Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Методы вычисления определителей
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Методы вычисления определителей При вычислении определителей высокого порядка (больше 3-го) определение, как правило, не используется, так как это приводит к громоздким выражениям и требует большого количества арифметических операций. Гораздо эффективнее использовать свойства определителей. Наиболее важными для вычисления определителей являются свойства 3, 6, 9. Эти свойства можно назвать элементарными преобразованиями определителя, что соответствует элементарным преобразованиям матрицы. I. Перестановка двух столбцов (строк) определителя приводит к изменению его знака на противоположный. II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) определителя на одно и то же число, отличное от нуля, приводит к умножению определителя на это число. III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) определителя соответствующих элементов другого столбца, умноженных на одно и то же число, не изменяет определитель. При помощи элементарных преобразований можно упростить определитель, т.е. привести его к виду, удобному для вычислений. Метод приведения определителя к треугольному виду При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к верхнему (или нижнему) треугольному виду (метод Гаусса). Отсюда следует, что любой определитель, используя перечисленные выше элементарные преобразования, можно привести к треугольному виду, а затем вычислить согласно п.3 замечаний 2.2. Итак, метод состоит из двух шагов. 1. При помощи элементарных преобразований привести определитель к треугольному виду. 2. Вычислить определитель треугольного вида, перемножая его элементы, стоящие на главной диагонали. Пример 2.12. Вычислить определитель четвёртого порядка $\det{A}= \begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 2&3&4&1\\ 3&4&1&2\\ 4&1&2&3\end{vmatrix},$ приводя его к треугольному виду. Решение. 1. При помощи элементарных преобразований приведем матрицу к треугольному виду. Взяв элемент $a_{11}=1$ первой строки в качестве ведущего, все остальные элементы первого столбца сделаем равными нулю. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2), к третьей строке прибавим первую, умноженную на (-3), а к четвертой строке прибавим первую, умноженную на (-4): $\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 2&3&4&1\\ 3&4&1&2\\ 4&1&2&3\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&-1&-2&-7\\ 0&-2&-8&-10\\ 0&-7&-10&-13\end{vmatrix}.$ Заметим, что при использовании этих элементарных преобразований III типа определитель не изменяется. Умножим элементы второй строки на (-1), а элементы третьей строки — на 0,5, при этом, чтобы не нарушить равенство, надо полученный определитель разделить на $(-1)\cdot0,\!5=-0,\!5$ , т.е. умножить на (-2): $\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&-1&-2&-7\\ 0&-2&-8&-10\\ 0&-7&-10&-13\end{vmatrix}= -2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&-1&-4&-5\\ 0&-7&-10&-13\end{vmatrix}.$ В полученной матрице нужно сделать равными нулю элементы $a_{32}=-1$ и $a_{42}=-7$ второго столбца, стоящие ниже главной диагонали. Для этого берем в качестве ведущего элемента $a_{22}=1$ и прибавляем к третьей и четвертой строкам вторую строку, умноженную на 1 и на 7 соответственно: $-2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&-1&-4&-5\\ 0&-7&-10&-13\end{vmatrix}= -2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&0&-2&2\\ 0&0&4&36\end{vmatrix}$ Осталось сделать равным нулю элемент $a_{43}$ . К четвертой строке прибавим третью, умноженную на 2 (определитель при этом не изменится): $-2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&0&-2&2\\ 0&0&4&36\end{vmatrix}= -2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&0&-2&2\\ 0&0&0&40\end{vmatrix}.$ Получили определитель треугольного вида. 2. Вычислим определитель верхней треугольной матрицы, перемножая элементы, стоящие на главной диагонали: $\det{A}= -2\cdot\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&0&-2&2\\ 0&0&0&40\end{vmatrix}= -2\cdot1\cdot1\cdot(-2)\cdot40=160.$ Метод понижения порядка определителя Этот метод также основан на элементарных преобразованиях определителя. 1. При помощи элементарного преобразования III типа нужно в одном столбце (или одной строке) сделать равными нулю все элементы, за исключением одного. 2. Разложить определитель по этому столбцу (строке) и получить определитель меньшего порядка, чем исходный. Если его порядок больше 1, то следует перейти к п. 1, иначе вычисления закончить. Пример 2.13. Вычислить определитель четвёртого порядка методом понижения порядка. $\det{A}= \begin{vmatrix}1&0&3&4\\ 0&3&0&1\\ 3&0&1&2\\ 4&1&2&3 \end{vmatrix}$ Решение. 1. В качестве ведущего элемента возьмем $a_{24}=1$ , а все остальные элементы второй строки при помощи элементарных преобразований сделаем равными нулю. Для этого ко второму столбцу прибавим четвертый, умноженный на (-3): $\begin{vmatrix}1&0&3&4\\ 0&3&0&1\\ 3&0&1&2\\ 4&1&2&3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}1&-12&3&4\\ 0&0&0&1\\ 3&-6&1&2\\ 4&-8&2&3\end{vmatrix}.$ 2. Разложим определитель по второй строке $\begin{vmatrix}1&-12&3&4\\ 0&0&0&1\\ 3&-6&1&2\\ 4&-8&2&3\end{vmatrix}= 1\cdot(-1)^{2+4}\cdot \begin{vmatrix}1&-12&3\\3&-6&1\\4&-8&2\end{vmatrix}.$ Получили определитель третьего порядка. Вынесем за знак определителя множитель (2) из второго столбца (точнее все элементы второго столбца умножим на 0,5 , а получившийся определитель умножим на 2): $\begin{vmatrix}1&-12&3\\3&-6&1\\4&-8&2\end{vmatrix}= 2\cdot \begin{vmatrix}1&-6&3\\ 3&-3&1\\ 4&-4&2\end{vmatrix}.$ Прибавим ко второму столбцу первый $2\cdot \begin{vmatrix}1&-6&3\\ 3&-3&1\\ 4&-4&2\end{vmatrix}= 2\cdot \begin{vmatrix}1&-5&3\\ 3&0&1\\ 4&0&2\end{vmatrix}.$ Полученный определитель разложим по второму столбцу $2\cdot \begin{vmatrix}1&-5&3\\ 3&0&1\\ 4&0&2\end{vmatrix}= 2\cdot(-5)\cdot(-1)^{1+2}\cdot \begin{vmatrix}3&1\\4&2\end{vmatrix}= 10\cdot \begin{vmatrix}3&1\\4&2\end{vmatrix}.$ Получили определитель 2-го порядка. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2) $10\cdot \begin{vmatrix}3&1\\4&2\end{vmatrix}= 10\cdot \begin{vmatrix}3&1\\-2&0 \end{vmatrix}.$ Разложим определитель по второй строке и заменим определитель первого порядка единственным его элементом $10\cdot \begin{vmatrix}3&1\\-2&0 \end{vmatrix}= 10\cdot(-2)\cdot(-1)^{2+1}\cdot1=20.$ Результат совпадает с полученным в примере 2.7. Метод изменения всех элементов определителя При вычислении определителей бывает полезно изменить все его элементы, умножив их на одно и то же число, не равное нулю, либо прибавить к каждому элементу одно и то же число. Найдем формулы изменения определителя при этих преобразованиях. Пусть дана квадратная матрица $A$ n-го порядка. Из свойства 6 следует, что при умножении всех элементов определителя n-го порядка на число $\lambda\ne0$ определитель умножается на число $\lambda^n\colon\,\det(\lambda A)=\lambda^n\det{A}$ . Рассмотрим теперь определитель матрицы $B$ , элементы которой $b_{ij}=a_{ij}+x$ получены из соответствующих элементов матрицы $A$ прибавлением числа $x\colon$ $\det{B}= \begin{vmatrix} a_{11}+x& a_{12}+x& \cdots& a_{1n}+x\\ \vdots&\vdots& \ddots&\vdots\\ a_{n1}+x& a_{n2}+x& \cdots& a_{nn}+x \end{vmatrix}.$ Применяя свойство 7 к первому столбцу этого определителя, получаем сумму определителей $\det{B}= \begin{vmatrix} a_{11}+x&a_{12}+ x&\cdots& a_{1n}+x\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}+x&a_{n2}+ x&\cdots& a_{nn}+x\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}x&a_{12}+x&\cdots&a_{1n}+x\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x&a_{n2}+x&\cdots&a_{nn}+x\end{vmatrix}.$ То же свойство применяем к каждому определителю ("раскладывая" второй столбец) и т.д. В итоге получим сумму $2^n$ определителей n-го порядка, причем определители, имеющие по два и более столбцов из элементов, равных $x$ , равны нулю (по свойству 4). Поэтому в сумме остаются только $(n+1)$ слагаемых: определитель матрицы $A$ и $n$ определителей вида $D_{j}= \begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1\,j-1}&x& a_{1\,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots& \vdots&\vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n\,j-1}&x&a_{n\,j+1}& \cdots&a_{nn}\end{vmatrix},$ отличающихся от определителя матрицы $A$ только j-м столбцом. Раскладывая этот определитель по j-му столбцу, получаем сумму алгебраических дополнений элементов этого столбца, умноженную на $x\colon$ $D_{j}= x\cdot\sum_{i=1}^{n}A_{ij}.$ Следовательно, сумма всех таких определителей $D_{j}\,(j=1,2,\ldots,n)$ равна сумме алгебраических дополнений всех элементов матрицы $A$ , умноженной на $x:$ $\sum_{j=1}^{n}D_{j}= x\cdot\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}A_{ij}\,.$ Окончательно получаем, что при увеличении всех элементов определителя на число $x$ , определитель увеличивается на сумму всех алгебраических дополнений, умноженную на число $x\colon$ $\begin{vmatrix}a_{11}+x&\cdots&a_{1n}+x\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}+x&\cdots&a_{nn}+x\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+ x\cdot\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}A_{ij}\,.$ Пример 2.14. Вычислить определитель n-го порядка $D_n= \begin{vmatrix}a_1&x&x&\cdots&x\\ x&a_2&x&\cdots&x\\ x&x&a_3&\cdots&x\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x&x&x&\cdots&a_n\end{vmatrix}.$ Решение. Рассмотрим определитель диагональной матрицы $A$ $\det{A}= \begin{vmatrix}a_1-x&0&0&\cdots&0\\ 0&a_2-x&0&\cdots&0\\ 0&0&a_3-x&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&a_n-x\end{vmatrix}.$ Искомый определитель $D_n$ получается прибавлением к каждому элементу определителя матрицы $A$ числа $x$ . Поэтому $D_n=\det{A}+x\cdot \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}A_{ij}\,.$ Определитель диагональной матрицы $A$ равен произведению диагональных элементов: $\det{A}= (a_1-x)\cdot(a_2-x)\cdot\ldots\cdot(a_n-x)=\prod_{i=1}^{n}(a_i-x).$ Осталось вычислить сумму алгебраических дополнений всех элементов матрицы $A$ . Заметим, что алгебраическое дополнение недиагонального элемента равно нулю ( $A_{ij}$ при $i\ne j$ , так как дополнительный минор содержит нулевой столбец). Дополнительный минор диагонального элемента — это определитель диагональной матрицы, т.е. $A_{ij}= (a_1-x)\cdot\ldots\cdot(a_{i-1}-x)\cdot(a_{i+1}-x)\cdot\ldots\cdot(a_n-x).$ Поэтому $D_{n}= \prod_{i=1}^{n}(a_i-x)+x\cdot\sum_{k=1}^{n}\prod_{i=1}^{k}(a_i-x).$ Вычисление определителей с помощью рекуррентных уравнений Этот метод заключается в том, что исходный определитель $\Delta_n$ n-го порядка выражается через определители $\Delta_{n-1},\Delta_{n-2},\ldots,\Delta_{n-m}$ того же вида, но меньшего порядка. Получается рекуррентное уравнение $\Delta_n= f(\Delta_{n-1},\Delta_{n-2},\ldots,\Delta_{n-m}).$ Решая это уравнение, находим формулу, выражающую определитель $\Delta_n$ через определители $\Delta_1,\Delta_2,\ldots,\Delta_m$ и порядок $n\colon$ $\Delta_n= F(\Delta_1,\Delta_2,\ldots,\Delta_m).$ В последнюю формулу подставляем определители $\Delta_1,\Delta_2,\ldots,\Delta_m$ невысокого $(m<n)$ порядка, которые нетрудно вычислить каким-либо другим способом. Замечание 2.6. Рекуррентным уравнением называется равенство вида $x_n=f(n,x_{n-1},\ldots,x_{n-m})=0$ , выражающее n-й член $x_n$ искомой числовой последовательности $\{x_n\}$ через $m$ её предыдущих членов $x_{n-1},x_{n-2},\ldots,x_{n-m}$ . Методы решения таких уравнений рассматриваются в разд. Пример 2.15. Вычислить определитель n-го порядка $\Delta_n= \begin{vmatrix}3&2&0&\cdots&0&0\\ -2&3&2&\cdots&0&0\\ 0&-2&3&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&3&2\\ 0&0&0&\cdots&-2&3\end{vmatrix}.$ Решение. Разложим определитель по первой строке $\Delta_n= 3\cdot(-1)^{1+1}\cdot \begin{vmatrix}3&2&\cdots&0&0\\ -2&3&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&3&2\\ 0&0&\cdots&-2&3\end{vmatrix}+ 2\cdot(-1)^{1+2}\cdot \begin{vmatrix}-2&2&\cdots&0&0\\ 0&3&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&3&2\\ 0&0&\cdots&-2&3\end{vmatrix}.$ Первый из полученных определителей (n-l)-ro порядка обозначим $\Delta_{n-1}$ , так как он имеет такой же вид, что и $\Delta_n$ . Разложив последний определитель по первому столбцу, получим определитель того же вида, что и $\Delta_n$ , но (n-2)-го порядка $\Delta_n= 3\Delta_{n-1}- 2\begin{vmatrix}-2&2&0&\cdots&0\\ 0&3&2&\cdots&0\\ 0&-2&3&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&3\end{vmatrix}= 3\Delta_{n-1}-2(-2)(-1)^{1+1} \begin{vmatrix}3&2&\cdots&0\\ -2&3&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&3\end{vmatrix}.$ Следовательно, искомый определитель удовлетворяет рекуррентному уравнению $\Delta_n= 3\cdot\Delta_{n-1}+4\cdot\Delta_{n-2}.$ Решение этого уравнения будем искать в виде $\Delta_n= a(-1)^n+b4^n$ , где $a$ и $b$ — неизвестные коэффициенты. Заметим, что эта формула дает решение рекуррентного уравнения при любых коэффициентах $a$ и $b$ . В самом деле, подставляя $\Delta_n= a(-1)^n+b4^n$ в уравнение, получаем тождество $\begin{gathered} a\cdot(-1)^n+b\cdot4^n= 3\cdot\Bigl[a\cdot(-1)^{n-1}+b\cdot4^{n-1} \Bigr] + 4\cdot\Bigl[a\cdot(-1)^{n-2}+b\cdot4^{n-2}\Bigr]~~\Leftrightarrow\\[2pt] \Leftrightarrow~~ a\cdot(-1)^n+b\cdot4^n= -3a\cdot(-1)^n+\frac{3}{4}b\cdot4^n+4a\cdot(-1)^n+\frac{b}{4}\cdot4^n~~\Leftrightarrow\\[2pt] \Leftrightarrow~~ a\cdot(-1)^n+b\cdot4^n= a\cdot(-1)^n+b\cdot4^n.\end{gathered}$ Подберем теперь коэффициенты $a$ и $b$ в формуле $\Delta_n= a\cdot(-1)^n+b\cdot4^n$ так, чтобы при $n=1$ и $n=2$ она давала правильные результаты, т.е. $\Delta_1= a\cdot(-1)^1+b\cdot4^1=3;\quad \Delta_2= a\cdot(-1)^2+b\cdot4^2= \begin{vmatrix}3&2\\-2&3\end{vmatrix}=13.$ Решая систему уравнений $\begin{cases}-a+4b=3,\\ a+16b=13,\end{cases}$ получаем $a=\frac{1}{5},\,b=\frac{4}{5}$ . Следовательно, искомый определитель равен $\Delta_n= \frac{1}{5}\cdot(-1)^n+\frac{4}{5}\cdot4^n= \frac{1}{5}\Bigl[(-1)^n+4^{n+1}\Bigr].$ Пример 2.16. Вычислить определитель Вандермонда $\Delta_n= \begin{vmatrix}1&1&\cdots&1&1\\ x_1&x_2&\cdots&x_{n-1}&x_n\\ x_1^2&x_2^2&\cdots&x_{n-1}^2&x_n^2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_{n-1}^{n-1}&x_n^{n-1}\end{vmatrix}.$ где $x_1,x_2,\ldots,x_n$ — действительные числа. Решение. Рассмотрим определитель $\Delta_n(x)= \begin{vmatrix}1&1&\cdots&1&1\\ x_1&x_2&\cdots&x_{n-1}&x\\ x_1^2&x_2^2&\cdots&x_{n-1}^2&x^2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_{n-1}^{n-1}&x^{n-1}\end{vmatrix},$ который отличается от определителя Вандермонда последним столбцом, но совпадает с ним при $x=x_n\colon\,\Delta_n(x_n)=\Delta_n$ . Раскладывая определитель $\Delta_n(x)$ по последнему столбцу, получаем многочлен (n-1)-й степени действительной переменной $x\colon$ $\Delta_n(x)=a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0,$ где старший коэффициент $a_{n-1}$ равен алгебраическому дополнению элемента $x^{n-1}\colon$ $a_{n-1}= (-1)^{n+n}\cdot\Delta_{n-1}= \Delta_{n-1},$ т.е. определителю $\Delta_{n-1}$ — определителю Вандермонда (n-l)-ro порядка. Заметим, что при $x=x_1$ определитель $\Delta_n(x)$ равен нулю, так как он имеет два одинаковых столбца (свойство 4). Следовательно, $x_1$ — корень многочлена $\Delta_n(x)$ . То же самое можно сказать про числа $x_2,x_3,\ldots,x_{n-1}$ . Все они являются корнями многочлена $\Delta_n(x)$ . Следовательно, этот многочлен имеет вид: $\Delta_n(x)= \Delta_{n-1}\cdot(x-x_1)(x-x_2)\cdot\ldots\cdot(x-x_{n-1}).$ Подставляя в это равенство $x=x_n$ и учитывая, что $\Delta_n(x_n)=\Delta_n$ , получаем рекуррентное уравнение $\Delta_n= \Delta_{n-1}\cdot(x_n-x_1)(x_n-x_2)\cdot\ldots\cdot(x_n-x_{n-1}).$ Записывая аналогичным образом $\Delta_{n-1},\Delta_{n-2},\ldots,\Delta_2$ и учитывая, что $\Delta_1=1$ , получаем $\Delta_n= (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)\cdot\ldots\cdot(x_n-x_1)(x_n-x_2)\cdot\ldots\cdot(x_n-x_{n-1})= \prod_{1\leqslant j<i\leqslant n}(x_i-x_j).$ Таким образом, определитель Вандермонда равен произведению всех разностей $x_i-x_j$ при $1\leqslant j<i\leqslant n$ . Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Методы вычисления определителей

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Методы вычисления определителей

При вычислении определителей высокого порядка (больше 3-го) определение, как правило, не используется, так как это приводит к громоздким выражениям и требует большого количества арифметических операций. Гораздо эффективнее использовать свойства определителей. Наиболее важными для вычисления определителей являются свойства 3, 6, 9. Эти свойства можно назвать элементарными преобразованиями определителя, что соответствует элементарным преобразованиям матрицы.

I. Перестановка двух столбцов (строк) определителя приводит к изменению его знака на противоположный.

II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) определителя на одно и то же число, отличное от нуля, приводит к умножению определителя на это число.

III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) определителя соответствующих элементов другого столбца, умноженных на одно и то же число, не изменяет определитель.

При помощи элементарных преобразований можно упростить определитель, т.е. привести его к виду, удобному для вычислений.

Метод приведения определителя к треугольному виду

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к верхнему (или нижнему) треугольному виду (метод Гаусса). Отсюда следует, что любой определитель, используя перечисленные выше элементарные преобразования, можно привести к треугольному виду, а затем вычислить согласно п.3 замечаний 2.2.

Итак, метод состоит из двух шагов.

1. При помощи элементарных преобразований привести определитель к треугольному виду.

2. Вычислить определитель треугольного вида, перемножая его элементы, стоящие на главной диагонали.

Пример 2.12. Вычислить определитель четвёртого порядка

$\det{A}= \begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 2&3&4&1\\ 3&4&1&2\\ 4&1&2&3\end{vmatrix},$ приводя его к треугольному виду.

Решение. 1. При помощи элементарных преобразований приведем матрицу к треугольному виду. Взяв элемент $a_{11}=1$ первой строки в качестве ведущего, все остальные элементы первого столбца сделаем равными нулю. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2), к третьей строке прибавим первую, умноженную на (-3), а к четвертой строке прибавим первую, умноженную на (-4):

$\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 2&3&4&1\\ 3&4&1&2\\ 4&1&2&3\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&-1&-2&-7\\ 0&-2&-8&-10\\ 0&-7&-10&-13\end{vmatrix}.$

Заметим, что при использовании этих элементарных преобразований III типа определитель не изменяется.

Умножим элементы второй строки на (-1), а элементы третьей строки — на 0,5, при этом, чтобы не нарушить равенство, надо полученный определитель разделить на $(-1)\cdot0,\!5=-0,\!5$ , т.е. умножить на (-2):

$\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&-1&-2&-7\\ 0&-2&-8&-10\\ 0&-7&-10&-13\end{vmatrix}= -2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&-1&-4&-5\\ 0&-7&-10&-13\end{vmatrix}.$

В полученной матрице нужно сделать равными нулю элементы $a_{32}=-1$ и $a_{42}=-7$ второго столбца, стоящие ниже главной диагонали. Для этого берем в качестве ведущего элемента $a_{22}=1$ и прибавляем к третьей и четвертой строкам вторую строку, умноженную на 1 и на 7 соответственно:

$-2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&-1&-4&-5\\ 0&-7&-10&-13\end{vmatrix}= -2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&0&-2&2\\ 0&0&4&36\end{vmatrix}$

Осталось сделать равным нулю элемент $a_{43}$ . К четвертой строке прибавим третью, умноженную на 2 (определитель при этом не изменится):

$-2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&0&-2&2\\ 0&0&4&36\end{vmatrix}= -2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&0&-2&2\\ 0&0&0&40\end{vmatrix}.$

Получили определитель треугольного вида.

2. Вычислим определитель верхней треугольной матрицы, перемножая элементы, стоящие на главной диагонали:

$\det{A}= -2\cdot\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&0&-2&2\\ 0&0&0&40\end{vmatrix}= -2\cdot1\cdot1\cdot(-2)\cdot40=160.$

Метод понижения порядка определителя

Этот метод также основан на элементарных преобразованиях определителя.

1. При помощи элементарного преобразования III типа нужно в одном столбце (или одной строке) сделать равными нулю все элементы, за исключением одного.

2. Разложить определитель по этому столбцу (строке) и получить определитель меньшего порядка, чем исходный. Если его порядок больше 1, то следует перейти к п. 1, иначе вычисления закончить.

Пример 2.13. Вычислить определитель четвёртого порядка методом понижения порядка.

$\det{A}= \begin{vmatrix}1&0&3&4\\ 0&3&0&1\\ 3&0&1&2\\ 4&1&2&3 \end{vmatrix}$

Решение. 1. В качестве ведущего элемента возьмем $a_{24}=1$ , а все остальные элементы второй строки при помощи элементарных преобразований сделаем равными нулю. Для этого ко второму столбцу прибавим четвертый, умноженный на (-3):

$\begin{vmatrix}1&0&3&4\\ 0&3&0&1\\ 3&0&1&2\\ 4&1&2&3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}1&-12&3&4\\ 0&0&0&1\\ 3&-6&1&2\\ 4&-8&2&3\end{vmatrix}.$

2. Разложим определитель по второй строке

$\begin{vmatrix}1&-12&3&4\\ 0&0&0&1\\ 3&-6&1&2\\ 4&-8&2&3\end{vmatrix}= 1\cdot(-1)^{2+4}\cdot \begin{vmatrix}1&-12&3\\3&-6&1\\4&-8&2\end{vmatrix}.$

Получили определитель третьего порядка.

Вынесем за знак определителя множитель (2) из второго столбца (точнее все элементы второго столбца умножим на 0,5 , а получившийся определитель умножим на 2):

$\begin{vmatrix}1&-12&3\\3&-6&1\\4&-8&2\end{vmatrix}= 2\cdot \begin{vmatrix}1&-6&3\\ 3&-3&1\\ 4&-4&2\end{vmatrix}.$

Прибавим ко второму столбцу первый

$2\cdot \begin{vmatrix}1&-6&3\\ 3&-3&1\\ 4&-4&2\end{vmatrix}= 2\cdot \begin{vmatrix}1&-5&3\\ 3&0&1\\ 4&0&2\end{vmatrix}.$

Полученный определитель разложим по второму столбцу

$2\cdot \begin{vmatrix}1&-5&3\\ 3&0&1\\ 4&0&2\end{vmatrix}= 2\cdot(-5)\cdot(-1)^{1+2}\cdot \begin{vmatrix}3&1\\4&2\end{vmatrix}= 10\cdot \begin{vmatrix}3&1\\4&2\end{vmatrix}.$

Получили определитель 2-го порядка.

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2)

$10\cdot \begin{vmatrix}3&1\\4&2\end{vmatrix}= 10\cdot \begin{vmatrix}3&1\\-2&0 \end{vmatrix}.$

Разложим определитель по второй строке и заменим определитель первого порядка единственным его элементом

$10\cdot \begin{vmatrix}3&1\\-2&0 \end{vmatrix}= 10\cdot(-2)\cdot(-1)^{2+1}\cdot1=20.$

Результат совпадает с полученным в примере 2.7.

Метод изменения всех элементов определителя

При вычислении определителей бывает полезно изменить все его элементы, умножив их на одно и то же число, не равное нулю, либо прибавить к каждому элементу одно и то же число. Найдем формулы изменения определителя при этих преобразованиях.

Пусть дана квадратная матрица $A$ n-го порядка. Из свойства 6 следует, что при умножении всех элементов определителя n-го порядка на число $\lambda\ne0$ определитель умножается на число $\lambda^n\colon\,\det(\lambda A)=\lambda^n\det{A}$ .

Рассмотрим теперь определитель матрицы $B$ , элементы которой $b_{ij}=a_{ij}+x$ получены из соответствующих элементов матрицы $A$ прибавлением числа $x\colon$

$\det{B}= \begin{vmatrix} a_{11}+x& a_{12}+x& \cdots& a_{1n}+x\\ \vdots&\vdots& \ddots&\vdots\\ a_{n1}+x& a_{n2}+x& \cdots& a_{nn}+x \end{vmatrix}.$

Применяя свойство 7 к первому столбцу этого определителя, получаем сумму определителей

$\det{B}= \begin{vmatrix} a_{11}+x&a_{12}+ x&\cdots& a_{1n}+x\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}+x&a_{n2}+ x&\cdots& a_{nn}+x\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}x&a_{12}+x&\cdots&a_{1n}+x\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x&a_{n2}+x&\cdots&a_{nn}+x\end{vmatrix}.$

То же свойство применяем к каждому определителю ("раскладывая" второй столбец) и т.д. В итоге получим сумму $2^n$ определителей n-го порядка, причем определители, имеющие по два и более столбцов из элементов, равных $x$ , равны нулю (по свойству 4). Поэтому в сумме остаются только $(n+1)$ слагаемых: определитель матрицы $A$ и $n$ определителей вида

$D_{j}= \begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1\,j-1}&x& a_{1\,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots& \vdots&\vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n\,j-1}&x&a_{n\,j+1}& \cdots&a_{nn}\end{vmatrix},$

отличающихся от определителя матрицы $A$ только j-м столбцом. Раскладывая этот определитель по j-му столбцу, получаем сумму алгебраических дополнений элементов этого столбца, умноженную на $x\colon$

$D_{j}= x\cdot\sum_{i=1}^{n}A_{ij}.$

Следовательно, сумма всех таких определителей $D_{j}\,(j=1,2,\ldots,n)$ равна сумме алгебраических дополнений всех элементов матрицы $A$ , умноженной на $x:$

$\sum_{j=1}^{n}D_{j}= x\cdot\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}A_{ij}\,.$

Окончательно получаем, что при увеличении всех элементов определителя на число $x$ , определитель увеличивается на сумму всех алгебраических дополнений, умноженную на число $x\colon$

$\begin{vmatrix}a_{11}+x&\cdots&a_{1n}+x\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}+x&\cdots&a_{nn}+x\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+ x\cdot\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}A_{ij}\,.$

Пример 2.14. Вычислить определитель n-го порядка

$D_n= \begin{vmatrix}a_1&x&x&\cdots&x\\ x&a_2&x&\cdots&x\\ x&x&a_3&\cdots&x\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x&x&x&\cdots&a_n\end{vmatrix}.$

Решение. Рассмотрим определитель диагональной матрицы $A$

$\det{A}= \begin{vmatrix}a_1-x&0&0&\cdots&0\\ 0&a_2-x&0&\cdots&0\\ 0&0&a_3-x&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&a_n-x\end{vmatrix}.$

Искомый определитель $D_n$ получается прибавлением к каждому элементу определителя матрицы $A$ числа $x$ . Поэтому

$D_n=\det{A}+x\cdot \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}A_{ij}\,.$

Определитель диагональной матрицы $A$ равен произведению диагональных элементов:

$\det{A}= (a_1-x)\cdot(a_2-x)\cdot\ldots\cdot(a_n-x)=\prod_{i=1}^{n}(a_i-x).$

Осталось вычислить сумму алгебраических дополнений всех элементов матрицы $A$ . Заметим, что алгебраическое дополнение недиагонального элемента равно нулю ( $A_{ij}$ при $i\ne j$ , так как дополнительный минор содержит нулевой столбец). Дополнительный минор диагонального элемента — это определитель диагональной матрицы, т.е.

$A_{ij}= (a_1-x)\cdot\ldots\cdot(a_{i-1}-x)\cdot(a_{i+1}-x)\cdot\ldots\cdot(a_n-x).$

Поэтому

$D_{n}= \prod_{i=1}^{n}(a_i-x)+x\cdot\sum_{k=1}^{n}\prod_{i=1}^{k}(a_i-x).$

Вычисление определителей с помощью рекуррентных уравнений

Этот метод заключается в том, что исходный определитель $\Delta_n$ n-го порядка выражается через определители $\Delta_{n-1},\Delta_{n-2},\ldots,\Delta_{n-m}$ того же вида, но меньшего порядка. Получается рекуррентное уравнение

$\Delta_n= f(\Delta_{n-1},\Delta_{n-2},\ldots,\Delta_{n-m}).$

Решая это уравнение, находим формулу, выражающую определитель $\Delta_n$ через определители $\Delta_1,\Delta_2,\ldots,\Delta_m$ и порядок $n\colon$

$\Delta_n= F(\Delta_1,\Delta_2,\ldots,\Delta_m).$

В последнюю формулу подставляем определители $\Delta_1,\Delta_2,\ldots,\Delta_m$ невысокого $(m<n)$ порядка, которые нетрудно вычислить каким-либо другим способом.

Замечание 2.6. Рекуррентным уравнением называется равенство вида $x_n=f(n,x_{n-1},\ldots,x_{n-m})=0$ , выражающее n-й член $x_n$ искомой числовой последовательности $\{x_n\}$ через $m$ её предыдущих членов $x_{n-1},x_{n-2},\ldots,x_{n-m}$ . Методы решения таких уравнений рассматриваются в разд.

Пример 2.15. Вычислить определитель n-го порядка

$\Delta_n= \begin{vmatrix}3&2&0&\cdots&0&0\\ -2&3&2&\cdots&0&0\\ 0&-2&3&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&3&2\\ 0&0&0&\cdots&-2&3\end{vmatrix}.$

Решение. Разложим определитель по первой строке

$\Delta_n= 3\cdot(-1)^{1+1}\cdot \begin{vmatrix}3&2&\cdots&0&0\\ -2&3&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&3&2\\ 0&0&\cdots&-2&3\end{vmatrix}+ 2\cdot(-1)^{1+2}\cdot \begin{vmatrix}-2&2&\cdots&0&0\\ 0&3&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&3&2\\ 0&0&\cdots&-2&3\end{vmatrix}.$

Первый из полученных определителей (n-l)-ro порядка обозначим $\Delta_{n-1}$ , так как он имеет такой же вид, что и $\Delta_n$ . Разложив последний определитель по первому столбцу, получим определитель того же вида, что и $\Delta_n$ , но (n-2)-го порядка

$\Delta_n= 3\Delta_{n-1}- 2\begin{vmatrix}-2&2&0&\cdots&0\\ 0&3&2&\cdots&0\\ 0&-2&3&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&3\end{vmatrix}= 3\Delta_{n-1}-2(-2)(-1)^{1+1} \begin{vmatrix}3&2&\cdots&0\\ -2&3&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&3\end{vmatrix}.$

Следовательно, искомый определитель удовлетворяет рекуррентному уравнению

$\Delta_n= 3\cdot\Delta_{n-1}+4\cdot\Delta_{n-2}.$

Решение этого уравнения будем искать в виде $\Delta_n= a(-1)^n+b4^n$ , где $a$ и $b$ — неизвестные коэффициенты. Заметим, что эта формула дает решение рекуррентного уравнения при любых коэффициентах $a$ и $b$ . В самом деле, подставляя $\Delta_n= a(-1)^n+b4^n$ в уравнение, получаем тождество

$\begin{gathered} a\cdot(-1)^n+b\cdot4^n= 3\cdot\Bigl[a\cdot(-1)^{n-1}+b\cdot4^{n-1} \Bigr] + 4\cdot\Bigl[a\cdot(-1)^{n-2}+b\cdot4^{n-2}\Bigr]~~\Leftrightarrow\\[2pt] \Leftrightarrow~~ a\cdot(-1)^n+b\cdot4^n= -3a\cdot(-1)^n+\frac{3}{4}b\cdot4^n+4a\cdot(-1)^n+\frac{b}{4}\cdot4^n~~\Leftrightarrow\\[2pt] \Leftrightarrow~~ a\cdot(-1)^n+b\cdot4^n= a\cdot(-1)^n+b\cdot4^n.\end{gathered}$

Подберем теперь коэффициенты $a$ и $b$ в формуле $\Delta_n= a\cdot(-1)^n+b\cdot4^n$ так, чтобы при $n=1$ и $n=2$ она давала правильные результаты, т.е.

$\Delta_1= a\cdot(-1)^1+b\cdot4^1=3;\quad \Delta_2= a\cdot(-1)^2+b\cdot4^2= \begin{vmatrix}3&2\\-2&3\end{vmatrix}=13.$

Решая систему уравнений $\begin{cases}-a+4b=3,\\ a+16b=13,\end{cases}$ получаем $a=\frac{1}{5},\,b=\frac{4}{5}$ . Следовательно, искомый определитель равен

$\Delta_n= \frac{1}{5}\cdot(-1)^n+\frac{4}{5}\cdot4^n= \frac{1}{5}\Bigl[(-1)^n+4^{n+1}\Bigr].$

Пример 2.16. Вычислить определитель Вандермонда

$\Delta_n= \begin{vmatrix}1&1&\cdots&1&1\\ x_1&x_2&\cdots&x_{n-1}&x_n\\ x_1^2&x_2^2&\cdots&x_{n-1}^2&x_n^2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_{n-1}^{n-1}&x_n^{n-1}\end{vmatrix}.$ где $x_1,x_2,\ldots,x_n$ — действительные числа.

Решение. Рассмотрим определитель

$\Delta_n(x)= \begin{vmatrix}1&1&\cdots&1&1\\ x_1&x_2&\cdots&x_{n-1}&x\\ x_1^2&x_2^2&\cdots&x_{n-1}^2&x^2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_{n-1}^{n-1}&x^{n-1}\end{vmatrix},$

который отличается от определителя Вандермонда последним столбцом, но совпадает с ним при $x=x_n\colon\,\Delta_n(x_n)=\Delta_n$ . Раскладывая определитель $\Delta_n(x)$ по последнему столбцу, получаем многочлен (n-1)-й степени действительной переменной $x\colon$

$\Delta_n(x)=a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0,$

где старший коэффициент $a_{n-1}$ равен алгебраическому дополнению элемента $x^{n-1}\colon$

$a_{n-1}= (-1)^{n+n}\cdot\Delta_{n-1}= \Delta_{n-1},$

т.е. определителю $\Delta_{n-1}$ — определителю Вандермонда (n-l)-ro порядка. Заметим, что при $x=x_1$ определитель $\Delta_n(x)$ равен нулю, так как он имеет два одинаковых столбца (свойство 4). Следовательно, $x_1$ — корень многочлена $\Delta_n(x)$ . То же самое можно сказать про числа $x_2,x_3,\ldots,x_{n-1}$ . Все они являются корнями многочлена $\Delta_n(x)$ . Следовательно, этот многочлен имеет вид:

$\Delta_n(x)= \Delta_{n-1}\cdot(x-x_1)(x-x_2)\cdot\ldots\cdot(x-x_{n-1}).$

Подставляя в это равенство $x=x_n$ и учитывая, что $\Delta_n(x_n)=\Delta_n$ , получаем рекуррентное уравнение

$\Delta_n= \Delta_{n-1}\cdot(x_n-x_1)(x_n-x_2)\cdot\ldots\cdot(x_n-x_{n-1}).$

Записывая аналогичным образом $\Delta_{n-1},\Delta_{n-2},\ldots,\Delta_2$ и учитывая, что $\Delta_1=1$ , получаем

$\Delta_n= (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)\cdot\ldots\cdot(x_n-x_1)(x_n-x_2)\cdot\ldots\cdot(x_n-x_{n-1})= \prod_{1\leqslant j<i\leqslant n}(x_i-x_j).$

Таким образом, определитель Вандермонда равен произведению всех разностей $x_i-x_j$ при $1\leqslant j<i\leqslant n$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]