Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Методы интегрально-дифференциальной интерполяции

Методы интегрально-дифференциальной интерполяции


Постановка задачи


Использование различных сочетаний функциональных, дифференциальных и интегральных условий согласования (4.2), (4.3), (4.5) позволяет конструировать различные типы интерполяционных или интерполяционно-сглаживающих многочленов. В данном разделе рассматриваются задачи построения двух интегрально-дифференциальных интерполяционных параболических многочленов [math]S_2^{(I)}(x)[/math] и [math]S_2^{(II)}(x)[/math].


Первый определяется по сеточной функции, заданной не только своими значениями [math]f_i~(i=\overline{0,n-1})[/math], но и значениями интегралов [math]I_{i}^{i+1}~ (i=\overline{0,n-1})[/math]. Так как для нахождения многочлена [math]S_2^{(I)}(x)[/math] используются совместно функциональное условие (4.3) и интегральное условие (4.5), то многочлен называется интегрально-функциональным. Поскольку функциональное условие (4.3) является частным случаем дифференциального условия (4.2), соответствующий метод относится к интегрально-дифференциальным.


Второй многочлен определяется по сеточной функции, заданной не только значениями производных [math]f_{i}^{(p)}~(i=\overline{0,n})[/math], но и значениями интегралов [math]I_{i}^{i+1}~ (i=\overline{0,n-1})[/math]. Так как для нахождения многочлена [math]S_2^{(II)}(x)[/math] совместно используются дифференциальное условие (4.2) при [math]p=1[/math] и интегральное условие (4.5), то многочлен (и соответствующий метод) называется интегрально-дифференциальным.




Интерполяционный параболический интегрально-функциональный многочлен


Пусть некоторая сеточная функция, определенная в общем случае на неравномерной сетке [math]\Omega_n= \{x_0,x_1,\ldots,x_n\}[/math] задана своими значениями [math]f_0,f_1,\ldots, f_n[/math] и интегралами [math]I_0^1,I_1^2,\ldots,I_{n-1}^n[/math] [math]\textstyle{\Big(I_{i}^{i+1}= \int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)dx\Big)}[/math], которые могут быть предварительно рассчитаны по одной из квадратурных формул. Будем считать, что точность заданных значений [math]f_i[/math] и вычисленных интегралов [math]I_{i}^{i+1}[/math] для всех узлов [math]x_i~ (i=\overline{0,n})[/math] и отрезков [math][x_i,x_{i+1}]~(i=\overline{0,n-1})[/math] не ниже [math]O(h_{i+1}^3)[/math] и [math]O(h_{i+1}^4)[/math] соответственно. Это требование следует из утверждения В.2, устанавливающего принцип соответствия порядков аппроксимации (интерполяции).


Применим кусочный способ интерполяции. Для некоторого отрезка [math][x_i,x_{i+1}]~ (0 \leqslant i \leqslant n-1)[/math] на двухточечном шаблоне требуется определить многочлен


[math]S_{2,i}^{(I)}(x)= a_{0,i}+ a_{1,i}(x-x_i)+ a_{2,i}(x-x_i)^2,[/math]

где [math]a_{0,i},\, a_{1,i},\, a_{2,i}[/math] — неизвестные коэффициенты, удовлетворяющие функциональным (4.3) и интегральным условиям согласования (4.5):


[math]\begin{gathered}\delta S_{2,i}^{(I)}(x_i)= S_{2,i}^{(I)}(x_i)-f_i=0,\qquad \delta S_{2,i}^{(I)}(x_{i+1})= S_{2,i}^{(I)}(x_{i+1})-f_{i+1}=0,\\ \delta S_{2,i}^{(I)}(I_{i}^{i+1})= \int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} S_{2,i}^{(I)}(x)dx-I_{i}^{i+1}=0. \end{gathered}[/math]

Для определения тех коэффициентов параболического интегрально-функционального многочлена можно получить фи линейных уравнения, являющиеся следствием трех условий согласования:


[math]\begin{gathered}S_{2,i}^{(I)}(x_i)= a_{0,i}=f_i\quad \text{or}\quad a_{0,i}=f_i,\\ S_{2,i}^{(I)}(x_{i+1})= f_i+ a_{1,i}h_{i+1}+ a_{2,i}h_{i+1}^2= f_{i+1}\quad \text{or}\quad h_{i+1}a_{1,i}+ h_{i+1}^2a_{2,i}= \Delta f_i,\\ \int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} \bigl[f_1+ a_{1,i}(x-x_i)+ a_{2,i}(x-x_i)^2\bigr]dx= I_{i}^{i+1}. \end{gathered}[/math]

Вводя фазу интерполяции [math]u=\frac{x-x_i}{h_{i+1}}[/math], последнее условие после интегрирования можно записать в виде


[math]h_{i+1}f_i+ \frac{h_{i+1}^2}{2}\,a_{1,i}+ \frac{h_{i+1}^3}{3}\,a_{2,i}= I_{i}^{i+1}.[/math]

Итак, для оставшихся двух коэффициентов [math]a_{1,i},\, a_{2,i}[/math] имеется система линейных алгебраических уравнений:


[math]\left\{\begin{aligned}& 3h_{i+1}^2a_{1,i}+2h_{i+1}^3a_{2,i}= 6\nabla I_{i}^{i+1},\\ & h_{i+1}a_{1,i}+ h_{i+1}^2a_{2,i}= \Delta f_i, \end{aligned}\right.[/math]

где [math]\nabla I_{i}^{i+1}= I_{i}^{i+1}-h_{i+1}f_i,~ \Delta f_i= f_{i+1}-f_i[/math]. Очевидно, определитель этой системы [math]\begin{vmatrix}3h_{i+1}^2& 2h_{i+1}^3\\ h_{i+1}& h_{i+1}^2 \end{vmatrix}\ne0[/math], что свидетельствует о существовании и единственности интегрально-функционального многочлена [math]S_{2,i}^{(I)}(x)[/math] на отрезке [math][x_i,x_{i+1}][/math]. В силу произвольности отрезка [math][x_i,x_{i+1}][/math] данный многочлен [math]S_{2,i}^{(I)}(x)[/math] существует и является единственным на каждом частичном отрезке [math][x_i,x_{i+1}],~ i=\overline{0,n-1}[/math]. Поэтому многочлен [math]S_{2,i}^{(I)}(x)[/math] может быть положен в основу кусочной многозвенной интерполяции, в том числе и сплайн-интерполяции.


Определяя [math]a_{1,i},\, a_{2,i}[/math] из приведенной системы, записываем параболический интегрально-функциональный многочлен [math]S_{2,i}^{(I)}(x)[/math] в полиномиальной форме:


[math]S_{2,i}^{(I)}(x)= f_i+ \left(\frac{6}{h_{i+1}^2}\nabla I_{i}^{i+1}-\frac{2}{h_{i+1}} \Delta f_i\right)\! (x-x_i)+ \left(-\frac{6}{h_{i+1}^3}\nabla I_{i}^{i+1}+ \frac{3}{h_{i+1}^2} \Delta f_i\right)\! (x-x_i)^2.[/math]
(4.37)

Если в (4.37) подставить вместо [math](x-x_i)[/math] произведение [math]uh_{i+1}[/math] и выделить слагаемые при [math]I_{i}^{i+1},\, f_i,\, f_{i+1}[/math], то получим параболический интегрально-функциональный многочлен в лагранжевой форме:


[math]S_{2,i}^{(I)}(u)= \frac{1}{h_{i+1}}\,P_{2,I}(u) I_{i}^{i+1}+ P_{2,i}(u) f_{i}+ P_{2,i+1}(u) f_{i+1},[/math]
(4.38)

где [math]P_{2,I}(u)= 6u(1-u);~ P_{2,i}(u)= (1-u)(1-3u);~ P_{2,i+1}(u)= u(3u-2)[/math] — коэффициенты Лагранжа, удовлетворяющие функциональным и интегральному условиям:


[math]P_{2,k}(x_m)= \begin{cases}1,& m=k~(k=i,i+1),\\ 0,& m\ne k~(k=i,i+1),\\ 0,& k=I; \end{cases}\qquad \int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} P_{2,k}(x)\,dx= \begin{cases}1,& k=I,\\ 0,& k=i,\\ 0,& k=i+1. \end{cases}[/math]
(4.39)

Так же как и классические (функциональные) многочлены Лагранжа, ин-тефально-функциональный многочлен [math]S_{2,i}^{(I)}(x)[/math] линейно зависит от параметров [math]I_{i}^{i+1},\, f_i,\, f_{i+1}[/math]. При использовании кусочной интерполяции для определения значения функции [math]f(x_{\ast})[/math]в точке [math]x_{\ast}[/math] с помощью многочлена [math]S_{2,i}^{(I)}(x)[/math] выполняются действия, аналогичные применяемым при функциональной интерполяции.




Методика решения задачи интегрально-функциональной интерполяции


1. Выбрать "окно" интерполяции [math][x_i,x_{i+1}][/math] так, чтобы [math]x_i \leqslant x_{\ast}\leqslant x_{i+1}[/math].


2. Определить фазу интерполяции [math]u=\frac{x_{\ast}-x_i}{h_{i+1}}[/math] и коэффициенты [math]P_{2,k}(u)~ (k=i,i+1,I)[/math].


3. По формуле (4.38) вычислить значение [math]f(x_{\ast})\approx S_{2,i}^{(I)}(u)[/math].


Замечания


1. Правильность вычисления коэффициентов Лагранжа проверяется по условию [math]P_{2,I}+ P_{2,i}+ P_{2,i+1}=1[/math] получающемуся путем подстановки в (4.38) функции


2. При аппроксимации значения [math]f(x_{\ast})[/math] значением многочлена [math]S_{2,i}^{(I)}(x_{\ast})[/math] возникает погрешность [math]R_{2}^{(I)}(x_{\ast})\colon[/math] [math]f(x_{ast})= S_{2,i}^{(I)}(x_{\ast})+ R_{2}^{(I)}(x_{\ast})[/math]. При условии, что [math]f(x)\in C_3[a,b][/math], можно получить оценку погрешности на отрезке [math][x_i,x_{i+1}]\colon[/math]


[math]\max_{[x_i,x_{i+1}]} \bigl|f(x)-S_{2,i}^{(I)}(x)\bigr|\leqslant \frac{h_{i+1}^3}{72 \sqrt{3}}\, \overline{M}_{3,i},[/math]
(4.40)

где [math]\overline{M}_{3,i}= \max_{[x_i,x_{i+1}]}\bigl|f'''(x)\bigr|[/math].


Если класс гладкости функции [math]f(x)[/math] понижен и [math]f(x)\in C_2[a,b][/math], то порядок аппроксимации интегрально-функциональным многочленом [math]S_{2,i}^{(I)}(x)[/math] также понижается на единицу:


[math]\max_{[x_i,x_{i+1}]} \bigl|f(x)-S_{2,i}^{(I)}(x)\bigr|\leqslant \frac{h_{i+1}^2}{25 \sqrt{2}}\, \overline{M}_{2,i}.[/math]

3. Сравним условия применения функционального (классического) многочлена Лагранжа [math]L_2(x)[/math], определенного на трехточечном шаблоне [math](x_i,x_{i+1},x_{i+2})[/math], и интегрально-функционального многочлена [math]S_{2,i}^{(I)}(x)\colon[/math]


а) аппроксимируемая функция для применения многочлена Лагранжа задается только своими значениями [math]f_i~(i=\overline{0,n})[/math], т.е. функциональными параметрами, а для использования [math]S_{2}^{(I)}(x)[/math] функция определяется еще и интегралами [math]I_{i}^{i+1}~(i=\overline{0,n-1})[/math]. Если в постановке задачи интегралы неизвестны, то, как отмечено выше, они вычисляются предварительно по значениям [math]f_i~(i= \overline{0,n})[/math] по тем или иным квадратурным формулам. Интегрально-функциональная интерполяция предоставляет дополнительные возможности для более полного учета локальных свойств интерполируемых функций, которые в отдельных точках и областях могут иметь особенности: разрывы производных, локальные экстремумы и др. При этом локальные свойства учитываются путем соответствующего выбора трехточечного шаблона, на котором аппроксимируется интеграл [math]I_{i}^{i+1}[/math];


б) многочлен [math]L_2(x)[/math] записывается на трехточечном шаблоне [math](x_i,x_{i+1}, x_{i+2})[/math], а интегрально-функциональный многочлен [math]S_{2,i}^{(I)}(x)[/math] — на двухточечном [math](x_i,x_{i+1})[/math];


в) функциональный многочлен [math]L_2(x)[/math] при его записи на одном шаблоне определяется только функциональными параметрами [math]f_i,f_{i+1},f_{i+2}[/math], a интегрально-функциональный многочлен [math]S_{2,i}^{(I)}(x)[/math] — двумя функциональными и интегральным [math]I_{i}^{i+1}[/math], поэтому при его построении можно учесть интегральные свойства аппроксимируемой функции;


г) по порядку аппроксимации оба многочлена обеспечивают одинаковый третий порядок аппроксимации, который при [math]f(x)\in C_3[a,b][/math] является максимальным, однако константа в мажоранте для [math]S_{2,i}^{(I)}(x)[/math] в восемь раз меньше соответствующей константы в мажоранте для [math]L_2(x)\colon[/math]


[math]\max_{[x_i,x_{i+1}]} \bigl|f(x)-L_2(x)\bigr|\leqslant \frac{H^3 \sqrt{3}}{27}\, M_{3,i};\qquad \max_{[x_i,x_{i+1}]} \bigl|f(x)-S_{2,i}^{(I)}(x)\bigr|\leqslant \frac{h_{i+1}^3 \sqrt{3}}{216}\, \widetilde{M}_{3,i},[/math]

где [math]H= \max_{k=i+1,i+2}h_k,~ M_{3,i}= \max_{[x_i,x_{i+2}]}|f'''(x)|,~ \widetilde{M}_{3,i}= \max_{[x_i,x_{i+1}]}|f'''(x)|.[/math].


Пример 4.7. Пусть сеточная функция на отрезке [math][-1;4][/math] задана функциональными [math]f_i~(i=\overline{0,4})[/math] и интегральными параметрами [math]I_{i}^{i+1},~ i=\overline{0,3}[/math], приведенными в табл. 4.12. Данные параметры получены точно путем "обработки" сеточного представления функции [math]f(x)=x^3[/math]. интегралы вычислены точно по формуле Ньютона-Лейбница [math]I_{i}^{i+1}= F_{i+1}-F_i[/math], где [math]F_i[/math] — первообразная. Значения интегралов в табл. 4.12 помещены посередине между значениями функции. Требуется найти значение [math]f(x_{\ast})[/math] при [math]x_{\ast}=2[/math] на основе интегрально-функционального многочлена [math]S_{2,i}^{(I)}(x)[/math].


▼ Решение

1. По значению [math]x_{\ast}=2[/math] выбираем "окно" интерполяции [math][x_2,x_3]= [1;3][/math], такое, что [math]x_2<x_{\ast}<x_3[/math].


2. Вычислим [math]u=\frac{x_{\ast}-x_2}{h_3}= \frac{2-1}{2}= \frac{1}{2}[/math] и коэффициенты Лагранжа


[math]P_{2,I}= 6u(1-u)=\frac{3}{2};\qquad P_{2,2}= (1-u)(1-3u)=-\frac{1}{4};\qquad P_{2,3}= u(3u-2)=-\frac{1}{4}.[/math]

Так как [math]\textstyle{\sum\limits_{k}P_{2,k}=1}[/math] коэффициенты вычислены правильно.


3. Найдем значение /(2) по формуле (4.38) при [math]i=2\colon[/math]


[math]f(2)= S_{2,2}^{(I)}(2)= \frac{P_{2,I}}{h_3}\cdot I_2^3+ P_{2,2}\cdot f_2+ P_{2,3}\cdot f_3= \frac{3}{2}\cdot \frac{20}{2}-\frac{1}{4}\cdot1-\frac{1}{4}\cdot27=8.[/math]

Получилось значение [math]S_{2,2}^{(I)}(2)=8[/math], совпадающее с точным значением исходной формульной функции.


Пример 4.8. Дана сеточная функция, характеризующаяся функциональными и интегральными параметрами, заданными в табл. 4.12. Найти полиномиальный вид интегрально-функционального многочлена на отрезке [math][x_2,x_3][/math], внутри которого находится точка [math]x_{\ast}=2[/math], и вычислить [math]S_{2}^{(I)}(2)[/math]. Результаты сравнить с решением, полученным с помощью многочлена Лагранжа в примере 4.3.


▼ Решение

Для решения задачи в соответствии с исходными данными используем интегрально-функциональный многочлен [math]S_{2}^{(I)}(x)[/math], записанный в форме (4.37).


1. В поставленной задаче "окно" интерполяции, как в примере 4.7, задано отрезком [math][x_2,x_3]= [1;3][/math], поэтому [math]i=2[/math].


2. Вычислим значения [math]\nabla I_2^3,\, \Delta f_2,\, h_3[/math] и коэффициенты многочлена [math]S_{2,2}^{(I)}(x)\colon[/math]


[math]\begin{gathered}h_3= x_3-x_2=3-1=2;\qquad \Delta f_2=f_3-f_2=27-1=26;\\ \nabla I_2^3= I_2^3-h_3f_2= 20-2\cdot1=18;\\ a_0=f_2=1;\qquad a_1= \frac{6}{h_3^2}\,\nabla I_2^3-\frac{2}{h_3}\, \Delta f_2=1;\qquad a_2=-\frac{6}{h_3^3}\,\nabla I_2^3+ \frac{3}{h_3^2}\,\Delta f_2=6. \end{gathered}[/math]

Полученные коэффициенты подставим в формулу (4.37):


[math]S_{2,2}^{(I)}(x)=1+(x-1)+6(x-1)^2=6x^2-11x+6.[/math]

3. Определим значение [math]S_{2,2}^{(I)}(x_{\ast})\colon\, S_{2,2}^{(I)}(2)= \Bigl.{(6x^2-11x+6)}\Bigr|_{x=2}=8[/math].


Из сопоставления полученных результатов с результатами решения примера 4.3 следует, что значение [math]S_{2,2}^{(I)}(2)[/math], полученное интегрально-функциональным методом, лучше соответствует точному значению, чем [math]L_2(2)=6[/math]. Это обусловлено тем, что кроме значений функции [math]f_i=f(x_i)[/math] в узлах задан еще и интеграл, значение которого является точным. В данном случае значение [math]S_{2,2}^{(I)}(2)[/math] совпало с точным значением, так как [math]x_{\ast}=2[/math] находится в середине отрезка [math][1;3][/math].




Интерполяционный параболический интегрально-дифференциальный многочлен


Пусть некоторая сеточная функция на сетке [math]\Omega_n[/math] задана значениями производных [math]f'_i=f'(x_i)~(i=\overline{0,n})[/math] и интегралами [math]I_{i}^{i+1}~(i=\overline{0,n})[/math], которые либо известны, либо могут быть предварительно рассчитаны по одной из квадратурных формул. Так же, как и для многочлена [math]S_{2,i}^{(I)}(x)[/math] рассмотренного ранее, будем считать, что [math]f'_i[/math] и [math]I_{i}^{i+1}[/math] заданы или вычислены с точностью не ниже [math]O(h_{i+1}^2)[/math] и [math]O(h_{i+1}^4)[/math] соответственно.


Применим кусочный способ интерполяции. Для некоторого отрезка [math][x_i,x_{i+1}]~ (0 \leqslant i \leqslant n-1)[/math] на двухточечном шаблоне требуется определить многочлен


[math]S_{2,i}^{(II)}(x)= a_{0,i}+ a_{1,i}(x-x_i)+ a_{2,i}(x-x_i)^2,[/math]

где [math]a_{0,i},\, a_{1,i},\, a_{2,i}[/math] — неизвестные коэффициенты, удовлетворяющие дифференциальным ((4.2) при [math]p=1[/math]) и интегральным (4.5) условиям согласования:


[math]\begin{gathered}\delta S'_{2,i}^{(II)}(x_i)= S'_{2,i}^{(II)}(x_i)-f'_i=0,\qquad \delta S'_{2,i}^{(II)}(x_{i+1})= S'_{2,i}^{(II)}(x_{i+1})-f'_{i+1}=0,\\[5pt] \delta S_{2,i}^{(II)}(I_{i}^{i+1})= \int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} S_{2,i}^{(II)}(x)\,dx- I_{i}^{i+1}=0. \end{gathered}[/math]

Для нахождения трех коэффициентов многочлена можно получить три линейных уравнения, являющиеся следствием трех условий согласования, так же, как это сделано ранее. В результате имеем выражение для параболического интегрально-дифференциального многочлена [math]S_{2,i}^{(II)}(x)[/math] в полиномиальной форме (где [math]\Delta f'_i= f'_{i+1}-f'_i[/math]):


[math]S_{2,i}^{(II)}(x)= \left(\frac{1}{h_{i+1}}\,I_{i}^{i+1}-\frac{h_{i+1}}{2}\, f'_i-\frac{h_{i+1}}{6}\,\Delta f'_i\right)+ f'_i(x-x_i)+ \frac{\Delta f'_i}{2h_{i+1}}(x-x_i)^2.[/math]
(4.41)

Если подставить вместо [math](x-x_i)[/math] произведение [math]u\,h_{i+1}[/math] ([math]{u}[/math] — фаза интерполяции) и выделить слагаемые при [math]I_{i}^{i+1},\, f'_i,\, f_{i+1}[/math], то получим параболический интегрально-дифференциальный многочлен в лагранжевой форме (где [math]u=\frac{x-x_i}{h_{i+1}},~ 0 \leqslant u \leqslant 1[/math]):


[math]S_{2,i}^{(II)}(u)= \frac{1}{h_{i+1}}\,I_{i}^{i+1}+ \frac{1}{6}(-3u^2+6u-2) h_{i+1}f'_i+ \frac{1}{6}(3u^2-1)h_{i+1}f'_{i+1}.[/math]

Замечания


1. При аппроксимации значения [math]f(x_{\ast})[/math] значением многочлена [math]S_{2,i}^{(II)}(x_{\ast})[/math] возникает погрешность [math]R_{2}^{(II)}(x_{\ast})\colon[/math] [math]f(x_{\ast})= S_{2,i}^{(II)}(x_{\ast})+ R_{2}^{(II)}(x_{\ast})[/math]. При условии, что [math]f(x)\in C_3[a,b][/math], можно получить оценку погрешности на отрезке [math][x_{i},x_{i+1}]\colon[/math]


[math]\max_{[x_{i},x_{i+1}]} \bigl|f(x)-S_{2,i}^{(II)}(x_{\ast})\bigr| \leqslant \frac{h_{i+1}^3}{24}\,M_{3,i}.[/math]

2. Алгоритм аппроксимации сеточных функций на основе (4.41), (4,42) аналогичен изложенному ранее для аппроксимации многочленом [math]S_{2,i}^{(I)}(x_{\ast}).[/math]


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved