Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Методы функциональной интерполяции | |
---|---|
Онлайн-сервисы
Нахождение НОД и НОК
Разложение числа на простые множители
Сравнения по модулю
Операции над множествами
Операции над векторами
Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис
Чертёж треугольника по координатам вершин
Решение треугольника
Решение Пирамиды
Построение Пирамиды по координатам вершин
Чертёж многоугольника по координатам вершин
Решение систем методом Крамера и Матричным
Онлайн построение графика кривой 2-го порядка
Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам
МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики
Онлайн число, сумма и дата прописью
Алгоритмы JavaScript
Алгоритмы поиска
Алгоритмы сортировки
Уникальные элементы массива
Объединение, пересечение и разность массивов
НОД и НОК
Операции над матрицами
Дата прописью
Введение в анализ
Функции: понятие, определение, графики
Непрерывность функции
Исследование функции и построение графика
Теория множеств
Множества: понятие, определение, примеры
Точечные множества
Замкнутые и открытые множества
Мера множества
Группы, кольца, поля в математике
Поле комплексных чисел
Кольцо многочленов
Основная теорема алгебры и ее следствия
Математическая логика
Алгебра высказываний
Аксиоматика и логические рассуждения
Методы доказательств теорем
Алгебра высказываний и операции над ними
Формулы алгебры высказываний
Тавтологии алгебры высказываний
Логическая равносильность формул
Нормальные формы для формул высказываний
Логическое следование формул
Приложение алгебры высказываний для теорем
Дедуктивные и индуктивные умозаключения
Решение логических задач
Принцип полной дизъюнкции
Булевы функции
Множества, отношения и функции в логике
Булевы функции от одного и двух аргументов
Булевы функции от n аргументов
Системы булевых функций
Применение булевых функций к релейно-контактным схемам
Релейно-контактные схемы в ЭВМ
Практическое применение булевых функций
Теория формального
Формализованное исчисление высказываний
Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний
Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний
Логика предикатов
Логика предикатов
Логические операции над предикатами
Кванторные операции над предикатами
Формулы логики предикатов
Тавтологии логики предикатов
Преобразования формул и следование их предикатов
Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул
Применение логики предикатов в математике
Строение математических теорем
Аристотелева силлогистика и методы рассуждений
Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме
Метод полной математической индукции
Необходимые и достаточные условия
Логика предикатов и алгебра множеств
Формализованное исчисление предикатов
Неформальные и формаль-ные аксиоматические теории
Неформальные аксиоматические теории
Свойства аксиоматических теорий
Формальные аксиоматические теории
Формализация теории аристотелевых силлогизмов
Свойства формализованного исчисления предикатов
Формальные теории первого порядка
Формализация математической теории
Теория алгоритмов
Интуитивное представление об алгоритмах
Машины Тьюринга и тезис
Рекурсивные функции
Нормальные алгоритмы Маркова
Разрешимость и перечислимость множеств
Неразрешимые алгоритмические проблемы
Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики
Математическая логика и компьютеры
Дискретная математика
Множества и отношения
Теория множеств: понятия и определения
Операции над множествами
Кортеж и декартово произведение множеств
Соответствия и бинарные отношения на множествах
Операции над соответствиями на множествах
Семейства множеств
Специальные свойства бинарных отношений
Отношения эквивалентности на множестве
Упорядоченные множества
Теорема о неподвижной точке
Мощность множества
Парадокс Рассела
Метод характеристических функций
Группы и кольца
Алгебраические структуры и операции
Группоиды, полугруппы, группы
Кольца, тела, поля
Области целостности в теории колец
Модули и линейные пространства
Подгруппы и подкольца
Теорема Лагранжа о порядке конечной группы
Гомоморфизмы групп и нормальные делители
Гомоморфизмы и изоморфизмы колец
Алгебра кватернионов
Полукольца и булевы алгебры
Полукольца: определение, аксиомы, примеры
Замкнутые полукольца
Полукольца и системы линейных уравнений
Булевы алгебры и полукольца
Решетки и полурешетки
Алгебраические системы
Алгебраические системы: модели и алгебры
Подсистемы алгебраических систем
Конгруэнции и фактор-системы
Гомоморфизмы алгебраических систем
Прямые произведения алгебраических систем
Конечные булевы алгебры
Многосортные алгебры
Теория графов
Теория графов: основные понятия и определения
Способы представления графов
Неориентированные и ориентированные деревья
Остовное дерево и алгоритм Краскала
Методы систематического обхода вершин графа
Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах
Задача о путях во взвешенных ориентированных графах
Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов
Топологическая сортировка вершин графа
Элементы цикломатики в теории графов
Булева алгебра и функции
Булевы функции и булев куб
Таблицы булевых функций и булев оператор
Равенство булевых функций. Фиктивные переменные
Формулы и суперпозиции булевых функций
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
Построение минимальных ДНФ
Теорема Поста и классы
Критерий Поста
Схемы из функциональных элементов
Конечные автоматы и регулярные языки
Конечные автоматы и регулярные языки
Алфавит, слово, язык в программировании
Порождающие грамматики (грамматики Хомского)
Классификация грамматик и языков
Регулярные языки и регулярные выражения
Конечные автоматы
Допустимость языка конечным автоматом
Теорема Клини
Детерминизация конечных автоматов
Минимизация конечных автоматов
Лемма о разрастании для регулярных языков
Обоснование алгоритма детерминизации автоматов
Конечные автоматы с выходом
Морфизмы и конечные подстановки
Машины Тьюринга
Контекстно-свободные языки
Контекстно-свободные языки и грамматики
Приведенная форма КС-грамматики
Лемма о разрастании для КС-языков
Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью)
Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике
Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату
Алгебраические свойства КС-языков
Основное свойство суперпозиции КС-языков
Пересечение контекстно-свободных языков
Методы синтаксического анализа КС-языков
Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики
Семантика формальных языков
Принцип индукции по неподвижной точке
Графовое представление МП-автоматов
Интегральное исчисление
Неопределённый и определённый
Неопределенный и определенный интегралы
Свойства интегралов
Интегрирование по частям
Интегрирование методом замены переменной
Интегрирование различных рациональных функций
Интегрирование различных иррациональных функций
Интегрирование различных тригонометрических функций
Определенный интеграл и его основные свойства
Необходимое и достаточное условие интегрируемости
Теоремы существования первообразной
Свойства определенных интегралов
Несобственные интегралы
Интегральное определение логарифмической функции
Приложения интегралов
Вычисление площадей плоских фигур
Площади фигур в различных координатах
Вычисление объемов тел с помощью интегралов
Объём тела вращения
Вычисление длин дуг кривых
Формулы длины дуги регулярной кривой
Кривизна плоской кривой
Площадь поверхности вращения тела
Интегралы в физике
Статические моменты и координаты центра тяжести
Теоремы Гульдина–Паппа
Вычисление моментов инерции
Другие приложения интегралов в физике
Основные интегралы
Вариационное исчисление
Примеры вариационных задач
Дифференциальное уравнение Эйлера
Функционалы, зависящие от нескольких функций
Задача о минимуме кратного интеграла
Финансовый анализ
Анализ эффективности
Критерии и показатели эффективности предприятия
Методы анализа эффективности деятельности
Факторный анализ прибыли от операционной деятельности
Анализ безубыточности предприятия
Операционный рычаг и эффект финансового рычага
Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов
Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала
Анализ распределения прибыли предприятия
Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности
Анализ устойчивости
Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность
Характеристика типов финансовой устойчивости
Рыночная активность
Финансовый анализ рыночной активности
Методика анализа рыночной активности
Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию
Инвестиционная деятельность
Инвестиции: экономическая сущность и классификация
Государственное регулирование инвестиционной деятельности
Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения
Инвестиции в основные фонды
Оценка состояния основных фондов
Амортизация основных фондов
Капитальное строительство в инвестиционном процессе
Планирование инвестиций в форме капитальных вложений
Экономическая эффективность инвестиций
Финансирование капитальных вложений
Кредитование капитальных вложений
Кредитоспособность
Финансирование и кредитование затрат
Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации
Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации
Инвестиционное строительное проектирование
Анализ инвестиций
Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия
Задачи финансового анализа инвестиций предприятия
Учет фактора времени в инвестиционной деятельности
Аннуитет и финансовая рента в инвестициях
Учет фактора инфляции при инвестировании
Оценка фактора риска инвестиционного проекта
Методы оценки эффективности инвестиций
Показатели эффективности инвестиционного проекта
Стоимость компании
Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО)
Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности
Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании
Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости
Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия
Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций
Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций
Доходный подход к оценке стоимости компании и акций
Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции
Метод капитализации прибыли
Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций
Форвардные контракты
Форвардный контракт и цена
Форвардная цена акции на бирже
Цена форвардного контракта инвестора
Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда
Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда
Форвардная цена валюты на рынке форекс
Форвардный валютный курс и инфляция на рынке
Форвардная цена товара и спотовый рынок
Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам
Синтетический форвардный контракт на акции и валюту
Теория вероятностей
Основные понятия теории вероятностей
Зависимые и независимые случайные события
Повторные независимые испытания
Формула Бернулли
Одномерные случайные величины
Многомерные случайные величины
Функции случайных величин
Законы распределения целочисленных случайных величин
Законы распределения непрерывных случайных величин
Предельные теоремы теории вероятностей
Закон больших чисел и предельные теоремы
Вероятностные закономерности
Математическая статистика
Элементы математической статистики
Выборочный метод
Оценки параметров генеральной совокупности
Статистические гипотезы
Критерии согласия
Теоретические и эмпирические частоты
Теория очередей (СМО)
Определение системы массового обслуживания
Уравнения Колмогорова
Предельные вероятности состояний
Определение СМО с отказами
Определение СМО с ожиданием (очередью)
Аналитическая геометрия
Векторная алгебра
Метрические понятия и аксиомы геометрии
Равенство и подобие геометрических фигур
Бинарные отношения
Вектор, его направление и длина
Линейные операции над векторами
Линейная зависимость и независимость векторов
Отношение коллинеарных векторов
Проекции векторов на прямую и на плоскость
Угол между векторами
Ортогональные проекции векторов
Координата вектора на прямой и базис
Координаты вектора на плоскости и базис
Координаты вектора в пространстве и базис
Операции над векторами в координатной форме
Ортогональный и ортонормированный базисы
Cкалярное произведение векторов и его свойства
Выражение скалярного произведения через координаты векторов
Векторное произведение векторов и его свойства
Смешанное произведение векторов и его свойства
Ориентированные площади и объемы
Двойное векторное произведение и его свойства
Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур
Применение произведений векторов при решении геометрических задач
Применение векторной алгебры в механике
Системы координат
Прямоугольные координаты
Преобразования прямоугольных координат
Полярная система координат
Цилиндрическая система координат
Сферические координаты
Аффинные координаты
Аффинные преобразования координат
Аффинные преобразования плоскости
Примеры аффинных преобразований плоскости
Аффинные преобразования пространства
Многомерное координатное пространство
Линейные и аффинные подпространства
Скалярное произведение n-мерных векторов
Преобразования систем координат
Геометрия на плоскости
Алгебраические линии на плоскости
Общие уравнения геометрических мест точек
Алгебраические уравнения линий на плоскости
Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору
Уравнения прямой, проходящей через две точки
Уравнения прямой с угловым коэффициентом
Взаимное расположение прямых
Примеры задач с прямыми на плоскости
Системы неравенств с двумя неизвестными
Системы линейных уравнений с двумя неизвестными
Линии 2-го порядка
Канонические уравнения линий второго порядка
Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду
Эллипс
Гипербола
Парабола
Квадратичные неравенства с двумя неизвестными
Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций
Инварианты линий
Классификация линий 2-го порядка по инвариантам
Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам
Геометрия в пространстве
Способы задания ГМТ в пространстве
Алгебраические уравнения поверхностей
Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам
Уравнения плоскости, проходящей через три точки
Взаимное расположение плоскостей
Типовые задачи с плоскостями
Уравнения прямых в пространстве
Взаимное расположение прямых в пространстве
Типовые задачи с прямыми в пространстве
Поверхности 2-го порядка
Канонические уравнения поверхностей
Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду
Поверхности второго порядка
Эллипсоиды
Гиперболоиды
Конусы
Параболоиды
Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций
Инварианты поверхностей
Линейная алгебра
Матрицы и операции
Линейные операции над матрицами
Умножение матриц
Возведение матриц в степень
Многочлены от матриц
Транспонирование и сопряжение матриц
Блочные матрицы
Произведение и сумма матриц Кронекера
Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду
Элементарные преобразования матриц
Определители
Определители матриц и их основные свойства
Формула полного разложения определителя
Формула Лапласа полного разложения определителя
Определитель произведения матриц
Методы вычисления определителей
Ранг матрицы
Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы
Ранг матрицы и базисный минор матрицы
Методы вычисления ранга матрицы
Ранг системы столбцов (строк)
Обратная матрица
Обратные матрицы и их свойства
Ортогональные и унитарные матрицы
Способы нахождения обратной матрицы
Матричные уравнения
Односторонние обратные матрицы
Скелетное разложение матрицы
Полуобратная матрица
Псевдообратная матрица
Системы уравнений
Системы линейных алгебраических уравнений
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Структура общего решения системы уравнений
Решение систем с помощью полуобратных матриц
Псевдорешения системы линейных уравнений
Функциональные матрицы
Функциональные матрицы скалярного аргумента
Производные матриц по векторному аргументу
Линейные и квадратичные формы и их преобразования
Приведение форм к каноническому виду
Закон инерции вещественных квадратичных форм
Знакоопределенность форм вещественных квадратичных
Формы и исследование функций на экстремум
Многочленные матрицы
Многочленные матрицы (лямбда-матрицы)
Операции над лямбда-матрицами
Простые преобразования многочленных матриц
Инвариантные множители многочленной матрицы
Функции от матриц
Собственные векторы и значения матрицы
Подобие числовых матриц
Характеристический многочлен матрицы
Минимальный многочлен матрицы
Теорема Гамильтона-Кэли
Жорданова форма матрицы
Приведение матрицы к жордановой форме
Многочлены от матриц
Применение многочленов от матриц
Функции от матриц
Линейные пространства
Линейные пространства: определение и примеры
Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов
Размерность и базис линейного пространства
Преобразования координат в линейном пространстве
Изоморфизм линейных пространств
Подпространства
Подпространства линейного пространства
Пересечение и сумма подпространств
Способы описания подпространств
Нахождение дополнения и суммы подпространств
Нахождение пересечения подпространств
Линейные отображения
Линейные многообразия
Линейные отображения
Матрица линейного отображения
Ядро и образ линейного отображения
Линейные операторы
Линейные операторы (преобразования)
Инвариантные подпространства
Собственные векторы и значения оператора
Свойства собственных векторов операторов
Канонический вид линейного оператора
Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду
Евклидовы пространства
Евклидовы пространства
Ортогональные векторы евклидова пространства
Ортогональный базис евклидова пространства
Ортонормированный базис евклидова пространства
Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве
Задача о перпендикуляре
Матрица и определитель Грама и его свойства
Линейные преобразования евклидовых пространств
Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства
Сопряженные операторы евклидова пространства
Самосопряженные операторы евклидова пространства
Приведение квадратичной формы к главным осям
Унитарные пространства и их линейные преобразования
Комплексный анализ
Комплексные числа
Комплексные числа в алгебраической форме
Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах
Множества на комплексной плоскости
Последовательности и ряды комплексных чисел
Комплексные функции
Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная
Элементарные функции комплексного переменного
Дифференцирование функций комплексного переменного
Аналитические функции и их свойства
Конформные отображения
Функциональные ряды в комплексной области
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного
Функциональные ряды и последовательности
Степенные ряды и их свойства
Разложение функций в степенные ряды
Нули аналитических функций
Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням
Особые точки, Вычеты
Изолированные особые точки функций и полюсы
Вычеты и их применение
Вычисление интегралов с помощью вычетов
Вычеты и расположение нулей многочлена
Операционное исчисление
Дифференциальные уравнения
ДУ первого порядка
Основные понятия и определения ДУ
Метод изоклин для ДУ 1-го порядка
Метод последовательных приближений
ДУ с разделяющимися переменными
Однородные ДУ
Линейные ДУ 1-го порядка
Дифференциальное уравнение Бернулли
ДУ в полных дифференциалах
Интегрирующий множитель
ДУ, не разрешенные относительно производной
Дифференциальное уравнение Риккати
Составление ДУ семейств линий
Задачи на траектории
Особые решения ДУ
ДУ высших порядков
Понятия и определения ДУ высших порядков
ДУ, допускающие понижение порядка
Линейная независимость функций
Определители Вронского и Грама
Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения
Задача Коши и Уравнение Эйлера
Линейные ДУ с переменными коэффициентами
Метод Лагранжа решения ДУ
Краевые задачи для ДУ высших порядков
Разложение решения ДУ в степенной ряд
Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд
Нахождение периодических решений ДУ
Асимптотическое интегрирование ДУ
Системы ДУ
Системы ДУ: понятия и определения
Сведение системы ДУ к одному уравнению
Нахождение интегрируемых комбинаций
Интегрирование однородных линейных систем ДУ
Методы интегрирования неоднородных систем ДУ
Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем
Теория устойчивости
Численные методы
Методы алгебры
Численные методы линейной алгебры
Численные методы решения СЛАУ
Итерационный метод Шульца обратной матрицы
Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы
Методы решения нелинейных уравнений
Методы решения систем нелинейных уравнений
Методы теории приближений
Методы приближения сеточных функций
Методы функциональной интерполяции
Методы интегрально-дифференциальной интерполяции
Методы интегрального сглаживания
Методы интерполяции и сглаживания сплайнами
Методы численного дифференцирования и интегрирования
Методы численного дифференцирования
Методы численного интегрирования
Методы решения обыкновенных ДУ
Численные методы решения задачи Коши
Разностные схемы для решения задачи Коши
Составные схемы для решения задачи Коши
Экстраполяционные методы решения задачи Коши
Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши
Численные методы решения краевых задач
Методы решения ДУ в частных производных
Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными
Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных
Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка
Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка
Численные методы решения уравнений в частных производных
Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными
|
Методы функциональной интерполяцииПостановка задачиПусть на множестве [math]\Omega=[a,b][/math] задана сетка [math]\Omega_n= \{x_i,\, i=\overline{0,n}\}[/math], определяемая [math]n+1[/math] точкой [math]x_0,x_1,\ldots,x_n[/math], а на сетке задана сеточная функция [math]y_i=f(x_i),~ i=\overline{0,n}[/math] [math]y_0=f(x_0),~ y_1=f(x_1),~ \ldots,~ y_n=f(x_n).\qquad \mathsf{(4.6)}[/math] В некоторых случаях [math]y_i=f(x_i),~ i=\overline{0,n}[/math] является сеточным представлением заданной формульной функции [math]y=f(x)[/math]. Сеточная функция может задаваться совокупностью пар: [math](x_0,y_0),(x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)[/math]. Требуется найти функцию [math]y=F(x)[/math], принимающую в точках [math]x_0,x_1,\ldots, x_n[/math] те же значения, что и функция [math]y_i=f(x_i),~ i=\overline{0,n}[/math], то есть [math]F(x_i)=y_i,~ i=\overline{0,n}[/math]. Точки [math]x_0,x_1,\ldots, x_n[/math] называются узлами интерполяции, а искомая функция [math]y=F(x)[/math] — интерполирующей. Геометрически это означает, что нужно найти кривую, проходящую через заданное множество точек [math](x_i,y_i),~ i=\overline{0,n}[/math] (рис. 4.2). Одной из целей задачи интерполяции является вычисление значения функции в произвольной точке [math]x_{\ast}[/math]. При этом различаются собственно интерполирование, когда точка [math]x_{\ast}\in [x_0,x_n][/math] и экстраполирование, когда [math]x_{\ast}\notin [x_0,x_n][/math]. Заметим, что можно провести бесчисленное множество "плавных" кривых, проходящих через заданное множество точек. Поэтому задача интерполяции в общей постановке не имеет единственного решения. Если в качестве интерполирующей функции выбрать алгебраический многочлен, степень которого связана с числом заданных узлов интерполяции (на единицу меньше), решение задачи является единственным. Покажем это. Воспользуемся сначала кусочным способом. Выделим из отрезка [math][x_0,x_n][/math] частичный отрезок [x_i,x_{i+k}] и рассмотрим сеточную функцию [math]y_i=f(x_i)[/math], заданную в (k+1)-м узле [math]x_i,x_{i+1},\ldots,x_{i+k}[/math] (узлы не совпадают): [math]y_i=f(x_i),~ y_{i+1}=f(x_{i+1}),~ \ldots,~ y_{i+k}= f(x_{i+k}).[/math] (4.7) В качестве интерполирующей функции выберем алгебраический многочлен k-й степени (степень многочлена на единицу меньше количества узлов): [math]F(x)= \widetilde{f}_k(x,\overline{a})= \sum\limits_{j=0}^{k} a_jx^j= a_0+a_1x+ \ldots+a_kx^k.[/math] (4.8) Будем искать неизвестные коэффициенты [math]a_0,a_1,\ldots,a_k[/math] из условия интерполяции (4.3) , т.е. [math]\delta \widetilde{f}_k(x_i,\overline{a})=0\colon[/math] [math]\widetilde{f}_k(x_i,\overline{a})=y_i,~ \widetilde{f}_k (x_{i+1}, \overline{a})= y_{i+1},~ \ldots,~ \widetilde{f}_k(x_{i+k}, \overline{a})= y_{i+k}.[/math] (4.9) Теорема 4.1 (о единственности решения задачи интерполяции). Задача о нахождении интерполяционного многочлена [math]\textstyle{\widetilde{f}_k(x,\overline{a})= \sum\limits_{j=0}^{k} a_jx^j}[/math], удовлетворяющего условиям (4.9), на частичном отрезке [math][x_i,x_{i+k}][/math] по заданной сеточной функции (4.7) имеет единственное решение. Доказательство. Запишем условия интерполяции (4.9) с учетом (4.8) и обозначения [math]y_i= f(x_i)= f_i\colon[/math] [math]\begin{aligned}& a_0+a_1x_i+ a_2x_i^2+ \ldots+ a_kx_i^k=f_i,\\ & a_0+a_1x_{i+1}+ a_2x_{i+1}^2+ \ldots+ a_kx_{i+1}^k=f_{i+1},\\ & \quad\vdots\\ & a_0+a_1x_{i+k}+ a_2x_{i+k}^2+ \ldots+ a_kx_{i+k}^k=f_{i+k}. \end{aligned}[/math] (4.10) Эта система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов [math]a_0,a_1, \ldots,a_k[/math] имеет единственное решение, так как определитель матрицы системы [math]C_k(x_i,x_{i+1},\ldots,x_{i+k})= \begin{pmatrix}1& x_i& x_i^2& \cdots& x_i^k\\ 1& x_{i+1}& x_{i+1}^2& \cdots& x_{i+1}^k\\ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ 1& x_{i+k}& x_{i+k}^2& \cdots& x_{i+k}^k\end{pmatrix}[/math] (4.11) не равен нулю (доказательство последнего факта содержится в курсе линейной алгебры, где этот определитель называется определителем Вандермонда). Следовательно, задача интерполяции также имеет единственное решение. Полагая [math]i=0,~ k=n[/math], приходим к глобальному способу решения поставленной задачи. А именно, если задана сеточная функция в (n+1)-м узле [math]x_0,x_1,\ldots,x_n[/math] и требуется найти алгебраический многочлен с использованием условий интерполяции, то единственным решением задачи интерполяции является интерполяционный многочлен n-й степени: [math]F(x)= \widetilde{f}_n(x,\overline{a})= \sum\limits_{j=0}^{n} a_jx^j= a_0+a_1x+ \ldots+ a_nx^n,[/math] (4.12) коэффициенты которого находятся из системы (4.10) при [math]i=0,~ k=n[/math]. Замечания 1. Матрица (4.11) имеет дискретный (точечный) характер, так как ее элементы вычисляются по дискретным значениям [math]x_i,x_{i+1},\ldots,x_{i+k}[/math]. 2. При решении поставленной задачи предполагается, что исходная сеточная функция задана своими точными значениями, хотя класс задач, для которых используются такие функции, ограничен. 3. Имеются и другие формы записи интерполяционных многочленов. По теореме 4.1 все эти многочлены степени [math]n[/math], удовлетворяющие функциональным условиям интерполяции и построенные по одним и тем же точкам, являются одним многочленом, записанным в разных формах. 4. При большом числе узлов решение системы (4.10) затруднительно. Искомый интерполяционный многочлен можно построить, не решая этой системы. Многочлены могут быть построены так, чтобы в самой структуре формулы многочлена условие интерполяции учитывалось. 5. При решении задачи функциональной интерполяции и в ее приложениях требуется: а) выбрать наиболее удобную форму и степень интерполяционного многочлена. При этом можно использовать многочлены Лагранжа или Ньютона, а также формулу (4.8); б) оценить погрешность интерполяции; в) определить значения функции в точках, не совпадающих с узлами; г) вычислить значения производных или определенных интегралов с использованием полученных интерполяционных многочленов. Методика решения задачи интерполяции 1. По заданной сеточной функции составить интерполяционный многочлен определенной степени. При выборе степени многочлена следует руководствоваться желаемой точностью интерполяции. 2. Вычислить значения интерполяционного многочлена в заданных точках [math]x_{\ast j},~ j=1,\ldots,p[/math], путем их подстановки в формулу многочлена. Многочлен ЛагранжаПусть исходная сеточная функция задана в (n+1)-й точках сетки [math]\Omega_n\colon\, y_i=f(x_i),\, i=\overline{0,n}[/math], где [math]x_i\in [a,b]=[x_0,x_n][/math] — в общем случае неравноотстоящие узлы, определяемые шагами [math]h_{i+1}= x_{i+1}-x_i~ (h_{i+1}=\text{var})[/math]. Воспользуемся сначала кусочным способом. Здесь и далее будем использовать обозначение [math]f_i=f(x_i)[/math]. Выделим "окно" или частичный отрезок [math][x_i,x_{i+1}][/math], содержащий только две точки (шаблон [math](x_i,x_{i+1})[/math]). Тогда многочлен Лагранжа, интерполирующий исходную функцию на данном шаблоне, имеет вид (где [math]P_{1i}(x),\,P_{1i+1}(x)[/math] — коэффициенты) [math]L_1(x)= \frac{(x-x_{i+1})}{(x_{i}-x_{i+1})}f_i+ \frac{(x-x_{i})}{x_{i+1}-x_i}f_{i+1}= P_{1i}(x)\cdot f_i+ P_{1i+1}(x)\cdot f_{i+1}.[/math] (4.13) Действительно, легко убедиться в том, что [math]L_1(x)[/math] — алгебраический многочлен первой степени, который удовлетворяет условиям функциональной интерполяции (4.3) , т.е. [math]L_1(x_i)=f_i,~ L_1(x_{i+1})= f_{i+1}[/math]. Выделим "окно" в виде двойного частичного отрезка [math][x_i,x_{i+2}][/math] c шаблоном [math](x_i,x_{i+1},x_{i+2})[/math]. Тогда многочлен Лагранжа записывается в виде (где [math]P_{2i}(x),\, P_{2i+1}(x),\, P_{2i+2}(x)[/math] коэффициенты) [math]\begin{aligned}L_2(x)&= \frac{(x-x_{i+1})(x-x_{i+2})}{(x_{i}-x_{i+1})(x_{i}-x_{i+2})}f_i+ \frac{(x-x_{i})(x-x_{i+2})}{(x_{i+1}-x_{i})(x_{i+1}-x_{i+2})}f_{i+1}+ \frac{(x-x_{i})(x-x_{i+1})}{(x_{i+2}-x_{i})(x_{i+2}-x_{i+1})}f_{i+2}=\\ &= P_{2i}(x)\cdot f_{i}+ P_{2i+1}(x)\cdot f_{i+1}+ P_{2i+2}(x)\cdot f_{i+2}.\end{aligned}[/math] (4.14) Легко проверить, что (4.14) — многочлен второй степени и также удовлетворяет условиям функциональной интерполяции: [math]L_2(x_i)= f_i;\qquad L_2(x_{i+1})=f_{i+1},\qquad L_2(x_{i+2})=f_{i+2}.[/math] Обобщив запись многочлена на "окно" для к -кратного частичного отрезка [math][x_i,x_{i+k}][/math] с шаблоном [math](x_i,x_{i+1},\ldots,x_{i+k})[/math], можно записать многочлен Лагранжа в виде [math]L_k(x)= \sum\limits_{m=i}^{i+k} \frac{(x-x_i)(x-x_{i+1})\ldots (x-x_{m-1})(x-x_{m+1})\ldots (x-x_k)}{(x_m-x_i)(x_m-x_{i+1})\ldots (x_m-x_{m-1})(x_m-x_{m+1})\ldots (x_m-x_k)}f_m= \sum\limits_{m=i}^{i+k} P_{km}(x)\cdot f_m.[/math] (4.15) где [math]P_{km}(x)[/math] — коэффициенты Лагранжа, которые для внутренних точек шаблона записываются следующим образом: [math]P_{km}(x)= \frac{(x-x_i)(x-x_{i+1})\ldots (x-x_{m-1})(x-x_{m+1})\ldots (x-x_k)}{(x_m-x_i)(x_m-x_{i+1})\ldots (x_m-x_{m-1})(x_m-x_{m+1})\ldots (x_m-x_k)}\,.[/math] (4.16) Легко проверить, что [math]P_{km}(x)[/math] удовлетворяют условию [math]P_{km}(x_j)= \begin{cases}1,& j=m,\\ 0,& j\ne m,\end{cases} i \leqslant j \leqslant i+k.[/math] (4.16) Если положить [math]i=0,\, k=n[/math], то приходим к глобальному способу решения задачи. Тогда интерполяционный многочлен Лагранжа n-й степени имеет вид [math]L_n(x)= \sum\limits_{i=0}^{n} \frac{(x-x_0)(x-x_{1})\ldots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\ldots (x-x_n)}{(x_i-x_0)(x_i-x_{1})\ldots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\ldots (x_i-x_n)}f_i= \sum\limits_{i=0}^{n} P_{ni}(x)\cdot f_i,[/math] (4.17) где коэффициенты Лагранжа [math]P_{ni}(x)[/math] во внутренних точках отрезка записываются в форме [math]P_{ni}(x)= \frac{(x-x_0)(x-x_{1})\ldots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\ldots (x-x_n)}{(x_i-x_0)(x_i-x_{1})\ldots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\ldots (x_i-x_n)}\,.[/math] Очевидно, многочлен [math]L_n(x)[/math], заданный равенством (4.17), является многочленом степени [math]n[/math] и удовлетворяет функциональным условиям интерполяции (4.3): [math]L_n(x_i)=f_i,~ i=\overline{0,n}[/math]. Для записи интерполяционного многочлена Лагранжа удобно пользоваться табл. 4.1. [math]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \multicolumn{7}{r}{\mathit{Table~4.1}}\\\hline x-x_0& x_0-x_1& x_0-x_2& \cdots& x_0-x_n& D_0& f_0 \\\hline x_1-x_0& x-x_1& x_1-x_2& \cdots& x_1-x_n& D_1& f_1 \\\hline x_2-x_0& x_2-x_1& x-x_2& \cdots& x_2-x_n& D_2& f_2 \\\hline \vdots& \vdots& \vdots& \ddots& \vdots& \vdots& \vdots \\\hline x_n-x_0& x_n-x_1& x_n-x_2& \cdots& x-x_n& D_n& f_n \\\hline \multicolumn{5}{|c|}{\begin{matrix}{}\\[-8pt]{}\end{matrix}\Pi_{n+1}(x)= (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\ldots (x-x_n)}& D_i&f_i \\\hline \end{array}[/math] Здесь [math]D_i[/math] — произведение элементов i-й строки, [math]\Pi_{n+1}(x)[/math] — произведение элементов главной диагонали, [math]y_i= f(x_i)= f_i,~ i=\overline{0,n}[/math]. Тогда многочлен Лагранжа может быть записан в форме [math]L_n(x)= \Pi_{n+1}(x)\cdot \sum\limits_{i=0}^{n} \frac{f_i}{D_i}\,.[/math] (4.18) Замечания 1. Если заданная сеточная функция такая, что [math]f_i=1~(i=\overline{0,n})[/math], то из (4.17) следует, что [math]L_n(x)\equiv1[/math], и поэтому справедливо равенство [math]\textstyle{\sum\limits_{i=0}^{n} P_{ni}(x)=1}[/math] (сумма всех коэффициентов Лагранжа в точке [math]x[/math] равна нулю), которое можно использовать для контроля правильности расчетов. 2. Коэффициенты Лагранжа [math]P_{ni}(x)[/math] для некоторой функции [math]y_i= f(x_i)[/math] определяются лишь узлами сетки и точкой [math]x[/math], в которой необходимо вычислить значение многочлена. Если в некоторой точке [math]x_{\ast}[/math] требуется определить значения нескольких интерполируемых функций [math]f_1(x_i),f_2(x_i),\ldots~ (i=\overline{1,n})[/math], то коэффициенты Лагранжа для всех исходных функций подсчитываются только один раз. 3. При введении дополнительных узлов интерполяции все коэффициенты многочлена Лагранжа необходимо пересчитывать заново, что неудобно на практике. От этого недостатка свободны многочлены Ньютона. Перейдем к рассмотрению примеров решения задачи интерполяции на основе вышеизложенной методики. ▼ Пример 4.1
Погрешность интерполяции многочленами ЛагранжаПри определении значения [math]f(x),~ x\ne x_{i}[/math] для функции [math]y_i=f(x_i)~ (i=\overline{0,n})[/math] с помощью многочлена Лагранжа возникает погрешность или остаточное слагаемое [math]R_n(x)\colon[/math] [math]f(x)= L_n(x)+ R_n(x).[/math] (4.19) Здесь предполагается, что используется глобальный способ интерполяции и что [math]f(x)\in C_{n+1}[a,b][/math]. Последнее предположение требуется для применения соответствующих теорем математического анализа, однако, приведенное ниже соотношение для [math]R_n(x)[/math] может использоваться и для сеточных функций. На основе указанных предположений доказано, что при интерполяции функции [math]y_i=f(x_i)[/math], заданной в общем случае на неравномерной сетке [math]\Omega_n[/math], интерполяционным многочленом Лагранжа [math]\textstyle{L_n(x)= \sum\limits_{i=0}^{n} P_{ni}(x)f_i}[/math] для произвольного значения [math]x\in (x_0,x_n)[/math] возникает погрешность [math]R_n(x)= \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\cdot \omega_n(x),[/math] (4.20) где [math]\omega_n(x)= (x-x_0)(x-x_1)\ldots (x-x_n)[/math] — многочлен (n+1)-й степени, а [math]\xi\in (a,b)[/math]. Поскольку точно найти [math]R_n(x)[/math] нельзя (из-за неопределенности точки [math]\xi[/math]), то при проведении вычислений обычно находятся только приближенные оценки погрешностей интерполяции, которые являются априорными. Оценка погрешности интерполяции в некоторой произвольной фиксированной точке [math]x_{\ast}\in[a,b][/math] имеет вид, где [math]M_{n+1}= \max_{x\in[a,b]}|f^{(n+1)}(x)|[/math] [math]\bigl|f(x_{\ast}-L_n(x_{\ast})\bigr| \leqslant \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}\cdot \bigl|\omega_n(x_{\ast})\bigr|,[/math] (4.21) Оценка максимальной погрешности интерполяции в любой точке [math]x\in[a,b][/math], т.е. на всем отрезке [math][a,b]\colon[/math] [math]\bigl|f(x-L_n(x)\bigr| \leqslant \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}\cdot \max_{x\in[a,b]}\bigl|\omega_n(x_{\ast})\bigr|.[/math] (4.22) Замечание. Для сеточных функций с фиксированными узлами сетки (узлами интерполяции) также можно проводить оценки погрешности по формулам (4.21), (4.22), однако для этого необходимо численно определять [math]M_{n+1}[/math] с помощью аппарата численного дифференцирования. При этом следует учитывать, что при вычислении производных высокого порядка возникают большие погрешности. ▼ Пример 4.2
Сходимости функционального интерполяционного процесса для непрерывных функцийКак отмечалось выше, выбор сетки и соответствующей степени интерполяционного многочлена при интерполяции сеточных функций является одной из важных задач, решить которую можно, рассмотрев проблему сходимости интерполяционных процессов [6,40] для непрерывных функций [math]y=f(x)\in C_{n+1}[a,b][/math]. Будем считать, что интерполяция проводится на последовательности сеток [math]\Omega_1= \bigl\{x_0^{(1)},x_1^{(1)}\bigr\},\quad \Omega_2= \bigl\{x_0^{(2)}, x_1^{(2)},x_2^{(2)}\bigr\},\quad \ldots,\quad \Omega_n= \bigl\{x_0^{(n)},x_1^{(n)},\ldots ,x_n^{(n)}\bigr\}[/math] с возрастающим разбиением [math]k[/math] отрезка [math][a,b]\colon\, k_1=1; k_2=2; \ldots; k_n=n[/math] и т.д. Если при данных разбиениях при возрастающем [math]k=1,2,\ldots,n,\ldots[/math] определяются значения [math]L_k(x_{\ast})[/math] в некоторой промежуточной точке [math]x_{\ast}[/math], то реализуется интерполяционный процесс, характеризующийся последовательностью значений многочленов: [math]L_1(x_{\ast}), L_2(x_{\ast}), \ldots, L_n(x_{\ast}), \ldots[/math]. Интерполяционный процесс для функции [math]f(x)[/math] сходится в точке [math]x_{\ast}\in [a,b][/math], если существует [math]\lim\limits_{k\to\infty} L_k(x_{\ast})= f(x_{\ast})[/math] (поточечная сходимость). Для отрезка [math][a,b][/math] существует понятие равномерной сходимости в некоторой норме, например max, [math]\max_{\substack{x\in[a,b]\\ n\to\infty} \bigl|f(x)-L_n(x)\bigr|\to0}[/math]. Характер сходимости или расходимости интерполяционного процесса зависит как от гладкости и поведения функции [math]f(x)[/math], так и от выбора последовательности сеток [math]\Omega_n~ (n=1,2,\ldots)[/math]. Так, показано, что если f(x) непрерывна на [math][a,b][/math], то найдется такая последовательность [math]\Omega_n~ (n=1,2,\ldots)[/math], для которой интерполяционный процесс сходится равномерно на [math][a,b][/math] (теорема Марцинкевича). Однако для дискретных функций, рассматриваемых в данном разделе, эта теорема не применима. Отметим также, что построены расходящиеся интерполяционные процессы и для формульных функций, например [math]f(x)=|x|,~ x\in[-1;1][/math] и [math]f(x)= (1+25x^2)^{-1},~ x\in[-1;1][/math]. Кроме того, применение многочленов высоких степеней приводит к так называемым "провалам" между узлами интерполяции, часто называемым осцилляциями. Указанные свойства интерполяционных процессов обусловливают нецелесообразность применения интерполяционных многочленов высоких степеней. В связи с этим в вычислительной практике для сеточных функций степень [math]n[/math] не берут выше [math]5\div 8~ (n\leqslant 5\div 8)[/math] и задание частичного отрезка согласуют с выбранной степенью многочлена. Рассмотрим часто использующиеся на практике линейную и параболическую интерполяцию. Линейная и параболическая интерполяция с помощью многочлена ЛагранжаВ прикладных расчетах часто применяется простейшая кусочная интерполяция, основанная на многочленах первой степени [math]L_1(x)[/math] или второй степени [math]L_2(x)[/math]. В этом случае функциональная интерполяция называется линейной или параболической (квадратичной) соответственно. Рассмотрим возможные способы их реализации и найдем оценки их погрешностей. Пусть для сеточной функции [math]y_i=f(x_i)[/math], заданной на сетке [math]\Omega_n= \{x_0,x_1, \ldots, x_n\}[/math], требуется выполнить интерполяционный процесс для определения значения [math]f(x_{\ast})[/math], где [math]x_{\ast}\ne x_i~ (i=\overline{0,n})[/math], и оценить погрешности. Для обоснованного выбора степени интерполяционного многочлена необходимо указать, какую погрешность имеют значения исходной функции [math]f(x_i)[/math] в узлах. Если эта погрешность составляет величину [math]O(h_{i+1}^2)[/math] или [math]O(h_{i+1}^3[/math], а в широком классе вычислительных задач обеспечиваются именно такие погрешности, следует использовать линейную или параболическую интерполяцию. Методика решения задачи линейной интерполяции1. По расположению заданной точки [math]x_{\ast}[/math] на оси [math]Ox[/math] выбрать из всех частичных отрезков [math][x_0,x_1], [x_1,x_2],\ldots, [x_i,x_{i+1}], \ldots, [x_{n-1},x_n][/math], заданных своими крайними значениями и в совокупности образующих сетку [math]\Omega_n[/math], "окно" интерполяции [math]O\equiv [x_i,x_{i+1}][/math], такое, что [math]x_i< x_{\ast}< x_{i+1}[/math]. 2. Для отрезка [math][x_i,x_{i+1}][/math] вычислить значения коэффициентов Лагранжа [math]P_{1i}(x_{\ast})= \frac{x_{\ast}-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}}[/math] и [math]P_{1i+1}(x_{\ast})= \frac{x_{\ast}-x_i}{x_{i+1}-x_i}[/math] входящих в формулу (4.13) для многочлена [math]L_1(x)[/math]. Правильность полученных значений [math]P_{1i}(x_{\ast}),\, P_{1i+1} (x_{\ast})[/math] проверить по условию [math]P_{1i}(x_{\ast})+ P_{1i+1}(x_{\ast})=1[/math], которое должно выполняться. 3. Вычислить искомое значение [math]f(x_{\ast})[/math] согласно (4.13): [math]f(x_{\ast})\approx L_1(x_{\ast})= P_{1i}(x_{\ast}) f_i+ P_{1i+1} (x_{\ast}) f_{i+1}.[/math] Как показано ниже, порядок этой аппроксимации равен двум, т.е. [math]O(h_{i+1}^2)[/math]. Геометрическая интерпретация линейной интерполяции при известной формульной функции [math]y=f(x)[/math] (штриховая линия) изображена на рис. 4.3. Здесь прямая [math]AB[/math] соответствует графику функции [math]y=L_1(x)[/math] на отрезке [math][x_i, x_{i+1}][/math]. Приближенное значение функции равно [math]L_1(x_{\ast})[/math] ( точка [math]C[/math]), и оно отстоит от точного значения [math]f(x_{\ast})[/math] на величину [math]CD \approx O(h_{i+1}^2)[/math] вдоль оси [math]Oy[/math]. Методика решения задачи параболической интерполяции1. Из всей совокупности спаренных частичных отрезков [math][x_0,x_2], [x_1,x_3], \ldots, [x_{i-1}, x_{i+1}], [x_i, x_{i+2}], \ldots, [x_{n-1},x_n][/math], образующих сетку [math]\Omega_n[/math], по заданной величине [math]x_{\ast}[/math] выбрать два пересекающихся "окна" [math]O_1\equiv [x_{i-1},x_{i+1}],~ O_2\equiv [x_i, x_{i+2}][/math] (предполагается, что [math]x_{\ast}[/math] принадлежит внутреннему отрезку [math][x_i,x_{i+1}][/math]). 2. Для "окон" [math]O_1[/math] и [math]O_2[/math] вычислить значения коэффициентов Лагранжа: [math]P_{2,i-1}^{(1)}(x_{\ast}),\, P_{2,i}^{(1)}(x_{\ast}),\, P_{2,i+1}^{(1)}(x_{\ast})[/math] — для "окна" [math]O_1[/math] и [math]P_{2,i}^{(2)}(x_{\ast}),\, P_{2,i+1}^{(2)}(x_{\ast}),\, P_{2,i+2}^{(2)}(x_{\ast})[/math] — для "окна" [math]O_2[/math]. Путем суммирования проверить правильность полученных значений коэффициентов: [math]\sum\limits_{k=i-1}^{i+1} P_{2,k}(x_{\ast})=1,\qquad \sum\limits_{k=i}^{i+2} P_{2,k}(x_{\ast})=1.[/math] 3. Используя значения коэффициентов Лагранжа, вычислить значения [math]L_2^{(1)}(x_{\ast}),\, L_2^{(2)}(x_{\ast})[/math] по формуле (4.14). Если в расчетах не требуется высокая точность интерполирования, то можно ограничиться выбором одного "окна", например [math]O_2[/math], и тогда [math]f(x_{\ast})\approx L_2^{(2)}(x_{\ast})[/math]. Для достижения повышенной точности интерполяцию провести для двух "окон" и результаты [math]L_2^{(1)}(x_{\ast}),\, L_2^{(2)}(x_{\ast})[/math] усреднить: [math]f(x_{\ast})\approx \frac{1}{2}\bigl[L_2^{(1)}(x_{\ast})+ L_2^{(2)}(x_{\ast})\bigr]\equiv L_{2\text{sr}}(x_{\ast}).[/math] При этом порядок интерполяции повышается на единицу, т.е. [math]L_{2\text{sr}}(x_{\ast})[/math] аппроксимирует точное значение с четвертым порядком, поскольку погрешность составляет величину [math]O(H^4)[/math], где [math]H=\max\{h_i,h_{i+1},h_{i+2}\}[/math]. Замечание. Если [math]x_{\ast}\in [x_0,x_2][/math] или [math]x_{\ast}\in [x_{n-1},x_n][/math], то выбирается одно "окно" [math][x_0,x_2][/math] или [math][x_{n-1},x_n][/math] соответственно. Геометрическая интерпретация параболической интерполяции изображена на рис. 4.4. Параболе [math]y= L_2^{(1)}(x_{\ast})[/math] соответствует кривая [math]A_1A_2B_1[/math], параболе [math]y= L_2^{(2)}(x_{\ast})[/math] — кривая [math]A_2B_1A_2[/math]. Точка [math]C[/math] соответствует значению [math]L_2^{(1)}(x_{\ast})[/math], точка [math]D[/math] — значению [math]L_2^{(2)}(x_{\ast})[/math] точка [math]E[/math] — значению [math]L_{2\text{sr}} (x_{\ast})[/math]. Приведем оценки погрешностей линейной и параболической интерполяции. Вначале предположим, что сетка [math]\Omega_n[/math] равномерная (это имеет значение только для параболической интерполяции). Формулы (4.13), (4.14) и оценки (4.22), записанные для "окон" интерполяции, упрощаются, если ввести в рассмотрение новую переменную — фазу интерполяции и [math]u=\frac{x-x_i}{h}\colon[/math] [math]\begin{gathered}L_1(u)= (1-u)\cdot f_i+ u\cdot f_{i+1},\\ L_2(u)= \frac{(u-1)(u-2)}{2}\cdot f_i-u(u-2)\cdot f_{i+1}+ \frac{u(u-1)}{2}\cdot f_{i+2}. \end{gathered}[/math] Здесь учтено, что [math]x-x_{i+1}= x-(x_i+h)= uh-h= h(u-1),~ x-x_{i+2}= h(u-2)[/math]. Очевидно, что для [math]L_1(u)[/math] величина [math]{u}[/math] изменяется в диапазоне [math]0 \leqslant u \leqslant 1[/math], а для [math]L_2(u)[/math] — в диапазоне [math]0 \leqslant u \leqslant 2[/math]. Для получения мажорант в оценке (4.22) необходимо найти [math]\max|\omega_1(x)|[/math] и [math]\max|\omega_2(x)|[/math]. Преобразуя зависимости [math]\omega_1(x)[/math] и [math]\omega_2(x)[/math] к новой переменной [math]{u}[/math], получаем [math]\omega_1(u)= h^2u\cdot (1-u),[/math] [math]\omega_2(u)= h^3u\cdot (1-u)(2-u)[/math] и находим максимумы: [math]\Omega^1= \max_{0 \leqslant u \leqslant 1} \bigl|\omega_1(u)\bigr|= \frac{h^2}{4}\,,\qquad \Omega^2= \max_{0 \leqslant u \leqslant 2} \bigl|\omega_2(u)\bigr|= \frac{2 \sqrt{3}h^2}{9}\,.[/math] Таким образом, реализуются следующие оценки погрешностей линейной и параболической интерполяции, справедливых для соответствующих "окон": [math]\bigl|f(u)-L_1(u)\bigr|\leqslant \frac{h^2}{8}\,M_{2,i},[/math] (4.23) [math]\bigl|f(u)-L_2(u)\bigr|\leqslant \frac{\sqrt{3}h^3}{27}\,M_{3,i},[/math] (4.24) где [math]M_{2,i}= \max_{[x_i, x_{i+1}]}\bigl|f''(x)\bigr|,~ M_{3,i}= \max_{[x_i, x_{i+2}]}\bigl|f'''(x)\bigr|[/math]. При этом предполагается, что [math]f(x)[/math] принадлежит классам функций [math]f(x)\in C_2[a,b],~ f(x)\in C_3[a,b][/math] соответственно для линейной и параболической интерполяции. Таким образом, из оценок (4.23), (4.24) следует, что линейная интерполяция обеспечивает на частичном отрезке [math][x_i, x_{i+1}][/math] второй порядок аппроксимации или погрешности по [math]h[/math], а параболическая (без осреднения) на двойном отрезке [math][x_i, x_{i+2}][/math] — третий порядок. Данные пофешности, как отмечалось во введении и предыдущих разделах, сокращенно записываются как [math]O(h^2)[/math] и [math]O(h^3)[/math]. При реализации алгоритма с осреднением порядок параболической интерполяции становится равным [math]O(h^4)[/math]. Замечания 1. Оценка (4.23) для линейной интерполяции инвариантна по отношению к виду сетки [math]\Omega_n[/math] (равномерной или неравномерной). Параболическая интерполяция также сохраняет указанную погрешность при выполнении интерполяции на неравномерной сетке [math]\Omega_n[/math]. В некоторых источниках для [math]L_2(x)[/math] при выполнении условия [math]f(x)\in C_3[a,b][/math] приведена оценка [math]\max_{[x_i,x_{i+2}]} \bigl|R_2(x)\bigr| \leqslant \frac{\sqrt{3}}{27}\,H^3M_{3,i},[/math] (4.25) где [math]H= \max(h_{i+1}, h_{i+2}),~ h_{i+2}= x_{i+2}-x_{i+1},~ M_{3,i}= \max_{[x_i,x_{i+2}]} \bigl|f'''(x)\bigr|[/math]. 2. Если гладкость функции [math]f(x)[/math] не достигает вышеуказанной и класс гладкости понижен на единицу [math]\bigl(f(x)\in C_2[a,b]\bigr)[/math], то порядок параболической интерполяции также понижается на единицу: [math]\max_{[x_i,x_{i+2}]} \bigl|R_2(x)\bigr| \leqslant 0,\!1546\cdot H^2M_{2,i}.[/math] (4.26) 3. Повышение класса гладкости функции [math]f(x)[/math] выше [math]C_3[a,b][/math] не приводит к увеличению порядка параболической интерполяции относительно Н , т.е. происходит как бы его "замораживание" или "насыщение". Указанные свойства, вытекающие из оценок (4.25), (4.26), носят общий характер и имеют место в других оценках аппроксимации многочленов, сплайнов, производных и интегралов. 4. Для произвольной степени интерполяционного многочлена при [math]h=text{const},~ f(x)\in C_{n-1}[a,b][/math] погрешность функциональной интерполяции на отрезке [math][x_0,x_n][/math] выражается следующим образом: [math]\bigl\|f(x)-L_n(x)\bigr\|_{[a,b]}= \max_{x\in [a,b]} \bigl|f(x)-L_n(x)\bigr| \leqslant h^{n+1} \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}\,\Omega^n.[/math] (4.27) где [math]\Omega^n= \max_{0 \leqslant u \leqslant n} \bigl|\omega_n(u)\bigr|,~ M_{n+1}= \max_{[x_0,x_n]} \bigl|f^{(n+1)}(x)\bigr|,~ \omega_n(x)= u(u-1)\cdot \ldots\cdot (u-n)[/math]. Для многочленов с [math]n \leqslant 5[/math] величины [math]\Omega^n[/math] или их оценки являются такими: [math]\Omega^1=\frac{1}{4};\quad \Omega^2=\frac{2 \sqrt{3}}{9};\quad \Omega^3=1;\quad \Omega^4<3,\!7;\quad \Omega^5<17.[/math] Из (4.27) следует, что на отрезке [math][x_0,x_n][/math] величина [math]\|R_n(x)\|[/math] есть [math]O(h^{n+1})[/math] и при уменьшении шага [math]h[/math] в два раза мажоранта уменьшается по крайней мере в [math]2^{n+1}[/math] раз. Отсюда вытекает, что для непрерывных функций можно по заданной точности интерполяции выбирать шаг [math]h[/math]. При этом можно путем использования кусочной интерполяции в некоторых пределах изменять степень интерполяционного многочлена. Мажоранту в оценке (4.27) при кусочной интерполяции можно также снизить путем выбора "окна" интерполяции [math][x_i,x_{i+k}][/math] так, чтобы точка [math]x_{\ast}[/math] располагалась как можно ближе к его середине. Это обусловлено тем, что колебания функции [math]\omega_n(x)[/math] вблизи середины [math][x_i,x_{i+k}][/math] меньше, чем у его концов. 5. В широком классе задач математической физики применяются расчетные схемы в основном второго (и иногда третьего и выше) порядка точности. При их реализации, как правило, используются встроенные интерполяционные алгоритмы, основанные на многочленах и сплайн-функциях. Степени интерполяционных многочленов при этом должны выбираться из условия соответствия порядков их аппроксимации порядкам точности схем. Если эти порядки одинаковы, то порядок точности схем сохраняется, хотя константа в оценке погрешности схемы изменяется. Если же порядок встроенных интерполяционных алгоритмов хотя бы на единицу выше порядка точности схемы, то вместе с порядком точности схемы сохраняется и указанная константа. Отсюда следует, что необходимо выбирать такую степень интерполяционного многочлена, которая либо обеспечивает равенство порядка аппроксимации порядку точности схемы, либо на единицу превышает последний. Таким образом, использование параболической интерполяции в качестве встроенных алгоритмов или для восполнения численных решений, полученных по схемам второго порядка, позволяет сохранить требуемую точность расчета, а также не дает избыточный порядок и, следовательно, не усложняет алгоритм. Это замечание носит общий характер и относится к любым аппроксимационным алгоритмам, выполняющим функцию восполнения или интерполирования. Перейдем к рассмотрению примеров решения задач линейной и параболической интерполяции. ▼ Пример 4.3
Многочлены НьютонаРазделенные и конечные разности. В практике функционального интерполирования иногда удобнее использовать многочлены Ньютона, степень которых можно последовательно повышать путем добавления очередных слагаемых, имеющих более высокую степень. Такие несимметричные многочлены, альтернативные симметричным многочленам Лагранжа, основаны на разделенных и конечных разностях, вычисляемых по интерполируемой сеточной функции. Разделенные разности вводятся для функции [math]y_i= f(x_i)=f_i,~ i=\overline{0,n}[/math], заданной на неравномерной сетке [math](h_{i+1}= text{var})[/math], а конечные разности — для функции [math]y_i= f(x_i)=f_i,~ i=\overline{0,n}[/math], определенной на равномерной сетке [math](h_{i+1}= text{const})[/math]. Выбрав внутри неравномерной или равномерной сетки соответствующие шаблоны интерполяции [math](x_i,x_{i+1}), (x_i,x_{i+1},x_{i+2}), \ldots, (x_i,x_{i+1},\ldots, x_{i+k})[/math] введем следующие определения разделенных и конечных разностей: – разделенная разность первого порядка: [math]f(x_i,x_{i+1})= \frac{f_{i+1}-f_i}{x_{i+1}-x_i}[/math]; – разделенная разность второго порядка: [math]f(x_i,x_{i+1},x_{i+2})= \frac{f(x_{i+1},x_{i+2})-f(x_i,x_{i+1})}{x_{i+2}-x_i}[/math]; – разделенная разность k-го порядка: [math]f(x_i,x_{i+1},\ldots, x_{i+k})= \frac{f(x_{i+1},x_{i+2},\ldots, x_{i+k})-f(x_i,x_{i+1},\ldots, x_{i+k-1})}{x_{i-k}-x_i}[/math]; – конечная разность первого порядка: [math]\Delta f_i= f_{i+1}-f_i[/math]; – конечная разность второго порядка: [math]\Delta^2f_i= \Delta (\Delta f_i)= \Delta f_{i+1}-\Delta f_i= f_{i+2}-2f_{i+1}+f_i[/math]; – конечная разность k-го порядка: [math]\textstyle{\Delta^kf_i= \Delta (\Delta^{k-1}f_i)= \sum\limits_{j=0}^{k} (-1)^jC_k^j f_{i+j}}[/math], где [math]C_k^j= \frac{k!}{(k-j)!\,j!}[/math]. Последовательность получения разделенных и конечных разностей при [math]k=3[/math] для произвольной функции наглядно представляют табл. 4.5 и 4.6. Для гладких функций числовые значения [math]f(x_j, x_{j+1}, \ldots, x_{j+k})[/math] и [math]\Delta^kf_i[/math] при возрастании [math]k[/math] уменьшаются и стремятся к нулю, т.е. [math]f(x_j, x_{j+1}, \ldots, x_{j+k})\to0[/math] и [math]\Delta^kf_i\to0[/math] при [math]k\to\infty[/math]. Связь между разделенными и конечными разностями k-го порядка при [math]h=\text{const}[/math] устанавливается следующим соотношением: [math]f(x_i,x_{i+1},\ldots,x_{i+k})= \frac{\Delta^kf_i}{k!\,h^k}\,.[/math] (4.28) Действительно, при [math]k=1[/math] для разделенной разности [math]f(x_i,x_{i+1})[/math] получаем [math]f(x_i,x_{i+1})= \frac{\Delta f_i}{h}= \frac{\Delta f_i}{1!\,h^1}[/math], то есть (4.28) при [math]k=1[/math] справедливо. Пусть [math]k=2[/math]. Тогда получаем [math]f(x_i,x_{i+1},x_{i+2})= \frac{f(x_{i+1},x_{i+2})-f(x_{i},x_{i+1})}{}= \frac{1}{2h}\! \left(\frac{f_{i+2}-f_{i+1}}{h}-\frac{f_{i+1}-f_i}{h}\right)= \frac{\Delta f_{i+1}-\Delta f_i}{2h^2}= \frac{\Delta^2f_i}{2h^2}\,.[/math] Таким образом, связь (4.28) выполняется и при [math]k=2[/math]. Справедливость (4.28) при произвольном к можно доказать методом математической индукции. Интерполяционный многочлен Ньютона для неравномерной сеткиПусть исходная (интерполируемая) сеточная функция [math]y_i=f(x_i),~ i=\overline{0,n}[/math], задана на неравномерной сетке [math]\Omega_n\equiv \{x_0,x_1,x_2,\ldots,x_n\}[/math], характеризующейся шагами [math]h_{i+1}= x_{i+1}-x_i=\text{var}[/math]. Воспользуемся сначала кусочным способом. Из всей совокупности узлов выбираем шаблон [math](x_i,x_{i+1},\ldots,x_{i+k})[/math], соответствующий некоторому "окну" интерполяции [math][x_i,x_{i+k}][/math]. Тогда для функциональной интерполяции может быть использован многочлен Ньютона, основанный на разделенных разностях: [math]\begin{aligned}N_k(x)= f_i&+ f(x_i,x_{i+1})\cdot (x-x_i)+ f(x_i,x_{i+1}, x_{i+2})\cdot (x-x_i)\cdot (x-x_{i+1})+ \ldots+\\ &+\, f(x_i,x_{i+1},\ldots,x_{i+k})\cdot (x-x_i)\cdot (x-x_{i+1})\cdot \ldots\cdot (x-x_{i+k-1}). \end{aligned}[/math] (4.29) Действительно, [math]N_k(x)[/math] — многочлен k-й степени, что определяется сомножителями последнего слагаемого (разделенные разности, входящие в качестве одного из сомножителей в эти произведения, есть числа). Кроме того, для многочлена [math]N_k(x)[/math] удовлетворяются функциональные условия интерполяции: [math]N_k(x_j)= f_j,~ j=i,\ldots,i+k[/math]. Проверим их справедливость при [math]k=1[/math] (шаблон [math](x_i,x_{i+1})[/math]) и [math]k=2[/math] (шаблон [math](x_i,x_{i+1},x_{i+2}})[/math]). Пусть [math]k=1[/math]. Тогда [math]N_1(x)= f_i+f(x_i,x_{i+1})\cdot (x-x_i),[/math] (4.30) и поэтому [math]N_1(x_i)= f_i\,;\qquad N_1(x_{i+1})= f_i+ \frac{f_{i+1}-f_i}{x_{i+1}-x_i}(x_{i+1}-x_i)= f_{i+1}.[/math] Таким образом, условия интерполяции для [math]N_1(x)[/math] выполнены, следовательно, многочлен (4.30) может быть использован для линейной интерполяции кусочным способом. Пусть [math]k=2[/math]. Тогда [math]N_2(x)= f_i+ f(x_i,x_{i+1})(x-x_i)+ f(x_i,x_{i+1},x_{i+2}) (x-x_i)(x-x_{i+1}),[/math] (4.31) и поэтому [math]\begin{gathered}N_2(x)=f_i;\qquad N_2(x_{i+1})= f_i+ \frac{f_{i+1}-f_i}{x_{i+1}-x_i}(x_{i+1}-x_i)+0= f_{i+1}\,,\\ N_2(x_{i+2})= f_i+ \frac{f_{i+1}-f_i}{x_{i+1}-x_i}(x_{i+2}-x_i)+ \frac{1}{x_{i+2}-x_i}\! \left(\frac{f_{i+2}-f_{i+1}}{x_{i+2}-x_{i+1}}-\frac{f_{i+1}-f_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}\right)\!(x_{i+2}-x_i)(x_{i+2}-x_{i+1})=f_{i+2}. \end{gathered}[/math] Таким образом, условия интерполяции для многочлена [math]N_2(x)[/math] также выполнены и он может использоваться для параболической интерполяции кусочным способом. Для произвольного [math]k[/math] справедливость равенств [math]N_k(x_j)=f_i,~ j=\overline{i,i+k}[/math], проверяется методом математической индукции. Полагая [math]i=0,~ k=n[/math], приходим к глобальному способу. Тогда интерполяционный многочлен Ньютона n-й степени имеет вид [math]\begin{aligned}N_n(x)= f_0&+ f(x_0,x_1)(x-x_0)+ f(x_0,x_1,x_2) (x-x_0)(x-x_1)+ \ldots+\\ &+\,f(x_0,x_1,\ldots,x_n)(x-x_0)(x-x_1)\cdot \ldots+(x-x_{n-1}).\end{aligned}[/math] (4.32) Замечания 1. Согласно теореме 4.1 многочлен Ньютона (4.32) является тождественным многочлену [math]\textstyle{\widetilde{f}_n(x,\overline{a})= \sum\limits_{j=0}^{n} a_jx^j}[/math] с коэффициентами, получаемыми из системы (4.10), либо многочлену Лагранжа, т.е. [math]L_n(x)= N_n(x)= \widetilde{f}_n(x,\overline{a})[/math], если узлы интерполяции и интерполируемая функция одинаковы. 2. Интерполяционный многочлен Ньютона (4.29) или (4.32) (так же, как и многочлен Ньютона, выражаемый ниже через конечные разности) записан не через значения функции, как это имеет место для многочлена Лагранжа, а через разделенные разности. Поэтому при изменении степени [math]k[/math] в процессе интерполирования у многочлена Ньютона [math]N_k(x)[/math] требуется только добавить или отбросить соответствующее число слагаемых. Это иногда упрощает алгоритм интерполирования. 3. При интерполяции на основе (4.29) или (4.32) узлы интерполяции [math]x_i,x_{i+1}, \ldots, x_{i+k}[/math] или [math]x_0,x_1,\ldots,x_n[/math] определяющие шаблоны интерполяции, целесообразно выбирать так, чтобы точка [math]x_{\ast}[/math] была расположена возможно ближе к середине отрезка [math][x_i,x_{i+k}][/math] или [math][x_0,x_n][/math]. 4. Остаточное слагаемое многочлена (4.32) совпадает с остаточным слагаемым многочлена Лагранжа, и оценки (4.21), (4.22), справедливые для точки [math]x_{\ast}[/math] и всего отрезка [math][x_0,x_n][/math], сохраняются. Интерполяционные многочлены Ньютона для равномерной сеткиСначала рассмотрим решение задачи кусочной интерполяции (применение кусочного способа). Если функция [math]y_i= f(x_i),~ i=\overline{0,n}[/math] задана на равномерной сетке [math]\Omega_n[/math], характеризующейся [math]h_{i+1}=\text{const}[/math] для всех [math]i[/math], то многочлен (4.29), соответствующий шаблону [math](x_i,x_{i+1},\ldots, x_{i+k})[/math], путем подстановки в него вместо разделенных разностей их выражений через конечные разности, согласно (4.28), преобразуется к виду [math]N_{k}^{(I)}(q)= f_i+ \frac{\Delta f_i}{1!}\,q+ \frac{\Delta^2 f_i}{2!}\,q(q-1)+ \ldots+ \frac{\Delta^k f_i}{k!}q(q-1)\cdot \ldots\cdot (q-k+1),[/math] (4.33) где [math]q=\frac{x-x_i}{h}[/math] — фаза интерполяции, определенная относительно точки [math]x_i[/math]; [math]\Delta^jf_i~(j=1,2,\ldots,k)[/math] — конечные разности. В соответствии с формулой для фазы интерполяции [math]q[/math] точка начала ее отсчета расположена в узле [math]x_i[/math] и входящие в (4.33) конечные разности относятся к этой же точке [math]x_i[/math]. В связи с этим (4.33) удобно применять в начале выделенного шаблона [math](x_i,x_{i+1},\ldots, x_{i+k})[/math], когда [math]q>0[/math]. Если [math]x_i=x_0[/math], а [math]x_{\ast}<x_0[/math], то этот же многочлен используется и для экстраполяции левее точки [math]x_0~(q<0)[/math]. Поэтому многочлен [math]N_k^{(I)}(q)[/math] называется интерполяционным многочленом для интерполяции вперед (в начале таблицы ) или для экстраполяции назад. В (4.33) этот многочлен обозначен цифрой I, указанной в скобках вверху. Для определенности назовем его первым интерполяционным многочленом Ньютона. Полагая [math]i=0,~k=n[/math], получаем решение задачи глобальной интерполяции на всем отрезке [math][x_0,x_n]\colon[/math] [math]N_{n}^{(I)}(q)= f_0+ \frac{\Delta f_0}{1!}\,q+ \frac{\Delta^2 f_0}{2!}\,q(q-1)+ \ldots+ \frac{\Delta^n f_i}{n!}q(q-1)\cdot \ldots\cdot (q-n+1),[/math] (4.34) где [math]q=\frac{x-x_0}{h}[/math]. Остаточное слагаемое этого многочлена имеет вид [math]R_n(q)= h^{n+1}\cdot \frac{q(q-1)\cdot\ldots\cdot(q-n)}{(n+1)!}\cdot f^{(n+1)}(\xi),[/math] где [math]\xi\in(a,b)[/math] — некоторое промежуточное значение между узлами [math]x_0,x_1,\ldots,x_n[/math] и точкой [math]x[/math]. Если фазу интерполяции определить относительно [math]x_{i+k}[/math] некоторой конечной точки шаблона [math](x_i,x_{i+1},\ldots, x_{i+k})[/math], то есть [math]\widehat{q}= \frac{x-x_{i+k}}{h}[/math], то вместо (4.33) получается второй интерполяционный многочлен Ньютона: [math]N_{k}^{(II)}(\widehat{q})= f_{i+k}+ \frac{\Delta f_{i+k-1}}{1!}\,\widehat{q}+ \frac{\Delta^2 f_{i+k-2}}{2!}\,\widehat{q}(\widehat{q}+1)+ \ldots+ \frac{\Delta^k f_i}{k!}\widehat{q}(\widehat{q}+1)\cdot \ldots\cdot (\widehat{q}+k-1),[/math] (4.35) Данный многочлен удобно применять в конце выделенного шаблона или всей таблицы [math]y_i= f(x_i),~ i=\overline{0,n}[/math]. Если [math]i+k=n[/math], а [math]x_{\ast}>x_n[/math], то (4.35) используется для экстраполяции правее точки [math]x_n~(\widehat{h}>0)[/math]. Поэтому многочлен [math]N_{k}^{(II)}(\widehat{q})[/math] называется многочленом для интерполяции назад (в конце таблицы) или экстраполяции вперед. Полагая [math]i=0,~ i+k=n[/math], получаем решение задачи глобальной интерполяции — второй интерполяционный многочлен Ньютона n-й степени (где [math]\widehat{q}= \frac{x-x_n}{h}[/math]): [math]N_{n}^{(II)}(\widehat{q})= f_{n}+ \frac{\Delta f_{n-1}}{1!}\,\widehat{q}+ \frac{\Delta^2 f_{n-2}}{2!}\,\widehat{q}(\widehat{q}+1)+ \ldots+ \frac{\Delta^n f_0}{n!}\widehat{q}(\widehat{q}+1)\cdot \ldots\cdot (\widehat{q}+n-1),[/math] (4.36) Остаточное слагаемое многочлена (4.36) имеет вид [math]R_n(\widehat{q})= h^{n+1}\cdot \frac{\widehat{q}(\widehat{q}+1)\cdot \ldots\cdot (\widehat{q}+n)}{(n+1)!}\cdot f^{(n+1)}(\xi)[/math], где [math]\xi\in(a,b)[/math]. Схема выбора узлов интерполяции при изменении степеней интерполяционных многочленов [math]N_{k}^{(I)}(q),~ N_{k}^{(II)}(\widehat{q})~(k=1,2,3)[/math] в одном алгоритме показана на рис. 4.5. Если точка [math]x_{\ast}[/math] находится в начале отрезка [math][x_0,x_n][/math], например на частичном отрезке [math][x_0,x_1][/math], то применяется первый интерполяционный многочлен Ньютона, а если в конце, например на частичном отрезке [math][x_{n-1},x_n][/math], то — второй (рис. 4.5,а). Если точка [math]x_{\ast}[/math] находится вдали от концов отрезка [math][x_0,x_n][/math], то может применяться как первый интерполяционный многочлен, так и второй (рис. 4.5,б). Замечания 1. Из формул интерполяционных многочленов [math]N_{k}^{(I)}(q)[/math] и [math]N_{k}^{(II)}(\widehat{q})[/math] видно, что повышение их степеней в процессе реализации алгоритма не требует пересчета предыдущих слагаемых, входящих в многочлены с меньшими степенями. 2. Для гладких функций при повышении порядка конечных разностей справедливо свойство: [math]\Delta^kf_i\to0[/math] при [math]k\to\infty[/math], и поэтому, как только очередное слагаемое в рассматриваемых многочленах становится меньше требуемой точности интерполяции, увеличение степени [math]N_{k}^{(I)}(q),~ N_{k}^{(II)}(\widehat{q})[/math] следует прекратить. Это замечание справедливо также и для [math]N_k(x)[/math]. ▼ Пример 4.4-4.6
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |