Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Методы интегрирования неоднородных линейных систем ДУ

Методы интегрирования неоднородных линейных систем
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами


Пусть имеем неоднородную линейную систему с постоянными коэффициентами


\frac{dx_i}{dt}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}x_k(t)+f_i(t),\quad i=1,2,\ldots,n,

которую короче можно записать в матричном виде


\frac{dX}{dt}=AX+F,

где F — одностолбцовая матрица, элементами которой являются функции f_i(t).


Теорема. Общее решение X(t) неоднородной линейной системы равно сумме общего решения X_{\text{o.o}}(t) соответствующей однородной системы \frac{dX}{dt}=AX и любого частного решения X_{\text{ch.n}}(t) данной неоднородной системы


X(t)= X_{\text{o.o}}(t) + X_{\text{ch.n}}(t) =\sum_{k=1}^{n}C_kX_k(t)+ X_{\text{ch.n}}(t), где C_1,C_2,\ldots,C_n — произвольные постоянные.

Рассмотрим некоторые методы интегрирования неоднородных линейных систем.


1°. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)


Проиллюстрируем этот метод на примере системы трех неоднородных уравнений. Пусть задана система


x'+a_1x+b_1y+e_1z=f_1(t),
(1.1)

y'+a_2x+b_2y+e_2z=f_2(t),
(1.2)

z'+a_3x+b_3y+e_3z=f_3(t).
(1.3)

Будем предполагать, что общее решение соответствующей однородной системы уже найдено:


\begin{cases}x=C_1x_1+C_2x_2+C_3x_3,\\ y=C_1y_1+C_2y_2+C_3y_3,\\ z=C_1z_1+C_2z_2+C_3z_3.\end{cases}
(2)

Решение неоднородной системы (1) ищем в виде


\begin{cases}x=C_1(t)x_1+C_2(t)x_2+C_3(t)x_3,\\ y=C_1(t)y_1+C_2(t)y_2+C_3(t)y_3,\\ z=C_1(t)z_1+C_2(t)z_2+C_3(t)z_3.\end{cases}
(3)

где C_1(t),\,C_2(t),\,C_3(t) — пока неизвестные функции.


Подставим (3) в (1), тогда уравнение (1.1) примет вид


\begin{aligned}C'_1x_1+C'_2x_2+&C'_3x_3+C_1(x'_1+a_1x_1+b_1y_1+e_1z_1)+ C_2(x'_2+a_1x_2+b_1y_2+e_1z_2)\,+\\ &+\,C_3(x'_3+a_1x_3+b_1y_3+e_1z_3)=f_1(t).\end{aligned}
(4)

Все суммы, стоящие в скобках, обратятся в ноль (в силу того, что (2) есть решение соответствующей однородной системы), так что будем иметь


C'_1x_1+C'_2x_2+C'_3x_3=f_1(t).
(5)

Аналогично из (1.2) и (1.3) после подстановки в них (3) получим

\begin{gathered}C'_1y_1+C'_2y_2+C'_3y_3=f_2(t),\hfill\\ C'_1z_1+C'_2z_2+C'_3z_3=f_3(t).\hfill \end{gathered}
(6)

Система уравнений (5), (6), линейных относительно C'_1,\,C'_2,\,C'_3 имеет решение, так как ее определитель


\Delta= \begin{vmatrix}x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\z_1&z_2&z_3\end{vmatrix}\ne0

в силу линейной независимости частных решений соответствующей однородной системы. Отыскав C'_1(t),\,C'_2(t),\,C'_3(t), затем с помощью интегрирования найдем C_1(t),\,C_2(t),\,C_3(t), а тем самым и решение (3) неоднородной системы (1).




Пример 1. Методом вариации постоянных решить систему дифференциальных уравнений


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=-2x-4y+1+4t,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=-x+y+\dfrac{3}{2}t^2.\end{cases}
(7)

Решение. Сначала решим соответствующую однородную систему


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=-2x-4y,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=-x+y.\end{cases}
(8)

Из второго уравнения системы (8) имеем


x=y-\frac{dy}{dt}\,, так что \frac{dx}{dt}=\frac{dy}{dt}-\frac{d^2y}{dt^2}\,.

Подставим эти выражения для x и \frac{dx}{dt} в первое уравнение системы (8):


\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{dy}{dt}-6y=0\,;

общее решение этого уравнения y=C_1e^{2t}+C_2e^{-3t}.


Так как x=y-\frac{dy}{dt}, то будем иметь x=-C_1e^{2t}+4C_2e^{-3t}.


Общее решение однородной системы (8) есть


x=-C_1e^{2t}+4C_2e^{-3t},\quad y=C_1e^{2t}+C_2e^{-3t}.

Решение неоднородной системы (7) ищем в виде


x=-C_1(t)e^{2t}+4C_2(t)e^{-3t},\quad y=C_1(t)e^{2t}+C_2(t)e^{-3t}.
(9)

Подставив (9) в (7) и приведя подобные члены, получим


\begin{cases}-C'_1e^{2t}+4C'_2(t)e^{-3t}=1+4t,\\ C'_1(t)e^{2t}+C'_2(t)e^{-3t}=\dfrac{3}{2}t^2,\end{cases}
откуда
C'_1(t)=\frac{(6t^2-4t-1)e^{-2t}}{5}\,,\quad C'_2(t)=\frac{(3t^2+8t+2)e^{3t}}{10}\,.
Интегрируя, найдем
\begin{cases}C_1(t)=-\dfrac{1}{5}(t+3t^2)e^{-2t}+C_1,\\[9pt] C_2(t)=\dfrac{1}{10}(2t+t^2)e^{3t}+C_2,\end{cases}
(10)

где C_1 и C_2 — произвольные постоянные. Подставляя (10) в (9), получим общее решение системы (7)


\begin{cases}x=-C_1e^{2t}+4C_2e^{-3t}+t+t^2\,,\\ y=C_1e^{2t}+C_2e^{-3t}-\dfrac{1}{2}+t^2\,.\end{cases}



2°. Метод неопределенных коэффициентов (метод подбора)


Этот метод применяется для решения неоднородной системы линейных уравнений тогда, когда функции f_i(t), стоящие в правой части системы, имеют специальный вид: многочлены P_k(t) показательные функции e^{\alpha t}, синусы и косинусы \sin\beta t \cos\beta t и произведения этих функций. Проиллюстрируем этот метод на примерах.


Пример 2. Найти общее решение неоднородной системы


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=x-2y+e^t,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=x+4y+e^{2t}.\end{cases}
(11)

Решение. Найдем сначала общее решение соответствующей однородной системы


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=x-2y,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=x+4y.\end{cases}
(12)

Характеристическое уравнение имеет вид

\begin{vmatrix}1-\lambda&-2\\1&4-\lambda\end{vmatrix}=0, или \lambda^2-5\lambda+6=0.

Корни этого уравнения \lambda_1=2,~\lambda_2=3. Корню \lambda_1=2 соответствует частное решение системы


x_1=\mu_1e^{2t},\quad y_1=\nu_1e^{2t}.

Подставляя x_1 и y_1 в (12), получаем систему уравнений для нахождения \mu_1 и \nu_1:


-\mu_1-2\nu_1=0,\quad \mu_1+2\nu_1=0.

Отсюда имеем, например, \mu_1=2,~\nu_1=-1, так что первое частное решение однородной системы (11) есть


x_1=2e^{2t},\quad y_1=-e^{2t}.

Корню \lambda_2=3 соответствует частное решение x_2=\mu_2e^{2t},\quad y_2=\nu_2e^{2t}. Числа \mu_2 и \nu_2 находим из системы


-2\mu_2-2\nu_2=0,\quad \mu_2+\nu_2=0,

которой удовлетворяют, например, числа \mu_2=1,~\nu_2=-1. Тогда второе частное решение системы (12) есть


x_2=e^{2t},\quad y_2=-e^{2t}.

Общее решение однородной системы (12):


\widetilde{x}=2C_1e^{2t}+C_2e^{3t},\quad \widetilde{y}=-C_1e^{2t}-C_2e^{3t}.

Методом неопределенных коэффициентов находим частное решение неоднородной системы (11). Исходя из вида правых частей f_1(t)=e^t и f_2(t)=e^{2t}, записываем вид частного решения (см. табл. 1)


x_{\text{ch.n}}(t)=Ke^t+(Lt+M)e^{2t},\quad y_{\text{ch.n}}(t)=Ne^t+(Pt+Q)e^{2t}.
(13)

Подставляя (13) в (II), будем иметь


\begin{gathered}Ke^t+2(Lt+M)e^{2t}+Le^{2t}= Ke^t+(Lt+M)e^{2t}-2Ne^t-2(Pt+Q)e^{2t}+e^t,\hfill\\[3pt] Ne^t+2(Pt+Q)e^{2t}+Pe^{2t}= Ke^t+(Lt+M)e^{2t}+4Ne^t+4(Pt+Q)e^{2t}+e^{2t}.\hfill\end{gathered}

Приравнивая коэффициенты при e^t,\,e^{2t} и te^{2t} в обеих частях этих тождеств, получаем из первого:


\begin{array}{*{20}{l|l}}e^t& K=K-2N+1,\\ e^{2t}& 2M+L=M-2Q,\\ te^{2t}& 2L=L-2P,\end{array}
из второго:
\begin{array}{*{20}{l|l}}e^t& N=K+4N,\\ e^{2t}& 2Q+P=M+4Q+1,\\ te^{2t}& 2P=L+4P.\end{array}

Решая эту систему уравнений, находим K=-\frac{3}{2},~L=2,~M=0,~N=\frac{1}{2},~P=Q=-1. Значит, частное решение (13) имеет вид


x_{\text{ch.n}}(t)=-\frac{3}{2}\,e^t+2te^{2t},\quad y_{\text{ch.n}}(t)=\frac{1}{2}\,e^t-(t+1)e^{2t}.

Общее решение неоднородной системы


\begin{cases}x=2C_1e^{2t}+C_2e^{3t}-\dfrac{3}{2}\,e^t+2te^{2t},\\[9pt] y=-C_1e^{2t}-C_2e^{3t}+\frac{1}{2}\,e^t-(t+1)e^{2t}.\end{cases}



Пример 3. Решить систему неоднородных дифференциальных уравнений


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=x+2y\,,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=x-5\sin{t}\,.\end{cases}
(14)

Решение. Характеристическое уравнение


\begin{vmatrix}1-\lambda&2\\1&-\lambda\end{vmatrix}=0, или \lambda^2-\lambda-2=0.

Корни характеристического уравнения \lambda_1=-1,~\lambda_2=2. Общее решение соответствующей однородной системы:


\widetilde{x}=C_1e^{-t}+2C_2e^{2t},\quad \widetilde{y}=-C_1e^{-t}+C_2e^{2t}.

Найдем частное решение неоднородной системы (14), имея в виду, что f_1(t)=0, f_2(t)=-5\sin{t}. Запишем x_{\text{ch.n}} и y_{\text{ch.n}} в виде


x_{\text{ch.n}}=A\cos{t}+B\sin{t}\,,\quad y_{\text{ch.n}}=M\cos{t}+N\sin{t}

и подставим в систему (14):


\begin{aligned}-A\sin{t}+B\cos{t}&= A\cos{t}+B\sin{t}+2M\cos{t}+2N\sin{t}\,,\\ -M\sin{t}+N\cos{t}&= A\cos{t}+B\sin{t}-5\sin{t}\,,\end{aligned}

Приравниваем коэффициенты при \sin{t} и \cos{t} в обеих частях равенств:


\begin{cases}-A=B+2N,\\ \phantom{-}B=A+2M,\\ -M=B-5,\\ \phantom{-}N=A,\end{cases}

отсюда A=-1,~B=3,~M=2,~N=-1, так что


x_{\text{ch.n}}=-\cos{t}+3\sin{t}\,,\quad y_{\text{ch.n}}=2\cos{t}-\sin{t}\,.

Общее решение исходной системы:


\begin{cases}x=\widetilde{x}+x_{\text{ch.n}}= C_1e^{-t}+2C_2e^{2t}-\cos{t}+3\sin{t}\,,\\ y=\widetilde{y}+y_{\text{ch.n}}= -C_1e^{-t}+C_2e^{2t}+2\cos{t}-\sin{t}\,.\end{cases}



Пример 4. Решить систему неоднородных дифференциальных уранвений


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=x+2y+16te^{t},\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=2x-2y.\end{cases}
(15)

Решение. Характеристическое уравнение


\begin{vmatrix}1-\lambda&2\\2&-2-\lambda\end{vmatrix}=0, или \lambda^2+\lambda-6=0.

Корни характеристического уравнения \lambda_1=2,~\lambda_2=-3. Общее решение однородной системы, соответствующей системе (15):


\widetilde{x}=2C_1e^{2t}+C_2e^{-3t},\quad \widetilde{y}=C_1e^{2t}-2C_2e^{-3t}.

Частное решение неоднородной системы уравнений (15) ищем в виде


x_{\text{ch.n}}= (At+B)e^t,\quad y_{\text{ch.n}}= (Mt+N)e^t.
(16)

Подставим (16) в (15) и сократим на e^t:


\begin{aligned}At+B+A&= At+B+2Mt+2N+16t,\\ Mt+N+M&= 2At+2B-2Mt-2N,\end{aligned}

отсюда A=-12,~B=-13,~M=-8,~N=-6. Итак,


x_{\text{ch.n}}=- (12t+13)e^t,\quad y_{\text{ch.n}}=-(8t+6)e^t.

Общее решение исходной системы:


\begin{cases}x=\widetilde{x}+x_{\text{ch.n}}=2C_1e^{2t}+C_2e^{-3t}-(12t+13)e^t\,,\\ y=\widetilde{y}+y_{\text{ch.n}}=C_1e^{2t}-2C_2e^{-2t}-(8t+6)e^t \,.\end{cases}



3°. Построение интегрируемых комбинаций (метод Даламбера)


Этот метод служит для построения интегрируемых комбинаций при решении систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Покажем его применение для решения систем двух уравнений:


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=a_1x+b_1y+f_1(t),\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=a_2x+b_2y+f_2(t).\end{cases}
(17)

Умножим второе уравнение на некоторое число \lambda и сложим почленно с первым уравнением:


\frac{d(x+\lambda y)}{dt}= (a_1+\lambda a_2)x+(b_1+\lambda b_2)y+f_1(t)+\lambda f_2(t).

Перепишем последнее уравнение в виде


\frac{d(x+\lambda y)}{dt}= (a_1+\lambda a_2)\!\left(x+\frac{b_1+\lambda b_2}{a_1+\lambda a_2}\,y\right)+f_1(t)+\lambda f_2(t).
(18)

Выберем число \lambda так, чтобы


\frac{b_1+\lambda b_2}{a_1+\lambda a_2}=\lambda\,.
(19)

Тогда (18) приводится к уравнению, линейному относительно x+\lambda y


\frac{d(x+\lambda y)}{dt}= (a_1+\lambda a_2)(x+\lambda y)+f_1(t)+\lambda f_2(t),

интегрируя которое, получаем


x+\lambda y=e^{(a_1+\lambda a_2)t}\left[C+\int\Bigl(f_1(t)+\lambda f_2(t)\Bigr)e^{-(a_1+\lambda a_2)t}\right].
(20)

Если уравнение (19) имеет различные вещественные корни \lambda_1 и \lambda_2, то из (20) получим два первых интеграла системы (17), и, значит, интегрирование этой системы будет окончено.




Пример 5. Решить методом Даламбера систему дифференциальных уравнений


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=5x+4y+e^t,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=4x+5y+1.\end{cases}
(21)

Решение. Выберем \lambda по формуле (19): 4+5\lambda=\lambda(5+4\lambda), откуда \lambda_{1,2}=\pm1. Тогда по формуле (20) для случая \lambda=1 будем иметь


x+y=e^{(5+4\cdot1)t}\left[C_1+\int(e^t+1)e^{-(5+4\cdot1)t}dt\right]= e^{9t}\left[C_1+\int(e^{-8t}+e^{-9t})dt\right]= C_1e^{9t}-\frac{e^t}{8}-\frac{1}{9}\,.

Для \lambda=-1 аналогично получаем


x-y=e^{(5-4)t}\left[C_1+\int(e^t-1)e^{-(5-4)t}dt\right]= C_2e^t+te^t+1.

Итак, имеем два первых независимых интеграла системы (21):


\left(x+y+\dfrac{e^t}{8}+\dfrac{1}{9}\right)e^{-9t}=C_1,\quad (x-y-te^t-1)e^{-t}=C_2.

Интегрирование системы закончено.




Замечание. Если правые части нормальной системы уравнений имеют вид \frac{ax+by+cz+P(t)}{t}, где a,b,c — постоянные, а P(t) многочлен от t, то подстановка t=e^r приводит к системе с постоянными коэффициентами.


Пример 6. Решить систему дифференциальных уравнений


\begin{cases}t\,\dfrac{dx}{dt}=-2x+2y+t,\\[9pt] t\,\dfrac{dy}{dt}=-x-5y+t^2.\end{cases}

Решение. Сделаем замену переменного t=e^r. Тогда


\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=\frac{1}{t}\cdot\frac{dx}{dr},\quad \frac{dy}{dt}=\frac{1}{t}\cdot\frac{dy}{dr}\,,

и система примет вид


\begin{cases}\dfrac{dx}{dr}=-2x+2y+e^r,\\[9pt] \dfrac{dy}{dr}=-x-5y+e^{2r}.\end{cases}
(22)

Для решения системы (22) применим метод Даламбера. Умножим второе уравнение системы на \lambda и сложим почленно с первым:


\dfrac{d}{dr}(x+\lambda y)= (-2-\lambda)x+(2-5\lambda)y+e^r+\lambda e^{2r},

или

\dfrac{d}{dr}(x+\lambda y)= (-2-\lambda)\!\left[x+\frac{2-5\lambda}{-2-\lambda}\,y\right]+e^r+\lambda e^{2r}.
(23)

Выберем \lambda так, чтобы коэффициент при y в квадратной скобке был равен \lambda, т.е. \frac{2-5\lambda}{-2-\lambda}=\lambda, или \lambda^2-3\lambda+2=0, откуда \lambda_1=1, \lambda_2=2. При \lambda_1=1 из (23) получаем


\frac{d(x+y)}{dr}=-3(x+y)+e^r+e^{2r},

откуда, согласно формуле (20), будем иметь


x+y=e^{-3r}\left[C_1+\int(e^r+e^{2r})e^{3r}\,dr\right].

После интегрирования получаем


x+y=C_1e^{-3r}+\frac{1}{4}\,e^{r}+\frac{1}{5}\,e^{2r}.
(24)

При \lambda_2=2 из (23) аналогично находим


x+2y=C_2e^{-4r}+\frac{1}{5}\,e^r+\frac{1}{3}\,e^{2r}.
(25)

Решая систему (24)-(25) относительно x и y, получаем общее решение системы (22):


\begin{cases}x=2C_1e^{-3r}-C_2e^{-4r}+\dfrac{3}{10}\,e^r+\dfrac{1}{15}\,e^{2r},\\[9pt] y=-C_1e^{-3r}+C_2e^{-4r}-\dfrac{1}{20}e^r+\dfrac{2}{15}\,e^{2r}.\end{cases}

Возвращаясь к переменной t~(e^r=t), получим общее решение данной системы


x=\frac{2C_1}{t^3}-\frac{C_2}{t^4}+\frac{3t}{10}+\frac{t^2}{15}\,,\quad y=-\frac{C_1}{t^3}+\frac{C_2}{t^4}-\frac{t}{20}+\frac{2t^2}{15}\,.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved