Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Методы приближения сеточных функций

Методы приближения сеточных функций


Получаемые при компьютерных вычислениях, в экспериментальных исследованиях или задаваемые при проектировании элементов конструкций летательных аппаратов сеточные (табличные) функции


[math]y_i= f(x_i),\quad x_i\in[a,b],\quad i=\overline{0,n},[/math]

малоинформативны. Они определены только в узлах [math]x_i~(i=\overline{0,n})[/math] сетки [math]\Omega_n[/math], а их значения в промежуточных точках, а также значения производных в узлах не известны, интегралы от них нельзя вычислить классическими методами. Каждая сетка характеризуется шагами [math]h_{i+1}=x_{i+1}-x_i[/math] неравномерного или [math](h_{i+1}= \text{const})[/math] равномерного разбиения.


Однако значения функции должны быть известны при любом значении аргумента [math]x\ne x_i[/math], а в самих узлах [math]x_i[/math] требуется знать также первые и вторые производные, поэтому сеточные функции [math]y_i=f(x_i)[/math] необходимо восполнять. Данная проблема решается с помощью методов теории приближений (теории аппроксимации) — одного из важнейших разделов численного анализа.


Для восполнения исходных (аппроксимируемых) функций [math]y_i=f(x_i),~ i=\overline{0,n}[/math], искомыми (аппроксимирующими) функциями [math]\widetilde{y}= \widetilde{f}_m(x, \overline{a})[/math], как правило, используются алгебраические многочлены


[math]\widetilde{f}_m(x, \overline{a})= \sum\limits_{j=0}^{m}a_jx^j= a_0+a_1z+ \ldots+ a_mx^m,[/math]
(4.1)

где [math]\overline{a}= (a_0,a_1,\ldots,a_m)^T[/math] — вектор неизвестных параметров, [math]m[/math] — степень многочлена, подлежащие выбору или определению (обычно [math]m\leqslant n[/math]).


Замечания


1. Аппроксимация тригонометрическими многочленами с помощью рядов Фурье изучается в классических курсах математического анализа. Алгебраические многочлены являются частным случаем обобщенных многочленов. Все понятия, вводимые в данном разделе, справедливы и для обобщенных многочленов.


2. Иногда в качестве аппроксимируемых функций берутся сложные формульные функции [math]y=f(x)[/math], которые желательно заменить более простыми.


Методы приближения различаются выбором различных по характеру условий согласования функций [math]\widetilde{f}_m(x, \overline{a})[/math] и [math]y_i=f(x_i)[/math]. В данной книге рассматриваются два типа условий согласования — точечные (дискретные) и интегральные.


Применительно к некоторой точке [math]x_i[/math] сетки [math]\Omega_n= \{x_i,\, i=\overline{0,n}\}[/math] дискретные условия согласования записываются в виде нулевых невязок искомой функции и ее производных:


[math]\delta \widetilde{f}_m^{(p)}(x_i, \overline{a})= \widetilde{f}_m^{(p)}(x_i, \overline{a})-\widetilde{f}^{(p)}(x_i)=0,[/math]
(4.2)

где [math]p[/math] — порядок производной. При [math]p=0[/math] условие (4.2) является функциональным и оно традиционно называется условием интерполяции:


[math]\delta \widetilde{f}_m(x_i, \overline{a})= \widetilde{f}_m(x_i, \overline{a})-\widetilde{f}(x_i)=0.[/math]
(4.3)

Возможны два типа интегральных условий:


[math]\mathsf{1)}\qquad \sqrt{\frac{1}{n+1} \sum\limits_{i=0}^{n} \bigl[\widetilde{f}_m (x_i, \overline{a})-\widetilde{f}(x_i)\bigr]^2}\to \min_{\overline{a}}\quad (m\leqslant n)[/math]
(4.4)

[math]\mathsf{2)}\qquad \delta \widetilde{f}(I_{x_i}^{x_{i+1}})= \int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} \widetilde{f}_m (x_i, \overline{a})\,dx-I_{i}^{i+1}=0[/math]

или

[math]\delta \widetilde{f}(I_{x_0}^{x_i})= \int\limits_{x_0}^{x_i} \widetilde{f}_m (x_i, \overline{a})\,dx-I_0^i=0,[/math]
(4.5)

где [math]I_i^{i+1}= \int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)\,dx,~ I_0^i= \int\limits_{x_0}^{x_i} f(x)\,dx[/math]. Условие (4.4) выражает минимум среднеквадратичной погрешности (или отклонения) представления заданной сеточной функции [math]f(x_i),~ i=\overline{0,n}[/math], с помощью аппроксимирующей функции [math]\widetilde{f}_m(x,\overline{a})[/math]. Оно относится, как правило, ко всей области определения функции [math]f(x_i)[/math], т.е. к отрезку [math][a,b][/math]. Сомножитель [math]\frac{1}{n+1}[/math] иногда опускают, так как его наличие или отсутствие влияет только на величину погрешности, но не влияет на вектор [math]\overline{a}[/math], обеспечивающий ее минимум. Условие (4.5) может относиться как к одному частичному отрезку [math][x_i,x_{i+1}][/math], так и к отрезку [math][x_0,x_i][/math], a также ко всему отрезку [math][a,b][/math]. Условие (4.5) в одномерном случае, когда функция [math]f(x)[/math] зависит только от [math]x[/math], выражает равенство площадей под кривыми [math]f(x)[/math] и [math]\widetilde{f}_m(x,\overline{a})[/math]. В двумерном случае, когда функция зависит от двух переменных, условие (4.5) обобщается и выражает равенство объемов (аппроксимация таких функций здесь не рассматривается). Таким образом, применение условия (4.5) приводит к сохранению интегральных свойств аппроксимируемой функции, а также предоставляет исследователям новые ранее неиспользуемые возможности при построении новых нетрадиционных методов решения задач аппроксимации.


Метод приближения, построенный на базе условия (4.3), будем называть методом интерполяции или функциональным методом (рис. 4.1,а).


Метод, использующий условие (4.2) при [math]p>0[/math], называется дифференциальным.


Если совместно с условием (4.2) применяется интегральное условие, метод называется интегрально-дифференциальным.


Метод, построенный на базе условия (4.3) и интегрального условия, называется интегрально-функциональным. Методы приближения, сконструированные только на базе условия (4.4) или (4.5), выполняют сглаживание исходной функции (рис. 4.1,б) и поэтому называются методами сглаживания (интегрального сглаживания).


Если условия (4.5) используются отдельно, метод сглаживания называется восстанавливающим, а если совместно с условиями (4.3), то — интерполяционно-сглаживающим.


Названия многочленов, получаемых в результате применения методов, соответствуют названиям этих методов.


Можно выделить четыре способа применения методов аппроксимации, отличающихся областями их "действия".


1. Глобальный способ, в котором для всей области [math]\Omega\equiv [a,b][/math] определяется одна функция [math]\widetilde{f}_m(x,\overline{a})[/math].


2. Локальный способ, когда функция восполняется только в окрестности некоторой точки [math]x_i[/math]. Это восполнение обычно осуществляется на основе формулы Тейлора. Данный способ рассматривается в курсе математического анализа.


3. Кусочный способ, когда ищется одна или несколько функций [math]\widetilde{f}_{ki} (x,\overline{a}),~ i=0,1,2,\ldots[/math], каждая из которых является многочленом степени к и имеет область определения в виде частичного отрезка [math]\Omega_{ik}= [x_i, x_{i+k}][/math] [math](1\leqslant k<n,~ k=1,2,\ldots)[/math] называемого "окном" аппроксимации, которое составляет шаблон [math](x_i,x_{i+1},\ldots,x_{i+k})[/math]. Саму функцию [math]\widetilde{f}_{ki}(x,\overline{a})[/math] построенную на одном шаблоне, будем называть звеном.


4. Кусочно-глобальный способ, в котором область [math]\Omega[/math] представляется совокупностью [math]N[/math] частичных отрезков [math]\Omega_{ik}[/math], таких, что [math]\textstyle{\Omega= \cup\limits_{i=1}^{N} \Omega_{ik}}[/math]. На первом этапе на каждом из отрезков ищется функция [math]\widetilde{f}_{ki}(x,\overline{a})[/math] — i-е звено с применением кусочного способа аппроксимации. На следующем этапе производится объединение всех звеньев в одну многозвенную функцию, т.е. [math]\textstyle{\widetilde{f}_{k}(x,\overline{a})= \cup\limits_{i=1}^{N} \widetilde{f}_{ki}(x,\overline{a})}[/math]. Данный способ применяется, например, при построении сплайнов.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved