Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Численные методы решения нелинейных уравнений
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Численные методы решения нелинейных уравнений Содержание 1. Корни нелинейных уравнений 2. Отделение корней уравнения 3. Способы отделения корней 4. Метод половинного деления 5. Алгоритм метода половинного деления 6. Метод хорд 7. Метод простых итераций 8. Метод Ньютона 9. Достаточные условия сходимости метода Ньютона 10. Метод касательных 11. Метод Ньютона-Бройдена 12. Метод секущих Корни нелинейных уравнений Пусть дано нелинейное уравнение $f(x)=0,\qquad \mathsf{(3.1)}$ где $f(x)$ — функция, определенная и непрерывная на некотором промежутке. В некоторых случаях на функцию $f(x)$ могут быть наложены дополнительные ограничения, например, непрерывность первой и второй производных, что специально оговаривается. Функция $f(x)$ может быть задана в виде алгебраического многочлена или трансцендентной функции (тогда ей соответствует алгебраическое или трансцендентное уравнение). Требуется найти корни нелинейного уравнения (3.1), т.е. числа $x_{\ast1},x_{\ast2},\ldots$ которые путем подстановки их в (3.1) превращают уравнение в верное числовое равенство. Числа $x_{\ast1},x_{\ast2},\ldots$ называются также нулями функции $f(x)$ . На практике часто бывает выгодно уравнение (3.1) заменить равносильным ему уравнением (уравнения равносильны, если имеют одинаковые корни): $f_1(x)-f_2(x)=0,$ (3.2) где функции $f_1(x),\,f_2(x)$ — более простые, чем функция $f(x)$ . Тогда при задании уравнения в виде (3.1) нулями функции $f(x)$ являются точки пересечения $f(x)$ с осью $Ox$ (рис. 3.1,д), а при задании в виде (3.2) — абсциссы точек пересечения функций $f_1(x)$ и $f_2(x)$ (рис. 3.1,б). Замечания 1. Если $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0=P_n(x)$ — алгебраический многочлен, то уравнение (3.1) называется также алгебраическим n-й степени: $P_n(x)\equiv a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0=0,$ (3.3) где $a_n,\ldots,a_0$ — действительные числа, коэффициенты уравнения. 2. На практике встречаются задачи нахождения корней уравнения $f(x_i)=0$ , левая часть которого задана сеточной функцией $y_i=f(x_i),~i=1,2,\ldots,N$ (рис. 3.2). Число $x_{\ast}$ есть корень уравнения (3.1) кратности $k$ , если при $x=x_{\ast}$ вместе с функцией $f(x)$ обращаются в нуль ее производные до (k-1)-го порядка включительно, т.е. $f(x_{\ast})= f'(x_{\ast})= \ldots= f^{(k-1)}(x_{\ast})=0$ , а $f^{(k)}(x_{\ast})\ne0$ . Корень кратности к = 1 называется простым. На рис 3.1,с простыми корнями являются $x_{\ast1},x_{\ast2},x_{\ast3}$ , a корни $x_{\ast4},x_{\ast5}$ — кратные. В соответствии с классическим результатом Галуа алгебраическое уравнение (3.1) при $n\geqslant5$ не имеет решения в замкнутом (формульном) виде. Сеточные уравнения вообще не имеют формульных решений. Поэтому корни алгебраических $(n>2)$ , трансцендентных и сеточных уравнений, как правило, определяются приближенно с заданной точностью. Решение осуществляется в два этапа: Первый этап. Находятся отрезки $[a_i,b_i]$ , внутри каждого из которых содержится один простой или кратный корень $(x_{\ast i}\in[a_i,b_i])$ (см. рис. 3.1). Этот этап называется процедурой отделения корней. По сути на нем осуществляется грубое нахождение корней $x_{\ast i}$ . Второй этап. Грубое значение каждого корня $x_{\ast i}$ уточняется до заданной точности одним из численных методов, в которых реализуются последовательные приближения. Порядок (скорость) сходимости метода определяется так же, как в методе простых итераций. Отделение корней уравнения Для отделения действительных корней полезно определять заранее число корней, а также верхнюю и нижнюю границы их расположения. Для этого используется ряд теорем. Теорема 3.1 (о числе корней алгебраического уравнения (3.3)). Алгебраическое уравнение (3.3) n-й степени имеет ровно $n$ корней, действительных или комплексных, при условии, что каждый корень считается столько раз, какова его кратность. Теорема 3.2 (о свойстве парной сопряженности комплексных корней уравнения (3.3)). Если $x_{\ast i}=\alpha+\beta i$ — корень алгебраического уравнения (3.3) кратности $k$ , то число $\overline{x_{\ast i}}=\alpha-\beta i$ также является корнем той же кратности. Следствие. Алгебраическое уравнение нечетной степени имеет по крайней мере один действительный корень. Теорема 3.3 (об оценке модулей корней уравнения (3.3)). Пусть $A=\max \bigl\{\|a_{n-1}\|,\ldots,\|a_0\|\bigr\},\qquad B=\max \bigl\{\|a_n\|,\|a_{n-1}\|,\ldots, \|a_1\|\bigr\},$ где $a_k,~k=\overline{0,n}$ — коэффициенты уравнения $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots+ a_{1}x+a_0=0$ . Тогда модули всех корней $x_{\ast i}~(i=1,2,\ldots,n)$ уравнения удовлетворяют неравенству $\frac{1}{1+\dfrac{B}{\|a_0\|}}<\|x_{\ast i}\| \leqslant 1+\frac{A}{\|a_n\|},\quad i=1,2,\ldots,n,$ (3.4) т.е. корни уравнения расположены в кольце. Следствие. Числа $r=\frac{1}{1+\dfrac{B}{\|a_0\|}}$ и $R=1+ \frac{A}{\|a_n\|}$ являются соответственно нижней и верхней границами положительных корней алгебраического уравнения: $r<x_{\ast i}^{+}<R$ . Аналогично числа $-R$ и $-r$ служат нижней и верхней границами отрицательных корней уравнения: $-R<x_{\ast i}^{-}<-r$ . Приведем полезные теоремы, используемые для более точного установления границ действительных корней алгебраических уравнений. Теорема 3.4 (теорема Лагранжа о верхней границе положительных корней уравнения (3.3)). Пусть $a_n>0$ и $a_i$ — первый отрицательный коэффициент в последовательности $a_n,a_{n-1},a_{n-2},\ldots,a_1,a_0;~C$ — наибольшая из абсолютных величин отрицательных коэффициентов. Тогда за верхнюю границу положительных корней уравнения (3.3) может быть принято число $R=1+\sqrt[\LARGE{n-i}]{\frac{C}{a_n}}\,.$ (3.5) Теорема 3.5 (о нижних и верхних границах положительных и отрицательных корней алгебраического уравнения). Пусть $R$ — верхняя граница положительных корней уравнения $P_n(x)=0$ , $R_1$ — верхняя граница положительных корней уравнения $P^1(x)= x^nP_n\! \left(\frac{1}{x}\right)=0$ , $R_2$ — верхняя граница положительных корней уравнения $P^2(x)= P_n(-x)=0$ , $R_3$ — верхняя граница положительных корней уравнения $P^3(x)= x^nP_n\! \left(-\frac{1}{x}\right)=0$ . Тогда положительные корни $x_{\ast i}^{+}$ и отрицательные корни $x_{\ast i}^{-}$ уравнения (3.3) удовлетворяют неравенствам $\frac{1}{R_1}\leqslant x_{\ast i}^{+}\leqslant R,\qquad-R_2 \leqslant x_{\ast i}^{-}\leqslant-\frac{1}{R_3}\,.$ (3.6) Теорема 3.6 (теорема Декарта о количестве действительных корней алгебраических уравнений). Число $S_1$ положительных корней (с учетом их кратностей) алгебраического уравнения $P_n(x)=0$ равно числу перемен знаков в последовательности коэффициентов $a_n,a_{n-1},\ldots,a_0$ (коэффициенты, равные нулю, не учитываются) многочлена $P_n(x)$ или меньше этого числа на четное число. Число $S_2$ отрицательных корней (с учетом их кратностей) алгебраического уравнения $P_n(x)=0$ равно числу перемен знаков в последовательности $a_n,a_{n-1},\ldots,a_0$ многочлена $P_n(-x)$ или меньше этого числа на четное число. Теорема 3.7 (теорема Гюа о необходимом условии действительности всех корней алгебраического уравнения). Если алгебраическое уравнение (3.3) имеет все действительные корни, то квадрат каждого некрайнего коэффициента больше произведения двух его соседних коэффициентов. Следствие. Если при каком-нибудь $k$ выполнено неравенство $a_k^2 \leqslant a_{k-1}a_{k+1}$ , то уравнение (3.3) имеет по крайней мере одну пару комплексных корней. Для отделения корней применяется следующая теорема. Теорема 3.8. Если функция $f(x)$ , определяющая уравнение $f(x)=0$ , на концах отрезка $[a_i,b_i]$ принимает значения разных знаков, т.е. $f(a_i)\cdot f(b_i)<0$ , то на этом отрезке содержится по крайней мере один корень уравнения. Если же $f(x)$ непрерывна и дифференцируема и ее первая производная сохраняет знак внутри отрезка $[a_i,b_i]$ $\Bigl(\mathop{\operatorname{sign}}\limits_{x\in[a_i,b_i]} f'(x)=\text{const}\Bigr)$ , то на $[a_i,b_i]$ находится только один корень уравнения. Способы отделения корней В вычислительной практике обычно используются следующие способы отделения корней: 1) средствами машинной графики: функция $f(x)$ представляется на дисплее и приближенно определяются отрезки, которым принадлежат точки $x_{\ast i}$ ; 2) средствами математического анализа с помощью исследования функций и построения графиков (см. рис. 3.1,д); 3) формированием простых функций $f_1(x)$ и $f_2(x)$ таких, что получается равносильное уравнение в виде (3.2), и дальнейшим построением графиков этих функций (см. рис. 3.1,б). ▼ Примеры 3.1-3.3 Пример 3.1. Определить число положительных и отрицательных корней, а также их границы для уравнения $P_5(x)= x^5+2x^4-5x^3+8x^2-7x-3=0.$ Решение В данной задаче $n=5,~ a_5=1,~ a_4=2,~ a_3=-5,~ a_2=8,~ a_1=-7,~ a_0=-3$ . Согласно теореме 3.1 уравнение имеет пять корней. Поскольку $n=5$ , то по следствию из теоремы 3.2 уравнение имеет по крайней мере один действительный корень. Оценим модули корней по теореме 3.3. Так как $A=\max \bigl\{\|2\|,\|-5\|,\|8\|,\|-7\|,\|-3\|\bigr\}=8,\qquad B=\max \bigl\{\|1\|,\|2\|,\|-5\|, \|8\|,\|-7\|\bigr\}=8,$ то $\frac{1}{1+\frac{8}{\|-3\|}}<\|x_{\ast i}\|<1+\frac{8}{\|1\|}$ или $\frac{3}{11}<\|x_{\ast i}\|<9$ , т.е. все корни лежат внутри данного кольца. По следствию из теоремы 3.3 это означает, что положительные корни удовлетворяют неравенству $\frac{3}{11}<x_{\ast i}^{+}<9$ , а отрицательные — неравенству $-9<x_{\ast i}^{-}<-\frac{3}{11}$ . Применим теоремы 3.4 и 3.5 для уточнения приведенных результатов. Найдем верхнюю границу положительных корней. Так как $a_3=-5$ — первый отрицательный коэффициент в последовательности $1,2,-5,8,-7,-3$ , то $i=3$ , а $C=\max \bigl\{\|-5\|,\|-7\|,\|-3\|\bigr\}=7$ — наибольшая из абсолютных величин отрицательных коэффициентов. Следовательно, $R=1+\sqrt[\LARGE{(5-3)}]{\frac{7}{1}}= 1+\sqrt{7}\cong3,\!646$ . Найдем нижнюю границу положительных корней. Составим уравнение: $\begin{aligned}P^{1}(x)&= x^nP_n\! \left(\frac{1}{x}\right)= x^5P_5\!\left(\frac{1}{x} \right)= x^5\! \left(\frac{1}{x^5}+ \frac{2}{x^4}-\frac{5}{x^3}+\frac{8}{x^2}-\frac{7}{x}-3\right)=\\ &=-3x^5-7x^4+8x^3-5x^2+2x+1=0.\end{aligned}$ или $3x^5+7x^4-8x^3+5x^2-2x-1=0$ (старший коэффициент должен быть положительным). Для этого уравнения $i=3,~ C=\max \bigl\{\|-8\|,\|-2\|,\|-1\|\bigr\}=8$ , поэтому $R_1=1+\sqrt[\LARGE{(5-3)}]{\frac{8}{3}}=1+\sqrt{\frac{8}{3}}\cong2,\!632$ . Отсюда $\frac{1}{R_1}=0,\!38 \leqslant x_{\ast i}^{+}\leqslant R=3,\!646$ . Уточним границы отрицательных корней. Составим уравнение: $P^2(x)=P_5(-x)=$ или $x^5-2x^4-5x^3-8x^2-7x+3=0$ . Для этого уравнения $i=4,~ C=\max\bigl\{\|-2\|,\|-5\|,\|-8\|,\|-7\|\bigr\}=8$ , поэтому $R_2=1+ \sqrt[\LARGE{5-4}]{\frac{8}{1}}=9$ . Составим уравнение $\begin{aligned}P^3(x)&= x^nP_n\! \left(-\frac{1}{x}\right)= x^5P_5\! \left(-\frac{1}{x}\right)= x^5\! \left(-\frac{1}{x^5}+\frac{2}{x^4}+\frac{5}{x^3}+\frac{8}{x^2}+\frac{7}{x}-3\right)=\\ &=-3x^5+7x^4+8x^3+2x-1=0.\end{aligned}$ или $3x^5-7x^4-8x^3-5x^2-2x+1=0$ . Для этого уравнения $i=4,~ C=\max \bigl\{\|-7\|,\|-8\|,\|-5\|,\|-2\|\bigr\}=8$ , поэтому $R_3=1+\sqrt[\LARGE{5-4}]{\frac{8}{3}}=1+ \frac{8}{3}\cong3,\!666$ . Отсюда находим: $-R_2=-9 \leqslant x_{\ast i}^{-}\leqslant-\frac{1}{R_3}=-0,\!272$ . Заметим, что данный результат совпадает с полученным ранее. Исследуем структуру корней уравнения. Так как квадрат каждого некрайнего коэффициента больше произведения двух его соседних коэффициентов, то по теореме 3.7 необходимое условие действительности всех корней уравнения выполняется. На основе теоремы 3.6 определим число положительных и отрицательных корней. Выписываем коэффициенты многочлена $P_n(x)=P_5(x)\colon\, 1,\,2,-5,\,8,-7,-3$ . Так как число перемен знака $S_1=3$ , то число положительных корней равно трем или меньше на четное число, т.е. равно 1. Далее выписываем коэффициенты многочлена $P_5(-x)\colon\, -1,\,2,\,5,\,8,\,7,-3$ . Так как число перемен знаков $S_2=2$ , то число отрицательных корней равно двум или меньше на четное число, т.е. их вообще нет. Пример 3.2. Отделить корни кубического уравнения $x^3-x+1=0$ . Решение Согласно теореме 3.1 уравнение имеет три корня, среди которых по крайней мере один действительный (следствие из теоремы 3.2, поскольку это уравнение нечетной степени). Оценим модули корней уравнения по теореме 3.3. Так как $A=\max \bigl\{\|0\|,\|-1\|,\|1\|\bigr\}=1,\quad B=\max \bigl\{\|1\|,\|0\|,\|-1\|\bigr\}=1$ , то $\frac{1}{1+\dfrac{1}{\|1\|}}<\|x_{\ast i}\|<1+\frac{1}{\|1\|}$ или $\frac{1}{2}<\|x_{\ast i}\|<2$ . Отсюда $\frac{1}{2}<x_{\ast i}^{+}<2$ и $-2<x_{\ast i}^{+}<-\frac{1}{2}$ . Определим число положительных и отрицательных корней. Выписываем коэффициенты многочлена $P_3(x)\colon\, 1,\,0,-1,\,1$ . Так как число перемен знака $S_1=2$ (нулевой коэффициент не учитывается), то число положительных корней равно двум или меньше на четное число, т.е. они отсутствуют. Далее выписываем коэффициенты многочлена $P_3(-x)=-x^3+x+1\colon\, -1,\,0,\,1,\,1$ . Так как число перемен знака $S_2=1$ (нулевой коэффициент не учитывается), то число отрицательных корней равно единице. Отделим корни третьим способом. Для этого преобразуем уравнение к равносильному виду (3.2): $x^3=x-1$ и найдем точки пересечения фафиков $y=x^3$ и $y=x-1$ (рис. 3.3). Очевидно, корень уравнения $x_{\ast}\in[-2;-1]$ . Пример 3.3. Отделить корни уравнения третьего порядка $x^3-x^2-9x+9=0$ . Решение Согласно теореме 3.1 уравнение имеет три корня, среди которых по крайней мере один действительный (по следствию из теоремы 3.2). Оценим модули корней уравнения по теореме 3.3. Так как $A=\max \bigl\{\|-1\|,\|-9\|,\|9\|\bigr\}=9,~ B=\max \bigl\{\|1\|,\|-1\|,\|-9\|\bigr\}=9$ , то $\frac{1}{1+\frac{9}{\|9\|}}<\|x_{\ast i}\|<1+\frac{9}{\|1\|}$ или $\frac{1}{2}<\|x_{\ast i}\|<10$ . Отсюда $\frac{1}{2}<x_{\ast i}^{+}<10$ и $-10<x_{\ast i}^{-}<-\frac{1}{2}\,.$ Определим число положительных и отрицательных корней. Выписываем коэффициенты многочлена $P_3(x)\colon\,1,-1,-9,\,9$ . Так как число перемен знака $S_1=2$ , то уравнение имеет два положительных корня или ни одного. Далее выписываем коэффициенты многочлена $P_3(-x)=-x^3-x^2+9x+9\colon\,-1,-1,\,9,\,9$ . Так как число перемен знака $S_2=1$ , то имеется один отрицательный корень. Отделим корни третьим способом. С этой целью преобразуем уравнение к равносильному виду: $x^3=x^2+9x-9$ . Найдем абсциссы точек пересечения фафиков $y=x^3$ и $y=x^2+9x-9$ (см. рис. 3.4 указаны два из трех полученных промежутков). Результат отделения корней — три промежутка $[0,5; 2],\,[2; 4],\,[-4;-2]$ . Заметим, что отрезки могуг быть сужены, например, вместо отрезка $[2,4]$ можно принять $[2,\!5; 4]$ . Метод половинного деления Пусть дано уравнение $f(x)=0$ и отделен простой корень $x_{\ast}$ , т.е. найден такой отрезок $[a_0,b_0]$ , что $x_{\ast}\in[a_0,b_0]$ и на концах отрезка функция имеет значения, противоположные по знаку $(f(a_0)\cdot f(b_0)<0)$ . Отрезок $[a_0,b_0]$ называется начальным интервалом неопределенности, потому что известно, что корень ему принадлежит, но его местоположение с требуемой точностью не определено. Процедура уточнения положения корня заключается в построении последовательности вложенных друг в друга отрезков, каждый из которых содержит корень уравнения. Для этого находится середина текущего интервала неопределенности $c_k=\frac{a_k+b_k}{2},~ k=0,1,2,\ldots$ , и в качестве следующего интервала неопределенности из двух возможных выбирается тот, на концах которого функция $f(x)$ имеет разные знаки (рис. 3.5). Процесс завершается, когда длина текущего интервала неопределенности становится меньше заданной величины $\varepsilon$ , задающей точность нахождения корня. В качестве приближенного значения корня берется середина последнего интервала неопределенности. Алгоритм метода половинного деления 1. Найти начальный интервал неопределенности $L_0=[a_0,b_0]$ одним из методов отделения корней, задать малое положительное число $\varepsilon$ . Положить $k=0$ . 2. Найти середину текущего интервала неопределенности: $c_k=\frac{a_k+b_k}{2}$ . 3. Если $f(a_k)\cdot f(c_k)<0$ , то положить $a_{k+1}=a_k,~ b_{k+1}= c_k$ , а если $f(c_k)\cdot f(b_k)<0$ , то принять $a_{k+1}=c_k,~ b_{k+1}= b_k$ . В результате находится текущий интервал неопределенности $L_{k+1}= [a_{k+1},b_{k+1}]$ . 4. Если $b_{k+1}-a_{k+1}\leqslant \varepsilon$ , то процесс завершить: $x_{\ast}\in L_{k+1}= [a_{k+1},b_{k+1}]$ . Приближенное значение корня можно найти по формуле $x_{\ast}\cong \frac{a_{k+1}+b_{k+1}}{2}$ . Если $b_{k+1}-a_{k+1}>\varepsilon$ , положить $k=k+1$ и перейти к п.2. Замечания 1. Метод имеет линейную, но безусловную сходимость, и его погрешность за каждую итерацию уменьшается в два раза: $\|b_1-a_1\|=\frac{\|b_0-a_0\|}{2};\quad \|b_2-a_2\|= \frac{\|b_1-a_1\|}{2}= \frac{\|b_0-a_0\|}{2^2},\quad \ldots,\quad \|b_k-a_k\|= \|b_0-a_0\|\cdot2^{-k}.$ Из последнего соотношения можно оценить число итераций $k$ для достижения заданной точности $\varepsilon\colon$ $\|b_0-a_0\|\cdot2^{-k} \leqslant \varepsilon;\qquad k \geqslant \log_{2}\frac{\|b_0-a_0\|}{\varepsilon}\,.$ Отсюда видно, что, например, для достижения точности $\varepsilon\approx10^{-3}$ при $(b_0-a_0)\cong1$ необходимо выполнить примерно десять итераций. 2. К достоинствам метода следует отнести то, что он позволяет найти простой корень уравнения $x_{\ast}\in[a_0,b_0]$ любых непрерывных функций $f(x)$ при любых значениях $a_0,\,b_0$ таких, что $f(a_0)\cdot f(b_0)<0$ . Недостатки метода — он не обобщается на системы нелинейных уравнений и не может использоваться для нахождения корней четной кратности. ▼ Примеры 3.4-3.6 Пример 3.4. Найти корень уравнения $x^3-x+1=0$ методом половинного деления с точностью $\varepsilon_1=0,\!01$ и $\varepsilon_2=0,\!0005$ . Решение В примере 3.2 корень уравнения был отделен: $x_{\ast}\in[-2;-1]$ , поэтому $a_0=-2,~ b_0=-1$ . Очевидно, функция непрерывна на отрезке $[-2;-1]$ , имеет единственный простой корень (см. рис. 3.3). На концах отрезка функция имеет значения $f(-2)=-5,~ f(-1)=1$ , противоположные по знаку. Результаты расчетов приведены в табл. 3.1. $\begin{aligned} \mathit{Table~3.1}~&\\ \begin{array}{\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|} \hline \begin{matrix}{}\\[-2pt]{}\end{matrix} k& f(a_k)& a_k& b_k& f(b_k)& c_k=\dfrac{a_k+b_k}{2}& f(c_k)& b_k-a_k\\\hline 0& -5& -2& -1& 1& -1,\!5& -0,\!875& 1\\\hline 1& -0,\!875& -1,\!5& -1& 1& -1,\!25& 0,\!2965& 0,\!5\\\hline 2& -0,\!875& -1,\!5& -1,\!25& 0,\!2965& -1,\!375& -0,\!224& 0,\!25\\\hline 3& -0,\!224& -1,\!375& -1,\!25& 0,\!2965& -1,\!3125& 0,\!05& 0,\!125\\\hline 4& -0,\!224& -1,\!375& -1,\!3125& 0,\!05& -1,\!34375& -0,\!08& 0,\!0625\\\hline 5& -0,\!08& -1,\!34375& -1,\!3125& 0,\!05& -1,\!3282& -0,\!015& 0,\!03125\\\hline 6& -0,\!015& -1,\!3282& -1,\!3125& 0,\!05& -1,\!3204& 0,\!018& 0,\!0156\\\hline 7& -0,\!015& -1,\!3282& -1,\!3204& 0,\!018& -1,\!3243& 0,\!0018& 0,\!00781\\\hline 8& -0,\!015& -1,\!3282& -1,\!3243& 0,\!0018& -1,\!3263& -0,\!007& 0,\!0039\\\hline 9& -0,\!007& -1,\!3263& -1,\!3243& 0,\!0018& -1,\!3253& -0,\!0025& 0,\!002\\\hline 10& -0,\!0025& -1,\!3253& -1,\!3243& 0,\!0018& -1,\!3248& -0,\!0003& 0,\!001\\\hline 11& -0,\!0003& -1,\!3248& -1,\!3243& 0,\!0018& -& -& 0,\!0005\\\hline \end{array}& \end{aligned}$ Если $\varepsilon_1=0,\!01$ , корень $x_{\ast}\in[-1,\!3282;-1,\!3204]$ , а если $\varepsilon_=0,\!0005$ — корень $x_{\ast}\in[-1,\!3248;-1,\!3243]$ или $x_{\ast}\cong \frac{-1,\!3282-1,\!3204}{2}=$ при $\varepsilon_1=0,\!01$ и $x_{\ast}\cong \frac{-1,\!3248-1,\!3243}{2}=-1,\!3245$ при $\varepsilon_2=0,\!0005$ . Пример 3.5. Найти корень уравнения $x^3-x^2-9x+9=0$ методом половинного деления с точностью $\varepsilon=0,\!001$ . Решение В примере 3.3 были отделены корни уравнения. Уточним корень, лежащий на отрезке $[2,\!5;4]$ . Результаты расчетов поместим в табл. 3.2. $\begin{aligned} \mathit{Table~3.2}~&\\ \begin{array}{\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|} \hline \begin{matrix}{}\\[-2pt]{}\end{matrix} k& f(a_k)& a_k& b_k& f(b_k)& c_k=\dfrac{a_k+b_k}{2}& f(c_k)& b_k-a_k\\\hline 0& -4,\!125& 2,\!5& 4& 21& 3,\!25& 3,\!5156& 1,\!5\\\hline 1& -4,\!125& 2,\!5& 3,\!25& 3,\!5156& 2,\!875& -1,\!3769& 0,\!75\\\hline 2& -1,\!3769& 2,\!875& 3,\!25& 3,\!5156& 3,\!0625& 0,\!78149& 0,\!375\\\hline 3& -1,\!3769& 2,\!875& 3,\!0625& 0,\!7815& 2,\!96875& -0,\!3672& 0,\!1875\\\hline 4& -0,\!3672& 2,\!9687& 3,\!0625& 0,\!7815& 3,\!01562& 0,\!18945& 0,\!09375\\\hline 5& -0,\!3672& 2,\!9687& 3,\!0156& 0,\!1894& 2,\!99218& -0,\!0933& 0,\!04687\\\hline 6& -0,\!0933& 2,\!9921& 3,\!0156& 0,\!1894& 3,\!0039& 0,\!0469& 0,\!02344\\\hline 7& -0,\!0933& 2,\!9921& 3,\!0039& 0,\!0469& 2,\!99804& -0,\!02349& 0,\!01172\\\hline 8& -0,\!02349& 2,\!99804& 3,\!0039& 0,\!0469& 3,\!00097& 0,\!011647& 0,\!00586\\\hline \end{array}& \end{aligned}$ В результате найден интервал $[2,\!99804;3,\!0039]$ и приближенное значение корня $x_{\ast}\cong3,\!00097$ . Пример 3.6. Отделить корни трансцендентного уравнения $x^2-e^{-x}=0$ и найти один из корней с точностью $\varepsilon=0,\!01$ . Решение 1. Можно отделить корни уравнения, преобразовав его к равносильному виду $x^2=e^{-x}$ и определив абсциссу точек пересечения графиков функций $y=f_1(x)=x^2$ и $y=f_2(x)=e^{-x}\colon\, x_{\ast}\in[0,\!5;1]$ . При этом $f(0,\!5)\cdot f(1)<0$ . 2. Уточним корень. Результаты расчетов приведем в табл. 3.3. $\begin{aligned} \mathit{Table~3.3}~&\\ \begin{array}{\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|} \hline \begin{matrix}{}\\[-2pt]{}\end{matrix} k& f(a_k)& a_k& b_k& f(b_k)& c_k=\dfrac{a_k+b_k}{2}& f(c_k)& b_k-a_k\\\hline 0& -0,\!3565& 0,\!5& 1& 0,\!6321& 0,\!75& 0,\!09013& 0,\!5\\\hline 1& -0,\!3565& 0,\!5& 0,\!75& 0,\!09013& 0,\!625& -0,\!1446& 0,\!251\\\hline 2& -0,\!1446& 0,\!625& 0,\!75& 0,\!09013& 0,\!6875& -0,\!0301& 0,\!125\\\hline 3& -0,\!0301& 0,\!6875& 0,\!75& 0,\!09013& 0,\!7187& 0,\!0292& 0,\!0625\\\hline 4& -0,\!0301& 0,\!6875& 0,\!7187& 0,\!0292& 0,\!7031& -0,\!00069& 0,\!0312\\\hline 5& -0,\!00069& 0,\!7031& 0,\!7187& 0,\!0292& 0,\!7109& 0,\!0142& 0,\!0156\\\hline 6& -0,\!00069& 0,\!7031& 0,\!7109& 0,\!0142& 0,\!707& 0,\!0067& 0,\!0078\\\hline \end{array}& \end{aligned}$ Вычисления показывают, что $b_6-a_6=0,\!7109-0,\!7031=0,\!0078< \varepsilon= 0,\!01$ . Поэтому $x_{\ast}\cong \frac{0,\!7109+0,\!7031}{2}= c_6=0,\!707$ . Метод хорд Этот метод при тех же предположениях обеспечивает более быстрое нахождение корня, чем метод половинного деления. Для этого отрезок $[a,b]$ делится не пополам, а в отношении $\|f(a)\|\,\colon\|f(b)\|$ . Геометрически метод хорд эквивалентен замене кривой $y=f(x)$ хордой, проходящей через точки $(a,f(a))$ и $(b,f(b))$ (рис. 3.6). Уравнение хорды $AB$ имеет вид $\frac{x-a}{b-a}= \frac{y-f(a)}{f(b)-f(a)}$ . Полагая $x=x^{(1)}$ и $y=0$ , получаем $x^{(1)}= a-\frac{f(a)}{f(b)-f(a)}\cdot(b-a).$ Предположим, что вторая производная $f''(x)$ сохраняет постоянный знак, и рассмотрим два случая: $f(a)>0,~ f''(a)>0$ (рис. 3.7,д) и $f(a)<0,~ f''(x)>0$ (рис. 3.7,б). Случай $f''(x)<0$ сводится к рассматриваемому, если уравнение записать в форме: $-f(x)=0$ . Первому случаю (см. рис. 3.7,д) соответствует формула (3.7), а второму случаю (3.8) (см. рис. 3.7,б): $\begin{aligned}&x^{(0)}=b,\\ &x^{(k+1)}=x^{(k)}-\frac{f(x^{(k)})}{f(x^{(k)})-f(a)} \bigl(x^{(k)}-a\bigr),\quad k=0,1,2,\ldots\end{aligned}$ (3.7) $\begin{aligned}&x^{(0)}=a,\\ &x^{(k+1)}=x^{(k)}-\frac{f(x^{(k)})}{f(b)-f(x^{(k)})}\bigl(b-x^{(k)}\bigr),\quad k=0,1,2,\ldots \end{aligned}$ (3.8) В первом случае остается неподвижным конец $a$ , а во втором случае конец $b$ . Замечание. Для выявления неподвижного конца используется условие $f''(x)\cdot f(t)>0$ , где $t=a$ или $t=b$ . Если неподвижен конец $a$ , применяется формула (3.7), а если конец $b$ , — формула (3.8). Пример 3.7. Найти корень уравнения $x^3-x+1=0$ методом хорд с точностью $\varepsilon=0,\!001$ . Решение Рассмотрим задачу нахождения корня на отрезке $[-2;-1]$ (см. пример 3.2). Так как $f(a)=f(-2)=-5,$ $f(b)=f(-1)=-1$ , a $f''(x)=3x^2-1>0$ на отрезке $[-2;-1]$ , то $f''(x)\cdot f(b)>0$ и, следовательно, имеем второй случай (см. рис. 3.7,б). Положим $x^{(0)}=a=-2,~k=0$ . Тогда по формуле (3.8) получаем $x^{(1)}= x^{(0)}-\frac{f(x^{(0)})}{f(b)-f(x^{(0)})}\bigl(b-x^{(0)}\bigr)=-2-\frac{-5}{1-(-5)}\cdot(-1-(-2))=-1,\!1666.$ Так как $\Delta_1=\|x^{(1)}-x^{(0)}\|=0,\!8334>\varepsilon$ , то положим $k=1$ и продолжим процесс: $x^{(2)}= x^{(1)}-\frac{f(x^{(1)})}{f(b)-f(x^{(1)})}\bigl(b-x^{(1)}\bigr)=-1,\!1666-\frac{-0,\!5786}{1-0,\!5786}\cdot \bigl(-1-(-1,\!1666)\bigr)=-1,\!3953.$ Так как $\Delta_2=\|x^{(2)}-x^{(1)}\|=0,\!2287>\varepsilon$ , то положим $k=2$ и продолжим процесс: $x^{(3)}= x^{(2)}-\frac{f(x^{(2)})}{f(b)-f(x^{(2)})}\bigl(b-x^{(2)}\bigr)=-1,\!3953-\frac{-0,\!3214}{1+0,\!3214}\cdot \bigl(-1-(-1,\!3953)\bigr)=-1,\!2991.$ Поскольку $\Delta_3=\|x^{(3)}-x^{(2)}\|=0,\!0962>\varepsilon$ , положим $k=3\colon$ $x^{(4)}= x^{(3)}-\frac{f(x^{(3)})}{f(b)-f(x^{(3)})}\bigl(b-x^{(3)}\bigr)=-1,\!2991-\frac{-0,\!1064}{1+0,\!1064}\cdot \bigl(-1-(-1,\!2991)\bigr)=-1,\!3347.$ Так как $\Delta_4=\|x^{(4)}-x^{(3)}\|=0,\!0356>\varepsilon$ , положим $k=4\colon$ $x^{(5)}= x^{(4)}-\frac{f(x^{(4)})}{f(b)-f(x^{(4)})}\bigl(b-x^{(4)}\bigr)=-1,\!3347-\frac{-0,\!043}{1+0,\!043}\cdot \bigl(-1-(-1,\!3347)\bigr)=-1,\!3209.$ Поскольку $\Delta_5=\|x^{(5)}-x^{(4)}\|=0,\!0138>\varepsilon$ , положим $k=5\colon$ $x^{(6)}= x^{(5)}-\frac{f(x^{(5)})}{f(b)-f(x^{(5)})}\bigl(b-x^{(5)}\bigr)=-1,\!3209-\frac{-0,\!0162}{1+0,\!0162}\cdot \bigl(-1-(-1,\!3209)\bigr)=-1,\!3261.$ Так как $\Delta_6=\|x^{(6)}-x^{(5)}\|=0,\!0052>\varepsilon$ , положим $k=6\colon$ $x^{(7)}= x^{(6)}-\frac{f(x^{(6)})}{f(b)-f(x^{(6)})}\bigl(b-x^{(6)}\bigr)=-1,\!3261-\frac{-0,\!0059}{1+0,\!0059}\cdot \bigl(-1-(-1,\!3261)\bigr)=-1,\!3241.$ Поскольку $\Delta_7=\|x^{(7)}-x^{(6)}\|=0,\!0020>\varepsilon$ , положим $k=7\colon$ $x^{(8)}= x^{(7)}-\frac{f(x^{(7)})}{f(b)-f(x^{(7)})}\bigl(b-x^{(7)}\bigr)=-1,\!3241-\frac{-0,\!00217}{1+0,\!00217}\cdot \bigl(-1-(-1,\!3241)\bigr)=-1,\!3248.$ Так как $\Delta_8=\|x^{(8)}-x^{(7)}\|=0,\!0007<\varepsilon=0,\!001$ , то корень уравнения $x_{\ast}\cong-1,\!3248$ . Из анализа поведения $\Delta_k$ следует, что сходимость метода хорд линейная, однако более быстрая, чем сходимость метода половинного деления. Метод простых итераций Пусть известно, что корень $x_{\ast}$ уравнения $f(x)=0$ лежит на отрезке $G=\{a\leqslant x\leqslant b\}$ . Методика решения задачи 1. Уравнение $f(x)=0$ равносильным преобразованием привести к виду $x=\varphi(x)$ . Это преобразование может быть осуществлено различными путями, но для сходимости нужно обеспечить выполнение условия $\|\varphi'(x)\|\leqslant\chi<1$ ( $\chi$ — некоторая константа). При этом задача сводится к нахождению абсциссы точки пересечения прямой $y=x$ и кривой $y=\varphi(x)$ (рис. 3.8). 2. Задать начальное приближение $x^{(0)}\in[a,b]$ и малое положительное число $\varepsilon$ . Положить $k=0$ . 3. Вычислить следующее приближение: $x^{(k+1)}= \varphi(x^{(k)}).$ (3.9) 4. Если $\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|\leqslant\varepsilon$ , итерации завершаются и $x_{\ast}\cong x^{(k+1)}$ . Если $\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|>\varepsilon$ , положить $k=k+1$ и перейти к п.3. Замечание. В качестве условия завершения итераций при известном значении $\chi$ может быть использовано неравенство $\bigl\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\bigr\|\leqslant \frac{1-\chi}{\chi}\cdot \varepsilon.$ Проблемы сходимости и единственности численного решения, являющиеся главными при использовании этого метода, решаются и исследуются с помощью понятия о сжимающем отображении и теоремы о достаточном условии сходимости метода. Отображение (функция) $\varphi(x)$ называется сжимающим в области $G$ с коэффициентом $\chi~(0\leqslant\chi<1)$ , если для любых двух $x',\,x''$ из $G$ выполнено неравенство $\bigl\|\varphi(x'')-\varphi(x')\bigr\|\leqslant\chi\cdot\bigl\|x''-x'\bigr\|.$ (3.10) Теорема 3.9 (о сходимости метода простых итераций и единственности получаемого численного решения) Пусть выполнены условия: 1. Нелинейное уравнение $x=\varphi(x)$ имеет решение $x_{\ast}\in G$ . 2. Отображение $\varphi(x)$ является сжимающим в области $G$ с некоторым коэффициентом $\chi~(0\leqslant\chi<1)$ . Тогда: а) решение $x_{\ast}$ является единственным решением в области $G$ ; б) последовательность $x^{(0)},x^{(1)},\ldots,x^{(k+1)},\ldots$ , определяемая по отображению на основе итерационного процесса, сходится к решению $x_{\ast}$ со скоростью геометрической прогрессии, т.е. при выборе $x^{(0)}$ из условия $\|x_{\ast}-x^{(0)}\|<R$ , где $R>0$ — некоторое малое число, справедливо неравенство $\bigl\|x_{\ast}-x^{(k)}\bigr\| \leqslant \chi^k\cdot \bigl\|x_{\ast}-x^{(0)}\bigr\|,\quad k=0,1,2,\ldots$ Теорема 3.9 утверждает, что при выполнении условий 1,2 существует окрестность $G(x_{\ast},R)$ такая, что если взять $x^{(0)}$ в этой окрестности и вычислять $x^{(1)},x^{(2)},\ldots$ по формуле (3.9), то в результате с любой наперед заданной точностью можно вычислить $x^{(k+1)}\approx x_{\ast}$ , соответствующее искомому (единственному) корню. Но так как эта окрестность неизвестна, то можно взять произвольное $x^{(0)}\in G$ . Если при этом вычисляется последовательность $x^{(0)},x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x{(k)},\ldots$ , сходящаяся к некоторому значению $\widehat{x}$ , то в силу теоремы $\widehat{x}=x_{\ast}$ . Если сходимость отсутствует, то надо взять другое $x^{(0)}\in G$ и повторить расчет. Теорема 3.10 (о достаточном условии сходимости метода простых итераций). Пусть выполнены условия: 1. Функция $\varphi(x)$ имеет производные для всех $x\in G$ . 2. Существует число $\chi\,(0 \leqslant\chi<1,~\chi=\text{const})$ , такое, что $\|\varphi'(x)\|\leqslant\chi$ для всех $x\in G$ . Тогда отображение $\varphi(x)$ является сжимающим в $G$ с коэффициентом сжатия х и последовательность $x^{(0)},x^{(1)},\ldots,x^{(k+1)},\ldots$ , определяемая на основе итерационного процесса, сходится к решению $x_{\ast}$ , то есть $x^{(k)}\to x_{\ast}$ при $k\to\infty$ . ▼ Доказательство В силу условия 1 справедлива теорема Лагранжа о конечных приращениях: $\varphi(x'')-\varphi(x')\leqslant (x''-x')\varphi'(\delta)$ для $\forall x',x''\in G$ , где $\delta$ — точка, лежащая между $x'$ и $x''$ . Но тогда с учетом условия 2 и замены $\varphi'(\delta)$ ее мажорантой $\chi$ получим $\bigl\|\varphi(x'')-\varphi(x')\bigr\|\leqslant \chi\cdot \bigl\|x''-x'\bigr\|,$ т.е. отображение $\varphi(x)$ — сжимающее, и, таким образом, последовательность $x^{(0)},x^{(1)},\ldots,x^{(k+1)},\ldots$ сходится к некоторому $\widehat{x}$ . Но тогда в силу непрерывности $\varphi(x)$ в $G$ имеет место равенство $\widehat{x}=x_{\ast}$ . Геометрическая интерпретация процесса сходимости и расходимости в зависимости от выполнения или невыполнения достаточного условия сходимости представлена на рис. 3.9. Из рис. 3.9 видно, что при $0<\varphi'(x)<1$ и при $-1<\varphi'(x)<0$ (см.рис. 3.9,д,б) итерационные последовательности $x^{(0)},x^{(1)},x^{(2)},\ldots$ сходятся к $x_{\ast}$ . Причем в первом случае реализуется односторонняя (монотонная) сходимость, а во втором — двусторонняя (немонотонная). При $\|\varphi'(x)\|>1$ (см.рис. 3.9,в,г) процесс расходится несмотря на то, что точка $x^{(0)}$ очень близка к $x_{\ast}$ . Процессы на рис. 3.9,а,б соответствуют сжимающему отображению. Преобразование уравнения $f(x)=0$ к равносильному виду $x=\varphi(x)$ может быть выполнено неоднозначно. Рассмотрим универсальные практические приемы равносильного преобразования $f(x)=0$ , дающие сжимающие отображения. 1. Можно заменить уравнение $f(x)=0$ на равносильное $x=x+cf(x)$ , где $c=\text{const}\ne0$ . Тогда, принимая правую часть этого уравнения за $\varphi(x)$ и раскрывая $\|\varphi'(x)\|= \|1+cf'(x)\|<1$ , получаем условие $-2<c\cdot f'(x)<0.$ (3.11) Таким образом, можно найти константу $c$ на отрезке $G=[a,b]$ так, чтобы удовлетворялись неравенства (3.11). При этом надо стремиться получить такую постоянную $c$ , которая бы больше отличалась от нуля, и тогда будет реализовы-ваться более быстрая сходимость. Можно показать, что абсолютная погрешность метода оценивается по формуле (эта оценка выражается через два последовательных приближения) $\bigl\|x^{(k+1)}-x_{\ast}\bigr\|\leqslant \frac{\chi}{1-\chi}\cdot \bigl\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\bigr\|$ (3.12) или по формуле (эта оценка выражается через два приближения $x^{(0)}$ и $x^{(1)}$ ) $\bigl\|x^{(k+1)}-x_{\ast}\bigr\|\leqslant \frac{\chi^{k+1}}{1-\chi}\cdot \bigl\|x^{(1)}-x^{(0)}\bigr\|.$ (3.13) Из оценки следует условие выхода из итерационного процесса. Если значение $\chi$ неизвестно, то выход осуществляется по условию $\bigl\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\bigr\|\leqslant \varepsilon.$ 2. Уравнение $f(x)=0$ заменяется равносильным (где знак в правой части выбирается из условия $\|\varphi'(x)\|<1$ ): $x=x\mp \frac{f(x)}{\max\|f'(x)\|}\equiv \varphi(x)$ при $x\in G$ , 3. Можно выразить $x$ из уравнения $f(x)=0$ так, чтобы для полученного уравнения $x=\varphi(x)$ выполнялось условие сходимости $\|\varphi'(x)\|<1$ в окрестности искомого корня. Замечание к доказательству. Выполнение условия $\Delta_{k+1}= \bigl\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\bigr\|\leqslant \varepsilon$ не гарантирует близости к точному решению (на рис. 3.10 достигается область, где условие окончания выполняется, но корень $x_{\ast}$ расположен достаточно далеко от этой области). ▼ Примеры 3.8-3.10 Пример 3.8. Методом простых итераций с точностью $\varepsilon=0,\!001$ уточнить корень трансцендентного уравнения $x^2-e^{-x}=0$ , причем искомый корень $x_{\ast}\in[0,\!5;1,\!0]\equiv G$ . Решение 1. Преобразуем исходное уравнение к виду $x=\varphi(x)\colon\, x=e^{-x\!\!\not{\phantom{\|}}\,2}= \varphi(x)$ . Проверкой можно убедиться, что $\varphi'(x)<1$ при $x\in G$ . 2. В качестве начального приближения выберем $x^{(0)}=\frac{0,\!5+1}{2}=0,\!75$ . 3,4. Выполняем последовательные действия по формуле (3.9): $x^{(k+1)}=\exp \frac{-x^{(k)}}{2}$ . Результаты расчетов приведены в табл. 3.4. $\begin{aligned} \mathit{Table~3.4}~&\\ \begin{array}{\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|} \hline k& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\\hline x^{(k)}& 0,7500& 0,6873& 0,7091& 0,7015& 0,7042& 0,7032 \\\hline \bigl\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\bigr\|&-& 0,0627& 0,0218& 0,0076& 0,0027&0,0010 \\\hline \end{array}& \end{aligned}$ На пятой итерации выполнилось условие $\bigl\|x^{(5)}-x^{(4)}\bigr\|\leqslant \varepsilon= 0,\!001$ , поэтому процесс завершен. В качестве приближенного решения берется $x_{\ast}\cong x^{(5)}= 0,\!703$ . Подстановка $x^{(5)}$ в исходное уравнение дает $(x^{(5)})^2-e^{-x^{(5)}}= 0,00088$ , т.е. равенство в уравнении также выполняется с заданной точностью. Видно, что сходимость двусторонняя (это следует также из неравенства $-1<\varphi'(x)<0$ ) и линейная, так как отношения $\frac{\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|}{\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|}$ при $k=1,2,3,4,5$ примерно одинаковые и равны $\approx0,\!35$ (знаменатель геометрической профессии). Пример 3.9. Найти решение уравнения $x^3-x+1=0$ методом простых итераций с точностью $\varepsilon_1=0,\!01$ и $\varepsilon_2=0,\!001$ . Решение 1. В примере 3.2 был отделен корень уравнения $x_{\ast}\in[-2;-1]$ . Преобразуем уравнение к виду $x=\varphi(x)$ . Для этого запишем его сначала в форме $x=x^3+1$ . Легко показать, что функция $\varphi(x)=x^3+1$ не удовлетворяет условию сходимости, поскольку $\varphi'(x)=3x^2,$ $\varphi'(-2)=12>1,$ $\varphi'(-1)=3>1$ . Поэтому воспользуемся другим преобразованием. В результате получим $x=\sqrt[\LARGE{3}]{x-1}$ . Можно проверить, что $\|\varphi'(x)\|<1$ на отрезке $[-2;-1]$ , т.е. достаточные условия сходимости выполняются. 2. Зададим начальное приближение $x^{(0)}=-1$ . Решим задачу с различной точностью $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ . 3,4. Выполним расчеты по формуле (3.9): $x^{(k+1)}= \sqrt[\LARGE{3}]{x^{(k)}-1},~k=0,1,2,\ldots$ . Результаты расчетов приведены в табл. 3.5. $\begin{aligned} \mathit{Table~3.5}~&\\ \begin{array}{\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|} \hline k& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\\hline \begin{matrix}{}\\[-8pt]{}\end{matrix} x^{(k)}&-1,\!000&-1,\!2599&-1,\!3123&-1,\!3223&-1,\!3243&-1,3246\\\hline \begin{matrix}{}\\[-8pt]{}\end{matrix} \bigl\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\bigr\|&-&0,\!2599& 0,\!0524& 0,\!0100& 0,\!0020& 0,\!0003\\\hline \end{array}& \end{aligned}$ Если $\varepsilon_1=0,\!01$ , то $x_{\ast}\cong-1,\!3223$ , а если $\varepsilon_2=0,\!001$ , то $x_{\ast}\cong-1,\!3246$ . Пример 3.10. Найти корни уравнения $x^3-x^2-9x+9=0$ методом простых итераций с точностью $\varepsilon=0,\!001$ . Решение 1. Преобразуем уравнение к виду $x=\varphi(x)\colon\, x=\sqrt[\LARGE{3}]{x^2+9x-9}$ . В примере 3.3 была выполнена операция отделения корней и получены отрезки $[-4;-2],\,[0,5;2],\,[2;4]$ . Можно показать, что на отрезках $[2;4],\,[-4;-2]$ функция $\varphi(x)= \sqrt[\LARGE{3}]{x^2+9x-9}$ удовлетворяет условию $\|\varphi'(x)\|<1$ . На отрезке $[0,\!5;2]$ используем другой вид уравнения: $x=\frac{x^3}{9}-\frac{x^2}{9}+1$ . Также легко проверить, что функция $\varphi(x)=\frac{x^3}{9}-\frac{x^2}{9}+1$ удовлетворяет достаточному условию сходимости на отрезке $[0,\!5;2]$ . 2. В качестве начальных приближений выберем: – точку $x^{(0)}=-2$ на отрезке $[-4;-2]$ ; – точку $x^{(0)}=0,\!5$ на отрезке $[0,\!5;-2]$ ; – точку $x^{(0)}=2$ на отрезке $[2;4]$ ;. В поставленной задаче $\varepsilon=0,\!001$ . 3,4. Выполним расчеты по формуле $x^{(k+1)}= \sqrt[\LARGE{3}]{(x^{(k)})^2+9x^{(k)}-9},\quad k=0,1,2,\ldots$ с начальными значениями $x^{(0)}=-2$ и $x^{(0)}=2$ и по формуле $x^{(k+1)}=\frac{(x^{(k)})^3}{9}-\frac{(x^{(k)})^2}{9}+1,\quad k=0,1,2,\ldots$ с начальным значением $x^{(0)}=0,\!5$ . Результаты расчетов занесены в табл. 3.6–3.8. $\begin{aligned}& \begin{aligned} \mathit{Table~3.6}~&\\ \begin{array}{\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|}\hline k&\! \scriptstyle{0}\!&\! \scriptstyle{1}\!&\! \scriptstyle{2}\!&\! \scriptstyle{3}\!&\! \scriptstyle{4}\!&\! \scriptstyle{5}\!&\! \scriptstyle{6}\!&\! \scriptstyle{7}\!&\! \scriptstyle{8}\!&\! \scriptstyle{9}\!&\! \scriptstyle{10}\!&\! \scriptstyle{11}\!&\! \scriptstyle{12}\!\\\hline x^{(k)}&\! \scriptstyle{2,0000}\!&\! \scriptstyle{2,3513}\!&\! \scriptstyle{2,6056}\!&\! \scriptstyle{2,7694}\!&\! \scriptstyle{2,8682}\!&\! \scriptstyle{2,9255}\!&\! \scriptstyle{2,9582}\!&\! \scriptstyle{2,9767}\!&\! \scriptstyle{2,9870}\!&\! \scriptstyle{2,9927}\!&\! \scriptstyle{2,9959}\!&\! \scriptstyle{2,9977}\!&\! \scriptstyle{2,9987}\!\\\hline \bigl\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\bigr\|&\! -\!&\! \scriptstyle{0,3513}\!&\! \scriptstyle{0,2543}\!&\! \scriptstyle{0,1638}\!&\! \scriptstyle{0,0988}\!&\! \scriptstyle{0,0573}\!&\! \scriptstyle{0,0327}\!&\! \scriptstyle{0,0185}\!&\! \scriptstyle{0,0102}\!&\! \scriptstyle{0,0057}\!&\! \scriptstyle{0,0032}\!&\! \scriptstyle{0,0018}\!&\! \scriptstyle{0,0010}\!\\\hline \end{array}& \end{aligned}<br />\\[6pt] & \begin{aligned} \mathit{Table~3.7}~&\\ \begin{array}{\|c\|c\|c\|}\hline k& x^{(k)}& \bigl\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\bigr\|\\\hline 0&-2,\!0000&-\\\hline 1&-2,\!8438& 0,\!8438\\\hline 2&-2,\!9816& 0,\!1378\\\hline 3&-2,\!9979& 0,\!0163\\\hline 4&-2,\!9997& 0,\!0018\\\hline 5&-2,\!99997& 0,\!00027\\\hline \end{array}&\end{aligned} \qquad\qquad\qquad \begin{aligned} \mathit{Table~3.8}~&\\ \begin{array}{\|c\|c\|c\|} \hline k& x^{(k)}& \bigl\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\bigr\|\\\hline 0& 0,\!50000&-\\\hline 1& 0,\!98611& 0,\!4861\\\hline 2& 0,\!99849& 0,\!01238\\\hline 3& 0,\!99983& 0,\!00134\\\hline 4& 0,\!99998& 0,\!00015\\\hline \end{array}& \end{aligned}\end{aligned}$ В результате получены приближенные значения корней: $x_{1\ast}\cong-2,\!99997,\qquad x_{2\ast}\cong0,\!99998,\qquad x_{3\ast}\cong2,\!9987.$ Обратим внимание на сильное различие в числе итераций, потребовавшихся для нахождения корней $x_{\ast}=3$ (табл. 3.6) и $x_{\ast}=-3$ (табл. 3.7), с помощью одной и той же формулы. Заметим, что в окрестности корня $x_{\ast}=3$ значения модуля производной функции $\varphi(x)=\sqrt[\LARGE{3}]{x^2+9x-9}$ равны: $\|\varphi'(2)\|=0,\!784;\qquad \|\varphi'(2,\!3513)\|=0,\!673;\qquad \|\varphi'(2,\!6056)\|=0,\!618;\qquad \|\varphi'(2,\!9977)\|=0,\!556.$ С другой стороны, в окрестности корня $x_{\ast}=-3$ имеем: $\|\varphi'(-2)\|=0,\!206;\qquad \|\varphi'(-2,\!8438)\|= 0,\!124;\qquad \|\varphi'(-2,\!9977)\|=0,\!111.$ Анализ результатов показывает, что чем меньше значения модуля производной $\|\varphi'(x)\|$ , тем быстрее сходимость. Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений Метод Ньютона (метод касательных, или метод линеаризации) является одним из наиболее популярных численных методов. Он быстро сходится (имеет квадратичную сходимость) и допускает различные модификации, приспособленные для решения векторных задач и сеточных уравнений. Однако этот метод эффективен при весьма жестких ограничениях на характер функции $f(x)\colon$ 1) существование второй производной функции $f(x)$ на множестве $G=\{a\leqslant x\leqslant b\}$ ; 2) удовлетворение первой производной условию $f(x)\ne0$ для всех $x\in G$ ; 3) знакопостоянство $f'(x),\,f''(x)$ для всех $x\in G$ . Поэтому его желательно использовать совместно с другими методами, например методом половинного деления, чтобы достигнуть диапазона $\widetilde{a}\leqslant x \leqslant \widetilde{b}$ , где указанные условия начинают выполняться. Геометрическая интерпретация метода Ньютона состоит в следующем. Задается начальное приближение $x^{(0)}$ . Далее проводится касательная к кривой $y=f(x)$ в точке $x^{(0)}$ (рис. 3.11), т.е. кривая заменяется прямой линией. В качестве следующего приближения выбирается точка пересечения этой касательной с осью абсцисс. Процесс построения касательных и нахождения точек пересечения с осью абсцисс повторяется до тех пор, пока приращение не станет меньше заданной величины $\varepsilon$ . Получим расчетную формулу метода Ньютона. Вместо участка кривой $BC$ (точка $C$ соответствует $x_{\ast}$ ) возьмем участок $AB$ — касательную, проведенную в точке $(x^{(0)},f(x^{(0)}))$ ). Для этого отрезка справедливо конечное соотношение: $\frac{f(x^{(0)})-0}{x^{(0)}-x^{(1)}}= f'(x^{(0)})\equiv \operatorname{tg}\alpha,$ где $\alpha$ — угол наклона касательной в точке $(x^{(0)},f(x^{(0)}))$ к оси абсцисс. Разрешая это соотношение относительно $x^{(1)}$ , получаем $x^{(1)}= x^{(0)}-\frac{f(x^{(0)})}{f'(x^{(0)})}$ . Повторяя процесс, находим общую формулу: $x^{(k+1)}= x^{(0)}-\frac{f(x^{(k)})}{f'(x^{(k)})},\quad k=0,1,2,\ldots$ (3.14) Подчеркнем, что если отбросить итерационный индекс, то (3.14) записывается в виде нелинейного уравнения $x=x-\frac{f(x)}{f'(x)}\equiv \varphi(x),$ (3.15) которое, однако, на $[a,b]$ не равносильно исходному, а является таковым только в одной точке при $x=x_{\ast}$ . Поэтому данный метод не служит разновидностью метода простых итераций. Применим теперь для вывода формулы (3.14) метод линеаризации. Положим, что итерационный процесс имеет вид $x^{(k+1)}=x^{(k)}+\delta^{(k)},\quad k=0,1,2,\ldots$ (3.16) где $\delta^{(0)}$ — поправка к k-му приближению, которую необходимо найти. Предполагая, что $f(x)$ имеет непрерывную вторую производную, разложим $f(x^{(k)}+\delta^{(k)})$ по формуле Тейлора относительно точки $x^{(k)}\colon$ $f(x^{(k)}+\delta^{(k)})= f(x^{(k)})+ \delta^{(k)}f'(x^{(k)})+ \frac{1}{2}(\delta^{(k)})^2 f''(\xi),$ где $\xi\in \bigl(x^{(k)},x^{(k+1)}\bigr)$ . Учитывая, что $f\bigl(x^{(k)}+ \delta^{(k)}\bigr)=0$ (это соответствует нахождению точки пересечения с осью абсцисс), и оставляя только линейную (относительно $\delta^{(k)}$ ) часть разложения (отсюда и название — метод линеаризации), записываем линейное относительно $\delta^{(k)}$ уравнение $f(x^{(k)})+ \delta^{(k)} f'(x^{(k)})=0.$ Отсюда выражается поправка $\delta^{(k)}=-\frac{f(x^{(k)})}{f'(x^{(k)})}$ . Подставляя $\delta^{(k)}$ в (3.16), получаем (3.14). Теорема 3.11 (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона). Пусть выполняются следующие условия: 1. Функция $f(x)$ определена и дважды дифференцируема на $[a,b]$ . 2. Отрезку $[a,b]$ принадлежит только один простой корень $x_{\ast}$ , так что $f(a)\cdot f(b)<0$ . 3. Производные $f'(x),\,f''(x)$ на $[a,b]$ сохраняют знак, и $f'(x)\ne0$ . 4. Начальное приближение $x^{(0)}$ удовлетворяет неравенству $f(x^{(0)})\cdot f''(x^{(0)})>0$ (знаки функций $f(x)$ и $f''(x)$ в точке $x^{(0)}$ совпадают). Тогда с помощью метода Ньютона (3.14) можно вычислить корень уравнения $f(x)=0$ с любой точностью. Замечания 1. Метод Ньютона характеризуется вторым порядком сходимости вблизи корня и первым порядком — вдали от него. Данную оценку проверяем для двух случаев, когда $x^{(k)}$ находится далеко от корня $x_{\ast}$ (это возможно на первых итерациях) и когда $x^{(k)}$ располагается вблизи $x_{\ast}$ . Первый случай. Пусть отрезок $\omega=[x^{(k)},x_{\ast}]$ не мал. Тогда на основе теоремы Лагранжа получим (где $m_1=\min\limits_{\omega}\|f'(x)\|$ ) $\bigl\|f(x^{(k)})\bigr\|= \bigl\|f(x_{\ast})-f(x^{(k)})\bigr\|= \bigl\|f'(\xi)\bigr\|\cdot \bigl\|x_{\ast}-x^{(k)}\bigr\| \geqslant m_1 \bigl\|x_{\ast}-x^{(k)}\bigr\|.$ (3.17) Преобразуем с использованием (3.17) итерационную формулу (3.14) (где $M_1= \max\limits_{x\in[a,b]}\|f'(x)\|$ ): $x^{(k+1)}=x^{(k)}-\frac{f(x^{(k)})}{f'(x^{(k)})};\qquad \bigl\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\bigr\|= \frac{\|f(x^{(k)})\|}{f'(x^{(k)})} \geqslant \frac{m_1}{M_1} \bigl\|x_{\ast}-x^{(k)}\bigr\|.$ В силу монотонности последовательности $x^{(0)},x^{(1)},\ldots$ имеем $\begin{gathered}x_{\ast}-x^{(k+1)}= x_{\ast}-x^{(k)}-\bigl(x^{(k+1)}-x^{(k)}\bigr),\\ \bigl\|x_{\ast}-x^{(k+1)}\bigr\|= \bigl\|x_{\ast}-x^{(k)}\bigr\|-\bigl\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\bigr\| \geqslant \bigl\|x_{\ast}-x^{(k)}\bigr\|- \frac{m_1}{M_1} \bigl\|x_{\ast}-x^{(k)}\bigr\|= \left(1-\frac{m_1}{M_1}\right)\! \bigl\|x_{\ast}-x^{(k)}\bigr\|. \end{gathered}$ Таким образом, вдали от корня получаем линейную сходимость $\bigl\|x_{\ast}-x^{(k+1)}\bigr\| \leqslant c\cdot \bigl\|x_{\ast}-x^{(k)}\bigr\|$ , где $0 \leqslant c=1-\frac{m_1}{M_1}<1$ . Второй случай. Пусть теперь отрезок $\omega=[x^{(k)},x]$ мал, т.е. итерации выполняются вблизи корня. Тогда, полагая, что указанные выше предположения 1–4 теоремы 3.10 выполнены, разложим функцию $f(x)$ в окрестности корня $x_{\ast}$ относительно точки $x^{(k)}$ , учитывая члены до второго порядка. Получим $\Bigl.{f(x)}\Bigr\|_{x=x^{(k)}}= f(x^{(k)})+ \bigl(x_{\ast}-x^{(k)}\bigr) f'(x^{(k)})+ \bigl(x_{\ast}-x^{(k)}\bigr)^2 \frac{1}{2}f''(\xi)=0,$ где $\xi\in \bigl(x^{(k)}-\delta,\,x^{(k)}+\delta\bigr)$ ( $\delta>0$ — малая величина). Из данного соотношения выражаем $x_{\ast}\colon$ $x_{\ast}=x^{(k)}-\frac{f(x^{(k)})}{f'(x^{(k)})}-\frac{(x_{\ast}-x^{(k)})^2}{2f'(x^{(k)})}\,f''(\xi).$ Но первые два слагаемых в правой части в соответствии с (3.14) равны $x^{(k+1)}$ . Тогда будем иметь $x_{\ast}-x^{(k)}=-\frac{(x_{\ast}-x^{(k)})^2}{2f'(x^{(k)})}\,f''(\xi).$ Из последнего соотношения следует оценка погрешности (k+1)-го приближения через погрешность k-го приближения: $\bigl\|x_{\ast}-x^{(k+1)}\bigr\|\leqslant \frac{M_2}{2m_1} \bigl\|x_{\ast}-x^{(k)}\bigr\|^2,$ (3.18) где принято $M_2=\max\limits_{\omega}\|f''(x)\|,~ m_1=\min\limits_{\omega}\|f'(x)\|$ . Оценка (3.18) свидетельствует о квадратичной сходимости метода касательных вблизи корня. С вычислительной точки зрения это означает, что на каждом приближении количество верных цифр результата удваивается. 2. Для нахождения комплексных корней уравнения $f(z)=0$ можно также использовать (3.14) в форме (где $z=x+iy$ — комплексная переменная) $z^{(k+1)}=z^{(k)}-\frac{f(z^{(k)})}{f'(z^{(k)})},\quad k=0,1,2,\ldots$ Метод Ньютона может применяться не только для нахождения простых корней, но для определения кратных корней, т.е. когда на отрезке $[a,b]$ содержащем корень, не выполняется условие $f(a)\cdot f(b)<0$ (условие 2 теоремы 3.11). Наряду с теоремой 3.11 удобно также пользоваться следующей теоремой. Достаточные условия сходимости метода Ньютона Теорема 3.12 (достаточные условия сходимости метода Ньютона). Пусть: а) дана функция $f(x)\colon D\to \mathbb{R}$ , где $D$ — открытый интервал, и $f'(x)\in \operatorname{Lip}_{\gamma}(D)$ ; б) для некоторого $\rho>0$ выполняется условие $\|f'(x)\|\leqslant\rho$ при всех $x$ из $D$ . Если уравнение $f(x)=0$ имеет решение $x_{\ast}\in D$ , то существует некоторое $\eta>0$ , такое, что если $\|x^{(0)}-x_{\ast}\|<\eta$ , то последовательность $\bigl\{x^{(0)},x^{(1)},x^{(2)},\ldots\bigr\}$ , задаваемая формулой (3.14), существует и сходится к $x_{\ast}$ . Более того, справедлива оценка $\bigl\|x^{(k+1)}-x_{\ast}\bigr\| \leqslant \frac{\gamma}{2\rho} \bigl\|x^{(k)}-x_{\ast}\bigr\|^2,\quad k=0,1,2,\ldots$ Здесь обозначение $f'(x)\in \operatorname{Lip}_{\gamma}(D)$ означает, что функция $f'(x)$ непрерывна по Липшицу с константой $\gamma$ на множестве $D$ , то есть $\|f'(x)-f'(y)\| \leqslant \gamma \cdot\|x-y\|$ для любых $x,\,y$ из $D$ . Замечания 1. Требование теоремы 3.12, чтобы производная $f'(x)$ имела ненулевую нижнюю границу в $D$ , определяет, что значение $f'(x_{\ast})$ должно быть ненулевым для квадратичной сходимости метода Ньютона. Если же $f'(x_{\ast})=0$ , то $x_{\ast}$ является кратным корнем, а метод Ньютона сходится лишь линейно. 2. Выполнение условий теоремы 3.12 гарантирует сходимость метода Ньютона только из "хорошего" начального приближения $x^{(0)}$ . 3. Метод Ньютона является локально сходящимся, так как он сходится с определенной скоростью к истинному решению при условии, что стартует в достаточной близости от этого решения. Методика решения задачи 1. Задать начальное приближение $x^{(0)}$ так, чтобы выполнялось неравенство $f(x^{(0)})\cdot f''(x^{(0)})>0$ , а также малое положительное число $\varepsilon$ . Положить $k=0$ . 2. Вычислить $x^{(k+1)}$ по формуле $x^{(k+1)}= x^{(k)}-\frac{f(x^{(k)})}{f'(x^{(k)})}$ . 3. Если

Численные методы решения нелинейных уравнений

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Численные методы решения нелинейных уравнений

Корни нелинейных уравнений

Пусть дано нелинейное уравнение

$f(x)=0,\qquad \mathsf{(3.1)}$

где $f(x)$ — функция, определенная и непрерывная на некотором промежутке. В некоторых случаях на функцию $f(x)$ могут быть наложены дополнительные ограничения, например, непрерывность первой и второй производных, что специально оговаривается. Функция $f(x)$ может быть задана в виде алгебраического многочлена или трансцендентной функции (тогда ей соответствует алгебраическое или трансцендентное уравнение).

Требуется найти корни нелинейного уравнения (3.1), т.е. числа $x_{\ast1},x_{\ast2},\ldots$ которые путем подстановки их в (3.1) превращают уравнение в верное числовое равенство. Числа $x_{\ast1},x_{\ast2},\ldots$ называются также нулями функции $f(x)$ .

На практике часто бывает выгодно уравнение (3.1) заменить равносильным ему уравнением (уравнения равносильны, если имеют одинаковые корни):

$f_1(x)-f_2(x)=0,$

(3.2)

где функции $f_1(x),\,f_2(x)$ — более простые, чем функция $f(x)$ . Тогда при задании уравнения в виде (3.1) нулями функции $f(x)$ являются точки пересечения $f(x)$ с осью $Ox$ (рис. 3.1,д), а при задании в виде (3.2) — абсциссы точек пересечения функций $f_1(x)$ и $f_2(x)$ (рис. 3.1,б).

Точки пересечения функции с осью абсцисс

Замечания

1. Если $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0=P_n(x)$ — алгебраический многочлен, то уравнение (3.1) называется также алгебраическим n-й степени:

$P_n(x)\equiv a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0=0,$

(3.3)

где $a_n,\ldots,a_0$ — действительные числа, коэффициенты уравнения.

2. На практике встречаются задачи нахождения корней уравнения $f(x_i)=0$ , левая часть которого задана сеточной функцией $y_i=f(x_i),~i=1,2,\ldots,N$ (рис. 3.2).

Число $x_{\ast}$ есть корень уравнения (3.1) кратности $k$ , если при $x=x_{\ast}$ вместе с функцией $f(x)$ обращаются в нуль ее производные до (k-1)-го порядка включительно, т.е. $f(x_{\ast})= f'(x_{\ast})= \ldots= f^{(k-1)}(x_{\ast})=0$ , а $f^{(k)}(x_{\ast})\ne0$ . Корень кратности к = 1 называется простым. На рис 3.1,с простыми корнями являются $x_{\ast1},x_{\ast2},x_{\ast3}$ , a корни $x_{\ast4},x_{\ast5}$ — кратные.

В соответствии с классическим результатом Галуа алгебраическое уравнение (3.1) при $n\geqslant5$ не имеет решения в замкнутом (формульном) виде. Сеточные уравнения вообще не имеют формульных решений. Поэтому корни алгебраических $(n>2)$ , трансцендентных и сеточных уравнений, как правило, определяются приближенно с заданной точностью.

Решение осуществляется в два этапа:

Первый этап. Находятся отрезки $[a_i,b_i]$ , внутри каждого из которых содержится один простой или кратный корень $(x_{\ast i}\in[a_i,b_i])$ (см. рис. 3.1). Этот этап называется процедурой отделения корней. По сути на нем осуществляется грубое нахождение корней $x_{\ast i}$ .

Второй этап. Грубое значение каждого корня $x_{\ast i}$ уточняется до заданной точности одним из численных методов, в которых реализуются последовательные приближения. Порядок (скорость) сходимости метода определяется так же, как в методе простых итераций.

Отделение корней уравнения

Для отделения действительных корней полезно определять заранее число корней, а также верхнюю и нижнюю границы их расположения. Для этого используется ряд теорем.

Теорема 3.1 (о числе корней алгебраического уравнения (3.3)). Алгебраическое уравнение (3.3) n-й степени имеет ровно $n$ корней, действительных или комплексных, при условии, что каждый корень считается столько раз, какова его кратность.

Теорема 3.2 (о свойстве парной сопряженности комплексных корней уравнения (3.3)). Если $x_{\ast i}=\alpha+\beta i$ — корень алгебраического уравнения (3.3) кратности $k$ , то число $\overline{x_{\ast i}}=\alpha-\beta i$ также является корнем той же кратности.

Следствие. Алгебраическое уравнение нечетной степени имеет по крайней мере один действительный корень.

Теорема 3.3 (об оценке модулей корней уравнения (3.3)). Пусть

$A=\max \bigl\{|a_{n-1}|,\ldots,|a_0|\bigr\},\qquad B=\max \bigl\{|a_n|,|a_{n-1}|,\ldots, |a_1|\bigr\},$

где $a_k,~k=\overline{0,n}$ — коэффициенты уравнения $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots+ a_{1}x+a_0=0$ . Тогда модули всех корней $x_{\ast i}~(i=1,2,\ldots,n)$ уравнения удовлетворяют неравенству

$\frac{1}{1+\dfrac{B}{|a_0|}}<|x_{\ast i}| \leqslant 1+\frac{A}{|a_n|},\quad i=1,2,\ldots,n,$

(3.4)

т.е. корни уравнения расположены в кольце.

Следствие. Числа $r=\frac{1}{1+\dfrac{B}{|a_0|}}$ и $R=1+ \frac{A}{|a_n|}$ являются соответственно нижней и верхней границами положительных корней алгебраического уравнения: $r<x_{\ast i}^{+}<R$ . Аналогично числа $-R$ и $-r$ служат нижней и верхней границами отрицательных корней уравнения: $-R<x_{\ast i}^{-}<-r$ .

Приведем полезные теоремы, используемые для более точного установления границ действительных корней алгебраических уравнений.

Теорема 3.4 (теорема Лагранжа о верхней границе положительных корней уравнения (3.3)). Пусть $a_n>0$ и $a_i$ — первый отрицательный коэффициент в последовательности $a_n,a_{n-1},a_{n-2},\ldots,a_1,a_0;~C$ — наибольшая из абсолютных величин отрицательных коэффициентов. Тогда за верхнюю границу положительных корней уравнения (3.3) может быть принято число

$R=1+\sqrt[\LARGE{n-i}]{\frac{C}{a_n}}\,.$

(3.5)

Теорема 3.5 (о нижних и верхних границах положительных и отрицательных корней алгебраического уравнения). Пусть $R$ — верхняя граница положительных корней уравнения $P_n(x)=0$ ,

$R_1$ — верхняя граница положительных корней уравнения $P^1(x)= x^nP_n\! \left(\frac{1}{x}\right)=0$ ,
$R_2$ — верхняя граница положительных корней уравнения $P^2(x)= P_n(-x)=0$ ,
$R_3$ — верхняя граница положительных корней уравнения $P^3(x)= x^nP_n\! \left(-\frac{1}{x}\right)=0$ .

Тогда положительные корни $x_{\ast i}^{+}$ и отрицательные корни $x_{\ast i}^{-}$ уравнения (3.3) удовлетворяют неравенствам

$\frac{1}{R_1}\leqslant x_{\ast i}^{+}\leqslant R,\qquad-R_2 \leqslant x_{\ast i}^{-}\leqslant-\frac{1}{R_3}\,.$

(3.6)

Теорема 3.6 (теорема Декарта о количестве действительных корней алгебраических уравнений). Число $S_1$ положительных корней (с учетом их кратностей) алгебраического уравнения $P_n(x)=0$ равно числу перемен знаков в последовательности коэффициентов $a_n,a_{n-1},\ldots,a_0$ (коэффициенты, равные нулю, не учитываются) многочлена $P_n(x)$ или меньше этого числа на четное число. Число $S_2$ отрицательных корней (с учетом их кратностей) алгебраического уравнения $P_n(x)=0$ равно числу перемен знаков в последовательности $a_n,a_{n-1},\ldots,a_0$ многочлена $P_n(-x)$ или меньше этого числа на четное число.

Теорема 3.7 (теорема Гюа о необходимом условии действительности всех корней алгебраического уравнения). Если алгебраическое уравнение (3.3) имеет все действительные корни, то квадрат каждого некрайнего коэффициента больше произведения двух его соседних коэффициентов.

Следствие. Если при каком-нибудь $k$ выполнено неравенство $a_k^2 \leqslant a_{k-1}a_{k+1}$ , то уравнение (3.3) имеет по крайней мере одну пару комплексных корней.

Для отделения корней применяется следующая теорема.

Теорема 3.8. Если функция $f(x)$ , определяющая уравнение $f(x)=0$ , на концах отрезка $[a_i,b_i]$ принимает значения разных знаков, т.е. $f(a_i)\cdot f(b_i)<0$ , то на этом отрезке содержится по крайней мере один корень уравнения. Если же $f(x)$ непрерывна и дифференцируема и ее первая производная сохраняет знак внутри отрезка $[a_i,b_i]$ $\Bigl(\mathop{\operatorname{sign}}\limits_{x\in[a_i,b_i]} f'(x)=\text{const}\Bigr)$ , то на $[a_i,b_i]$ находится только один корень уравнения.

Способы отделения корней

В вычислительной практике обычно используются следующие способы отделения корней:

1) средствами машинной графики: функция $f(x)$ представляется на дисплее и приближенно определяются отрезки, которым принадлежат точки $x_{\ast i}$ ;

2) средствами математического анализа с помощью исследования функций и построения графиков (см. рис. 3.1,д);

3) формированием простых функций $f_1(x)$ и $f_2(x)$ таких, что получается равносильное уравнение в виде (3.2), и дальнейшим построением графиков этих функций (см. рис. 3.1,б).

▼ Примеры 3.1-3.3

Пример 3.1. Определить число положительных и отрицательных корней, а также их границы для уравнения

$P_5(x)= x^5+2x^4-5x^3+8x^2-7x-3=0.$

Решение

В данной задаче $n=5,~ a_5=1,~ a_4=2,~ a_3=-5,~ a_2=8,~ a_1=-7,~ a_0=-3$ . Согласно теореме 3.1 уравнение имеет пять корней. Поскольку $n=5$ , то по следствию из теоремы 3.2 уравнение имеет по крайней мере один действительный корень.

Оценим модули корней по теореме 3.3. Так как

$A=\max \bigl\{|2|,|-5|,|8|,|-7|,|-3|\bigr\}=8,\qquad B=\max \bigl\{|1|,|2|,|-5|, |8|,|-7|\bigr\}=8,$

то $\frac{1}{1+\frac{8}{|-3|}}<|x_{\ast i}|<1+\frac{8}{|1|}$ или $\frac{3}{11}<|x_{\ast i}|<9$ , т.е. все корни лежат внутри данного кольца. По следствию из теоремы 3.3 это означает, что положительные корни удовлетворяют неравенству $\frac{3}{11}<x_{\ast i}^{+}<9$ , а отрицательные — неравенству $-9<x_{\ast i}^{-}<-\frac{3}{11}$ .

Применим теоремы 3.4 и 3.5 для уточнения приведенных результатов. Найдем верхнюю границу положительных корней. Так как $a_3=-5$ — первый отрицательный коэффициент в последовательности $1,2,-5,8,-7,-3$ , то $i=3$ , а $C=\max \bigl\{|-5|,|-7|,|-3|\bigr\}=7$ — наибольшая из абсолютных величин отрицательных коэффициентов. Следовательно, $R=1+\sqrt[\LARGE{(5-3)}]{\frac{7}{1}}= 1+\sqrt{7}\cong3,\!646$ .

Найдем нижнюю границу положительных корней. Составим уравнение:

$\begin{aligned}P^{1}(x)&= x^nP_n\! \left(\frac{1}{x}\right)= x^5P_5\!\left(\frac{1}{x} \right)= x^5\! \left(\frac{1}{x^5}+ \frac{2}{x^4}-\frac{5}{x^3}+\frac{8}{x^2}-\frac{7}{x}-3\right)=\\ &=-3x^5-7x^4+8x^3-5x^2+2x+1=0.\end{aligned}$

или $3x^5+7x^4-8x^3+5x^2-2x-1=0$ (старший коэффициент должен быть положительным). Для этого уравнения $i=3,~ C=\max \bigl\{|-8|,|-2|,|-1|\bigr\}=8$ , поэтому $R_1=1+\sqrt[\LARGE{(5-3)}]{\frac{8}{3}}=1+\sqrt{\frac{8}{3}}\cong2,\!632$ . Отсюда $\frac{1}{R_1}=0,\!38 \leqslant x_{\ast i}^{+}\leqslant R=3,\!646$ .

Уточним границы отрицательных корней. Составим уравнение:

$P^2(x)=P_5(-x)=$ или $x^5-2x^4-5x^3-8x^2-7x+3=0$ .

Для этого уравнения $i=4,~ C=\max\bigl\{|-2|,|-5|,|-8|,|-7|\bigr\}=8$ , поэтому $R_2=1+ \sqrt[\LARGE{5-4}]{\frac{8}{1}}=9$ . Составим уравнение

$\begin{aligned}P^3(x)&= x^nP_n\! \left(-\frac{1}{x}\right)= x^5P_5\! \left(-\frac{1}{x}\right)= x^5\! \left(-\frac{1}{x^5}+\frac{2}{x^4}+\frac{5}{x^3}+\frac{8}{x^2}+\frac{7}{x}-3\right)=\\ &=-3x^5+7x^4+8x^3+2x-1=0.\end{aligned}$

или $3x^5-7x^4-8x^3-5x^2-2x+1=0$ . Для этого уравнения $i=4,~ C=\max \bigl\{|-7|,|-8|,|-5|,|-2|\bigr\}=8$ , поэтому $R_3=1+\sqrt[\LARGE{5-4}]{\frac{8}{3}}=1+ \frac{8}{3}\cong3,\!666$ . Отсюда находим: $-R_2=-9 \leqslant x_{\ast i}^{-}\leqslant-\frac{1}{R_3}=-0,\!272$ . Заметим, что данный результат совпадает с полученным ранее.

Исследуем структуру корней уравнения. Так как квадрат каждого некрайнего коэффициента больше произведения двух его соседних коэффициентов, то по теореме 3.7 необходимое условие действительности всех корней уравнения выполняется.

На основе теоремы 3.6 определим число положительных и отрицательных корней. Выписываем коэффициенты многочлена $P_n(x)=P_5(x)\colon\, 1,\,2,-5,\,8,-7,-3$ . Так как число перемен знака $S_1=3$ , то число положительных корней равно трем или меньше на четное число, т.е. равно 1. Далее выписываем коэффициенты многочлена $P_5(-x)\colon\, -1,\,2,\,5,\,8,\,7,-3$ . Так как число перемен знаков $S_2=2$ , то число отрицательных корней равно двум или меньше на четное число, т.е. их вообще нет.

Пример 3.2. Отделить корни кубического уравнения $x^3-x+1=0$ .

Решение

Точка пересечения кубической параболы и прямой

Согласно теореме 3.1 уравнение имеет три корня, среди которых по крайней мере один действительный (следствие из теоремы 3.2, поскольку это уравнение нечетной степени).

Оценим модули корней уравнения по теореме 3.3. Так как

$A=\max \bigl\{|0|,|-1|,|1|\bigr\}=1,\quad B=\max \bigl\{|1|,|0|,|-1|\bigr\}=1$ , то $\frac{1}{1+\dfrac{1}{|1|}}<|x_{\ast i}|<1+\frac{1}{|1|}$ или $\frac{1}{2}<|x_{\ast i}|<2$ .

Отсюда $\frac{1}{2}<x_{\ast i}^{+}<2$ и $-2<x_{\ast i}^{+}<-\frac{1}{2}$ .

Определим число положительных и отрицательных корней. Выписываем коэффициенты многочлена $P_3(x)\colon\, 1,\,0,-1,\,1$ . Так как число перемен знака $S_1=2$ (нулевой коэффициент не учитывается), то число положительных корней равно двум или меньше на четное число, т.е. они отсутствуют. Далее выписываем коэффициенты многочлена $P_3(-x)=-x^3+x+1\colon\, -1,\,0,\,1,\,1$ . Так как число перемен знака $S_2=1$ (нулевой коэффициент не учитывается), то число отрицательных корней равно единице.

Отделим корни третьим способом. Для этого преобразуем уравнение к равносильному виду (3.2): $x^3=x-1$ и найдем точки пересечения фафиков $y=x^3$ и $y=x-1$ (рис. 3.3).

Очевидно, корень уравнения $x_{\ast}\in[-2;-1]$ .

Пример 3.3. Отделить корни уравнения третьего порядка $x^3-x^2-9x+9=0$ .

Решение

Точки пересечения кубической и квадратичной парабол

Согласно теореме 3.1 уравнение имеет три корня, среди которых по крайней мере один действительный (по следствию из теоремы 3.2). Оценим модули корней уравнения по теореме 3.3.

Так как $A=\max \bigl\{|-1|,|-9|,|9|\bigr\}=9,~ B=\max \bigl\{|1|,|-1|,|-9|\bigr\}=9$ , то

$\frac{1}{1+\frac{9}{|9|}}<|x_{\ast i}|<1+\frac{9}{|1|}$ или $\frac{1}{2}<|x_{\ast i}|<10$ . Отсюда $\frac{1}{2}<x_{\ast i}^{+}<10$ и $-10<x_{\ast i}^{-}<-\frac{1}{2}\,.$

Определим число положительных и отрицательных корней. Выписываем коэффициенты многочлена $P_3(x)\colon\,1,-1,-9,\,9$ . Так как число перемен знака $S_1=2$ , то уравнение имеет два положительных корня или ни одного. Далее выписываем коэффициенты многочлена $P_3(-x)=-x^3-x^2+9x+9\colon\,-1,-1,\,9,\,9$ . Так как число перемен знака $S_2=1$ , то имеется один отрицательный корень.

Отделим корни третьим способом. С этой целью преобразуем уравнение к равносильному виду: $x^3=x^2+9x-9$ . Найдем абсциссы точек пересечения фафиков $y=x^3$ и $y=x^2+9x-9$ (см. рис. 3.4 указаны два из трех полученных промежутков).

Результат отделения корней — три промежутка $[0,5; 2],\,[2; 4],\,[-4;-2]$ . Заметим, что отрезки могуг быть сужены, например, вместо отрезка $[2,4]$ можно принять $[2,\!5; 4]$ .

Процедура уточнения положения корня функции

Метод половинного деления

Пусть дано уравнение $f(x)=0$ и отделен простой корень $x_{\ast}$ , т.е. найден такой отрезок $[a_0,b_0]$ , что $x_{\ast}\in[a_0,b_0]$ и на концах отрезка функция имеет значения, противоположные по знаку $(f(a_0)\cdot f(b_0)<0)$ . Отрезок $[a_0,b_0]$ называется начальным интервалом неопределенности, потому что известно, что корень ему принадлежит, но его местоположение с требуемой точностью не определено.

Процедура уточнения положения корня заключается в построении последовательности вложенных друг в друга отрезков, каждый из которых содержит корень уравнения. Для этого находится середина текущего интервала неопределенности $c_k=\frac{a_k+b_k}{2},~ k=0,1,2,\ldots$ , и в качестве следующего интервала неопределенности из двух возможных выбирается тот, на концах которого функция $f(x)$ имеет разные знаки (рис. 3.5).

Процесс завершается, когда длина текущего интервала неопределенности становится меньше заданной величины $\varepsilon$ , задающей точность нахождения корня. В качестве приближенного значения корня берется середина последнего интервала неопределенности.

Алгоритм метода половинного деления

1. Найти начальный интервал неопределенности $L_0=[a_0,b_0]$ одним из методов отделения корней, задать малое положительное число $\varepsilon$ . Положить $k=0$ .

2. Найти середину текущего интервала неопределенности: $c_k=\frac{a_k+b_k}{2}$ .

3. Если $f(a_k)\cdot f(c_k)<0$ , то положить $a_{k+1}=a_k,~ b_{k+1}= c_k$ , а если $f(c_k)\cdot f(b_k)<0$ , то принять $a_{k+1}=c_k,~ b_{k+1}= b_k$ . В результате находится текущий интервал неопределенности $L_{k+1}= [a_{k+1},b_{k+1}]$ .

4. Если $b_{k+1}-a_{k+1}\leqslant \varepsilon$ , то процесс завершить: $x_{\ast}\in L_{k+1}= [a_{k+1},b_{k+1}]$ . Приближенное значение корня можно найти по формуле $x_{\ast}\cong \frac{a_{k+1}+b_{k+1}}{2}$ .

Если $b_{k+1}-a_{k+1}>\varepsilon$ , положить $k=k+1$ и перейти к п.2.

Замечания

1. Метод имеет линейную, но безусловную сходимость, и его погрешность за каждую итерацию уменьшается в два раза:

$|b_1-a_1|=\frac{|b_0-a_0|}{2};\quad |b_2-a_2|= \frac{|b_1-a_1|}{2}= \frac{|b_0-a_0|}{2^2},\quad \ldots,\quad |b_k-a_k|= |b_0-a_0|\cdot2^{-k}.$

Из последнего соотношения можно оценить число итераций $k$ для достижения заданной точности $\varepsilon\colon$

$|b_0-a_0|\cdot2^{-k} \leqslant \varepsilon;\qquad k \geqslant \log_{2}\frac{|b_0-a_0|}{\varepsilon}\,.$

Отсюда видно, что, например, для достижения точности $\varepsilon\approx10^{-3}$ при $(b_0-a_0)\cong1$ необходимо выполнить примерно десять итераций.

2. К достоинствам метода следует отнести то, что он позволяет найти простой корень уравнения $x_{\ast}\in[a_0,b_0]$ любых непрерывных функций $f(x)$ при любых значениях $a_0,\,b_0$ таких, что $f(a_0)\cdot f(b_0)<0$ . Недостатки метода — он не обобщается на системы нелинейных уравнений и не может использоваться для нахождения корней четной кратности.

▼ Примеры 3.4-3.6

Пример 3.4. Найти корень уравнения $x^3-x+1=0$ методом половинного деления с точностью $\varepsilon_1=0,\!01$ и $\varepsilon_2=0,\!0005$ .

Решение

В примере 3.2 корень уравнения был отделен: $x_{\ast}\in[-2;-1]$ , поэтому $a_0=-2,~ b_0=-1$ .

Очевидно, функция непрерывна на отрезке $[-2;-1]$ , имеет единственный простой корень (см. рис. 3.3). На концах отрезка функция имеет значения $f(-2)=-5,~ f(-1)=1$ , противоположные по знаку. Результаты расчетов приведены в табл. 3.1.

$\begin{aligned} \mathit{Table~3.1}~&\\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \begin{matrix}{}\\[-2pt]{}\end{matrix} k& f(a_k)& a_k& b_k& f(b_k)& c_k=\dfrac{a_k+b_k}{2}& f(c_k)& b_k-a_k\\\hline 0& -5& -2& -1& 1& -1,\!5& -0,\!875& 1\\\hline 1& -0,\!875& -1,\!5& -1& 1& -1,\!25& 0,\!2965& 0,\!5\\\hline 2& -0,\!875& -1,\!5& -1,\!25& 0,\!2965& -1,\!375& -0,\!224& 0,\!25\\\hline 3& -0,\!224& -1,\!375& -1,\!25& 0,\!2965& -1,\!3125& 0,\!05& 0,\!125\\\hline 4& -0,\!224& -1,\!375& -1,\!3125& 0,\!05& -1,\!34375& -0,\!08& 0,\!0625\\\hline 5& -0,\!08& -1,\!34375& -1,\!3125& 0,\!05& -1,\!3282& -0,\!015& 0,\!03125\\\hline 6& -0,\!015& -1,\!3282& -1,\!3125& 0,\!05& -1,\!3204& 0,\!018& 0,\!0156\\\hline 7& -0,\!015& -1,\!3282& -1,\!3204& 0,\!018& -1,\!3243& 0,\!0018& 0,\!00781\\\hline 8& -0,\!015& -1,\!3282& -1,\!3243& 0,\!0018& -1,\!3263& -0,\!007& 0,\!0039\\\hline 9& -0,\!007& -1,\!3263& -1,\!3243& 0,\!0018& -1,\!3253& -0,\!0025& 0,\!002\\\hline 10& -0,\!0025& -1,\!3253& -1,\!3243& 0,\!0018& -1,\!3248& -0,\!0003& 0,\!001\\\hline 11& -0,\!0003& -1,\!3248& -1,\!3243& 0,\!0018& -& -& 0,\!0005\\\hline \end{array}& \end{aligned}$

Если $\varepsilon_1=0,\!01$ , корень $x_{\ast}\in[-1,\!3282;-1,\!3204]$ , а если $\varepsilon_=0,\!0005$ — корень $x_{\ast}\in[-1,\!3248;-1,\!3243]$ или $x_{\ast}\cong \frac{-1,\!3282-1,\!3204}{2}=$ при $\varepsilon_1=0,\!01$ и $x_{\ast}\cong \frac{-1,\!3248-1,\!3243}{2}=-1,\!3245$ при $\varepsilon_2=0,\!0005$ .

Пример 3.5. Найти корень уравнения $x^3-x^2-9x+9=0$ методом половинного деления с точностью $\varepsilon=0,\!001$ .

Решение

В примере 3.3 были отделены корни уравнения. Уточним корень, лежащий на отрезке $[2,\!5;4]$ . Результаты расчетов поместим в табл. 3.2.

$\begin{aligned} \mathit{Table~3.2}~&\\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \begin{matrix}{}\\[-2pt]{}\end{matrix} k& f(a_k)& a_k& b_k& f(b_k)& c_k=\dfrac{a_k+b_k}{2}& f(c_k)& b_k-a_k\\\hline 0& -4,\!125& 2,\!5& 4& 21& 3,\!25& 3,\!5156& 1,\!5\\\hline 1& -4,\!125& 2,\!5& 3,\!25& 3,\!5156& 2,\!875& -1,\!3769& 0,\!75\\\hline 2& -1,\!3769& 2,\!875& 3,\!25& 3,\!5156& 3,\!0625& 0,\!78149& 0,\!375\\\hline 3& -1,\!3769& 2,\!875& 3,\!0625& 0,\!7815& 2,\!96875& -0,\!3672& 0,\!1875\\\hline 4& -0,\!3672& 2,\!9687& 3,\!0625& 0,\!7815& 3,\!01562& 0,\!18945& 0,\!09375\\\hline 5& -0,\!3672& 2,\!9687& 3,\!0156& 0,\!1894& 2,\!99218& -0,\!0933& 0,\!04687\\\hline 6& -0,\!0933& 2,\!9921& 3,\!0156& 0,\!1894& 3,\!0039& 0,\!0469& 0,\!02344\\\hline 7& -0,\!0933& 2,\!9921& 3,\!0039& 0,\!0469& 2,\!99804& -0,\!02349& 0,\!01172\\\hline 8& -0,\!02349& 2,\!99804& 3,\!0039& 0,\!0469& 3,\!00097& 0,\!011647& 0,\!00586\\\hline \end{array}& \end{aligned}$

В результате найден интервал $[2,\!99804;3,\!0039]$ и приближенное значение корня $x_{\ast}\cong3,\!00097$ .

Пример 3.6. Отделить корни трансцендентного уравнения $x^2-e^{-x}=0$ и найти один из корней с точностью $\varepsilon=0,\!01$ .

Решение

1. Можно отделить корни уравнения, преобразовав его к равносильному виду $x^2=e^{-x}$ и определив абсциссу точек пересечения графиков функций $y=f_1(x)=x^2$ и $y=f_2(x)=e^{-x}\colon\, x_{\ast}\in[0,\!5;1]$ . При этом $f(0,\!5)\cdot f(1)<0$ .

2. Уточним корень. Результаты расчетов приведем в табл. 3.3.

$\begin{aligned} \mathit{Table~3.3}~&\\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \begin{matrix}{}\\[-2pt]{}\end{matrix} k& f(a_k)& a_k& b_k& f(b_k)& c_k=\dfrac{a_k+b_k}{2}& f(c_k)& b_k-a_k\\\hline 0& -0,\!3565& 0,\!5& 1& 0,\!6321& 0,\!75& 0,\!09013& 0,\!5\\\hline 1& -0,\!3565& 0,\!5& 0,\!75& 0,\!09013& 0,\!625& -0,\!1446& 0,\!251\\\hline 2& -0,\!1446& 0,\!625& 0,\!75& 0,\!09013& 0,\!6875& -0,\!0301& 0,\!125\\\hline 3& -0,\!0301& 0,\!6875& 0,\!75& 0,\!09013& 0,\!7187& 0,\!0292& 0,\!0625\\\hline 4& -0,\!0301& 0,\!6875& 0,\!7187& 0,\!0292& 0,\!7031& -0,\!00069& 0,\!0312\\\hline 5& -0,\!00069& 0,\!7031& 0,\!7187& 0,\!0292& 0,\!7109& 0,\!0142& 0,\!0156\\\hline 6& -0,\!00069& 0,\!7031& 0,\!7109& 0,\!0142& 0,\!707& 0,\!0067& 0,\!0078\\\hline \end{array}& \end{aligned}$

Вычисления показывают, что $b_6-a_6=0,\!7109-0,\!7031=0,\!0078< \varepsilon= 0,\!01$ .

Поэтому $x_{\ast}\cong \frac{0,\!7109+0,\!7031}{2}= c_6=0,\!707$ .

Геометрическая интерпретация метода хорд

Метод хорд

Этот метод при тех же предположениях обеспечивает более быстрое нахождение корня, чем метод половинного деления. Для этого отрезок $[a,b]$ делится не пополам, а в отношении $|f(a)|\,\colon|f(b)|$ .

Геометрически метод хорд эквивалентен замене кривой $y=f(x)$ хордой, проходящей через точки $(a,f(a))$ и $(b,f(b))$ (рис. 3.6).

Уравнение хорды $AB$ имеет вид $\frac{x-a}{b-a}= \frac{y-f(a)}{f(b)-f(a)}$ . Полагая $x=x^{(1)}$ и $y=0$ , получаем

$x^{(1)}= a-\frac{f(a)}{f(b)-f(a)}\cdot(b-a).$

Предположим, что вторая производная $f''(x)$ сохраняет постоянный знак, и рассмотрим два случая: $f(a)>0,~ f''(a)>0$ (рис. 3.7,д) и $f(a)<0,~ f''(x)>0$ (рис. 3.7,б). Случай $f''(x)<0$ сводится к рассматриваемому, если уравнение записать в форме: $-f(x)=0$ . Первому случаю (см. рис. 3.7,д) соответствует формула (3.7), а второму случаю (3.8) (см. рис. 3.7,б):

$\begin{aligned}&x^{(0)}=b,\\ &x^{(k+1)}=x^{(k)}-\frac{f(x^{(k)})}{f(x^{(k)})-f(a)} \bigl(x^{(k)}-a\bigr),\quad k=0,1,2,\ldots\end{aligned}$

(3.7)

$\begin{aligned}&x^{(0)}=a,\\ &x^{(k+1)}=x^{(k)}-\frac{f(x^{(k)})}{f(b)-f(x^{(k)})}\bigl(b-x^{(k)}\bigr),\quad k=0,1,2,\ldots \end{aligned}$

(3.8)

В первом случае остается неподвижным конец $a$ , а во втором случае конец $b$ .

Замечание. Для выявления неподвижного конца используется условие $f''(x)\cdot f(t)>0$ , где $t=a$ или $t=b$ . Если неподвижен конец $a$ , применяется формула (3.7), а если конец $b$ , — формула (3.8).

Пример 3.7. Найти корень уравнения $x^3-x+1=0$ методом хорд с точностью $\varepsilon=0,\!001$ .

Решение

Рассмотрим задачу нахождения корня на отрезке $[-2;-1]$ (см. пример 3.2). Так как $f(a)=f(-2)=-5,$ $f(b)=f(-1)=-1$ , a $f''(x)=3x^2-1>0$ на отрезке $[-2;-1]$ , то $f''(x)\cdot f(b)>0$ и, следовательно, имеем второй случай (см. рис. 3.7,б).

Положим $x^{(0)}=a=-2,~k=0$ . Тогда по формуле (3.8) получаем

$x^{(1)}= x^{(0)}-\frac{f(x^{(0)})}{f(b)-f(x^{(0)})}\bigl(b-x^{(0)}\bigr)=-2-\frac{-5}{1-(-5)}\cdot(-1-(-2))=-1,\!1666.$

Так как $\Delta_1=|x^{(1)}-x^{(0)}|=0,\!8334>\varepsilon$ , то положим $k=1$ и продолжим процесс:

$x^{(2)}= x^{(1)}-\frac{f(x^{(1)})}{f(b)-f(x^{(1)})}\bigl(b-x^{(1)}\bigr)=-1,\!1666-\frac{-0,\!5786}{1-0,\!5786}\cdot \bigl(-1-(-1,\!1666)\bigr)=-1,\!3953.$

Так как $\Delta_2=|x^{(2)}-x^{(1)}|=0,\!2287>\varepsilon$ , то положим $k=2$ и продолжим процесс:

$x^{(3)}= x^{(2)}-\frac{f(x^{(2)})}{f(b)-f(x^{(2)})}\bigl(b-x^{(2)}\bigr)=-1,\!3953-\frac{-0,\!3214}{1+0,\!3214}\cdot \bigl(-1-(-1,\!3953)\bigr)=-1,\!2991.$

Поскольку $\Delta_3=|x^{(3)}-x^{(2)}|=0,\!0962>\varepsilon$ , положим $k=3\colon$

$x^{(4)}= x^{(3)}-\frac{f(x^{(3)})}{f(b)-f(x^{(3)})}\bigl(b-x^{(3)}\bigr)=-1,\!2991-\frac{-0,\!1064}{1+0,\!1064}\cdot \bigl(-1-(-1,\!2991)\bigr)=-1,\!3347.$

Так как $\Delta_4=|x^{(4)}-x^{(3)}|=0,\!0356>\varepsilon$ , положим $k=4\colon$

$x^{(5)}= x^{(4)}-\frac{f(x^{(4)})}{f(b)-f(x^{(4)})}\bigl(b-x^{(4)}\bigr)=-1,\!3347-\frac{-0,\!043}{1+0,\!043}\cdot \bigl(-1-(-1,\!3347)\bigr)=-1,\!3209.$

Поскольку $\Delta_5=|x^{(5)}-x^{(4)}|=0,\!0138>\varepsilon$ , положим $k=5\colon$

$x^{(6)}= x^{(5)}-\frac{f(x^{(5)})}{f(b)-f(x^{(5)})}\bigl(b-x^{(5)}\bigr)=-1,\!3209-\frac{-0,\!0162}{1+0,\!0162}\cdot \bigl(-1-(-1,\!3209)\bigr)=-1,\!3261.$

Так как $\Delta_6=|x^{(6)}-x^{(5)}|=0,\!0052>\varepsilon$ , положим $k=6\colon$

$x^{(7)}= x^{(6)}-\frac{f(x^{(6)})}{f(b)-f(x^{(6)})}\bigl(b-x^{(6)}\bigr)=-1,\!3261-\frac{-0,\!0059}{1+0,\!0059}\cdot \bigl(-1-(-1,\!3261)\bigr)=-1,\!3241.$

Поскольку $\Delta_7=|x^{(7)}-x^{(6)}|=0,\!0020>\varepsilon$ , положим $k=7\colon$

$x^{(8)}= x^{(7)}-\frac{f(x^{(7)})}{f(b)-f(x^{(7)})}\bigl(b-x^{(7)}\bigr)=-1,\!3241-\frac{-0,\!00217}{1+0,\!00217}\cdot \bigl(-1-(-1,\!3241)\bigr)=-1,\!3248.$

Так как $\Delta_8=|x^{(8)}-x^{(7)}|=0,\!0007<\varepsilon=0,\!001$ , то корень уравнения $x_{\ast}\cong-1,\!3248$ . Из анализа поведения $\Delta_k$ следует, что сходимость метода хорд линейная, однако более быстрая, чем сходимость метода половинного деления.

Абсцисса точки пересечения прямой и кривой

Метод простых итераций

Пусть известно, что корень $x_{\ast}$ уравнения $f(x)=0$ лежит на отрезке $G=\{a\leqslant x\leqslant b\}$ .

Методика решения задачи

1. Уравнение $f(x)=0$ равносильным преобразованием привести к виду $x=\varphi(x)$ . Это преобразование может быть осуществлено различными путями, но для сходимости нужно обеспечить выполнение условия $|\varphi'(x)|\leqslant\chi<1$ ( $\chi$ — некоторая константа). При этом задача сводится к нахождению абсциссы точки пересечения прямой $y=x$ и кривой $y=\varphi(x)$ (рис. 3.8).

2. Задать начальное приближение $x^{(0)}\in[a,b]$ и малое положительное число $\varepsilon$ . Положить $k=0$ .

3. Вычислить следующее приближение:

$x^{(k+1)}= \varphi(x^{(k)}).$

(3.9)

4. Если $|x^{(k+1)}-x^{(k)}|\leqslant\varepsilon$ , итерации завершаются и $x_{\ast}\cong x^{(k+1)}$ . Если $|x^{(k+1)}-x^{(k)}|>\varepsilon$ , положить $k=k+1$ и перейти к п.3.

Замечание. В качестве условия завершения итераций при известном значении $\chi$ может быть использовано неравенство

$\bigl|x^{(k+1)}-x^{(k)}\bigr|\leqslant \frac{1-\chi}{\chi}\cdot \varepsilon.$

Проблемы сходимости и единственности численного решения, являющиеся главными при использовании этого метода, решаются и исследуются с помощью понятия о сжимающем отображении и теоремы о достаточном условии сходимости метода.

Отображение (функция) $\varphi(x)$ называется сжимающим в области $G$ с коэффициентом $\chi~(0\leqslant\chi<1)$ , если для любых двух $x',\,x''$ из $G$ выполнено неравенство

$\bigl|\varphi(x'')-\varphi(x')\bigr|\leqslant\chi\cdot\bigl|x''-x'\bigr|.$

(3.10)

Теорема 3.9 (о сходимости метода простых итераций и единственности получаемого численного решения)

Пусть выполнены условия:

1. Нелинейное уравнение $x=\varphi(x)$ имеет решение $x_{\ast}\in G$ .

2. Отображение $\varphi(x)$ является сжимающим в области $G$ с некоторым коэффициентом $\chi~(0\leqslant\chi<1)$ .

Тогда:

а) решение $x_{\ast}$ является единственным решением в области $G$ ;

б) последовательность $x^{(0)},x^{(1)},\ldots,x^{(k+1)},\ldots$ , определяемая по отображению на основе итерационного процесса, сходится к решению $x_{\ast}$ со скоростью геометрической прогрессии, т.е. при выборе $x^{(0)}$ из условия $|x_{\ast}-x^{(0)}|<R$ , где $R>0$ — некоторое малое число, справедливо неравенство

$\bigl|x_{\ast}-x^{(k)}\bigr| \leqslant \chi^k\cdot \bigl|x_{\ast}-x^{(0)}\bigr|,\quad k=0,1,2,\ldots$

Теорема 3.9 утверждает, что при выполнении условий 1,2 существует окрестность $G(x_{\ast},R)$ такая, что если взять $x^{(0)}$ в этой окрестности и вычислять $x^{(1)},x^{(2)},\ldots$ по формуле (3.9), то в результате с любой наперед заданной точностью можно вычислить $x^{(k+1)}\approx x_{\ast}$ , соответствующее искомому (единственному) корню. Но так как эта окрестность неизвестна, то можно взять произвольное $x^{(0)}\in G$ . Если при этом вычисляется последовательность $x^{(0)},x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x{(k)},\ldots$ , сходящаяся к некоторому значению $\widehat{x}$ , то в силу теоремы $\widehat{x}=x_{\ast}$ . Если сходимость отсутствует, то надо взять другое $x^{(0)}\in G$ и повторить расчет.

Теорема 3.10 (о достаточном условии сходимости метода простых итераций). Пусть выполнены условия:

1. Функция $\varphi(x)$ имеет производные для всех $x\in G$ .

2. Существует число $\chi\,(0 \leqslant\chi<1,~\chi=\text{const})$ , такое, что $|\varphi'(x)|\leqslant\chi$ для всех $x\in G$ .

Тогда отображение $\varphi(x)$ является сжимающим в $G$ с коэффициентом сжатия х и последовательность $x^{(0)},x^{(1)},\ldots,x^{(k+1)},\ldots$ , определяемая на основе итерационного процесса, сходится к решению $x_{\ast}$ , то есть $x^{(k)}\to x_{\ast}$ при $k\to\infty$ .

▼ Доказательство

В силу условия 1 справедлива теорема Лагранжа о конечных приращениях:

$\varphi(x'')-\varphi(x')\leqslant (x''-x')\varphi'(\delta)$ для $\forall x',x''\in G$ ,

где $\delta$ — точка, лежащая между $x'$ и $x''$ . Но тогда с учетом условия 2 и замены $\varphi'(\delta)$ ее мажорантой $\chi$ получим

$\bigl|\varphi(x'')-\varphi(x')\bigr|\leqslant \chi\cdot \bigl|x''-x'\bigr|,$

т.е. отображение $\varphi(x)$ — сжимающее, и, таким образом, последовательность $x^{(0)},x^{(1)},\ldots,x^{(k+1)},\ldots$ сходится к некоторому $\widehat{x}$ . Но тогда в силу непрерывности $\varphi(x)$ в $G$ имеет место равенство $\widehat{x}=x_{\ast}$ .

Геометрическая интерпретация процесса сходимости и расходимости в зависимости от выполнения или невыполнения достаточного условия сходимости представлена на рис. 3.9.

Сходимость итерационных последовательностей

Из рис. 3.9 видно, что при $0<\varphi'(x)<1$ и при $-1<\varphi'(x)<0$ (см.рис. 3.9,д,б) итерационные последовательности $x^{(0)},x^{(1)},x^{(2)},\ldots$ сходятся к $x_{\ast}$ . Причем в первом случае реализуется односторонняя (монотонная) сходимость, а во втором — двусторонняя (немонотонная). При $|\varphi'(x)|>1$ (см.рис. 3.9,в,г) процесс расходится несмотря на то, что точка $x^{(0)}$ очень близка к $x_{\ast}$ . Процессы на рис. 3.9,а,б соответствуют сжимающему отображению.

Преобразование уравнения $f(x)=0$ к равносильному виду $x=\varphi(x)$ может быть выполнено неоднозначно. Рассмотрим универсальные практические приемы равносильного преобразования $f(x)=0$ , дающие сжимающие отображения.

1. Можно заменить уравнение $f(x)=0$ на равносильное $x=x+cf(x)$ , где $c=\text{const}\ne0$ . Тогда, принимая правую часть этого уравнения за $\varphi(x)$ и раскрывая $|\varphi'(x)|= |1+cf'(x)|<1$ , получаем условие

$-2<c\cdot f'(x)<0.$

(3.11)

Таким образом, можно найти константу $c$ на отрезке $G=[a,b]$ так, чтобы удовлетворялись неравенства (3.11). При этом надо стремиться получить такую постоянную $c$ , которая бы больше отличалась от нуля, и тогда будет реализовы-ваться более быстрая сходимость.

Можно показать, что абсолютная погрешность метода оценивается по формуле (эта оценка выражается через два последовательных приближения)

$\bigl|x^{(k+1)}-x_{\ast}\bigr|\leqslant \frac{\chi}{1-\chi}\cdot \bigl|x^{(k+1)}-x^{(k)}\bigr|$

(3.12)

или по формуле (эта оценка выражается через два приближения $x^{(0)}$ и $x^{(1)}$ )

$\bigl|x^{(k+1)}-x_{\ast}\bigr|\leqslant \frac{\chi^{k+1}}{1-\chi}\cdot \bigl|x^{(1)}-x^{(0)}\bigr|.$

(3.13)

Из оценки следует условие выхода из итерационного процесса. Если значение $\chi$ неизвестно, то выход осуществляется по условию

$\bigl|x^{(k+1)}-x^{(k)}\bigr|\leqslant \varepsilon.$

2. Уравнение $f(x)=0$ заменяется равносильным (где знак в правой части выбирается из условия $|\varphi'(x)|<1$ ):

$x=x\mp \frac{f(x)}{\max|f'(x)|}\equiv \varphi(x)$ при $x\in G$ ,

3. Можно выразить $x$ из уравнения $f(x)=0$ так, чтобы для полученного уравнения $x=\varphi(x)$ выполнялось условие сходимости $|\varphi'(x)|<1$ в окрестности искомого корня.

Замечание к доказательству. Выполнение условия $\Delta_{k+1}= \bigl|x^{(k+1)}-x^{(k)}\bigr|\leqslant \varepsilon$ не гарантирует близости к точному решению (на рис. 3.10 достигается область, где условие окончания выполняется, но корень $x_{\ast}$ расположен достаточно далеко от этой области).

▼ Примеры 3.8-3.10

Пример 3.8. Методом простых итераций с точностью $\varepsilon=0,\!001$ уточнить корень трансцендентного уравнения $x^2-e^{-x}=0$ , причем искомый корень $x_{\ast}\in[0,\!5;1,\!0]\equiv G$ .

Решение

1. Преобразуем исходное уравнение к виду $x=\varphi(x)\colon\, x=e^{-x\!\!\not{\phantom{|}}\,2}= \varphi(x)$ . Проверкой можно убедиться, что $\varphi'(x)<1$ при $x\in G$ .

2. В качестве начального приближения выберем $x^{(0)}=\frac{0,\!5+1}{2}=0,\!75$ .

3,4. Выполняем последовательные действия по формуле (3.9): $x^{(k+1)}=\exp \frac{-x^{(k)}}{2}$ . Результаты расчетов приведены в табл. 3.4.

$\begin{aligned} \mathit{Table~3.4}~&\\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline k& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\\hline x^{(k)}& 0,7500& 0,6873& 0,7091& 0,7015& 0,7042& 0,7032 \\\hline \bigl|x^{(k)}-x^{(k-1)}\bigr|&-& 0,0627& 0,0218& 0,0076& 0,0027&0,0010 \\\hline \end{array}& \end{aligned}$

На пятой итерации выполнилось условие $\bigl|x^{(5)}-x^{(4)}\bigr|\leqslant \varepsilon= 0,\!001$ , поэтому процесс завершен. В качестве приближенного решения берется $x_{\ast}\cong x^{(5)}= 0,\!703$ . Подстановка $x^{(5)}$ в исходное уравнение дает $(x^{(5)})^2-e^{-x^{(5)}}= 0,00088$ , т.е. равенство в уравнении также выполняется с заданной точностью. Видно, что сходимость двусторонняя (это следует также из неравенства $-1<\varphi'(x)<0$ ) и линейная, так как отношения $\frac{|x^{(k+1)}-x^{(k)}|}{|x^{(k)}-x^{(k-1)}|}$ при $k=1,2,3,4,5$ примерно одинаковые и равны $\approx0,\!35$ (знаменатель геометрической профессии).

Пример 3.9. Найти решение уравнения $x^3-x+1=0$ методом простых итераций с точностью $\varepsilon_1=0,\!01$ и $\varepsilon_2=0,\!001$ .

Решение

1. В примере 3.2 был отделен корень уравнения $x_{\ast}\in[-2;-1]$ . Преобразуем уравнение к виду $x=\varphi(x)$ . Для этого запишем его сначала в форме $x=x^3+1$ . Легко показать, что функция $\varphi(x)=x^3+1$ не удовлетворяет условию сходимости, поскольку $\varphi'(x)=3x^2,$ $\varphi'(-2)=12>1,$ $\varphi'(-1)=3>1$ . Поэтому воспользуемся другим преобразованием.

В результате получим $x=\sqrt[\LARGE{3}]{x-1}$ . Можно проверить, что $|\varphi'(x)|<1$ на отрезке $[-2;-1]$ , т.е. достаточные условия сходимости выполняются.

2. Зададим начальное приближение $x^{(0)}=-1$ . Решим задачу с различной точностью $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ .

3,4. Выполним расчеты по формуле (3.9): $x^{(k+1)}= \sqrt[\LARGE{3}]{x^{(k)}-1},~k=0,1,2,\ldots$ . Результаты расчетов приведены в табл. 3.5.

$\begin{aligned} \mathit{Table~3.5}~&\\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline k& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\\hline \begin{matrix}{}\\[-8pt]{}\end{matrix} x^{(k)}&-1,\!000&-1,\!2599&-1,\!3123&-1,\!3223&-1,\!3243&-1,3246\\\hline \begin{matrix}{}\\[-8pt]{}\end{matrix} \bigl|x^{(k)}-x^{(k-1)}\bigr|&-&0,\!2599& 0,\!0524& 0,\!0100& 0,\!0020& 0,\!0003\\\hline \end{array}& \end{aligned}$

Если $\varepsilon_1=0,\!01$ , то $x_{\ast}\cong-1,\!3223$ , а если $\varepsilon_2=0,\!001$ , то $x_{\ast}\cong-1,\!3246$ .

Пример 3.10. Найти корни уравнения $x^3-x^2-9x+9=0$ методом простых итераций с точностью $\varepsilon=0,\!001$ .

Решение

1. Преобразуем уравнение к виду $x=\varphi(x)\colon\, x=\sqrt[\LARGE{3}]{x^2+9x-9}$ .

В примере 3.3 была выполнена операция отделения корней и получены отрезки $[-4;-2],\,[0,5;2],\,[2;4]$ .

Можно показать, что на отрезках $[2;4],\,[-4;-2]$ функция $\varphi(x)= \sqrt[\LARGE{3}]{x^2+9x-9}$ удовлетворяет условию $|\varphi'(x)|<1$ .

На отрезке $[0,\!5;2]$ используем другой вид уравнения: $x=\frac{x^3}{9}-\frac{x^2}{9}+1$ . Также легко проверить, что функция $\varphi(x)=\frac{x^3}{9}-\frac{x^2}{9}+1$ удовлетворяет достаточному условию сходимости на отрезке $[0,\!5;2]$ .

2. В качестве начальных приближений выберем:
– точку $x^{(0)}=-2$ на отрезке $[-4;-2]$ ;
– точку $x^{(0)}=0,\!5$ на отрезке $[0,\!5;-2]$ ;
– точку $x^{(0)}=2$ на отрезке $[2;4]$ ;.
В поставленной задаче $\varepsilon=0,\!001$ .

3,4. Выполним расчеты по формуле

$x^{(k+1)}= \sqrt[\LARGE{3}]{(x^{(k)})^2+9x^{(k)}-9},\quad k=0,1,2,\ldots$

с начальными значениями $x^{(0)}=-2$ и $x^{(0)}=2$ и по формуле

$x^{(k+1)}=\frac{(x^{(k)})^3}{9}-\frac{(x^{(k)})^2}{9}+1,\quad k=0,1,2,\ldots$

с начальным значением $x^{(0)}=0,\!5$ .

Результаты расчетов занесены в табл. 3.6–3.8.

$\begin{aligned}& \begin{aligned} \mathit{Table~3.6}~&\\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline k&\! \scriptstyle{0}\!&\! \scriptstyle{1}\!&\! \scriptstyle{2}\!&\! \scriptstyle{3}\!&\! \scriptstyle{4}\!&\! \scriptstyle{5}\!&\! \scriptstyle{6}\!&\! \scriptstyle{7}\!&\! \scriptstyle{8}\!&\! \scriptstyle{9}\!&\! \scriptstyle{10}\!&\! \scriptstyle{11}\!&\! \scriptstyle{12}\!\\\hline x^{(k)}&\! \scriptstyle{2,0000}\!&\! \scriptstyle{2,3513}\!&\! \scriptstyle{2,6056}\!&\! \scriptstyle{2,7694}\!&\! \scriptstyle{2,8682}\!&\! \scriptstyle{2,9255}\!&\! \scriptstyle{2,9582}\!&\! \scriptstyle{2,9767}\!&\! \scriptstyle{2,9870}\!&\! \scriptstyle{2,9927}\!&\! \scriptstyle{2,9959}\!&\! \scriptstyle{2,9977}\!&\! \scriptstyle{2,9987}\!\\\hline \bigl|x^{(k)}-x^{(k-1)}\bigr|&\! -\!&\! \scriptstyle{0,3513}\!&\! \scriptstyle{0,2543}\!&\! \scriptstyle{0,1638}\!&\! \scriptstyle{0,0988}\!&\! \scriptstyle{0,0573}\!&\! \scriptstyle{0,0327}\!&\! \scriptstyle{0,0185}\!&\! \scriptstyle{0,0102}\!&\! \scriptstyle{0,0057}\!&\! \scriptstyle{0,0032}\!&\! \scriptstyle{0,0018}\!&\! \scriptstyle{0,0010}\!\\\hline \end{array}& \end{aligned}<br />\\[6pt] & \begin{aligned} \mathit{Table~3.7}~&\\ \begin{array}{|c|c|c|}\hline k& x^{(k)}& \bigl|x^{(k)}-x^{(k-1)}\bigr|\\\hline 0&-2,\!0000&-\\\hline 1&-2,\!8438& 0,\!8438\\\hline 2&-2,\!9816& 0,\!1378\\\hline 3&-2,\!9979& 0,\!0163\\\hline 4&-2,\!9997& 0,\!0018\\\hline 5&-2,\!99997& 0,\!00027\\\hline \end{array}&\end{aligned} \qquad\qquad\qquad \begin{aligned} \mathit{Table~3.8}~&\\ \begin{array}{|c|c|c|} \hline k& x^{(k)}& \bigl|x^{(k)}-x^{(k-1)}\bigr|\\\hline 0& 0,\!50000&-\\\hline 1& 0,\!98611& 0,\!4861\\\hline 2& 0,\!99849& 0,\!01238\\\hline 3& 0,\!99983& 0,\!00134\\\hline 4& 0,\!99998& 0,\!00015\\\hline \end{array}& \end{aligned}\end{aligned}$

В результате получены приближенные значения корней:

$x_{1\ast}\cong-2,\!99997,\qquad x_{2\ast}\cong0,\!99998,\qquad x_{3\ast}\cong2,\!9987.$

Обратим внимание на сильное различие в числе итераций, потребовавшихся для нахождения корней $x_{\ast}=3$ (табл. 3.6) и $x_{\ast}=-3$ (табл. 3.7), с помощью одной и той же формулы. Заметим, что в окрестности корня $x_{\ast}=3$ значения модуля производной функции $\varphi(x)=\sqrt[\LARGE{3}]{x^2+9x-9}$ равны:

С другой стороны, в окрестности корня $x_{\ast}=-3$ имеем:

Анализ результатов показывает, что чем меньше значения модуля производной $|\varphi'(x)|$ , тем быстрее сходимость.

Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений

Метод Ньютона (метод касательных, или метод линеаризации) является одним из наиболее популярных численных методов. Он быстро сходится (имеет квадратичную сходимость) и допускает различные модификации, приспособленные для решения векторных задач и сеточных уравнений. Однако этот метод эффективен при весьма жестких ограничениях на характер функции $f(x)\colon$

Геометрическая интерпретация метода Ньютона

1) существование второй производной функции $f(x)$ на множестве $G=\{a\leqslant x\leqslant b\}$ ;
2) удовлетворение первой производной условию $f(x)\ne0$ для всех $x\in G$ ;
3) знакопостоянство $f'(x),\,f''(x)$ для всех $x\in G$ .

Поэтому его желательно использовать совместно с другими методами, например методом половинного деления, чтобы достигнуть диапазона $\widetilde{a}\leqslant x \leqslant \widetilde{b}$ , где указанные условия начинают выполняться.

Геометрическая интерпретация метода Ньютона состоит в следующем. Задается начальное приближение $x^{(0)}$ . Далее проводится касательная к кривой $y=f(x)$ в точке $x^{(0)}$ (рис. 3.11), т.е. кривая заменяется прямой линией. В качестве следующего приближения выбирается точка пересечения этой касательной с осью абсцисс. Процесс построения касательных и нахождения точек пересечения с осью абсцисс повторяется до тех пор, пока приращение не станет меньше заданной величины $\varepsilon$ .

Получим расчетную формулу метода Ньютона. Вместо участка кривой $BC$ (точка $C$ соответствует $x_{\ast}$ ) возьмем участок $AB$ — касательную, проведенную в точке $(x^{(0)},f(x^{(0)}))$ ). Для этого отрезка справедливо конечное соотношение:

$\frac{f(x^{(0)})-0}{x^{(0)}-x^{(1)}}= f'(x^{(0)})\equiv \operatorname{tg}\alpha,$

где $\alpha$ — угол наклона касательной в точке $(x^{(0)},f(x^{(0)}))$ к оси абсцисс. Разрешая это соотношение относительно $x^{(1)}$ , получаем $x^{(1)}= x^{(0)}-\frac{f(x^{(0)})}{f'(x^{(0)})}$ . Повторяя процесс, находим общую формулу:

$x^{(k+1)}= x^{(0)}-\frac{f(x^{(k)})}{f'(x^{(k)})},\quad k=0,1,2,\ldots$

(3.14)

Подчеркнем, что если отбросить итерационный индекс, то (3.14) записывается в виде нелинейного уравнения

$x=x-\frac{f(x)}{f'(x)}\equiv \varphi(x),$

(3.15)

которое, однако, на $[a,b]$ не равносильно исходному, а является таковым только в одной точке при $x=x_{\ast}$ . Поэтому данный метод не служит разновидностью метода простых итераций.

Применим теперь для вывода формулы (3.14) метод линеаризации. Положим, что итерационный процесс имеет вид

$x^{(k+1)}=x^{(k)}+\delta^{(k)},\quad k=0,1,2,\ldots$

(3.16)

где $\delta^{(0)}$ — поправка к k-му приближению, которую необходимо найти. Предполагая, что $f(x)$ имеет непрерывную вторую производную, разложим $f(x^{(k)}+\delta^{(k)})$ по формуле Тейлора относительно точки $x^{(k)}\colon$

$f(x^{(k)}+\delta^{(k)})= f(x^{(k)})+ \delta^{(k)}f'(x^{(k)})+ \frac{1}{2}(\delta^{(k)})^2 f''(\xi),$

где $\xi\in \bigl(x^{(k)},x^{(k+1)}\bigr)$ . Учитывая, что $f\bigl(x^{(k)}+ \delta^{(k)}\bigr)=0$ (это соответствует нахождению точки пересечения с осью абсцисс), и оставляя только линейную (относительно $\delta^{(k)}$ ) часть разложения (отсюда и название — метод линеаризации), записываем линейное относительно $\delta^{(k)}$ уравнение

$f(x^{(k)})+ \delta^{(k)} f'(x^{(k)})=0.$

Отсюда выражается поправка $\delta^{(k)}=-\frac{f(x^{(k)})}{f'(x^{(k)})}$ . Подставляя $\delta^{(k)}$ в (3.16), получаем (3.14).

Теорема 3.11 (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона). Пусть выполняются следующие условия:

1. Функция $f(x)$ определена и дважды дифференцируема на $[a,b]$ .

2. Отрезку $[a,b]$ принадлежит только один простой корень $x_{\ast}$ , так что $f(a)\cdot f(b)<0$ .

3. Производные $f'(x),\,f''(x)$ на $[a,b]$ сохраняют знак, и $f'(x)\ne0$ .

4. Начальное приближение $x^{(0)}$ удовлетворяет неравенству $f(x^{(0)})\cdot f''(x^{(0)})>0$ (знаки функций $f(x)$ и $f''(x)$ в точке $x^{(0)}$ совпадают).

Тогда с помощью метода Ньютона (3.14) можно вычислить корень уравнения $f(x)=0$ с любой точностью.

Замечания

1. Метод Ньютона характеризуется вторым порядком сходимости вблизи корня и первым порядком — вдали от него. Данную оценку проверяем для двух случаев, когда $x^{(k)}$ находится далеко от корня $x_{\ast}$ (это возможно на первых итерациях) и когда $x^{(k)}$ располагается вблизи $x_{\ast}$ .

Первый случай. Пусть отрезок $\omega=[x^{(k)},x_{\ast}]$ не мал. Тогда на основе теоремы Лагранжа получим (где $m_1=\min\limits_{\omega}|f'(x)|$ )

$\bigl|f(x^{(k)})\bigr|= \bigl|f(x_{\ast})-f(x^{(k)})\bigr|= \bigl|f'(\xi)\bigr|\cdot \bigl|x_{\ast}-x^{(k)}\bigr| \geqslant m_1 \bigl|x_{\ast}-x^{(k)}\bigr|.$

(3.17)

Преобразуем с использованием (3.17) итерационную формулу (3.14) (где $M_1= \max\limits_{x\in[a,b]}|f'(x)|$ ):

$x^{(k+1)}=x^{(k)}-\frac{f(x^{(k)})}{f'(x^{(k)})};\qquad \bigl|x^{(k+1)}-x^{(k)}\bigr|= \frac{|f(x^{(k)})|}{f'(x^{(k)})} \geqslant \frac{m_1}{M_1} \bigl|x_{\ast}-x^{(k)}\bigr|.$

В силу монотонности последовательности $x^{(0)},x^{(1)},\ldots$ имеем

$\begin{gathered}x_{\ast}-x^{(k+1)}= x_{\ast}-x^{(k)}-\bigl(x^{(k+1)}-x^{(k)}\bigr),\\ \bigl|x_{\ast}-x^{(k+1)}\bigr|= \bigl|x_{\ast}-x^{(k)}\bigr|-\bigl|x^{(k+1)}-x^{(k)}\bigr| \geqslant \bigl|x_{\ast}-x^{(k)}\bigr|- \frac{m_1}{M_1} \bigl|x_{\ast}-x^{(k)}\bigr|= \left(1-\frac{m_1}{M_1}\right)\! \bigl|x_{\ast}-x^{(k)}\bigr|. \end{gathered}$

Таким образом, вдали от корня получаем линейную сходимость

$\bigl|x_{\ast}-x^{(k+1)}\bigr| \leqslant c\cdot \bigl|x_{\ast}-x^{(k)}\bigr|$ , где $0 \leqslant c=1-\frac{m_1}{M_1}<1$ .

Второй случай. Пусть теперь отрезок $\omega=[x^{(k)},x]$ мал, т.е. итерации выполняются вблизи корня. Тогда, полагая, что указанные выше предположения 1–4 теоремы 3.10 выполнены, разложим функцию $f(x)$ в окрестности корня $x_{\ast}$ относительно точки $x^{(k)}$ , учитывая члены до второго порядка. Получим

$\Bigl.{f(x)}\Bigr|_{x=x^{(k)}}= f(x^{(k)})+ \bigl(x_{\ast}-x^{(k)}\bigr) f'(x^{(k)})+ \bigl(x_{\ast}-x^{(k)}\bigr)^2 \frac{1}{2}f''(\xi)=0,$

где $\xi\in \bigl(x^{(k)}-\delta,\,x^{(k)}+\delta\bigr)$ ( $\delta>0$ — малая величина). Из данного соотношения выражаем $x_{\ast}\colon$

$x_{\ast}=x^{(k)}-\frac{f(x^{(k)})}{f'(x^{(k)})}-\frac{(x_{\ast}-x^{(k)})^2}{2f'(x^{(k)})}\,f''(\xi).$

Но первые два слагаемых в правой части в соответствии с (3.14) равны $x^{(k+1)}$ . Тогда будем иметь

$x_{\ast}-x^{(k)}=-\frac{(x_{\ast}-x^{(k)})^2}{2f'(x^{(k)})}\,f''(\xi).$

Из последнего соотношения следует оценка погрешности (k+1)-го приближения через погрешность k-го приближения:

$\bigl|x_{\ast}-x^{(k+1)}\bigr|\leqslant \frac{M_2}{2m_1} \bigl|x_{\ast}-x^{(k)}\bigr|^2,$

(3.18)

где принято $M_2=\max\limits_{\omega}|f''(x)|,~ m_1=\min\limits_{\omega}|f'(x)|$ . Оценка (3.18) свидетельствует о квадратичной сходимости метода касательных вблизи корня. С вычислительной точки зрения это означает, что на каждом приближении количество верных цифр результата удваивается.

2. Для нахождения комплексных корней уравнения $f(z)=0$ можно также использовать (3.14) в форме (где $z=x+iy$ — комплексная переменная)

$z^{(k+1)}=z^{(k)}-\frac{f(z^{(k)})}{f'(z^{(k)})},\quad k=0,1,2,\ldots$

Метод Ньютона может применяться не только для нахождения простых корней, но для определения кратных корней, т.е. когда на отрезке $[a,b]$ содержащем корень, не выполняется условие $f(a)\cdot f(b)<0$ (условие 2 теоремы 3.11). Наряду с теоремой 3.11 удобно также пользоваться следующей теоремой.

Достаточные условия сходимости метода Ньютона

Теорема 3.12 (достаточные условия сходимости метода Ньютона). Пусть:

а) дана функция $f(x)\colon D\to \mathbb{R}$ , где $D$ — открытый интервал, и $f'(x)\in \operatorname{Lip}_{\gamma}(D)$ ;

б) для некоторого $\rho>0$ выполняется условие $|f'(x)|\leqslant\rho$ при всех $x$ из $D$ .

Если уравнение $f(x)=0$ имеет решение $x_{\ast}\in D$ , то существует некоторое $\eta>0$ , такое, что если $|x^{(0)}-x_{\ast}|<\eta$ , то последовательность $\bigl\{x^{(0)},x^{(1)},x^{(2)},\ldots\bigr\}$ , задаваемая формулой (3.14), существует и сходится к $x_{\ast}$ . Более того, справедлива оценка

$\bigl|x^{(k+1)}-x_{\ast}\bigr| \leqslant \frac{\gamma}{2\rho} \bigl|x^{(k)}-x_{\ast}\bigr|^2,\quad k=0,1,2,\ldots$

Здесь обозначение $f'(x)\in \operatorname{Lip}_{\gamma}(D)$ означает, что функция $f'(x)$ непрерывна по Липшицу с константой $\gamma$ на множестве $D$ , то есть $|f'(x)-f'(y)| \leqslant \gamma \cdot|x-y|$ для любых $x,\,y$ из $D$ .

Замечания

1. Требование теоремы 3.12, чтобы производная $f'(x)$ имела ненулевую нижнюю границу в $D$ , определяет, что значение $f'(x_{\ast})$ должно быть ненулевым для квадратичной сходимости метода Ньютона. Если же $f'(x_{\ast})=0$ , то $x_{\ast}$ является кратным корнем, а метод Ньютона сходится лишь линейно.

2. Выполнение условий теоремы 3.12 гарантирует сходимость метода Ньютона только из "хорошего" начального приближения $x^{(0)}$ .

3. Метод Ньютона является локально сходящимся, так как он сходится с определенной скоростью к истинному решению при условии, что стартует в достаточной близости от этого решения.

Методика решения задачи

1. Задать начальное приближение $x^{(0)}$ так, чтобы выполнялось неравенство $f(x^{(0)})\cdot f''(x^{(0)})>0$ , а также малое положительное число $\varepsilon$ . Положить $k=0$ .

2. Вычислить $x^{(k+1)}$ по формуле $x^{(k+1)}= x^{(k)}-\frac{f(x^{(k)})}{f'(x^{(k)})}$ .

3. Если