Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Методы синтаксического анализа КС-языков
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Методы синтаксического анализа КС-языков Проблема синтаксического анализа для КС-языков состоит в построении алгоритма, который по любой КС-грамматике $G=(V,N,S,P)$ и цепочке $x$ в ее терминальном алфавите $V$ распознает, принадлежит ли $x$ языку $L(G)$ , порождаемому грамматикой $G$ . В случае положительного ответа на вопрос алгоритм должен строить дерево вывода $x$ в грамматике $G$ . Существование такого алгоритма следует из факта разрешимости проблемы принадлежности для КС-языков. Мы рассмотрим некоторые алгоритмы синтаксического анализа для определенных классов КС-языков. Прототипом синтаксического анализатора является МП-автомат, который строится по данной КС-грамматике, но такой МП-автомат, как мы видели, является в общем случае недетерминированным и может даже для допустимой цепочки построить вывод, который заканчивается тупиковой конфигурацией. Чтобы на основе такого распознавателя построить алгоритм синтаксического анализа (и тем самым превратить распознаватель в анализатор), нужно разработать определенный механизм управления выводом на множестве конфигураций МП-автомата. Этот механизм должен обеспечить эффективный поиск допускающей последовательности конфигураций для допустимых цепочек. В частности, может быть поставлена задача разработки алгоритма беступикового, или однопроходного, анализа. Беступиковый анализ имеет место, если получение тупиковой конфигурации в процессе анализа означает "неправильность" анализируемой цепочки, т.е. тот факт, что она не принадлежит языку, порождаемому заданной грамматикой. Беступиковый анализ, как можно показать, невозможен в случае произвольного КС-языка, но для некоторых (достаточно широких) классов КС-языков он может быть реализован. Некоторые алгоритмы беступикового синтаксического анализа мы очень коротко рассмотрим в этом дополнении. Существуют две основные стратегии синтаксического анализа: 1) нисходящий анализ (называемый также анализом "сверху вниз", или анализом "разверткой"); 2) восходящий анализ (анализ "снизу вверх", "сверткой"). В нисходящем анализе дерево вывода цепочки строится от корня к листьям, т.е. дерево вывода "реконструируется" в прямом порядке, и аксиома грамматики "развертывается" в цепочку. В восходящем анализе дерево вывода строится от листьев к корню и анализируемая цепочка "свертывается" в аксиому. Рассмотрим две стратегии анализа по очереди. Нисходящий анализ. LL(k)-грамматики Мы видели, что МП-автомат, который при доказательстве теоремы 8.8 мы строили по данной КС-грамматике, "воспроизводит" левый вывод в грамматике. Основная "задача" данного автомата как распознавателя состоит в том, чтобы на каждом шаге "угадать" очередное применяемое правило вывода и "правильно выбрать" соответствующую команду при построении допускающей последовательности конфигураций. Механизм управления выводом, которым мы должны снабдить классический МП-автомат, должен обеспечить выбор команды (единственной в случае беступикового анализа) по определенной информации о состоянии процесса поиска дерева вывода (или, что равносильно, левого вывода) входной цепочки. Обычно механизм управления выводом реализуется в виде специальных таблиц, которые называют управляющими таблицами и которые можно рассматривать как дополнительное устройство памяти в МП-автомате. Существует класс грамматик, называемых LL(k)-грамматиками, в которых применяемая команда однозначно определяется: 1) прочитанной частью $w$ входной цепочки; эту цепочку $w$ называют левым контекстом; 2) находящимся в данный момент в верхней ячейке магазина нетерминальным символом $A$ ; 3) началом (префиксом) ${v}$ непрочитанной части цепочки, состоящим не более чем из $k$ букв $(k\geqslant1)$ ; этот префикс называют аванцепочкой (рис. 8.37). Эта информация, по которой беступиковый анализатор выбирает нужную команду на каждом шаге работы с входной цепочкой, организована в виде управляющей таблицы (конкретные формы таких таблиц будут рассмотрены ниже). При этом левый вывод цепочки $x=wvu$ , если $x\in L(G)$ , может быть представлен следующим образом: из аксиомы выводится цепочка $wA\alpha$ , затем нетерминал $A$ заменяется в соответствии с правилом $A\to\gamma$ и из цепочки $\gamma\alpha$ выводится терминальная цепочка $vu$ , где $\|v\|\leqslant k,\qquad S\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l} wA\alpha \mathop{\vdash}\limits^{l} w\gamma\alpha\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l} wvu$ (символ $\mathop{\vdash}\limits^{l}$ означает левую выводимость). Описанное выше представление левого вывода цепочки $wvu$ предполагает, что мы произвольно в этом выводе фиксировали некий шаг, состоящий в замене нетерминала $A$ посредством применения правила вывода $A\to\gamma$ . Так как в левом выводе на каждом шаге производится замена самого левого вхождения нетерминального символа, то слева от $A$ в цепочке $wA\alpha$ , полученной перед рассматриваемым шагом, должны быть только терминальные символы. Следовательно, определенный выше левый контекст $w$ есть не что иное, как левое крыло вхождения нетерминала $A$ в цепочку $wA\alpha$ . Моделируя этот левый вывод, т.е. читая записанную на входной ленте цепочку $x=wvu$ , МП-автомат читает левый контекст $w$ , а затем с помощью управляющей таблицы, "видя" в магазине символ $A$ , учитывая левый контекст $w$ и зная аванцепочку ${v}$ , принимает единственно правильное решение, применяя команду, соответствующую правилу $A\to\gamma$ . Так на интуитивном уровне можно определить ключевое свойство LL(k)-грамматики. Переходим теперь к построению формального определения LL(k)-грамматики. Пусть дана КС-грамматика $G$ . Для цепочки а в объединенном алфавите грамматики $G$ и положительного натурального $k$ определим множество $F_k(\alpha)$ , состоящее из всех терминальных цепочек, которые либо выводятся из цепочки а (если их длина строго меньше $k$ ), либо являются k-буквенными префиксами терминальных цепочек, выводимых из $\alpha$ (обратим внимание на то, что везде речь идет о левом выводе). Таким образом, $F_k(\alpha)= \bigl\{v\colon (\alpha\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l}v)\& (\|v\|<k)\lor (\exists x\in V^{\ast})(\alpha\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l}vx)\& (\|v\|=k)\bigr\}$ . Нетрудно видеть, что для всякой терминальной цепочки $x$ получим $F_k(x)= \{x\}$ , если $\|x\|\leqslant k$ , и $F_k(x)= \{x(1)x(2)\ldots x(k)\}$ , если $\|x\|>k$ . Множества $F_k(\alpha)$ (для разных цепочек $\alpha$ ) иногда будем называть $F_k$ -множествами. Пример 8.23. Зададим грамматику $G$ с терминальным алфавитом $\{a,b,c,d\}$ и нетерминальным алфавитом, состоящим из одной аксиомы $S$ , следующим множеством правил вывода: $S\to aSbSc\mid aSb\mid bSc\mid d.$ Вычислим множество $F_3(aSbSc)$ . Первая буква всех терминальных цепочек, выводимых из заданной, уже фиксирована — это буква $a$ . Нетерминал $S$ может быть заменен буквой $d$ , после чего возникнет трехбуквенный префикс $adb$ . Но символ $S$ можно заменить и цепочками $aSbSc,~ aSb,~bSc$ . В силу этого первые две буквы цепочки, выводимой из исходной, могут быть либо $aa$ , либо $ab$ . Продолжение вывода, как нетрудно понять, может дать третью букву — либо $a$ , либо $b$ , либо $d$ . Окончательно получаем $F_3(aSbSc)= \{adb,\, aaa,\, aab,\, aad,\, aba,\, abb,\, abd\}.$ Определение 8.11. КС-грамматику $G=(V,N,S,P)$ называют LL(k)-грамматикой (для произвольно фиксированного $k\geqslant1$ ), если для любых $w\in V^{\ast},~ A\in N,~\alpha\in(V\cup N)^{\ast}$ , таких, что существуют левые выводы $S\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l} wA\alpha\mathop{\vdash}\limits^{l} w\beta\alpha\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l} wy,\quad S\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l} wA\alpha\mathop{\vdash}\limits^{l} w\gamma\alpha\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l} wz$ , из $F_k(y)=F_k(x)$ следует $\beta=\gamma$ . Таким образом, из этого определения следует, что для LL(k)-грамматики левый контекст $w$ нетерминала $A$ в цепочке $wA\alpha$ и не более чем $k$ символов, с которых начинается терминальная цепочка $y$ , выводимая из $A\alpha$ , однозначно определяют то правило, которое нужно применить к цепочке $wA\alpha$ (заменяя в ней выделенное, т.е. первое, вхождение нетерминала $A$ ), чтобы сделать очередной шаг в левом выводе цепочки $wy$ (и именно этой цепочки!) из аксиомы грамматики $G$ . При совпадении множеств $F_k(y)$ и $F_k(z)$ , как следует из сформулированного определения, указанные два вывода "сливаются" в один, т.е. тогда $y=z$ . Определение LL(k)-грамматики является само по себе труднопроверяемым. Нужно какое-то условие, проверка которого позволила бы дать ответ на вопрос, является ли заданная КС-грамматика LL(k)-грамматикой. Доказывается, что дать ответ на этот вопрос можно, только фиксировав число $k$ . Построить же алгоритм, отвечающий на вопрос, является ли данная КС-грамматика LL(k)-грамматикой для некоторого $k$ (не задавая его заранее), невозможно. Следующая теорема (формулируемая без доказательства) дает соответствующий критерий (необходимое и достаточное условие) при фиксированном $k$ . Теорема 8.12. КС-грамматика $G$ является LL(k)-грамматикой (для фиксированного $k\geqslant1$ ) тогда и только тогда, когда для любой цепочки $w\in V^{\ast}$ выполняется следующее условие: для любых $A\in N,~\alpha\in (V\cup N)^{\ast}$ , таких, что $S\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l}$ , и любых двух различных правил $A\to\beta$ и $A\to\gamma$ грамматики $G$ имеет место $F_k(\beta\alpha)\cap F_k(\gamma\alpha)=\varnothing$ . Условие теоремы называют часто LL(k)-условием. Его следует проверять, фиксируя по очереди левые контексты (т.е. различные цепочки $w$ ) для всех нетерминалов грамматики. Рассмотрим пример, в котором, используя теорему 8.12, мы убедимся в том, что заданная КС-грамматика является LL(k)-грамматикой (для фиксированного $k$ ). Пример 8.24. Грамматика $G$ задается системой правил $S\to abA\mid\lambda,\quad (1)\mid(2)\quad\qquad A\to Saa\mid b.\quad (3)\mid(4)$ Докажем, что данная грамматика является LL(2)-грамматикои. Чтобы проверить условие теоремы 8.12, достаточно для каждого нетерминала $B\in\{S,A\}$ нашей грамматики проделать следующее: 1) вычислить все такие цепочки $w\in\{a,b\}^{\ast}$ и $\alpha\{a,b,S,A\}$ , что имеет место левая выводимость $S\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l}wB\alpha;$ (8.26) 2) фиксировав "левый контекст" $w$ , для каждой пары различных правил вывода $B\to\gamma$ и $B\to\beta$ вычислить множества $F_2(\beta\alpha)$ и $F_2(\gamma\alpha)$ . Для всех таких а, что при фиксированном w выполняется (8.26), и убедиться в том, что их пересечение пусто. Если выполнение пункта 2 для всех возможных левых контекстов w и всех нетерминалов В подтвердит истинность условия теоремы 8.12, то тем самым и будет доказано, что перед нами LL(2)-грамматика. Следует заметить, что в общем случае вычисление пар цепочек $(w,\alpha)$ , удовлетворяющих условию (8.26) (для всех нетерминалов $B$ КС-грамматики), требует применения специального алгоритма. Но для конкретной грамматики нашего примера эти пары цепочек достаточно просто вычисляются из анализа выводов грамматики. По очереди проанализуем оба нетерминала, т.е. $S$ и $A$ , грамматики $G$ . Нетерминал S В этом случае имеем, во-первых, тривиальную выводимость $S\vdash^0S$ за нуль шагов, т.е. в этом случае цепочки $w$ и $\alpha$ обе являются пустыми: $w=\alpha=\lambda$ . Нетерминал S может быть заменен согласно правилу (1) с правой частью $abA$ или согласно правилу (2) с пустой правой частью. Вычислим тогда множества $F_2(abA)$ и $F_2(\lambda)$ . Ясно, что $F_2(abA)= \{ab\}$ , а $F_2(\lambda)=\{\lambda\}$ и эти множества не пересекаются. Проанализируем теперь, каким образом в заданной грамматике может быть выведена из аксиомы $S$ за число шагов, большее нуля, цепочка вида $wS\alpha$ для некоторых терминальной цепочки $w$ и цепочки в объединенном алфавите $\alpha$ . Так как вхождение $S$ может возникнуть только после применения правила (3), а чтобы применить его, нужно сначала применить правило (1), то, чередуя применение этих правил $n\geqslant1$ раз, получим вывод: $S\vdash abA\vdash abSaa\vdash ababAaa\vdash ababSaaaa\vdash \ldots\vdash (ab)^nS(aa)^n.$ (8.27) Это значит, что все возможные пары $(w,\alpha)$ , такие, что $S\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l}wS\alpha$ (с учетом уже ранее рассмотренного случая, когда обе цепочки пусты), есть $w=(ab)^n$ и $\alpha=(aa)^n,~ n\geqslant0$ . Вычисляем множества $F_2(abA(aa)^n)$ и $F_2(\lambda(aa)^n)$ для различных $n\geqslant0$ . Первое множество, как нетрудно видеть, для всех $n$ будет равно $\{ab\}$ , a второе при $n=0$ будет состоять из одной пустой цепочки, а при $n>0$ — из цепочки $aa$ , т.е. можно утверждать, что для всех $n\geqslant0$ пересечение $F_2\bigl(abA(aa)^n\bigr)\cap F_2\bigl(\lambda(aa)^n\bigr)=\varnothing.$ Итак, для нетерминала $S$ (аксиомы грамматики $G$ ) условие теоремы 8.12 выполнено. Нетерминал A Рассматривая вывод (8.27), легко убедиться в том, что все пары $(w,\alpha)$ , для которых имеет место левая выводимость $S\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l} wA\alpha$ , есть $w=(ab)^n,~ \alpha=(aa)^{n-1}$ для всех $n\geqslant1$ . Нетерминал $A$ является левой частью двух правил вывода (3) и (4) с правыми частями $Saa$ и $b$ соответственно. Вычисляем соответствующие F2-множества: $F_2(Saa(aa)^{n-1})=\{ab,aa\}$ , а $F_2(b(aa)^{n-1})=\{b\}$ , если $n=1$ , и $F_2(b(aa)^{n-1})=\{ba\}$ , если $n>1$ . Как видно, при всех $n$ пересечение указанных множеств пусто. Тем самым доказано, что и для нетерминала А критерий теоремы 8.12 выполнен и заданная грамматика является LL(2)-грамматикой. Полученный результат показывает также, что эта грамматика является LL(2)-грамматикой, не являясь LL(1)-грамматикой. Действительно, для нетерминала $S$ получим $F_1(abA(aa)^n)=\{a\}$ при всех $n\geqslant0$ , а $F_1(\lambda(aa)^n)=\{a\}$ при всех $n\geqslant1$ . Следовательно, при всех $n\geqslant1$ указанные множества совпадут, что означает невыполнение LL(1)-условия. Заметим, что для нетерминала $A$ LL(1)-условие выполняется. Результаты анализа представлены в табл. 8.1. $\begin{aligned}&\mathit{Table~8.1} \qquad\qquad\qquad \text{Avancepochka}\\&\begin{array}{\|c\|\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|} \hline \text{Neterminal} & aa& ab& ba& bb& a& b& \lambda\\\hline S& 2&1&-&-&-&-&2\\ A& 3&3&4&-&-&4&-\\\hline \end{array}\end{aligned}$ Внутри таблицы указаны номера применяемых правил. Прочерк означает, что данная пара (нетерминал, аванцепочка) не определяет никакого правила, и возникновение такой пары в процессе анализа сигнализирует о синтаксической ошибке. Мы видим, что в данном случае номер применяемого на каждом шаге правила вывода однозначно определяется только двумя факторами: нетерминалом в верхней ячейке магазина и аванцепочкой. LL(k)-грамматики, в которых выполняется такое условие, называют сильными LL(к)-грамматиками. Таблица подобного вида для сильной LL(k)-грамматики и является примером управляющей таблицы. Именно она обеспечивает в данном случае тот механизм управления выводом, который позволяет МП-автомату, построенному по заданной сильной LL(k)-грамматике, на каждом шаге однозначно выбирать правило вывода и для "правильной" цепочки строить ее левый вывод, а для "неправильной" — сигнализировать об ошибке. Следующий пример показывает, что существуют LL(k)-грамматики, не являющиеся сильными. Пример 8.25. Зададим грамматику $G_1$ системой правил $\begin{array}{ll}S\to aAaa\mid bAba,&\qquad (1)\mid(2)\\ A\to b\mid\lambda.&\qquad (3)\mid(4) \end{array}$ Для этой грамматики легко построить все ее деревья вывода (рис. 8.38) и проверить LL(k)-условие. В данном случае $S\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l}wS\alpha$ влечет $w=\lambda,~ \alpha=\lambda$ и $F_2(aAaa)=\{ab,aa\}$ , а $F_2(bAba)=\{bb\}$ , то есть $F_2(aAaa)\cap F_2(bAba)=\varnothing$ . Из $S\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l}wS\alpha$ следует, что $w=a$ или $w=b$ . Если $w=a$ , то $\alpha=aa$ . Если же $w=b$ , то $\alpha=ba$ и $F_2(bba)=\{bb\},~ F_2(\lambda ba)= \{ba\}$ , и в этом случае также $F_2(bba)\cap F_2(\lambda ba)=\varnothing$ . Таким образом, рассматриваемая грамматика есть LL(2)-грамматика. Сведем полученные результаты в табл. 8.2. $\begin{aligned}\mathit{Table~8.2}~&\\ \begin{array}{\|c\|c\|c\|c\|}\hline \text{Leviy~kontekst}& \text{Neterminal}& \text{Avancepochka}& \text{Primenyamoe~pravilo}\\\hline \lambda& S& ab& (1)\\ & & aa& (1)\\\hline \lambda& S& bb& (2)\\\hline a& A& ba& (3)\\ & & aa& (4)\\\hline b& A& bb& (3)\\ & & ba& (4)\\\hline \end{array}& \end{aligned}$ Из табл. 8.2 следует, что одна и та же пара $(A,ba)$ не определяет однозначно применяемого правила и требуется информация о левом контексте. Из этой же таблицы видно, что данная грамматика не является LL(1)-грамматикой, поскольку, например, однобуквенная аванцепочка $b$ вместе с нетерминалом $A$ и левым контекстом $b$ не определяет однозначно применямого правила. Таким образом, для сильных LL(k)-грамматик МП-автомат, который строится по КС-грамматике, может быть преобразован в синтаксический анализатор путем добавления к нему управляющей таблицы и выходной ленты (первоначально пустой), на которой автомат пишет номера правил в порядке их применения, а также сигнал ошибки. В результате анализа для правильной цепочки, записанной на входной ленте, на выходной ленте появится ее левый вывод (точнее, "протокол" левого вывода в виде последовательности номеров применимых правил), а для неправильной цепочки на выходной ленте появится сообщение об ошибке (в виде какого-нибудь специального символа). Представим теперь протоколы анализа некоторых цепочек в грамматике $G$ примера 8.24. Пусть $x=ababbaa$ ; имеем последовательность конфигураций (четвертая компонента конфигурации — содержимое выходной ленты): $\begin{aligned}(q,ababbaa,S,\lambda)&\vdash (q,ababbaa,abA,1)\vdash^2 (q,abbaa, A,1)\vdash (q,abbaa,S,13)\vdash\\ &\vdash (q,abbaa,abAaa,131)\vdash^2 (q,baa,Aaa,131)\vdash\\ &\vdash (q,baa,baa,1314)\vdash^3 (q,\lambda,\lambda,1314). \end{aligned}$ Обратим внимание на то, что на каждом шаге вывода наш автомат-анализатор в существенном отличии от обычного распознавателя, который может легко "заблудиться" (особенно при выборе альтернативы для нетерминала $A$ ), использует информацию управляющей таблицы. Посмотрим, как отработает такой анализатор синтаксическую ошибку. Берем цепочку $y=abbb$ , имеем $(q,abbb,S,\lambda)\vdash (q,abbb,abA,1)\vdash^2 (q,bb,A,1)\vdash (q,bb,A, 1"ERROR"),$ так как пара $(A,bb)$ не определяет никакого правила. Для не сильной LL(k)-грамматики учет левых контекстов в общем случае весьма сложен, и мы его здесь не рассматриваем. Приведем, наконец, простой пример грамматики с терминальным алфавитом $\{a,b,0,1\}$ , не являющейся LL(k)-грамматикой ни для какого $k\colon$ $S\to A\mid B,\qquad A\to aAb\mid0,\qquad B\to aBbb\mid1.$ Для любого $k\geqslant1$ имеем $S\mathop{\vdash}\limits^{l} A\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l} a^k0b^k$ , $S\mathop{\vdash}\limits^{l} B\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l} a^k1b^{2k}$ . Одинаковый префикс $a^k$ не дает возможности отождествить цепочки $\beta=A$ и $\gamma=B$ , т.е. нет возможности обеспечить выбор альтернативы для нетерминала $S$ . Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Методы синтаксического анализа КС-языков

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Методы синтаксического анализа КС-языков

Проблема синтаксического анализа для КС-языков состоит в построении алгоритма, который по любой КС-грамматике $G=(V,N,S,P)$ и цепочке $x$ в ее терминальном алфавите $V$ распознает, принадлежит ли $x$ языку $L(G)$ , порождаемому грамматикой $G$ . В случае положительного ответа на вопрос алгоритм должен строить дерево вывода $x$ в грамматике $G$ .

Существование такого алгоритма следует из факта разрешимости проблемы принадлежности для КС-языков. Мы рассмотрим некоторые алгоритмы синтаксического анализа для определенных классов КС-языков.

Прототипом синтаксического анализатора является МП-автомат, который строится по данной КС-грамматике, но такой МП-автомат, как мы видели, является в общем случае недетерминированным и может даже для допустимой цепочки построить вывод, который заканчивается тупиковой конфигурацией. Чтобы на основе такого распознавателя построить алгоритм синтаксического анализа (и тем самым превратить распознаватель в анализатор), нужно разработать определенный механизм управления выводом на множестве конфигураций МП-автомата. Этот механизм должен обеспечить эффективный поиск допускающей последовательности конфигураций для допустимых цепочек. В частности, может быть поставлена задача разработки алгоритма беступикового, или однопроходного, анализа. Беступиковый анализ имеет место, если получение тупиковой конфигурации в процессе анализа означает "неправильность" анализируемой цепочки, т.е. тот факт, что она не принадлежит языку, порождаемому заданной грамматикой. Беступиковый анализ, как можно показать, невозможен в случае произвольного КС-языка, но для некоторых (достаточно широких) классов КС-языков он может быть реализован. Некоторые алгоритмы беступикового синтаксического анализа мы очень коротко рассмотрим в этом дополнении.

Существуют две основные стратегии синтаксического анализа:

1) нисходящий анализ (называемый также анализом "сверху вниз", или анализом "разверткой");

2) восходящий анализ (анализ "снизу вверх", "сверткой").

В нисходящем анализе дерево вывода цепочки строится от корня к листьям, т.е. дерево вывода "реконструируется" в прямом порядке, и аксиома грамматики "развертывается" в цепочку. В восходящем анализе дерево вывода строится от листьев к корню и анализируемая цепочка "свертывается" в аксиому.

Рассмотрим две стратегии анализа по очереди.

Нисходящий анализ. LL(k)-грамматики

Мы видели, что МП-автомат, который при доказательстве теоремы 8.8 мы строили по данной КС-грамматике, "воспроизводит" левый вывод в грамматике. Основная "задача" данного автомата как распознавателя состоит в том, чтобы на каждом шаге "угадать" очередное применяемое правило вывода и "правильно выбрать" соответствующую команду при построении допускающей последовательности конфигураций. Механизм управления выводом, которым мы должны снабдить классический МП-автомат, должен обеспечить выбор команды (единственной в случае беступикового анализа) по определенной информации о состоянии процесса поиска дерева вывода (или, что равносильно, левого вывода) входной цепочки. Обычно механизм управления выводом реализуется в виде специальных таблиц, которые называют управляющими таблицами и которые можно рассматривать как дополнительное устройство памяти в МП-автомате.

Существует класс грамматик, называемых LL(k)-грамматиками, в которых применяемая команда однозначно определяется:

1) прочитанной частью $w$ входной цепочки; эту цепочку $w$ называют левым контекстом;

2) находящимся в данный момент в верхней ячейке магазина нетерминальным символом $A$ ;

3) началом (префиксом) ${v}$ непрочитанной части цепочки, состоящим не более чем из $k$ букв $(k\geqslant1)$ ; этот префикс называют аванцепочкой (рис. 8.37).

Эта информация, по которой беступиковый анализатор выбирает нужную команду на каждом шаге работы с входной цепочкой, организована в виде управляющей таблицы (конкретные формы таких таблиц будут рассмотрены ниже). При этом левый вывод цепочки $x=wvu$ , если $x\in L(G)$ , может быть представлен следующим образом: из аксиомы выводится цепочка $wA\alpha$ , затем нетерминал $A$ заменяется в соответствии с правилом $A\to\gamma$ и из цепочки $\gamma\alpha$ выводится терминальная цепочка $vu$ , где

$|v|\leqslant k,\qquad S\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l} wA\alpha \mathop{\vdash}\limits^{l} w\gamma\alpha\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l} wvu$ (символ $\mathop{\vdash}\limits^{l}$ означает левую выводимость).

Описанное выше представление левого вывода цепочки $wvu$ предполагает, что мы произвольно в этом выводе фиксировали некий шаг, состоящий в замене нетерминала $A$ посредством применения правила вывода $A\to\gamma$ . Так как в левом выводе на каждом шаге производится замена самого левого вхождения нетерминального символа, то слева от $A$ в цепочке $wA\alpha$ , полученной перед рассматриваемым шагом, должны быть только терминальные символы. Следовательно, определенный выше левый контекст $w$ есть не что иное, как левое крыло вхождения нетерминала $A$ в цепочку $wA\alpha$ .

Моделируя этот левый вывод, т.е. читая записанную на входной ленте цепочку $x=wvu$ , МП-автомат читает левый контекст $w$ , а затем с помощью управляющей таблицы, "видя" в магазине символ $A$ , учитывая левый контекст $w$ и зная аванцепочку ${v}$ , принимает единственно правильное решение, применяя команду, соответствующую правилу $A\to\gamma$ . Так на интуитивном уровне можно определить ключевое свойство LL(k)-грамматики.

Переходим теперь к построению формального определения LL(k)-грамматики.

Пусть дана КС-грамматика $G$ . Для цепочки а в объединенном алфавите грамматики $G$ и положительного натурального $k$ определим множество $F_k(\alpha)$ , состоящее из всех терминальных цепочек, которые либо выводятся из цепочки а (если их длина строго меньше $k$ ), либо являются k-буквенными префиксами терминальных цепочек, выводимых из $\alpha$ (обратим внимание на то, что везде речь идет о левом выводе).

Таким образом, $F_k(\alpha)= \bigl\{v\colon (\alpha\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l}v)\& (|v|<k)\lor (\exists x\in V^{\ast})(\alpha\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l}vx)\& (|v|=k)\bigr\}$ .

Нетрудно видеть, что для всякой терминальной цепочки $x$ получим $F_k(x)= \{x\}$ , если $|x|\leqslant k$ , и $F_k(x)= \{x(1)x(2)\ldots x(k)\}$ , если $|x|>k$ . Множества $F_k(\alpha)$ (для разных цепочек $\alpha$ ) иногда будем называть $F_k$ -множествами.

Пример 8.23. Зададим грамматику $G$ с терминальным алфавитом $\{a,b,c,d\}$ и нетерминальным алфавитом, состоящим из одной аксиомы $S$ , следующим множеством правил вывода:

$S\to aSbSc\mid aSb\mid bSc\mid d.$

Вычислим множество $F_3(aSbSc)$ . Первая буква всех терминальных цепочек, выводимых из заданной, уже фиксирована — это буква $a$ . Нетерминал $S$ может быть заменен буквой $d$ , после чего возникнет трехбуквенный префикс $adb$ . Но символ $S$ можно заменить и цепочками $aSbSc,~ aSb,~bSc$ . В силу этого первые две буквы цепочки, выводимой из исходной, могут быть либо $aa$ , либо $ab$ . Продолжение вывода, как нетрудно понять, может дать третью букву — либо $a$ , либо $b$ , либо $d$ . Окончательно получаем

$F_3(aSbSc)= \{adb,\, aaa,\, aab,\, aad,\, aba,\, abb,\, abd\}.$

Определение 8.11. КС-грамматику $G=(V,N,S,P)$ называют LL(k)-грамматикой (для произвольно фиксированного $k\geqslant1$ ), если для любых $w\in V^{\ast},~ A\in N,~\alpha\in(V\cup N)^{\ast}$ , таких, что существуют левые выводы

$S\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l} wA\alpha\mathop{\vdash}\limits^{l} w\beta\alpha\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l} wy,\quad S\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l} wA\alpha\mathop{\vdash}\limits^{l} w\gamma\alpha\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l} wz$ , из $F_k(y)=F_k(x)$ следует $\beta=\gamma$ .

Таким образом, из этого определения следует, что для LL(k)-грамматики левый контекст $w$ нетерминала $A$ в цепочке $wA\alpha$ и не более чем $k$ символов, с которых начинается терминальная цепочка $y$ , выводимая из $A\alpha$ , однозначно определяют то правило, которое нужно применить к цепочке $wA\alpha$ (заменяя в ней выделенное, т.е. первое, вхождение нетерминала $A$ ), чтобы сделать очередной шаг в левом выводе цепочки $wy$ (и именно этой цепочки!) из аксиомы грамматики $G$ . При совпадении множеств $F_k(y)$ и $F_k(z)$ , как следует из сформулированного определения, указанные два вывода "сливаются" в один, т.е. тогда $y=z$ .

Определение LL(k)-грамматики является само по себе труднопроверяемым. Нужно какое-то условие, проверка которого позволила бы дать ответ на вопрос, является ли заданная КС-грамматика LL(k)-грамматикой. Доказывается, что дать ответ на этот вопрос можно, только фиксировав число $k$ . Построить же алгоритм, отвечающий на вопрос, является ли данная КС-грамматика LL(k)-грамматикой для некоторого $k$ (не задавая его заранее), невозможно.

Следующая теорема (формулируемая без доказательства) дает соответствующий критерий (необходимое и достаточное условие) при фиксированном $k$ .

Теорема 8.12. КС-грамматика $G$ является LL(k)-грамматикой (для фиксированного $k\geqslant1$ ) тогда и только тогда, когда для любой цепочки $w\in V^{\ast}$ выполняется следующее условие: для любых $A\in N,~\alpha\in (V\cup N)^{\ast}$ , таких, что $S\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l}$ , и любых двух различных правил $A\to\beta$ и $A\to\gamma$ грамматики $G$ имеет место $F_k(\beta\alpha)\cap F_k(\gamma\alpha)=\varnothing$ .

Условие теоремы называют часто LL(k)-условием. Его следует проверять, фиксируя по очереди левые контексты (т.е. различные цепочки $w$ ) для всех нетерминалов грамматики.

Рассмотрим пример, в котором, используя теорему 8.12, мы убедимся в том, что заданная КС-грамматика является LL(k)-грамматикой (для фиксированного $k$ ).

Пример 8.24. Грамматика $G$ задается системой правил

$S\to abA\mid\lambda,\quad (1)\mid(2)\quad\qquad A\to Saa\mid b.\quad (3)\mid(4)$

Докажем, что данная грамматика является LL(2)-грамматикои. Чтобы проверить условие теоремы 8.12, достаточно для каждого нетерминала $B\in\{S,A\}$ нашей грамматики проделать следующее:

1) вычислить все такие цепочки $w\in\{a,b\}^{\ast}$ и $\alpha\{a,b,S,A\}$ , что имеет место левая выводимость

$S\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l}wB\alpha;$

(8.26)

2) фиксировав "левый контекст" $w$ , для каждой пары различных правил вывода $B\to\gamma$ и $B\to\beta$ вычислить множества $F_2(\beta\alpha)$ и $F_2(\gamma\alpha)$ . Для всех таких а, что при фиксированном w выполняется (8.26), и убедиться в том, что их пересечение пусто.

Если выполнение пункта 2 для всех возможных левых контекстов w и всех нетерминалов В подтвердит истинность условия теоремы 8.12, то тем самым и будет доказано, что перед нами LL(2)-грамматика.

Следует заметить, что в общем случае вычисление пар цепочек $(w,\alpha)$ , удовлетворяющих условию (8.26) (для всех нетерминалов $B$ КС-грамматики), требует применения специального алгоритма. Но для конкретной грамматики нашего примера эти пары цепочек достаточно просто вычисляются из анализа выводов грамматики. По очереди проанализуем оба нетерминала, т.е. $S$ и $A$ , грамматики $G$ .

Нетерминал S

В этом случае имеем, во-первых, тривиальную выводимость $S\vdash^0S$ за нуль шагов, т.е. в этом случае цепочки $w$ и $\alpha$ обе являются пустыми: $w=\alpha=\lambda$ . Нетерминал S может быть заменен согласно правилу (1) с правой частью $abA$ или согласно правилу (2) с пустой правой частью. Вычислим тогда множества $F_2(abA)$ и $F_2(\lambda)$ . Ясно, что $F_2(abA)= \{ab\}$ , а $F_2(\lambda)=\{\lambda\}$ и эти множества не пересекаются.

Проанализируем теперь, каким образом в заданной грамматике может быть выведена из аксиомы $S$ за число шагов, большее нуля, цепочка вида $wS\alpha$ для некоторых терминальной цепочки $w$ и цепочки в объединенном алфавите $\alpha$ .

Так как вхождение $S$ может возникнуть только после применения правила (3), а чтобы применить его, нужно сначала применить правило (1), то, чередуя применение этих правил $n\geqslant1$ раз, получим вывод:

$S\vdash abA\vdash abSaa\vdash ababAaa\vdash ababSaaaa\vdash \ldots\vdash (ab)^nS(aa)^n.$

(8.27)

Это значит, что все возможные пары $(w,\alpha)$ , такие, что $S\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l}wS\alpha$ (с учетом уже ранее рассмотренного случая, когда обе цепочки пусты), есть $w=(ab)^n$ и $\alpha=(aa)^n,~ n\geqslant0$ .

Вычисляем множества $F_2(abA(aa)^n)$ и $F_2(\lambda(aa)^n)$ для различных $n\geqslant0$ . Первое множество, как нетрудно видеть, для всех $n$ будет равно $\{ab\}$ , a второе при $n=0$ будет состоять из одной пустой цепочки, а при $n>0$ — из цепочки $aa$ , т.е. можно утверждать, что для всех $n\geqslant0$ пересечение

$F_2\bigl(abA(aa)^n\bigr)\cap F_2\bigl(\lambda(aa)^n\bigr)=\varnothing.$

Итак, для нетерминала $S$ (аксиомы грамматики $G$ ) условие теоремы 8.12 выполнено.

Нетерминал A

Рассматривая вывод (8.27), легко убедиться в том, что все пары $(w,\alpha)$ , для которых имеет место левая выводимость $S\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l} wA\alpha$ , есть $w=(ab)^n,~ \alpha=(aa)^{n-1}$ для всех $n\geqslant1$ .

Нетерминал $A$ является левой частью двух правил вывода (3) и (4) с правыми частями $Saa$ и $b$ соответственно. Вычисляем соответствующие F2-множества: $F_2(Saa(aa)^{n-1})=\{ab,aa\}$ , а $F_2(b(aa)^{n-1})=\{b\}$ , если $n=1$ , и $F_2(b(aa)^{n-1})=\{ba\}$ , если $n>1$ . Как видно, при всех $n$ пересечение указанных множеств пусто. Тем самым доказано, что и для нетерминала А критерий теоремы 8.12 выполнен и заданная грамматика является LL(2)-грамматикой.

Полученный результат показывает также, что эта грамматика является LL(2)-грамматикой, не являясь LL(1)-грамматикой. Действительно, для нетерминала $S$ получим

$F_1(abA(aa)^n)=\{a\}$ при всех $n\geqslant0$ , а $F_1(\lambda(aa)^n)=\{a\}$ при всех $n\geqslant1$ .

Следовательно, при всех $n\geqslant1$ указанные множества совпадут, что означает невыполнение LL(1)-условия. Заметим, что для нетерминала $A$ LL(1)-условие выполняется.

Результаты анализа представлены в табл. 8.1.

$\begin{aligned}&\mathit{Table~8.1} \qquad\qquad\qquad \text{Avancepochka}\\&\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Neterminal} & aa& ab& ba& bb& a& b& \lambda\\\hline S& 2&1&-&-&-&-&2\\ A& 3&3&4&-&-&4&-\\\hline \end{array}\end{aligned}$

Внутри таблицы указаны номера применяемых правил. Прочерк означает, что данная пара (нетерминал, аванцепочка) не определяет никакого правила, и возникновение такой пары в процессе анализа сигнализирует о синтаксической ошибке.

Мы видим, что в данном случае номер применяемого на каждом шаге правила вывода однозначно определяется только двумя факторами: нетерминалом в верхней ячейке магазина и аванцепочкой. LL(k)-грамматики, в которых выполняется такое условие, называют сильными LL(к)-грамматиками.

Таблица подобного вида для сильной LL(k)-грамматики и является примером управляющей таблицы. Именно она обеспечивает в данном случае тот механизм управления выводом, который позволяет МП-автомату, построенному по заданной сильной LL(k)-грамматике, на каждом шаге однозначно выбирать правило вывода и для "правильной" цепочки строить ее левый вывод, а для "неправильной" — сигнализировать об ошибке.

Следующий пример показывает, что существуют LL(k)-грамматики, не являющиеся сильными.

Пример 8.25. Зададим грамматику $G_1$ системой правил

$\begin{array}{ll}S\to aAaa\mid bAba,&\qquad (1)\mid(2)\\ A\to b\mid\lambda.&\qquad (3)\mid(4) \end{array}$

Для этой грамматики легко построить все ее деревья вывода (рис. 8.38) и проверить LL(k)-условие.

В данном случае $S\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l}wS\alpha$ влечет $w=\lambda,~ \alpha=\lambda$ и $F_2(aAaa)=\{ab,aa\}$ , а $F_2(bAba)=\{bb\}$ , то есть $F_2(aAaa)\cap F_2(bAba)=\varnothing$ .

Из $S\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l}wS\alpha$ следует, что $w=a$ или $w=b$ . Если $w=a$ , то $\alpha=aa$ .

Если же $w=b$ , то $\alpha=ba$ и $F_2(bba)=\{bb\},~ F_2(\lambda ba)= \{ba\}$ , и в этом случае также $F_2(bba)\cap F_2(\lambda ba)=\varnothing$ . Таким образом, рассматриваемая грамматика есть LL(2)-грамматика.

Сведем полученные результаты в табл. 8.2.

$\begin{aligned}\mathit{Table~8.2}~&\\ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Leviy~kontekst}& \text{Neterminal}& \text{Avancepochka}& \text{Primenyamoe~pravilo}\\\hline \lambda& S& ab& (1)\\ & & aa& (1)\\\hline \lambda& S& bb& (2)\\\hline a& A& ba& (3)\\ & & aa& (4)\\\hline b& A& bb& (3)\\ & & ba& (4)\\\hline \end{array}& \end{aligned}$

Из табл. 8.2 следует, что одна и та же пара $(A,ba)$ не определяет однозначно применяемого правила и требуется информация о левом контексте.

Из этой же таблицы видно, что данная грамматика не является LL(1)-грамматикой, поскольку, например, однобуквенная аванцепочка $b$ вместе с нетерминалом $A$ и левым контекстом $b$ не определяет однозначно применямого правила.

Таким образом, для сильных LL(k)-грамматик МП-автомат, который строится по КС-грамматике, может быть преобразован в синтаксический анализатор путем добавления к нему управляющей таблицы и выходной ленты (первоначально пустой), на которой автомат пишет номера правил в порядке их применения, а также сигнал ошибки. В результате анализа для правильной цепочки, записанной на входной ленте, на выходной ленте появится ее левый вывод (точнее, "протокол" левого вывода в виде последовательности номеров применимых правил), а для неправильной цепочки на выходной ленте появится сообщение об ошибке (в виде какого-нибудь специального символа).

Представим теперь протоколы анализа некоторых цепочек в грамматике $G$ примера 8.24.

Пусть $x=ababbaa$ ; имеем последовательность конфигураций (четвертая компонента конфигурации — содержимое выходной ленты):

$\begin{aligned}(q,ababbaa,S,\lambda)&\vdash (q,ababbaa,abA,1)\vdash^2 (q,abbaa, A,1)\vdash (q,abbaa,S,13)\vdash\\ &\vdash (q,abbaa,abAaa,131)\vdash^2 (q,baa,Aaa,131)\vdash\\ &\vdash (q,baa,baa,1314)\vdash^3 (q,\lambda,\lambda,1314). \end{aligned}$

Обратим внимание на то, что на каждом шаге вывода наш автомат-анализатор в существенном отличии от обычного распознавателя, который может легко "заблудиться" (особенно при выборе альтернативы для нетерминала $A$ ), использует информацию управляющей таблицы.

Посмотрим, как отработает такой анализатор синтаксическую ошибку. Берем цепочку $y=abbb$ , имеем

$(q,abbb,S,\lambda)\vdash (q,abbb,abA,1)\vdash^2 (q,bb,A,1)\vdash (q,bb,A, 1"ERROR"),$

так как пара $(A,bb)$ не определяет никакого правила.

Для не сильной LL(k)-грамматики учет левых контекстов в общем случае весьма сложен, и мы его здесь не рассматриваем.

Приведем, наконец, простой пример грамматики с терминальным алфавитом $\{a,b,0,1\}$ , не являющейся LL(k)-грамматикой ни для какого $k\colon$

$S\to A\mid B,\qquad A\to aAb\mid0,\qquad B\to aBbb\mid1.$

Для любого $k\geqslant1$ имеем $S\mathop{\vdash}\limits^{l} A\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l} a^k0b^k$ , $S\mathop{\vdash}\limits^{l} B\mathop{\vdash^{\ast}}\limits^{l} a^k1b^{2k}$ .

Одинаковый префикс $a^k$ не дает возможности отождествить цепочки $\beta=A$ и $\gamma=B$ , т.е. нет возможности обеспечить выбор альтернативы для нетерминала $S$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]