Многочленные матрицы (λ-матрицы) и операции над ними
Определение многочленных матриц (λ-матриц)
Многочленной матрицей (или λ-матрицей) называется матрица, элементами которой являются многочлены переменной . Многочленные матрицы являются частным случаем функциональных. Далее будут рассматриваться только квадратные λ-матрицы n-го порядка:
 (7.1)
Элементы λ-матрицы — это многочлены вида
где — коэффициенты; — степень многочлена (в общем случае разная для разных элементов матрицы).
Случай, когда все элементы λ-матрицы тождественно равны нулю, сводится к числовой нулевой матрице. Поэтому нулевые λ-матрицы далее не рассматриваются.
Любую λ-матрицу n-го порядка можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами:
 (7.2)
где — числовые квадратные матрицы n-го порядка, матрица — старший коэффициент, матрица — свободный член, неотрицательное целое число — степень многочлена (7.2). Заметим, что степень многочлена (7.2) равна наибольшей из степеней элементов λ-матрицы (7.1). Многочлен (7.2) называется регулярным, если определитель старшего коэффициента не равен нулю: .
Две λ-матрицы и называются равными , если они имеют одинаковый порядок и равные соответствующие элементы:
Пример 7.1. Представить λ-матрицу в виде многочлена с матричными коэффициентами.
Решение. Данная λ-матрица 2-го порядка , наибольшая из степеней многочленов-элементов матрицы равна 3 . Применяя линейные операции над матрицами, получаем
Полученный многочлен не является регулярным, так как определитель старшего коэффициента равен нулю: .
Замечания 7.1
1. Учитывая представление λ-матриц в виде многочленов (7.2) с матричными коэффициентами, можно показать, что λ-матрицы и равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый порядок , одинаковую степень и равные матричные коэффициенты при одинаковых степенях .
2. Еще один критерий равенства λ-матриц нетрудно получить, вспоминая следствие 2 основной теоремы алгебры: λ-матрицы и , степень которых не превосходит , равны тогда и только тогда, когда равны числовые матрицы при различных значениях переменной .
Операции над многочленными λ-матрицами
Все операции, определенные для числовых матриц, переносятся на λ-матрицы.
Сложение многочленных матриц (λ-матриц)
Пусть и — λ-матрицы n-го порядка:
![\begin{aligned}A(\lambda)&=A_m \lambda^m+A_{m-1} \lambda^{m-1}+\ldots+A_1 \lambda+A_0,\quad A_m\ne O,\\[5pt] B(\lambda)&=B_{\ell} \lambda^{\ell}+B_{\ell-1} \lambda^{\ell-1}+\ldots+B_1 \lambda+B_0,\quad B_m\ne O. \end{aligned}](data:image/png;base64,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) (7.3)
Суммой λ-матриц и называется матрица n-го порядка, элементы которой вычисляются по формуле:
При этом сумма может быть представлена в виде многочлена с матричными коэффициентами, степень которого не превосходит наибольшей из степеней слагаемых:
 (7.4)
где при , при .
Умножение многочленной матрицы (λ-матрицы) на многочлен
Произведением λ-матрицы на многочлен называется λ-матрица того же порядка, что и , элементы которой вычисляются по формуле
Произведение матрицы (7.2) на многочлен можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами
 (7.5)
степень которого равна сумме степеней множителей.
В частном случае, когда многочлен тождественно равен постоянной , получаем операцию умножения λ-матрицы на число.
Операция вычитания λ-матриц и определяется как сложение матрицы с матрицей 
Линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число, умножение на многочлен) с λ-матрицами обладают теми же свойствами, что и линейные операции с числовыми матрицами.
Умножение многочленных матриц (λ-матриц)
Пусть и — λ-матрицы n-го порядка (7.3). Матрицу того же порядка, элементы которой вычисляются по формуле
называют произведением λ-матриц и и обозначают . Произведение λ-матриц можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами, степень которого не превышает суммы степеней множителей:
 (7.6)
Транспонирование многочленных матриц (λ-матриц)
Транспонированной для λ-матрицы называется λ-матрица , элементы которой вычисляются по формуле
Она обозначается .
Транспонируя выражение , получаем представление транспонированной λ-матрицы в виде многочлена
Пример 7.2. Даны λ-матрицы и многочлен . Найти и .
Решение. Запишем данные λ-матрицы 2-го порядка как многочлены (степени и соответственно) с матричными коэффициентами:
Найдем по определению сумму и представим ее как многочлен с матричными коэффициентами
Тот же результат получаем по формуле (7.4), где 
Заметим, что степень суммы (равная двум) не превышает наибольшей из степеней слагаемых.
Найдем по определению произведение и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами
Тот же результат получаем по формуле (7.5), где 
Заметим, что степень произведения равна сумме степеней множителей.
Найдем по определению произведение и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами:
Тот же результат получается по формуле (7.6). Заметим, что в данном случае произведение λ-матриц имеет степень меньше, чем сумма степеней множителей: .
Найдем по определению произведение и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами:
В данном случае степень произведения оказалась равной сумме степеней множителей.
Найдем транспонированную λ-матрицу .
Замечания 7.2
1. Произведение многочленов (7.5) с матричными коэффициентами в отличие от произведения обычных многочленов может иметь степень меньше, чем сумма степеней множителей (см. пример 7.2). Действительно, старший коэффициент произведения (7.6) может быть равен нулю, даже если матрицы и ненулевые. Если хотя бы один из множителей — регулярный многочлен, то степень произведения равна сумме степеней множителей. В самом деле, если матрицы и — ненулевые и, кроме того, , то произведение .
2. Как и у числовых матриц, произведение λ-матриц некоммутативно, т.е. (см. пример 7.2).
Определитель многочленной матрицы (λ-матриц)
Для нахождения определителя λ-матрицы используются те же правила и свойства, что и для числовых матриц, поскольку λ-матрица при фиксированном значении становится числовой. Заметим, что определитель λ-матрицы, ее миноры и алгебраические дополнения представляют собой многочлены переменной . Рангом λ-матрицы называется максимальный порядок минора, не равного тождественно нулю, т.е. , если в матрице имеется отличный от нуля минор r-го порядка, а все миноры большего порядка тождественно равны нулю или не существуют.
Присоединенная λ-матрица , транспонированная для матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы , представляет собой λ-матрицу, причем, как и ранее, справедливо равенство
 (7.6)
где — единичная матрица того же порядка, что и матрица .
Действительно, докажем, что , используя пункт 2 замечаний 7.1. Пусть степени левой и правой частей не превосходят . Возьмем различных чисел . Для любого из них имеет место равенство
справедливое для числовых матриц. Следовательно, λ-матрицы в левой и правой частях доказываемого равенства совпадают. Аналогично можно доказать равенство .
Обращение многочленных матриц (λ-матриц)
Обратной для квадратной λ-матрицы называется λ-матрица , если
 (7.8)
где — единичная матрица того же порядка, что и матрица .
Необходимым и достаточным условием существования обратной λ-матрицы является условие , т.е. определитель обращаемой λ-матрицы должен быть отличным от нуля многочленом нулевой степени (постоянной). Необходимость следует из (7.8). Действительно, по теореме 2.2 об определителе произведения матриц имеем , т.е. произведение двух многочленов (определителей λ-матриц) равно многочлену нулевой степени. Значит, оба множителя — постоянны (многочлены нулевой степени), поэтому , где . Достаточность условия следует из теоремы 4.1 существования и единственности обратной матрицы. Формула
действительно определяет λ-матрицу. В этом можно убедиться прямой подстановкой в (7.8) с учетом (7.7) найти обратную.
Матрица , для которой существует обратная , называется обратимой.
Пример 7.3. Для λ-матрицы найти обратную λ-матрицу.
Решение. Вычислим определитель данной матрицы
Находим обратную λ-матрицу (по правилу пункта 1 замечаний 4.3): . Сделаем проверку:
Соотношения (7.8), определяющие обратную матрицу, выполняются.
Делимость многочленных матриц (λ-матриц)
Рассматривая λ-матрицы как многочлены (7.2) с матричными коэффициентами, можно ввести операцию деления многочлена на многочлен с остатком. Нам потребуется операция деления λ-матрицы на линейный двучлен вида , где — числовая матрица.
Теорема 7.1 о делимости λ-матриц на линейный двучлен. Любую λ-матрицу можно разделить слева на линейный двучлен , где — числовая матрица того же порядка, что и , т.е. существуют единственные λ-матрица и числовая матрица такие, что , где — левое частное, — левый остаток.
Доказательство этого утверждения проводится как для обычных многочленов, только при умножении нельзя изменять порядок множителей (в силу некоммутативности произведения матриц).
Аналогично определяется деление λ-матрицы справа на . Частные и остатки при делении слева и справа в общем случае не совпадают: . При делении с остатком левое частное умножается слева на двучлен , а правое частное — справа.
Многочлен с матричными коэффициентами можно записать двумя способами
 и 
которые, разумеется, при любом значении дают один и тот же результат. Если же вместо переменной подставить числовую квадратную матрицу того же порядка, что и , то получим, в общем случае, разные матрицы:
 и 
которые называются, соответственно, правым и левым значениями многочлена при подстановке матрицы вместо . При вычислении правого значения матричные коэффициенты многочлена умножаются справа на матрицу , а при вычислении левого значения — слева.
Подставляя в равенства и вместо переменной матрицу , получаем и .
Теорема 7.2 (обобщенная теорема Безу). Остаток от деления λ-матрицы слева (справа) на линейный двучлен равен левому значению (соответственно, правому значению ).
Пример 7.4. Разделить λ-матрицу на матрицу , где .
Решение. Запишем λ-матрицу как многочлен второй степени с матричными коэффициентами:
Разделим слева на , повторяя, по существу, алгоритм деления "уголком". Прибавляя к многочлен , получаем λ-матрицу первой степени:
Продолжая процесс, прибавим к этому линейному двучлену выражение . В результате получим числовую матрицу (остаток): Итак,
 . Отсюда  ,
где — левое частное, а — левый остаток.
Разделим справа на . Прибавляя к многочлен , получаем λ-матрицу первой степени , где . Затем к многочлену и получаем числовую матрицу (остаток), равную . Выполнив эти действия, имеем
где — правое частное, — правый остаток.
Для проверки полученных результатов воспользуемся теоремой 7.2. Вычислим и , подставив вместо переменной матрицу 
Замечания 7.3
1. Выясним связь операции транспонирования с вычислением правых и левых значений λ-матрицы. Пусть
 и 
Подставляя в эти многочлены вместо аргумента матрицы и , найдем значения
Транспонируя матрицу , получаем . Следовательно, .
2. Если λ-матрица симметрическая: , то . Если, кроме того, матрица симметрическая, то левое и правое значения λ-матрицы совпадают: .
3. Если — обратимая λ-матрица, то ее остаток от деления на линейный двучлен также обратимая числовая матрица. В самом деле, пусть , где — правое значение многочлена при подстановке матрицы вместо . Умножив справа на , получим . Подставим вместо матрицу . Следовательно, правый остаток — обратимая числовая матрица. Для левого остатка аналогично получаем , т.е. левый остаток — обратимая числовая матрица.
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|