Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Методы интегрирования неоднородных линейных систем ДУ
Глава 3. Системы дифференциальных уравнений

Методы интегрирования неоднородных линейных систем
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами


Пусть имеем неоднородную линейную систему с постоянными коэффициентами


[math]\frac{dx_i}{dt}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}x_k(t)+f_i(t),\quad i=1,2,\ldots,n,[/math]

которую короче можно записать в матричном виде

[math]\frac{dX}{dt}=AX+F,[/math]

где [math]F[/math] — одностолбцовая матрица, элементами которой являются функции [math]f_i(t)[/math].

Теорема. Общее решение [math]X(t)[/math] неоднородной линейной системы равно сумме общего решения [math]X_{\text{o.o}}(t)[/math] соответствующей однородной системы [math]\frac{dX}{dt}=AX[/math] и любого частного решения [math]X_{\text{ch.n}}(t)[/math] данной неоднородной системы


[math]X(t)= X_{\text{o.o}}(t) + X_{\text{ch.n}}(t) =\sum_{k=1}^{n}C_kX_k(t)+ X_{\text{ch.n}}(t),[/math]

где [math]C_1,C_2,\ldots,C_n[/math] — произвольные постоянные.

Рассмотрим некоторые методы интегрирования неоднородных линейных систем.


1°. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)


Проиллюстрируем этот метод на примере системы трех неоднородных уравнений. Пусть задана система


[math]x'+a_1x+b_1y+e_1z=f_1(t),[/math]
(1.1)

[math]y'+a_2x+b_2y+e_2z=f_2(t),[/math]
(1.2)

[math]z'+a_3x+b_3y+e_3z=f_3(t).[/math]
(1.3)

Будем предполагать, что общее решение соответствующей однородной системы уже найдено:


[math]\begin{cases}x=C_1x_1+C_2x_2+C_3x_3,\\ y=C_1y_1+C_2y_2+C_3y_3,\\ z=C_1z_1+C_2z_2+C_3z_3.\end{cases}[/math]
(2)

Решение неоднородной системы (1) ищем в виде

[math]\begin{cases}x=C_1(t)x_1+C_2(t)x_2+C_3(t)x_3,\\ y=C_1(t)y_1+C_2(t)y_2+C_3(t)y_3,\\ z=C_1(t)z_1+C_2(t)z_2+C_3(t)z_3.\end{cases}[/math]
(3)

где [math]C_1(t),\,C_2(t),\,C_3(t)[/math] — пока неизвестные функции.

Подставим (3) в (1), тогда уравнение (1.1) примет вид


[math]\begin{aligned}C'_1x_1+C'_2x_2+&C'_3x_3+C_1(x'_1+a_1x_1+b_1y_1+e_1z_1)+ C_2(x'_2+a_1x_2+b_1y_2+e_1z_2)\,+\\ &+\,C_3(x'_3+a_1x_3+b_1y_3+e_1z_3)=f_1(t).\end{aligned}[/math]
(4)

Все суммы, стоящие в скобках, обратятся в ноль (в силу того, что (2) есть решение соответствующей однородной системы), так что будем иметь

[math]C'_1x_1+C'_2x_2+C'_3x_3=f_1(t).[/math]
(5)

Аналогично из (1.2) и (1.3) после подстановки в них (3) получим

[math]\begin{gathered}C'_1y_1+C'_2y_2+C'_3y_3=f_2(t),\hfill\\ C'_1z_1+C'_2z_2+C'_3z_3=f_3(t).\hfill \end{gathered}[/math]
(6)

Система уравнений (5), (6), линейных относительно [math]C'_1,\,C'_2,\,C'_3[/math] имеет решение, так как ее определитель


[math]\Delta= \begin{vmatrix}x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\z_1&z_2&z_3\end{vmatrix}\ne0[/math]

в силу линейной независимости частных решений соответствующей однородной системы. Отыскав [math]C'_1(t),\,C'_2(t),\,C'_3(t)[/math], затем с помощью интегрирования найдем [math]C_1(t),\,C_2(t),\,C_3(t)[/math], а тем самым и решение (3) неоднородной системы (1).




Пример 1. Методом вариации постоянных решить систему дифференциальных уравнений


[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=-2x-4y+1+4t,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=-x+y+\dfrac{3}{2}t^2.\end{cases}[/math]
(7)

Решение. Сначала решим соответствующую однородную систему


[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=-2x-4y,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=-x+y.\end{cases}[/math]
(8)

Из второго уравнения системы (8) имеем

[math]x=y-\frac{dy}{dt}\,,[/math] так что [math]\frac{dx}{dt}=\frac{dy}{dt}-\frac{d^2y}{dt^2}\,.[/math]

Подставим эти выражения для [math]x[/math] и [math]\frac{dx}{dt}[/math] в первое уравнение системы (8):


[math]\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{dy}{dt}-6y=0\,;[/math]

общее решение этого уравнения [math]y=C_1e^{2t}+C_2e^{-3t}.[/math]

Так как [math]x=y-\frac{dy}{dt}[/math], то будем иметь [math]x=-C_1e^{2t}+4C_2e^{-3t}.[/math]


Общее решение однородной системы (8) есть

[math]x=-C_1e^{2t}+4C_2e^{-3t},\quad y=C_1e^{2t}+C_2e^{-3t}.[/math]

Решение неоднородной системы (7) ищем в виде

[math]x=-C_1(t)e^{2t}+4C_2(t)e^{-3t},\quad y=C_1(t)e^{2t}+C_2(t)e^{-3t}.[/math]
(9)

Подставив (9) в (7) и приведя подобные члены, получим

[math]\begin{cases}-C'_1e^{2t}+4C'_2(t)e^{-3t}=1+4t,\\ C'_1(t)e^{2t}+C'_2(t)e^{-3t}=\dfrac{3}{2}t^2,\end{cases}[/math]
откуда
[math]C'_1(t)=\frac{(6t^2-4t-1)e^{-2t}}{5}\,,\quad C'_2(t)=\frac{(3t^2+8t+2)e^{3t}}{10}\,.[/math]
Интегрируя, найдем
[math]\begin{cases}C_1(t)=-\dfrac{1}{5}(t+3t^2)e^{-2t}+C_1,\\[9pt] C_2(t)=\dfrac{1}{10}(2t+t^2)e^{3t}+C_2,\end{cases}[/math]
(10)

где [math]C_1[/math] и [math]C_2[/math] — произвольные постоянные. Подставляя (10) в (9), получим общее решение системы (7)

[math]\begin{cases}x=-C_1e^{2t}+4C_2e^{-3t}+t+t^2\,,\\ y=C_1e^{2t}+C_2e^{-3t}-\dfrac{1}{2}+t^2\,.\end{cases}[/math]



2°. Метод неопределенных коэффициентов (метод подбора)


Этот метод применяется для решения неоднородной системы линейных уравнений тогда, когда функции [math]f_i(t)[/math], стоящие в правой части системы, имеют специальный вид: многочлены [math]P_k(t)[/math] показательные функции [math]e^{\alpha t}[/math], синусы и косинусы [math]\sin\beta t[/math] [math]\cos\beta t[/math] и произведения этих функций. Проиллюстрируем этот метод на примерах.


Пример 2. Найти общее решение неоднородной системы


[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=x-2y+e^t,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=x+4y+e^{2t}.\end{cases}[/math]
(11)

Решение. Найдем сначала общее решение соответствующей однородной системы


[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=x-2y,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=x+4y.\end{cases}[/math]
(12)
Характеристическое уравнение имеет вид

[math]\begin{vmatrix}1-\lambda&-2\\1&4-\lambda\end{vmatrix}=0,[/math] или [math]\lambda^2-5\lambda+6=0.[/math]

Корни этого уравнения [math]\lambda_1=2,~\lambda_2=3[/math]. Корню [math]\lambda_1=2[/math] соответствует частное решение системы


[math]x_1=\mu_1e^{2t},\quad y_1=\nu_1e^{2t}.[/math]

Подставляя [math]x_1[/math] и [math]y_1[/math] в (12), получаем систему уравнений для нахождения [math]\mu_1[/math] и [math]\nu_1:[/math]


[math]-\mu_1-2\nu_1=0,\quad \mu_1+2\nu_1=0.[/math]

Отсюда имеем, например, [math]\mu_1=2,~\nu_1=-1[/math], так что первое частное решение однородной системы (11) есть


[math]x_1=2e^{2t},\quad y_1=-e^{2t}.[/math]

Корню [math]\lambda_2=3[/math] соответствует частное решение [math]x_2=\mu_2e^{2t},\quad y_2=\nu_2e^{2t}[/math]. Числа [math]\mu_2[/math] и [math]\nu_2[/math] находим из системы


[math]-2\mu_2-2\nu_2=0,\quad \mu_2+\nu_2=0,[/math]

которой удовлетворяют, например, числа [math]\mu_2=1,~\nu_2=-1[/math]. Тогда второе частное решение системы (12) есть

[math]x_2=e^{2t},\quad y_2=-e^{2t}.[/math]

Общее решение однородной системы (12):


[math]\widetilde{x}=2C_1e^{2t}+C_2e^{3t},\quad \widetilde{y}=-C_1e^{2t}-C_2e^{3t}.[/math]

Методом неопределенных коэффициентов находим частное решение неоднородной системы (11). Исходя из вида правых частей [math]f_1(t)=e^t[/math] и [math]f_2(t)=e^{2t}[/math], записываем вид частного решения (см. табл. 1)


[math]x_{\text{ch.n}}(t)=Ke^t+(Lt+M)e^{2t},\quad y_{\text{ch.n}}(t)=Ne^t+(Pt+Q)e^{2t}.[/math]
(13)

Подставляя (13) в (II), будем иметь

[math]\begin{gathered}Ke^t+2(Lt+M)e^{2t}+Le^{2t}= Ke^t+(Lt+M)e^{2t}-2Ne^t-2(Pt+Q)e^{2t}+e^t,\hfill\\[3pt] Ne^t+2(Pt+Q)e^{2t}+Pe^{2t}= Ke^t+(Lt+M)e^{2t}+4Ne^t+4(Pt+Q)e^{2t}+e^{2t}.\hfill\end{gathered}[/math]

Приравнивая коэффициенты при [math]e^t,\,e^{2t}[/math] и [math]te^{2t}[/math] в обеих частях этих тождеств, получаем из первого:


[math]\begin{array}{*{20}{l|l}}e^t& K=K-2N+1,\\ e^{2t}& 2M+L=M-2Q,\\ te^{2t}& 2L=L-2P,\end{array}[/math]
из второго:
[math]\begin{array}{*{20}{l|l}}e^t& N=K+4N,\\ e^{2t}& 2Q+P=M+4Q+1,\\ te^{2t}& 2P=L+4P.\end{array}[/math]

Решая эту систему уравнений, находим [math]K=-\frac{3}{2},~L=2,~M=0,~N=\frac{1}{2},~P=Q=-1[/math]. Значит, частное решение (13) имеет вид


[math]x_{\text{ch.n}}(t)=-\frac{3}{2}\,e^t+2te^{2t},\quad y_{\text{ch.n}}(t)=\frac{1}{2}\,e^t-(t+1)e^{2t}.[/math]

Общее решение неоднородной системы


[math]\begin{cases}x=2C_1e^{2t}+C_2e^{3t}-\dfrac{3}{2}\,e^t+2te^{2t},\\[9pt] y=-C_1e^{2t}-C_2e^{3t}+\frac{1}{2}\,e^t-(t+1)e^{2t}.\end{cases}[/math]



Пример 3. Решить систему неоднородных дифференциальных уравнений


[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=x+2y\,,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=x-5\sin{t}\,.\end{cases}[/math]
(14)

Решение. Характеристическое уравнение


[math]\begin{vmatrix}1-\lambda&2\\1&-\lambda\end{vmatrix}=0,[/math] или [math]\lambda^2-\lambda-2=0.[/math]

Корни характеристического уравнения [math]\lambda_1=-1,~\lambda_2=2[/math]. Общее решение соответствующей однородной системы:


[math]\widetilde{x}=C_1e^{-t}+2C_2e^{2t},\quad \widetilde{y}=-C_1e^{-t}+C_2e^{2t}.[/math]

Найдем частное решение неоднородной системы (14), имея в виду, что [math]f_1(t)=0,[/math] [math]f_2(t)=-5\sin{t}[/math]. Запишем [math]x_{\text{ch.n}}[/math] и [math]y_{\text{ch.n}}[/math] в виде


[math]x_{\text{ch.n}}=A\cos{t}+B\sin{t}\,,\quad y_{\text{ch.n}}=M\cos{t}+N\sin{t}[/math]

и подставим в систему (14):
[math]\begin{aligned}-A\sin{t}+B\cos{t}&= A\cos{t}+B\sin{t}+2M\cos{t}+2N\sin{t}\,,\\ -M\sin{t}+N\cos{t}&= A\cos{t}+B\sin{t}-5\sin{t}\,,\end{aligned}[/math]

Приравниваем коэффициенты при [math]\sin{t}[/math] и [math]\cos{t}[/math] в обеих частях равенств:

[math]\begin{cases}-A=B+2N,\\ \phantom{-}B=A+2M,\\ -M=B-5,\\ \phantom{-}N=A,\end{cases}[/math]

отсюда [math]A=-1,~B=3,~M=2,~N=-1[/math], так что

[math]x_{\text{ch.n}}=-\cos{t}+3\sin{t}\,,\quad y_{\text{ch.n}}=2\cos{t}-\sin{t}\,.[/math]

Общее решение исходной системы:


[math]\begin{cases}x=\widetilde{x}+x_{\text{ch.n}}= C_1e^{-t}+2C_2e^{2t}-\cos{t}+3\sin{t}\,,\\ y=\widetilde{y}+y_{\text{ch.n}}= -C_1e^{-t}+C_2e^{2t}+2\cos{t}-\sin{t}\,.\end{cases}[/math]



Пример 4. Решить систему неоднородных дифференциальных уранвений


[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=x+2y+16te^{t},\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=2x-2y.\end{cases}[/math]
(15)

Решение. Характеристическое уравнение


[math]\begin{vmatrix}1-\lambda&2\\2&-2-\lambda\end{vmatrix}=0,[/math] или [math]\lambda^2+\lambda-6=0.[/math]

Корни характеристического уравнения [math]\lambda_1=2,~\lambda_2=-3[/math]. Общее решение однородной системы, соответствующей системе (15):


[math]\widetilde{x}=2C_1e^{2t}+C_2e^{-3t},\quad \widetilde{y}=C_1e^{2t}-2C_2e^{-3t}.[/math]

Частное решение неоднородной системы уравнений (15) ищем в виде

[math]x_{\text{ch.n}}= (At+B)e^t,\quad y_{\text{ch.n}}= (Mt+N)e^t.[/math]
(16)

Подставим (16) в (15) и сократим на [math]e^t:[/math]

[math]\begin{aligned}At+B+A&= At+B+2Mt+2N+16t,\\ Mt+N+M&= 2At+2B-2Mt-2N,\end{aligned}[/math]

отсюда [math]A=-12,~B=-13,~M=-8,~N=-6[/math]. Итак,

[math]x_{\text{ch.n}}=- (12t+13)e^t,\quad y_{\text{ch.n}}=-(8t+6)e^t.[/math]

Общее решение исходной системы:


[math]\begin{cases}x=\widetilde{x}+x_{\text{ch.n}}=2C_1e^{2t}+C_2e^{-3t}-(12t+13)e^t\,,\\ y=\widetilde{y}+y_{\text{ch.n}}=C_1e^{2t}-2C_2e^{-2t}-(8t+6)e^t \,.\end{cases}[/math]



3°. Построение интегрируемых комбинаций (метод Даламбера)


Этот метод служит для построения интегрируемых комбинаций при решении систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Покажем его применение для решения систем двух уравнений:


[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=a_1x+b_1y+f_1(t),\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=a_2x+b_2y+f_2(t).\end{cases}[/math]
(17)

Умножим второе уравнение на некоторое число [math]\lambda[/math] и сложим почленно с первым уравнением:


[math]\frac{d(x+\lambda y)}{dt}= (a_1+\lambda a_2)x+(b_1+\lambda b_2)y+f_1(t)+\lambda f_2(t).[/math]

Перепишем последнее уравнение в виде

[math]\frac{d(x+\lambda y)}{dt}= (a_1+\lambda a_2)\!\left(x+\frac{b_1+\lambda b_2}{a_1+\lambda a_2}\,y\right)+f_1(t)+\lambda f_2(t).[/math]
(18)

Выберем число [math]\lambda[/math] так, чтобы

[math]\frac{b_1+\lambda b_2}{a_1+\lambda a_2}=\lambda\,.[/math]
(19)

Тогда (18) приводится к уравнению, линейному относительно [math]x+\lambda y[/math]

[math]\frac{d(x+\lambda y)}{dt}= (a_1+\lambda a_2)(x+\lambda y)+f_1(t)+\lambda f_2(t),[/math]

интегрируя которое, получаем

[math]x+\lambda y=e^{(a_1+\lambda a_2)t}\left[C+\int\Bigl(f_1(t)+\lambda f_2(t)\Bigr)e^{-(a_1+\lambda a_2)t}\right].[/math]
(20)

Если уравнение (19) имеет различные вещественные корни [math]\lambda_1[/math] и [math]\lambda_2[/math], то из (20) получим два первых интеграла системы (17), и, значит, интегрирование этой системы будет окончено.




Пример 5. Решить методом Даламбера систему дифференциальных уравнений


[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=5x+4y+e^t,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=4x+5y+1.\end{cases}[/math]
(21)

Решение. Выберем [math]\lambda[/math] по формуле (19): [math]4+5\lambda=\lambda(5+4\lambda)[/math], откуда [math]\lambda_{1,2}=\pm1[/math]. Тогда по формуле (20) для случая [math]\lambda=1[/math] будем иметь


[math]x+y=e^{(5+4\cdot1)t}\left[C_1+\int(e^t+1)e^{-(5+4\cdot1)t}dt\right]= e^{9t}\left[C_1+\int(e^{-8t}+e^{-9t})dt\right]= C_1e^{9t}-\frac{e^t}{8}-\frac{1}{9}\,.[/math]

Для [math]\lambda=-1[/math] аналогично получаем


[math]x-y=e^{(5-4)t}\left[C_1+\int(e^t-1)e^{-(5-4)t}dt\right]= C_2e^t+te^t+1.[/math]

Итак, имеем два первых независимых интеграла системы (21):


[math]\left(x+y+\dfrac{e^t}{8}+\dfrac{1}{9}\right)e^{-9t}=C_1,\quad (x-y-te^t-1)e^{-t}=C_2.[/math]

Интегрирование системы закончено.



Замечание.[/b] Если правые части нормальной системы уравнений имеют вид [math]\frac{ax+by+cz+P(t)}{t}[/math], где [math]a,b,c[/math] — постоянные, a [math]P(t)[/math] многочлен от [math]t[/math], то подстановка [math]t=e^r[/math] приводит к системе с постоянными коэффициентами.


[ls]Пример 6. Решить систему дифференциальных уравнений


[math]\begin{cases}t\,\dfrac{dx}{dt}=-2x+2y+t,\\[9pt] t\,\dfrac{dy}{dt}=-x-5y+t^2.\end{cases}[/math]

Решение. Сделаем замену переменного [math]t=e^r[/math]. Тогда


[math]\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=\frac{1}{t}\cdot\frac{dx}{dr},\quad \frac{dy}{dt}=\frac{1}{t}\cdot\frac{dy}{dr}\,,[/math]

и система примет вид

[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dr}=-2x+2y+e^r,\\[9pt] \dfrac{dy}{dr}=-x-5y+e^{2r}.\end{cases}[/math]
(22)

Для решения системы (22) применим метод Даламбера. Умножим второе уравнение системы на [math]\lambda[/math] и сложим почленно с первым:


[math]\drac{d}{dr}(x+\lambda y)= (-2-\lambda)x+(2-5\lambda)y+e^r+\lambda e^{2r},[/math]

или
[math]\drac{d}{dr}(x+\lambda y)= (-2-\lambda)\!\left[x+\frac{2-5\lambda}{-2-\lambda}\,y\right]+e^r+\lambda e^{2r}.[/math]
(23)

Выберем [math]\lambda[/math] так, чтобы коэффициент при [math]y[/math] в квадратной скобке был равен [math]\lambda[/math], т.е. [math]\frac{2-5\lambda}{-2-\lambda}=\lambda[/math], или [math]\lambda^2-3\lambda+2=0[/math], откуда [math]\lambda_1=1,[/math] [math]\lambda_2=2[/math]. При [math]\lambda_1=1[/math] из (23) получаем


[math]\frac{d(x+y)}{dr}=-3(x+y)+e^r+e^{2r},[/math]

откуда, согласно формуле (20), будем иметь

[math]x+y=e^{-3r}\left[C_1+\int(e^r+e^{2r})e^{3r}\,dr\righ].[/math]

После интегрирования получаем

[math]x+y=C_1e^{-3r}+\frac{1}{4}\,e^{r}+\frac{1}{5}\,e^{2r}.[/math]
(24)

При [math]\lambda_2=2[/math] из (23) аналогично находим


[math]x+2y=C_2e^{-4r}+\frac{1}{5}\,e^r+\frac{1}{3}\,e^{2r}.[/math]
(25)

Решая систему (24)-(25) относительно [math]x[/math] и [math]y[/math], получаем общее решение системы (22):


[math]\begin{cases}x=2C_1e^{-3r}-C_2e^{-4r}+\dfrac{3}{10}\,e^r+\dfrac{1}{15}\,e^{2r},\\[9pt] y=-C_1e^{-3r}+C_2e^{-4r}-\dfrac{1}{20}e^r+\dfrac{2}{15}\,e^{2r}.\end{cases}[/math]

Возвращаясь к переменной [math]t~(e^r=t)[/math], получим общее решение данной системы


[math]x=\frac{2C_1}{t^3}-\frac{C_2}{t^4}+\frac{3t}{10}+\frac{t^2}{15}\,,\quad y=-\frac{C_1}{t^3}+\frac{C_2}{t^4}-\frac{t}{20}+\frac{2t^2}{15}\,.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved