Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Методы вычисления определителей
ОглавлениеЛинейная алгебра

Методы вычисления определителей


При вычислении определителей высокого порядка (больше 3-го) определение, как правило, не используется, так как это приводит к громоздким выражениям и требует большого количества арифметических операций. Гораздо эффективнее использовать свойства определителей. Наиболее важными для вычисления определителей являются свойства 3, 6, 9. Эти свойства можно назвать элементарными преобразованиями определителя, что соответствует элементарным преобразованиям матрицы.


I. Перестановка двух столбцов (строк) определителя приводит к изменению его знака на противоположный.


II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) определителя на одно и то же число, отличное от нуля, приводит к умножению определителя на это число.


III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) определителя соответствующих элементов другого столбца, умноженных на одно и то же число, не изменяет определитель.


При помощи элементарных преобразований можно упростить определитель, т.е. привести его к виду, удобному для вычислений.




Метод приведения определителя к треугольному виду


При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к верхнему (или нижнему) треугольному виду (метод Гаусса). Отсюда следует, что любой определитель, используя перечисленные выше элементарные преобразования, можно привести к треугольному виду, а затем вычислить согласно п.3 замечаний 2.2.


Итак, метод состоит из двух шагов.


1. При помощи элементарных преобразований привести определитель к треугольному виду.


2. Вычислить определитель треугольного вида, перемножая его элементы, стоящие на главной диагонали.


Пример 2.12. Вычислить определитель четвёртого порядка


[math]\det{A}= \begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 2&3&4&1\\ 3&4&1&2\\ 4&1&2&3\end{vmatrix},[/math] приводя его к треугольному виду.

Решение. 1. При помощи элементарных преобразований приведем матрицу к треугольному виду. Взяв элемент [math]a_{11}=1[/math] первой строки в качестве ведущего, все остальные элементы первого столбца сделаем равными нулю. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2), к третьей строке прибавим первую, умноженную на (-3), а к четвертой строке прибавим первую, умноженную на (-4):


[math]\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 2&3&4&1\\ 3&4&1&2\\ 4&1&2&3\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&-1&-2&-7\\ 0&-2&-8&-10\\ 0&-7&-10&-13\end{vmatrix}.[/math]

Заметим, что при использовании этих элементарных преобразований III типа определитель не изменяется.


Умножим элементы второй строки на (-1), а элементы третьей строки — на 0,5, при этом, чтобы не нарушить равенство, надо полученный определитель разделить на [math](-1)\cdot0,\!5=-0,\!5[/math], т.е. умножить на (-2):


[math]\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&-1&-2&-7\\ 0&-2&-8&-10\\ 0&-7&-10&-13\end{vmatrix}= -2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&-1&-4&-5\\ 0&-7&-10&-13\end{vmatrix}.[/math]

В полученной матрице нужно сделать равными нулю элементы [math]a_{32}=-1[/math] и [math]a_{42}=-7[/math] второго столбца, стоящие ниже главной диагонали. Для этого берем в качестве ведущего элемента [math]a_{22}=1[/math] и прибавляем к третьей и четвертой строкам вторую строку, умноженную на 1 и на 7 соответственно:


[math]-2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&-1&-4&-5\\ 0&-7&-10&-13\end{vmatrix}= -2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&0&-2&2\\ 0&0&4&36\end{vmatrix}[/math]

Осталось сделать равным нулю элемент [math]a_{43}[/math]. К четвертой строке прибавим третью, умноженную на 2 (определитель при этом не изменится):


[math]-2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&0&-2&2\\ 0&0&4&36\end{vmatrix}= -2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&0&-2&2\\ 0&0&0&40\end{vmatrix}.[/math]

Получили определитель треугольного вида.

2. Вычислим определитель верхней треугольной матрицы, перемножая элементы, стоящие на главной диагонали:


[math]\det{A}= -2\cdot\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&0&-2&2\\ 0&0&0&40\end{vmatrix}= -2\cdot1\cdot1\cdot(-2)\cdot40=160.[/math]



Метод понижения порядка определителя


Этот метод также основан на элементарных преобразованиях определителя.


1. При помощи элементарного преобразования III типа нужно в одном столбце (или одной строке) сделать равными нулю все элементы, за исключением одного.


2. Разложить определитель по этому столбцу (строке) и получить определитель меньшего порядка, чем исходный. Если его порядок больше 1, то следует перейти к п. 1, иначе вычисления закончить.


Пример 2.13. Вычислить определитель четвёртого порядка методом понижения порядка.


[math]\det{A}= \begin{vmatrix}1&0&3&4\\ 0&3&0&1\\ 3&0&1&2\\ 4&1&2&3 \end{vmatrix}[/math]

Решение. 1. В качестве ведущего элемента возьмем [math]a_{24}=1[/math], а все остальные элементы второй строки при помощи элементарных преобразований сделаем равными нулю. Для этого ко второму столбцу прибавим четвертый, умноженный на (-3):


[math]\begin{vmatrix}1&0&3&4\\ 0&3&0&1\\ 3&0&1&2\\ 4&1&2&3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}1&-12&3&4\\ 0&0&0&1\\ 3&-6&1&2\\ 4&-8&2&3\end{vmatrix}.[/math]

2. Разложим определитель по второй строке


[math]\begin{vmatrix}1&-12&3&4\\ 0&0&0&1\\ 3&-6&1&2\\ 4&-8&2&3\end{vmatrix}= 1\cdot(-1)^{2+4}\cdot \begin{vmatrix}1&-12&3\\3&-6&1\\4&-8&2\end{vmatrix}.[/math]

Получили определитель третьего порядка.

Вынесем за знак определителя множитель (2) из второго столбца (точнее все элементы второго столбца умножим на 0,5 , а получившийся определитель умножим на 2):


[math]\begin{vmatrix}1&-12&3\\3&-6&1\\4&-8&2\end{vmatrix}= 2\cdot \begin{vmatrix}1&-6&3\\ 3&-3&1\\ 4&-4&2\end{vmatrix}.[/math]

Прибавим ко второму столбцу первый

[math]2\cdot \begin{vmatrix}1&-6&3\\ 3&-3&1\\ 4&-4&2\end{vmatrix}= 2\cdot \begin{vmatrix}1&-5&3\\ 3&0&1\\ 4&0&2\end{vmatrix}.[/math]

Полученный определитель разложим по второму столбцу

[math]2\cdot \begin{vmatrix}1&-5&3\\ 3&0&1\\ 4&0&2\end{vmatrix}= 2\cdot(-5)\cdot(-1)^{1+2}\cdot \begin{vmatrix}3&1\\4&2\end{vmatrix}= 10\cdot \begin{vmatrix}3&1\\4&2\end{vmatrix}.[/math]

Получили определитель 2-го порядка.

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2)


[math]10\cdot \begin{vmatrix}3&1\\4&2\end{vmatrix}= 10\cdot \begin{vmatrix}3&1\\-2&0 \end{vmatrix}.[/math]

Разложим определитель по второй строке и заменим определитель первого порядка единственным его элементом

[math]10\cdot \begin{vmatrix}3&1\\-2&0 \end{vmatrix}= 10\cdot(-2)\cdot(-1)^{2+1}\cdot1=20.[/math]

Результат совпадает с полученным в примере 2.7.




Метод изменения всех элементов определителя


При вычислении определителей бывает полезно изменить все его элементы, умножив их на одно и то же число, не равное нулю, либо прибавить к каждому элементу одно и то же число. Найдем формулы изменения определителя при этих преобразованиях.


Пусть дана квадратная матрица [math]A[/math] n-го порядка. Из свойства 6 следует, что при умножении всех элементов определителя n-го порядка на число [math]\lambda\ne0[/math] определитель умножается на число [math]\lambda^n\colon\,\det(\lambda A)=\lambda^n\det{A}[/math].


Рассмотрим теперь определитель матрицы [math]B[/math], элементы которой [math]b_{ij}=a_{ij}+x[/math] получены из соответствующих элементов матрицы [math]A[/math] прибавлением числа [math]x:[/math]


[math]\det{B}= \begin{vmatrix} a_{11}+x& a_{12}+x& \cdots& a_{1n}+x\\ \vdots&\vdots& \ddots&\vdots\\ a_{n1}+x& a_{n2}+x& \cdots& a_{nn}+x \end{vmatrix}.[/math]

Применяя свойство 7 к первому столбцу этого определителя, получаем сумму определителей

[math]\det{B}= \begin{vmatrix} a_{11}+x&a_{12}+ x&\cdots& a_{1n}+x\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}+x&a_{n2}+ x&\cdots& a_{nn}+x\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}x&a_{12}+x&\cdots&a_{1n}+x\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x&a_{n2}+x&\cdots&a_{nn}+x\end{vmatrix}.[/math]

То же свойство применяем к каждому определителю ("раскладывая" второй столбец) и т.д. В итоге получим сумму [math]2^n[/math] определителей n-го порядка, причем определители, имеющие по два и более столбцов из элементов, равных [math]x[/math], равны нулю (по свойству 4). Поэтому в сумме остаются только [math](n+1)[/math] слагаемых: определитель матрицы [math]A[/math] и [math]n[/math] определителей вида


[math]D_{j}= \begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1\,j-1}&x& a_{1\,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots& \vdots&\vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n\,j-1}&x&a_{n\,j+1}& \cdots&a_{nn}\end{vmatrix},[/math]

отличающихся от определителя матрицы [math]A[/math] только j-м столбцом. Раскладывая этот определитель по j-му столбцу, получаем сумму алгебраических дополнений элементов этого столбца, умноженную на [math]x:[/math]

[math]D_{j}= x\cdot\sum_{i=1}^{n}A_{ij}.[/math]

Следовательно, сумма всех таких определителей [math]D_{j}\,(j=1,2,\ldots,n)[/math] равна сумме алгебраических дополнений всех элементов матрицы [math]A[/math], умноженной на [math]x:[/math]


[math]\sum_{j=1}^{n}D_{j}= x\cdot\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}A_{ij}\,.[/math]

Окончательно получаем, что при увеличении всех элементов определителя на число [math]x[/math], определитель увеличивается на сумму всех алгебраических дополнений, умноженную на число [math]x:[/math]


[math]\begin{vmatrix}a_{11}+x&\cdots&a_{1n}+x\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}+x&\cdots&a_{nn}+x\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+ x\cdot\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}A_{ij}\,.[/math]



Пример 2.14. Вычислить определитель n-го порядка


[math]D_n= \begin{vmatrix}a_1&x&x&\cdots&x\\ x&a_2&x&\cdots&x\\ x&x&a_3&\cdots&x\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x&x&x&\cdots&a_n\end{vmatrix}.[/math]

Решение. Рассмотрим определитель диагональной матрицы [math]A[/math]


[math]\det{A}= \begin{vmatrix}a_1-x&0&0&\cdots&0\\ 0&a_2-x&0&\cdots&0\\ 0&0&a_3-x&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&a_n-x\end{vmatrix}.[/math]

Искомый определитель [math]D_n[/math] получается прибавлением к каждому элементу определителя матрицы [math]A[/math] числа [math]x[/math]. Поэтому


[math]D_n=\det{A}+x\cdot \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}A_{ij}\,.[/math]

Определитель диагональной матрицы [math]A[/math] равен произведению диагональных элементов:


[math]\det{A}= (a_1-x)\cdot(a_2-x)\cdot\ldots\cdot(a_n-x)=\prod_{i=1}^{n}(a_i-x).[/math]

Осталось вычислить сумму алгебраических дополнений всех элементов матрицы [math]A[/math]. Заметим, что алгебраическое дополнение недиагонального элемента равно нулю ([math]A_{ij}[/math] при [math]i\ne j[/math], так как дополнительный минор содержит нулевой столбец). Дополнительный минор диагонального элемента — это определитель диагональной матрицы, т.е.


[math]A_{ij}= (a_1-x)\cdot\ldots\cdot(a_{i-1}-x)\cdot(a_{i+1}-x)\cdot\ldots\cdot(a_n-x).[/math]
Поэтому
[math]D_{n}= \prod_{i=1}^{n}(a_i-x)+x\cdot\sum_{k=1}^{n}\prod_{i=1}^{k}(a_i-x).[/math]



Вычисление определителей с помощью рекуррентных уравнений



Этот метод заключается в том, что исходный определитель [math]\Delta_n[/math] n-го порядка выражается через определители [math]\Delta_{n-1},\Delta_{n-2},\ldots,\Delta_{n-m}[/math] того же вида, но меньшего порядка. Получается рекуррентное уравнение


[math]\Delta_n= f(\Delta_{n-1},\Delta_{n-2},\ldots,\Delta_{n-m}).[/math]

Решая это уравнение, находим формулу, выражающую определитель [math]\Delta_n[/math] через определители [math]\Delta_1,\Delta_2,\ldots,\Delta_m[/math] и порядок [math]n:[/math]


[math]\Delta_n= F(\Delta_1,\Delta_2,\ldots,\Delta_m).[/math]

В последнюю формулу подставляем определители [math]\Delta_1,\Delta_2,\ldots,\Delta_m[/math] невысокого [math](m<n)[/math] порядка, которые нетрудно вычислить каким-либо другим способом.


Замечание 2.6. Рекуррентным уравнением называется равенство вида [math]x_n=f(n,x_{n-1},\ldots,x_{n-m})=0[/math], выражающее n-й член [math]x_n[/math] искомой числовой последовательности [math]\{x_n\}[/math] через [math]m[/math] её предыдущих членов [math]x_{n-1},x_{n-2},\ldots,x_{n-m}[/math]. Методы решения таких уравнений рассматриваются в разд.




Пример 2.15. Вычислить определитель n-го порядка


[math]\Delta_n= \begin{vmatrix}3&2&0&\cdots&0&0\\ -2&3&2&\cdots&0&0\\ 0&-2&3&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&3&2\\ 0&0&0&\cdots&-2&3\end{vmatrix}.[/math]

Решение. Разложим определитель по первой строке


[math]\Delta_n= 3\cdot(-1)^{1+1}\cdot \begin{vmatrix}3&2&\cdots&0&0\\ -2&3&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&3&2\\ 0&0&\cdots&-2&3\end{vmatrix}+ 2\cdot(-1)^{1+2}\cdot \begin{vmatrix}-2&2&\cdots&0&0\\ 0&3&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&3&2\\ 0&0&\cdots&-2&3\end{vmatrix}.[/math]

Первый из полученных определителей (n-l)-ro порядка обозначим [math]\Delta_{n-1}[/math], так как он имеет такой же вид, что и [math]\Delta_n[/math]. Разложив последний определитель по первому столбцу, получим определитель того же вида, что и [math]\Delta_n[/math], но (n-2)-го порядка


[math]\Delta_n= 3\Delta_{n-1}- 2\begin{vmatrix}-2&2&0&\cdots&0\\ 0&3&2&\cdots&0\\ 0&-2&3&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&3\end{vmatrix}= 3\Delta_{n-1}-2(-2)(-1)^{1+1} \begin{vmatrix}3&2&\cdots&0\\ -2&3&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&3\end{vmatrix}.[/math]

Следовательно, искомый определитель удовлетворяет рекуррентному уравнению


[math]\Delta_n= 3\cdot\Delta_{n-1}+4\cdot\Delta_{n-2}.[/math]

Решение этого уравнения будем искать в виде [math]\Delta_n= a(-1)^n+b4^n[/math], где [math]a[/math] и [math]b[/math] — неизвестные коэффициенты. Заметим, что эта формула дает решение рекуррентного уравнения при любых коэффициентах [math]a[/math] и [math]b[/math]. В самом деле, подставляя [math]\Delta_n= a(-1)^n+b4^n[/math] в уравнение, получаем тождество


[math]\begin{gathered} a\cdot(-1)^n+b\cdot4^n= 3\cdot\Bigl[a\cdot(-1)^{n-1}+b\cdot4^{n-1} \Bigr] + 4\cdot\Bigl[a\cdot(-1)^{n-2}+b\cdot4^{n-2}\Bigr]~~\Leftrightarrow\\[2pt] \Leftrightarrow~~ a\cdot(-1)^n+b\cdot4^n= -3a\cdot(-1)^n+\frac{3}{4}b\cdot4^n+4a\cdot(-1)^n+\frac{b}{4}\cdot4^n~~\Leftrightarrow\\[2pt] \Leftrightarrow~~ a\cdot(-1)^n+b\cdot4^n= a\cdot(-1)^n+b\cdot4^n.\end{gathered}[/math]

Подберем теперь коэффициенты [math]a[/math] и [math]b[/math] в формуле [math]\Delta_n= a\cdot(-1)^n+b\cdot4^n[/math] так, чтобы при [math]n=1[/math] и [math]n=2[/math] она давала правильные результаты, т.е.


[math]\Delta_1= a\cdot(-1)^1+b\cdot4^1=3;\quad \Delta_2= a\cdot(-1)^2+b\cdot4^2= \begin{vmatrix}3&2\\-2&3\end{vmatrix}=13.[/math]

Решая систему уравнений [math]\begin{cases}-a+4b=3,\\ a+16b=13,\end{cases}[/math] получаем [math]a=\frac{1}{5},\,b=\frac{4}{5}[/math]. Следовательно, искомый определитель равен


[math]\Delta_n= \frac{1}{5}\cdot(-1)^n+\frac{4}{5}\cdot4^n= \frac{1}{5}\Bigl[(-1)^n+4^{n+1}\Bigr].[/math]



Пример 2.16. Вычислить определитель Вандермонда


[math]\Delta_n= \begin{vmatrix}1&1&\cdots&1&1\\ x_1&x_2&\cdots&x_{n-1}&x_n\\ x_1^2&x_2^2&\cdots&x_{n-1}^2&x_n^2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_{n-1}^{n-1}&x_n^{n-1}\end{vmatrix}.[/math] где [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] — действительные числа.

Решение. Рассмотрим определитель


[math]\Delta_n(x)= \begin{vmatrix}1&1&\cdots&1&1\\ x_1&x_2&\cdots&x_{n-1}&x\\ x_1^2&x_2^2&\cdots&x_{n-1}^2&x^2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_{n-1}^{n-1}&x^{n-1}\end{vmatrix},[/math]

который отличается от определителя Вандермонда последним столбцом, но совпадает с ним при [math]x=x_n\colon\,\Delta_n(x_n)=\Delta_n[/math] [math][/math]. Раскладывая определитель [math]\Delta_n(x)[/math] по последнему столбцу, получаем многочлен (n-1)-й степени действительной переменной [math]x:[/math]


[math]\Delta_n(x)=a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0,[/math]

где старший коэффициент [math]a_{n-1}[/math] равен алгебраическому дополнению элемента [math]x^{n-1}:[/math]


[math]a_{n-1}= (-1)^{n+n}\cdot\Delta_{n-1}= \Delta_{n-1},[/math]

т.е. определителю [math]\Delta_{n-1}[/math] — определителю Вандермонда (n-l)-ro порядка. Заметим, что при [math]x=x_1[/math] определитель [math]\Delta_n(x)[/math] равен нулю, так как он имеет два одинаковых столбца (свойство 4). Следовательно, [math]x_1[/math] — корень многочлена [math]\Delta_n(x)[/math]. То же самое можно сказать про числа [math]x_2,x_3,\ldots,x_{n-1}[/math]. Все они являются корнями многочлена [math]\Delta_n(x)[/math]. Следовательно, этот многочлен имеет вид:


[math]\Delta_n(x)= \Delta_{n-1}\cdot(x-x_1)(x-x_2)\cdot\ldots\cdot(x-x_{n-1}).[/math]

Подставляя в это равенство [math]x=x_n[/math] и учитывая, что [math]\Delta_n(x_n)=\Delta_n[/math], получаем рекуррентное уравнение


[math]\Delta_n= \Delta_{n-1}\cdot(x_n-x_1)(x_n-x_2)\cdot\ldots\cdot(x_n-x_{n-1}).[/math]

Записывая аналогичным образом [math]\Delta_{n-1},\Delta_{n-2},\ldots,\Delta_2[/math] и учитывая, что [math]\Delta_1=1[/math], получаем


[math]\Delta_n= (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)\cdot\ldots\cdot(x_n-x_1)(x_n-x_2)\cdot\ldots\cdot(x_n-x_{n-1})= \prod_{1\leqslant j<i\leqslant n}(x_i-x_j).[/math]

Таким образом, определитель Вандермонда равен произведению всех разностей [math]x_i-x_j[/math] при [math]1\leqslant j<i\leqslant n[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved