Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Методы численного интегрирования | |
---|---|
Онлайн-сервисы
Нахождение НОД и НОК
Разложение числа на простые множители
Сравнения по модулю
Операции над множествами
Операции над векторами
Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис
Чертёж треугольника по координатам вершин
Решение треугольника
Решение Пирамиды
Построение Пирамиды по координатам вершин
Чертёж многоугольника по координатам вершин
Решение систем методом Крамера и Матричным
Онлайн построение графика кривой 2-го порядка
Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам
МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики
Онлайн число, сумма и дата прописью
Алгоритмы JavaScript
Алгоритмы поиска
Алгоритмы сортировки
Уникальные элементы массива
Объединение, пересечение и разность массивов
НОД и НОК
Операции над матрицами
Дата прописью
Введение в анализ
Функции: понятие, определение, графики
Непрерывность функции
Исследование функции и построение графика
Теория множеств
Множества: понятие, определение, примеры
Точечные множества
Замкнутые и открытые множества
Мера множества
Группы, кольца, поля в математике
Поле комплексных чисел
Кольцо многочленов
Основная теорема алгебры и ее следствия
Математическая логика
Алгебра высказываний
Аксиоматика и логические рассуждения
Методы доказательств теорем
Алгебра высказываний и операции над ними
Формулы алгебры высказываний
Тавтологии алгебры высказываний
Логическая равносильность формул
Нормальные формы для формул высказываний
Логическое следование формул
Приложение алгебры высказываний для теорем
Дедуктивные и индуктивные умозаключения
Решение логических задач
Принцип полной дизъюнкции
Булевы функции
Множества, отношения и функции в логике
Булевы функции от одного и двух аргументов
Булевы функции от n аргументов
Системы булевых функций
Применение булевых функций к релейно-контактным схемам
Релейно-контактные схемы в ЭВМ
Практическое применение булевых функций
Теория формального
Формализованное исчисление высказываний
Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний
Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний
Логика предикатов
Логика предикатов
Логические операции над предикатами
Кванторные операции над предикатами
Формулы логики предикатов
Тавтологии логики предикатов
Преобразования формул и следование их предикатов
Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул
Применение логики предикатов в математике
Строение математических теорем
Аристотелева силлогистика и методы рассуждений
Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме
Метод полной математической индукции
Необходимые и достаточные условия
Логика предикатов и алгебра множеств
Формализованное исчисление предикатов
Неформальные и формаль-ные аксиоматические теории
Неформальные аксиоматические теории
Свойства аксиоматических теорий
Формальные аксиоматические теории
Формализация теории аристотелевых силлогизмов
Свойства формализованного исчисления предикатов
Формальные теории первого порядка
Формализация математической теории
Теория алгоритмов
Интуитивное представление об алгоритмах
Машины Тьюринга и тезис
Рекурсивные функции
Нормальные алгоритмы Маркова
Разрешимость и перечислимость множеств
Неразрешимые алгоритмические проблемы
Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики
Математическая логика и компьютеры
Дискретная математика
Множества и отношения
Теория множеств: понятия и определения
Операции над множествами
Кортеж и декартово произведение множеств
Соответствия и бинарные отношения на множествах
Операции над соответствиями на множествах
Семейства множеств
Специальные свойства бинарных отношений
Отношения эквивалентности на множестве
Упорядоченные множества
Теорема о неподвижной точке
Мощность множества
Парадокс Рассела
Метод характеристических функций
Группы и кольца
Алгебраические структуры и операции
Группоиды, полугруппы, группы
Кольца, тела, поля
Области целостности в теории колец
Модули и линейные пространства
Подгруппы и подкольца
Теорема Лагранжа о порядке конечной группы
Гомоморфизмы групп и нормальные делители
Гомоморфизмы и изоморфизмы колец
Алгебра кватернионов
Полукольца и булевы алгебры
Полукольца: определение, аксиомы, примеры
Замкнутые полукольца
Полукольца и системы линейных уравнений
Булевы алгебры и полукольца
Решетки и полурешетки
Алгебраические системы
Алгебраические системы: модели и алгебры
Подсистемы алгебраических систем
Конгруэнции и фактор-системы
Гомоморфизмы алгебраических систем
Прямые произведения алгебраических систем
Конечные булевы алгебры
Многосортные алгебры
Теория графов
Теория графов: основные понятия и определения
Способы представления графов
Неориентированные и ориентированные деревья
Остовное дерево и алгоритм Краскала
Методы систематического обхода вершин графа
Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах
Задача о путях во взвешенных ориентированных графах
Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов
Топологическая сортировка вершин графа
Элементы цикломатики в теории графов
Булева алгебра и функции
Булевы функции и булев куб
Таблицы булевых функций и булев оператор
Равенство булевых функций. Фиктивные переменные
Формулы и суперпозиции булевых функций
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
Построение минимальных ДНФ
Теорема Поста и классы
Критерий Поста
Схемы из функциональных элементов
Конечные автоматы и регулярные языки
Конечные автоматы и регулярные языки
Алфавит, слово, язык в программировании
Порождающие грамматики (грамматики Хомского)
Классификация грамматик и языков
Регулярные языки и регулярные выражения
Конечные автоматы
Допустимость языка конечным автоматом
Теорема Клини
Детерминизация конечных автоматов
Минимизация конечных автоматов
Лемма о разрастании для регулярных языков
Обоснование алгоритма детерминизации автоматов
Конечные автоматы с выходом
Морфизмы и конечные подстановки
Машины Тьюринга
Контекстно-свободные языки
Контекстно-свободные языки и грамматики
Приведенная форма КС-грамматики
Лемма о разрастании для КС-языков
Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью)
Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике
Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату
Алгебраические свойства КС-языков
Основное свойство суперпозиции КС-языков
Пересечение контекстно-свободных языков
Методы синтаксического анализа КС-языков
Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики
Семантика формальных языков
Принцип индукции по неподвижной точке
Графовое представление МП-автоматов
Интегральное исчисление
Неопределённый и определённый
Неопределенный и определенный интегралы
Свойства интегралов
Интегрирование по частям
Интегрирование методом замены переменной
Интегрирование различных рациональных функций
Интегрирование различных иррациональных функций
Интегрирование различных тригонометрических функций
Определенный интеграл и его основные свойства
Необходимое и достаточное условие интегрируемости
Теоремы существования первообразной
Свойства определенных интегралов
Несобственные интегралы
Интегральное определение логарифмической функции
Приложения интегралов
Вычисление площадей плоских фигур
Площади фигур в различных координатах
Вычисление объемов тел с помощью интегралов
Объём тела вращения
Вычисление длин дуг кривых
Формулы длины дуги регулярной кривой
Кривизна плоской кривой
Площадь поверхности вращения тела
Интегралы в физике
Статические моменты и координаты центра тяжести
Теоремы Гульдина–Паппа
Вычисление моментов инерции
Другие приложения интегралов в физике
Основные интегралы
Вариационное исчисление
Примеры вариационных задач
Дифференциальное уравнение Эйлера
Функционалы, зависящие от нескольких функций
Задача о минимуме кратного интеграла
Финансовый анализ
Анализ эффективности
Критерии и показатели эффективности предприятия
Методы анализа эффективности деятельности
Факторный анализ прибыли от операционной деятельности
Анализ безубыточности предприятия
Операционный рычаг и эффект финансового рычага
Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов
Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала
Анализ распределения прибыли предприятия
Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности
Анализ устойчивости
Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность
Характеристика типов финансовой устойчивости
Рыночная активность
Финансовый анализ рыночной активности
Методика анализа рыночной активности
Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию
Инвестиционная деятельность
Инвестиции: экономическая сущность и классификация
Государственное регулирование инвестиционной деятельности
Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения
Инвестиции в основные фонды
Оценка состояния основных фондов
Амортизация основных фондов
Капитальное строительство в инвестиционном процессе
Планирование инвестиций в форме капитальных вложений
Экономическая эффективность инвестиций
Финансирование капитальных вложений
Кредитование капитальных вложений
Кредитоспособность
Финансирование и кредитование затрат
Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации
Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации
Инвестиционное строительное проектирование
Анализ инвестиций
Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия
Задачи финансового анализа инвестиций предприятия
Учет фактора времени в инвестиционной деятельности
Аннуитет и финансовая рента в инвестициях
Учет фактора инфляции при инвестировании
Оценка фактора риска инвестиционного проекта
Методы оценки эффективности инвестиций
Показатели эффективности инвестиционного проекта
Стоимость компании
Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО)
Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности
Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании
Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости
Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия
Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций
Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций
Доходный подход к оценке стоимости компании и акций
Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции
Метод капитализации прибыли
Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций
Форвардные контракты
Форвардный контракт и цена
Форвардная цена акции на бирже
Цена форвардного контракта инвестора
Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда
Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда
Форвардная цена валюты на рынке форекс
Форвардный валютный курс и инфляция на рынке
Форвардная цена товара и спотовый рынок
Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам
Синтетический форвардный контракт на акции и валюту
Теория вероятностей
Основные понятия теории вероятностей
Зависимые и независимые случайные события
Повторные независимые испытания
Формула Бернулли
Одномерные случайные величины
Многомерные случайные величины
Функции случайных величин
Законы распределения целочисленных случайных величин
Законы распределения непрерывных случайных величин
Предельные теоремы теории вероятностей
Закон больших чисел и предельные теоремы
Вероятностные закономерности
Математическая статистика
Элементы математической статистики
Выборочный метод
Оценки параметров генеральной совокупности
Статистические гипотезы
Критерии согласия
Теоретические и эмпирические частоты
Теория очередей (СМО)
Определение системы массового обслуживания
Уравнения Колмогорова
Предельные вероятности состояний
Определение СМО с отказами
Определение СМО с ожиданием (очередью)
Аналитическая геометрия
Векторная алгебра
Метрические понятия и аксиомы геометрии
Равенство и подобие геометрических фигур
Бинарные отношения
Вектор, его направление и длина
Линейные операции над векторами
Линейная зависимость и независимость векторов
Отношение коллинеарных векторов
Проекции векторов на прямую и на плоскость
Угол между векторами
Ортогональные проекции векторов
Координата вектора на прямой и базис
Координаты вектора на плоскости и базис
Координаты вектора в пространстве и базис
Операции над векторами в координатной форме
Ортогональный и ортонормированный базисы
Cкалярное произведение векторов и его свойства
Выражение скалярного произведения через координаты векторов
Векторное произведение векторов и его свойства
Смешанное произведение векторов и его свойства
Ориентированные площади и объемы
Двойное векторное произведение и его свойства
Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур
Применение произведений векторов при решении геометрических задач
Применение векторной алгебры в механике
Системы координат
Прямоугольные координаты
Преобразования прямоугольных координат
Полярная система координат
Цилиндрическая система координат
Сферические координаты
Аффинные координаты
Аффинные преобразования координат
Аффинные преобразования плоскости
Примеры аффинных преобразований плоскости
Аффинные преобразования пространства
Многомерное координатное пространство
Линейные и аффинные подпространства
Скалярное произведение n-мерных векторов
Преобразования систем координат
Геометрия на плоскости
Алгебраические линии на плоскости
Общие уравнения геометрических мест точек
Алгебраические уравнения линий на плоскости
Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору
Уравнения прямой, проходящей через две точки
Уравнения прямой с угловым коэффициентом
Взаимное расположение прямых
Примеры задач с прямыми на плоскости
Системы неравенств с двумя неизвестными
Системы линейных уравнений с двумя неизвестными
Линии 2-го порядка
Канонические уравнения линий второго порядка
Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду
Эллипс
Гипербола
Парабола
Квадратичные неравенства с двумя неизвестными
Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций
Инварианты линий
Классификация линий 2-го порядка по инвариантам
Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам
Геометрия в пространстве
Способы задания ГМТ в пространстве
Алгебраические уравнения поверхностей
Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам
Уравнения плоскости, проходящей через три точки
Взаимное расположение плоскостей
Типовые задачи с плоскостями
Уравнения прямых в пространстве
Взаимное расположение прямых в пространстве
Типовые задачи с прямыми в пространстве
Поверхности 2-го порядка
Канонические уравнения поверхностей
Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду
Поверхности второго порядка
Эллипсоиды
Гиперболоиды
Конусы
Параболоиды
Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций
Инварианты поверхностей
Линейная алгебра
Матрицы и операции
Линейные операции над матрицами
Умножение матриц
Возведение матриц в степень
Многочлены от матриц
Транспонирование и сопряжение матриц
Блочные матрицы
Произведение и сумма матриц Кронекера
Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду
Элементарные преобразования матриц
Определители
Определители матриц и их основные свойства
Формула полного разложения определителя
Формула Лапласа полного разложения определителя
Определитель произведения матриц
Методы вычисления определителей
Ранг матрицы
Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы
Ранг матрицы и базисный минор матрицы
Методы вычисления ранга матрицы
Ранг системы столбцов (строк)
Обратная матрица
Обратные матрицы и их свойства
Ортогональные и унитарные матрицы
Способы нахождения обратной матрицы
Матричные уравнения
Односторонние обратные матрицы
Скелетное разложение матрицы
Полуобратная матрица
Псевдообратная матрица
Системы уравнений
Системы линейных алгебраических уравнений
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Структура общего решения системы уравнений
Решение систем с помощью полуобратных матриц
Псевдорешения системы линейных уравнений
Функциональные матрицы
Функциональные матрицы скалярного аргумента
Производные матриц по векторному аргументу
Линейные и квадратичные формы и их преобразования
Приведение форм к каноническому виду
Закон инерции вещественных квадратичных форм
Знакоопределенность форм вещественных квадратичных
Формы и исследование функций на экстремум
Многочленные матрицы
Многочленные матрицы (лямбда-матрицы)
Операции над лямбда-матрицами
Простые преобразования многочленных матриц
Инвариантные множители многочленной матрицы
Функции от матриц
Собственные векторы и значения матрицы
Подобие числовых матриц
Характеристический многочлен матрицы
Минимальный многочлен матрицы
Теорема Гамильтона-Кэли
Жорданова форма матрицы
Приведение матрицы к жордановой форме
Многочлены от матриц
Применение многочленов от матриц
Функции от матриц
Линейные пространства
Линейные пространства: определение и примеры
Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов
Размерность и базис линейного пространства
Преобразования координат в линейном пространстве
Изоморфизм линейных пространств
Подпространства
Подпространства линейного пространства
Пересечение и сумма подпространств
Способы описания подпространств
Нахождение дополнения и суммы подпространств
Нахождение пересечения подпространств
Линейные отображения
Линейные многообразия
Линейные отображения
Матрица линейного отображения
Ядро и образ линейного отображения
Линейные операторы
Линейные операторы (преобразования)
Инвариантные подпространства
Собственные векторы и значения оператора
Свойства собственных векторов операторов
Канонический вид линейного оператора
Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду
Евклидовы пространства
Евклидовы пространства
Ортогональные векторы евклидова пространства
Ортогональный базис евклидова пространства
Ортонормированный базис евклидова пространства
Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве
Задача о перпендикуляре
Матрица и определитель Грама и его свойства
Линейные преобразования евклидовых пространств
Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства
Сопряженные операторы евклидова пространства
Самосопряженные операторы евклидова пространства
Приведение квадратичной формы к главным осям
Унитарные пространства и их линейные преобразования
Комплексный анализ
Комплексные числа
Комплексные числа в алгебраической форме
Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах
Множества на комплексной плоскости
Последовательности и ряды комплексных чисел
Комплексные функции
Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная
Элементарные функции комплексного переменного
Дифференцирование функций комплексного переменного
Аналитические функции и их свойства
Конформные отображения
Функциональные ряды в комплексной области
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного
Функциональные ряды и последовательности
Степенные ряды и их свойства
Разложение функций в степенные ряды
Нули аналитических функций
Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням
Особые точки, Вычеты
Изолированные особые точки функций и полюсы
Вычеты и их применение
Вычисление интегралов с помощью вычетов
Вычеты и расположение нулей многочлена
Операционное исчисление
Дифференциальные уравнения
ДУ первого порядка
Основные понятия и определения ДУ
Метод изоклин для ДУ 1-го порядка
Метод последовательных приближений
ДУ с разделяющимися переменными
Однородные ДУ
Линейные ДУ 1-го порядка
Дифференциальное уравнение Бернулли
ДУ в полных дифференциалах
Интегрирующий множитель
ДУ, не разрешенные относительно производной
Дифференциальное уравнение Риккати
Составление ДУ семейств линий
Задачи на траектории
Особые решения ДУ
ДУ высших порядков
Понятия и определения ДУ высших порядков
ДУ, допускающие понижение порядка
Линейная независимость функций
Определители Вронского и Грама
Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения
Задача Коши и Уравнение Эйлера
Линейные ДУ с переменными коэффициентами
Метод Лагранжа решения ДУ
Краевые задачи для ДУ высших порядков
Разложение решения ДУ в степенной ряд
Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд
Нахождение периодических решений ДУ
Асимптотическое интегрирование ДУ
Системы ДУ
Системы ДУ: понятия и определения
Сведение системы ДУ к одному уравнению
Нахождение интегрируемых комбинаций
Интегрирование однородных линейных систем ДУ
Методы интегрирования неоднородных систем ДУ
Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем
Теория устойчивости
Численные методы
Методы алгебры
Численные методы линейной алгебры
Численные методы решения СЛАУ
Итерационный метод Шульца обратной матрицы
Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы
Методы решения нелинейных уравнений
Методы решения систем нелинейных уравнений
Методы теории приближений
Методы приближения сеточных функций
Методы функциональной интерполяции
Методы интегрально-дифференциальной интерполяции
Методы интегрального сглаживания
Методы интерполяции и сглаживания сплайнами
Методы численного дифференцирования и интегрирования
Методы численного дифференцирования
Методы численного интегрирования
Методы решения обыкновенных ДУ
Численные методы решения задачи Коши
Разностные схемы для решения задачи Коши
Составные схемы для решения задачи Коши
Экстраполяционные методы решения задачи Коши
Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши
Численные методы решения краевых задач
Методы решения ДУ в частных производных
Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными
Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных
Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка
Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка
Численные методы решения уравнений в частных производных
Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными
|
Методы численного интегрированияФормулы на основе интерполяционных многочленовОдним из классических методов вычисления определенных интегралов является применение функциональных квадратурных формул [math]I_{a}^{b}= \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx\cong \sum\limits_{j=1}^{N} q_{j}f(x_{j})\equiv \widehat{I}_{a}^{\,b},\qquad \scriptstyle{\mathsf{(5.42)}}[/math] где [math]q_{j}[/math] — весовые коэффициенты] [math]x_{j},~ j=\overline{1,N}[/math] — некоторые точки отрезка [math][a,b][/math]; [math]N[/math] — число точек {узлов квадратурной формулы). Квадратурная формула называется тонной для многочленов степени [math]m[/math], если при замене функции [math]f(x)[/math] на произвольный алгебраический многочлен степени не выше [math]m[/math] приближенное равенство (5.42) становится точным. В этом случае говорят, что квадратурная формула обладает m-свойством. Замечания 1. При приближенном вычислении интеграла, как правило, отрезок [math][a,b][/math] представляется в виде объединения [math]I[/math] непересекающихся частичных отрезков вида [math][x_{i-r},x_{i+s}][/math], которым соответствует шаблон [math]H_{k,i}= (x_{i-r},\ldots, x_{i},\ldots, x_{i+s})[/math], где [math]i[/math] — номер базового узла сетки; [math]r[/math] и [math]s[/math] — количество узлов левее и правее узла с номером [math]i[/math]; [math]k=r+s+1[/math] — общее число узлов (точек) в шаблоне (рис. 5.1). На каждом частичном отрезке с номером [math]j=1,2,\ldots,l[/math] вычисляется интеграл по соответствующей квадратурной формуле [math]I_{i-r}^{i+s,j}= \int\limits_{x_{i-r}}^{x_{i+s}} f(x)\,dx\cong \widehat{I}_{i-r}^{\,i+s,j} \equiv \widehat{I}^{\,j},\quad j=1,2,\ldots,l,[/math] (5.43) а затем полученные значения суммируются по всем частичным отрезкам, т.е. [math]\widehat{I}_{a}^{\,b}= \sum\limits_{j=0}^{l} \widehat{I}^{\,j}= \sum\limits_{j=0}^{l} \widehat{I}_{i-r}^{\,i+s,j}.[/math] (5.44) 2. Далее в силу использования представления (5.44) проблеме вычисления интеграла (5.43) на частичном отрезке уделяется основное внимание. По заданной сеточной функции или сеточному представлению формульной функции на частичном отрезке строится интерполяционный многочлен некоторой степени. Значение [math]\widehat{I}_{i-r}^{\,i+s}[/math] определяется величиной интеграла от этого многочлена. Как следует из замечаний, для вычисления интеграла могут использоваться различные частичные отрезки и соответствующие им шаблоны. Рассмотрим процедуру получения простейших формул численного интегрирования на двухточечном и трехточечном шаблонах, наиболее часто описываемых в литературе и используемых на практике. А. Двухточечный шаблон. На частичном отрезке [math][x_{i}, x_{i+1}][/math], которому соответствует двухточечный шаблон [math]H_{2,i}= (x_{i},x_{i+1})[/math], где [math]r=0,~ s=1[/math], заменим функцию [math]f(x)[/math] двумя способами: а) интерполяционным многочленом нулевой степени: [math]L_0}(x)= f\! \left(\frac{x_{i}+ x_{i+1}}{2}\right)[/math], построенным по значению функции [math]f_{i+\frac{1}{2}}= f(x_{i+\frac{1}{2}})[/math] в середине частичного отрезка [math]x_{i+\frac{1}{2}}= \frac{x_{i}+ x_{i+1}}{2}[/math] (рис. 5.2,а); б) интерполяционным многочленом первой степени [math]L_{1}(x)[/math] с узловыми значениями [math]x_{i},\,x_{i+1}\colon[/math] [math]L_{1}(x)= \frac{x-x_{i+1}}{x_{i}-x_{i+1}}f_{i}+ \frac{x-x_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}f_{i+1}= \left(1-\frac{x-x_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}\right)\!f_{i}+ \frac{x-x_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}f_{i+1}= (1-q)f_{i}+ qf_{i+1},[/math] где [math]q[/math] — фаза интерполяции, [math]q=\frac{x-x_{i}}{h_{i+1}},~ h_{i+1}= x_{i+1}-x_{i}[/math] (рис. 5.2,б). В результате получим простейшие одноинтервалъные квадратурные формулы прямоугольников и трапеций: [math]\widehat{I}_{i,\text{pr}}^{\,i+1}= \int\limits_{x_{i}}^{x_{i+1}} L_{0}(x)\,dx= \int\limits_{x_{i}}^{x_{i+1}} f\! \left(\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\right)\!dx= h_{i+1} f_{i+\frac{1}{2}},[/math] (5.45) [math]\widehat{I}_{i,\text{tr}}^{\,i+1}= \int\limits_{x_{i}}^{x_{i+1}} L_{1}(x)\,dx= \int\limits_{0}^{t} \bigl[(1-q)f_{i}+ qf_{i+1}\bigr]h_{i+1}\,dq= h_{i+1}\frac{f_{i}+f_{i+1}}{2}\,,[/math] (5.46) где при интегрировании учитывалось, что [math]dx=h_{i+1}\cdot dq;~ q=0[/math] при [math]x=x_{i}[/math] и [math]q=1[/math] при [math]x=x_{i+1}[/math]. Отметим, что понятие одноинтервальной формулы относится не к шаблону, а к отрезку, на котором вычисляется интеграл. Нижние индексы соответствуют названию квадратурной формулы. Подчеркнем, что данные формулы справедливы и для нерегулярного шаблона, хотя последующее их суммирование по всем частичным отрезкам [math][x_{i}, x_{i+1}][/math] традиционно выполняется при [math]h=\text{const}[/math]. Б. Трехточечный шаблон. Пусть отрезок [math][a,b][/math] разбит на четное количество одинаковых частичных отрезков, т.е. [math]n=2k[/math], где [math]k[/math] — число пар. Проделав аналогичные выкладки для многочлена [math]L_{2}(x)[/math] второй степени, записываемого при [math]h=\text{const}[/math] на шаблоне [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_{i}, x_{i+1})[/math] (по одной паре отрезков при [math]r=1,~ s=1[/math]), получим двухинтервальную квадратурную формулу парабол, или формулу Симпсона: [math]\widehat{I}_{i-1,\text{par}}^{\,i+1}= \int\limits_{x_{i-1}}^{x_{i+1}} L_{2}(x)\,dx= \frac{h}{3} \bigl(f_{i-1}+ 4f_{i}+ f_{i+1}\bigr).[/math] (5.47) Эта же формула может быть получена из (5.23) путем разрешения ее относительно [math]I_{i-1}^{i+1}[/math] и подстановки в нее конечно-разностной аппроксимации второй производной [math]\widehat{f}\,''_{i+1}= \frac{1}{h^2}(f_{i-1}-2f_{i}+ f_{i+1})[/math] имеющей второй порядок, или из формулы (4.92) с учетом [math]I_{i-1}^{i+1}= I_{i-1}^{i}+ I_{i}^{i+1}[/math] и [math]h=\text{const}[/math]. Дадим геометрические интерпретации квадратурных формул прямоугольников (рис. 5.2,а), трапеций (рис. 5.2,б) и парабол (рис. 5.2,в). Интегралы обычно определяются не на частичных отрезках, а на всем отрезке [math][a,b][/math], и поэтому путем суммирования левых и правых частей (5.45)–(5.47) получаются так называемые составные квадратурные формулы. Для сеточной функции [math]f(x_{i}),~ i=\overline{0,n}[/math], заданной на регулярном шаблоне при [math]h=\text{const}[/math], эти формулы имеют вид [math]\widehat{I}_{a,\text{pr}}^{\,b}= h\! \left(f_{1\!\not{\phantom{|}}\,\,2}+ f_{3\!\not{\phantom{|}}\,\,2}+ \ldots+ f_{n-\frac{1}{2}}}\right)= h \sum\limits_{i=0}^{n-1} f_{i+ \frac{1}{2}},[/math] (5.48) [math]\begin{aligned}\widehat{I}_{a,\text{tr}}^{\,b}&= h\! \left(\frac{f_{0}+f_{1}}{2}+ \frac{f_{1}+f_{2}}{2}+ \ldots+ \ldots+ \frac{f_{n-1}+f_{n}}{2}\right)=\\ &=\frac{h}{2} \bigl[f_{0}+ 2(f_1+f_2+\ldots+f_{n-1})+ f_{n}\bigr]=\\ &= \frac{h}{2}\! \left(f_0+ 2 \sum\limits_{i=1}^{n-1} f_{i}+ f_{n}\right)\!, \end{aligned}[/math] (5.49) [math]\begin{aligned}\widehat{I}_{a,\text{par}}^{\,b}&= \frac{h}{3}\! \left[f_0+ 4 \bigl(f_1+ f_3+ \ldots+ f_{2k-1}\bigr)+ 2 \bigl(f_2+ f_4+ \ldots+ f_{2k-2}\bigr)+ f_{n}\right]=\\ &= \frac{h}{3}\! \left(f_0+ 4 \sum\limits_{i=1}^{k} f_{2i-1}+ 2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} f_{2i}+ f_{2k}\right)\!. \end{aligned}[/math] (5.50) Подчеркнем, что в составной квадратурной формуле парабол индекс "k" указывает на число пар отрезков разбиения, которое предполагается четным [math](n=2k)[/math]. Если это условие не выполняется, то интеграл вычисляется для четного количества отрезков и к полученному значению добавляется величина [math]I_{n-1}^{n}[/math], рассчитанная с порядком [math]O(h^5)[/math] по формулам, приведенным далее. Оценка погрешностей квадратурных формулПроведем оценку погрешностей одноинтервальных квадратурных формул прямоугольников и трапеций. С этой целью составим разность [math]I_{i}^{i+1}-\widehat{I}_{i}^{\,i+1}[/math], которую затем преобразуем путем разложения первообразных и функций по формуле Тейлора. Для этого [math]I_{i}^{i+1}[/math] заменим разностью [math]F_{i+1}-F_{i}[/math], а [math]F(x)[/math] и функции, входящие в правые части квадратурной формулы, разложим по формуле Тейлора относительно точки [math]x_{i}[/math] ([math]F(x)[/math] — первообразная, [math]F_{i}= F(x_{i})[/math]). Так, для формулы (5.46) при условии, что [math]f(x)= C_2[a,b][/math], получим [math]\begin{aligned}I_{i}^{i+1}-\widehat{I}_{i,\text{tr}}^{\,i+1}&= F_{i+1}-F_{i}-\frac{h_{i+1}}{3}(f_{i}+f_{i+1})=\\ &= F_{i}+ h_{i+1}f_{i}+ \frac{h_{i+1}^2}{2}f'_{i}+ \frac{h_{i+1}^3}{6}f''(\xi_{i})-F_{i}-\frac{h_{i+1}}{2}\! \left(f_{i}+f_{i}+ h_{i+1}f'_{i}+ \frac{h_{i+1}^2}{2}f''(\xi_{i})\right)=\\ &= \frac{h_{i+1}^3}{6}f''(\xi_{i})-\frac{h_{i+1}^3}{4}f''(\xi_{i})=-\frac{h_{i+1}^3}{12}f''(\xi_{i}), \end{aligned}[/math] где [math]\xi_{i}\in (x_{i}, x_{i+1})[/math] — одна и та же точка для функций [math]F(x)[/math] и [math]f(x)[/math]. Знак полученной разности указывает на то, что если вторая производная [math]f''(x)[/math] на частичном отрезке [math][x_{i},x_{i+1}][/math] положительна, то формула (5.46) аппроксимирует [math]I_{i}^{i+1}[/math] с избытком. Из полученного соотношения для модуля разности [math]I_{i}^{i+1}-\widehat{I}_{i,\text{tr}}^{\,i+1}[/math] вытекает оценка [math]\bigl|I_{i}^{i+1}-\widehat{I}_{i,\text{tr}}^{\,i+1}\bigr| \leqslant \frac{M_{2,i}}{12} h_{i+1}^3[/math], где [math]M_{2,i}= \max_{[x_{i},x_{i+1}]} |f'''(x)|[/math], которая означает, что одноинтервальная формула трапеций аппроксимирует [math]I_{i}^{i+1}[/math] с третьим порядком по [math]h[/math]. Чтобы перейти к оценке погрешности аппроксимации интеграла [math]I_{a}^{b}[/math] по составной формуле трапеций на всем отрезке, соотношения для разности [math]I_{i}^{i+1}-\widehat{I}_{i,\text{tr}}^{\,i+1}=-\frac{h_{i+1}^3}{12}f''(\xi_{i})[/math] необходимо просуммировать по всем частичным отрезкам (при этом полагается [math]h=\text{const}[/math]): [math]I_{a}^{b}-\widehat{I}_{a,\text{tr}}^{\,b}=-\frac{h^3}{12} \bigl(f''(\xi_{0})+ f''(\xi_{1})+ f''(\xi_{2})+ \ldots+f''(\xi_{n-1})\bigr).[/math] Применяя к сумме в правой части утверждение В.1, получаем [math]I_{a}^{b}-\widehat{I}_{a,\text{tr}}^{\,b}=-\frac{h^3}{12}nf''(\xi),\quad \xi\in[a,b].[/math] Учитывая, что [math]n=\frac{b-a}{h},~ M_2= \max_{[a,b]}|f''(x)|[/math], и переходя к неравенству, находим оценку [math]\bigl|I_{a}^{b}-\widehat{I}_{a,\text{tr}}^{\,b}\bigr| \leqslant \frac{M_2}{12} (b-a)h^2.[/math] (5.51) Отметим, что для оценки погрешностей квадратурных формул имеются и другие способы. Оценочная формула (5.51) позволяет сделать следующие выводы: 1. Порядок аппроксимации составной квадратурной формулы трапеций на единицу меньше порядка аппроксимации одноинтервальной формулы и равен двум. 2. Величина остаточного слагаемого зависит от длины отрезка интегрирования [math][a,b][/math] и [math]M_{2}[/math]. Константа в правой части равна [math]\frac{M_{2}}{12}(b-a)[/math]. Проделав аналогичные выкладки для одноинтервальной и составной формул прямоугольников и парабол, получим оценки: [math]\bigl|I_{a}^{b}-\widehat{I}_{a,\text{pr}}^{\,b}\bigr| \leqslant \frac{M_2}{24} (b-a)h^2,[/math] (5.52) [math]\bigl|I_{a}^{b}-\widehat{I}_{a,\text{par}}^{\,b}\bigr| \leqslant \frac{M_2}{180} (b-a)h^4,[/math] (5.53) где [math]M_{4}= \max_{[a,b]} \bigl|f^{(4)}(x)\bigr|[/math] при [math]f(x)\in C_{4}[a,b][/math]. Отсюда вытекает, что составная формула прямоугольников имеет на отрезке [math][a,b][/math] второй порядок аппроксимации и константу [math]\frac{M_2}{24} (b-a)[/math], которая в два раза меньше соответствующей константы в оценке погрешности квадратурной формулы трапеций. При [math]f''(x)>0[/math] на частичном отрезке [math][x_{i}, x_{i+1}][/math] одноинтервальная формула (5.45) аппроксимирует [math]I_{i}^{i+1}[/math] с недостатком. Двухинтервальная и составная формулы парабол аппроксимируют [math]I_{i-1}^{i+1}[/math] и [math]I_{a}^{b}[/math] соответственно с пятым и четвертым порядком по [math]h[/math]. Причем повышенный на единицу порядок аппроксимации формулы (5.47) по сравнению с порядком, устанавливаемым по правилу соответствия порядков (последний для двухинтервальной формулы парабол равен четырем), получился в силу симметричности этой формулы при [math]h=\text{const}[/math]. Замечание. Между максимальной степенью многочленов, для которых квадратурная формула является точной, и порядком аппроксимации по отношению к шагу [math]h[/math] имеется связь. Формулы прямоугольников и трапеций точны для многочленов первой степени и обладают вторым порядком аппроксимации. Формула Симпсона является точной для многочленов третьей степени и имеет четвертый порядок аппроксимации. Вышеприведенные оценки погрешностей аппроксимационных квадратурных формул позволяют для непрерывных функций априорным путем вычислять шаг интегрирования, который обеспечивает заданную точность. Для сеточных функций априорные оценки погрешностей выполняются путем предварительной аппроксимации функции [math]y_{i}= f(x_{i})[/math] и определения соответствующей величины [math]M_{k}~ (k=2,3,4)[/math] по формулам численного дифференцирования. Далее опишем методику вычисления интеграла с априорным нахождением шага [math]h[/math]. Методика вычисления определенного интеграла с заданной точностью1. Для правой части формулы оценки погрешностей вычислить константу [math]M_{p}= \max_{[a,b]} \bigl|f^{(p)}(x)\bigr|[/math] с этой целью необходимо продифференцировать функцию [math]p[/math] раз и вычислить ее максимальное значение на отрезке [math]a,b[/math], где [math]p[/math] — порядок аппроксимации квадратурной формулы. 2. Из условия [math]\frac{M_{p}}{A}(b-a)h^p \leqslant \varepsilon[/math], где [math]\frac{M_{p}}{A}[/math] — константа, входящая в правую часть оценки погрешностей, определяется величина [math]h\colon\, h \leqslant \sqrt[p]{\frac{A\cdot \varepsilon}{M_{p}(b-a)}}[/math]. 3. По значению [math]h[/math] вычислить [math]n[/math] — количество разбиений отрезка [math][a,b][/math] и сформировать сеточное представление функции [math]y=f(x)[/math], то есть [math]y_{i}= f(x_{i}),~ x_0=a;~ x_1=a+h;~ x_2=a+2h;~ \ldots;~ x_n=a+n\cdot h~ (i=0,1,\ldots,n).[/math] 4. Полученную сеточную функцию подставить в правую часть соответствующей квадратурной формулы и вычислить искомое значение [math]\widehat{I}_{a}^{\,b}[/math]. При этом значение интеграла в силу справедливости оценки удовлетворяет заданной точности [math]\varepsilon[/math]. Замечание. Данная методика может быть использована в основном для сеточных представлений формульных функций, для которых можно выбирать величину шага. ▼ Примеры 5.6-5.9
Замечания 1. Рассмотренный способ вычисления интегралов, когда с использованием оценок и точности [math]\varepsilon[/math] предварительно вычисляется шаг интегрирования [math]h[/math], является способом с априорным определением шага [math]h[/math]. В вычислительной практике большое распространение получил и другой апостериорный способ вычисления [math]h[/math], основанный на многократном дроблении отрезка [math][a,b][/math]. В этом случае интеграл вычисляется с помощью итерационного алгоритма методом Рунге. 2. Существуют и другие широко используемые квадратурные формулы. Одноинтервальная формула прямоугольников (немодифицированная) на двухточечном шаблоне [math]H_{2,i}= (x_{i},x_{i+1})[/math], где [math]r=0,~ s=1[/math] (рис. 5.3,а): [math]\widehat{I}_{i,c}^{\,i+1}= h\cdot f_{i}~ \bigl(O(h^2)\bigr)[/math]. Четырехинтервальная формула Боде на пятиточечном шаблоне [math]H_{5,i}= (x_{i-2}, x_{i-1}, x_{i},x_{i+1}, x_{i+2})[/math], где [math]r=2,~ s=2[/math] (рис. 5.3,в): [math]\widehat{I}_{i-2,c}^{\,i+2}= \frac{2h}{45} \bigl(7f_{i-2}+ 32f_{i-1}+ 12f_{i}+ 32f_{i+1}+ 7f_{i+2}\bigr)\quad \bigl(O(h^7)\bigr).[/math] Шестиинтервальная формула Уэддля на семиточечном шаблоне [math]H_{7,i}= (x_{i-3}, x_{i-2}, x_{i-1}, x_{i},x_{i+1}, x_{i+2},x_{i+3})[/math], где [math]r=3,~ s=3[/math] (рис. 5.3,г): [math]\widehat{I}_{i-3,c}^{\,i+3}= \frac{3h}{10} \bigl(f_{i-3}+ 5f_{i-2}+ f_{i-1}+ 6f_{i}+ f_{i+1}+ 5f_{i+2}+ f_{i+3}\bigr)\quad \bigl(O(h^7)\bigr).[/math] Формулы Ньютона-Котеса (приведем два частных случая): – трехинтервальная формула на четырехточечном шаблоне [math]H_{4,i}= (x_{i-2}, x_{i-1}, x_{i}, x_{i+1})[/math], где [math]r=2,~ s=1[/math] (формула "трех восьмых", рис. 5.3,б): [math]\widehat{I}_{i-2,c}^{\,i+1}= \frac{3h}{8} \bigl(f_{i-2}+ 3f_{i-1}+ 3f_{i}+ f_{i+1}\bigr)\quad \bigl(O(h^5)\bigr);[/math] – шестиинтервальная формула на семиточечном шаблоне [math]H_{7,i}= (x_{i-3}, x_{i-2}, x_{i-1}, x_{i},x_{i+1}, x_{i+2},x_{i+3})[/math], где [math]r=3,~ s=3[/math] (рис. 5.3,г): [math]\widehat{I}_{i-3,c}^{\,i+3}= \frac{h}{140} \bigl(41f_{i-3}+ 216f_{i-2}+ 27f_{i-1}+ 272f_{i}+ 27f_{i+1}+ 216f_{i+2}+ 41f_{i+3}\bigr)\quad \bigl(O(h^9)\bigr).[/math] 3. Если по условию задачи имеется право выбора узлов и функция обладает высокой степенью гладкости, то часто применяется квадратурная формула Гаусса, в которой весовые коэффициенты и узлы подбираются так, чтобы приближенное равенство было точным для всех многочленов наивысшей степени. ▼ Примеры 5.10-5.11
Формулы, полученные на основе сплайновЯвные формулы. Пусть в общем случае на неравномерной сетке [math]\Omega_n[/math] с некоторой точностью задана сеточная функция [math]y_{i}= f(x_{i}),~ i=\overline{0,n}[/math]. Предположим, что точность этого задания в каждом из узлов не ниже [math]O(h_{i+1}^3)[/math]. В частном случае [math]f(x_{i})[/math] является сеточным представлением формульной функции, и тогда сетка может быть выбрана исходя из характера [math]f(x)[/math]. Например, в зонах больших изменений [math]f(x)[/math] или ее производных, которые могут быть разрывными, шаг сетки желательно уменьшать. Закон мельчения сетки можно выбирать, например, по формулам арифметической или геометрической прогрессий. В последнем случае в рассмотрение вводится параметр нерегулярности сетки [math]\delta_{i+1}= \frac{h_{i+1}}{h_{i}}[/math], совпадающий со знаменателем прогрессии. Поэтому данный параметр будем включать здесь в правые части некоторых квадратурных формул, и с его использованием проводить оценку погрешности аппроксимации. Из параболических интегрально-дифференциальных сплайнов путем анализа их параметрических соотношений на трехточечном шаблоне [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_{i},x_{i+1})[/math] получаются следующие лево- и правосторонние безусловные аппроксимации интегралов [math]I_{i-1}^{i},\, I_{i}^{i+1}[/math] четвертого порядка (одноинтервальные функциональные аппроксимации): [math]\widehat{I}_{i-1}^{\,i}= \frac{h_{i}^3}{6H_{i}^{i+1}}\! \left(-\frac{1}{h_{i+1}}f_{i+1}+ \frac{H_{i}^{i+1} H_{i}^{3(i+1)}}{h_{i}^2h_{i+1}}f_{i}+ \frac{H_{2i}^{3(i+1)}}{h_{i}^2}f_{i-1}\right)\!,[/math] (5.54) [math]\widehat{I}_{i,\nu}^{\,i+1}= \frac{h_{i+1}^3}{6H_{i}^{i+1}}\! \left(\frac{H_{3i}^{2(i+1)}}{h_{i+1}^2}f_{i+1}+ \frac{H_{i}^{i+1} H_{3i}^{i+1}}{h_{i+1}^2h_{i}}f_{i}-\frac{1}{h_{i}}f_{i-1}\right)\!.[/math] (5.55) Предполагая, что [math]f(x)\in C_3[a,b][/math], и используя методику оценки погрешности, для данных аппроксимаций нетрудно получить оценки, где [math]M_{3,i}= \max_{[x_{i-1},x_{i+1}]} \bigl|f'''(x)\bigr|\colon[/math] [math]\bigl|\widehat{I}_{I,\nu}^{\,i+1}-I_{i}^{i+1}\bigr| \leqslant \frac{h_{i}^2h_{i+1}^2}{72} \delta_{i+1}(\delta_{i+1}+2)M_{3,i},\qquad \bigl|\widehat{I}_{i-1,\nu}^{\,i}-I_{i-1}^{i}\bigr| \leqslant \frac{h_{i}^4}{72} (2 \delta_{i+1}+1)M_{3,i}.[/math] При [math]h=\text{const}[/math] квадратурные формулы (5.54), (5.55) упрощаются (условная аппроксимация): [math]\widehat{I}_{i-1,c}^{\,i}= \frac{h}{12} \bigl(5f_{i-1}+ 8f_{i}-f_{i+1}\bigr);\qquad \widehat{I}_{i,c}^{\,i+1}= \frac{h}{12} \bigl(-f_{i-1}+ 8f_{i}+ 5f_{i+1}\bigr)[/math] Их оценки при [math]\delta_{i+1}=1[/math] становятся одинаковыми (с мажорантой [math]\frac{h^4}{24}M_{3,i}[/math]). Таким образом, из оценок для [math]\widehat{I}_{i,c}^{\,i+1},\, \widehat{I}_{i-1,c}^{\,i}[/math] следует, что при безусловной аппроксимации обе квадратурные формулы имеют четвертый порядок по [math]h[/math]. Однако для квадратурной формулы (5.55) этот порядок можно повысить, если применить условную аппроксимацию, в которой положить [math]\delta_{i+1} \leqslant h_{i}[/math]. В этом случае из формулы [math]\delta_{i+1}= \frac{h_{i+1}}{h_{i}}< h_{i}[/math] получаем неравенство [math]h_{i+1}<h_{i}^2[/math] устанавливающее очень малый шаг [math]h_{i+1}[/math], такой, что [math]x_{i+1}[/math] отстоит от [math]x_{i}[/math] на величину второго порядка по [math]h_{i}[/math]. Этот тип шаблона можно назвать "сильно сжатым", так как он как бы устремляет трехточечный шаблон к двухточечному, и в связи с этим сама величина интеграла [math]\widehat{I}_{i,\nu}^{\,i+1}[/math] является малой. Суммируя левые и правые части квадратурных формул (5.54), (5.55), после преобразований получаем компактную, двухинтервальную, трехточечную обобщенную формулу парабол функционального типа: [math]\widehat{I}_{i-1}^{\,i+1}= \frac{h_{i}(\delta_{i+1}+1)}{6}\! \left[(2-\delta_{i+1})f_{i-1}+ \frac{(\delta_{i+1}+1)^2}{\delta_{i+1}}f_{i}+ \left(2-\frac{1}{\delta_{i+1}}\right)\! f_{i+1}\right]\!.[/math] (5.56) Предполагая, что разбиение отрезка [math][a,b][/math] четное, т.е. [math]n=2k[/math] где [math]k[/math] — количество пар разбиения, просуммируем (5.56) по [math]k[/math]. Получаем обобщенную составную квадратурную формулу парабол [math]\begin{aligned}\widehat{I}_{a}^{\,b}&= \frac{h_1(1+\delta_2)(2-\delta_2)}{6}f_{0}+ \sum\limits_{i=1}^{k} \frac{(\delta_{2i}+1)^3 h_{2i-1}}{6 \delta_{2i}}f_{2i-1}\,+\\ &\quad +\frac{}{} \sum\limits_{i=1}^{k-1} f_{2i}\! \left[(1+ \delta_{2i}) h_{2i-1}\! \left(2-\frac{1}{\delta_{2i}}\right)+ (1+\delta_{2i+2}) h_{2i+1} (2-\delta_{2i+2})\right]+\\ &\quad +\frac{1+\delta_{2n}}{6}h_{2k-1}\! \left(2-\frac{1}{\delta_{2n}}\right)\! f_{2k}.\end{aligned}[/math] (5.57) Известно, что для квадратурных формул важно, чтобы их коэффициенты были положительны. Это свойство, называемое свойством положительности коэффициентов, обеспечивает минимум погрешности вычисления интеграла по данной квадратурной формуле, а также сходимость вычислительного процесса на последовательно сгущающихся сетках. В квадратурной формуле (5.56) свойство положительности будет выполнено, если [math]2-\delta_{i+1}>0,[/math] [math]2-\frac{1}{\delta_{i+1}}>0[/math]. Отсюда вытекают пределы изменения параметра нерегулярности [math]\delta_{i+1}\colon\, 0,\!5< \delta_{i+1}<2[/math]. Предполагая, что [math]f(x)\in C_3[a,b][/math], для (5.56) получаем остаточное слагаемое и оценку погрешности: [math]\bigl|I_{i-1}^{i+1}-\widehat{I}_{i-1}^{\,i+1}\bigr| \leqslant \frac{h_{i}^2 |\delta_{i+1}^2-1|}{72} (\delta_{i+1}+1)^2M_{3,i}.[/math] (5.58) Переходя в (5.58) к мажоранте для оценки интеграла на всем отрезке [math][a,b][/math], имеем [math]\bigl|I_{a}^{b}-\widehat{I}_{a}^{\,b}\bigr| \leqslant \frac{H_{m}^4 \widetilde{\Delta}_{m}n}{72} (\Delta_{m}+1)^2M_3 \leqslant \frac{(b-a) H_{m}^3 \widetilde{\Delta}_{m}}{144} (\Delta_{m}+ 1)^2M_3,[/math] где [math]H_{m}= \max_{i}|h_{i},~ i=\overline{1,n},~ \widetilde{\Delta}_{m}= \max_{i} |\delta_{i+1}^2-1|,~ \Delta_{m}= \max_{i}\delta_{i+1},~ M_3= \max_{[a,b]}|f'''(x)|[/math]. Приведем анализ соотношения (5.58), устанавливающего порядок аппроксимации обобщенной квадратурной двухинтервальной формулы парабол. В общем случае квадратурная формула (5.56) имеет четвертый порядок аппроксимации (безусловная аппроксимация). Возможны также условные аппроксимации двух типов: а) при [math]\delta_{i+1}=1[/math] реализуется регулярный шаблон и тогда порядок аппроксимации повышается на единицу, а (5.56) переходит в классическую формулу парабол (Симпсона); б) при [math]|\delta_{i+1}-1|\leqslant h_{i}[/math], реализуется нерегулярный шаблон, и тогда порядок аппроксимации может быть повышен на единицу за счет небольшого отклонения [math]\delta_{i+1}[/math] от единицы: [math]h_{i}-h_{i}^2 \leqslant h_{i+1}\leqslant h_{i}+ h_{i}^2[/math]. В этом случае шаблон является квазирегулярным. Такие разбиения с локальными сгущениями узлов сетки могут формироваться при численном интегрировании с помощью квадратурной формулы (5.56) сильно изменяющихся функций или функций, имеющих в некоторых окрестностях разрывы производных. Неявные методы. Из анализа параметрических соотношений (4.101) и (4.105) двух типов параболических интегрально-дифференциальных сплайнов, изложенных в разд. 4.5.5, для внутренних узлов получаются системы линейных алгебраических уравнений относительно интегралов (при [math]i=\overline{1,n-2}[/math]): [math]\begin{gathered}\frac{1}{h_{i}^2} I_{i-1}^{i}+ \frac{2}{h_{i+1}^2} I_{i}^{i+1}+ \frac{1}{h_{i+2}^2} I_{i+1}^{i+2}= \frac{1}{3}\! \left[\frac{1}{h_{i}}f_{i}+ \left(\frac{2}{h_{i}}+\frac{3}{h_{i+1}}\right)\!f_{i}+ \left(\frac{3}{h_{i+1}}+ \frac{2}{h_{i+2}}\right)\!f_{i+1}+ \frac{1}{h_{i+2}}f_{i+2}\right]\!,\\[4pt] \frac{1}{h_{i}}I_{i-1}^{i}-\frac{2}{h_{i+1}}I_{i}^{i+1}+ \frac{1}{h_{i+2}}I_{i+1}^{i+2}= \frac{1}{6} \bigl[-h_{i}f'_{i-1}-H_{2i}^{i+1}f'_{i}+ H_{i+1}^{2(i+2)}f'_{i+1}+ h_{i+2} f'_{i+2}\bigr],\end{gathered}[/math] которые при [math]h=\text{const}[/math] преобразуются к виду [math]\begin{aligned}I_{i-1}^{i}+ 2I_{i}^{i+1}+ I_{i+1}^{i+2}&= \frac{h}{3} \bigl[f_{i-1}+ 5(f_{i}+ f_{i+1})+ f_{i+2}\bigr],\\[4pt] I_{i-1}^{i}-2I_{i}^{i+1}+ I_{i+1}^{i+2}&= \frac{h^2}{6} \bigl[-f'_{i-1}+ 3(f'_{i+1}-f'_{i})+ f'_{i+2}\bigr]. \end{aligned}[/math] Для вычисления интегралов на всех отрезках эти системы необходимо дополнить двумя граничными условиями. Это можно сделать двумя способами: 1. Системы дополняют значениями интегралов [math]I_0^1[/math] и [math]I_{n-1}^{n}[/math] на конечных отрезках, которые вычисляются по односторонним формулам (5.54),(5.55) соответственно. 2. Каждая из систем может быть дополнена двумя связями при [math]i=1[/math] и [math]i=n-1[/math], которые выражаются из соотношения [math]\frac{1}{h_{i}^2}I_{i-1}^{i}+ \frac{1}{h_{i+1}^2}I_{i}^{i+1}= \frac{1}{3}\! \left[\frac{1}{h_{i}}f_{i-1}+ 2\! \left(\frac{1}{h_{i}}+ \frac{1}{h_{i+1}}\right)\! f_{i}+ \frac{1}{h_{i+1}}f_{i+1}\right]\!.[/math] Замечания 1. Первая из приведенных здесь систем связывает искомые интегралы со значениями интегрируемой функции, а вторая — со значениями производных. 2. Описанные методы применимы для сеточных функций с [math]n\geqslant3[/math]. 3. Полученные системы линейных алгебраических уравнений являются трехдиагональными и решаются методом прогонки. Применение кубических интегрально-дифференциальных сплайновЯвные формулы. Если кубические многочлены, построенные на [math][x_{i},x_{i+1}][/math] с помощью функциональных, дифференциальных и интегральных параметров [math]f_{i},\, f'_{i},\, I_{i}^{i+1}[/math], использовать для вывода квадратурных формул, то получаются различные типы одноинтервальных функционально-дифференциальных квадратурных формул Эйлера пятого порядка. Квадратурная формула Эйлера-Маклорена имеет вид [math]\widehat{I}_{i}^{\,i+1}= \frac{h_{i+1}}{2}(f_{i}+f_{i+1})-\frac{h_{i+1}^2}{12}(f'_{i+1}-f'_{i})\quad \left(\frac{h_{i+1}^5}{720}M_{4,i}\right)\!.[/math] (5.59) Суммируя (5.59) по всем отрезкам, записываем составную квадратурную формулу Эйлера четвертого порядка аппроксимации на нерегулярной сетке: [math]\widehat{I}_{a,\nu}^{\,b}= \frac{h_1}{2}f_0+ \sum\limits_{i=1}^{n-1} H_{i}^{i+1}f_{i}+ \frac{h_{n}}{2}f_{n}-\frac{1}{12} \sum\limits_{i=0}^{n-1} h_{i+1}^2 \Delta f'_{i+1}.[/math] (5.60) Подчеркнем, что производные [math]f'_{i}[/math] для подстановки в (5.60) предварительно должны быть вычислены по вышеприведенным аппроксимационным формулам с порядком не ниже третьего. Сокращать производные в последнем слагаемом составной квадратурной формулы, как это обычно делается в учебниках по численным методам, не следует, поскольку при этом в сущности предполагается, что все производные во внутренних узлах известны точно. Это условие для сеточных функций, от которых рассчитываются интегралы, не должно использоваться, так как производные этих функций вычисляются с некоторой погрешностью, порядок которой при суммировании по всем частичным отрезкам понижается на единицу. Справедливость этого утверждения подтверждается следующим примером. После суммирования и сокращения в последней сумме квадратурной формулы (5.60) производных во всех внутренних узлах при [math]h=\text{const}[/math] формула (5.60) приобретает вид [math]\widehat{I}_{a}^{\,b}= \frac{h}{2}\! \left(f_0+ 2 \sum\limits_{i=1}^{n-1} f_{i}+f_{n}\right)-\frac{h^2}{12}(f'_{n}-f'_0).[/math] (5.61) Если квадратурную формулу (5.61) использовать для вычисления интеграла от функции с нулевыми производными на концах или с их одинаковыми значениями [math]f'_{n}= f'_{0}[/math], то квадратурная формула четвертого порядка переходит в квадратурную формулу трапеций, имеющую второй порядок. Таким образом, реализуется потеря двух порядков, что свидетельствует о необоснованности проведенного сокращения. Квадратурную формулу (5.59) целесообразно применить для получения функциональных квадратурных формул путем подстановки в них конкретных аппроксимаций [math]\widehat{f}\,'_{i+1},\, \widehat{f}\,'_{i}[/math]. Подставив, например, оператор [math]\widehat{f}\,'_{i}= \frac{f_{i+1}-f_{i-1}}{2h}[/math], а также аппроксимации производных в левой и правой крайних точках четырехточечного шаблона, получим одноинтервалъные функциональные квадратурные формулы — центральную и лево- и правостороннюю: [math]\widehat{I}_{i,\text{centr}}^{\,i+1}= \frac{h}{24} \bigl(-f_{i-1}+ 13(f_{i}+ f_{i+1})-f_{i+2}\bigr)\quad \left(\frac{11}{720} h_{i+1}^5M_{4,i}\right)\!,[/math] (5.62) [math]\widehat{I}_{i,\text{lev}}^{\,i+1}= \frac{h}{24} \bigl(9f_{i}+ 19f_{i+1}-5f_{i+2}+ f_{i+3}\bigr)\quad \left(\frac{19}{720} h_{i+1}^5M_{4,i}\right)\!,[/math] (5.63) [math]\widehat{I}_{i,\text{prav}}^{\,i+1}= \frac{h}{24} \bigl(f_{i-2}-5f_{i-1}+ 19f_{i}+ 9f_{i+1}\bigr)\quad \left(\frac{19}{720} h_{i+1}^5M_{4,i}\right)\!.[/math] (5.64) Последние три квадратурные формулы (5.62)–(5.64) могут быть объединены в единую составную квадратурную формулу: [math]\widehat{I}_{a}^{\,b}= \widehat{I}_{0,\text{lev}}^{\,1}+ \frac{h}{24}\! \left(-f_0+ 12f_1+ 25f_2+ 24 \sum\limits_{i=3}^{n-3} f_{i}+ 25f_{n-2}+ 12f_{n-1}-f_{n}\right)+ \widehat{I}_{n-1,\text{prav}}^{\,n}.[/math] Данная формула для всех внутренних узлов удовлетворяет условию положительности коэффициентов. Отметим также, что хотя порядок аппроксимации формулы (5.62) равен порядку аппроксимации квадратурной формулы парабол, однако их аппроксимационные свойства различаются. Это связано с тем, что квадратурная формула (5.62) вытекает из полинома третьей степени, а формула парабол — из полинома второй степени. Поэтому квадратурная формула (5.62) учитывает, например, наличие точки перегиба, если она имеется в интегрируемых функциях, в то время как формула парабол этого не позволяет, так как получается из многочлена второй степени. Это обусловливает преимущество формулы (5.62) по сравнению с формулой парабол при интегрировании функций, имеющих указанную, а также другие особенности, присущие полиномам нечетной степени. Неявный метод. Неявный метод численного интегрирования получается путем анализа параметрических соотношений кубических интегрально-дифференциальных сплайнов. После преобразования соотношения (5.59) путем подстановки в него производных на нерегулярной сетке для внутренних узлов получается система линейных алгебраических уравнений относительно интегралов (при [math]i=1,2,\ldots,n-2[/math]) [math]\begin{aligned}\frac{h_{i+1}^3}{3h_{i}^2 H_{i}^{i+1}}& I_{i-1}^{i}+ \left(1-\frac{h_{i}}{3H_{i}^{i+1}}-\frac{h_{i+2}}{3H_{i+1}^{i+2}}\right)\!I_{i}^{i+1}+ \frac{h_{i+1}^3}{3h_{i+2}^2 H_{i+1}^{i+2}}I_{i+1}^{i+2}=\\ &=\frac{h_{i+1}^3}{12h_{i}^2 H_{i}^{i+1}}f_{i-1}+ \frac{h_{i+1}}{2}\! \left(1-\frac{h_{i+2}}{6H_{i+1}^{i+2}}+ \frac{h_{i+1}^2-h_{i}^2}{2h_{i} H_{i}^{i+1}}\right)\!f_{i}\,+\\ &+\, \frac{h_{i+1}}{2}\! \left(1+ \frac{h_{i+1}^2-h_{i+2}^2}{2h_{i+2} H_{i+1}^{i+2}}-\frac{h_{i}}{6H_{i}^{i+1}}\right)\!f_{i+1}+ \frac{h_{i+1}^3}{12h_{i+2} H_{i+1}^{i+2}}f_{i+2}. \end{aligned}[/math] (5.65) На регулярной сетке эта система преобразуется к более простому виду: [math]I_{i-1}^{i}+ 4I_{i}^{i+1}+ I_{i+1}^{i+2}= \frac{h}{4} \bigl[f_{i-1}+ 11(f_{i}+ f_{i+1})+ f_{i+2}\bigr],\quad i=1,2,\ldots,n-2.[/math] (5.66) Для вычисления интегралов на всех отрезках эти системы необходимо дополнить значениями [math]I_0^1[/math] и [math]I_{n-1}^{n}[/math], которые могут быть вычислены по квадратурной формуле (5.59) при [math]h_i=\text{var}[/math] или по формулам (5.63), (5.64) при [math]h=\text{const}[/math]. Полученная в результате система линейных алгебраических уравнений решается методом прогонки. Система (5.65) удовлетворяет условию преобладания диагональных элементов в следующем диапазоне изменения параметра нерегулярности: [math]\Delta_{\ast}^{-1} \leqslant \delta_{i+1} \leqslant \delta_{\ast}[/math], где [math]\delta_{\ast}\approx 1,\!722[/math]. Для системы (5.66) дана оценка погрешности вычисления интеграла [math]\widehat{I}_{a}^{\,b}[/math] на всем отрезке [math][a,b][/math], которая имеет вид (где [math]M_4= \max_{[a,b]}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr|[/math]) [math]\bigl|I_{a}^{b}-\widehat{I}_{a,\text{neyav.}}^{\,b}\bigr| \leqslant \frac{h^4(a-b)}{360} M_4.[/math] Применение интегрально-дифференциальных сплайнов четвертой степениЯвные формулы. В данном разделе приводятся функционально-дифференциальные квадратурные формулы, полученные из интегрально-дифференциальных многочленов четвертой степени. В соответствии с порядком аппроксимации многочленами четвертой степени, который равен пяти, порядок аппроксимации интегралов равен шести. Одноинтервальные явные квадратурные формулы, представляющие функционально-дифференциальные аппроксимации на трехточечном шаблоне [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_{i},x_{i+1})[/math], имеют вид [math]\begin{aligned}\widehat{I}_{i-1,\nu}^{\,i}&= P_0 \Big[ \frac{2}{h_{i}^2}\! \left(\frac{7}{h_{i}}+ \frac{6}{h_{i+1}}\right)\!f_{i-1}+ \left(\frac{16}{h_{i}^3}+ \frac{18}{h_{i}^2 h_{i+1}}-\frac{2}{h_{i+1}^3}\right)\!f_{i}+ \frac{2}{h_{i+1}^3}f_{i+1}\,+\\ &\quad +\, \frac{1}{h_{i}}\! \left(\frac{2}{h_{i}}+ \frac{3}{2h_{i+1}}\right)\!f'_{i-1}-\left(\frac{3}{h_{i}^2}+ \frac{9}{2h_{i}h_{i+1}}+ \frac{3}{2h_{i+1}^2}\right)\!f'_{i}-\frac{f'_{i+1}}{2h_{i+1}^2}\Big], \end{aligned}[/math] (5.67) [math]\begin{aligned}\widehat{I}_{i,\nu}^{\,i+1}&= P_0 \Big[\frac{2}{h_{i}^3}f_{i-1}+ \left(-\frac{2}{h_{i}^3}+ \frac{18}{h_{i}h_{i+1}^2}+ \frac{16}{h_{i+1}^3}\right)\!f_{i}+ \frac{2}{h_{i+1}^2}\! \left(\frac{6}{h_{i}}+ \frac{7}{h_{i+1}}\right)\! f_{i+1}\,+\\ &\quad+\, \frac{f'_{i-1}}{2h_{i}^2}+ \left(\frac{3}{2h_{i}^2}+ \frac{9}{2h_{i}h_{i+1}}+ \frac{3}{h_{i+1}^2}\right)\! f'_{i}-\frac{1}{h_{i+1}}\! \left(\frac{3}{2h_{i}}+ \frac{2}{h_{i+1}}\right)\!f'_{i+1} \Big],\end{aligned}[/math] (5.68) где [math]P_0= \frac{30}{h_{k}^2}\! \left(\frac{1}{h_{i}}+ \frac{1}{h_{i+1}}\right)\!,~ k=i,i+1[/math], соответственно для (5.67),(5.68). На регулярном шаблоне эти формулы упрощаются: [math]\widehat{I}_{i-1,c}^{\,i}= \frac{h}{30} \bigl(13f_{i-1}+ 16f_{i}+ f_{i+1}\bigr)-\frac{h^2}{120} \bigl(f'_{i+1}+ 18f'_{i}-7f'_{i-1}\bigr)\quad \left(\frac{h^6}{7200} M_{5,i}\right)\!,[/math] (5.69) [math]\widehat{I}_{i,c}^{\,i+1}= \frac{h}{30} \bigl(f_{i-1}+ 16f_{i}+ 13f_{i+1}\bigr)-\frac{h^2}{120} \bigl(7f'_{i+1}-18f'_{i}-f'_{i-1}\bigr)\quad \left(\frac{h^6}{7200} M_{5,i}\right)\!.[/math] (5.70) Суммирование формул (5.69), (5.70) приводит к двухинтервальной квадратурной формуле (модифицированной формуле Эйлера): [math]\widehat{I}_{i-1,c}^{\,i+1}= \frac{h}{15} \bigl(7f_{i-1}+ 16f_{i}+ 7f_{i+1}\bigr)-\frac{h^2}{15} \bigl(f'_{i+1}-f'_{i-1}\bigr)\quad \left(\frac{h^7}{4725} M_{5,i}\right)\!.[/math] (5.71) Порядок аппроксимации в этой формуле повышается на единицу из-за симметричного вида формулы (5.71). Подставляя в функционально-дифференциальные квадратурные формулы аппроксимации производных на пятиточечном шаблоне с порядком [math]O(h^4)[/math], получаем функциональные квадратурные формулы шестого порядка: [math]\widehat{I}_{i-1}^{\,i}= \frac{h}{720} \bigl(-19f_{i-2}+ 346f_{i-1}+ 456f_{i}-74f_{i+1}+ 11f_{i+2}\bigr)\quad \left(\frac{7h^6}{7200}M_{5,i}\right)\!,[/math] (5.72) [math]\widehat{I}_{i}^{\,i+1}= \frac{h}{720} \bigl(11f_{i-2}-74f_{i-1}+ 456f_{i}+ 346f_{i+1}-19f_{i+2}\bigr)\quad \left(\frac{7h^6}{7200}M_{5,i}\right)\!,[/math] (5.73) [math]\widehat{I}_{i-1}^{\,i+1}= \frac{h}{90} \bigl(-f_{i-2}+ 34f_{i-1}+ 114f_{i}+ 34f_{i+1}-f_{i+2}\bigr)\quad \left(\frac{h^7}{756}M_{6,i}\right)\!.[/math] (5.74) Подстановка в формулы (5.69), (5.70) лево- и правосторонних аппроксимаций производных в крайних точках шаблона приводит к лево- и правосторонним квадратурным формулам шестого порядка: [math]\begin{aligned}\widehat{I}_{i-1}^{\,i}&= \frac{h}{720} \bigl(251f_{i-1}+ 646f_{i}-264f_{i+1}+ 106f_{i+2}-19f_{i+3}\bigr),\\ \widehat{I}_{i}^{\,i+1}&= \frac{h}{720} \bigl(-19f_{i-3}+ 106f_{i-2}-264f_{i-1}+ 646f_{i}+ 251f_{i+1}\bigr). \end{aligned}[/math] Для расчета интегралов [math]\widehat{I}_{i-1,\nu}^{\,i},\, \widehat{I}_{i,\nu}^{\,i+1}[/math] на нерегулярной сетке по формулам (5.67), (5.68) предварительно необходимо рассчитать производные в соответствующих точках с порядком не ниже четвертого. С этой целью необходимо воспользоваться интерполяционным многочленом четвертой степени. Неявный метод. В заключение данного раздела приведем неявный метод вычислений интегралов на всех частичных отрезках путем решения системы линейных алгебраических уравнений трехдиагонального вида [math](h=\text{const})\colon[/math] [math]7I_{i-1}^{i}+ 19I_{i}^{i+1}+ 4I_{i+1}^{i+2}= h\cdot \bigl(2f_{i-1}+ 15f_{i}+ 12f_{i+1}+ f_{i+2}\bigr),\quad i=\overline{1,n-2}.[/math] Данная система должна быть дополнена значениями интегралов [math]I_{0}^{1},\,I_{n-1}^{n}[/math], которые рассчитываются по вышеприведенным квадратурным формулам. Можно показать, что неявный алгоритм вычисления интеграла на отрезке [math][a,b][/math] имеет оценку: [math]\bigl|I_{a}^{b}-\widehat{I}_{a}^{\,b}\bigr| \leqslant \frac{h^5(b-a)}{180}M_{5}[/math]. Формулы на основе разложения первообразных по формуле ТейлораПусть [math]f(x)\in C_{m+1}[a,b][/math] — формульная функция. Тогда из разложений первообразной [math]F(x)[/math] по формуле Тейлора относительно точек [math]x_{i}[/math] и [math]x_{i+1}[/math] и выражений для [math]F_{i+1}= F(x_{i+1})[/math] и [math]F_{i}= F(x_{i})[/math] после преобразований получаются одноинтервальные обобщенные квадратурные формулы Эйлера, которые имеют функционально-дифференциальный тип: [math]\widehat{I}_{i,1}^{\,i+1}= h_{i+1}f_{i}+ \frac{h_{i+1}^2}{2}f'_{i}+ \frac{h_{i+1}^3}{6}f''_{i}+ \ldots+ h_{i+1} \sum\limits_{k=0}^{m} \frac{h_{i+1}^k}{(k+1)!}f_{i}^{(k)} \quad \left(\frac{h_{i+1}^{m+2}M_{m+1}}{(m+2)!}\right)\!,[/math] (5.75) [math]\widehat{I}_{i,2}^{\,i+1}= h_{i+1}f_{i+1}-\frac{h_{i+1}^2}{2}f'_{i+1}+ \frac{h_{i+1}^3}{6}f''_{i+1}+ \ldots+ h_{i+1} \sum\limits_{k=0}^{m} (-1)^k \frac{h_{i+1}^k}{(k+1)!} f_{i+1}^{(k)}\quad \left(\frac{h_{i+1}^{m+2}M_{m+1}}{(m+2)!}\right)\!,[/math] (5.76) В скобках справа от квадратурных формул (5.75), (5.76) указаны мажоранты, характеризующие оценки их погрешностей. На рис. 5.4 показан характер аппроксимации интеграла [math]\widehat{I}_{i}^{\,i+1}[/math] на отрезке [math][x_{i},x_{i+1}][/math] первыми (функциональными) слагаемыми комбинаций (5.75), (5.76). Эти аппроксимации представляют собой площади прямоугольников [math]abcd[/math] (рис. 5.4,а) и [math]ABCD[/math] (рис. 5.4,б), построенных по значениям функций [math]f(x)[/math] в левой точке [math]x_{i}[/math] и в правой точке [math]x_{i+1}[/math] соответственно. Последующие слагаемые учитывают более высокие по порядку [math]h_{i+1}[/math] величины, и они вычисляются по значению [math]h_{i+1}[/math] и производным от первого до m-го порядка в точках [math]x_{i}[/math] и [math]x_{i+1}[/math]. В соответствии с этим (5.75), (5.76) можно назвать обобщенными квадратурными формулами прямоугольников. Составляя линейную комбинацию (5.75), (5.76) (среднеарифметическое [math]\widehat{I}_{i,1}^{\,i+1}[/math] и [math]\widehat{I}_{i,2}^{\,i+1}[/math]), получаем обобщенную квадратурную формулу трапеций: [math]\begin{aligned}\widehat{I}_{i,3}^{\,i+1}&= h_{i+1} \frac{f_{i}+ f_{i+1}}{2}-\frac{h_{i+1}^2}{4}(f'_{i+1}-f'_{i})+ \frac{h_{i+1}^3}{12}(f''_{i+1}+ f''_{i})-\frac{h_{i+1}^4}{48} (f'''_{i+1}-f'''_{i})+\ldots=\\ &= \frac{h_{i+1}}{2} \sum\limits_{k=0}^{m} \frac{h_{i+1}^k}{(k+1)!} \bigl[(-1)^k f_{i+1}^{(k)}+ f_{i}^{(k)}\bigr]\quad \left(\frac{h^t}{t!}M_{t,i}\right)\!, \end{aligned}[/math] (5.77) где [math]t=m+3[/math] при четном [math]m[/math] и [math]m=0;~ t=m+2[/math] при нечетном [math]m[/math]. Первое слагаемое данной квадратурной формулы соответствует площади трапеции, основания которой равны [math]f_{i}[/math] и [math]f_{i+1}[/math], а высотой является [math]h_{i+1}[/math] (см. рис. 5.2,б). Из выражения для [math]\widehat{I}_{i,3}^{\,i+1}[/math] видно, что порядок аппроксимации интеграла этим слагаемым квадратурной формулы равен трем, в то время как для (5.75), (5.76) этот порядок равен двум. Это обусловлено знаками производных в комбинациях слагаемых квадратурной формулы (5.77) (при [math]m=1[/math] во втором слагаемом производные [math]f'_{i}[/math] и [math]f'_{i+1}[/math] вычитаются и. если это слагаемое остаточное, то оно будет равно нулю, так как в этом случае обе производные записываются в одной и той же точке [math]\xi\in (x_{i},x_{i+1})[/math]). Аналогичным путем на трехточечном шаблоне [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_{i}, x_{i+1})[/math] можно получить двухинтервальную квадратурную формулу Эйлера, где [math]H= \max(h_{i},h_{i+1})\colon[/math] [math]\widehat{I}_{i-1}^{\,i+1}= \sum\limits_{k=0}^{m} \frac{1}{(k+1)!} \bigl[\bigr]f_{i}^{(k)}\quad \left(\frac{2H^{m+2}}{(m+2)!}M_{m+1,i}\right)\!.[/math] Замечание. На основе рассмотренных здесь квадратурных формул дифференциального типа можно строить вложенные алгоритмы численного интегрирования с заданной точностью, состоящие в том, что на фиксированном шаге очередное слагаемое суммы вычисляется и добавляется к ранее вычисленному результату до тех пор, пока абсолютная величина этого слагаемого не станет меньше заданной величины [math]\varepsilon>0[/math]. Пример 5.12. Применяя вложенный алгоритм, вычислить интеграл [math]\textstyle{I= \int\limits_{0}^{\pi\!\not{\phantom{|}}\,\,2} \cos x\,dx}[/math] о с точностью [math]\varepsilon=0,\!01[/math] на основе обобщенной квадратурной формулы трапеций (5.77). Результат сравнить с его точным значением. РешениеДля функции [math]f(x)[/math] с ограниченными производными квадратурная формула (5.77) содержит слагаемые, которые при [math]h_{i+1}<1[/math] уменьшаются по абсолютной величине при переходе от текущего слагаемого к последующему. Поэтому достигнутая точность может контролироваться в процессе вычислений по величине очередного слагаемого (по модулю). Как только это слагаемое по модулю становится меньше заданной точности [math]\varepsilon[/math], то вычисления можно закончить. Проведем вычисления слагаемых: 1,2,3-го и т.д. для заданной в примере функции [math]f(x)=\cos{x}[/math]. При этом принимается [math]x_{i}=0;~ x_{i+1}= \pi\!\!\not{\phantom{|}}\,2[/math]. В результате имеем [math]\begin{aligned}h_{i+1}\cdot \frac{f_{i}+ f_{i+1}}{2}&= \frac{\pi}{2}\cdot \frac{\cos0+ \cos \frac{\pi}{2}}{2}= \frac{\pi}{4}= 0,\!78537;\\ \frac{h_{i+1}^2}{4}(f'_{i+1}-f'_{i})&=-\frac{\pi^2}{4\cdot 4}\! \left(\sin \frac{\pi}{2}-\sin0\right)=-\frac{\pi^2}{16}=-0,\!61685;\\ \frac{h_{i+1}^3}{12}(f''_{i+1}+f''_{i})&=-\frac{\pi^3}{8\cdot 12}\! \left(\cos \frac{\pi}{2}+ \cos0\right)=-\frac{\pi^3}{96}=-0,\!32298;\\ \frac{h_{i+1}^2}{48}(f'''_{i+1}-f'''_{i})&=\frac{\pi^4}{16\cdot 48}\! \left(\sin \frac{\pi}{2}-\sin0\right)= \frac{\pi^4}{16\cdot 48}= 0,\!126834;\\ \frac{h_{i+1}^5}{240}(f_{i+1}^{(4)}+f_{i}^{(4)})&= \frac{\pi^5}{32\cdot 240}\! \left(\cos \frac{\pi}{2}+ \cos0\right)= \frac{\pi^5}{32\cdot 240}= 0,\!039846;\\ \frac{h_{i+1}^6}{1440}(f_{i+1}^{(5)}-f_{i}^{(5)})&= \frac{\pi^6}{64\cdot 1440}\! \left(-\sin \frac{\pi}{2}+\sin0\right)=-\frac{\pi^6}{64\cdot 1440}=-0,\!01043. \end{aligned}[/math] Следующее седьмое слагаемое будет по модулю меньше заданной точности [math]\varepsilon= 0,\!01[/math], поэтому его и последующие слагаемые можно не учитывать. Сумма полученных слагаемых с учетом их знаков и знаков линейной комбинации (5.77) дает результат: [math]I_{0}^{\pi\!\not{\phantom{|}}\,\,2}= 0,\!78537+ 0,\!61685-0,\!32298-0,\!126834+ 0,\!039846+ 0,\!01043= 1,\!00268.[/math] Отличие полученного значения от точного не превышает 0,3%. Отметим, что для данной функции в качестве отрезка [math][x_{i},x_{i+1}][/math] выбран целиком весь отрезок [math][a,b]= \left[0; \frac{\pi}{2}\right][/math]. Для достижения заданной точности в примере 5.12 потребовалось вычислить шесть слагаемых. Если отрезок [math][a,b][/math] разбить на несколько частичных отрезков, например на два или три, то на каждом шаге потребовалось бы меньшее количество слагаемых и в результате общее их количество могло бы уменьшиться. В связи с этим в процессе реализации вычислительного алгоритма возникает задача выбора оптимальных шагов, которые для достижения той же точности обеспечивают минимальное общее количество слагаемых и в силу этого минимальное количество операций.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |