)= (A-\lambda E) Q_{\text{left}}(\lambda)+ R_{\text{left}}[/math] вместо переменной [math]\lambda[/math] матрицу [math]A[/math], получаем [math]P_{\text{right}}(\lambda)=R_{\text{right}}[/math] и [math]P_{\text{left}}(\lambda)=R_{\text{left}}[/math].


Теорема 7.2 (обобщенная теорема Безу). Остаток от деления λ-матрицы [math]P(\lambda)[/math] слева (справа) на линейный двучлен [math](A-\lambda E)[/math] равен левому значению [math]P_{\text{left}}(\lambda)[/math] (соответственно, правому значению [math]P_{\text{right}}(\lambda)[/math]).




Пример 7.4. Разделить λ-матрицу [math]P(\lambda)=\begin{pmatrix} \lambda^2+1& \lambda\\ 2&\lambda-1\end{pmatrix}[/math] на матрицу [math](A-\lambda E)[/math], где [math]A=\begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}[/math].


Решение. Запишем λ-матрицу [math]P(\lambda)[/math] как многочлен второй степени с матричными коэффициентами:


[math]P(\lambda)= \begin{pmatrix}\lambda^2+1& \lambda\\ 2&\lambda-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\! \lambda^2+ \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}\! \lambda+ \begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}= P_2 \lambda^2+P_1 \lambda+ P_0.[/math]

Разделим [math]P(\lambda)[/math] слева на [math](A-\lambda E)[/math], повторяя, по существу, алгоритм деления "уголком". Прибавляя к [math]P(\lambda)[/math] многочлен [math](A-\lambda E)P_2 \lambda[/math], получаем λ-матрицу первой степени:


[math]\begin{aligned}P_2 \lambda^2\,+ & \,P_1 \lambda+P_0+(A-\lambda E)\cdot P_2 \lambda= (P_1+AP_2)\cdot \lambda+P_0=\\ &=\left[\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\right]\!\cdot \lambda+ \begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}=\\ &=\begin{pmatrix}1&1\\3&1\end{pmatrix}\! \cdot \lambda+ \begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}= P_1^{(1)}\cdot \lambda+P_0. \end{aligned}[/math]

Продолжая процесс, прибавим к этому линейному двучлену выражение [math](A-\lambda E)P_1^{(1)}[/math]. В результате получим числовую матрицу (остаток):


[math]P_1^{(1)}\cdot \lambda+P_0+(A-\lambda E)P_1^{(1)}= P_0+AP_1^{(1)}= \begin{pmatrix} 1&0\\2&-1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&1\\3&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}8&3\\5&2\end{pmatrix}=R.[/math]
Итак,
[math]P(\lambda)+(A-\lambda E)P_2 \lambda+(A-\lambda E)P_1^{(1)}=R[/math]. Отсюда [math]P(\lambda)= (A-\lambda E)Q_{\text{left}}(\lambda)+R_{\text{left}}[/math],

где [math]Q_{\text{left}}(\lambda)=-P_2 \lambda -P_1^{(1)}= -\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\! \lambda-\begin{pmatrix}1&1\\3&1\end{pmatrix}[/math] — левое частное, а [math]R_{\text{left}}=R =\begin{pmatrix}8&3\\5&2\end{pmatrix}[/math] — левый остаток.


Разделим [math]P(\lambda)[/math] справа на [math](A-\lambda E)[/math]. Прибавляя к [math]P(\lambda)[/math] многочлен [math]P_2(A-\lambda E)\lambda[/math], получаем λ-матрицу первой степени [math]P_1^{(2)}\cdot \lambda+P_0[/math], где [math]P_1^{(2)}=P_1+P_2A= \begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}[/math]. Затем к многочлену [math]P_1^{(2)}\cdot \lambda+P_0[/math] и получаем числовую матрицу [math]R[/math] (остаток), равную [math]P_0+P_1^{(2)}A[/math]. Выполнив эти действия, имеем


[math]P(\lambda)= Q_{\text{right}}(\lambda)\cdot(A-\lambda\cdot E)+R_{\text{right}},[/math]

где [math]Q_{\text{right}}(\lambda)=-P_2 \lambda-P_1^{(2)}=-\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\! \lambda-\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}[/math] — правое частное, [math]R_{\text{right}}=P_0+P_1^{(2)}A=\begin{pmatrix}11&2\\5&-1\end{pmatrix}[/math] — правый остаток.


Для проверки полученных результатов воспользуемся теоремой 7.2. Вычислим [math]P_{\text{left}}(A)[/math] и [math]P_{\text{right}}(A)[/math], подставив вместо переменной [math]\lambda[/math] матрицу [math]A:[/math]


[math]\begin{aligned}P_{\text{right}}(A)&= \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\cdot A^2+\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}\!\cdot A+\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}=\\ &=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}7&2\\3&6\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}11&2\\5&-1\end{pmatrix}= R_{\text{right}};\\[5pt] P_{\text{left}}(A)&= A^2\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}+ A\cdot\! \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}=\\ &=\begin{pmatrix} 7&2\\3&6\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}8&3\\5&2\end{pmatrix}= R_{\text{left}}. \end{aligned}[/math]



Замечания 7.3


1. Выясним связь операции транспонирования с вычислением правых и левых значений λ-матрицы. Пусть


[math]P(\lambda)=P_m \lambda^m+P_{m-1}\lambda^{m-1}+\ldots+P_1 \lambda+P_0[/math] и [math]P^T(\lambda)=P^T_m \lambda^m+P^T_{m-1}\lambda^{m-1}+\ldots+P^T_1 \lambda+P^T_0[/math]

Подставляя в эти многочлены вместо аргумента [math]\lambda[/math] матрицы [math]A[/math] и [math]A^T[/math], найдем значения


[math]P_{\text{left}}(\lambda)= A^mP_m+A^{m-1}P_{m-1}+\ldots+AP_1+P_0,\quad P_{\text{right}}(\lambda)= P_m^T(A^T)^m+P_{m-1}^T(A^T)^{m-1}+\ldots+P_1^TA^T+ P_0^T.[/math]

Транспонируя матрицу [math]P_{\text{left}}(A)[/math], получаем [math][P_{\text{left}}(A)]^T= P_m^T(A^m)^T+\ldots+ P_1^TA^T+P_0^T= P_{\text{right}}^T(A^T)[/math]. Следовательно, [math][P_{\text{left}}(A)]^T=P_{\text{right}}^T(A^T)[/math].


2. Если λ-матрица [math]P(\lambda)[/math]симметрическая: [math]P(\lambda)= P^T(\lambda)[/math], то [math][P_{\text{left}}(A)]^T= P_{\text{right}}(A^T)[/math]. Если, кроме того, матрица [math]A[/math] симметрическая, то левое и правое значения λ-матрицы совпадают: [math]P_{\text{left}}(A)=P_{\text{right}}(A)[/math].


3. Если [math]P(\lambda)[/math] — обратимая λ-матрица, то ее остаток от деления на линейный двучлен [math](A-\lambda E)[/math] также обратимая числовая матрица. В самом деле, пусть [math]P(\lambda)=Q_{\text{right}}(\lambda)(A-\lambda E)+R_{\text{right}}[/math], где [math]R_{\text{right}}= P_{\text{right}}(A)[/math] — правое значение многочлена [math]P(\lambda)[/math] при подстановке матрицы [math]A[/math] вместо [math]\lambda[/math]. Умножив [math]P(\lambda)[/math] справа на [math]P^{-1}(\lambda)[/math], получим [math]E= Q_{\text{right}}(\lambda)(A-\lambda E)P^{-1}(\lambda)+ R_{\text{right}}P^{-1}(\lambda)[/math]. Подставим вместо [math]\lambda[/math] матрицу [math]A:[/math] [math]E= R_{\text{right}}P_{\text{right}}^{-1}(A)= R_{\text{right}} R_{\text{right}}^{-1}[/math]. Следовательно, правый остаток [math]R_{\text{right}}[/math] — обратимая числовая матрица. Для левого остатка аналогично получаем [math]P_{\text{left}}^{-1}(A)R_{\text{left}}= R_{\text{left}}^{-1}R_{\text{left}}=E[/math], т.е. левый остаток [math]R_{\text{left}}[/math] — обратимая числовая матрица.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved