Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Многочленные матрицы (λ-матрицы) и операции над ними
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Многочленные матрицы (λ-матрицы) и операции над ними Определение многочленных матриц (λ-матриц) Многочленной матрицей (или λ-матрицей) называется матрица, элементами которой являются многочлены переменной $\lambda$ . Многочленные матрицы являются частным случаем функциональных. Далее будут рассматриваться только квадратные λ-матрицы n-го порядка: $A(\lambda)= \begin{pmatrix}a_{11}(\lambda)&\cdots&a_{1n}(\lambda)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}(\lambda)&\cdots&a_{nn}(\lambda)\end{pmatrix}\!.$ (7.1) Элементы λ-матрицы — это многочлены вида $a_{ij}(\lambda)= a_{ij}^{(m)}\lambda^m+ a_{ij}^{(m-1)}\lambda^{m-1}+\ldots+ a_{ij}^{(1)}\lambda+a_{ij}^{(0)},$ где $a_{ij}^{(m)},\ldots,a_{ij}^{(0)}$ — коэффициенты; $m$ — степень многочлена (в общем случае разная для разных элементов матрицы). Случай, когда все элементы λ-матрицы тождественно равны нулю, сводится к числовой нулевой матрице. Поэтому нулевые λ-матрицы далее не рассматриваются. Любую λ-матрицу n-го порядка можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами: $A(\lambda)=A_m \lambda^m+A_{m-1}\lambda^{m-1}+\ldots+A_1 \lambda+A_0,$ (7.2) где $A_{m},A_{m-1},\ldots,A_1,A_0$ — числовые квадратные матрицы n-го порядка, матрица $A_m\ne O$ — старший коэффициент, матрица $A_0$ — свободный член, неотрицательное целое число $m$ — степень многочлена (7.2). Заметим, что степень $m$ многочлена (7.2) равна наибольшей из степеней элементов λ-матрицы (7.1). Многочлен (7.2) называется регулярным, если определитель старшего коэффициента не равен нулю: $\det{A_m}\ne0$ . Две λ-матрицы $A(\lambda)$ и $B(\lambda)$ называются равными $(A(\lambda)=B(\lambda))$ , если они имеют одинаковый порядок $(n)$ и равные соответствующие элементы: $a_{ij}(\lambda)=b_{ij}(\lambda)\quad (i=1,2,\ldots,n;~ j=1,2,\ldots,n).$ Пример 7.1. Представить λ-матрицу $A(\lambda)= \begin{pmatrix} \lambda^3-2 \lambda^2&\lambda^2+\lambda+2\\ 3 \lambda^3+4&5 \lambda^2+6\end{pmatrix}$ в виде многочлена с матричными коэффициентами. Решение. Данная λ-матрица 2-го порядка $(n=2)$ , наибольшая из степеней многочленов-элементов матрицы равна 3 $(m=3)$ . Применяя линейные операции над матрицами, получаем $A(\lambda)= \begin{pmatrix} \lambda^3-2 \lambda^2&\lambda^2+\lambda+2\\ 3 \lambda^3+4&5 \lambda^2+6\end{pmatrix}= \underbrace{\begin{pmatrix} 1&0\\3&0\end{pmatrix}}_{A_3}\cdot \lambda^3+ \underbrace{\begin{pmatrix} -2&1\\0&5\end{pmatrix}}_{A_2}\cdot \lambda^2+ \underbrace{\begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix}}_{A_1}\cdot \lambda+\underbrace{\begin{pmatrix} 0&2\\4&6\end{pmatrix}}_{A_3}.$ Полученный многочлен не является регулярным, так как определитель старшего коэффициента равен нулю: $\begin{vmatrix}1&0\\3&0\end{vmatrix}=0$ . Замечания 7.1 1. Учитывая представление λ-матриц в виде многочленов (7.2) с матричными коэффициентами, можно показать, что λ-матрицы $A(\lambda)$ и $B(\lambda)$ равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый порядок $(n)$ , одинаковую степень $(m)$ и равные матричные коэффициенты при одинаковых степенях $\lambda$ . 2. Еще один критерий равенства λ-матриц нетрудно получить, вспоминая следствие 2 основной теоремы алгебры: λ-матрицы $A(\lambda)$ и $B(\lambda)$ , степень которых не превосходит $m$ , равны тогда и только тогда, когда равны числовые матрицы $A(\lambda_i)=B(\lambda_i)$ при $(m+1)$ различных значениях $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m,\lambda_{m+1}$ переменной $\lambda$ . Операции над многочленными λ-матрицами Все операции, определенные для числовых матриц, переносятся на λ-матрицы. Сложение многочленных матриц (λ-матриц) Пусть $A(\lambda)$ и $B(\lambda)$ — λ-матрицы n-го порядка: $\begin{aligned}A(\lambda)&=A_m \lambda^m+A_{m-1} \lambda^{m-1}+\ldots+A_1 \lambda+A_0,\quad A_m\ne O,\\[5pt] B(\lambda)&=B_{\ell} \lambda^{\ell}+B_{\ell-1} \lambda^{\ell-1}+\ldots+B_1 \lambda+B_0,\quad B_m\ne O. \end{aligned}$ (7.3) Суммой λ-матриц $A(\lambda)$ и $B(\lambda)$ называется матрица $C(\lambda)$ n-го порядка, элементы которой вычисляются по формуле: $c_{ij}(\lambda)=a_{ij}(\lambda)+b_{ij}(\lambda)\quad (i=1,2,\ldots,n;~ j=1,2,\ldots,n).$ При этом сумма $A(\lambda)+B(\lambda)$ может быть представлена в виде многочлена с матричными коэффициентами, степень которого не превосходит наибольшей из степеней слагаемых: $A(\lambda)+B(\lambda)= (A_k+B_k)\lambda^k+(A_{k-1}+B_{k-1})\lambda^{k-1}+\ldots+ (A_1+B_1)\lambda+(A_0+B_0),$ (7.4) где $k=\max\{m,\ell\},~A_i=O$ при $i>m$ , $B_j=O$ при $j>\ell$ . Умножение многочленной матрицы (λ-матрицы) на многочлен Произведением $p(\lambda)\cdot A(\lambda)$ λ-матрицы $A(\lambda)$ на многочлен $p(\lambda)$ называется λ-матрица $C(\lambda)$ того же порядка, что и $A(\lambda)$ , элементы которой вычисляются по формуле $c_{ij}(\lambda)=p(\lambda)\cdot a_{ij}(\lambda),\quad (i=1,2,\ldots,n;~ j=1,2,\ldots,n).$ Произведение матрицы (7.2) на многочлен $p(\lambda)=p_k \lambda^k+\ldots+p_1 \lambda+p_0,~ p_k\ne0$ можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами $p(\lambda)\cdot A(\lambda)= p_k\cdot A_k \lambda^{m+k}+(p_kA_{m-1}+ p_{k-1}A_m)\lambda^{m+k-1}+\ldots+p_0\cdot A_0,$ (7.5) степень которого равна сумме степеней множителей. В частном случае, когда многочлен $p(\lambda)$ тождественно равен постоянной $p_0$ , получаем операцию умножения λ-матрицы на число. Операция вычитания λ-матриц $A(\lambda)$ и $B(\lambda)$ определяется как сложение матрицы $A(\lambda)$ с матрицей $(-1)\cdot B(\lambda):$ $A(\lambda)-B(\lambda)=A(\lambda)+(-1)\cdot B(\lambda).$ Линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число, умножение на многочлен) с λ-матрицами обладают теми же свойствами, что и линейные операции с числовыми матрицами. Умножение многочленных матриц (λ-матриц) Пусть $A(\lambda)$ и $B(\lambda)$ — λ-матрицы n-го порядка (7.3). Матрицу $C(\lambda)$ того же порядка, элементы которой вычисляются по формуле $c_{ij}(\lambda)= a_{i1}(\lambda)b_{1j}(\lambda)+ a_{i2}(\lambda)b_{2j}(\lambda)+\ldots+ a_{in}(\lambda)b_{nj}(\lambda)\quad (i=1,\ldots,n;~ j=1,\ldots,n),$ называют произведением λ-матриц $A(\lambda)$ и $B(\lambda)$ и обозначают $C(\lambda)=A(\lambda)\cdot B(\lambda)$ . Произведение λ-матриц можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами, степень которого не превышает суммы степеней множителей: $A(\lambda)\cdot B(\lambda)= A_mB_{\ell}\lambda^{m+\ell}+ (A_mB_{\ell-1}+A_{m-\ell}B_{\ell})\lambda^{m+\ell-1}+\ldots+A_0B_0.$ (7.6) Транспонирование многочленных матриц (λ-матриц) Транспонированной для λ-матрицы $A(\lambda)$ называется λ-матрица $C(\lambda)$ , элементы которой вычисляются по формуле $c_{ij}(\lambda)=a_{ji}(\lambda)\quad (i=1,2,\ldots,n;~ j=1,2,\ldots,n).$ Она обозначается $A^T(\lambda)$ . Транспонируя выражение $A(\lambda)=A_m \lambda^m+A_{m-1}\lambda^{m-1}+\ldots+ A_1 \lambda+A_0$ , получаем представление транспонированной λ-матрицы в виде многочлена $A^T(\lambda)=A_m^T \lambda^m+A_{m-1}^T\lambda^{m-1}+\ldots+ A_1^T \lambda+A_0^T$ Пример 7.2. Даны λ-матрицы $A(\lambda)=\begin{pmatrix} \lambda^2-1&\lambda+1\\ \lambda-2&3\end{pmatrix}\!,~ B(\lambda)=\begin{pmatrix}1&2\\ \lambda+2& \lambda \end{pmatrix}$ и многочлен $p(\lambda)=2 \lambda+3$ . Найти $A(\lambda)+ B(\lambda),$ $p(\lambda)B(\lambda),$ $A(\lambda) B(\lambda),$ $B(\lambda)A(\lambda)$ и $A^T(\lambda)$ . Решение. Запишем данные λ-матрицы 2-го порядка $(n=2)$ как многочлены (степени $m=2$ и $\ell=1$ соответственно) с матричными коэффициентами: $\begin{gathered}A(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda^2-1&\lambda+1\\ \lambda-2&3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\! \lambda^2+ \begin{pmatrix}0&1\\1&0 \end{pmatrix}\! \lambda+ \begin{pmatrix}-1&1\\-2&3\end{pmatrix}= A_2 \lambda^2+A_1 \lambda+A_0;\\[5pt] B(\lambda)= \begin{pmatrix}1&2\\ \lambda+2& \lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0\\1&1 \end{pmatrix}\! \lambda+ \begin{pmatrix}1&2\\2&0\end{pmatrix}= B_1 \lambda+B_0. \end{gathered}$ Найдем по определению сумму и представим ее как многочлен с матричными коэффициентами $\begin{aligned}A(\lambda)+B(\lambda)&= \begin{pmatrix}\lambda^2-1&\lambda+1\\ \lambda-2&3\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&2\\ \lambda+2& \lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda^2-1+1& \lambda+1+2\\ \lambda-2+ \lambda+2&3+ \lambda\end{pmatrix}=\\[2pt] &= \begin{pmatrix} \lambda^2&\lambda+3\\ 2 \lambda&\lambda+3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\0&0 \end{pmatrix}\! \lambda^2+ \begin{pmatrix}0&1\\2&1\end{pmatrix}\! \lambda+ \begin{pmatrix} 0&3\\0&3\end{pmatrix}\!.\end{aligned}$ Тот же результат получаем по формуле (7.4), где $k=\max\{2;1\}=2\colon$ $\begin{aligned}A(\lambda)+B(\lambda)&= A_2\cdot \lambda^2+(A_1+B_1)\cdot \lambda+ (A_0+B_0)=\\ &=\begin{pmatrix} 1&0\\0&0\end{pmatrix}\! \lambda^2+ \left[\begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0&0\\1&1\end{pmatrix}\right]\! \lambda+ \left[\begin{pmatrix} -1&1\\-2&3\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1&2\\2&0\end{pmatrix}\right]=\\ &=\begin{pmatrix} 1&0\\0&0 \end{pmatrix}\! \lambda^2+ \begin{pmatrix} 0&1\\2&1\end{pmatrix}\! \lambda+ \begin{pmatrix} 0&3\\0&3\end{pmatrix}\!.\end{aligned}$ Заметим, что степень суммы (равная двум) не превышает наибольшей из степеней слагаемых. Найдем по определению произведение $p(\lambda)\cdot B(\lambda)$ и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами $\begin{aligned}p(\lambda)\cdot B(\lambda)&= (2 \lambda+3)\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\ \lambda+2& \lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} (2 \lambda+3)\cdot 1&(2 \lambda+3)\cdot2\\ (2 \lambda+3)\cdot(\lambda+2)&(2 \lambda+3)\cdot \lambda\end{pmatrix}=\\[2pt] &=\begin{pmatrix}2 \lambda+3&4\lambda+6\\ 2 \lambda^2+7 \lambda+6& 2 \lambda^2+3 \lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0\\2&2\end{pmatrix}\! \lambda^2+ \begin{pmatrix}2&4\\7&3\end{pmatrix}\! \lambda+\begin{pmatrix}3&6\\6&0\end{pmatrix}\!.\end{aligned}$ Тот же результат получаем по формуле (7.5), где $k=1,~m=1,~p_1=2,~p_0=3:$ $\begin{aligned}p(\lambda)\cdot B(\lambda)&=(p_1 \lambda+p_0)(B_1 \lambda+B_0)= p_1B_1 \lambda^2+(p_1B_0+p_0B_1)\lambda+p_0B_0=\\[2pt] &=2\cdot\! \begin{pmatrix}0&0\\1&1 \end{pmatrix}\! \lambda^2+ \left[2\cdot\!\begin{pmatrix}1&2\\2&0 \end{pmatrix}+ 3\cdot\!\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}\right]\! \lambda+3\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\2&0 \end{pmatrix}=\\[2pt] &=\begin{pmatrix}0&0\\2&2\end{pmatrix}\! \lambda^2+\begin{pmatrix}2&4\\7&3 \end{pmatrix}\! \lambda+ \begin{pmatrix}3&6\\6&0\end{pmatrix}\!.\end{aligned}$ Заметим, что степень произведения равна сумме степеней множителей. Найдем по определению произведение $A(\lambda)B(\lambda)$ и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами: $\begin{aligned}A(\lambda)\cdot B(\lambda)&=\begin{pmatrix} \lambda^2-1&\lambda+1\\ \lambda-2&3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\ \lambda+2&\lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}(\lambda^2-1)\cdot1+(\lambda+1)\cdot(\lambda+2)& (\lambda^2-1)\cdot2+ (\lambda+1)\cdot \lambda\\ (\lambda-2)\cdot1+3\cdot(\lambda+2)& (\lambda-2)\cdot2+3\cdot \lambda \end{pmatrix}=\\[2pt] &=\begin{pmatrix}2 \lambda^2+3 \lambda+1&3 \lambda^2+\lambda-2\\ 4 \lambda+4&5 \lambda-4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&3\\0&0\end{pmatrix}\! \lambda^2+ \begin{pmatrix}3&1\\4&5\end{pmatrix}\! \lambda+ \begin{pmatrix}1&-2\\4&-4 \end{pmatrix}\!. \end{aligned}$ Тот же результат получается по формуле (7.6). Заметим, что в данном случае произведение λ-матриц имеет степень меньше, чем сумма степеней множителей: $2<2+1$ . Найдем по определению произведение $B(\lambda)A(\lambda)$ и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами: $\begin{aligned}B(\lambda)\cdot A(\lambda)&= \begin{pmatrix}1&2\\ \lambda+2& \lambda\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} \lambda^2-1&\lambda+1\\ \lambda-2&3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\cdot(\lambda^2-1)+2\cdot(\lambda-2)&1\cdot(\lambda+1)+2\cdot3\\ (\lambda+2)\cdot (\lambda^2-1)+\lambda\cdot(\lambda-2)& (\lambda+2)\cdot(\lambda+1)+\lambda\cdot3 \end{pmatrix}=\\[2pt] &=\begin{pmatrix}\lambda^2+2 \lambda-5&\lambda+7\\ \lambda^3+3 \lambda^2-3 \lambda-2& \lambda^2+6 \lambda+2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\! \lambda^3 \begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}\! \lambda^2+\begin{pmatrix}2&1\\-3&6\end{pmatrix}\! \lambda+\begin{pmatrix}-5&7\\-2&2\end{pmatrix}\!.\end{aligned}$ В данном случае степень произведения оказалась равной сумме степеней множителей. Найдем транспонированную λ-матрицу $A^T(\lambda)= \begin{pmatrix}\lambda^2-1&\lambda+1\\ \lambda-2&3\end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix}\lambda^2-1&\lambda-2\\ \lambda+1&3 \end{pmatrix}$ . Замечания 7.2 1. Произведение многочленов (7.5) с матричными коэффициентами в отличие от произведения обычных многочленов может иметь степень меньше, чем сумма степеней множителей (см. пример 7.2). Действительно, старший коэффициент $A_mB_{\ell}$ произведения (7.6) может быть равен нулю, даже если матрицы $A_m$ и $B_{\ell}$ ненулевые. Если хотя бы один из множителей — регулярный многочлен, то степень произведения равна сумме степеней множителей. В самом деле, если матрицы $A_m$ и $B_{\ell}$ — ненулевые и, кроме того, $\det{A_m}\ne0$ , то произведение $A_mB_{\ell}\ne O$ . 2. Как и у числовых матриц, произведение λ-матриц некоммутативно, т.е. $A(\lambda)B(\lambda)\ne B(\lambda)A(\lambda)$ (см. пример 7.2). Определитель многочленной матрицы (λ-матриц) Для нахождения определителя λ-матрицы используются те же правила и свойства, что и для числовых матриц, поскольку λ-матрица при фиксированном значении $\lambda$ становится числовой. Заметим, что определитель λ-матрицы, ее миноры и алгебраические дополнения представляют собой многочлены переменной $\lambda$ . Рангом λ-матрицы называется максимальный порядок минора, не равного тождественно нулю, т.е. $\operatorname{rg}A(\lambda)=r$ , если в матрице $A(\lambda)$ имеется отличный от нуля минор r-го порядка, а все миноры большего порядка тождественно равны нулю или не существуют. Присоединенная λ-матрица $A^{+}(\lambda)$ , транспонированная для матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы $A(\lambda)$ , представляет собой λ-матрицу, причем, как и ранее, справедливо равенство $A(\lambda)\cdot A^{+}(\lambda)= A^{+}(\lambda)\cdot A(\lambda)= \det{A(\lambda)}\cdot E,$ (7.6) где $E$ — единичная матрица того же порядка, что и матрица $A(\lambda)$ . Действительно, докажем, что $A(\lambda)A^{+}(\lambda)=\det{A(\lambda)}\cdot E$ , используя пункт 2 замечаний 7.1. Пусть степени левой и правой частей не превосходят $m$ . Возьмем $(m+1)$ различных чисел $\lambda_1,\lambda_2,\ldots, \lambda_m,\lambda_{m+1}$ . Для любого из них имеет место равенство $A(\lambda_i)\cdot A^{+}(\lambda_i)= \det{A(\lambda_i)}\cdot E\quad (i=1,2,\ldots,m,m+1),$ справедливое для числовых матриц. Следовательно, λ-матрицы в левой и правой частях доказываемого равенства совпадают. Аналогично можно доказать равенство $A^{+}(\lambda)A(\lambda)=\det{A(\lambda)}\cdot E$ . Обращение многочленных матриц (λ-матриц) Обратной для квадратной λ-матрицы $A(\lambda)$ называется λ-матрица $A^{-1}(\lambda)$ , если $A(\lambda)\cdot A^{-1}(\lambda)= A^{-1}(\lambda)\cdot A(\lambda)=E,$ (7.8) где $E$ — единичная матрица того же порядка, что и матрица $A(\lambda)$ . Необходимым и достаточным условием существования обратной λ-матрицы $A^{-1}(\lambda)$ является условие $\det{A(\lambda)}=\text{const}\ne0$ , т.е. определитель обращаемой λ-матрицы должен быть отличным от нуля многочленом нулевой степени (постоянной). Необходимость следует из (7.8). Действительно, по теореме 2.2 об определителе произведения матриц имеем $\det{A(\lambda)}\cdot\det{A^{-1}(\lambda)}=1$ , т.е. произведение двух многочленов (определителей λ-матриц) равно многочлену нулевой степени. Значит, оба множителя — постоянны (многочлены нулевой степени), поэтому $\det{A(\lambda)}=d$ , где $d\ne0$ . Достаточность условия $\det{A(\lambda)}=d\ne0$ следует из теоремы 4.1 существования и единственности обратной матрицы. Формула $A^{-1}(\lambda)= \frac{1}{\det{A(\lambda)}}\cdot A^{+}(\lambda)= \frac{1}{d}\cdot A^{+}(\lambda)$ действительно определяет λ-матрицу. В этом можно убедиться прямой подстановкой в (7.8) с учетом (7.7) найти обратную. Матрица $A(\lambda)$ , для которой существует обратная $A^{-1}(\lambda)$ , называется обратимой. Пример 7.3. Для λ-матрицы $A(\lambda)= \begin{pmatrix}1& \lambda-1\\ \lambda+1&\lambda^2\end{pmatrix}$ найти обратную λ-матрицу. Решение. Вычислим определитель данной матрицы $\det{A(\lambda)}= \begin{vmatrix}1&\lambda-1\\ \lambda+1& \lambda^2\end{vmatrix}= \lambda^2-(\lambda-1)(\lambda+1)=1.$ Находим обратную λ-матрицу (по правилу пункта 1 замечаний 4.3): $A^{-1}(\lambda)= \begin{pmatrix} \lambda^2&-\lambda+1\\ -\lambda-1&1\end{pmatrix}$ . Сделаем проверку: $\begin{aligned}A(\lambda)\cdot A^{-1}(\lambda)&= \begin{pmatrix}1&\lambda-1\\ \lambda+1& \lambda^2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\lambda^2&-\lambda+1\\ -\lambda-1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\!,\\[5pt] A^{-1}(\lambda)\cdot A(\lambda)&= \begin{pmatrix} \lambda^2&-\lambda+1\\ -\lambda-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&\lambda-1\\ \lambda+1& \lambda^2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\0&1 \end{pmatrix}\!. \end{aligned}$ Соотношения (7.8), определяющие обратную матрицу, выполняются. Делимость многочленных матриц (λ-матриц) Рассматривая λ-матрицы как многочлены (7.2) с матричными коэффициентами, можно ввести операцию деления многочлена на многочлен с остатком. Нам потребуется операция деления λ-матрицы на линейный двучлен вида $(A-\lambda E)$ , где $A$ — числовая матрица. Теорема 7.1 о делимости λ-матриц на линейный двучлен. Любую λ-матрицу $P(\lambda)= P_m \lambda^m+\ldots+P_1 \lambda+P_0$ можно разделить слева на линейный двучлен $(A-\lambda E)$ , где $A$ — числовая матрица того же порядка, что и $P(\lambda)$ , т.е. существуют единственные λ-матрица $Q_{\text{left}}(\lambda)$ и числовая матрица $R_{\text{left}}$ такие, что $P(\lambda)=(A-\lambda E)Q_{\text{left}}(\lambda)+R_{\text{left}}$ , где $Q_{\text{left}}(\lambda)$ — левое частное, $R_{\text{left}}$ — левый остаток. Доказательство этого утверждения проводится как для обычных многочленов, только при умножении нельзя изменять порядок множителей (в силу некоммутативности произведения матриц). Аналогично определяется деление λ-матрицы $P(\lambda)$ справа на $(A-\lambda E)\colon$ $P(\lambda)= Q_{\text{right}}(\lambda)(A-\lambda E)+R_{\text{right}}$ . Частные и остатки при делении слева и справа в общем случае не совпадают: $Q_{\text{left}}(\lambda)\ne Q_{\text{right}}(\lambda),$ $R_{\text{left}}\ne R_{\text{right}}$ . При делении с остатком левое частное $Q_{\text{left}}(\lambda)$ умножается слева на двучлен $(A-\lambda E)$ , а правое частное $Q_{\text{right}}(\lambda)$ — справа. Многочлен с матричными коэффициентами можно записать двумя способами $P(\lambda)=P_m \lambda^m+\ldots+P_1 \lambda+P_0$ и $P(\lambda)=\lambda^m P_m+\ldots+\lambda P_1+P_0,$ которые, разумеется, при любом значении $\lambda$ дают один и тот же результат. Если же вместо переменной $\lambda$ подставить числовую квадратную матрицу $A$ того же порядка, что и $P(\lambda)$ , то получим, в общем случае, разные матрицы: $P_{\text{right}}(\lambda)=P_m A^m+\ldots+P_1 A+P_0$ и $P_{\text{left}}(\lambda)=A^m P_m+\ldots+A P_1+P_0,$ которые называются, соответственно, правым и левым значениями многочлена $P(\lambda)$ при подстановке матрицы $A$ вместо $\lambda$ . При вычислении правого значения $P_{\text{right}}(\lambda)$ матричные коэффициенты многочлена умножаются справа на матрицу $A$ , а при вычислении левого значения $P_{\text{left}}(\lambda)$ — слева. Подставляя в равенства $P(\lambda)=Q_{\text{right}}(\lambda)(A-\lambda E)+R_{\text{right}}$ и $P(\lambda)= (A-\lambda E) Q_{\text{left}}(\lambda)+ R_{\text{left}}$ вместо переменной $\lambda$ матрицу $A$ , получаем $P_{\text{right}}(\lambda)=R_{\text{right}}$ и $P_{\text{left}}(\lambda)=R_{\text{left}}$ . Теорема 7.2 (обобщенная теорема Безу). Остаток от деления λ-матрицы $P(\lambda)$ слева (справа) на линейный двучлен $(A-\lambda E)$ равен левому значению $P_{\text{left}}(\lambda)$ (соответственно, правому значению $P_{\text{right}}(\lambda)$ ). Пример 7.4. Разделить λ-матрицу $P(\lambda)=\begin{pmatrix} \lambda^2+1& \lambda\\ 2&\lambda-1\end{pmatrix}$ на матрицу $(A-\lambda E)$ , где $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}$ . Решение. Запишем λ-матрицу $P(\lambda)$ как многочлен второй степени с матричными коэффициентами: $P(\lambda)= \begin{pmatrix}\lambda^2+1& \lambda\\ 2&\lambda-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\! \lambda^2+ \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}\! \lambda+ \begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}= P_2 \lambda^2+P_1 \lambda+ P_0.$ Разделим $P(\lambda)$ слева на $(A-\lambda E)$ , повторяя, по существу, алгоритм деления "уголком". Прибавляя к $P(\lambda)$ многочлен $(A-\lambda E)P_2 \lambda$ , получаем λ-матрицу первой степени: $\begin{aligned}P_2 \lambda^2\,+ & \,P_1 \lambda+P_0+(A-\lambda E)\cdot P_2 \lambda= (P_1+AP_2)\cdot \lambda+P_0=\\ &=\left[\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\right]\!\cdot \lambda+ \begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}=\\ &=\begin{pmatrix}1&1\\3&1\end{pmatrix}\! \cdot \lambda+ \begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}= P_1^{(1)}\cdot \lambda+P_0. \end{aligned}$ Продолжая процесс, прибавим к этому линейному двучлену выражение $(A-\lambda E)P_1^{(1)}$ . В результате получим числовую матрицу (остаток): $P_1^{(1)}\cdot \lambda+P_0+(A-\lambda E)P_1^{(1)}= P_0+AP_1^{(1)}= \begin{pmatrix} 1&0\\2&-1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&1\\3&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}8&3\\5&2\end{pmatrix}=R.$ Итак, $P(\lambda)+(A-\lambda E)P_2 \lambda+(A-\lambda E)P_1^{(1)}=R$ . Отсюда $P(\lambda)= (A-\lambda E)Q_{\text{left}}(\lambda)+R_{\text{left}}$ , где $Q_{\text{left}}(\lambda)=-P_2 \lambda -P_1^{(1)}= -\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\! \lambda-\begin{pmatrix}1&1\\3&1\end{pmatrix}$ — левое частное, а $R_{\text{left}}=R =\begin{pmatrix}8&3\\5&2\end{pmatrix}$ — левый остаток. Разделим $P(\lambda)$ справа на $(A-\lambda E)$ . Прибавляя к $P(\lambda)$ многочлен $P_2(A-\lambda E)\lambda$ , получаем λ-матрицу первой степени $P_1^{(2)}\cdot \lambda+P_0$ , где $P_1^{(2)}=P_1+P_2A= \begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$ . Затем к многочлену $P_1^{(2)}\cdot \lambda+P_0$ и получаем числовую матрицу $R$ (остаток), равную $P_0+P_1^{(2)}A$ . Выполнив эти действия, имеем $P(\lambda)= Q_{\text{right}}(\lambda)\cdot(A-\lambda\cdot E)+R_{\text{right}},$ где $Q_{\text{right}}(\lambda)=-P_2 \lambda-P_1^{(2)}=-\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\! \lambda-\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$ — правое частное, $R_{\text{right}}=P_0+P_1^{(2)}A=\begin{pmatrix}11&2\\5&-1\end{pmatrix}$ — правый остаток. Для проверки полученных результатов воспользуемся теоремой 7.2. Вычислим $P_{\text{left}}(A)$ и $P_{\text{right}}(A)$ , подставив вместо переменной $\lambda$ матрицу $A:$ $\begin{aligned}P_{\text{right}}(A)&= \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\cdot A^2+\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}\!\cdot A+\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}=\\ &=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}7&2\\3&6\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}11&2\\5&-1\end{pmatrix}= R_{\text{right}};\\[5pt] P_{\text{left}}(A)&= A^2\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}+ A\cdot\! \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}=\\ &=\begin{pmatrix} 7&2\\3&6\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}8&3\\5&2\end{pmatrix}= R_{\text{left}}. \end{aligned}$ Замечания 7.3 1. Выясним связь операции транспонирования с вычислением правых и левых значений λ-матрицы. Пусть $P(\lambda)=P_m \lambda^m+P_{m-1}\lambda^{m-1}+\ldots+P_1 \lambda+P_0$ и $P^T(\lambda)=P^T_m \lambda^m+P^T_{m-1}\lambda^{m-1}+\ldots+P^T_1 \lambda+P^T_0$ Подставляя в эти многочлены вместо аргумента $\lambda$ матрицы $A$ и $A^T$ , найдем значения $P_{\text{left}}(\lambda)= A^mP_m+A^{m-1}P_{m-1}+\ldots+AP_1+P_0,\quad P_{\text{right}}(\lambda)= P_m^T(A^T)^m+P_{m-1}^T(A^T)^{m-1}+\ldots+P_1^TA^T+ P_0^T.$ Транспонируя матрицу $P_{\text{left}}(A)$ , получаем $[P_{\text{left}}(A)]^T= P_m^T(A^m)^T+\ldots+ P_1^TA^T+P_0^T= P_{\text{right}}^T(A^T)$ . Следовательно, $[P_{\text{left}}(A)]^T=P_{\text{right}}^T(A^T)$ . 2. Если λ-матрица $P(\lambda)$ симметрическая: $P(\lambda)= P^T(\lambda)$ , то $[P_{\text{left}}(A)]^T= P_{\text{right}}(A^T)$ . Если, кроме того, матрица $A$ симметрическая, то левое и правое значения λ-матрицы совпадают: $P_{\text{left}}(A)=P_{\text{right}}(A)$ . 3. Если $P(\lambda)$ — обратимая λ-матрица, то ее остаток от деления на линейный двучлен $(A-\lambda E)$ также обратимая числовая матрица. В самом деле, пусть $P(\lambda)=Q_{\text{right}}(\lambda)(A-\lambda E)+R_{\text{right}}$ , где $R_{\text{right}}= P_{\text{right}}(A)$ — правое значение многочлена $P(\lambda)$ при подстановке матрицы $A$ вместо $\lambda$ . Умножив $P(\lambda)$ справа на $P^{-1}(\lambda)$ , получим $E= Q_{\text{right}}(\lambda)(A-\lambda E)P^{-1}(\lambda)+ R_{\text{right}}P^{-1}(\lambda)$ . Подставим вместо $\lambda$ матрицу $A:$ $E= R_{\text{right}}P_{\text{right}}^{-1}(A)= R_{\text{right}} R_{\text{right}}^{-1}$ . Следовательно, правый остаток $R_{\text{right}}$ — обратимая числовая матрица. Для левого остатка аналогично получаем $P_{\text{left}}^{-1}(A)R_{\text{left}}= R_{\text{left}}^{-1}R_{\text{left}}=E$ , т.е. левый остаток $R_{\text{left}}$ — обратимая числовая матрица. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Многочленные матрицы (λ-матрицы) и операции над ними

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Многочленные матрицы (λ-матрицы) и операции над ними

Определение многочленных матриц (λ-матриц)

Многочленной матрицей (или λ-матрицей) называется матрица, элементами которой являются многочлены переменной $\lambda$ . Многочленные матрицы являются частным случаем функциональных. Далее будут рассматриваться только квадратные λ-матрицы n-го порядка:

$A(\lambda)= \begin{pmatrix}a_{11}(\lambda)&\cdots&a_{1n}(\lambda)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}(\lambda)&\cdots&a_{nn}(\lambda)\end{pmatrix}\!.$

(7.1)

Элементы λ-матрицы — это многочлены вида

$a_{ij}(\lambda)= a_{ij}^{(m)}\lambda^m+ a_{ij}^{(m-1)}\lambda^{m-1}+\ldots+ a_{ij}^{(1)}\lambda+a_{ij}^{(0)},$

где $a_{ij}^{(m)},\ldots,a_{ij}^{(0)}$ — коэффициенты; $m$ — степень многочлена (в общем случае разная для разных элементов матрицы).

Случай, когда все элементы λ-матрицы тождественно равны нулю, сводится к числовой нулевой матрице. Поэтому нулевые λ-матрицы далее не рассматриваются.

Любую λ-матрицу n-го порядка можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами:

$A(\lambda)=A_m \lambda^m+A_{m-1}\lambda^{m-1}+\ldots+A_1 \lambda+A_0,$

(7.2)

где $A_{m},A_{m-1},\ldots,A_1,A_0$ — числовые квадратные матрицы n-го порядка, матрица $A_m\ne O$ — старший коэффициент, матрица $A_0$ — свободный член, неотрицательное целое число $m$ — степень многочлена (7.2). Заметим, что степень $m$ многочлена (7.2) равна наибольшей из степеней элементов λ-матрицы (7.1). Многочлен (7.2) называется регулярным, если определитель старшего коэффициента не равен нулю: $\det{A_m}\ne0$ .

Две λ-матрицы $A(\lambda)$ и $B(\lambda)$ называются равными $(A(\lambda)=B(\lambda))$ , если они имеют одинаковый порядок $(n)$ и равные соответствующие элементы:

$a_{ij}(\lambda)=b_{ij}(\lambda)\quad (i=1,2,\ldots,n;~ j=1,2,\ldots,n).$

Пример 7.1. Представить λ-матрицу $A(\lambda)= \begin{pmatrix} \lambda^3-2 \lambda^2&\lambda^2+\lambda+2\\ 3 \lambda^3+4&5 \lambda^2+6\end{pmatrix}$ в виде многочлена с матричными коэффициентами.

Решение. Данная λ-матрица 2-го порядка $(n=2)$ , наибольшая из степеней многочленов-элементов матрицы равна 3 $(m=3)$ . Применяя линейные операции над матрицами, получаем

$A(\lambda)= \begin{pmatrix} \lambda^3-2 \lambda^2&\lambda^2+\lambda+2\\ 3 \lambda^3+4&5 \lambda^2+6\end{pmatrix}= \underbrace{\begin{pmatrix} 1&0\\3&0\end{pmatrix}}_{A_3}\cdot \lambda^3+ \underbrace{\begin{pmatrix} -2&1\\0&5\end{pmatrix}}_{A_2}\cdot \lambda^2+ \underbrace{\begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix}}_{A_1}\cdot \lambda+\underbrace{\begin{pmatrix} 0&2\\4&6\end{pmatrix}}_{A_3}.$

Полученный многочлен не является регулярным, так как определитель старшего коэффициента равен нулю: $\begin{vmatrix}1&0\\3&0\end{vmatrix}=0$ .

Замечания 7.1

1. Учитывая представление λ-матриц в виде многочленов (7.2) с матричными коэффициентами, можно показать, что λ-матрицы $A(\lambda)$ и $B(\lambda)$ равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый порядок $(n)$ , одинаковую степень $(m)$ и равные матричные коэффициенты при одинаковых степенях $\lambda$ .

2. Еще один критерий равенства λ-матриц нетрудно получить, вспоминая следствие 2 основной теоремы алгебры: λ-матрицы $A(\lambda)$ и $B(\lambda)$ , степень которых не превосходит $m$ , равны тогда и только тогда, когда равны числовые матрицы $A(\lambda_i)=B(\lambda_i)$ при $(m+1)$ различных значениях $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m,\lambda_{m+1}$ переменной $\lambda$ .

Операции над многочленными λ-матрицами

Все операции, определенные для числовых матриц, переносятся на λ-матрицы.

Сложение многочленных матриц (λ-матриц)

Пусть $A(\lambda)$ и $B(\lambda)$ — λ-матрицы n-го порядка:

$\begin{aligned}A(\lambda)&=A_m \lambda^m+A_{m-1} \lambda^{m-1}+\ldots+A_1 \lambda+A_0,\quad A_m\ne O,\\[5pt] B(\lambda)&=B_{\ell} \lambda^{\ell}+B_{\ell-1} \lambda^{\ell-1}+\ldots+B_1 \lambda+B_0,\quad B_m\ne O. \end{aligned}$

(7.3)

Суммой λ-матриц $A(\lambda)$ и $B(\lambda)$ называется матрица $C(\lambda)$ n-го порядка, элементы которой вычисляются по формуле:

$c_{ij}(\lambda)=a_{ij}(\lambda)+b_{ij}(\lambda)\quad (i=1,2,\ldots,n;~ j=1,2,\ldots,n).$

При этом сумма $A(\lambda)+B(\lambda)$ может быть представлена в виде многочлена с матричными коэффициентами, степень которого не превосходит наибольшей из степеней слагаемых:

$A(\lambda)+B(\lambda)= (A_k+B_k)\lambda^k+(A_{k-1}+B_{k-1})\lambda^{k-1}+\ldots+ (A_1+B_1)\lambda+(A_0+B_0),$

(7.4)

где $k=\max\{m,\ell\},~A_i=O$ при $i>m$ , $B_j=O$ при $j>\ell$ .

Умножение многочленной матрицы (λ-матрицы) на многочлен

Произведением $p(\lambda)\cdot A(\lambda)$ λ-матрицы $A(\lambda)$ на многочлен $p(\lambda)$ называется λ-матрица $C(\lambda)$ того же порядка, что и $A(\lambda)$ , элементы которой вычисляются по формуле

$c_{ij}(\lambda)=p(\lambda)\cdot a_{ij}(\lambda),\quad (i=1,2,\ldots,n;~ j=1,2,\ldots,n).$

Произведение матрицы (7.2) на многочлен $p(\lambda)=p_k \lambda^k+\ldots+p_1 \lambda+p_0,~ p_k\ne0$ можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами

$p(\lambda)\cdot A(\lambda)= p_k\cdot A_k \lambda^{m+k}+(p_kA_{m-1}+ p_{k-1}A_m)\lambda^{m+k-1}+\ldots+p_0\cdot A_0,$

(7.5)

степень которого равна сумме степеней множителей.

В частном случае, когда многочлен $p(\lambda)$ тождественно равен постоянной $p_0$ , получаем операцию умножения λ-матрицы на число.

Операция вычитания λ-матриц $A(\lambda)$ и $B(\lambda)$ определяется как сложение матрицы $A(\lambda)$ с матрицей $(-1)\cdot B(\lambda):$

$A(\lambda)-B(\lambda)=A(\lambda)+(-1)\cdot B(\lambda).$

Линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число, умножение на многочлен) с λ-матрицами обладают теми же свойствами, что и линейные операции с числовыми матрицами.

Умножение многочленных матриц (λ-матриц)

Пусть $A(\lambda)$ и $B(\lambda)$ — λ-матрицы n-го порядка (7.3). Матрицу $C(\lambda)$ того же порядка, элементы которой вычисляются по формуле

$c_{ij}(\lambda)= a_{i1}(\lambda)b_{1j}(\lambda)+ a_{i2}(\lambda)b_{2j}(\lambda)+\ldots+ a_{in}(\lambda)b_{nj}(\lambda)\quad (i=1,\ldots,n;~ j=1,\ldots,n),$

называют произведением λ-матриц $A(\lambda)$ и $B(\lambda)$ и обозначают $C(\lambda)=A(\lambda)\cdot B(\lambda)$ . Произведение λ-матриц можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами, степень которого не превышает суммы степеней множителей:

$A(\lambda)\cdot B(\lambda)= A_mB_{\ell}\lambda^{m+\ell}+ (A_mB_{\ell-1}+A_{m-\ell}B_{\ell})\lambda^{m+\ell-1}+\ldots+A_0B_0.$

(7.6)

Транспонирование многочленных матриц (λ-матриц)

Транспонированной для λ-матрицы $A(\lambda)$ называется λ-матрица $C(\lambda)$ , элементы которой вычисляются по формуле

$c_{ij}(\lambda)=a_{ji}(\lambda)\quad (i=1,2,\ldots,n;~ j=1,2,\ldots,n).$

Она обозначается $A^T(\lambda)$ .

Транспонируя выражение $A(\lambda)=A_m \lambda^m+A_{m-1}\lambda^{m-1}+\ldots+ A_1 \lambda+A_0$ , получаем представление транспонированной λ-матрицы в виде многочлена

$A^T(\lambda)=A_m^T \lambda^m+A_{m-1}^T\lambda^{m-1}+\ldots+ A_1^T \lambda+A_0^T$

Пример 7.2. Даны λ-матрицы $A(\lambda)=\begin{pmatrix} \lambda^2-1&\lambda+1\\ \lambda-2&3\end{pmatrix}\!,~ B(\lambda)=\begin{pmatrix}1&2\\ \lambda+2& \lambda \end{pmatrix}$ и многочлен $p(\lambda)=2 \lambda+3$ . Найти $A(\lambda)+ B(\lambda),$ $p(\lambda)B(\lambda),$ $A(\lambda) B(\lambda),$ $B(\lambda)A(\lambda)$ и $A^T(\lambda)$ .

Решение. Запишем данные λ-матрицы 2-го порядка $(n=2)$ как многочлены (степени $m=2$ и $\ell=1$ соответственно) с матричными коэффициентами:

$\begin{gathered}A(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda^2-1&\lambda+1\\ \lambda-2&3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\! \lambda^2+ \begin{pmatrix}0&1\\1&0 \end{pmatrix}\! \lambda+ \begin{pmatrix}-1&1\\-2&3\end{pmatrix}= A_2 \lambda^2+A_1 \lambda+A_0;\\[5pt] B(\lambda)= \begin{pmatrix}1&2\\ \lambda+2& \lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0\\1&1 \end{pmatrix}\! \lambda+ \begin{pmatrix}1&2\\2&0\end{pmatrix}= B_1 \lambda+B_0. \end{gathered}$

Найдем по определению сумму и представим ее как многочлен с матричными коэффициентами

$\begin{aligned}A(\lambda)+B(\lambda)&= \begin{pmatrix}\lambda^2-1&\lambda+1\\ \lambda-2&3\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&2\\ \lambda+2& \lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda^2-1+1& \lambda+1+2\\ \lambda-2+ \lambda+2&3+ \lambda\end{pmatrix}=\\[2pt] &= \begin{pmatrix} \lambda^2&\lambda+3\\ 2 \lambda&\lambda+3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\0&0 \end{pmatrix}\! \lambda^2+ \begin{pmatrix}0&1\\2&1\end{pmatrix}\! \lambda+ \begin{pmatrix} 0&3\\0&3\end{pmatrix}\!.\end{aligned}$

Тот же результат получаем по формуле (7.4), где $k=\max\{2;1\}=2\colon$

$\begin{aligned}A(\lambda)+B(\lambda)&= A_2\cdot \lambda^2+(A_1+B_1)\cdot \lambda+ (A_0+B_0)=\\ &=\begin{pmatrix} 1&0\\0&0\end{pmatrix}\! \lambda^2+ \left[\begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0&0\\1&1\end{pmatrix}\right]\! \lambda+ \left[\begin{pmatrix} -1&1\\-2&3\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1&2\\2&0\end{pmatrix}\right]=\\ &=\begin{pmatrix} 1&0\\0&0 \end{pmatrix}\! \lambda^2+ \begin{pmatrix} 0&1\\2&1\end{pmatrix}\! \lambda+ \begin{pmatrix} 0&3\\0&3\end{pmatrix}\!.\end{aligned}$

Заметим, что степень суммы (равная двум) не превышает наибольшей из степеней слагаемых.

Найдем по определению произведение $p(\lambda)\cdot B(\lambda)$ и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами

$\begin{aligned}p(\lambda)\cdot B(\lambda)&= (2 \lambda+3)\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\ \lambda+2& \lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} (2 \lambda+3)\cdot 1&(2 \lambda+3)\cdot2\\ (2 \lambda+3)\cdot(\lambda+2)&(2 \lambda+3)\cdot \lambda\end{pmatrix}=\\[2pt] &=\begin{pmatrix}2 \lambda+3&4\lambda+6\\ 2 \lambda^2+7 \lambda+6& 2 \lambda^2+3 \lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0\\2&2\end{pmatrix}\! \lambda^2+ \begin{pmatrix}2&4\\7&3\end{pmatrix}\! \lambda+\begin{pmatrix}3&6\\6&0\end{pmatrix}\!.\end{aligned}$

Тот же результат получаем по формуле (7.5), где $k=1,~m=1,~p_1=2,~p_0=3:$

$\begin{aligned}p(\lambda)\cdot B(\lambda)&=(p_1 \lambda+p_0)(B_1 \lambda+B_0)= p_1B_1 \lambda^2+(p_1B_0+p_0B_1)\lambda+p_0B_0=\\[2pt] &=2\cdot\! \begin{pmatrix}0&0\\1&1 \end{pmatrix}\! \lambda^2+ \left[2\cdot\!\begin{pmatrix}1&2\\2&0 \end{pmatrix}+ 3\cdot\!\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}\right]\! \lambda+3\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\2&0 \end{pmatrix}=\\[2pt] &=\begin{pmatrix}0&0\\2&2\end{pmatrix}\! \lambda^2+\begin{pmatrix}2&4\\7&3 \end{pmatrix}\! \lambda+ \begin{pmatrix}3&6\\6&0\end{pmatrix}\!.\end{aligned}$

Заметим, что степень произведения равна сумме степеней множителей.

Найдем по определению произведение $A(\lambda)B(\lambda)$ и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами:

$\begin{aligned}A(\lambda)\cdot B(\lambda)&=\begin{pmatrix} \lambda^2-1&\lambda+1\\ \lambda-2&3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\ \lambda+2&\lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}(\lambda^2-1)\cdot1+(\lambda+1)\cdot(\lambda+2)& (\lambda^2-1)\cdot2+ (\lambda+1)\cdot \lambda\\ (\lambda-2)\cdot1+3\cdot(\lambda+2)& (\lambda-2)\cdot2+3\cdot \lambda \end{pmatrix}=\\[2pt] &=\begin{pmatrix}2 \lambda^2+3 \lambda+1&3 \lambda^2+\lambda-2\\ 4 \lambda+4&5 \lambda-4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&3\\0&0\end{pmatrix}\! \lambda^2+ \begin{pmatrix}3&1\\4&5\end{pmatrix}\! \lambda+ \begin{pmatrix}1&-2\\4&-4 \end{pmatrix}\!. \end{aligned}$

Тот же результат получается по формуле (7.6). Заметим, что в данном случае произведение λ-матриц имеет степень меньше, чем сумма степеней множителей: $2<2+1$ .

Найдем по определению произведение $B(\lambda)A(\lambda)$ и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами:

$\begin{aligned}B(\lambda)\cdot A(\lambda)&= \begin{pmatrix}1&2\\ \lambda+2& \lambda\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} \lambda^2-1&\lambda+1\\ \lambda-2&3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\cdot(\lambda^2-1)+2\cdot(\lambda-2)&1\cdot(\lambda+1)+2\cdot3\\ (\lambda+2)\cdot (\lambda^2-1)+\lambda\cdot(\lambda-2)& (\lambda+2)\cdot(\lambda+1)+\lambda\cdot3 \end{pmatrix}=\\[2pt] &=\begin{pmatrix}\lambda^2+2 \lambda-5&\lambda+7\\ \lambda^3+3 \lambda^2-3 \lambda-2& \lambda^2+6 \lambda+2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\! \lambda^3 \begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}\! \lambda^2+\begin{pmatrix}2&1\\-3&6\end{pmatrix}\! \lambda+\begin{pmatrix}-5&7\\-2&2\end{pmatrix}\!.\end{aligned}$

В данном случае степень произведения оказалась равной сумме степеней множителей.

Найдем транспонированную λ-матрицу $A^T(\lambda)= \begin{pmatrix}\lambda^2-1&\lambda+1\\ \lambda-2&3\end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix}\lambda^2-1&\lambda-2\\ \lambda+1&3 \end{pmatrix}$ .

Замечания 7.2

1. Произведение многочленов (7.5) с матричными коэффициентами в отличие от произведения обычных многочленов может иметь степень меньше, чем сумма степеней множителей (см. пример 7.2). Действительно, старший коэффициент $A_mB_{\ell}$ произведения (7.6) может быть равен нулю, даже если матрицы $A_m$ и $B_{\ell}$ ненулевые. Если хотя бы один из множителей — регулярный многочлен, то степень произведения равна сумме степеней множителей. В самом деле, если матрицы $A_m$ и $B_{\ell}$ — ненулевые и, кроме того, $\det{A_m}\ne0$ , то произведение $A_mB_{\ell}\ne O$ .

2. Как и у числовых матриц, произведение λ-матриц некоммутативно, т.е. $A(\lambda)B(\lambda)\ne B(\lambda)A(\lambda)$ (см. пример 7.2).

Определитель многочленной матрицы (λ-матриц)

Для нахождения определителя λ-матрицы используются те же правила и свойства, что и для числовых матриц, поскольку λ-матрица при фиксированном значении $\lambda$ становится числовой. Заметим, что определитель λ-матрицы, ее миноры и алгебраические дополнения представляют собой многочлены переменной $\lambda$ . Рангом λ-матрицы называется максимальный порядок минора, не равного тождественно нулю, т.е. $\operatorname{rg}A(\lambda)=r$ , если в матрице $A(\lambda)$ имеется отличный от нуля минор r-го порядка, а все миноры большего порядка тождественно равны нулю или не существуют.

Присоединенная λ-матрица $A^{+}(\lambda)$ , транспонированная для матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы $A(\lambda)$ , представляет собой λ-матрицу, причем, как и ранее, справедливо равенство

$A(\lambda)\cdot A^{+}(\lambda)= A^{+}(\lambda)\cdot A(\lambda)= \det{A(\lambda)}\cdot E,$

(7.6)

где $E$ — единичная матрица того же порядка, что и матрица $A(\lambda)$ .

Действительно, докажем, что $A(\lambda)A^{+}(\lambda)=\det{A(\lambda)}\cdot E$ , используя пункт 2 замечаний 7.1. Пусть степени левой и правой частей не превосходят $m$ . Возьмем $(m+1)$ различных чисел $\lambda_1,\lambda_2,\ldots, \lambda_m,\lambda_{m+1}$ . Для любого из них имеет место равенство

$A(\lambda_i)\cdot A^{+}(\lambda_i)= \det{A(\lambda_i)}\cdot E\quad (i=1,2,\ldots,m,m+1),$

справедливое для числовых матриц. Следовательно, λ-матрицы в левой и правой частях доказываемого равенства совпадают. Аналогично можно доказать равенство $A^{+}(\lambda)A(\lambda)=\det{A(\lambda)}\cdot E$ .

Обращение многочленных матриц (λ-матриц)

Обратной для квадратной λ-матрицы $A(\lambda)$ называется λ-матрица $A^{-1}(\lambda)$ , если

$A(\lambda)\cdot A^{-1}(\lambda)= A^{-1}(\lambda)\cdot A(\lambda)=E,$

(7.8)

где $E$ — единичная матрица того же порядка, что и матрица $A(\lambda)$ .

Необходимым и достаточным условием существования обратной λ-матрицы $A^{-1}(\lambda)$ является условие $\det{A(\lambda)}=\text{const}\ne0$ , т.е. определитель обращаемой λ-матрицы должен быть отличным от нуля многочленом нулевой степени (постоянной). Необходимость следует из (7.8). Действительно, по теореме 2.2 об определителе произведения матриц имеем $\det{A(\lambda)}\cdot\det{A^{-1}(\lambda)}=1$ , т.е. произведение двух многочленов (определителей λ-матриц) равно многочлену нулевой степени. Значит, оба множителя — постоянны (многочлены нулевой степени), поэтому $\det{A(\lambda)}=d$ , где $d\ne0$ . Достаточность условия $\det{A(\lambda)}=d\ne0$ следует из теоремы 4.1 существования и единственности обратной матрицы. Формула

$A^{-1}(\lambda)= \frac{1}{\det{A(\lambda)}}\cdot A^{+}(\lambda)= \frac{1}{d}\cdot A^{+}(\lambda)$

действительно определяет λ-матрицу. В этом можно убедиться прямой подстановкой в (7.8) с учетом (7.7) найти обратную.

Матрица $A(\lambda)$ , для которой существует обратная $A^{-1}(\lambda)$ , называется обратимой.

Пример 7.3. Для λ-матрицы $A(\lambda)= \begin{pmatrix}1& \lambda-1\\ \lambda+1&\lambda^2\end{pmatrix}$ найти обратную λ-матрицу.

Решение. Вычислим определитель данной матрицы

$\det{A(\lambda)}= \begin{vmatrix}1&\lambda-1\\ \lambda+1& \lambda^2\end{vmatrix}= \lambda^2-(\lambda-1)(\lambda+1)=1.$

Находим обратную λ-матрицу (по правилу пункта 1 замечаний 4.3): $A^{-1}(\lambda)= \begin{pmatrix} \lambda^2&-\lambda+1\\ -\lambda-1&1\end{pmatrix}$ . Сделаем проверку:

$\begin{aligned}A(\lambda)\cdot A^{-1}(\lambda)&= \begin{pmatrix}1&\lambda-1\\ \lambda+1& \lambda^2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\lambda^2&-\lambda+1\\ -\lambda-1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\!,\\[5pt] A^{-1}(\lambda)\cdot A(\lambda)&= \begin{pmatrix} \lambda^2&-\lambda+1\\ -\lambda-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&\lambda-1\\ \lambda+1& \lambda^2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\0&1 \end{pmatrix}\!. \end{aligned}$

Соотношения (7.8), определяющие обратную матрицу, выполняются.

Делимость многочленных матриц (λ-матриц)

Рассматривая λ-матрицы как многочлены (7.2) с матричными коэффициентами, можно ввести операцию деления многочлена на многочлен с остатком. Нам потребуется операция деления λ-матрицы на линейный двучлен вида $(A-\lambda E)$ , где $A$ — числовая матрица.

Теорема 7.1 о делимости λ-матриц на линейный двучлен. Любую λ-матрицу $P(\lambda)= P_m \lambda^m+\ldots+P_1 \lambda+P_0$ можно разделить слева на линейный двучлен $(A-\lambda E)$ , где $A$ — числовая матрица того же порядка, что и $P(\lambda)$ , т.е. существуют единственные λ-матрица $Q_{\text{left}}(\lambda)$ и числовая матрица $R_{\text{left}}$ такие, что $P(\lambda)=(A-\lambda E)Q_{\text{left}}(\lambda)+R_{\text{left}}$ , где $Q_{\text{left}}(\lambda)$ — левое частное, $R_{\text{left}}$ — левый остаток.

Доказательство этого утверждения проводится как для обычных многочленов, только при умножении нельзя изменять порядок множителей (в силу некоммутативности произведения матриц).

Аналогично определяется деление λ-матрицы $P(\lambda)$ справа на $(A-\lambda E)\colon$ $P(\lambda)= Q_{\text{right}}(\lambda)(A-\lambda E)+R_{\text{right}}$ . Частные и остатки при делении слева и справа в общем случае не совпадают: $Q_{\text{left}}(\lambda)\ne Q_{\text{right}}(\lambda),$ $R_{\text{left}}\ne R_{\text{right}}$ . При делении с остатком левое частное $Q_{\text{left}}(\lambda)$ умножается слева на двучлен $(A-\lambda E)$ , а правое частное $Q_{\text{right}}(\lambda)$ — справа.

Многочлен с матричными коэффициентами можно записать двумя способами

$P(\lambda)=P_m \lambda^m+\ldots+P_1 \lambda+P_0$ и $P(\lambda)=\lambda^m P_m+\ldots+\lambda P_1+P_0,$

которые, разумеется, при любом значении $\lambda$ дают один и тот же результат. Если же вместо переменной $\lambda$ подставить числовую квадратную матрицу $A$ того же порядка, что и $P(\lambda)$ , то получим, в общем случае, разные матрицы:

$P_{\text{right}}(\lambda)=P_m A^m+\ldots+P_1 A+P_0$ и $P_{\text{left}}(\lambda)=A^m P_m+\ldots+A P_1+P_0,$

которые называются, соответственно, правым и левым значениями многочлена $P(\lambda)$ при подстановке матрицы $A$ вместо $\lambda$ . При вычислении правого значения $P_{\text{right}}(\lambda)$ матричные коэффициенты многочлена умножаются справа на матрицу $A$ , а при вычислении левого значения $P_{\text{left}}(\lambda)$ — слева.

Подставляя в равенства $P(\lambda)=Q_{\text{right}}(\lambda)(A-\lambda E)+R_{\text{right}}$ и $P(\lambda)= (A-\lambda E) Q_{\text{left}}(\lambda)+ R_{\text{left}}$ вместо переменной $\lambda$ матрицу $A$ , получаем $P_{\text{right}}(\lambda)=R_{\text{right}}$ и $P_{\text{left}}(\lambda)=R_{\text{left}}$ .

Теорема 7.2 (обобщенная теорема Безу). Остаток от деления λ-матрицы $P(\lambda)$ слева (справа) на линейный двучлен $(A-\lambda E)$ равен левому значению $P_{\text{left}}(\lambda)$ (соответственно, правому значению $P_{\text{right}}(\lambda)$ ).

Пример 7.4. Разделить λ-матрицу $P(\lambda)=\begin{pmatrix} \lambda^2+1& \lambda\\ 2&\lambda-1\end{pmatrix}$ на матрицу $(A-\lambda E)$ , где $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}$ .

Решение. Запишем λ-матрицу $P(\lambda)$ как многочлен второй степени с матричными коэффициентами:

$P(\lambda)= \begin{pmatrix}\lambda^2+1& \lambda\\ 2&\lambda-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\! \lambda^2+ \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}\! \lambda+ \begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}= P_2 \lambda^2+P_1 \lambda+ P_0.$

Разделим $P(\lambda)$ слева на $(A-\lambda E)$ , повторяя, по существу, алгоритм деления "уголком". Прибавляя к $P(\lambda)$ многочлен $(A-\lambda E)P_2 \lambda$ , получаем λ-матрицу первой степени:

$\begin{aligned}P_2 \lambda^2\,+ & \,P_1 \lambda+P_0+(A-\lambda E)\cdot P_2 \lambda= (P_1+AP_2)\cdot \lambda+P_0=\\ &=\left[\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\right]\!\cdot \lambda+ \begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}=\\ &=\begin{pmatrix}1&1\\3&1\end{pmatrix}\! \cdot \lambda+ \begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}= P_1^{(1)}\cdot \lambda+P_0. \end{aligned}$

Продолжая процесс, прибавим к этому линейному двучлену выражение $(A-\lambda E)P_1^{(1)}$ . В результате получим числовую матрицу (остаток):

$P_1^{(1)}\cdot \lambda+P_0+(A-\lambda E)P_1^{(1)}= P_0+AP_1^{(1)}= \begin{pmatrix} 1&0\\2&-1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&1\\3&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}8&3\\5&2\end{pmatrix}=R.$

Итак,

$P(\lambda)+(A-\lambda E)P_2 \lambda+(A-\lambda E)P_1^{(1)}=R$ . Отсюда $P(\lambda)= (A-\lambda E)Q_{\text{left}}(\lambda)+R_{\text{left}}$ ,

где $Q_{\text{left}}(\lambda)=-P_2 \lambda -P_1^{(1)}= -\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\! \lambda-\begin{pmatrix}1&1\\3&1\end{pmatrix}$ — левое частное, а $R_{\text{left}}=R =\begin{pmatrix}8&3\\5&2\end{pmatrix}$ — левый остаток.

Разделим $P(\lambda)$ справа на $(A-\lambda E)$ . Прибавляя к $P(\lambda)$ многочлен $P_2(A-\lambda E)\lambda$ , получаем λ-матрицу первой степени $P_1^{(2)}\cdot \lambda+P_0$ , где $P_1^{(2)}=P_1+P_2A= \begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$ . Затем к многочлену $P_1^{(2)}\cdot \lambda+P_0$ и получаем числовую матрицу $R$ (остаток), равную $P_0+P_1^{(2)}A$ . Выполнив эти действия, имеем

$P(\lambda)= Q_{\text{right}}(\lambda)\cdot(A-\lambda\cdot E)+R_{\text{right}},$

где $Q_{\text{right}}(\lambda)=-P_2 \lambda-P_1^{(2)}=-\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\! \lambda-\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$ — правое частное, $R_{\text{right}}=P_0+P_1^{(2)}A=\begin{pmatrix}11&2\\5&-1\end{pmatrix}$ — правый остаток.

Для проверки полученных результатов воспользуемся теоремой 7.2. Вычислим $P_{\text{left}}(A)$ и $P_{\text{right}}(A)$ , подставив вместо переменной $\lambda$ матрицу $A:$

$\begin{aligned}P_{\text{right}}(A)&= \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\cdot A^2+\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}\!\cdot A+\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}=\\ &=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}7&2\\3&6\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}11&2\\5&-1\end{pmatrix}= R_{\text{right}};\\[5pt] P_{\text{left}}(A)&= A^2\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}+ A\cdot\! \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}=\\ &=\begin{pmatrix} 7&2\\3&6\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}8&3\\5&2\end{pmatrix}= R_{\text{left}}. \end{aligned}$

Замечания 7.3

1. Выясним связь операции транспонирования с вычислением правых и левых значений λ-матрицы. Пусть

$P(\lambda)=P_m \lambda^m+P_{m-1}\lambda^{m-1}+\ldots+P_1 \lambda+P_0$ и $P^T(\lambda)=P^T_m \lambda^m+P^T_{m-1}\lambda^{m-1}+\ldots+P^T_1 \lambda+P^T_0$

Подставляя в эти многочлены вместо аргумента $\lambda$ матрицы $A$ и $A^T$ , найдем значения

$P_{\text{left}}(\lambda)= A^mP_m+A^{m-1}P_{m-1}+\ldots+AP_1+P_0,\quad P_{\text{right}}(\lambda)= P_m^T(A^T)^m+P_{m-1}^T(A^T)^{m-1}+\ldots+P_1^TA^T+ P_0^T.$

Транспонируя матрицу $P_{\text{left}}(A)$ , получаем $[P_{\text{left}}(A)]^T= P_m^T(A^m)^T+\ldots+ P_1^TA^T+P_0^T= P_{\text{right}}^T(A^T)$ . Следовательно, $[P_{\text{left}}(A)]^T=P_{\text{right}}^T(A^T)$ .

2. Если λ-матрица $P(\lambda)$ симметрическая: $P(\lambda)= P^T(\lambda)$ , то $[P_{\text{left}}(A)]^T= P_{\text{right}}(A^T)$ . Если, кроме того, матрица $A$ симметрическая, то левое и правое значения λ-матрицы совпадают: $P_{\text{left}}(A)=P_{\text{right}}(A)$ .

3. Если $P(\lambda)$ — обратимая λ-матрица, то ее остаток от деления на линейный двучлен $(A-\lambda E)$ также обратимая числовая матрица. В самом деле, пусть $P(\lambda)=Q_{\text{right}}(\lambda)(A-\lambda E)+R_{\text{right}}$ , где $R_{\text{right}}= P_{\text{right}}(A)$ — правое значение многочлена $P(\lambda)$ при подстановке матрицы $A$ вместо $\lambda$ . Умножив $P(\lambda)$ справа на $P^{-1}(\lambda)$ , получим $E= Q_{\text{right}}(\lambda)(A-\lambda E)P^{-1}(\lambda)+ R_{\text{right}}P^{-1}(\lambda)$ . Подставим вместо $\lambda$ матрицу $A:$ $E= R_{\text{right}}P_{\text{right}}^{-1}(A)= R_{\text{right}} R_{\text{right}}^{-1}$ . Следовательно, правый остаток $R_{\text{right}}$ — обратимая числовая матрица. Для левого остатка аналогично получаем $P_{\text{left}}^{-1}(A)R_{\text{left}}= R_{\text{left}}^{-1}R_{\text{left}}=E$ , т.е. левый остаток $R_{\text{left}}$ — обратимая числовая матрица.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]