Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Методы численного дифференцирования

Методы численного дифференцирования


Содержание

Формулы на основе разложения функций по формуле Тейлора


Рассмотрим решение задач 1 и 2 численного дифференцирования на различных шаблонах.


А. Двухточечный шаблон. Выберем шаблон [math]H_{2,i}= (x_i,x_{i+1})[/math] на неравномерной сетке [math]\Omega_n[/math]. Предполагая, что [math]f(x)\in C_2[a,b][/math], разложим функцию [math]f(x)[/math] по формуле Тейлора (В.20) при [math]k=1[/math] относительно точки [math]x_i[/math] с остаточным слагаемым в форме Лагранжа и найдем выражение для [math]f_{i+1}= f(x_{i+1})\colon[/math]


[math]f_{i+1}= f_i+ h_{i+1}f'_i+ \frac{h_{i+1}^2}{2}f''(\xi),\qquad \scriptstyle{\mathsf{(5.3)}}[/math]

где [math]\xi\in(x_i,x_{i+1}),~ h_i=x_{i+1}-x_i[/math]. Отсюда получаем [math]f'_i= \frac{f_{i+1}-f_i}{h_{i+1}}-\frac{h_{i+1}}{2}f''(\xi)[/math]. Очевидно, справедлива оценка


[math]\left|-\frac{h_{i+1}}{2}f''(\xi)\right|\leqslant \frac{h_{i+1}}{2} \max_{x\in [x_i,x_{i+1}]} \bigl|f''(x)\bigr|= \frac{h_{i+1}\cdot M_{2,i}}{2}\,,[/math]

где [math]M_{2,i}= \max_{x\in [x_i,x_{i+1}]} \bigl|f''(x)\bigr|[/math]. Отсюда следует функциональная формула (функциональный оператор) для первой производной:


[math]\widehat{f}\,'_{i,c}= \frac{f_{i+1}-f_i}{h_{i+1}}\qquad \left(\frac{h_{i+1}}{2} M_{2,i}\right)\!.[/math]
(5.4)

В скобках справа от аппроксимационных операторов здесь и далее указываются правые части оценок их погрешностей. Отметим, что формула (5.4) является несимметричной, односторонней (левосторонней). Если функцию [math]f(x)[/math] разложить по формуле Тейлора относительно точки [math]x_{i+1}[/math], то получим правостороннюю формулу


[math]\widehat{f}\,'_{i+1,c}= \frac{f_{i+1}-f_i}{h}\qquad \left(\frac{h}{2} M_{2,i}\right)\!.[/math]

Б. Трехточечный шаблон. На неравномерной сетке [math]\Omega_n[/math] выбираем трехточечный (двухшаговый) шаблон [math]H_{3,i}= (x_{i-1}, x_i,x_{i+1})[/math], характеризующийся шагами [math]h_{i+1}= x_{i+1}-x_i,~ h_i=x_i-x_{i-1}[/math] и параметром его нерегулярности [math]\delta_{i+1}= h_{i+1}\!\!\not{\phantom{|}}\,h_i[/math] который в общем случае не равен единице.


Аппроксимационные функциональные (точечные) формулы второго порядка в левой крайней, центральной и правой крайней точках шаблона можно получить на основе разложения функции [math]f(x)[/math] по формуле Тейлора с остаточным слагаемым в форме Лагранжа. При этом предполагается, что [math]f(x)\in C_3[a,b][/math]. Это позволяет получить разностные дифференциальные операторы [math]\widehat{f}\,'(x_t)~ (t=i-1,i,i+1)[/math] и провести оценки их погрешностей.


Разложим функцию [math]f(x)[/math] при [math]x=x_i[/math] и [math]x=x_{i+1}[/math] по формуле Тейлора при [math]k=2[/math] относительно точки [math]x_{i-1}[/math]с остаточным слагаемым в форме Лагранжа. В результате находим соотношения, определяющие [math]f_i= f(x_i)[/math] и [math]f_{i+1}= f(x_{i+1})\colon[/math]


[math]f_i= f_{i-1}+ h_i\cdot f'_{i-1}+ \frac{h_i^2}{2}f''_{i-1}+ \frac{h_i^3}{6}f'''(\xi_{-}),[/math]
(5.5)

[math]f_{i+1}= f_{i-1}+ H_{i}^{i+1}\cdot f'_{i-1}+ \frac{(H_{i}^{i+1})^2}{2}f''_{i-1}+ \frac{(H_{i}^{i+1})^3}{6}f'''(\xi_{+}),[/math]
(5.6)

где [math]H_{i}^{i+1}= h_i+h_{i+1},~~ \xi_{-}=(x_{i-1},x_i),~~ \xi_{+}= (x_{i-1}, x_{i+1}),~~ f_{i-1}^{(p)}(x_{i-1})= f^{(p)}(x_{i-1}),~ p=0,1,2[/math].


Исключая из (5.5), (5.6) слагаемое, содержащее вторую производную, и выражая из полученного соотношения [math]f'_{i-1}[/math], получаем следующую аппроксимацию первой производной в левой крайней точке (левостороннюю формулу или оператор)


[math]\widehat{f}\,'_{i-1,\mathsf{v}}= \frac{1}{H_{i}^{i+1}}\! \left(-(2+\delta_{i+1}) f_{i-1}+ \frac{(1+\delta_{i+1})^2}{\delta_{i+1}}f_i-\delta_{i+1}^{-1}f_{i+1}\right)\!.[/math]
(5.7)

При [math]h=\text{const}~ (\delta_{i+1}=1)[/math] формула (5.7) упрощается и приводится к известному виду:


[math]\widehat{f}\,'_{i-1,\mathsf{c}}= \frac{1}{2h}\bigl(-3f_{i-1}+ 4f_i-f_{i+1}\bigr)\quad \left(\frac{h^2}{3}M_{3,i}\right)\!.[/math]
(5.8)

Данную формулу можно записать через конечные разности: [math]\widehat{f}\,'_{i-1, \mathsf{c}}= \frac{1}{2h}\bigl(3 \Delta f_{i-1}-\Delta f_i\bigr)[/math]. Здесь нижние индексы [math]\mathsf{v}[/math] и [math]\mathsf{c}[/math], относящиеся к аппроксимационным операторам (5.7) и (5.8), указывают на тип шаблона — нерегулярный [math](h_{i+1}= \text{var})[/math] и регулярный [math](h_{i+1}= \text{const})[/math]). Остаточное слагаемое для (5.7) получается равным [math]\tfrac{1}{6}h_i^2(1+\delta_{i+1})f'''(\xi),[/math] [math]\xi\in (x_{i-1}, x_{i+1})[/math] и поэтому для этой аппроксимации справедлива следующая оценка погрешности:


[math]\bigl|f'_{i-1}-\widehat{f}_{i-1, \mathsf{v}}\bigr| \leqslant \frac{1}{6} h_i^2 (1+ \delta_{i+1})M_{3,i}[/math], где [math]M_{3,i}= \max_{x\in H_{3,i}} f'''(x)[/math].

Приводимые здесь и ниже остаточные слагаемые для дифференциальных операторов также получаются путем дифференцирования остаточных слагаемых [math]R(x)[/math] интерполяционных многочленов соответствующей степени. Из (4.20) для трехточечных формул при [math]n=2[/math] следует соотношение


[math]R(x)= \frac{}{}f'''(\xi)\cdot \omega(x),\qquad \omega(x)= (x-x_{i-1})(x-x_i)(x-x_{i+1}).[/math]

Аналогично, разложив функцию [math]f(x)[/math] относительно точки [math]x_{i+1}[/math] и получив соотношения для [math]f_{i-1},\,f_i[/math], найдем [math]\widehat{f}_{i+1}[/math] — разностный оператор, аппроксимирующий первую производную [math]f'_{i+1}[/math] в правой крайней точке (правосторонняя формула):


[math]\begin{gathered}\widehat{f}_{i+1, \mathsf{v}}= \frac{1}{H_i^{i+1}}\! \left(\delta_{i+1}f_{i-1}-\frac{(1+\delta_{i+1})^2}{\delta_{i+1}} f_i+ \frac{2+\delta_{i+ 1}}{\delta_{i+1}}f_{i+1}\right)\!,\\[2pt] \widehat{f}_{i+1, \mathsf{c}}= \frac{1}{2h}\bigl(f_{i-1}-4f_i+3f_{i+1}\bigr)\quad \text{or}\quad \widehat{f}_{i+1, \mathsf{v}}= \frac{1}{2h}\bigl(3 \Delta f_i-\Delta f_{i-1}\bigr)\quad\! \left(\frac{h^2}{3} M_{3,i}\right)\!. \end{gathered}[/math]
(5.9)

Оператор [math]\widehat{f}_{i+1, \mathsf{v}}[/math] имеет остаточное слагаемое [math]\frac{h_i^2}{6} \delta_{i+1}(1+\delta_{i+1})f'''(\xi)[/math].


Разложение функции [math]f(x)[/math] относительно центральной точки [math]x_i[/math] шаблона, получение выражений для [math]f_{i-1},\,f_{i+1}[/math] и исключение из них слагаемого со второй производной приводят к следующим разностным операторам функционального типа, аппроксимирующим первую производную в центральной точке (формула центрального вида)


[math]\begin{gathered}\widehat{f}_{i, \mathsf{v}}= \frac{1}{H_{i}^{i+1}}\! \left(\delta_{i+1} \Delta f_i+ \frac{\Delta f_{i+1}}{\delta_{i+1}}\right)= \frac{1}{H_{i}^{i+1}}\! \left(-\delta_{i+1}f_{i-1}+ \frac{\delta_{i+1}^2-1}{\delta_{i+1}}f_i+ \frac{f_{i+1}}{\delta_{i+ 1}}\right)\!,\\[2pt] \widehat{f}_{i, \mathsf{c}}= \frac{1}{2h}\bigl(f_{i+1}-f_{i-1}\bigr)\quad \text{or}\quad \widehat{f}_{i, \mathsf{c}}= \frac{1}{2h}\bigl(\Delta f_{i}+ \Delta f_{i-1}\bigr)\quad\! \left(\frac{h^2}{6}M_{3,i}\right)\!. \end{gathered}[/math]
(5.10)

Оператор [math]\widehat{f}_{i, \mathsf{v}}[/math] имеет остаточное слагаемое [math]\frac{h_i^2}{6} \delta_{i+1}f'''(\xi)[/math].


Приведенные остаточные слагаемые разностных операторов обусловливают следующие оценки их погрешностей:


[math]\begin{gathered}\bigl|f'_{i-1}-\widehat{f}_{i-1, \mathsf{v}}\bigr|\leqslant \frac{h_i^2}{6} (1+\delta_{i+1})M_{3,i},\qquad \bigl|f'_{i}-\widehat{f}_{i, \mathsf{v}}\bigr|\leqslant \frac{h_i^2}{6}\delta_{i+1}M_{3,i},\\[2pt] \bigl|f'_{i+1}-\widehat{f}_{i+1, \mathsf{v}}\bigr|\leqslant \frac{h_i^2}{6} (1+\delta_{i+1})M_{3,i},\qquad M_{3,i}= \max_{x\in H_{3,i}}\bigl|f'''(x)\bigr|. \end{gathered}[/math]
(5.11)

Замечания


1. Далее в тексте оценочная константа [math]M_{p,i}[/math] для краткости будет использоваться без дополнительного ее описания. В нижнем индексе этой константы всюду указывается [math]p[/math] — порядок производной.


2. Из оценок (5.11) вытекает, что разностные операторы [math]\widehat{f}_{i-1},\, \widehat{f}_{i},\, \widehat{f}_{i+1}[/math] аппроксимируют при [math]h_{i+1}=\text{var}[/math] соответствующие производные [math]f'_{i-1},\, f'_i,\, f'_{i+1}[/math] со вторым порядком, если шаблон произвольный (безусловная аппроксимация). Если же на шаблоне с [math]\delta_{i+ 1}\ll1[/math] наложить условие, например [math]\delta_{i+1}\leqslant h_i[/math], то есть [math]h_{i+1}\leqslant h_i^2[/math], то порядок аппроксимации [math]\widehat{f}_{i},\, \widehat{f}_{i+1}[/math] может быть повышен до третьего (условная аппроксимация). Такая возможность повышения порядка аппроксимации относительно [math]h_i[/math] без увеличения количества точек шаблона обеспечивается введением в мажоранты, соответствующие аппроксимациям, параметра [math]\delta_{i+1}[/math], на который в случае необходимости можно наложить условие [math]\delta_{i+1}\leqslant h_i[/math]. При этом следует иметь в виду, что данный параметр входит в знаменатель некоторых слагаемых аппроксимационных формул (5.9), (5.10) и при его уменьшении увеличиваются погрешности арифметических операций.


3. Аппроксимации (5.8),(5.9) являются условными, так как для них справедливо условие [math]\delta_{i+1}=1[/math]. Предположим, что [math]f(x)\in C_4[a,b][/math], и разложим функцию [math]f(x)[/math] в точках [math]x_i,\,x_{i+1}[/math] на трехточечном нерегулярном шаблоне [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_i,x_{i+1})[/math] до слагаемого четвертого порядка относительно шага. Складывая эти разложения и выражая из суммы вторую производную, получаем функционально-дифференциальную формулу для второй производной:


[math]f''_i= \frac{2(f_{i-1}-2f_i+f_{i+1})}{h_{i+1}^2+ h_i^2}-\frac{2(h_{i+1}-h_i)}{h_{i+1}^2+h_i^2}f'_i-\frac{2(h_{i+1}^3-h_i^3)}{6(h_{i+1}^2+ h_i^2)}f'''_i-\frac{2(h_{i+1}^4+ h_i^4)}{4!(h_{i+1}^2+ h_i^2)} f^{(p)}(\xi).[/math]
(5.12)

Подставляя в (5.12) аппроксимационную формулу (5.10) для первой производной, находим разностный аппроксимационный оператор [math]\widehat{f}\,''_i[/math], выраженный через параметры [math]\delta_{i+1},\, h_i^2[/math] и аппроксимирующий (безусловно) вторую производную [math]f''_i[/math] на нерегулярном шаблоне с первым порядком:


[math]\widehat{f}\,''_{i,\mathsf{v}}= \frac{2}{h_i^2}\! \left(\frac{1}{1+\delta_{i+1}}f_{i-1}-\frac{1}{\delta_{i+1}}f_i+ \frac{1}{(1+\delta_{i+1})\delta_{i+1}}f_{i+1}\right)\!.[/math]
(5.13)

Выражение (5.13) можно преобразовать к виду


[math]\widehat{f}\,''_{i,\mathsf{v}}= \frac{2}{H_{i}^{i+1}}\! \left(\frac{\Delta f_i}{h_{i+1}}-\frac{\Delta f_{i-1}}{h_i}\right)= \frac{2}{H_{i}^{i+1}}\! \left[\frac{f_{i-1}}{h_i}-\left(\frac{1}{h_i}+ \frac{1}{h_{i+1}}\right)\!f_i+ \frac{f_{i+1}}{h_{i+1}}\right]\!.[/math]

Если сетка равномерная [math](\delta_{i+1}=1)[/math], то указанный порядок условной аппроксимации возрастает на единицу, так как третье слагаемое в (5.12) становится равным нулю. В этом случае из (5.13) получаем широко распространенный оператор, аппроксимирующий вторую производную на регулярном шаблоне:


[math]\widehat{f}\,''_{i,\mathsf{c}}= \frac{1}{h^2} \bigl(f_{i-1}-2f_i+f_{i+1}\bigr)\quad \text{or}\quad \widehat{f}\,''_{i,\mathsf{c}}= \frac{1}{h^2}\bigl(\Delta f_i-\Delta f_{i-1}\bigr)\quad\! \left(\frac{h^2}{12}M_{4,i}\right)\!.[/math]
(5.14)

Замечание. Из (5.12) следует, что порядок условной аппроксимации (5.13) можно повысить на единицу и на нерегулярном шаблоне, если принять [math]|\delta_{i+1}-1|<h_i[/math], то есть [math]h_i-h_i^2 \leqslant h_{i+1}\leqslant h_i+h_i^2[/math] (квазиравномерная сетка).


Как следует из приведенных выше постановок задач, в вычислительной практике аппроксимационные формулы (операторы) для производных используются для вычисления значений производных либо для замены ими соответствующих дифференциальных операторов. В связи с этим приведем методику вычисления [math]\Bigl.{f^{(p)}(x)}\Bigr|_{x=x_j}[/math].




Методика вычисления значений производных


1. Выбрать конкретную аппроксимационную формулу (или несколько разных формул), в которой порядок аппроксимации должен соответствовать заданному в задаче порядку точности [math]t[/math].


2. Выбрать наборы точек (шаблоны [math]H_{k,i}[/math]), которым принадлежат точки [math]x_j~(x_j\in H_{k,i})[/math], причем для каждого из наборов расположение точки [math]x_j[/math] должно быть зафиксировано относительно точек шаблона ([math]k[/math] — количество точек, определяющих шаблон). Эта фиксация определяется структурой формулы. Например, если формула имеет центральный тип (см. формулу (5.10)), то точка [math]x_j[/math] должна совпадать со средней точкой шаблона, а если формула левосторонняя (см. формулы (5.7) и (5.8)), то точка [math]x_j[/math] должна совпадать с левой крайней точкой шаблона и т.д.


3. В правую часть выбранной формулы (или формул) подставить значения функций и (или) интегралов, которые соответствуют выбранным точкам шаблона (шаблонов).


4. Произвести требуемые вычисления с учетом того, что количество сохраняемых цифр должно приблизительно соответствовать величине остаточного слагаемого аппроксимационной формулы и порядку точности [math]t[/math].


▼ Пример 5.1

Дана сеточная функция (табл. 5.1), являющаяся сеточным представлением формульной функции [math]y(x)=1\!\!\not{\phantom{|}}\,x[/math]. Заданы также порядок [math]t=2[/math] относительно шага [math]h[/math], который необходимо обеспечить при решении задачи, и точка [math]x_j=1,\!4[/math]. Требуется вычислить значение первой производной [math]f''(1,\!4)[/math] и второй производной [math]f'(1,\!4)[/math] с помощью различных шаблонов и соответствующих формул.


Решение. Воспользуемся вышеприведенной методикой.


[math]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \multicolumn{7}{r}{\mathit{Table~5.1}}\\\hline i& 0& 1& 2& 3& 4& 5 \\\hline x_i& 1& 1,\!2& 1,\!4& 1,\!6& 1,\!8& 2,\!0 \\\hline f_i& 1,\!000000& 0,\!83333333& 0,\!7142857& 0,\!6250000& 0,\!5555555& 0,\!500000 \\\hline \end{array}[/math]

1. Так как шаг задания сеточной функции постоянный [math]h=x_{i+1}-x_i=0,\!2[/math], точка [math]x_j=1,\!4[/math] находится внутри сетки [math]\Omega_n[/math], то для вычисления производной в этой точке выбирается вторая формула из (5.10), имеющая второй порядок аппроксимации относительно шага [math]h[/math]. При этом центральная точка шаблона совпадает с точкой [math]x_j=1,\!4[/math].


2. Выберем трехточечный шаблон [math]H_{3,i}= (x_{i-1}, x_i,x_{i+1})= (1,\!2; 1,\!4; 1,\!6)[/math], в котором


[math]x_i=1,\!4~(i=2);\quad x_{i-1}=1,\!2~(i-1=1);\quad x_{i+1}=1,\!6~ (i+1=3).[/math]

В данном шаблоне центральная точка [math]x_i=1,\!4[/math], что соответствует центральному типу аппроксимационной формулы.


3. Подсчитаем искомое значение производной по формуле (5.10):


[math]\widehat{f}\,'_{i,c}= \frac{f_{i+1}-f_{i-1}}{2h}= \frac{0,\!6250000-0,\!8333333}{2\cdot 0,\!2}\,.[/math]

4. Прежде чем выполнить вычисление, необходимо определить количество знаков, которое сохраняется при этом. Остаточное слагаемое выбранной формулы равно [math]\frac{h^2}{6} M_{3,i}[/math]. Для его вычисления необходимо сначала определить [math]M_{3,i}= \max_{[x_{i-1},x_{i+1}]}\bigl|f'''(x)\bigr|[/math]. Поэтому воспользуемся интерполяционным многочленом Ньютона с конечными разностями:


[math]f'''_i \approx N'''_3(x_i)= \frac{\Delta^3 f}{h^3}\,.[/math]

где [math]\Delta^3 f[/math] — конечная разность третьего порядка. Эта разность может быть вычислена по значениям функции [math]f_i[/math] в четырех точках. Возьмем точки [math]x_2,\, x_3,\, x_4,\, x_5[/math]. При этом будем считать, что [math]M_{3,i}\approx f'''(x_i)[/math].


Вычисление дает [math]f'''(x_i)\approx-\frac{0,\!005935}{0,\!008}=-0,\!741875[/math]. Тогда остаточное слагаемое по модулю будет равно [math]\frac{0,\!04\cdot 0,\!74405}{6}\approx 0,\!0049<0,\!01[/math].


На основе полученного приближенного значения остаточного слагаемого можно заключить, что в вычислениях ожидается одна верная цифра после запятой. Обычно в расчетах оставляют еще одну или две дополнительные цифры (в нашем примере это составляет всего 3 цифры). Оставляя три цифры после запятой, получаем результат: [math]\Bigl.{\widehat{f}\,'(x)}\Bigr|_{x=1,\!4}=-0,\!521[/math].


Фактическая абсолютная погрешность составляет


[math]\left|-0,\!521+ \frac{1}{1,\!4^2}\right|= |-0,\!521+0,\!5102|= 0,\!0108,[/math]

т.е. относительная погрешность равна [math]\frac{0,\!0108}{0,\!5102}\cdot 100\%=2,\!1\%[/math]. Если эта погрешность не устраивает вычислителя, необходимо повышать порядок точности относительно [math]h[/math], например, до [math]t=3[/math]. В дальнейшем приводятся соответствующие примеры с порядком [math]t=3[/math].


Для вычисления первой производной можно было использовать и другие формулы. При выборе шаблона [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_i,x_{i+1})= (1,\!4; 1,\!6; 1,\!8)[/math] по формуле (5.8) имеем


[math]\begin{aligned}f'(1,\!4)&= \widehat{f}\,'_{i-1,c}= \frac{1}{2h}\bigl(-3f_{i-1}+4f_i-f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{2h}\bigl[-3f(1,\!4)+ 4f(1,\!6)-f(1,\!8)\bigr]=\\ &=\frac{1}{2\cdot 0,\!2}\bigl[-3\!0,\!7142857+ 4\cdot 0,\!625-0,\!5555\bigr]=-0,\!496017. \end{aligned}[/math]

Фактическая абсолютная погрешность составляет [math]|-0,\!496017-0,\!510204|= 0,\!0142[/math], относительная погрешность равна [math]2,\!78\%[/math].


Если выбрать шаблон [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_i,x_{i+1})= (1; 1,\!2; 1,\!4)[/math], то по формуле (5.9) получаем


[math]\begin{aligned}f'(1,\!4)&\cong \widehat{f}\,'_{i+1,c}= \frac{1}{2h}\bigl(f_{i-1}-4f_i+ 3f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{2\cdot0,\!2} \bigl[f(1)-4f(1,\!2)+ 3f(1,\!4)\bigr]=\\ &= \frac{1}{0,\!4}\bigl[1,\!0-4\cdot 0,\!83333+ 3\cdot 0,\!7142857\bigr]=-0,\!476187. \end{aligned}[/math]

Фактическая абсолютная погрешность равна [math]|-0,\!476187-0,\!510204|=0,\!03401[/math], относительная погрешность составляет [math]6,\!66\%[/math].


Для вычисления второй производной можно взять формулу (5.14) на шаблоне [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_i,x_{i+1})= (1,\!2; 1,\!4; 1,\!6)\colon[/math]


[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i,c}&= \frac{1}{h^2} \bigl(f_{i-1}-2f_i+ f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{0,\!2}\bigl[f(1,\!2)-2\cdot f(1,\!4)+ f(1,\!6)\bigr]=\\ &= \frac{1}{0,\!04} \bigl[0,\!8333-2\cdot 0,\!7142857+ 0,\!625\bigr]= 0,\!743965. \end{aligned}[/math]

Точное значение [math]f''(1,\!4)= \frac{1}{1,\!4^3}= 0,\!7288629[/math]. Фактическая абсолютная погрешность равна [math]0,\!0151[/math], относительная погрешность [math]2,\!07\%[/math].




Оценка погрешности аппроксимационного оператора


В вычислительной практике иногда применяют аппроксимационные формулы, порядок аппроксимации которых не известен или не приведен в используемом источнике, и в этом случае, прежде чем использовать эту формулу, нужно получить оценку ее погрешности.


Данную процедуру можно выполнить с помощью различных подходов, один из которых основан на разложении функций, входящих в правую часть оператора, по формуле Тейлора относительно той точки [math]x_j[/math], для которой записан этот оператор. Другой подход использует анализ остаточного слагаемого, полученного для интерполяционного многочлена Лагранжа. При этом рассматривается соотношение (4.19), которое дифференцируется нужное количество раз:


[math]f^{(p)}(x)= L_{n}^{(p)}+ R_{n}^{(p)}(x).[/math]

Тогда если нужно найти погрешность численного дифференцирования в точке [math]x=x_j[/math], то осуществляется подстановка [math]x=x_j[/math]. В результате находится оценка погрешности в точке


[math]\left|\Bigl.{R_n^{(p)}(x)}\Bigr|_{x=x_j}\right|\leqslant \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}\cdot \omega_n^{(p)}(x_j),[/math]

где [math]n[/math] — степень алгебраического многочлена, по которому получен аппроксимационный оператор. Если априори степень [math]n[/math] неизвестна, то она может быть определена путем подстановки в правую часть оператора произвольных узлов [math]x_i[/math] и значений [math]f(x_i)[/math] для многочленов [math]N_1(x)= ax+b;~ N_2(x)= ax^2+bx+c[/math] и т. д. Максимальная степень многочлена [math]N_n(x)[/math], для которого остаточное слагаемое равно нулю, является искомой.


Если необходимо оценить погрешность аппроксимационного оператора [math]\widehat{f}^{(p)} (x)[/math] не в точке, а на всем отрезке [math][a,b][/math], то для этого используется неравенство (4.22), которое дифференцируется [math]p[/math] раз:


[math]\max_{x\in[a,b]} \bigl|R_n^{(p)}(x)\bigr|\leqslant \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}\cdot \max_{x\in [a,b]} \bigl|\omega_n^{(p)}(x)\bigr|.[/math]

Изложим простейшую методику оценки погрешности в точке [math]x=x_j[/math], когда степень многочлена [math]L_{k-1}(x)[/math] и шаблон [math]H_{k,i}[/math], на котором этот многочлен получен, известны.




Методика оценки погрешности аппроксимационного оператора


1. На заданном шаблоне, который в общем случае имеет структуру [math]H_{k,i}= (x_{i-r}, \ldots, x_i,\ldots, x_{i+s}),~ k=r+s+1[/math], записать выражение для оценки остаточного слагаемого в точке [math]x=x_j\in H_{k,i}\colon[/math]


[math]\left|\Bigl.{R_{k-1}^{(p)}(x)}\Bigr|_{x=x_j}\right|\leqslant \frac{M_k}{k!} \left|\Bigl.{\omega_{k-1}^{(p)}(x)}\Bigr|_{x=x_j}\right|.[/math]

Здесь [math]r[/math] и [math]s[/math] — количество точек, расположенных соответственно левее и правее точки [math]x_j[/math], которая фиксируется на этом шаблоне.


2. Найти производную [math]\omega_{k-1}^{(p)}(x)= \bigl[(x-x_{i-r})(x-x_{i-r+1})\ldots (x-x_{i+s})\bigr]^{(p)}[/math].


3. В полученную производную подставить значение [math]x_j[/math]. Далее преобразовать ее, выразив через [math]h[/math] (при [math]h=\text{const}[/math]) или через параметр нерегулярности [math]\delta_{i+1}= h_{i+1}\!\!\not{\phantom{|}}\,h_i[/math], и записать окончательно оценку погрешности.


▼ Пример 5.2

Для заданного дифференциального оператора (5.8), записанного для производной в левой крайней точке шаблона [math]H_{3,i}= (x_{i-1}, x_i, x_{i+1})[/math], требуется найти остаточное слагаемое и оценить погрешность в точке [math]x_j=x_{i-1}[/math].


Решение. 1. На шаблоне [math]H_{3,i}= (x_{i-1}, x_i, x_{i+1})[/math] записываем выражение [math](k=3)\colon[/math]


[math]\left|\Bigl.{R'_2(x)}\Bigr|_{x=x_{i-1}}\right|\leqslant \frac{M_3}{3!} \left|\Bigl.{\omega'_2(x) }\Bigr|_{x=x_{i-1}}\right|[/math] или [math]\left|\Bigl.{R'_2(x)}\Bigr|_{x=x_{i-1}}\right|\leqslant \frac{M_3}{3!} \left|\Bigl.{\bigl[(x-x_{i-1})(x-x_i)(x-x_{i+1})\bigr]'}\Bigr|_{x=x_{i-1}}\right|[/math].

2. Находим производную многочлена [math]\omega_2(x)\colon[/math]


[math]\omega'_2(x)= (x-x_i)(x-x_{i+1})+ (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})+ (x-x_{i-1})(x-x_{i}).[/math]

3. Так как [math]h=\text{const}[/math], то


[math]\begin{aligned}\Bigl.{\omega'_2(x)}\Bigr|_{x=x_{i-1}}&= (x_{i-1}-x_{i})(x_{i-1}-x_{i+1})+ (x_{i-1}-x_{i-1})(x_{i-1}-x_{i})\,+\\ &\quad +\,(x_{i-1}-x_{i-1})(x_{i-1}-x_{i})= (-h)(-2h)= 2h^2. \end{aligned}[/math]

В результате получаем [math]\left|\Bigl.{R'_2(x)}\Bigr|_{x=x_{i-1}}\right|\leqslant \frac{M_3}{3}h^2[/math].


Именно эта оценка и приведена в скобках справа от формулы (5.8).




Четырехточечный шаблон


Формулы третьего порядка для первых производных на регулярном шаблоне [math]H_{4,i}= (x_{i-2},x_{i-1},x_i,x_{i+1})[/math] имеют вид:


[math]\begin{gathered}\widehat{f}\,'_{i-2,c}= \frac{1}{6h}\bigl(-11f_{i-2}+ 18f_{i-1}- 9f_i+ 2f_{i+1}\bigr)\quad \left(\frac{h^3}{4}M_{4,i}\right)\!,\\ \text{ili}\\ \widehat{f}\,'_{i-2,c}= \frac{1}{6h} \bigl(11 \Delta f_{i-2}-7 \Delta f_{i-1}+ 2 \Delta f_i\bigr);\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i-1,c}= \frac{1}{6h}\bigl(-2f_{i-2}-3f_{i-1}+6f_i-f_{i+1}\bigr)\quad \left(\frac{h^3}{12}M_{4,i}\right)\!,\\ \text{ili}\\ \widehat{f}\,'_{i-1,c}= \frac{1}{6h} \bigl(2\Delta f_{i-2}+5 \Delta f_{i-1}-\Delta f_i\bigr);\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i,c}= \frac{1}{6h}\bigl(f_{i-2}-6f_{i-1}+3f_i+ 2f_{i+1}\bigr)\quad \left(\frac{h^3}{12} M_{4,i}\right)\!,\\ \text{ili}\\ \widehat{f}\,'_{i,c}= \frac{1}{6h} \bigl(-\Delta f_{i-2}+5 \Delta f_{i-1}+ 2\Delta f_i\bigr);\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i+1,c}= \frac{1}{6h}\bigl(-2f_{i-2}+9f_{i-1}-18f_i+ 11f_{i+1}\bigr)\quad \left(\frac{h^3}{4}M_{4,i}\right)\!,\\ \text{ili}\\ \widehat{f}\,'_{i+1,c}= \frac{1}{6h} \bigl(2\Delta f_{i-2}-7 \Delta f_{i-1}+ 11\Delta f_i\bigr). \end{gathered}[/math]
(5.15)

Замечание. Вариант записи производных через конечные разности здесь и выше приведен для того, чтобы в дальнейшем можно было преобразовать эти формулы на основе теории подобия для аппроксимации (восстановления) функций по интегралам (см. замечание в конце данного раздела).


Формулы второго порядка на регулярном шаблоне для вторых производных имеют вид


[math]\begin{array}{ll}\widehat{f}\,''_{i-2,c}= \dfrac{1}{h^2}\bigl(2f_{i-2}-5f_{i-1}+ 4f_i-f_{i+1}\bigr)&\quad \left(\dfrac{11h^2}{12}M_{4,i}\right)\!,\\[8pt] \widehat{f}\,''_{i-1,c}= \dfrac{1}{h^2} \bigl(f_{i-2}-2f_{i-1}+ f_i\bigr)&\quad \left(\dfrac{h^2}{12}M_{4,i}\right)\!,\\[8pt] \widehat{f}\,''_{i,c}= \dfrac{1}{h^2}\bigl(f_{i-1}-2f_{i}+ f_{i+1}\bigr)&\quad \left(\dfrac{h^2}{12}M_{4,i}\right)\!,\\[8pt] \widehat{f}\,''_{i+1,c}= \dfrac{1}{h^2}\bigl(-f_{i-2}+ 4f_{i-1}-5f_i+ 2f_{i+1}\bigr)&\quad \left(\dfrac{11h^2}{12}M_{4,i}\right)\!. \end{array}[/math]
(5.16)



Пятиточечный шаблон


Формулы четвертого порядка для первых производных на регулярном шаблоне [math]H_{5,i}= (x_{i-2}, x_{i-1},x_i,x_{i+1},x_{i+2})[/math] имеют вид


[math]\begin{array}{ll}\widehat{f}\,'_{i-2,c}= \dfrac{1}{12h}\bigl(-25f_{i-2}+ 48f_{i-1}-36 f_i+ 16f_{i+1}-3 f_{i+2}\bigr)&\quad \left(\dfrac{h^4}{5}M_{5,i}\right)\!,\\[8pt] \widehat{f}\,'_{i-1,c}= \dfrac{1}{12h}\bigl(-3f_{i-2}-10f_{i-1}+18 f_i-6f_{i+1}+ f_{i+2}\bigr)&\quad \left(\dfrac{h^4}{20}M_{5,i}\right)\!,\\[8pt] \widehat{f}\,'_{i,c}= \dfrac{1}{12h}\bigl(f_{i-2}-8f_{i-1}+8 f_{i+1}-f_{i+2}\bigr)&\quad \left(\dfrac{h^4}{30}M_{5,i}\right)\!,\\[8pt] \widehat{f}\,'_{i+1,c}= \dfrac{1}{12h}\bigl(-f_{i-2}+ 6f_{i-1}-18 f_i+10 f_{i+1}+ 3f_{i+2}\bigr)&\quad \left(\dfrac{h^4}{20}M_{5,i}\right)\!,\\[8pt] \widehat{f}\,'_{i+2,c}= \dfrac{1}{12h}\bigl(3f_{i-2}-16f_{i-1}+36 f_i-48 f_{i+1}+ 25f_{i+2}\bigr)&\quad \left(\dfrac{h^4}{5}M_{5,i}\right)\!. \end{array}[/math]
(5.17)

Формулы третьего порядка для вторых производных на указанном шаблоне имеют вид


[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i-2,c}&= \dfrac{1}{12h^2}\bigl(35f_{i-2}-104f_{i-1}+114 f_i-56 f_{i+1}+ 11f_{i+2}\bigr),\\ \widehat{f}\,''_{i-1,c}&= \dfrac{1}{12h^2}\bigl(11f_{i-2}-204f_{i-1}+6 f_i+4 f_{i+1}-f_{i+2}\bigr),\\ \widehat{f}\,''_{i,c}&= \dfrac{1}{12h^2}\bigl(-f_{i-2}+16f_{i-1}-30 f_i+16 f_{i+1}-f_{i+2}\bigr),\\ \widehat{f}\,''_{i+1,c}&= \dfrac{1}{12h^2}\bigl(-f_{i-2}+4f_{i-1}+6 f_i-20 f_{i+1}+ 11f_{i+2}\bigr),\\ \widehat{f}\,''_{i+2,c}&= \dfrac{1}{12h^2}\bigl(11f_{i-2}-56f_{i-1}+114 f_i-104 f_{i+1}+ 35f_{i+2}\bigr). \end{aligned}[/math]
(5.18)

▼ Пример 5.3

Для сеточной функции из примера 5.1 вычислить значение первой производной [math]\Bigl.{f'(x)}\Bigr|_{x_j=1,4}[/math] и второй производной [math]\Bigl.{f''(x) }\Bigr|_{x_j=1,4}[/math], используя каждую из приведенных выше формул для четырехточечного и пятиточечного шаблонов.


Решение. Для вычисления производных воспользуемся соответствующей методикой.


Используем сначала четырехточечные шаблоны.


Для шаблона [math]H_{4,i}= (x_{i-2},x_{i-1},x_i,x_{i+1})= (1,\!4; 1,\!6; 1,\!8; 2)[/math] по первой из формул (5.15) при [math]x_{i-2}=x_j[/math] имеем


[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-2,c}&= \frac{1}{6h}\bigl(-11f_{i-2}+ 18f_{i-1}-9f_i+ 2f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{6\cdot0,\!2}\bigl[-11f(1,\!4)+ 18f(1,\!6)-9f(1,\!8)+ 2f(2)\bigr]=\\ &=\frac{1}{1,\!2}\bigl[-11\cdot 0,\!7142857+ 18\cdot 0,\!625-9\cdot 0,\!5555+ 2\cdot0,\!5\bigr]=-0,\!505535.\end{aligned}[/math]

Фактическая абсолютная ошибка равна [math]0,\!00467[/math], относительная погрешность [math]0,\!915\%[/math].


Значение второй производной найдем по первой из формул (5.16) при [math]x_{i-2}=x_j[/math] имеем


[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i-2,c}&= \frac{1}{h^2} \bigl(2f_{i-2}-5f_{i-1}+ 4f_i-f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{0,\!2^2} \bigl[2f(1,\!4)-5f(1,\!6)+ 4f(1,\!8)-f(2)\bigr]=\\ &=\frac{1}{0,\!04} \bigl[2\cdot 0,\!7142857 — 5\cdot 0,\!625 + 4\cdot 0,\!5555 — 0,\!5\bigr]= 0,\!639285. \end{aligned}[/math]

Фактическая абсолютная ошибка равна [math]0,\!10468[/math], относительная погрешность [math]14,\!07\%[/math].


Заметим, что величина мажоранты в оценке остаточного слагаемого для использованной формулы в 11 раз больше, чем для двух других формул в (5.16), аппроксимирующих производные в точках, расположенных внутри шаблона.


Для шаблона [math]H_{4,i}= (x_{i-2}, x_{i-1}, x_i, x_{i+1})= (1,\!2; 1,\!4; 1,\!6; 1,\!8)[/math] по второй из формул (5.15) при [math]x_{i-1}= x_j[/math] получаем


[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1,c}&= \frac{1}{6h} \bigl(-2f_{i-2}-3f_{i-1}+ 6f_i-f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{6\cdot 0,\!2} \bigl[-2f(1,\!2)-3f(1,\!4)+ 6f(1,\!6)-f(1,\!8)\bigr]=\\ &=\frac{1}{1,\!2} \bigl[-2\cdot 0,\!8333-3\cdot 0,\!7142857+6\cdot 0,\!625-0,\!5555\bigr]=-0,\!51256. \end{aligned}[/math]

Фактическая абсолютная ошибка равна [math]0,\!002357[/math], относительная погрешность [math]0,\!462\%[/math].


Значение второй производной найдем по формуле


[math]\widehat{f}\,''_{i-1,c}= \frac{1}{h^2}\bigl(f_{i-2}-2f_{i-1}+ f_i\bigr)= \frac{1}{0,\!2^2} \bigl[f(1,\!2)-2f(1,\!4)+ f(1,\!6)\bigr]= 0,\!743965.[/math]

Фактическая абсолютная погрешность равна [math]0,\!0151[/math], относительная погрешность [math]2,\!07\%[/math] (см. пример 5.1).


Для шаблона [math]H_{4,i}= (x_{i-2}, x_{i-1}, x_i, x_{i+1})= (1; 1,\!2; 1,\!4; 1,\!6)[/math] при [math]x_i=x_j[/math] имеем


[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i,c}&= \frac{1}{6h} \bigl(f_{i-2}-6f_{i-1}+ 3f_i+ 2f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{6\cdot 0,\!3} \bigl[f(1)-6(1,\!2)+ 3f(1,\!4)+ 2f(1,\!6)\bigr]=\\ \bigl[\bigr]=\\ &=\frac{1}{1,\!2} \bigl[1,\!0-6\cdot 0,\!8333+ 3\cdot 0,\!7142857+ 2\cdot 0,\!6\bigr]=-0,\!505785. \end{aligned}[/math]

Фактическая абсолютная ошибка равна [math]0,\!00442[/math], относительная погрешность [math]0,\!866\%[/math].


Значение второй производной найдем по формуле


[math]\widehat{f}\,''_{i,c}= \frac{1}{h^2} \bigl(f_{i-1}-2f_i+ f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{0,\!2^2} \bigl[f(1,\!2)-2f(1,\!4)+ f(1,\!6)\bigr]= 0,\!743965.[/math]

Фактическая абсолютная погрешность равна [math]0,\!0151[/math], относительная погрешность [math]2,\!07\%[/math] (см. пример 5.1).


Используем формулы (5.17),(5.18) для пятиточечного шаблона. Для шаблона [math]H_{5,i}= (x_{i-2}, x_{i-1}, x_i, x_{i+1}, x_{i+2})= (1,\!2; 1,\!4; 1,\!6; 1,\!8; 2)[/math] имеем
[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1,c}&= \frac{1}{12h} \bigl(-3f_{i-2}-10f_{i-1}+18f_i-6 f_{i+1}+ f_{i+2}\bigr)=\\ &=\frac{1}{12\cdot0,\!2} \bigl[-3f(1,\!2)-10 f(1,\!4)+ 18f(1,\!6)-6f(1,\!8)+ f(2)\bigr]=\\ &=\frac{1}{2,\!4}\bigl[-3\cdot 0,\!83333-10\cdot 0,\!7142857+ 18\cdot 0,\!625-6\! 0,\!555+ 0,\!5\bigr]=-0,\!5107696. \end{aligned}[/math]

Фактическая абсолютная погрешность равна [math]0,\!000566[/math], относительная погрешность [math]0,\!11\%[/math].


Значение второй производной вычислим по формуле


[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i-1,c}&= \frac{1}{12h^2}\bigl(11f_{i-2}-20f_{i-1}+ 6f_i+ 4f_{i+1}-f_{i+2}\bigr)=\\ &=\frac{1}{12\cdot 0,\!2^2} \bigl[11f(1,\!2)-20f(1,\!4)+ 6f(1,\!6)+ 4f(1,\!8)-f(2)\bigr]=\\ &=\frac{1}{0,\!48} \bigl[11\cdot 0,\!83333-20\cdot 0,\!7142857+ 6\cdot 0,\!625+ 4\cdot 0,\!5555-0,\!5\bigr]= 0,\!735241.\end{aligned}[/math]

Фактическая абсолютная погрешность равна [math]0,\!00637[/math], относительная погрешность [math]0,\!875\%[/math].


Для шаблона [math]H_{5,i}= (x_{i-2},x_{i-1},x_i, x_{i+1}, x_{i+2})= (1; 1,\!2; 1,\!4; 1,\!6; 1,\!8)[/math] получаем


[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i,c}&= \frac{1}{12h} \bigl(f_{i-2}-8f_{i-1}+ 8f_{i+1}-f_{i+2}\bigr)=\\ &=\frac{1}{12\cdot 0,\!2} \bigl[f(1)-8f(1,\!2)+8f(1,\!6)-f(1,\!8)\bigr]=\\ &=\frac{1}{2,\!4} \bigl[1-8\cdot 0,\!8333+8\cdot 0,\!625-0,\!5555\bigr]=-0,\!5092.\end{aligned}[/math]

Фактическая абсолютная погрешность равна [math]0,\!00098[/math], относительная погрешность [math]0,\!192\%[/math].


Вычислим вторую производную по формуле


[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{I,c}&= \frac{1}{12h^2} \bigl(-f_{i-2}+ 16f_{i-1}-30f_i+ 16f_{i+1}-f_{i+2}\bigr)=\\ &=\frac{1}{12\cdot 0,\!2^2} \bigl[-f(1)+ 16f(1,\!2)-30f(1,\!4)+ 16f(1,\!6)-f(1,\!8)\bigr]=\\ &=\frac{1}{0,\!48} \bigl(-1,\!0+ 16\cdot 0,\!83333-30\cdot 0,\!7142857+16\cdot 0,\!625-0,\!5555\bigr)= 0,\!72751.\end{aligned}[/math]

Фактическая абсолютная погрешность равна [math]0,\!00134[/math], относительная погрешность [math]0,\!18\%[/math].


Анализ точности аппроксимации показывает, что значения производных в точках, расположенных вблизи центра шаблона, вычисляются с большей точностью, чем значения производных в точках, расположенных вблизи концов шаблона. При повышении порядка аппроксимации точность вычисления производных возрастает.


Замечание. Формулы, записанные выше для аппроксимации производных через приращения функций, могут быть переписаны для восстановления функции [math]y=f(x)[/math] по значениям интегралов. С этой целью можно использовать изложенный ранее метод подобия, состоящий в соответствующем изменении порядка производной в левой и правой частях аппроксимационного выражения. Так, из оператора [math]\widehat{f}\,'_k[/math] ([math]k[/math] — номер точки шаблона) можно получить оператор [math]\widehat{f}\,'_k[/math] путем замены [math]\Delta f_{k-1}= f_k-f_{k-1}[/math] на интеграл [math]I_{k-1}^k= F_k-F_{k-1}[/math]. Проделав это, вместо формулы, следующей за (5.8), вторых из формул (5.9),(5.10) и формул (5.15) получим операторы, восстанавливающие функцию [math]y=f(x)[/math] по значениям интегралов:


[math]\begin{aligned}&\widehat{f}_{i-1,c}= \frac{1}{2h} (3I_{i-1}^{i}-I_{i}^{i+1}); &\qquad & \widehat{f}_{i,c}= \frac{1}{2h} (I_{i}^{i+1}+ I_{i-1}^{i});\\ &\widehat{f}_{i-2,c}= \frac{1}{6h} (11I_{i-2}^{i-1}-7I_{i-1}^{i}+ 2I_{i}^{i+1}); &\qquad & \widehat{f}_{i-1,c}= \frac{1}{6h} (2I_{i-2}^{i-1}+ 5I_{i-1}^{i}-I_{i}^{i+1});\\ &\widehat{f}_{i,c}= \frac{1}{6h} (-I_{i-2}^{i-1}+ 5I_{i-1}^{i}+ 2I_{i}^{i+1}); &\qquad & \widehat{f}_{i+1,c}= \frac{1}{6h} (2I_{i-2}^{i-1}-7I_{i-1}^{i}+ 11I_{i}^{i+1}). \end{aligned}[/math]

Первые две формулы имеют второй порядок аппроксимации по [math]h[/math] (они записаны на трехточечном шаблоне), а последние четыре — третий порядок (они записаны на четырехточечном шаблоне).


Вместо формулы (5.14) имеем следующую: [math]\widehat{f}_{i,c}= \frac{1}{2h}(I_{i}^{i+1}-I_{i-1}^{i})[/math]. Аналогичным путем можно найти и другие интегральные аппроксимации первой производной.




Формулы на основе разложения первообразных по формуле Тейлора


А. Двухточечный шаблон. На неравномерной сетке [math]\Omega_n[/math] рассмотрим двухточечный шаблон [math]H_{2,i}= (x_{i},x_{i+1})[/math] с шагом [math]h_{i+1}= x_{i+1}-x_{i}[/math]. Предположив, что [math]f(x)\in C_2[a,b][/math], разложим первообразную [math]F(x)[/math] относительно точки [math]x_i[/math] по формуле Тейлора при [math]k=2[/math] и найдем выражение для [math]\Bigl.{F(x)}\Bigr|_{x=x_{i+1}}= F_{i+1}\colon[/math]


[math]F_{i+1}= F_{i}+ h_{i+1}\cdot f_{i}+ \frac{h_{i+1}^2}{2}\cdot f'_{i}+ \frac{h_{i+1}^3}{6}\cdot f''(\xi),[/math]

где [math]\xi\in (x_{i},x_{i+1})[/math]. Выражая из этого разложения сначала первую производную, а затем интеграл [math]I_{i}^{i+1}= F_{i+1}-F_{i}[/math], получаем


[math]f'_{i}= \frac{2I_{i}^{i+1}}{h_{i+1}^2}-\frac{2f_{i}}{h_{i+1}}-\frac{h_{i+1}}{3}\cdot f''(\xi),\qquad I_{i}^{i+1}= h_{i+1}\cdot f_{i}+ \frac{h_{i+1}^2}{2}\cdot f'_{i}+ \frac{h_{i+1}^3}{6}\cdot f''(\xi).[/math]

Первые два слагаемых в правых частях последних двух соотношений представляют собой интегрально-функциональную (интегрально-точечную) аппроксимацию производной [math]f'_{i}[/math] и функционально-дифференциальную аппроксимацию интеграла [math]I_{i}^{i+1}[/math] соответственно:


[math]\widehat{f}\,'_{i}= \frac{2I_{i}^{i+1}}{h_{i+1}^2}-\frac{2f_{i}}{h_{i+1}}\qquad \left(\frac{h_{i+1}}{3}M_2\right)\!,[/math]
(5.19)

[math]\widehat{I}_{i}^{i+1}= h_{i+1}f_{i}+ \frac{h_{i+1}^2}{2}f'_{i}\qquad \left(\frac{h_{i+1}^3}{6}M_2\right)\!.[/math]
(5.20)

Порядки этих аппроксимаций устанавливают остаточные слагаемые в выражениях для [math]f'_{i}[/math] и [math]I_{i}^{i+1}[/math], из которых следуют оценки, правые части которых указаны в скобках рядом с формулами.


Данные оценки свидетельствуют о том, что порядок аппроксимации, обеспечиваемый (5.19), равен единице, а обеспечиваемый (5.20) равен трем при условии, что [math]I_{i}^{i+1}[/math] и [math]f_i[/math] для (5.19) известны с точностью не ниже [math]O(h_{i+1}^3)[/math] и [math]O(h_{i+1}^2)[/math], а [math]f_{i}[/math] и [math]f'_{i}[/math] для (5.20) с точностью не ниже [math]O(h_{i+1}^2)[/math] и [math]O(h_{i+1})[/math]. Этот же результат следует из рассмотренного ранее правила соответствия порядков аппроксимации математических моделей различного типа.


Замечания


1. Выразив из разложения для [math]F_{i+1}[/math] непосредственно функцию [math]f_{i}[/math], получим еще одно аппроксимационное выражение: [math]\widehat{f}_{i}= \frac{1}{h_{i+1}}\cdot I_{i}^{i+1}-\frac{h_{i+1}}{2}\cdot f'_{i},[/math] позволяющее восстанавливать со вторым порядком аппроксимации значение функции [math]f_{i}[/math] в точке [math]x_{i}[/math] по значениям [math]I_[i}^{i+1}[/math] и [math]f'_{i}[/math], известным с точностью не ниже [math]O(h_{i+1}^3)[/math] и [math]O(h_{i+1})[/math] соответственно.


2. Если в точке [math]x_{i}[/math] известны производные более высоких порядков, то могут быть построены аппроксимации [math]\widehat{f}\,'_{i},\, \widehat{I}_{i}^{i+1},\, \widehat{f}_{i}[/math] более высокого порядка, которые здесь не рассматриваются.


Б. Трехточечный шаблон. Возьмем на неравномерной сетке [math]\Omega_{n}[/math] трехточечный шаблон [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_{i},x_{i+1})[/math], характеризующийся шагами [math]h_{i+1}= x_{i+1}-x_{i},~ h_{i}= x_{i}-x_{i-1}[/math] и параметром нерегулярности [math]\Delta_{i+1}= \frac{h_{i+1}}{h_{i}}[/math]. Предположив, что [math]f(x)\in C_3[a,b][/math], найдем разложения для первообразной [math]F(x)[/math] при [math]x=x_{i+1}[/math] и [math]x=x_{i-1}[/math] относительно точки [math]x_{i}[/math] и выпишем выражения для [math]F(x_{i+1}),\, F(x_{i+1})[/math] по формуле Тейлора (В.23) при [math]k=3\colon[/math]


[math]\begin{gathered}F_{i+1}= F_{i}+ h_{i+1}\cdot f_{i}+ \frac{h_{i+1}^2}{2}\cdot f'_{i}+ \frac{h_{i+1}^3}{6}\cdot f''_{i}+ \frac{h_{i+1}^4}{24}\cdot f'''(\xi_1),\quad \xi_1\in (x_{i},x_{i+1}),\\ F_{i-1}= F_{i}- h_{i}\cdot f_{i}+ \frac{h_{i}^2}{2}\cdot f'_{i}-\frac{h_{i}^3}{6}\cdot f''_{i}+ \frac{h_{i}^4}{24}\cdot f'''(\xi_2),\quad \xi_2\in (x_{i-1},x_{i}).\end{gathered}[/math]

Умножая первое соотношение на [math]h_{i}[/math] а второе на [math]h_{i+1}[/math], складывая их с учетом равенства [math]I_{i}^{i+1}= F_{i+1}-F_{i}[/math] и разрешая относительно [math]f'_{i}[/math], получаем


[math]f'_{i}= \frac{2}{h_{i}(1+\delta_{i+1})}\! \left(\frac{I_{i}^{i+1}}{h_{i+1}}-\frac{I_{i-1}^{i}}{h_{i}}\right)-\frac{h_{i}(\delta_{i+1}-1)}{3}f''_{i}-\frac{h_{i}^2}{12(1+ \delta_{i+1})}\bigl(\delta_{i+1}^3 f'''(\xi_{i})+ f'''(\xi_2)\bigr).[/math]

Отсюда следует интегрально-дифференциальная аппроксимационная формула для первой производной [math]f'_{i}[/math] на нерегулярном шаблоне:


[math]\widehat{f}\,'_{i,\nu}= \frac{2}{h_{i}(1+ \delta_{i+1})}\! \left(\frac{I_{i}^{i+1}}{h_{i+1}}-\frac{I_{i-1}^{i}}{h_{i}}\right)-\frac{h_{i}(\delta_{i+1}-1)}{3} f''_{i}.[/math]
(5.21)

Формула (5.21) при заданных интегралах [math]I_{i}^{i+1},\, I_{i-1}^{i}[/math] (известных с точностью не ниже [math]O(h_{i+1}^3)[/math] и [math]O(h_{i}^3)[/math] и производной [math]f''_{i}[/math] (известной с точностью не ниже первого порядка) аппроксимирует первую производную [math]f'_{i}[/math] на нерегулярном шаблоне со вторым порядком (безусловная аппроксимация).


При условной аппроксимации, когда [math]\delta_{i+1}=1[/math] (равномерная сетка), из (5.21) следует интегральная аппроксимационная формула для первой производной [math]f'_{i}[/math] на регулярном шаблоне:


[math]\widehat{f}_{i,c}= \frac{1}{h^2}(I_{i}^{i+1}-I_{i-1}^{i})\quad \left(\frac{h^2}{12}M_3\right)\!.[/math]
(5.22)

Эта формула аппроксимирует первую производную [math]f'_{i}[/math] со вторым порядком.


Из сопоставления мажорант оценок аппроксимационных операторов [math]\widehat{f}_{i,c}[/math] (см. (5.10)) и [math]\widehat{f}_{i,c}[/math] (см. (5.22)) вытекает, что они имеют одинаковый (второй) порядок аппроксимации, однако, мажоранта или остаточное слагаемое оператора интегрального типа содержит константу [math](1\!\!\not{\phantom{|}}\,12)[/math], в два раза меньшую соответствующей константы в мажоранте оператора точечного (функционального) типа.


Замечание. При условии [math]f(x)\in C_2[a,b][/math] на регулярном шаблоне из разложения первообразных получается аппроксимационная интегрально-функциональная формула для второй производной:


[math]\widehat{f}\,''_{i}= \frac{3}{h^2}\cdot I_{i-1}^{i+1}-\frac{6}{h^2}\cdot f_i}\quad \bigl(O(h)\bigr),[/math]
(5.23)

из которой можно выразить интеграл [math]I_{i-1}^{i+1}[/math] через значения функции [math]f_{i}[/math] и производной [math]f''_{i}\colon\, \widehat{I}_{i-1}^{i+1}= 2hf_{i}+ \frac{h^3}{3}f''_{i}[/math].


▼ Примеры 5.4-5.5

Пример 5.4. Пусть некоторая функция (взята функция [math]f(x)=x^3[/math]) на трехточечном шаблоне [math]x_1=1;~ x_2=1,\!5;~ x_3=2[/math] [math](h=0,\!5=\text{const})[/math] задана двумя независимыми способами:

1) значениями функции [math]f_1=1;~ f_2=3,\!375;~ f_3=8[/math];

2) значениями интегралов на двух соседних отрезках: на отрезке [math][x_1,x_2]\colon I_1^2= 1,\!015625[/math], а на отрезке [math][x_2,x_3]\colon I_2^3=2,\!734375[/math] (значения функций [math]f(x_{i})[/math] и интегралов вычислены по [math]f(x)=x^3[/math] точно).

Требуется найти значение производной [math]\Bigl.{f'(x)}\Bigr|_{x=1,5}[/math] с помощью функциональной и интегральной аппроксимаций.


▼ Решение

Для определения [math]\Bigl.{f'(x)}\Bigr|_{x=1,5}[/math] сначала воспользуемся функциональной аппроксимационной формулой (5.10):


[math]\widehat{f}_{2,c}= \frac{f_3-f_1}{2h}= \frac{8-1}{2\cdot 0,\!5}= \frac{7}{1}=7\quad (3,\!7\%).[/math]

Применим интегральную формулу (5.22):


[math]\widehat{f}_{2,c}= \frac{I_2^3-I_1^2}{h^2}= \frac{2,\!734375-1,\!015625}{0,\!25}= 6,\!875\quad (1,\!8\%).[/math]

В скобках, сразу за численными результатами значений производных указана относительная погрешность в процентах. Из сопоставления полученных приближенных значений с точными следует, что интегральная аппроксимация дает лучший результат.


Пример 5.5. Пусть сеточная функция (табл. 5.2), являющаяся представлением [math]f(x)=x^4[/math], задана интегралами на отрезках [math][x_{i},x_{i+1}]~ (i=1,2,3),~h=1[/math].


▼ Решение

Требуется вычислить производную [math]\Bigl.{f'(x)}\Bigr|_{x=2}[/math] с использованием интегральной формулы (5.22), имеющей второй порядок аппроксимации.


Вычисление производной основывается на методике, изложенной выше.


1. Так как в задаче указан конкретный аппроксимационный оператор, то выбор формулы осуществлять не нужно.


2. Формула (5.22) записана через значение двух интегралов [math]I_{i-1}^{i}[/math] и [math]I_{i}^{i+1}[/math], что соответствует двухшаговому (трехточечному) шаблону [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_{i},x_{i+1})[/math], в котором


[math]x_{i}=2~ (i=2),\qquad x_{i-1}=1~ (i-1=1),\quad x_{i+1}=3~ (i+1=2).[/math]

В данном шаблоне центральная точка [math]x_{i}=2[/math] совпадает с точкой [math]x_{j}=2[/math].


3. Получим искомое значение [math]\widehat{f}\,'= \frac{I_[i}^{i+1}-I_{i-1}^{i}}{h^2}= \frac{211\!\!\not{\phantom{|}}\,5-31\!\!\not{\phantom{|}}\,5}{1}= \frac{180}{5}=36[/math]. Здесь вычисления выполнены точно, хотя результат является приближенным.


4. Используя точное значение производной [math]f'(2)=32[/math], можно получить фактическую погрешность результата [math]\frac{|36-32|}{32}\cdot 100\%=12,\!5\%[/math].




Оценка погрешности дифференциальных операторов


Изложенная ранее методика определения остаточного слагаемого основана на соответствующей теореме для интерполяционного многочлена Лагранжа. Полезно рассмотреть и другой способ получения оценки погрешности, использующей разложение функций по формуле Тейлора.


Методика оценки погрешности дифференциальных операторов на основе разложения функции по формуле Тейлора


1. Составить разность [math]f_{i}^{(p)}-\widehat{f}_{i}^{(p)}[/math], где [math]\widehat{f}_{i}^{(p)}[/math] — обозначение оператора, в качестве которого может быть принят оператор как функционального типа, так и интегрального или интегрально-функционального, а [math]f_{i}^{(p)}[/math] — точное значение производной.


2. Все функции, входящие в [math]\widehat{f}_{i}^{(p)}[/math] разложить по формуле Тейлора с остаточным слагаемым в форме Лагранжа относительно точки [math]x_{i}[/math], в которой записан [math]\widehat{f}_{i}^{(p)}[/math]. Если оператор [math]\widehat{f}_{i}^{(p)}[/math] выражается через интегралы, то они записываются через разности первообразных [math]\bigl(F(x)\bigr)[/math]. При этом предполагается, что функции [math]f(x),\, F(x)[/math] являются непрерывными, и для них существуют непрерывные производные соответствующего порядка.


3. Подставить разложения функции в разность (см. п. 1) и выполнить ее преобразование, в процессе которого получается остаточное слагаемое.


4. На основе остаточного слагаемого оценить погрешность аппроксимации.


▼ Пример 5.6

Для заданного дифференциального оператора (5.22) [math]\widehat{f}\,'_{i}= \frac{I_{i}^{i+1}-I_{i-1}^{i}}{h^2}[/math], записанного на шаблоне [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_{i},x_{i+1})[/math], найти остаточное слагаемое и оценить погрешность в точке [math]x_{j}=x_{i}[/math].


Решение. 1. Составим разность [math]f'_{i}-\widehat{f}\,'_{i}= f'_{i}-\frac{1}{h^2}(I_{i}^{i+1}-I_{i-1}^{i})[/math], где [math]f'_{i}[/math] — точное значение производной, а [math]\widehat{f}\,'_{i}[/math] — аппроксимирующий ее оператор.


2. Интегралы заменим разностями первообразных:


[math]I_{i}^{i+1}= F_{i+1}-F_{i}\quad \bigl(F_{i+1}= F(x_{i+1}),~ F_{i}= F(x_{i})\bigr),\qquad I_{i-1}^{i}= F_{i}-F_{i-1}.[/math]

Функцию [math]F(x)[/math] при [math]x=x_{i},~ x=x_{i+1}[/math] разложим по формуле Тейлора с остаточным слагаемым в форме Лагранжа относительно точки [math]x_{i}[/math] и выпишем выражения для [math]F(x_{i+1}),~ F(x_{i-1})[/math], где [math]\xi_{+}= (x_{i},x_{i+1}),~ \xi_{-}\in (x_{i-1},x_{i})\colon[/math]


[math]\begin{aligned}F(x_{i+1})&= F_{i}+ h\cdot f_{i}+ \frac{h^2}{2}\cdot f'_{i}+ \frac{h^3}{6}\cdot f''_{i}+ \frac{h^4}{24}\cdot f'''_{i}(\xi_{+}),\\ F(x_{i-1})&= F_{i}-h\cdot f_{i}+ \frac{h^2}{2}\cdot f'_{i}-\frac{h^3}{6}\cdot f''_{i}+ \frac{h^4}{24}\cdot f'''_{i}(\xi_{-}). \end{aligned}[/math]

3. Подставим данные разложения в разность, составленную в п. 1, и осуществим преобразования:


[math]\begin{aligned} f'_{i}&= \left(F_{i}+ hf_{i}+ \frac{h^2}{2}f'_{i}+ \frac{h^3}{6}f''_{i}+ \frac{h^4}{24}f'''_{i}(\xi_{+})-F_{i}-F_{i}+ F_{i}-hf_{i}+ \frac{h^2}{2}f'_{i}-\frac{h^3}{6}f''_{i}+ \frac{h^4}{24}f'''_{i}(\xi_{-})\right)=\\ &= \frac{h^2}{24}\bigl(f'''(\xi_{+})+ f'''(\xi_{-})\bigr). \end{aligned}[/math]

Применяя теорему о среднем (см. утверждение В.1), находим остаточное слагаемое


[math]f'_{i}-\widehat{f}\,'_{i}= \frac{h^2}{12}f'''(\xi_{i}),\quad \xi_{i}\in (x_{i-1},x_{i}).[/math]

4. С помощью последнего соотношения получим оценку погрешности аппроксимации интегральным оператором (5.22), где [math]M_{3,i}= \max_{x\in [x_{i-1},x_{i}]} \bigl|f'''(x)\bigr|\colon[/math]


[math]\left|f'_{i}-\frac{1}{h^2}(I_{i}^{i+1}-I_{i-1}^{i})\right|\leqslant \frac{M_{3,i}}{12}\cdot h^2.[/math]



Формулы, полученные на основе сплайнов


А. Двухточечный шаблон. Из рассмотрения интегрально-дифференциальных сплайн-многочленов второй степени в работе получены интегрально-функциональные аппроксимационные формулы для первых производных на двухточечном шаблоне [math]H_{2,i}= (x_{i},x_{i+1})\colon[/math]


[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1}&= \frac{6}{h_{i}^2}\cdot I_{i-1}^{i}-\frac{2}{h_{i}}\cdot (2f_{i-1}+ f_{i});\\ \widehat{f}\,'_{i}&= \frac{2}{h_{i}}\cdot (f_{i-1}+ 2f_{i})-\frac{6}{h_{i}^2}\cdot I_{i-1}^{i}. \end{aligned}[/math]
(5.24)

Формулы (5.24) в силу их одноинтервального характера могут использоваться при [math]h_{i}= \text{const}[/math], если значение интеграла [math]I_{i-1}^{i}[/math] либо известно, либо заранее вычислено с точностью не ниже [math]O(h_{i}^4)[/math]. Для операторов [math]\widehat{f}\,'_{i-1},\, \widehat{f}\,'_{i}[/math] справедливы оценки


[math]\bigl|\widehat{f}\,'_{k}-f'_{k}\bigr|\leqslant \frac{h_{i}^2}{12}\cdot M_{3,i},\quad k=i-1,i.[/math]

Замечание. Из (5.24) можно выразить величину [math]I_{i-1}^{i}[/math], и тогда получаются следующие функционально-дифференциальные квадратурные формулы:


[math]\begin{aligned}I_{i-1}^{i}&= \frac{h_{i}}{3}\cdot (2f_{i-1}+ f_{i})+ \frac{h_{i}^2}{6}\cdot f'_{i-1},\\ I_{i-1}^{i}= \frac{h_{i}}{3}\cdot (f_{i-1}+ 2f_{i})-\frac{h_{i}^2}{6}\cdot f'_{i}. \end{aligned}[/math]

Б. Трехточечный шаблон. Из рассмотрения интегрально-дифференциальных сплайн-многочленов третьей степени на трехточечном шаблоне [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_{i}, x_{i+1})[/math] получены следующие интегрально-функциональные формулы:


– для левой, центральной и правой точек нерегулярного шаблона аппрокси-мационные формулы для первой производной имеют вид


[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1,\nu}&= \frac{1}{H_{i}^{i+1}}\left[4\! \left(\frac{h_{i}}{h_{i+1}^2}I_{i}^{i+1}+ \frac{2H_{i}^{i+1}+h_{i}}{h_{i}^2}I_{i-1}^{i}\right)-\left(\frac{h_{i}}{h_{i+1}}f_{i+1}+ \frac{3(H_{i}^{i+1})^2}{h_{i}h_{i+1}}f_{i}+ \frac{5H_{i}^{i+1}+h_{i}}{h_{i}}f_{i-1}\right)\right]\!,\\[4pt]
\widehat{f}\,'_{i,\nu}&= \frac{1}{H_{i}^{i+1}}\left[4\! \left(\frac{h_{i}}{h_{i+1}^2}I_{i}^{i+1}-\frac{h_{i+1}}{h_{i}^2}I_{i-1}^{i}\right)-\left(\frac{h_{i}}{h_{i+1}}f_{i+1}+ \frac{3(h_{i}^2-h_{i+1}^2)}{h_{i}h_{i+1}}f_{i}-\frac{h_{i+1}}{h_{i}}f_{i-1}\right)\right]\!,\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i+1,\nu}&= \frac{1}{H_{i}^{i+1}}\left[-4\! \left(\frac{2H_{i}^{i+1}+ h_{i+1}}{h_{i+1}^2}I_{i}^{i+1}+ \frac{h_{i+1}}{h_{i}^2}I_{i-1}^{i}\right)+ \left(\frac{5H_{i}^{i+1}+ h_{i+1}}{h_{i+1}}f_{i+1}+ \frac{3(H_{i}^{i+1})^2}{h_{i}h_{i+1}}f_{i}+ \frac{h_{i+1}}{h_{i}}f_{i-1}\right)\right]\!;\end{aligned}[/math]

– для левой, центральной и правой точек регулярного шаблона аппрокси-мационные формулы для первой производной принимают форму


[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1,c}&= \frac{1}{2h}\! \left[\frac{4}{h}(I_{i}^{i+1}+ 5I_{i-1}^{i})-(f_{i+1}+ 12f_{i}+ 11f_{i-1})\right] &\quad & \left(\frac{h^3}{60}M_{4,i}\right)\!,\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i,c}&= \frac{1}{2h}\! \left[\frac{4}{h}(I_{i}^{i+1}-I_{i-1}^{i})-(f_{i+1}-f_{i-1})\right]= \frac{1}{2h}\! \left[\frac{4}{h} \Delta I_{i}^{i+1}-(\Delta f_{i}+ \Delta f_{i-1})\right] &\quad & \left(\frac{h^4}{360}M_{5,i}\right)\!,\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i+1,c}&= \frac{1}{2h}\! \left[-\frac{4}{h}(5I_{i}^{i+1}+ I_{i-1}^{i})+ (11f_{i+1}+ 12f_{i}+ f_{i-1})\right] &\quad & \left(\frac{h^3}{60}M_{4,i}\right)\!; \end{aligned}[/math]

– для левой, центральной и правой точек нерегулярного шаблона аппрокси-мационные формулы для второй производной имеют вид


[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i-1,\nu}&= \frac{6}{H_{i}^{i+1}}\! \left[-4\! \left(\frac{1}{h_{i+1}^2}I_{i}^{i+1}+ \frac{H_{2i}^{i+1}}{h_{i}^3}I_{i-1}^{i}\right)+ \frac{1}{h_{i+1}}f_{i+1}+ \frac{H_{i}^{i+1}(2H_{i}^{i+1}+ h_{i})}{h_{i}^2h_{i+1}}f_{i}+ \frac{2H_{i}^{i+1}+ h_{i}}{h_{i}^2}f_{i-1}\right]\!,\\[4pt] \widehat{f}\,''_{i,\nu}&= \frac{6}{H_{i}^{i+1}}\! \left[4\! \left(\frac{1}{h_{i+1}^2}I_{i}^{i+1}+ \frac{1}{h_{i}^2}I_{i-1}^{i}\right)-\left(\frac{1}{h_{i+1}}f_{i+1}+ \frac{3H_{i}^{i+1}}{h_{i+1}h_{i}}f_{i}+ \frac{1}{h_{i}}f_{i-1}\right)\right]\!,\\[4pt] \widehat{f}\,''_{i+1,\nu}&= \frac{6}{H_{i}^{i+1}}\! \left[-4\! \left(\frac{H_{i}^{2(i+1)}}{h_{i+1}^3}I_{i}^{i+1}+ \frac{1}{h_{i}^2}I_{i-1}^{i}\right)+ \frac{2H_{i}^{i+1}+ h_{i+1}}{h_{i+1}^2}f_{i+1}+ \frac{H_{i}^{i+1}(2H_{i}^{i+1}+ h_{i+1})}{h_{i}h_{i+1}^2}f_{i}+ \frac{f_{i-1}}{h_{i}}\right]\!; \end{aligned}[/math]

– для левой, центральной и правой точек регулярного шаблона аппроксима-ционные формулы для второй производной принимают форму


[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i-1,c}&= \frac{3}{h^2}\! \left[-\frac{4}{h}(I_{i}^{i+1}+ 3I_{i-1}^{i})+ (f_{i+1}+ 10f_{i}+ 5f_{i-1}})\right] &\quad & \left(\frac{7h^2}{20}M_{4,i}\right)\!,\\[4pt] \widehat{f}\,''_{i,c}&= \frac{3}{h^2}\! \left[\frac{4}{h}(I_{i}^{i+1}+ I_{i-1}^{i})+ (f_{i+1}+ 6f_{i}+ f_{i-1}})\right] &\quad & \left(\frac{h^2}{20}M_{4,i}\right)\!,\\[4pt] \widehat{f}\,''_{i+1,c}&= \frac{3}{h^2}\! \left[-\frac{4}{h}(3I_{i}^{i+1}+ I_{i-1}^{i})+ (5f_{i+1}+ 10f_{i}+ f_{i-1}})\right] &\quad & \left(\frac{7h^2}{20}M_{4,i}\right)\!. \end{aligned}[/math]

Подчеркнем, что правые части данных аппроксимационных соотношений записаны через интегралы [math]I_{i-1}^{i},\, I_{i}^{i+1}[/math] на двух смежных отрезках, составляющих шаблон, и через значения функций в точках этого шаблона. Если известны интегралы и значения самой функции, то по этим формулам можно вычислить первые производные с третьим порядком, а вторые производные — со вторым (остаточные слагаемые некоторых аппроксимационных формул указаны в скобках, расположенных рядом с этими формулами). При этом формула для [math]\widehat{f}\,'_{i,c}[/math], имеющая симметричный вид относительно центральной точки х, и содержащая интегральные и функциональные разности, обеспечивает повышенный (четвертый) порядок аппроксимации. Если интегралы для исследуемой функции неизвестны, они должны быть предварительно рассчитаны с порядком, по крайней мере на два превышающим порядок аппроксимации дифференциальных операторов.


Замечание. В вычислительной практике могут оказаться полезными еще два аппроксимационных оператора [math]\widehat{f}\,''_{L(\Pi),\nu},\, \widehat{f}\,''_{i,c}\colon[/math]


[math]\widehat{f}\,''_{L(\Pi),\nu}= \frac{6}{h_{i+1}^2}(f_{i}+ f_{i+1})-\frac{12}{h_{i+1}^3}I_{i}^{i+1}\quad \left(\frac{h_{i+1}}{2}M_{3,i}\right)\!,[/math]
(5.25)

[math]\widehat{f}\,''_{i,c}= \frac{3}{2h^2}(f_{i}+ f_{i+1})-\frac{3}{2h_{i}}I_{i-1}^{i+1}\quad \left(\frac{h^2}{10}M_{4,i}\right)\!,[/math]
(5.26)

где [math]\widehat{f}\,''_{L(\Pi),\nu}[/math] — лево- или правосторонний оператор, а [math]\widehat{f}\,''_{i,c}[/math] — центральный оператор, записанный на трехточечном шаблоне при [math]h=\text{const}[/math].


В. Четырехточечный шаблон. Выше приведены формулы численного дифференцирования на трехточечном (или для некоторых формул на двухточечном) шаблоне, имеющие порядок аппроксимации [math]h^{3-(p-1)}[/math], где [math]p[/math] — порядок производных, для которых записаны эти формулы. В дополнение к изложенному материалу приведем формулы, аппроксимирующие производную [math]f^{(p)}~(p=1,\,2)[/math] с порядками [math]h^{3-(p-1)}[/math] на четырехточечном шаблоне. Данные формулы получены путем анализа кубических дифференциальных и интегрально-дифференциальных сплайнов.


1. Формулы для первых производных третьего порядка аппроксимации на шаблоне [math]H_{4,i}= (x_{i-2},x_{i-1},x_{i},x_{i+1})\colon[/math]


– для лево- и правосторонних внутренних точек [math]x_{i-1},\,x_{i}[/math] нерегулярного шаблона справедливы функциональные формулы:


[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1,\nu}&= \frac{1}{a} \Big[\!-\!h_{i}^2h_{i+1}^2(H_{i}^{i+1})^2f_{i-2}+ h_{i+1}\bigl[h_{i}^2(H_{i}^{i+1})^2-h_{i-1}^2K_{2i-1}^2\bigr]f_{i-1}\,+\\ &\qquad +h_{i-1}^2 \bigl(h_{i}^2H_{i-1}^{i}+ K_{2i-1}^{2}h_{i+1}\bigr)f_{i}-h_{i}^2h_{i-1}^2H_{i-1}^{i}f_{i+1}\Big], \end{aligned}[/math]
(5.27)

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i,\nu}&= \frac{1}{a} \Big[h_{i}^2h_{i+1}^2H_{i}^{i+1}f_{i-2}-h_{i+1}^2\bigl(h_{i}^2H_{i}^{i+1}+ h_{i-1}^2K_{2i}^2\bigr)f_{i+1}\,+\\ &\qquad +h_{i-1}^2 \bigl[h_{i+1}^2K_{2i}^2-h_{i}^2(H_{i-1}^{i})^2\bigr]f_{i}+ h_{i}^2h_{i-1}^2(H_{i-1}^{i})^2f_{i+1}\Big], \end{aligned}[/math]
(5.28)

где [math]a= H_{i-1}^{i+1}H_{i-1}^{i}H_{i}^{i+1}\Pi_{i-1}^{i+1};~~ K_{2i}^2= h_{i-1}(H_{i-1}^{i+1}+2h_{i})+ h_{i}(2H_{i}^{i+1}+ h_{i})[/math];
[math]K_{2i-1}^2= h_{i+1}(H_{i-1}^{i+1}+ 2h_{i})+ h_{i}(2H_{i-1}^{i}+h_{i});~~ \Pi_{i-1}^{i+1}= h_{i-1}h_{i}h_{i+1};~~ H_{i-1}^{i+1}= h_{i-1}+ h_{i}+ h_{i+1};[/math]

– для левой и правой крайних точек [math]x_{i-2},\,x_{i+1}[/math] нерегулярного шаблона справедливы функционально-дифференциальные формулы рекуррентного типа:


[math]\widehat{f}\,'_{i-2,\nu}= \frac{h_{i-1}^2}{H_{i-1}^{i}}\! \left(\frac{2H_{i-1}^{i}+ h_{i-1}}{h_{i-1}^3} \Delta f_{i-2}+ \frac{\Delta f_{i-1}}{h_{i}^2}\right)-\frac{H_{i-1}^{i}}{h_{i}} \widehat{f}\,'_{i-1},[/math]
(5.29)

[math]\widehat{f}\,'_{i+1,\nu}= \frac{h_{i+1}^2}{H_{i}^{i+1}}\! \left(\frac{2H_{i}^{i+1}+ h_{i+1}}{h_{i+1}^3} \Delta f_{i}+ \frac{\Delta f_{i-1}}{h_{i}^2}\right)-\frac{H_{i}^{i+1}}{h_{i}} \widehat{f}\,'_{i}.[/math]
(5.30)

На регулярном четырехточечном шаблоне при [math]h=\text{const}[/math] формулы (5.27) – (5.30) упрощаются и сводятся к формулам (5.15). Можно показать, что (5.27) – (5.30), так же как и формулы (5.15), имеют третий порядок аппроксимации.


Параболические и кубические интегрально-дифференциальные сплайны позволяют сконструировать интегральные формулы численного дифференцирования.


На четырехточечном нерегулярном шаблоне [math]H_{4,i+1}= (x_{i-1},x_{i},x_{i+1},x_{i+2})[/math] получаются следующие интегральные и рекуррентные формулы для первых производных:


[math]\widehat{f}\,'_{i}= \frac{2}{A}\! \left[\frac{h_{i}^2-h_{i+1}^2}{h_{i+2}}I_{i-1}^{i+2}+ \bigl[3h_{i+1}H_{i+1}^{i+2}+ (h_{i+2}^2-h_{i}^2)\bigr]\frac{1}{h_{i+1}}I_{i}^{i+1}-\frac{H_{i+1}^{i+2} H_{2(i+1)}^{i+2}}{h_{i}}I_{i-1}^{i}\right]\!,[/math]
(5.31)

[math]\widehat{f}\,'_{i+1}= \frac{2}{A}\! \left[\frac{H_{i}^{i+1} H_{i}^{2(i+1)}}{h_{i+2}}I_{i+1}^{i+2}-\frac{3h_{i+1}H_[i}^{i+1}+ (h_{i}^2-h_{i+2}^2)}{h_{i+1}}I_{i}^{i+1}+ \frac{h_{i+1}^2-h_{i+2}^2}{h_{i}}I_{i-1}^{i}\right]\!,[/math]
(5.32)

[math]\widehat{f}\,'_{i-1}= \frac{H_{i-1}^{i}}{h_{i}}\widehat{f}\,'_{i}-\frac{h_{i-1}}{h_{i}}\widehat{f}\,'_{i+1};\qquad \widehat{f}\,'_{i+2}= \frac{H_{i+1}^{i+2}}{h_{i}} \widehat{f}\,'_{i+1}-\frac{h_{i+2}}{h_{i+1}}\widehat{f}\,'_{i}.[/math]
(5.33)

где [math]A= h_{i+1}^2 \bigl(2h_{i}+ h_{i+1}+ 2h_{i+2}\bigr)+ h_{i+1} \bigl(h_{i}^2+ h_{i+2}^2\bigr)+ h_{i}h_{i+2} \bigl(h_{i}+ 3h_{i+1}+ h_{i+2}\bigr)[/math].


Формулы (5.31),(5.32) относятся к внутренним точкам шаблона и при [math]h=\text{const}[/math] переходят в (5.22), а формулы (5.33) (рекуррентные) — к крайним точкам шаблона и являются подобными формулам (5.36), справедливыми для вторых производных.


На регулярном шаблоне из (5.33) при [math]h=\text{const}[/math] легко получаются явные трехинтервальные аппроксимации интегрального типа:


[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1,c}&= \frac{1}{h^2}\bigl(-2I_{i-1}^{i}+ 3I_{i}^{i+1}-I_{i+1}^{i+2}\bigr) &\quad & \left(\frac{11}{12}h^2M_{3,i}\right)\!,\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i+2,c}&= \frac{1}{h^2}\bigl(I_{i-1}^{i}-3I_{i}^{i+1}+ 2I_{i+1}^{i+2}\bigr) &\quad & \left(\frac{11}{12}h^2M_{3,i}\right)\!. \end{aligned}[/math]

Последние две формулы могут быть получены также методом подобия из первой и последней формул (5.16). Их можно записать через интегральные разности, где [math]\Delta I_{k}^{k+1}= I_{k}^{k+1}-I_{k-1}^{k}[/math]:


[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1,c}&- \frac{1}{h^2}\bigl(2 \Delta I_{i}^{i+1}-\Delta I_{i+1}^{i+2}\bigr);\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i+2,c}&- \frac{1}{h^2}\bigl(2 \Delta I_{i+1}^{i+2}-\Delta I_{i}^{i+1}\bigr). \end{aligned}[/math]

2. Формулы для вторых производных второго порядка апппроксимации на шаблоне [math]H_{4,i}= (x_{i-2},x_{i-1},x_{i},x_{i+1})[/math]


– для лево- и правосторонних внутренних точек [math]x_{i-1},\,x_{i}[/math] нерегулярного шаблона справедливы следующие функциональные формулы.


[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i,\nu}&= \frac{2}{a}\Big[K_{i}^{i+1} \Delta h_{i+1}f_{i-2}+ H_{i-1}^{i} h_{i+1} \bigl(H_{i-1}^{2i} h_{i-1}-H_{i}^{i+1} \Delta h_{i+1}\bigr)f_{i}\,-\\ &\qquad -\,H_{i}^{i+1} h_{i-1} \bigl(H_{i-1}^{2i} H_{i-1}^{i}-h_{i+1} \Delta h_{i}\bigr)f_{i}+ K_{i-1}^{i} H_{i-1}^{2i} f_{i+1} \Big], \end{aligned}[/math]
(5.34)

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i-1,\nu}&= \frac{2}{a}\Big[K_{i}^{i+1}H_{2i}^{i+1} f_{i-2}-h_{i+1} H_{i}^{i+1} \bigl(H_{2i}^{i+1} H_{i}^{i+1}+ h_{i-1} \Delta h_{i}\bigr)f_{i-1}\,+\\ &\qquad +\,H_{i}^{i+1} h_{i-1} \bigl(\bigr)f_{i}-K_{i-1}^{i} \Delta h_{i} f_{i+1}\Big],\end{aligned}[/math]
(5.35)

где [math]K_{t}^{t+1}= \Pi_{t}^{t+1}H_{t}^{t+1};~~ \Pi_{t}^{t+1}= h_{t}h_{t+1};~~t=i-1,I;~~ H_{i-1}^{2i}= h_{i-1}+2h_{i}[/math];
[math]H_{2i}^{i+1}= 2h_{i}+ h_{i+1};~~ \Delta h_{i+1}= h_{i+1}-h_{i};~~ a=H_{i-1}^{i+1} H_{i-1}^{i} H_{i}^{i+1} \Pi_{i-1}^{i+1};[/math]

– для левой и правой крайних точек нерегулярного шаблона справедливы дифференциальные формулы рекуррентного типа:


[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i-2,\nu}&= \frac{H_{i-1}^{i}}{h_{i}}\cdot \widehat{f}\,''_{i-1,\nu}-\frac{h_{i-1}}{h_{i}}\cdot \widehat{f}\,''_{i,\nu};\\[4pt] \widehat{f}\,''_{i+1,\nu}&= \frac{H_{i}^{i+1}}{h_{i}}\cdot \widehat{f}\,''_{i,\nu}-\frac{h_{i+1}}{h_{i}}\cdot \widehat{f}\,''_{i-1,\nu}. \end{aligned}[/math]
(5.36)

Формулы (5.27), (5.28) и (5.34), (5.35) могут использоваться для расчета значений производных во внутренних точках сетки [math]\{x_{i}\},~ i=\overline{1,n-1}[/math], а (5.29), (5.30) и (5.36) — для расчета производных в крайних точках [math]x_{0},\,x_{n}[/math] сетки [math]\Omega_{n}[/math].


На регулярном шаблоне при [math]h=\text{const}[/math] последняя группа формул для аппроксимации вторых производных во внутренних точках шаблона преобразуется к традиционным:


[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i,c}&= \frac{1}{h^2}\bigl(f_{i-1}-2f_{i}+ f_{i+1}\bigr) \quad \left(\frac{h^2}{12}M_{4,i}\right)\!;\\ \widehat{f}\,''_{i-1,c}&= \frac{1}{h^2}\bigl(f_{i-2}-f_{i-1}+ f_{i}\bigr),\end{aligned}[/math]

а (5.36) — к рекуррентным формулам: [math]\widehat{f}\,''_{i-2,c}= 2\widehat{f}\,''_{i-1,c}-\widehat{f}\,''_{i,c};~ \widehat{f}\,''_{i+1,c}= 2\widehat{f}\,''_{i,c}-\widehat{f}\,''_{i-1,c}[/math], а также к первой и последней формулам из (5.16), имеющим второй порядок аппроксимации.




Неявные алгоритмы численного дифференцирования


Путем несложного анализа параболических и кубических дифференциальных сплайнов получаются нижеследующие неявные алгоритмы вычисления первых и вторых производных сеточных функций. Значения производных могут быть получены не по явным формулам, а в результате решения трехдиагональных систем линейных алгебраических уравнений методом прогонки.


Первые производные по заданной сеточной функции [math]y_{i}= f(x_{i}),~ i=\overline{0,n}[/math], можно вычислить несколькими способами:


а) следствием параметрических соотношений параболических сплайнов является система линейных алгебраических уравнений относительно первых производных, где [math]\Delta f_{i}= f_{i+1}-f_{i};~ h_{i+1}= x_{i+1}-x_{i}\colon[/math]


[math]\frac{h_{i}}{2}f'_{i-1}+ \frac{1}{2}(h_{i}+h_{i+1})f'_{i}+ \frac{h_{i+1}}{2}f'_{i+1}= \Delta f_{i-1}+ \Delta f_{i},\quad i=\overline{1,n-1}.[/math]
(5.37)

При заданных значениях производных на концах отрезка [math][x_{0},x_{n}][/math] эта система позволяет со вторым порядком аппроксимации вычислить значения первых производных [math]\widehat{f}\,'_{i}[/math] во всех внутренних точках.


На регулярном шаблоне при [math]h=\text{const}[/math] эта система упрощается:


[math]\widehat{f}\,'_{i-1}+ 2\widehat{f}\,'_{i}+ \widehat{f}\,'_{i+1}= \frac{2}{h}(f_{i+1}-f_{i-1}),\quad i=\overline{1,n-1};[/math]

б) на регулярном шаблоне значения первых производных [math]\widehat{f}\,'_{i}[/math] со вторым порядком аппроксимации могут быть вычислены также из системы, удовлетворяющей свойству преобладания диагональных элементов:


[math]\widehat{f}\,'_{i-0,5}+ 6\widehat{f}\,'_{i+0,5}+ \widehat{f}\,'_{i+1,5}= \frac{8 \Delta f_{i}}{h_{i}}\,,\quad i=\overline{1,n-1}.[/math]
(5.38)

Решением этой системы будут производные в узлах, сдвинутых влево на полшага. Если производные на концах неизвестны, то их необходимо предварительно вычислить с порядком не ниже второго;


в) первые производные с третьим порядком аппроксимации могут быть определены из системы, являющейся следствием кубических дифференциальных сплайнов (см. (4.76)):


[math]\frac{\widehat{f}\,'_{i-1}}{h_{i}}+ 2\! \left(\frac{1}{h_{i+1}}+ \frac{1}{h_{i}}\right)\! \widehat{f}\,'_{i}+ \frac{\widehat{f}\,'_{i+1}}{h_{i+1}}= 3\! \left(\frac{\Delta f_{i}}{h_{i+1}^2}+ \frac{\Delta f_{i-1}}{h_{i}^2}\right)\!,\quad i=\overline{1,n-1}.[/math]

Данная система, удовлетворяющая свойству преобладания диагональных элементов, может быть замкнута либо значениями [math]\widehat{f}\,'_{0},\,\widehat{f}\,'_{n}[/math], либо двумя функционально-дифференциальными граничными соотношениями (4.77);


г) первые производные со вторым порядком аппроксимации могут вычисляться также по значениям интегралов с использованием системы, подобной системе (4.72), в которой порядок производных понижен на единицу (в этом случае вместо [math]\Delta f_{i}[/math] и [math]\Delta f_{i-1}[/math] следует подставить [math]\Delta F_{i}= I_{i}^{i+1}[/math] и [math]\Delta F_{i-1}= I_{i-1}^{i}[/math]):


[math]h_{i} \widehat{f}\,'_{i-1}+ 2(h_{i}+ h_{i+1}) \widehat{f}\,'_{i}+ h_{i+1} \widehat{f}\,'_{i+1}= 6\! \left(\frac{I_{i}^{i+1}}{h_{i+1}}-\frac{I_{i-1}^{i}}{h_{i}}\right)\!,\quad i=\overline{1,n-1}.[/math]
(5.40)

Замыкающие соотношения формируются аналогично предыдущему случаю. На регулярном шаблоне система (5.40) для [math]\widehat{f}\,'_{i}[/math] записывается через интегральные приращения:


[math]\widehat{f}\,'_{i-1}+ 4\widehat{f}\,'_{i}+ \widehat{f}\,'_{i+1}= \frac{6}{h}(\Delta I_{i}^{i+1}),\quad i=\overline{1,n-1}.[/math]

Вторые производные со вторым порядком аппроксимации могут быть определены из системы, являющейся следствием применения кубических дифференциальных сплайнов (см. систему (4.72)):


[math]h_{i}\widehat{f}\,''_{i-1}+ 2(h_{i}+h_{i+1}) \widehat{f}\,''_{i}+ h_{i+1} \widehat{f}\,''_{i+1}= 6\! \left(\frac{\Delta f_{i}}{h_{i+1}}-\frac{\Delta f_{i-1}}{h_{i}}\right)\!,\quad i=\overline{1,n-1}.[/math]
(5.41)

Данная система, удовлетворяющая условию преобладания диагональных элементов, может быть замкнута либо известными значениями [math]\widehat{f}\,''_{0},\, \widehat{f}\,''_{n}[/math], либо двумя граничными соотношениями, следующими из равенства


[math]\frac{\Delta \widehat{f}\,''_{i}}{h_{i+1}}= \frac{\Delta \widehat{f}\,''_{i-1}}{h_{i}}\quad \left(\frac{\widehat{f}\,''_{i+1}-\widehat{f}\,''_{i}}{h_{i+1}}= \frac{\widehat{f}\,''_{i}-\widehat{f}\,''_{i-1}}{h_{i}}\right)\!,[/math]

которое записывается для трех крайних точек сетки [math]\Omega_{n}[/math], т. е. для [math](x_0,x_1,x_2)[/math] и [math](x_{n-2},x_{n-1},x_{n})[/math].


Подчеркнем, что неявные алгоритмы вычисления производных предпочтительно использовать в случае, когда для заданной сеточной функции необходимо определять производные во всех узлах.


▼ Пример 5.7

Проверить соотношение (5.37) при фиксированном [math]i[/math] путем подстановки в него степенной функции.


Решение. Соотношение (5.37) является следствием применения параболических сплайнов, поэтому оно должно выполняться для сеточного представления степенной функции (параболы) [math]f(x)=x^2[/math]. Возьмем трехточечный нерегулярный шаблон [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_{i},x_{i+1})[/math] с шагами


[math]h_{i+1}= 3;\quad h_{i}=2;\quad x_{i-1}=2;\quad x_{i}=4;\quad x_{i+1}=7.[/math]

Значения функции [math]f(x_{k})~(k=i-1,i,i+1)[/math] и ее производной [math]\Bigl.{f'(x)}\Bigr|_{x=x_{k}}= 2x_{k}[/math] вместе с функциональными приращениями приведены в табл. 5.3.


[math]\begin{array}{|c|c|c|c|} \multicolumn{4}{r}{\mathit{Table~5.3}}\\\hline x_{k}& f(x_{k})& \Delta f_{k}& f'(x_{k}) \\\hline x_{i-1}=2& 4& 12& 4 \\\hline x_{i}=4& 16& 33& 8 \\\hline x_{i+1}=7& 49&-&14 \\\hline \end{array}[/math]

Тогда соотношению (5.37) при фиксированном [math]i[/math] и выбранном шаблоне будет соответствовать численное равенство


[math]\frac{2}{2}\cdot 4+ \frac{1}{2}(2+3)\cdot 8+ \frac{3}{2}\cdot14= 12+33.[/math]

В левой и правой частях получаются одинаковые значения, что свидетельствует о правильности системы (5.37).




Методика вычисления производных по неявным алгоритмам


1. С учетом характера задания сеточной функции (заданы значения функции [math]y_{i}= f(x_{i}),~ i= \overline{0,n}[/math], или значения интегралов [math]I_{i}^{i+1},~ i= \overline{0,n-1}[/math]) и порядка аппроксимации [math]t[/math], который необходимо обеспечить в алгоритме, выбрать систему алгебраических уравнений относительно значений производных во всех внутренних узлах сетки. При этом, если эта система является следствием параболических сплайнов, то для первых производных [math]t=2[/math], для вторых производных [math]t=1[/math]. В случае, когда система получена из кубических сплайнов, порядок [math]t[/math] возрастает на единицу. Данные системы являются незамкнутыми (число неизвестных превышает на два число уравнений).


2. Замкнуть выбранную систему двумя граничными условиями на концах сетки [math]\Omega_{n}[/math]. Эти условия могут выбираться либо в виде явных аппроксимационных формул, либо в виде двух дополнительных алгебраических соотношений, включающих по два слагаемых с [math]f_{0}^{(p)},\, f_{1}^{(p)}[/math] и [math]f_{n-1}^{(p)},\, f_{n}^{(p)},\, p=1,\,2[/math]. При этом необходимо соблюсти соответствие порядков аппроксимации последних соотношений (или формул) и исходного порядка [math]t[/math].


3. Решить полученную замкнутую систему линейных алгебраических уравнений трехдиагонального вида методом прогонки.


Приведенная методика является составной частью построения кубического дифференциального сплайна. Она была применена при решении примера 4.13.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved