Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Методы численного дифференцирования
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Методы численного дифференцирования Содержание 1. Формулы на основе разложения функций по формуле Тейлора 2. Методика вычисления значений производных 3. Оценка погрешности аппроксимационного оператора 4. Методика оценки погрешности аппроксимационного оператора 5. Четырехточечный шаблон 6. Пятиточечный шаблон 7. Формулы на основе разложения первообразных по формуле Тейлора 8. Оценка погрешности дифференциальных операторов 9. Формулы, полученные на основе сплайнов 10. Неявные алгоритмы численного дифференцирования 11. Методика вычисления производных по неявным алгоритмам Формулы на основе разложения функций по формуле Тейлора Рассмотрим решение задач 1 и 2 численного дифференцирования на различных шаблонах. А. Двухточечный шаблон. Выберем шаблон [math]H_{2,i}= (x_i,x_{i+1})[/math] на неравномерной сетке [math]\Omega_n[/math]. Предполагая, что [math]f(x)\in C_2[a,b][/math], разложим функцию [math]f(x)[/math] по формуле Тейлора (В.20) при [math]k=1[/math] относительно точки [math]x_i[/math] с остаточным слагаемым в форме Лагранжа и найдем выражение для [math]f_{i+1}= f(x_{i+1})\colon[/math] [math]f_{i+1}= f_i+ h_{i+1}f'_i+ \frac{h_{i+1}^2}{2}f''(\xi),\qquad \scriptstyle{\mathsf{(5.3)}}[/math] где [math]\xi\in(x_i,x_{i+1}),~ h_i=x_{i+1}-x_i[/math]. Отсюда получаем [math]f'_i= \frac{f_{i+1}-f_i}{h_{i+1}}-\frac{h_{i+1}}{2}f''(\xi)[/math]. Очевидно, справедлива оценка [math]\left\|-\frac{h_{i+1}}{2}f''(\xi)\right\|\leqslant \frac{h_{i+1}}{2} \max_{x\in [x_i,x_{i+1}]} \bigl\|f''(x)\bigr\|= \frac{h_{i+1}\cdot M_{2,i}}{2}\,,[/math] где [math]M_{2,i}= \max_{x\in [x_i,x_{i+1}]} \bigl\|f''(x)\bigr\|[/math]. Отсюда следует функциональная формула (функциональный оператор) для первой производной: [math]\widehat{f}\,'_{i,c}= \frac{f_{i+1}-f_i}{h_{i+1}}\qquad \left(\frac{h_{i+1}}{2} M_{2,i}\right)\!.[/math] (5.4) В скобках справа от аппроксимационных операторов здесь и далее указываются правые части оценок их погрешностей. Отметим, что формула (5.4) является несимметричной, односторонней (левосторонней). Если функцию [math]f(x)[/math] разложить по формуле Тейлора относительно точки [math]x_{i+1}[/math], то получим правостороннюю формулу [math]\widehat{f}\,'_{i+1,c}= \frac{f_{i+1}-f_i}{h}\qquad \left(\frac{h}{2} M_{2,i}\right)\!.[/math] Б. Трехточечный шаблон. На неравномерной сетке [math]\Omega_n[/math] выбираем трехточечный (двухшаговый) шаблон [math]H_{3,i}= (x_{i-1}, x_i,x_{i+1})[/math], характеризующийся шагами [math]h_{i+1}= x_{i+1}-x_i,~ h_i=x_i-x_{i-1}[/math] и параметром его нерегулярности [math]\delta_{i+1}= h_{i+1}\!\!\not{\phantom{\|}}\,h_i[/math] который в общем случае не равен единице. Аппроксимационные функциональные (точечные) формулы второго порядка в левой крайней, центральной и правой крайней точках шаблона можно получить на основе разложения функции [math]f(x)[/math] по формуле Тейлора с остаточным слагаемым в форме Лагранжа. При этом предполагается, что [math]f(x)\in C_3[a,b][/math]. Это позволяет получить разностные дифференциальные операторы [math]\widehat{f}\,'(x_t)~ (t=i-1,i,i+1)[/math] и провести оценки их погрешностей. Разложим функцию [math]f(x)[/math] при [math]x=x_i[/math] и [math]x=x_{i+1}[/math] по формуле Тейлора при [math]k=2[/math] относительно точки [math]x_{i-1}[/math]с остаточным слагаемым в форме Лагранжа. В результате находим соотношения, определяющие [math]f_i= f(x_i)[/math] и [math]f_{i+1}= f(x_{i+1})\colon[/math] [math]f_i= f_{i-1}+ h_i\cdot f'_{i-1}+ \frac{h_i^2}{2}f''_{i-1}+ \frac{h_i^3}{6}f'''(\xi_{-}),[/math] (5.5) [math]f_{i+1}= f_{i-1}+ H_{i}^{i+1}\cdot f'_{i-1}+ \frac{(H_{i}^{i+1})^2}{2}f''_{i-1}+ \frac{(H_{i}^{i+1})^3}{6}f'''(\xi_{+}),[/math] (5.6) где [math]H_{i}^{i+1}= h_i+h_{i+1},~~ \xi_{-}=(x_{i-1},x_i),~~ \xi_{+}= (x_{i-1}, x_{i+1}),~~ f_{i-1}^{(p)}(x_{i-1})= f^{(p)}(x_{i-1}),~ p=0,1,2[/math]. Исключая из (5.5), (5.6) слагаемое, содержащее вторую производную, и выражая из полученного соотношения [math]f'_{i-1}[/math], получаем следующую аппроксимацию первой производной в левой крайней точке (левостороннюю формулу или оператор) [math]\widehat{f}\,'_{i-1,\mathsf{v}}= \frac{1}{H_{i}^{i+1}}\! \left(-(2+\delta_{i+1}) f_{i-1}+ \frac{(1+\delta_{i+1})^2}{\delta_{i+1}}f_i-\delta_{i+1}^{-1}f_{i+1}\right)\!.[/math] (5.7) При [math]h=\text{const}~ (\delta_{i+1}=1)[/math] формула (5.7) упрощается и приводится к известному виду: [math]\widehat{f}\,'_{i-1,\mathsf{c}}= \frac{1}{2h}\bigl(-3f_{i-1}+ 4f_i-f_{i+1}\bigr)\quad \left(\frac{h^2}{3}M_{3,i}\right)\!.[/math] (5.8) Данную формулу можно записать через конечные разности: [math]\widehat{f}\,'_{i-1, \mathsf{c}}= \frac{1}{2h}\bigl(3 \Delta f_{i-1}-\Delta f_i\bigr)[/math]. Здесь нижние индексы [math]\mathsf{v}[/math] и [math]\mathsf{c}[/math], относящиеся к аппроксимационным операторам (5.7) и (5.8), указывают на тип шаблона — нерегулярный [math](h_{i+1}= \text{var})[/math] и регулярный [math](h_{i+1}= \text{const})[/math]). Остаточное слагаемое для (5.7) получается равным [math]\tfrac{1}{6}h_i^2(1+\delta_{i+1})f'''(\xi),[/math] [math]\xi\in (x_{i-1}, x_{i+1})[/math] и поэтому для этой аппроксимации справедлива следующая оценка погрешности: [math]\bigl\|f'_{i-1}-\widehat{f}_{i-1, \mathsf{v}}\bigr\| \leqslant \frac{1}{6} h_i^2 (1+ \delta_{i+1})M_{3,i}[/math], где [math]M_{3,i}= \max_{x\in H_{3,i}} f'''(x)[/math]. Приводимые здесь и ниже остаточные слагаемые для дифференциальных операторов также получаются путем дифференцирования остаточных слагаемых [math]R(x)[/math] интерполяционных многочленов соответствующей степени. Из (4.20) для трехточечных формул при [math]n=2[/math] следует соотношение [math]R(x)= \frac{}{}f'''(\xi)\cdot \omega(x),\qquad \omega(x)= (x-x_{i-1})(x-x_i)(x-x_{i+1}).[/math] Аналогично, разложив функцию [math]f(x)[/math] относительно точки [math]x_{i+1}[/math] и получив соотношения для [math]f_{i-1},\,f_i[/math], найдем [math]\widehat{f}_{i+1}[/math] — разностный оператор, аппроксимирующий первую производную [math]f'_{i+1}[/math] в правой крайней точке (правосторонняя формула): [math]\begin{gathered}\widehat{f}_{i+1, \mathsf{v}}= \frac{1}{H_i^{i+1}}\! \left(\delta_{i+1}f_{i-1}-\frac{(1+\delta_{i+1})^2}{\delta_{i+1}} f_i+ \frac{2+\delta_{i+ 1}}{\delta_{i+1}}f_{i+1}\right)\!,\\[2pt] \widehat{f}_{i+1, \mathsf{c}}= \frac{1}{2h}\bigl(f_{i-1}-4f_i+3f_{i+1}\bigr)\quad \text{or}\quad \widehat{f}_{i+1, \mathsf{v}}= \frac{1}{2h}\bigl(3 \Delta f_i-\Delta f_{i-1}\bigr)\quad\! \left(\frac{h^2}{3} M_{3,i}\right)\!. \end{gathered}[/math] (5.9) Оператор [math]\widehat{f}_{i+1, \mathsf{v}}[/math] имеет остаточное слагаемое [math]\frac{h_i^2}{6} \delta_{i+1}(1+\delta_{i+1})f'''(\xi)[/math]. Разложение функции [math]f(x)[/math] относительно центральной точки [math]x_i[/math] шаблона, получение выражений для [math]f_{i-1},\,f_{i+1}[/math] и исключение из них слагаемого со второй производной приводят к следующим разностным операторам функционального типа, аппроксимирующим первую производную в центральной точке (формула центрального вида) [math]\begin{gathered}\widehat{f}_{i, \mathsf{v}}= \frac{1}{H_{i}^{i+1}}\! \left(\delta_{i+1} \Delta f_i+ \frac{\Delta f_{i+1}}{\delta_{i+1}}\right)= \frac{1}{H_{i}^{i+1}}\! \left(-\delta_{i+1}f_{i-1}+ \frac{\delta_{i+1}^2-1}{\delta_{i+1}}f_i+ \frac{f_{i+1}}{\delta_{i+ 1}}\right)\!,\\[2pt] \widehat{f}_{i, \mathsf{c}}= \frac{1}{2h}\bigl(f_{i+1}-f_{i-1}\bigr)\quad \text{or}\quad \widehat{f}_{i, \mathsf{c}}= \frac{1}{2h}\bigl(\Delta f_{i}+ \Delta f_{i-1}\bigr)\quad\! \left(\frac{h^2}{6}M_{3,i}\right)\!. \end{gathered}[/math] (5.10) Оператор [math]\widehat{f}_{i, \mathsf{v}}[/math] имеет остаточное слагаемое [math]\frac{h_i^2}{6} \delta_{i+1}f'''(\xi)[/math]. Приведенные остаточные слагаемые разностных операторов обусловливают следующие оценки их погрешностей: [math]\begin{gathered}\bigl\|f'_{i-1}-\widehat{f}_{i-1, \mathsf{v}}\bigr\|\leqslant \frac{h_i^2}{6} (1+\delta_{i+1})M_{3,i},\qquad \bigl\|f'_{i}-\widehat{f}_{i, \mathsf{v}}\bigr\|\leqslant \frac{h_i^2}{6}\delta_{i+1}M_{3,i},\\[2pt] \bigl\|f'_{i+1}-\widehat{f}_{i+1, \mathsf{v}}\bigr\|\leqslant \frac{h_i^2}{6} (1+\delta_{i+1})M_{3,i},\qquad M_{3,i}= \max_{x\in H_{3,i}}\bigl\|f'''(x)\bigr\|. \end{gathered}[/math] (5.11) Замечания 1. Далее в тексте оценочная константа [math]M_{p,i}[/math] для краткости будет использоваться без дополнительного ее описания. В нижнем индексе этой константы всюду указывается [math]p[/math] — порядок производной. 2. Из оценок (5.11) вытекает, что разностные операторы [math]\widehat{f}_{i-1},\, \widehat{f}_{i},\, \widehat{f}_{i+1}[/math] аппроксимируют при [math]h_{i+1}=\text{var}[/math] соответствующие производные [math]f'_{i-1},\, f'_i,\, f'_{i+1}[/math] со вторым порядком, если шаблон произвольный (безусловная аппроксимация). Если же на шаблоне с [math]\delta_{i+ 1}\ll1[/math] наложить условие, например [math]\delta_{i+1}\leqslant h_i[/math], то есть [math]h_{i+1}\leqslant h_i^2[/math], то порядок аппроксимации [math]\widehat{f}_{i},\, \widehat{f}_{i+1}[/math] может быть повышен до третьего (условная аппроксимация). Такая возможность повышения порядка аппроксимации относительно [math]h_i[/math] без увеличения количества точек шаблона обеспечивается введением в мажоранты, соответствующие аппроксимациям, параметра [math]\delta_{i+1}[/math], на который в случае необходимости можно наложить условие [math]\delta_{i+1}\leqslant h_i[/math]. При этом следует иметь в виду, что данный параметр входит в знаменатель некоторых слагаемых аппроксимационных формул (5.9), (5.10) и при его уменьшении увеличиваются погрешности арифметических операций. 3. Аппроксимации (5.8),(5.9) являются условными, так как для них справедливо условие [math]\delta_{i+1}=1[/math]. Предположим, что [math]f(x)\in C_4[a,b][/math], и разложим функцию [math]f(x)[/math] в точках [math]x_i,\,x_{i+1}[/math] на трехточечном нерегулярном шаблоне [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_i,x_{i+1})[/math] до слагаемого четвертого порядка относительно шага. Складывая эти разложения и выражая из суммы вторую производную, получаем функционально-дифференциальную формулу для второй производной: [math]f''_i= \frac{2(f_{i-1}-2f_i+f_{i+1})}{h_{i+1}^2+ h_i^2}-\frac{2(h_{i+1}-h_i)}{h_{i+1}^2+h_i^2}f'_i-\frac{2(h_{i+1}^3-h_i^3)}{6(h_{i+1}^2+ h_i^2)}f'''_i-\frac{2(h_{i+1}^4+ h_i^4)}{4!(h_{i+1}^2+ h_i^2)} f^{(p)}(\xi).[/math] (5.12) Подставляя в (5.12) аппроксимационную формулу (5.10) для первой производной, находим разностный аппроксимационный оператор [math]\widehat{f}\,''_i[/math], выраженный через параметры [math]\delta_{i+1},\, h_i^2[/math] и аппроксимирующий (безусловно) вторую производную [math]f''_i[/math] на нерегулярном шаблоне с первым порядком: [math]\widehat{f}\,''_{i,\mathsf{v}}= \frac{2}{h_i^2}\! \left(\frac{1}{1+\delta_{i+1}}f_{i-1}-\frac{1}{\delta_{i+1}}f_i+ \frac{1}{(1+\delta_{i+1})\delta_{i+1}}f_{i+1}\right)\!.[/math] (5.13) Выражение (5.13) можно преобразовать к виду [math]\widehat{f}\,''_{i,\mathsf{v}}= \frac{2}{H_{i}^{i+1}}\! \left(\frac{\Delta f_i}{h_{i+1}}-\frac{\Delta f_{i-1}}{h_i}\right)= \frac{2}{H_{i}^{i+1}}\! \left[\frac{f_{i-1}}{h_i}-\left(\frac{1}{h_i}+ \frac{1}{h_{i+1}}\right)\!f_i+ \frac{f_{i+1}}{h_{i+1}}\right]\!.[/math] Если сетка равномерная [math](\delta_{i+1}=1)[/math], то указанный порядок условной аппроксимации возрастает на единицу, так как третье слагаемое в (5.12) становится равным нулю. В этом случае из (5.13) получаем широко распространенный оператор, аппроксимирующий вторую производную на регулярном шаблоне: [math]\widehat{f}\,''_{i,\mathsf{c}}= \frac{1}{h^2} \bigl(f_{i-1}-2f_i+f_{i+1}\bigr)\quad \text{or}\quad \widehat{f}\,''_{i,\mathsf{c}}= \frac{1}{h^2}\bigl(\Delta f_i-\Delta f_{i-1}\bigr)\quad\! \left(\frac{h^2}{12}M_{4,i}\right)\!.[/math] (5.14) Замечание. Из (5.12) следует, что порядок условной аппроксимации (5.13) можно повысить на единицу и на нерегулярном шаблоне, если принять [math]\|\delta_{i+1}-1\|<h_i[/math], то есть [math]h_i-h_i^2 \leqslant h_{i+1}\leqslant h_i+h_i^2[/math] (квазиравномерная сетка). Как следует из приведенных выше постановок задач, в вычислительной практике аппроксимационные формулы (операторы) для производных используются для вычисления значений производных либо для замены ими соответствующих дифференциальных операторов. В связи с этим приведем методику вычисления [math]\Bigl.{f^{(p)}(x)}\Bigr\|_{x=x_j}[/math]. Методика вычисления значений производных 1. Выбрать конкретную аппроксимационную формулу (или несколько разных формул), в которой порядок аппроксимации должен соответствовать заданному в задаче порядку точности [math]t[/math]. 2. Выбрать наборы точек (шаблоны [math]H_{k,i}[/math]), которым принадлежат точки [math]x_j~(x_j\in H_{k,i})[/math], причем для каждого из наборов расположение точки [math]x_j[/math] должно быть зафиксировано относительно точек шаблона ([math]k[/math] — количество точек, определяющих шаблон). Эта фиксация определяется структурой формулы. Например, если формула имеет центральный тип (см. формулу (5.10)), то точка [math]x_j[/math] должна совпадать со средней точкой шаблона, а если формула левосторонняя (см. формулы (5.7) и (5.8)), то точка [math]x_j[/math] должна совпадать с левой крайней точкой шаблона и т.д. 3. В правую часть выбранной формулы (или формул) подставить значения функций и (или) интегралов, которые соответствуют выбранным точкам шаблона (шаблонов). 4. Произвести требуемые вычисления с учетом того, что количество сохраняемых цифр должно приблизительно соответствовать величине остаточного слагаемого аппроксимационной формулы и порядку точности [math]t[/math]. ▼ Пример 5.1 Дана сеточная функция (табл. 5.1), являющаяся сеточным представлением формульной функции [math]y(x)=1\!\!\not{\phantom{\|}}\,x[/math]. Заданы также порядок [math]t=2[/math] относительно шага [math]h[/math], который необходимо обеспечить при решении задачи, и точка [math]x_j=1,\!4[/math]. Требуется вычислить значение первой производной [math]f''(1,\!4)[/math] и второй производной [math]f'(1,\!4)[/math] с помощью различных шаблонов и соответствующих формул. Решение. Воспользуемся вышеприведенной методикой. [math]\begin{array}{\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|} \multicolumn{7}{r}{\mathit{Table~5.1}}\\\hline i& 0& 1& 2& 3& 4& 5 \\\hline x_i& 1& 1,\!2& 1,\!4& 1,\!6& 1,\!8& 2,\!0 \\\hline f_i& 1,\!000000& 0,\!83333333& 0,\!7142857& 0,\!6250000& 0,\!5555555& 0,\!500000 \\\hline \end{array}[/math] 1. Так как шаг задания сеточной функции постоянный [math]h=x_{i+1}-x_i=0,\!2[/math], точка [math]x_j=1,\!4[/math] находится внутри сетки [math]\Omega_n[/math], то для вычисления производной в этой точке выбирается вторая формула из (5.10), имеющая второй порядок аппроксимации относительно шага [math]h[/math]. При этом центральная точка шаблона совпадает с точкой [math]x_j=1,\!4[/math]. 2. Выберем трехточечный шаблон [math]H_{3,i}= (x_{i-1}, x_i,x_{i+1})= (1,\!2; 1,\!4; 1,\!6)[/math], в котором [math]x_i=1,\!4~(i=2);\quad x_{i-1}=1,\!2~(i-1=1);\quad x_{i+1}=1,\!6~ (i+1=3).[/math] В данном шаблоне центральная точка [math]x_i=1,\!4[/math], что соответствует центральному типу аппроксимационной формулы. 3. Подсчитаем искомое значение производной по формуле (5.10): [math]\widehat{f}\,'_{i,c}= \frac{f_{i+1}-f_{i-1}}{2h}= \frac{0,\!6250000-0,\!8333333}{2\cdot 0,\!2}\,.[/math] 4. Прежде чем выполнить вычисление, необходимо определить количество знаков, которое сохраняется при этом. Остаточное слагаемое выбранной формулы равно [math]\frac{h^2}{6} M_{3,i}[/math]. Для его вычисления необходимо сначала определить [math]M_{3,i}= \max_{[x_{i-1},x_{i+1}]}\bigl\|f'''(x)\bigr\|[/math]. Поэтому воспользуемся интерполяционным многочленом Ньютона с конечными разностями: [math]f'''_i \approx N'''_3(x_i)= \frac{\Delta^3 f}{h^3}\,.[/math] где [math]\Delta^3 f[/math] — конечная разность третьего порядка. Эта разность может быть вычислена по значениям функции [math]f_i[/math] в четырех точках. Возьмем точки [math]x_2,\, x_3,\, x_4,\, x_5[/math]. При этом будем считать, что [math]M_{3,i}\approx f'''(x_i)[/math]. Вычисление дает [math]f'''(x_i)\approx-\frac{0,\!005935}{0,\!008}=-0,\!741875[/math]. Тогда остаточное слагаемое по модулю будет равно [math]\frac{0,\!04\cdot 0,\!74405}{6}\approx 0,\!0049<0,\!01[/math]. На основе полученного приближенного значения остаточного слагаемого можно заключить, что в вычислениях ожидается одна верная цифра после запятой. Обычно в расчетах оставляют еще одну или две дополнительные цифры (в нашем примере это составляет всего 3 цифры). Оставляя три цифры после запятой, получаем результат: [math]\Bigl.{\widehat{f}\,'(x)}\Bigr\|_{x=1,\!4}=-0,\!521[/math]. Фактическая абсолютная погрешность составляет [math]\left\|-0,\!521+ \frac{1}{1,\!4^2}\right\|= \|-0,\!521+0,\!5102\|= 0,\!0108,[/math] т.е. относительная погрешность равна [math]\frac{0,\!0108}{0,\!5102}\cdot 100\%=2,\!1\%[/math]. Если эта погрешность не устраивает вычислителя, необходимо повышать порядок точности относительно [math]h[/math], например, до [math]t=3[/math]. В дальнейшем приводятся соответствующие примеры с порядком [math]t=3[/math]. Для вычисления первой производной можно было использовать и другие формулы. При выборе шаблона [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_i,x_{i+1})= (1,\!4; 1,\!6; 1,\!8)[/math] по формуле (5.8) имеем [math]\begin{aligned}f'(1,\!4)&= \widehat{f}\,'_{i-1,c}= \frac{1}{2h}\bigl(-3f_{i-1}+4f_i-f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{2h}\bigl[-3f(1,\!4)+ 4f(1,\!6)-f(1,\!8)\bigr]=\\ &=\frac{1}{2\cdot 0,\!2}\bigl[-3\!0,\!7142857+ 4\cdot 0,\!625-0,\!5555\bigr]=-0,\!496017. \end{aligned}[/math] Фактическая абсолютная погрешность составляет [math]\|-0,\!496017-0,\!510204\|= 0,\!0142[/math], относительная погрешность равна [math]2,\!78\%[/math]. Если выбрать шаблон [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_i,x_{i+1})= (1; 1,\!2; 1,\!4)[/math], то по формуле (5.9) получаем [math]\begin{aligned}f'(1,\!4)&\cong \widehat{f}\,'_{i+1,c}= \frac{1}{2h}\bigl(f_{i-1}-4f_i+ 3f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{2\cdot0,\!2} \bigl[f(1)-4f(1,\!2)+ 3f(1,\!4)\bigr]=\\ &= \frac{1}{0,\!4}\bigl[1,\!0-4\cdot 0,\!83333+ 3\cdot 0,\!7142857\bigr]=-0,\!476187. \end{aligned}[/math] Фактическая абсолютная погрешность равна [math]\|-0,\!476187-0,\!510204\|=0,\!03401[/math], относительная погрешность составляет [math]6,\!66\%[/math]. Для вычисления второй производной можно взять формулу (5.14) на шаблоне [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_i,x_{i+1})= (1,\!2; 1,\!4; 1,\!6)\colon[/math] [math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i,c}&= \frac{1}{h^2} \bigl(f_{i-1}-2f_i+ f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{0,\!2}\bigl[f(1,\!2)-2\cdot f(1,\!4)+ f(1,\!6)\bigr]=\\ &= \frac{1}{0,\!04} \bigl[0,\!8333-2\cdot 0,\!7142857+ 0,\!625\bigr]= 0,\!743965. \end{aligned}[/math] Точное значение [math]f''(1,\!4)= \frac{1}{1,\!4^3}= 0,\!7288629[/math]. Фактическая абсолютная погрешность равна [math]0,\!0151[/math], относительная погрешность [math]2,\!07\%[/math]. Оценка погрешности аппроксимационного оператора В вычислительной практике иногда применяют аппроксимационные формулы, порядок аппроксимации которых не известен или не приведен в используемом источнике, и в этом случае, прежде чем использовать эту формулу, нужно получить оценку ее погрешности. Данную процедуру можно выполнить с помощью различных подходов, один из которых основан на разложении функций, входящих в правую часть оператора, по формуле Тейлора относительно той точки [math]x_j[/math], для которой записан этот оператор. Другой подход использует анализ остаточного слагаемого, полученного для интерполяционного многочлена Лагранжа. При этом рассматривается соотношение (4.19), которое дифференцируется нужное количество раз: [math]f^{(p)}(x)= L_{n}^{(p)}+ R_{n}^{(p)}(x).[/math] Тогда если нужно найти погрешность численного дифференцирования в точке [math]x=x_j[/math], то осуществляется подстановка [math]x=x_j[/math]. В результате находится оценка погрешности в точке [math]\left\|\Bigl.{R_n^{(p)}(x)}\Bigr\|_{x=x_j}\right\|\leqslant \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}\cdot \omega_n^{(p)}(x_j),[/math] где [math]n[/math] — степень алгебраического многочлена, по которому получен аппроксимационный оператор. Если априори степень [math]n[/math] неизвестна, то она может быть определена путем подстановки в правую часть оператора произвольных узлов [math]x_i[/math] и значений [math]f(x_i)[/math] для многочленов [math]N_1(x)= ax+b;~ N_2(x)= ax^2+bx+c[/math] и т. д. Максимальная степень многочлена [math]N_n(x)[/math], для которого остаточное слагаемое равно нулю, является искомой. Если необходимо оценить погрешность аппроксимационного оператора [math]\widehat{f}^{(p)} (x)[/math] не в точке, а на всем отрезке [math][a,b][/math], то для этого используется неравенство (4.22), которое дифференцируется [math]p[/math] раз: [math]\max_{x\in[a,b]} \bigl\|R_n^{(p)}(x)\bigr\|\leqslant \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}\cdot \max_{x\in [a,b]} \bigl\|\omega_n^{(p)}(x)\bigr\|.[/math] Изложим простейшую методику оценки погрешности в точке [math]x=x_j[/math], когда степень многочлена [math]L_{k-1}(x)[/math] и шаблон [math]H_{k,i}[/math], на котором этот многочлен получен, известны. Методика оценки погрешности аппроксимационного оператора 1. На заданном шаблоне, который в общем случае имеет структуру [math]H_{k,i}= (x_{i-r}, \ldots, x_i,\ldots, x_{i+s}),~ k=r+s+1[/math], записать выражение для оценки остаточного слагаемого в точке [math]x=x_j\in H_{k,i}\colon[/math] [math]\left\|\Bigl.{R_{k-1}^{(p)}(x)}\Bigr\|_{x=x_j}\right\|\leqslant \frac{M_k}{k!} \left\|\Bigl.{\omega_{k-1}^{(p)}(x)}\Bigr\|_{x=x_j}\right\|.[/math] Здесь [math]r[/math] и [math]s[/math] — количество точек, расположенных соответственно левее и правее точки [math]x_j[/math], которая фиксируется на этом шаблоне. 2. Найти производную [math]\omega_{k-1}^{(p)}(x)= \bigl[(x-x_{i-r})(x-x_{i-r+1})\ldots (x-x_{i+s})\bigr]^{(p)}[/math]. 3. В полученную производную подставить значение [math]x_j[/math]. Далее преобразовать ее, выразив через [math]h[/math] (при [math]h=\text{const}[/math]) или через параметр нерегулярности [math]\delta_{i+1}= h_{i+1}\!\!\not{\phantom{\|}}\,h_i[/math], и записать окончательно оценку погрешности. ▼ Пример 5.2 Для заданного дифференциального оператора (5.8), записанного для производной в левой крайней точке шаблона [math]H_{3,i}= (x_{i-1}, x_i, x_{i+1})[/math], требуется найти остаточное слагаемое и оценить погрешность в точке [math]x_j=x_{i-1}[/math]. Решение. 1. На шаблоне [math]H_{3,i}= (x_{i-1}, x_i, x_{i+1})[/math] записываем выражение [math](k=3)\colon[/math] [math]\left\|\Bigl.{R'_2(x)}\Bigr\|_{x=x_{i-1}}\right\|\leqslant \frac{M_3}{3!} \left\|\Bigl.{\omega'_2(x) }\Bigr\|_{x=x_{i-1}}\right\|[/math] или [math]\left\|\Bigl.{R'_2(x)}\Bigr\|_{x=x_{i-1}}\right\|\leqslant \frac{M_3}{3!} \left\|\Bigl.{\bigl[(x-x_{i-1})(x-x_i)(x-x_{i+1})\bigr]'}\Bigr\|_{x=x_{i-1}}\right\|[/math]. 2. Находим производную многочлена [math]\omega_2(x)\colon[/math] [math]\omega'_2(x)= (x-x_i)(x-x_{i+1})+ (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})+ (x-x_{i-1})(x-x_{i}).[/math] 3. Так как [math]h=\text{const}[/math], то [math]\begin{aligned}\Bigl.{\omega'_2(x)}\Bigr\|_{x=x_{i-1}}&= (x_{i-1}-x_{i})(x_{i-1}-x_{i+1})+ (x_{i-1}-x_{i-1})(x_{i-1}-x_{i})\,+\\ &\quad +\,(x_{i-1}-x_{i-1})(x_{i-1}-x_{i})= (-h)(-2h)= 2h^2. \end{aligned}[/math] В результате получаем [math]\left\|\Bigl.{R'_2(x)}\Bigr\|_{x=x_{i-1}}\right\|\leqslant \frac{M_3}{3}h^2[/math]. Именно эта оценка и приведена в скобках справа от формулы (5.8). Четырехточечный шаблон Формулы третьего порядка для первых производных на регулярном шаблоне [math]H_{4,i}= (x_{i-2},x_{i-1},x_i,x_{i+1})[/math] имеют вид: [math]\begin{gathered}\widehat{f}\,'_{i-2,c}= \frac{1}{6h}\bigl(-11f_{i-2}+ 18f_{i-1}- 9f_i+ 2f_{i+1}\bigr)\quad \left(\frac{h^3}{4}M_{4,i}\right)\!,\\ \text{ili}\\ \widehat{f}\,'_{i-2,c}= \frac{1}{6h} \bigl(11 \Delta f_{i-2}-7 \Delta f_{i-1}+ 2 \Delta f_i\bigr);\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i-1,c}= \frac{1}{6h}\bigl(-2f_{i-2}-3f_{i-1}+6f_i-f_{i+1}\bigr)\quad \left(\frac{h^3}{12}M_{4,i}\right)\!,\\ \text{ili}\\ \widehat{f}\,'_{i-1,c}= \frac{1}{6h} \bigl(2\Delta f_{i-2}+5 \Delta f_{i-1}-\Delta f_i\bigr);\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i,c}= \frac{1}{6h}\bigl(f_{i-2}-6f_{i-1}+3f_i+ 2f_{i+1}\bigr)\quad \left(\frac{h^3}{12} M_{4,i}\right)\!,\\ \text{ili}\\ \widehat{f}\,'_{i,c}= \frac{1}{6h} \bigl(-\Delta f_{i-2}+5 \Delta f_{i-1}+ 2\Delta f_i\bigr);\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i+1,c}= \frac{1}{6h}\bigl(-2f_{i-2}+9f_{i-1}-18f_i+ 11f_{i+1}\bigr)\quad \left(\frac{h^3}{4}M_{4,i}\right)\!,\\ \text{ili}\\ \widehat{f}\,'_{i+1,c}= \frac{1}{6h} \bigl(2\Delta f_{i-2}-7 \Delta f_{i-1}+ 11\Delta f_i\bigr). \end{gathered}[/math] (5.15) Замечание. Вариант записи производных через конечные разности здесь и выше приведен для того, чтобы в дальнейшем можно было преобразовать эти формулы на основе теории подобия для аппроксимации (восстановления) функций по интегралам (см. замечание в конце данного раздела). Формулы второго порядка на регулярном шаблоне для вторых производных имеют вид [math]\begin{array}{ll}\widehat{f}\,''_{i-2,c}= \dfrac{1}{h^2}\bigl(2f_{i-2}-5f_{i-1}+ 4f_i-f_{i+1}\bigr)&\quad \left(\dfrac{11h^2}{12}M_{4,i}\right)\!,\\[8pt] \widehat{f}\,''_{i-1,c}= \dfrac{1}{h^2} \bigl(f_{i-2}-2f_{i-1}+ f_i\bigr)&\quad \left(\dfrac{h^2}{12}M_{4,i}\right)\!,\\[8pt] \widehat{f}\,''_{i,c}= \dfrac{1}{h^2}\bigl(f_{i-1}-2f_{i}+ f_{i+1}\bigr)&\quad \left(\dfrac{h^2}{12}M_{4,i}\right)\!,\\[8pt] \widehat{f}\,''_{i+1,c}= \dfrac{1}{h^2}\bigl(-f_{i-2}+ 4f_{i-1}-5f_i+ 2f_{i+1}\bigr)&\quad \left(\dfrac{11h^2}{12}M_{4,i}\right)\!. \end{array}[/math] (5.16) Пятиточечный шаблон Формулы четвертого порядка для первых производных на регулярном шаблоне [math]H_{5,i}= (x_{i-2}, x_{i-1},x_i,x_{i+1},x_{i+2})[/math] имеют вид [math]\begin{array}{ll}\widehat{f}\,'_{i-2,c}= \dfrac{1}{12h}\bigl(-25f_{i-2}+ 48f_{i-1}-36 f_i+ 16f_{i+1}-3 f_{i+2}\bigr)&\quad \left(\dfrac{h^4}{5}M_{5,i}\right)\!,\\[8pt] \widehat{f}\,'_{i-1,c}= \dfrac{1}{12h}\bigl(-3f_{i-2}-10f_{i-1}+18 f_i-6f_{i+1}+ f_{i+2}\bigr)&\quad \left(\dfrac{h^4}{20}M_{5,i}\right)\!,\\[8pt] \widehat{f}\,'_{i,c}= \dfrac{1}{12h}\bigl(f_{i-2}-8f_{i-1}+8 f_{i+1}-f_{i+2}\bigr)&\quad \left(\dfrac{h^4}{30}M_{5,i}\right)\!,\\[8pt] \widehat{f}\,'_{i+1,c}= \dfrac{1}{12h}\bigl(-f_{i-2}+ 6f_{i-1}-18 f_i+10 f_{i+1}+ 3f_{i+2}\bigr)&\quad \left(\dfrac{h^4}{20}M_{5,i}\right)\!,\\[8pt] \widehat{f}\,'_{i+2,c}= \dfrac{1}{12h}\bigl(3f_{i-2}-16f_{i-1}+36 f_i-48 f_{i+1}+ 25f_{i+2}\bigr)&\quad \left(\dfrac{h^4}{5}M_{5,i}\right)\!. \end{array}[/math] (5.17) Формулы третьего порядка для вторых производных на указанном шаблоне имеют вид [math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i-2,c}&= \dfrac{1}{12h^2}\bigl(35f_{i-2}-104f_{i-1}+114 f_i-56 f_{i+1}+ 11f_{i+2}\bigr),\\ \widehat{f}\,''_{i-1,c}&= \dfrac{1}{12h^2}\bigl(11f_{i-2}-204f_{i-1}+6 f_i+4 f_{i+1}-f_{i+2}\bigr),\\ \widehat{f}\,''_{i,c}&= \dfrac{1}{12h^2}\bigl(-f_{i-2}+16f_{i-1}-30 f_i+16 f_{i+1}-f_{i+2}\bigr),\\ \widehat{f}\,''_{i+1,c}&= \dfrac{1}{12h^2}\bigl(-f_{i-2}+4f_{i-1}+6 f_i-20 f_{i+1}+ 11f_{i+2}\bigr),\\ \widehat{f}\,''_{i+2,c}&= \dfrac{1}{12h^2}\bigl(11f_{i-2}-56f_{i-1}+114 f_i-104 f_{i+1}+ 35f_{i+2}\bigr). \end{aligned}[/math] (5.18) ▼ Пример 5.3 Для сеточной функции из примера 5.1 вычислить значение первой производной [math]\Bigl.{f'(x)}\Bigr\|_{x_j=1,4}[/math] и второй производной [math]\Bigl.{f''(x) }\Bigr\|_{x_j=1,4}[/math], используя каждую из приведенных выше формул для четырехточечного и пятиточечного шаблонов. Решение. Для вычисления производных воспользуемся соответствующей методикой. Используем сначала четырехточечные шаблоны. Для шаблона [math]H_{4,i}= (x_{i-2},x_{i-1},x_i,x_{i+1})= (1,\!4; 1,\!6; 1,\!8; 2)[/math] по первой из формул (5.15) при [math]x_{i-2}=x_j[/math] имеем [math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-2,c}&= \frac{1}{6h}\bigl(-11f_{i-2}+ 18f_{i-1}-9f_i+ 2f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{6\cdot0,\!2}\bigl[-11f(1,\!4)+ 18f(1,\!6)-9f(1,\!8)+ 2f(2)\bigr]=\\ &=\frac{1}{1,\!2}\bigl[-11\cdot 0,\!7142857+ 18\cdot 0,\!625-9\cdot 0,\!5555+ 2\cdot0,\!5\bigr]=-0,\!505535.\end{aligned}[/math] Фактическая абсолютная ошибка равна [math]0,\!00467[/math], относительная погрешность [math]0,\!915\%[/math]. Значение второй производной найдем по первой из формул (5.16) при [math]x_{i-2}=x_j[/math] имеем [math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i-2,c}&= \frac{1}{h^2} \bigl(2f_{i-2}-5f_{i-1}+ 4f_i-f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{0,\!2^2} \bigl[2f(1,\!4)-5f(1,\!6)+ 4f(1,\!8)-f(2)\bigr]=\\ &=\frac{1}{0,\!04} \bigl[2\cdot 0,\!7142857 — 5\cdot 0,\!625 + 4\cdot 0,\!5555 — 0,\!5\bigr]= 0,\!639285. \end{aligned}[/math] Фактическая абсолютная ошибка равна [math]0,\!10468[/math], относительная погрешность [math]14,\!07\%[/math]. Заметим, что величина мажоранты в оценке остаточного слагаемого для использованной формулы в 11 раз больше, чем для двух других формул в (5.16), аппроксимирующих производные в точках, расположенных внутри шаблона. Для шаблона [math]H_{4,i}= (x_{i-2}, x_{i-1}, x_i, x_{i+1})= (1,\!2; 1,\!4; 1,\!6; 1,\!8)[/math] по второй из формул (5.15) при [math]x_{i-1}= x_j[/math] получаем [math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1,c}&= \frac{1}{6h} \bigl(-2f_{i-2}-3f_{i-1}+ 6f_i-f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{6\cdot 0,\!2} \bigl[-2f(1,\!2)-3f(1,\!4)+ 6f(1,\!6)-f(1,\!8)\bigr]=\\ &=\frac{1}{1,\!2} \bigl[-2\cdot 0,\!8333-3\cdot 0,\!7142857+6\cdot 0,\!625-0,\!5555\bigr]=-0,\!51256. \end{aligned}[/math] Фактическая абсолютная ошибка равна [math]0,\!002357[/math], относительная погрешность [math]0,\!462\%[/math]. Значение второй производной найдем по формуле [math]\widehat{f}\,''_{i-1,c}= \frac{1}{h^2}\bigl(f_{i-2}-2f_{i-1}+ f_i\bigr)= \frac{1}{0,\!2^2} \bigl[f(1,\!2)-2f(1,\!4)+ f(1,\!6)\bigr]= 0,\!743965.[/math] Фактическая абсолютная погрешность равна [math]0,\!0151[/math], относительная погрешность [math]2,\!07\%[/math] (см. пример 5.1). Для шаблона [math]H_{4,i}= (x_{i-2}, x_{i-1}, x_i, x_{i+1})= (1; 1,\!2; 1,\!4; 1,\!6)[/math] при [math]x_i=x_j[/math] имеем [math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i,c}&= \frac{1}{6h} \bigl(f_{i-2}-6f_{i-1}+ 3f_i+ 2f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{6\cdot 0,\!3} \bigl[f(1)-6(1,\!2)+ 3f(1,\!4)+ 2f(1,\!6)\bigr]=\\ \bigl[\bigr]=\\ &=\frac{1}{1,\!2} \bigl[1,\!0-6\cdot 0,\!8333+ 3\cdot 0,\!7142857+ 2\cdot 0,\!6\bigr]=-0,\!505785. \end{aligned}[/math] Фактическая абсолютная ошибка равна [math]0,\!00442[/math], относительная погрешность [math]0,\!866\%[/math]. Значение второй производной найдем по формуле [math]\widehat{f}\,''_{i,c}= \frac{1}{h^2} \bigl(f_{i-1}-2f_i+ f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{0,\!2^2} \bigl[f(1,\!2)-2f(1,\!4)+ f(1,\!6)\bigr]= 0,\!743965.[/math] Фактическая абсолютная погрешность равна [math]0,\!0151[/math], относительная погрешность [math]2,\!07\%[/math] (см. пример 5.1). Используем формулы (5.17),(5.18) для пятиточечного шаблона. Для шаблона [math]H_{5,i}= (x_{i-2}, x_{i-1}, x_i, x_{i+1}, x_{i+2})= (1,\!2; 1,\!4; 1,\!6; 1,\!8; 2)[/math] имеем [math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1,c}&= \frac{1}{12h} \bigl(-3f_{i-2}-10f_{i-1}+18f_i-6 f_{i+1}+ f_{i+2}\bigr)=\\ &=\frac{1}{12\cdot0,\!2} \bigl[-3f(1,\!2)-10 f(1,\!4)+ 18f(1,\!6)-6f(1,\!8)+ f(2)\bigr]=\\ &=\frac{1}{2,\!4}\bigl[-3\cdot 0,\!83333-10\cdot 0,\!7142857+ 18\cdot 0,\!625-6\! 0,\!555+ 0,\!5\bigr]=-0,\!5107696. \end{aligned}[/math] Фактическая абсолютная погрешность равна [math]0,\!000566[/math], относительная погрешность [math]0,\!11\%[/math]. Значение второй производной вычислим по формуле [math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i-1,c}&= \frac{1}{12h^2}\bigl(11f_{i-2}-20f_{i-1}+ 6f_i+ 4f_{i+1}-f_{i+2}\bigr)=\\ &=\frac{1}{12\cdot 0,\!2^2} \bigl[11f(1,\!2)-20f(1,\!4)+ 6f(1,\!6)+ 4f(1,\!8)-f(2)\bigr]=\\ &=\frac{1}{0,\!48} \bigl[11\cdot 0,\!83333-20\cdot 0,\!7142857+ 6\cdot 0,\!625+ 4\cdot 0,\!5555-0,\!5\bigr]= 0,\!735241.\end{aligned}[/math] Фактическая абсолютная погрешность равна [math]0,\!00637[/math], относительная погрешность [math]0,\!875\%[/math]. Для шаблона [math]H_{5,i}= (x_{i-2},x_{i-1},x_i, x_{i+1}, x_{i+2})= (1; 1,\!2; 1,\!4; 1,\!6; 1,\!8)[/math] получаем [math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i,c}&= \frac{1}{12h} \bigl(f_{i-2}-8f_{i-1}+ 8f_{i+1}-f_{i+2}\bigr)=\\ &=\frac{1}{12\cdot 0,\!2} \bigl[f(1)-8f(1,\!2)+8f(1,\!6)-f(1,\!8)\bigr]=\\ &=\frac{1}{2,\!4} \bigl[1-8\cdot 0,\!8333+8\cdot 0,\!625-0,\!5555\bigr]=-0,\!5092.\end{aligned}[/math] Фактическая абсолютная погрешность равна [math]0,\!00098[/math], относительная погрешность [math]0,\!192\%[/math]. Вычислим вторую производную по формуле [math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{I,c}&= \frac{1}{12h^2} \bigl(-f_{i-2}+ 16f_{i-1}-30f_i+ 16f_{i+1}-f_{i+2}\bigr)=\\ &=\frac{1}{12\cdot 0,\!2^2} \bigl[-f(1)+ 16f(1,\!2)-30f(1,\!4)+ 16f(1,\!6)-f(1,\!8)\bigr]=\\ &=\frac{1}{0,\!48} \bigl(-1,\!0+ 16\cdot 0,\!83333-30\cdot 0,\!7142857+16\cdot 0,\!625-0,\!5555\bigr)= 0,\!72751.\end{aligned}[/math] Фактическая абсолютная погрешность равна [math]0,\!00134[/math], относительная погрешность [math]0,\!18\%[/math]. Анализ точности аппроксимации показывает, что значения производных в точках, расположенных вблизи центра шаблона, вычисляются с большей точностью, чем значения производных в точках, расположенных вблизи концов шаблона. При повышении порядка аппроксимации точность вычисления производных возрастает. Замечание. Формулы, записанные выше для аппроксимации производных через приращения функций, могут быть переписаны для восстановления функции [math]y=f(x)[/math] по значениям интегралов. С этой целью можно использовать изложенный ранее метод подобия, состоящий в соответствующем изменении порядка производной в левой и правой частях аппроксимационного выражения. Так, из оператора [math]\widehat{f}\,'_k[/math] ([math]k[/math] — номер точки шаблона) можно получить оператор [math]\widehat{f}\,'_k[/math] путем замены [math]\Delta f_{k-1}= f_k-f_{k-1}[/math] на интеграл [math]I_{k-1}^k= F_k-F_{k-1}[/math]. Проделав это, вместо формулы, следующей за (5.8), вторых из формул (5.9),(5.10) и формул (5.15) получим операторы, восстанавливающие функцию [math]y=f(x)[/math] по значениям интегралов: [math]\begin{aligned}&\widehat{f}_{i-1,c}= \frac{1}{2h} (3I_{i-1}^{i}-I_{i}^{i+1}); &\qquad & \widehat{f}_{i,c}= \frac{1}{2h} (I_{i}^{i+1}+ I_{i-1}^{i});\\ &\widehat{f}_{i-2,c}= \frac{1}{6h} (11I_{i-2}^{i-1}-7I_{i-1}^{i}+ 2I_{i}^{i+1}); &\qquad & \widehat{f}_{i-1,c}= \frac{1}{6h} (2I_{i-2}^{i-1}+ 5I_{i-1}^{i}-I_{i}^{i+1});\\ &\widehat{f}_{i,c}= \frac{1}{6h} (-I_{i-2}^{i-1}+ 5I_{i-1}^{i}+ 2I_{i}^{i+1}); &\qquad & \widehat{f}_{i+1,c}= \frac{1}{6h} (2I_{i-2}^{i-1}-7I_{i-1}^{i}+ 11I_{i}^{i+1}). \end{aligned}[/math] Первые две формулы имеют второй порядок аппроксимации по [math]h[/math] (они записаны на трехточечном шаблоне), а последние четыре — третий порядок (они записаны на четырехточечном шаблоне). Вместо формулы (5.14) имеем следующую: [math]\widehat{f}_{i,c}= \frac{1}{2h}(I_{i}^{i+1}-I_{i-1}^{i})[/math]. Аналогичным путем можно найти и другие интегральные аппроксимации первой производной. Формулы на основе разложения первообразных по формуле Тейлора А. Двухточечный шаблон. На неравномерной сетке [math]\Omega_n[/math] рассмотрим двухточечный шаблон [math]H_{2,i}= (x_{i},x_{i+1})[/math] с шагом [math]h_{i+1}= x_{i+1}-x_{i}[/math]. Предположив, что [math]f(x)\in C_2[a,b][/math], разложим первообразную [math]F(x)[/math] относительно точки [math]x_i[/math] по формуле Тейлора при [math]k=2[/math] и найдем выражение для [math]\Bigl.{F(x)}\Bigr\|_{x=x_{i+1}}= F_{i+1}\colon[/math] [math]F_{i+1}= F_{i}+ h_{i+1}\cdot f_{i}+ \frac{h_{i+1}^2}{2}\cdot f'_{i}+ \frac{h_{i+1}^3}{6}\cdot f''(\xi),[/math] где [math]\xi\in (x_{i},x_{i+1})[/math]. Выражая из этого разложения сначала первую производную, а затем интеграл [math]I_{i}^{i+1}= F_{i+1}-F_{i}[/math], получаем [math]f'_{i}= \frac{2I_{i}^{i+1}}{h_{i+1}^2}-\frac{2f_{i}}{h_{i+1}}-\frac{h_{i+1}}{3}\cdot f''(\xi),\qquad I_{i}^{i+1}= h_{i+1}\cdot f_{i}+ \frac{h_{i+1}^2}{2}\cdot f'_{i}+ \frac{h_{i+1}^3}{6}\cdot f''(\xi).[/math] Первые два слагаемых в правых частях последних двух соотношений представляют собой интегрально-функциональную (интегрально-точечную) аппроксимацию производной [math]f'_{i}[/math] и функционально-дифференциальную аппроксимацию интеграла [math]I_{i}^{i+1}[/math] соответственно: [math]\widehat{f}\,'_{i}= \frac{2I_{i}^{i+1}}{h_{i+1}^2}-\frac{2f_{i}}{h_{i+1}}\qquad \left(\frac{h_{i+1}}{3}M_2\right)\!,[/math] (5.19) [math]\widehat{I}_{i}^{i+1}= h_{i+1}f_{i}+ \frac{h_{i+1}^2}{2}f'_{i}\qquad \left(\frac{h_{i+1}^3}{6}M_2\right)\!.[/math] (5.20) Порядки этих аппроксимаций устанавливают остаточные слагаемые в выражениях для [math]f'_{i}[/math] и [math]I_{i}^{i+1}[/math], из которых следуют оценки, правые части которых указаны в скобках рядом с формулами. Данные оценки свидетельствуют о том, что порядок аппроксимации, обеспечиваемый (5.19), равен единице, а обеспечиваемый (5.20) равен трем при условии, что [math]I_{i}^{i+1}[/math] и [math]f_i[/math] для (5.19) известны с точностью не ниже [math]O(h_{i+1}^3)[/math] и [math]O(h_{i+1}^2)[/math], а [math]f_{i}[/math] и [math]f'_{i}[/math] для (5.20) с точностью не ниже [math]O(h_{i+1}^2)[/math] и [math]O(h_{i+1})[/math]. Этот же результат следует из рассмотренного ранее правила соответствия порядков аппроксимации математических моделей различного типа. Замечания 1. Выразив из разложения для [math]F_{i+1}[/math] непосредственно функцию [math]f_{i}[/math], получим еще одно аппроксимационное выражение: [math]\widehat{f}_{i}= \frac{1}{h_{i+1}}\cdot I_{i}^{i+1}-\frac{h_{i+1}}{2}\cdot f'_{i},[/math] позволяющее восстанавливать со вторым порядком аппроксимации значение функции [math]f_{i}[/math] в точке [math]x_{i}[/math] по значениям [math]I_[i}^{i+1}[/math] и [math]f'_{i}[/math], известным с точностью не ниже [math]O(h_{i+1}^3)[/math] и [math]O(h_{i+1})[/math] соответственно. 2. Если в точке [math]x_{i}[/math] известны производные более высоких порядков, то могут быть построены аппроксимации [math]\widehat{f}\,'_{i},\, \widehat{I}_{i}^{i+1},\, \widehat{f}_{i}[/math] более высокого порядка, которые здесь не рассматриваются. Б. Трехточечный шаблон. Возьмем на неравномерной сетке [math]\Omega_{n}[/math] трехточечный шаблон [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_{i},x_{i+1})[/math], характеризующийся шагами [math]h_{i+1}= x_{i+1}-x_{i},~ h_{i}= x_{i}-x_{i-1}[/math] и параметром нерегулярности [math]\Delta_{i+1}= \frac{h_{i+1}}{h_{i}}[/math]. Предположив, что [math]f(x)\in C_3[a,b][/math], найдем разложения для первообразной [math]F(x)[/math] при [math]x=x_{i+1}[/math] и [math]x=x_{i-1}[/math] относительно точки [math]x_{i}[/math] и выпишем выражения для [math]F(x_{i+1}),\, F(x_{i+1})[/math] по формуле Тейлора (В.23) при [math]k=3\colon[/math] [math]\begin{gathered}F_{i+1}= F_{i}+ h_{i+1}\cdot f_{i}+ \frac{h_{i+1}^2}{2}\cdot f'_{i}+ \frac{h_{i+1}^3}{6}\cdot f''_{i}+ \frac{h_{i+1}^4}{24}\cdot f'''(\xi_1),\quad \xi_1\in (x_{i},x_{i+1}),\\ F_{i-1}= F_{i}- h_{i}\cdot f_{i}+ \frac{h_{i}^2}{2}\cdot f'_{i}-\frac{h_{i}^3}{6}\cdot f''_{i}+ \frac{h_{i}^4}{24}\cdot f'''(\xi_2),\quad \xi_2\in (x_{i-1},x_{i}).\end{gathered}[/math] Умножая первое соотношение на [math]h_{i}[/math] а второе на [math]h_{i+1}[/math], складывая их с учетом равенства [math]I_{i}^{i+1}= F_{i+1}-F_{i}[/math] и разрешая относительно [math]f'_{i}[/math], получаем [math]f'_{i}= \frac{2}{h_{i}(1+\delta_{i+1})}\! \left(\frac{I_{i}^{i+1}}{h_{i+1}}-\frac{I_{i-1}^{i}}{h_{i}}\right)-\frac{h_{i}(\delta_{i+1}-1)}{3}f''_{i}-\frac{h_{i}^2}{12(1+ \delta_{i+1})}\bigl(\delta_{i+1}^3 f'''(\xi_{i})+ f'''(\xi_2)\bigr).[/math] Отсюда следует интегрально-дифференциальная аппроксимационная формула для первой производной [math]f'_{i}[/math] на нерегулярном шаблоне: [math]\widehat{f}\,'_{i,\nu}= \frac{2}{h_{i}(1+ \delta_{i+1})}\! \left(\frac{I_{i}^{i+1}}{h_{i+1}}-\frac{I_{i-1}^{i}}{h_{i}}\right)-\frac{h_{i}(\delta_{i+1}-1)}{3} f''_{i}.[/math] (5.21) Формула (5.21) при заданных интегралах [math]I_{i}^{i+1},\, I_{i-1}^{i}[/math] (известных с точностью не ниже [math]O(h_{i+1}^3)[/math] и [math]O(h_{i}^3)[/math] и производной [math]f''_{i}[/math] (известной с точностью не ниже первого порядка) аппроксимирует первую производную [math]f'_{i}[/math] на нерегулярном шаблоне со вторым порядком (безусловная аппроксимация). При условной аппроксимации, когда [math]\delta_{i+1}=1[/math] (равномерная сетка), из (5.21) следует интегральная аппроксимационная формула для первой производной [math]f'_{i}[/math] на регулярном шаблоне: [math]\widehat{f}_{i,c}= \frac{1}{h^2}(I_{i}^{i+1}-I_{i-1}^{i})\quad \left(\frac{h^2}{12}M_3\right)\!.[/math] (5.22) Эта формула аппроксимирует первую производную [math]f'_{i}[/math] со вторым порядком. Из сопоставления мажорант оценок аппроксимационных операторов [math]\widehat{f}_{i,c}[/math] (см. (5.10)) и [math]\widehat{f}_{i,c}[/math] (см. (5.22)) вытекает, что они имеют одинаковый (второй) порядок аппроксимации, однако, мажоранта или остаточное слагаемое оператора интегрального типа содержит константу [math](1\!\!\not{\phantom{\|}}\,12)[/math], в два раза меньшую соответствующей константы в мажоранте оператора точечного (функционального) типа. Замечание. При условии [math]f(x)\in C_2[a,b][/math] на регулярном шаблоне из разложения первообразных получается аппроксимационная интегрально-функциональная формула для второй производной: [math]\widehat{f}\,''_{i}= \frac{3}{h^2}\cdot I_{i-1}^{i+1}-\frac{6}{h^2}\cdot f_{i}\quad \bigl(O(h)\bigr),[/math] (5.23) из которой можно выразить интеграл [math]I_{i-1}^{i+1}[/math] через значения функции [math]f_{i}[/math] и производной [math]f''_{i}\colon\, \widehat{I}_{i-1}^{i+1}= 2hf_{i}+ \frac{h^3}{3}f''_{i}[/math]. ▼ Примеры 5.4-5.5 Пример 5.4. Пусть некоторая функция (взята функция [math]f(x)=x^3[/math]) на трехточечном шаблоне [math]x_1=1;~ x_2=1,\!5;~ x_3=2[/math] [math](h=0,\!5=\text{const})[/math] задана двумя независимыми способами: 1) значениями функции [math]f_1=1;~ f_2=3,\!375;~ f_3=8[/math]; 2) значениями интегралов на двух соседних отрезках: на отрезке [math][x_1,x_2]\colon I_1^2= 1,\!015625[/math], а на отрезке [math][x_2,x_3]\colon I_2^3=2,\!734375[/math] (значения функций [math]f(x_{i})[/math] и интегралов вычислены по [math]f(x)=x^3[/math] точно). Требуется найти значение производной [math]\Bigl.{f'(x)}\Bigr\|_{x=1,5}[/math] с помощью функциональной и интегральной аппроксимаций. Решение Для определения [math]\Bigl.{f'(x)}\Bigr\|_{x=1,5}[/math] сначала воспользуемся функциональной аппроксимационной формулой (5.10): [math]\widehat{f}_{2,c}= \frac{f_3-f_1}{2h}= \frac{8-1}{2\cdot 0,\!5}= \frac{7}{1}=7\quad (3,\!7\%).[/math] Применим интегральную формулу (5.22): [math]\widehat{f}_{2,c}= \frac{I_2^3-I_1^2}{h^2}= \frac{2,\!734375-1,\!015625}{0,\!25}= 6,\!875\quad (1,\!8\%).[/math] В скобках, сразу за численными результатами значений производных указана относительная погрешность в процентах. Из сопоставления полученных приближенных значений с точными следует, что интегральная аппроксимация дает лучший результат. Пример 5.5. Пусть сеточная функция (табл. 5.2), являющаяся представлением [math]f(x)=x^4[/math], задана интегралами на отрезках [math][x_{i},x_{i+1}]~ (i=1,2,3),~h=1[/math]. Решение Требуется вычислить производную [math]\Bigl.{f'(x)}\Bigr\|_{x=2}[/math] с использованием интегральной формулы (5.22), имеющей второй порядок аппроксимации. Вычисление производной основывается на методике, изложенной выше. 1. Так как в задаче указан конкретный аппроксимационный оператор, то выбор формулы осуществлять не нужно. 2. Формула (5.22) записана через значение двух интегралов [math]I_{i-1}^{i}[/math] и [math]I_{i}^{i+1}[/math], что соответствует двухшаговому (трехточечному) шаблону [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_{i},x_{i+1})[/math], в котором [math]x_{i}=2~ (i=2),\qquad x_{i-1}=1~ (i-1=1),\quad x_{i+1}=3~ (i+1=2).[/math] В данном шаблоне центральная точка [math]x_{i}=2[/math] совпадает с точкой [math]x_{j}=2[/math]. 3. Получим искомое значение [math]\widehat{f}\,'= \frac{I_[i}^{i+1}-I_{i-1}^{i}}{h^2}= \frac{211\!\!\not{\phantom{\|}}\,5-31\!\!\not{\phantom{\|}}\,5}{1}= \frac{180}{5}=36[/math]. Здесь вычисления выполнены точно, хотя результат является приближенным. 4. Используя точное значение производной [math]f'(2)=32[/math], можно получить фактическую погрешность результата [math]\frac{\|36-32\|}{32}\cdot 100\%=12,\!5\%[/math]. Оценка погрешности дифференциальных операторов Изложенная ранее методика определения остаточного слагаемого основана на соответствующей теореме для интерполяционного многочлена Лагранжа. Полезно рассмотреть и другой способ получения оценки погрешности, использующей разложение функций по формуле Тейлора. Методика оценки погрешности дифференциальных операторов на основе разложения функции по формуле Тейлора 1. Составить разность [math]f_{i}^{(p)}-\widehat{f}_{i}^{(p)}[/math], где [math]\widehat{f}_{i}^{(p)}[/math] — обозначение оператора, в качестве которого может быть принят оператор как функционального типа, так и интегрального или интегрально-функционального, а [math]f_{i}^{(p)}[/math] — точное значение производной. 2. Все функции, входящие в [math]\widehat{f}_{i}^{(p)}[/math] разложить по формуле Тейлора с остаточным слагаемым в форме Лагранжа относительно точки [math]x_{i}[/math], в которой записан [math]\widehat{f}_{i}^{(p)}[/math]. Если оператор [math]\widehat{f}_{i}^{(p)}[/math] выражается через интегралы, то они записываются через разности первообразных [math]\bigl(F(x)\bigr)[/math]. При этом предполагается, что функции [math]f(x),\, F(x)[/math] являются непрерывными, и для них существуют непрерывные производные соответствующего порядка. 3. Подставить разложения функции в разность (см. п. 1) и выполнить ее преобразование, в процессе которого получается остаточное слагаемое. 4. На основе остаточного слагаемого оценить погрешность аппроксимации. ▼ Пример 5.6 Для заданного дифференциального оператора (5.22) [math]\widehat{f}\,'_{i}= \frac{I_{i}^{i+1}-I_{i-1}^{i}}{h^2}[/math], записанного на шаблоне [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_{i},x_{i+1})[/math], найти остаточное слагаемое и оценить погрешность в точке [math]x_{j}=x_{i}[/math]. Решение. 1. Составим разность [math]f'_{i}-\widehat{f}\,'_{i}= f'_{i}-\frac{1}{h^2}(I_{i}^{i+1}-I_{i-1}^{i})[/math], где [math]f'_{i}[/math] — точное значение производной, а [math]\widehat{f}\,'_{i}[/math] — аппроксимирующий ее оператор. 2. Интегралы заменим разностями первообразных: [math]I_{i}^{i+1}= F_{i+1}-F_{i}\quad \bigl(F_{i+1}= F(x_{i+1}),~ F_{i}= F(x_{i})\bigr),\qquad I_{i-1}^{i}= F_{i}-F_{i-1}.[/math] Функцию [math]F(x)[/math] при [math]x=x_{i},~ x=x_{i+1}[/math] разложим по формуле Тейлора с остаточным слагаемым в форме Лагранжа относительно точки [math]x_{i}[/math] и выпишем выражения для [math]F(x_{i+1}),~ F(x_{i-1})[/math], где [math]\xi_{+}= (x_{i},x_{i+1}),~ \xi_{-}\in (x_{i-1},x_{i})\colon[/math] [math]\begin{aligned}F(x_{i+1})&= F_{i}+ h\cdot f_{i}+ \frac{h^2}{2}\cdot f'_{i}+ \frac{h^3}{6}\cdot f''_{i}+ \frac{h^4}{24}\cdot f'''_{i}(\xi_{+}),\\ F(x_{i-1})&= F_{i}-h\cdot f_{i}+ \frac{h^2}{2}\cdot f'_{i}-\frac{h^3}{6}\cdot f''_{i}+ \frac{h^4}{24}\cdot f'''_{i}(\xi_{-}). \end{aligned}[/math] 3. Подставим данные разложения в разность, составленную в п. 1, и осуществим преобразования: [math]\begin{aligned} f'_{i}&= \left(F_{i}+ hf_{i}+ \frac{h^2}{2}f'_{i}+ \frac{h^3}{6}f''_{i}+ \frac{h^4}{24}f'''_{i}(\xi_{+})-F_{i}-F_{i}+ F_{i}-hf_{i}+ \frac{h^2}{2}f'_{i}-\frac{h^3}{6}f''_{i}+ \frac{h^4}{24}f'''_{i}(\xi_{-})\right)=\\ &= \frac{h^2}{24}\bigl(f'''(\xi_{+})+ f'''(\xi_{-})\bigr). \end{aligned}[/math] Применяя теорему о среднем (см. утверждение В.1), находим остаточное слагаемое [math]f'_{i}-\widehat{f}\,'_{i}= \frac{h^2}{12}f'''(\xi_{i}),\quad \xi_{i}\in (x_{i-1},x_{i}).[/math] 4. С помощью последнего соотношения получим оценку погрешности аппроксимации интегральным оператором (5.22), где [math]M_{3,i}= \max_{x\in [x_{i-1},x_{i}]} \bigl\|f'''(x)\bigr\|\colon[/math] [math]\left\|f'_{i}-\frac{1}{h^2}(I_{i}^{i+1}-I_{i-1}^{i})\right\|\leqslant \frac{M_{3,i}}{12}\cdot h^2.[/math] Формулы, полученные на основе сплайнов А. Двухточечный шаблон. Из рассмотрения интегрально-дифференциальных сплайн-многочленов второй степени в работе получены интегрально-функциональные аппроксимационные формулы для первых производных на двухточечном шаблоне [math]H_{2,i}= (x_{i},x_{i+1})\colon[/math] [math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1}&= \frac{6}{h_{i}^2}\cdot I_{i-1}^{i}-\frac{2}{h_{i}}\cdot (2f_{i-1}+ f_{i});\\ \widehat{f}\,'_{i}&= \frac{2}{h_{i}}\cdot (f_{i-1}+ 2f_{i})-\frac{6}{h_{i}^2}\cdot I_{i-1}^{i}. \end{aligned}[/math] (5.24) Формулы (5.24) в силу их одноинтервального характера могут использоваться при [math]h_{i}= \text{const}[/math], если значение интеграла [math]I_{i-1}^{i}[/math] либо известно, либо заранее вычислено с точностью не ниже [math]O(h_{i}^4)[/math]. Для операторов [math]\widehat{f}\,'_{i-1},\, \widehat{f}\,'_{i}[/math] справедливы оценки [math]\bigl\|\widehat{f}\,'_{k}-f'_{k}\bigr\|\leqslant \frac{h_{i}^2}{12}\cdot M_{3,i},\quad k=i-1,i.[/math] Замечание. Из (5.24) можно выразить величину [math]I_{i-1}^{i}[/math], и тогда получаются следующие функционально-дифференциальные квадратурные формулы: [math]\begin{aligned}I_{i-1}^{i}&= \frac{h_{i}}{3}\cdot (2f_{i-1}+ f_{i})+ \frac{h_{i}^2}{6}\cdot f'_{i-1},\\ I_{i-1}^{i}= \frac{h_{i}}{3}\cdot (f_{i-1}+ 2f_{i})-\frac{h_{i}^2}{6}\cdot f'_{i}. \end{aligned}[/math] Б. Трехточечный шаблон. Из рассмотрения интегрально-дифференциальных сплайн-многочленов третьей степени на трехточечном шаблоне [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_{i}, x_{i+1})[/math] получены следующие интегрально-функциональные формулы: – для левой, центральной и правой точек нерегулярного шаблона аппрокси-мационные формулы для первой производной имеют вид [math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1,\nu}&= \frac{1}{H_{i}^{i+1}}\left[4\! \left(\frac{h_{i}}{h_{i+1}^2}I_{i}^{i+1}+ \frac{2H_{i}^{i+1}+h_{i}}{h_{i}^2}I_{i-1}^{i}\right)-\left(\frac{h_{i}}{h_{i+1}}f_{i+1}+ \frac{3(H_{i}^{i+1})^2}{h_{i}h_{i+1}}f_{i}+ \frac{5H_{i}^{i+1}+h_{i}}{h_{i}}f_{i-1}\right)\right]\!,\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i,\nu}&= \frac{1}{H_{i}^{i+1}}\left[4\! \left(\frac{h_{i}}{h_{i+1}^2}I_{i}^{i+1}-\frac{h_{i+1}}{h_{i}^2}I_{i-1}^{i}\right)-\left(\frac{h_{i}}{h_{i+1}}f_{i+1}+ \frac{3(h_{i}^2-h_{i+1}^2)}{h_{i}h_{i+1}}f_{i}-\frac{h_{i+1}}{h_{i}}f_{i-1}\right)\right]\!,\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i+1,\nu}&= \frac{1}{H_{i}^{i+1}}\left[-4\! \left(\frac{2H_{i}^{i+1}+ h_{i+1}}{h_{i+1}^2}I_{i}^{i+1}+ \frac{h_{i+1}}{h_{i}^2}I_{i-1}^{i}\right)+ \left(\frac{5H_{i}^{i+1}+ h_{i+1}}{h_{i+1}}f_{i+1}+ \frac{3(H_{i}^{i+1})^2}{h_{i}h_{i+1}}f_{i}+ \frac{h_{i+1}}{h_{i}}f_{i-1}\right)\right]\!;\end{aligned}[/math] – для левой, центральной и правой точек регулярного шаблона аппрокси-мационные формулы для первой производной принимают форму [math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1,c}&= \frac{1}{2h}\! \left[\frac{4}{h}(I_{i}^{i+1}+ 5I_{i-1}^{i})-(f_{i+1}+ 12f_{i}+ 11f_{i-1})\right] &\quad & \left(\frac{h^3}{60}M_{4,i}\right)\!,\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i,c}&= \frac{1}{2h}\! \left[\frac{4}{h}(I_{i}^{i+1}-I_{i-1}^{i})-(f_{i+1}-f_{i-1})\right]= \frac{1}{2h}\! \left[\frac{4}{h} \Delta I_{i}^{i+1}-(\Delta f_{i}+ \Delta f_{i-1})\right] &\quad & \left(\frac{h^4}{360}M_{5,i}\right)\!,\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i+1,c}&= \frac{1}{2h}\! \left[-\frac{4}{h}(5I_{i}^{i+1}+ I_{i-1}^{i})+ (11f_{i+1}+ 12f_{i}+ f_{i-1})\right] &\quad & \left(\frac{h^3}{60}M_{4,i}\right)\!; \end{aligned}[/math] – для левой, центральной и правой точек нерегулярного шаблона аппрокси-мационные формулы для второй производной имеют вид [math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i-1,\nu}&= \frac{6}{H_{i}^{i+1}}\! \left[-4\! \left(\frac{1}{h_{i+1}^2}I_{i}^{i+1}+ \frac{H_{2i}^{i+1}}{h_{i}^3}I_{i-1}^{i}\right)+ \frac{1}{h_{i+1}}f_{i+1}+ \frac{H_{i}^{i+1}(2H_{i}^{i+1}+ h_{i})}{h_{i}^2h_{i+1}}f_{i}+ \frac{2H_{i}^{i+1}+ h_{i}}{h_{i}^2}f_{i-1}\right]\!,\\[4pt] \widehat{f}\,''_{i,\nu}&= \frac{6}{H_{i}^{i+1}}\! \left[4\! \left(\frac{1}{h_{i+1}^2}I_{i}^{i+1}+ \frac{1}{h_{i}^2}I_{i-1}^{i}\right)-\left(\frac{1}{h_{i+1}}f_{i+1}+ \frac{3H_{i}^{i+1}}{h_{i+1}h_{i}}f_{i}+ \frac{1}{h_{i}}f_{i-1}\right)\right]\!,\\[4pt] \widehat{f}\,''_{i+1,\nu}&= \frac{6}{H_{i}^{i+1}}\! \left[-4\! \left(\frac{H_{i}^{2(i+1)}}{h_{i+1}^3}I_{i}^{i+1}+ \frac{1}{h_{i}^2}I_{i-1}^{i}\right)+ \frac{2H_{i}^{i+1}+ h_{i+1}}{h_{i+1}^2}f_{i+1}+ \frac{H_{i}^{i+1}(2H_{i}^{i+1}+ h_{i+1})}{h_{i}h_{i+1}^2}f_{i}+ \frac{f_{i-1}}{h_{i}}\right]\!; \end{aligned}[/math] – для левой, центральной и правой точек регулярного шаблона аппроксима-ционные формулы для второй производной принимают форму [math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i-1,c}&= \frac{3}{h^2}\! \left[-\frac{4}{h}(I_{i}^{i+1}+ 3I_{i-1}^{i})+ (f_{i+1}+ 10f_{i}+ 5f_{i-1})\right] &\quad & \left(\frac{7h^2}{20}M_{4,i}\right)\!,\\[4pt] \widehat{f}\,''_{i,c}&= \frac{3}{h^2}\! \left[\frac{4}{h}(I_{i}^{i+1}+ I_{i-1}^{i})+ (f_{i+1}+ 6f_{i}+ f_{i-1})\right] &\quad & \left(\frac{h^2}{20}M_{4,i}\right)\!,\\[4pt] \widehat{f}\,''_{i+1,c}&= \frac{3}{h^2}\! \left[-\frac{4}{h}(3I_{i}^{i+1}+ I_{i-1}^{i})+ (5f_{i+1}+ 10f_{i}+ f_{i-1})\right] &\quad & \left(\frac{7h^2}{20}M_{4,i}\right)\!. \end{aligned}[/math] Подчеркнем, что правые части данных аппроксимационных соотношений записаны через интегралы [math]I_{i-1}^{i},\, I_{i}^{i+1}[/math] на двух смежных отрезках, составляющих шаблон, и через значения функций в точках этого шаблона. Если известны интегралы и значения самой функции, то по этим формулам можно вычислить первые производные с третьим порядком, а вторые производные — со вторым (остаточные слагаемые некоторых аппроксимационных формул указаны в скобках, расположенных рядом с этими формулами). При этом формула для [math]\widehat{f}\,'_{i,c}[/math], имеющая симметричный вид относительно центральной точки х, и содержащая интегральные и функциональные разности, обеспечивает повышенный (четвертый) порядок аппроксимации. Если интегралы для исследуемой функции неизвестны, они должны быть предварительно рассчитаны с порядком, по крайней мере на два превышающим порядок аппроксимации дифференциальных операторов. Замечание. В вычислительной практике могут оказаться полезными еще два аппроксимационных оператора [math]\widehat{f}\,''_{L(\Pi),\nu},\, \widehat{f}\,''_{i,c}\colon[/math] [math]\widehat{f}\,''_{L(\Pi),\nu}= \frac{6}{h_{i+1}^2}(f_{i}+ f_{i+1})-\frac{12}{h_{i+1}^3}I_{i}^{i+1}\quad \left(\frac{h_{i+1}}{2}M_{3,i}\right)\!,[/math] (5.25) [math]\widehat{f}\,''_{i,c}= \frac{3}{2h^2}(f_{i}+ f_{i+1})-\frac{3}{2h_{i}}I_{i-1}^{i+1}\quad \left(\frac{h^2}{10}M_{4,i}\right)\!,[/math] (5.26) где [math]\widehat{f}\,''_{L(\Pi),\nu}[/math] — лево- или правосторонний оператор, а [math]\widehat{f}\,''_{i,c}[/math] — центральный оператор, записанный на трехточечном шаблоне при [math]h=\text{const}[/math]. В. Четырехточечный шаблон. Выше приведены формулы численного дифференцирования на трехточечном (или для некоторых формул на двухточечном) шаблоне, имеющие порядок аппроксимации [math]h^{3-(p-1)}[/math], где [math]p[/math] — порядок производных, для которых записаны эти формулы. В дополнение к изложенному материалу приведем формулы, аппроксимирующие производную [math]f^{(p)}~(p=1,\,2)[/math] с порядками [math]h^{3-(p-1)}[/math] на четырехточечном шаблоне. Данные формулы получены путем анализа кубических дифференциальных и интегрально-дифференциальных сплайнов. 1. Формулы для первых производных третьего порядка аппроксимации на шаблоне [math]H_{4,i}= (x_{i-2},x_{i-1},x_{i},x_{i+1})\colon[/math] – для лево- и правосторонних внутренних точек [math]x_{i-1},\,x_{i}[/math] нерегулярного шаблона справедливы функциональные формулы: [math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1,\nu}&= \frac{1}{a} \Big[\!-\!h_{i}^2h_{i+1}^2(H_{i}^{i+1})^2f_{i-2}+ h_{i+1}\bigl[h_{i}^2(H_{i}^{i+1})^2-h_{i-1}^2K_{2i-1}^2\bigr]f_{i-1}\,+\\ &\qquad +h_{i-1}^2 \bigl(h_{i}^2H_{i-1}^{i}+ K_{2i-1}^{2}h_{i+1}\bigr)f_{i}-h_{i}^2h_{i-1}^2H_{i-1}^{i}f_{i+1}\Big], \end{aligned}[/math] (5.27) [math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i,\nu}&= \frac{1}{a} \Big[h_{i}^2h_{i+1}^2H_{i}^{i+1}f_{i-2}-h_{i+1}^2\bigl(h_{i}^2H_{i}^{i+1}+ h_{i-1}^2K_{2i}^2\bigr)f_{i+1}\,+\\ &\qquad +h_{i-1}^2 \bigl[h_{i+1}^2K_{2i}^2-h_{i}^2(H_{i-1}^{i})^2\bigr]f_{i}+ h_{i}^2h_{i-1}^2(H_{i-1}^{i})^2f_{i+1}\Big], \end{aligned}[/math] (5.28) где [math]a= H_{i-1}^{i+1}H_{i-1}^{i}H_{i}^{i+1}\Pi_{i-1}^{i+1};~~ K_{2i}^2= h_{i-1}(H_{i-1}^{i+1}+2h_{i})+ h_{i}(2H_{i}^{i+1}+ h_{i})[/math]; [math]K_{2i-1}^2= h_{i+1}(H_{i-1}^{i+1}+ 2h_{i})+ h_{i}(2H_{i-1}^{i}+h_{i});~~ \Pi_{i-1}^{i+1}= h_{i-1}h_{i}h_{i+1};~~ H_{i-1}^{i+1}= h_{i-1}+ h_{i}+ h_{i+1};[/math] – для левой и правой крайних точек [math]x_{i-2},\,x_{i+1}[/math] нерегулярного шаблона справедливы функционально-дифференциальные формулы рекуррентного типа: [math]\widehat{f}\,'_{i-2,\nu}= \frac{h_{i-1}^2}{H_{i-1}^{i}}\! \left(\frac{2H_{i-1}^{i}+ h_{i-1}}{h_{i-1}^3} \Delta f_{i-2}+ \frac{\Delta f_{i-1}}{h_{i}^2}\right)-\frac{H_{i-1}^{i}}{h_{i}} \widehat{f}\,'_{i-1},[/math] (5.29) [math]\widehat{f}\,'_{i+1,\nu}= \frac{h_{i+1}^2}{H_{i}^{i+1}}\! \left(\frac{2H_{i}^{i+1}+ h_{i+1}}{h_{i+1}^3} \Delta f_{i}+ \frac{\Delta f_{i-1}}{h_{i}^2}\right)-\frac{H_{i}^{i+1}}{h_{i}} \widehat{f}\,'_{i}.[/math] (5.30) На регулярном четырехточечном шаблоне при [math]h=\text{const}[/math] формулы (5.27) – (5.30) упрощаются и сводятся к формулам (5.15). Можно показать, что (5.27) – (5.30), так же как и формулы (5.15), имеют третий порядок аппроксимации. Параболические и кубические интегрально-дифференциальные сплайны позволяют сконструировать интегральные формулы численного дифференцирования. На четырехточечном нерегулярном шаблоне [math]H_{4,i+1}= (x_{i-1},x_{i},x_{i+1},x_{i+2})[/math] получаются следующие интегральные и рекуррентные формулы для первых производных: [math]\widehat{f}\,'_{i}= \frac{2}{A}\! \left[\frac{h_{i}^2-h_{i+1}^2}{h_{i+2}}I_{i-1}^{i+2}+ \bigl[3h_{i+1}H_{i+1}^{i+2}+ (h_{i+2}^2-h_{i}^2)\bigr]\frac{1}{h_{i+1}}I_{i}^{i+1}-\frac{H_{i+1}^{i+2} H_{2(i+1)}^{i+2}}{h_{i}}I_{i-1}^{i}\right]\!,[/math] (5.31) [math]\widehat{f}\,'_{i+1}= \frac{2}{A}\! \left[\frac{H_{i}^{i+1} H_{i}^{2(i+1)}}{h_{i+2}}I_{i+1}^{i+2}-\frac{3h_{i+1}H_{i}^{i+1}+ (h_{i}^2-h_{i+2}^2)}{h_{i+1}}I_{i}^{i+1}+ \frac{h_{i+1}^2-h_{i+2}^2}{h_{i}}I_{i-1}^{i}\right]\!,[/math] (5.32) [math]\widehat{f}\,'_{i-1}= \frac{H_{i-1}^{i}}{h_{i}}\widehat{f}\,'_{i}-\frac{h_{i-1}}{h_{i}}\widehat{f}\,'_{i+1};\qquad \widehat{f}\,'_{i+2}= \frac{H_{i+1}^{i+2}}{h_{i}} \widehat{f}\,'_{i+1}-\frac{h_{i+2}}{h_{i+1}}\widehat{f}\,'_{i}.[/math] (5.33) где [math]A= h_{i+1}^2 \bigl(2h_{i}+ h_{i+1}+ 2h_{i+2}\bigr)+ h_{i+1} \bigl(h_{i}^2+ h_{i+2}^2\bigr)+ h_{i}h_{i+2} \bigl(h_{i}+ 3h_{i+1}+ h_{i+2}\bigr)[/math]. Формулы (5.31),(5.32) относятся к внутренним точкам шаблона и при [math]h=\text{const}[/math] переходят в (5.22), а формулы (5.33) (рекуррентные) — к крайним точкам шаблона и являются подобными формулам (5.36), справедливыми для вторых производных. На регулярном шаблоне из (5.33) при [math]h=\text{const}[/math] легко получаются явные трехинтервальные аппроксимации интегрального типа: [math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1,c}&= \frac{1}{h^2}\bigl(-2I_{i-1}^{i}+ 3I_{i}^{i+1}-I_{i+1}^{i+2}\bigr) &\quad & \left(\frac{11}{12}h^2M_{3,i}\right)\!,\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i+2,c}&= \frac{1}{h^2}\bigl(I_{i-1}^{i}-3I_{i}^{i+1}+ 2I_{i+1}^{i+2}\bigr) &\quad & \left(\frac{11}{12}h^2M_{3,i}\right)\!. \end{aligned}[/math] Последние две формулы могут быть получены также методом подобия из первой и последней формул (5.16). Их можно записать через интегральные разности, где [math]\Delta I_{k}^{k+1}= I_{k}^{k+1}-I_{k-1}^{k}[/math]: [math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1,c}&- \frac{1}{h^2}\bigl(2 \Delta I_{i}^{i+1}-\Delta I_{i+1}^{i+2}\bigr);\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i+2,c}&- \frac{1}{h^2}\bigl(2 \Delta I_{i+1}^{i+2}-\Delta I_{i}^{i+1}\bigr). \end{aligned}[/math] 2. Формулы для вторых производных второго порядка апппроксимации на шаблоне [math]H_{4,i}= (x_{i-2},x_{i-1},x_{i},x_{i+1})[/math] – для лево- и правосторонних внутренних точек [math]x_{i-1},\,x_{i}[/math] нерегулярного шаблона справедливы следующие функциональные формулы. [math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i,\nu}&= \frac{2}{a}\Big[K_{i}^{i+1} \Delta h_{i+1}f_{i-2}+ H_{i-1}^{i} h_{i+1} \bigl(H_{i-1}^{2i} h_{i-1}-H_{i}^{i+1} \Delta h_{i+1}\bigr)f_{i}\,-\\ &\qquad -\,H_{i}^{i+1} h_{i-1} \bigl(H_{i-1}^{2i} H_{i-1}^{i}-h_{i+1} \Delta h_{i}\bigr)f_{i}+ K_{i-1}^{i} H_{i-1}^{2i} f_{i+1} \Big], \end{aligned}[/math] (5.34) [math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i-1,\nu}&= \frac{2}{a}\Big[K_{i}^{i+1}H_{2i}^{i+1} f_{i-2}-h_{i+1} H_{i}^{i+1} \bigl(H_{2i}^{i+1} H_{i}^{i+1}+ h_{i-1} \Delta h_{i}\bigr)f_{i-1}\,+\\ &\qquad +\,H_{i}^{i+1} h_{i-1} \bigl(\bigr)f_{i}-K_{i-1}^{i} \Delta h_{i} f_{i+1}\Big],\end{aligned}[/math] (5.35) где [math]K_{t}^{t+1}= \Pi_{t}^{t+1}H_{t}^{t+1};~~ \Pi_{t}^{t+1}= h_{t}h_{t+1};~~t=i-1,I;~~ H_{i-1}^{2i}= h_{i-1}+2h_{i}[/math]; [math]H_{2i}^{i+1}= 2h_{i}+ h_{i+1};~~ \Delta h_{i+1}= h_{i+1}-h_{i};~~ a=H_{i-1}^{i+1} H_{i-1}^{i} H_{i}^{i+1} \Pi_{i-1}^{i+1};[/math] – для левой и правой крайних точек нерегулярного шаблона справедливы дифференциальные формулы рекуррентного типа: [math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i-2,\nu}&= \frac{H_{i-1}^{i}}{h_{i}}\cdot \widehat{f}\,''_{i-1,\nu}-\frac{h_{i-1}}{h_{i}}\cdot \widehat{f}\,''_{i,\nu};\\[4pt] \widehat{f}\,''_{i+1,\nu}&= \frac{H_{i}^{i+1}}{h_{i}}\cdot \widehat{f}\,''_{i,\nu}-\frac{h_{i+1}}{h_{i}}\cdot \widehat{f}\,''_{i-1,\nu}. \end{aligned}[/math] (5.36) Формулы (5.27), (5.28) и (5.34), (5.35) могут использоваться для расчета значений производных во внутренних точках сетки [math]\{x_{i}\},~ i=\overline{1,n-1}[/math], а (5.29), (5.30) и (5.36) — для расчета производных в крайних точках [math]x_{0},\,x_{n}[/math] сетки [math]\Omega_{n}[/math]. На регулярном шаблоне при [math]h=\text{const}[/math] последняя группа формул для аппроксимации вторых производных во внутренних точках шаблона преобразуется к традиционным: [math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i,c}&= \frac{1}{h^2}\bigl(f_{i-1}-2f_{i}+ f_{i+1}\bigr) \quad \left(\frac{h^2}{12}M_{4,i}\right)\!;\\ \widehat{f}\,''_{i-1,c}&= \frac{1}{h^2}\bigl(f_{i-2}-f_{i-1}+ f_{i}\bigr),\end{aligned}[/math] а (5.36) — к рекуррентным формулам: [math]\widehat{f}\,''_{i-2,c}= 2\widehat{f}\,''_{i-1,c}-\widehat{f}\,''_{i,c};~ \widehat{f}\,''_{i+1,c}= 2\widehat{f}\,''_{i,c}-\widehat{f}\,''_{i-1,c}[/math], а также к первой и последней формулам из (5.16), имеющим второй порядок аппроксимации. Неявные алгоритмы численного дифференцирования Путем несложного анализа параболических и кубических дифференциальных сплайнов получаются нижеследующие неявные алгоритмы вычисления первых и вторых производных сеточных функций. Значения производных могут быть получены не по явным формулам, а в результате решения трехдиагональных систем линейных алгебраических уравнений методом прогонки. Первые производные по заданной сеточной функции [math]y_{i}= f(x_{i}),~ i=\overline{0,n}[/math], можно вычислить несколькими способами: а) следствием параметрических соотношений параболических сплайнов является система линейных алгебраических уравнений относительно первых производных, где [math]\Delta f_{i}= f_{i+1}-f_{i};~ h_{i+1}= x_{i+1}-x_{i}\colon[/math] [math]\frac{h_{i}}{2}f'_{i-1}+ \frac{1}{2}(h_{i}+h_{i+1})f'_{i}+ \frac{h_{i+1}}{2}f'_{i+1}= \Delta f_{i-1}+ \Delta f_{i},\quad i=\overline{1,n-1}.[/math] (5.37) При заданных значениях производных на концах отрезка [math][x_{0},x_{n}][/math] эта система позволяет со вторым порядком аппроксимации вычислить значения первых производных [math]\widehat{f}\,'_{i}[/math] во всех внутренних точках. На регулярном шаблоне при [math]h=\text{const}[/math] эта система упрощается: [math]\widehat{f}\,'_{i-1}+ 2\widehat{f}\,'_{i}+ \widehat{f}\,'_{i+1}= \frac{2}{h}(f_{i+1}-f_{i-1}),\quad i=\overline{1,n-1};[/math] б) на регулярном шаблоне значения первых производных [math]\widehat{f}\,'_{i}[/math] со вторым порядком аппроксимации могут быть вычислены также из системы, удовлетворяющей свойству преобладания диагональных элементов: [math]\widehat{f}\,'_{i-0,5}+ 6\widehat{f}\,'_{i+0,5}+ \widehat{f}\,'_{i+1,5}= \frac{8 \Delta f_{i}}{h_{i}}\,,\quad i=\overline{1,n-1}.[/math] (5.38) Решением этой системы будут производные в узлах, сдвинутых влево на полшага. Если производные на концах неизвестны, то их необходимо предварительно вычислить с порядком не ниже второго; в) первые производные с третьим порядком аппроксимации могут быть определены из системы, являющейся следствием кубических дифференциальных сплайнов (см. (4.76)): [math]\frac{\widehat{f}\,'_{i-1}}{h_{i}}+ 2\! \left(\frac{1}{h_{i+1}}+ \frac{1}{h_{i}}\right)\! \widehat{f}\,'_{i}+ \frac{\widehat{f}\,'_{i+1}}{h_{i+1}}= 3\! \left(\frac{\Delta f_{i}}{h_{i+1}^2}+ \frac{\Delta f_{i-1}}{h_{i}^2}\right)\!,\quad i=\overline{1,n-1}.[/math] Данная система, удовлетворяющая свойству преобладания диагональных элементов, может быть замкнута либо значениями [math]\widehat{f}\,'_{0},\,\widehat{f}\,'_{n}[/math], либо двумя функционально-дифференциальными граничными соотношениями (4.77); г) первые производные со вторым порядком аппроксимации могут вычисляться также по значениям интегралов с использованием системы, подобной системе (4.72), в которой порядок производных понижен на единицу (в этом случае вместо [math]\Delta f_{i}[/math] и [math]\Delta f_{i-1}[/math] следует подставить [math]\Delta F_{i}= I_{i}^{i+1}[/math] и [math]\Delta F_{i-1}= I_{i-1}^{i}[/math]): [math]h_{i} \widehat{f}\,'_{i-1}+ 2(h_{i}+ h_{i+1}) \widehat{f}\,'_{i}+ h_{i+1} \widehat{f}\,'_{i+1}= 6\! \left(\frac{I_{i}^{i+1}}{h_{i+1}}-\frac{I_{i-1}^{i}}{h_{i}}\right)\!,\quad i=\overline{1,n-1}.[/math] (5.40) Замыкающие соотношения формируются аналогично предыдущему случаю. На регулярном шаблоне система (5.40) для [math]\widehat{f}\,'_{i}[/math] записывается через интегральные приращения: [math]\widehat{f}\,'_{i-1}+ 4\widehat{f}\,'_{i}+ \widehat{f}\,'_{i+1}= \frac{6}{h}(\Delta I_{i}^{i+1}),\quad i=\overline{1,n-1}.[/math] Вторые производные со вторым порядком аппроксимации могут быть определены из системы, являющейся следствием применения кубических дифференциальных сплайнов (см. систему (4.72)): [math]h_{i}\widehat{f}\,''_{i-1}+ 2(h_{i}+h_{i+1}) \widehat{f}\,''_{i}+ h_{i+1} \widehat{f}\,''_{i+1}= 6\! \left(\frac{\Delta f_{i}}{h_{i+1}}-\frac{\Delta f_{i-1}}{h_{i}}\right)\!,\quad i=\overline{1,n-1}.[/math] (5.41) Данная система, удовлетворяющая условию преобладания диагональных элементов, может быть замкнута либо известными значениями [math]\widehat{f}\,''_{0},\, \widehat{f}\,''_{n}[/math], либо двумя граничными соотношениями, следующими из равенства [math]\frac{\Delta \widehat{f}\,''_{i}}{h_{i+1}}= \frac{\Delta \widehat{f}\,''_{i-1}}{h_{i}}\quad \left(\frac{\widehat{f}\,''_{i+1}-\widehat{f}\,''_{i}}{h_{i+1}}= \frac{\widehat{f}\,''_{i}-\widehat{f}\,''_{i-1}}{h_{i}}\right)\!,[/math] которое записывается для трех крайних точек сетки [math]\Omega_{n}[/math], т. е. для [math](x_0,x_1,x_2)[/math] и [math](x_{n-2},x_{n-1},x_{n})[/math]. Подчеркнем, что неявные алгоритмы вычисления производных предпочтительно использовать в случае, когда для заданной сеточной функции необходимо определять производные во всех узлах. ▼ Пример 5.7 Проверить соотношение (5.37) при фиксированном [math]i[/math] путем подстановки в него степенной функции. Решение. Соотношение (5.37) является следствием применения параболических сплайнов, поэтому оно должно выполняться для сеточного представления степенной функции (параболы) [math]f(x)=x^2[/math]. Возьмем трехточечный нерегулярный шаблон [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_{i},x_{i+1})[/math] с шагами [math]h_{i+1}= 3;\quad h_{i}=2;\quad x_{i-1}=2;\quad x_{i}=4;\quad x_{i+1}=7.[/math] Значения функции [math]f(x_{k})~(k=i-1,i,i+1)[/math] и ее производной [math]\Bigl.{f'(x)}\Bigr\|_{x=x_{k}}= 2x_{k}[/math] вместе с функциональными приращениями приведены в табл. 5.3. [math]\begin{array}{\|c\|c\|c\|c\|} \multicolumn{4}{r}{\mathit{Table~5.3}}\\\hline x_{k}& f(x_{k})& \Delta f_{k}& f'(x_{k}) \\\hline x_{i-1}=2& 4& 12& 4 \\\hline x_{i}=4& 16& 33& 8 \\\hline x_{i+1}=7& 49&-&14 \\\hline \end{array}[/math] Тогда соотношению (5.37) при фиксированном [math]i[/math] и выбранном шаблоне будет соответствовать численное равенство [math]\frac{2}{2}\cdot 4+ \frac{1}{2}(2+3)\cdot 8+ \frac{3}{2}\cdot14= 12+33.[/math] В левой и правой частях получаются одинаковые значения, что свидетельствует о правильности системы (5.37). Методика вычисления производных по неявным алгоритмам 1. С учетом характера задания сеточной функции (заданы значения функции [math]y_{i}= f(x_{i}),~ i= \overline{0,n}[/math], или значения интегралов [math]I_{i}^{i+1},~ i= \overline{0,n-1}[/math]) и порядка аппроксимации [math]t[/math], который необходимо обеспечить в алгоритме, выбрать систему алгебраических уравнений относительно значений производных во всех внутренних узлах сетки. При этом, если эта система является следствием параболических сплайнов, то для первых производных [math]t=2[/math], для вторых производных [math]t=1[/math]. В случае, когда система получена из кубических сплайнов, порядок [math]t[/math] возрастает на единицу. Данные системы являются незамкнутыми (число неизвестных превышает на два число уравнений). 2. Замкнуть выбранную систему двумя граничными условиями на концах сетки [math]\Omega_{n}[/math]. Эти условия могут выбираться либо в виде явных аппроксимационных формул, либо в виде двух дополнительных алгебраических соотношений, включающих по два слагаемых с [math]f_{0}^{(p)},\, f_{1}^{(p)}[/math] и [math]f_{n-1}^{(p)},\, f_{n}^{(p)},\, p=1,\,2[/math]. При этом необходимо соблюсти соответствие порядков аппроксимации последних соотношений (или формул) и исходного порядка [math]t[/math]. 3. Решить полученную замкнутую систему линейных алгебраических уравнений трехдиагонального вида методом прогонки. Приведенная методика является составной частью построения кубического дифференциального сплайна. Она была применена при решении примера 4.13. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Методы численного дифференцирования

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Методы численного дифференцирования

Формулы на основе разложения функций по формуле Тейлора

Рассмотрим решение задач 1 и 2 численного дифференцирования на различных шаблонах.

А. Двухточечный шаблон. Выберем шаблон [math]H_{2,i}= (x_i,x_{i+1})[/math] на неравномерной сетке [math]\Omega_n[/math]. Предполагая, что [math]f(x)\in C_2[a,b][/math], разложим функцию [math]f(x)[/math] по формуле Тейлора (В.20) при [math]k=1[/math] относительно точки [math]x_i[/math] с остаточным слагаемым в форме Лагранжа и найдем выражение для [math]f_{i+1}= f(x_{i+1})\colon[/math]

[math]f_{i+1}= f_i+ h_{i+1}f'_i+ \frac{h_{i+1}^2}{2}f''(\xi),\qquad \scriptstyle{\mathsf{(5.3)}}[/math]

где [math]\xi\in(x_i,x_{i+1}),~ h_i=x_{i+1}-x_i[/math]. Отсюда получаем [math]f'_i= \frac{f_{i+1}-f_i}{h_{i+1}}-\frac{h_{i+1}}{2}f''(\xi)[/math]. Очевидно, справедлива оценка

[math]\left|-\frac{h_{i+1}}{2}f''(\xi)\right|\leqslant \frac{h_{i+1}}{2} \max_{x\in [x_i,x_{i+1}]} \bigl|f''(x)\bigr|= \frac{h_{i+1}\cdot M_{2,i}}{2}\,,[/math]

где [math]M_{2,i}= \max_{x\in [x_i,x_{i+1}]} \bigl|f''(x)\bigr|[/math]. Отсюда следует функциональная формула (функциональный оператор) для первой производной:

[math]\widehat{f}\,'_{i,c}= \frac{f_{i+1}-f_i}{h_{i+1}}\qquad \left(\frac{h_{i+1}}{2} M_{2,i}\right)\!.[/math]

(5.4)

В скобках справа от аппроксимационных операторов здесь и далее указываются правые части оценок их погрешностей. Отметим, что формула (5.4) является несимметричной, односторонней (левосторонней). Если функцию [math]f(x)[/math] разложить по формуле Тейлора относительно точки [math]x_{i+1}[/math], то получим правостороннюю формулу

[math]\widehat{f}\,'_{i+1,c}= \frac{f_{i+1}-f_i}{h}\qquad \left(\frac{h}{2} M_{2,i}\right)\!.[/math]

Б. Трехточечный шаблон. На неравномерной сетке [math]\Omega_n[/math] выбираем трехточечный (двухшаговый) шаблон [math]H_{3,i}= (x_{i-1}, x_i,x_{i+1})[/math], характеризующийся шагами [math]h_{i+1}= x_{i+1}-x_i,~ h_i=x_i-x_{i-1}[/math] и параметром его нерегулярности [math]\delta_{i+1}= h_{i+1}\!\!\not{\phantom{|}}\,h_i[/math] который в общем случае не равен единице.

Аппроксимационные функциональные (точечные) формулы второго порядка в левой крайней, центральной и правой крайней точках шаблона можно получить на основе разложения функции [math]f(x)[/math] по формуле Тейлора с остаточным слагаемым в форме Лагранжа. При этом предполагается, что [math]f(x)\in C_3[a,b][/math]. Это позволяет получить разностные дифференциальные операторы [math]\widehat{f}\,'(x_t)~ (t=i-1,i,i+1)[/math] и провести оценки их погрешностей.

Разложим функцию [math]f(x)[/math] при [math]x=x_i[/math] и [math]x=x_{i+1}[/math] по формуле Тейлора при [math]k=2[/math] относительно точки [math]x_{i-1}[/math]с остаточным слагаемым в форме Лагранжа. В результате находим соотношения, определяющие [math]f_i= f(x_i)[/math] и [math]f_{i+1}= f(x_{i+1})\colon[/math]

[math]f_i= f_{i-1}+ h_i\cdot f'_{i-1}+ \frac{h_i^2}{2}f''_{i-1}+ \frac{h_i^3}{6}f'''(\xi_{-}),[/math]

(5.5)

[math]f_{i+1}= f_{i-1}+ H_{i}^{i+1}\cdot f'_{i-1}+ \frac{(H_{i}^{i+1})^2}{2}f''_{i-1}+ \frac{(H_{i}^{i+1})^3}{6}f'''(\xi_{+}),[/math]

(5.6)

где [math]H_{i}^{i+1}= h_i+h_{i+1},~~ \xi_{-}=(x_{i-1},x_i),~~ \xi_{+}= (x_{i-1}, x_{i+1}),~~ f_{i-1}^{(p)}(x_{i-1})= f^{(p)}(x_{i-1}),~ p=0,1,2[/math].

Исключая из (5.5), (5.6) слагаемое, содержащее вторую производную, и выражая из полученного соотношения [math]f'_{i-1}[/math], получаем следующую аппроксимацию первой производной в левой крайней точке (левостороннюю формулу или оператор)

[math]\widehat{f}\,'_{i-1,\mathsf{v}}= \frac{1}{H_{i}^{i+1}}\! \left(-(2+\delta_{i+1}) f_{i-1}+ \frac{(1+\delta_{i+1})^2}{\delta_{i+1}}f_i-\delta_{i+1}^{-1}f_{i+1}\right)\!.[/math]

(5.7)

При [math]h=\text{const}~ (\delta_{i+1}=1)[/math] формула (5.7) упрощается и приводится к известному виду:

[math]\widehat{f}\,'_{i-1,\mathsf{c}}= \frac{1}{2h}\bigl(-3f_{i-1}+ 4f_i-f_{i+1}\bigr)\quad \left(\frac{h^2}{3}M_{3,i}\right)\!.[/math]

(5.8)

Данную формулу можно записать через конечные разности: [math]\widehat{f}\,'_{i-1, \mathsf{c}}= \frac{1}{2h}\bigl(3 \Delta f_{i-1}-\Delta f_i\bigr)[/math]. Здесь нижние индексы [math]\mathsf{v}[/math] и [math]\mathsf{c}[/math], относящиеся к аппроксимационным операторам (5.7) и (5.8), указывают на тип шаблона — нерегулярный [math](h_{i+1}= \text{var})[/math] и регулярный [math](h_{i+1}= \text{const})[/math]). Остаточное слагаемое для (5.7) получается равным [math]\tfrac{1}{6}h_i^2(1+\delta_{i+1})f'''(\xi),[/math] [math]\xi\in (x_{i-1}, x_{i+1})[/math] и поэтому для этой аппроксимации справедлива следующая оценка погрешности:

[math]\bigl|f'_{i-1}-\widehat{f}_{i-1, \mathsf{v}}\bigr| \leqslant \frac{1}{6} h_i^2 (1+ \delta_{i+1})M_{3,i}[/math], где [math]M_{3,i}= \max_{x\in H_{3,i}} f'''(x)[/math].

Приводимые здесь и ниже остаточные слагаемые для дифференциальных операторов также получаются путем дифференцирования остаточных слагаемых [math]R(x)[/math] интерполяционных многочленов соответствующей степени. Из (4.20) для трехточечных формул при [math]n=2[/math] следует соотношение

[math]R(x)= \frac{}{}f'''(\xi)\cdot \omega(x),\qquad \omega(x)= (x-x_{i-1})(x-x_i)(x-x_{i+1}).[/math]

Аналогично, разложив функцию [math]f(x)[/math] относительно точки [math]x_{i+1}[/math] и получив соотношения для [math]f_{i-1},\,f_i[/math], найдем [math]\widehat{f}_{i+1}[/math] — разностный оператор, аппроксимирующий первую производную [math]f'_{i+1}[/math] в правой крайней точке (правосторонняя формула):

[math]\begin{gathered}\widehat{f}_{i+1, \mathsf{v}}= \frac{1}{H_i^{i+1}}\! \left(\delta_{i+1}f_{i-1}-\frac{(1+\delta_{i+1})^2}{\delta_{i+1}} f_i+ \frac{2+\delta_{i+ 1}}{\delta_{i+1}}f_{i+1}\right)\!,\\[2pt] \widehat{f}_{i+1, \mathsf{c}}= \frac{1}{2h}\bigl(f_{i-1}-4f_i+3f_{i+1}\bigr)\quad \text{or}\quad \widehat{f}_{i+1, \mathsf{v}}= \frac{1}{2h}\bigl(3 \Delta f_i-\Delta f_{i-1}\bigr)\quad\! \left(\frac{h^2}{3} M_{3,i}\right)\!. \end{gathered}[/math]

(5.9)

Оператор [math]\widehat{f}_{i+1, \mathsf{v}}[/math] имеет остаточное слагаемое [math]\frac{h_i^2}{6} \delta_{i+1}(1+\delta_{i+1})f'''(\xi)[/math].

Разложение функции [math]f(x)[/math] относительно центральной точки [math]x_i[/math] шаблона, получение выражений для [math]f_{i-1},\,f_{i+1}[/math] и исключение из них слагаемого со второй производной приводят к следующим разностным операторам функционального типа, аппроксимирующим первую производную в центральной точке (формула центрального вида)

[math]\begin{gathered}\widehat{f}_{i, \mathsf{v}}= \frac{1}{H_{i}^{i+1}}\! \left(\delta_{i+1} \Delta f_i+ \frac{\Delta f_{i+1}}{\delta_{i+1}}\right)= \frac{1}{H_{i}^{i+1}}\! \left(-\delta_{i+1}f_{i-1}+ \frac{\delta_{i+1}^2-1}{\delta_{i+1}}f_i+ \frac{f_{i+1}}{\delta_{i+ 1}}\right)\!,\\[2pt] \widehat{f}_{i, \mathsf{c}}= \frac{1}{2h}\bigl(f_{i+1}-f_{i-1}\bigr)\quad \text{or}\quad \widehat{f}_{i, \mathsf{c}}= \frac{1}{2h}\bigl(\Delta f_{i}+ \Delta f_{i-1}\bigr)\quad\! \left(\frac{h^2}{6}M_{3,i}\right)\!. \end{gathered}[/math]

(5.10)

Оператор [math]\widehat{f}_{i, \mathsf{v}}[/math] имеет остаточное слагаемое [math]\frac{h_i^2}{6} \delta_{i+1}f'''(\xi)[/math].

Приведенные остаточные слагаемые разностных операторов обусловливают следующие оценки их погрешностей:

[math]\begin{gathered}\bigl|f'_{i-1}-\widehat{f}_{i-1, \mathsf{v}}\bigr|\leqslant \frac{h_i^2}{6} (1+\delta_{i+1})M_{3,i},\qquad \bigl|f'_{i}-\widehat{f}_{i, \mathsf{v}}\bigr|\leqslant \frac{h_i^2}{6}\delta_{i+1}M_{3,i},\\[2pt] \bigl|f'_{i+1}-\widehat{f}_{i+1, \mathsf{v}}\bigr|\leqslant \frac{h_i^2}{6} (1+\delta_{i+1})M_{3,i},\qquad M_{3,i}= \max_{x\in H_{3,i}}\bigl|f'''(x)\bigr|. \end{gathered}[/math]

(5.11)

Замечания

1. Далее в тексте оценочная константа [math]M_{p,i}[/math] для краткости будет использоваться без дополнительного ее описания. В нижнем индексе этой константы всюду указывается [math]p[/math] — порядок производной.

2. Из оценок (5.11) вытекает, что разностные операторы [math]\widehat{f}_{i-1},\, \widehat{f}_{i},\, \widehat{f}_{i+1}[/math] аппроксимируют при [math]h_{i+1}=\text{var}[/math] соответствующие производные [math]f'_{i-1},\, f'_i,\, f'_{i+1}[/math] со вторым порядком, если шаблон произвольный (безусловная аппроксимация). Если же на шаблоне с [math]\delta_{i+ 1}\ll1[/math] наложить условие, например [math]\delta_{i+1}\leqslant h_i[/math], то есть [math]h_{i+1}\leqslant h_i^2[/math], то порядок аппроксимации [math]\widehat{f}_{i},\, \widehat{f}_{i+1}[/math] может быть повышен до третьего (условная аппроксимация). Такая возможность повышения порядка аппроксимации относительно [math]h_i[/math] без увеличения количества точек шаблона обеспечивается введением в мажоранты, соответствующие аппроксимациям, параметра [math]\delta_{i+1}[/math], на который в случае необходимости можно наложить условие [math]\delta_{i+1}\leqslant h_i[/math]. При этом следует иметь в виду, что данный параметр входит в знаменатель некоторых слагаемых аппроксимационных формул (5.9), (5.10) и при его уменьшении увеличиваются погрешности арифметических операций.

3. Аппроксимации (5.8),(5.9) являются условными, так как для них справедливо условие [math]\delta_{i+1}=1[/math]. Предположим, что [math]f(x)\in C_4[a,b][/math], и разложим функцию [math]f(x)[/math] в точках [math]x_i,\,x_{i+1}[/math] на трехточечном нерегулярном шаблоне [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_i,x_{i+1})[/math] до слагаемого четвертого порядка относительно шага. Складывая эти разложения и выражая из суммы вторую производную, получаем функционально-дифференциальную формулу для второй производной:

[math]f''_i= \frac{2(f_{i-1}-2f_i+f_{i+1})}{h_{i+1}^2+ h_i^2}-\frac{2(h_{i+1}-h_i)}{h_{i+1}^2+h_i^2}f'_i-\frac{2(h_{i+1}^3-h_i^3)}{6(h_{i+1}^2+ h_i^2)}f'''_i-\frac{2(h_{i+1}^4+ h_i^4)}{4!(h_{i+1}^2+ h_i^2)} f^{(p)}(\xi).[/math]

(5.12)

Подставляя в (5.12) аппроксимационную формулу (5.10) для первой производной, находим разностный аппроксимационный оператор [math]\widehat{f}\,''_i[/math], выраженный через параметры [math]\delta_{i+1},\, h_i^2[/math] и аппроксимирующий (безусловно) вторую производную [math]f''_i[/math] на нерегулярном шаблоне с первым порядком:

[math]\widehat{f}\,''_{i,\mathsf{v}}= \frac{2}{h_i^2}\! \left(\frac{1}{1+\delta_{i+1}}f_{i-1}-\frac{1}{\delta_{i+1}}f_i+ \frac{1}{(1+\delta_{i+1})\delta_{i+1}}f_{i+1}\right)\!.[/math]

(5.13)

Выражение (5.13) можно преобразовать к виду

[math]\widehat{f}\,''_{i,\mathsf{v}}= \frac{2}{H_{i}^{i+1}}\! \left(\frac{\Delta f_i}{h_{i+1}}-\frac{\Delta f_{i-1}}{h_i}\right)= \frac{2}{H_{i}^{i+1}}\! \left[\frac{f_{i-1}}{h_i}-\left(\frac{1}{h_i}+ \frac{1}{h_{i+1}}\right)\!f_i+ \frac{f_{i+1}}{h_{i+1}}\right]\!.[/math]

Если сетка равномерная [math](\delta_{i+1}=1)[/math], то указанный порядок условной аппроксимации возрастает на единицу, так как третье слагаемое в (5.12) становится равным нулю. В этом случае из (5.13) получаем широко распространенный оператор, аппроксимирующий вторую производную на регулярном шаблоне:

[math]\widehat{f}\,''_{i,\mathsf{c}}= \frac{1}{h^2} \bigl(f_{i-1}-2f_i+f_{i+1}\bigr)\quad \text{or}\quad \widehat{f}\,''_{i,\mathsf{c}}= \frac{1}{h^2}\bigl(\Delta f_i-\Delta f_{i-1}\bigr)\quad\! \left(\frac{h^2}{12}M_{4,i}\right)\!.[/math]

(5.14)

Замечание. Из (5.12) следует, что порядок условной аппроксимации (5.13) можно повысить на единицу и на нерегулярном шаблоне, если принять [math]|\delta_{i+1}-1|<h_i[/math], то есть [math]h_i-h_i^2 \leqslant h_{i+1}\leqslant h_i+h_i^2[/math] (квазиравномерная сетка).

Как следует из приведенных выше постановок задач, в вычислительной практике аппроксимационные формулы (операторы) для производных используются для вычисления значений производных либо для замены ими соответствующих дифференциальных операторов. В связи с этим приведем методику вычисления [math]\Bigl.{f^{(p)}(x)}\Bigr|_{x=x_j}[/math].

Методика вычисления значений производных

1. Выбрать конкретную аппроксимационную формулу (или несколько разных формул), в которой порядок аппроксимации должен соответствовать заданному в задаче порядку точности [math]t[/math].

2. Выбрать наборы точек (шаблоны [math]H_{k,i}[/math]), которым принадлежат точки [math]x_j~(x_j\in H_{k,i})[/math], причем для каждого из наборов расположение точки [math]x_j[/math] должно быть зафиксировано относительно точек шаблона ([math]k[/math] — количество точек, определяющих шаблон). Эта фиксация определяется структурой формулы. Например, если формула имеет центральный тип (см. формулу (5.10)), то точка [math]x_j[/math] должна совпадать со средней точкой шаблона, а если формула левосторонняя (см. формулы (5.7) и (5.8)), то точка [math]x_j[/math] должна совпадать с левой крайней точкой шаблона и т.д.

3. В правую часть выбранной формулы (или формул) подставить значения функций и (или) интегралов, которые соответствуют выбранным точкам шаблона (шаблонов).

4. Произвести требуемые вычисления с учетом того, что количество сохраняемых цифр должно приблизительно соответствовать величине остаточного слагаемого аппроксимационной формулы и порядку точности [math]t[/math].

▼ Пример 5.1

Дана сеточная функция (табл. 5.1), являющаяся сеточным представлением формульной функции [math]y(x)=1\!\!\not{\phantom{|}}\,x[/math]. Заданы также порядок [math]t=2[/math] относительно шага [math]h[/math], который необходимо обеспечить при решении задачи, и точка [math]x_j=1,\!4[/math]. Требуется вычислить значение первой производной [math]f''(1,\!4)[/math] и второй производной [math]f'(1,\!4)[/math] с помощью различных шаблонов и соответствующих формул.

Решение. Воспользуемся вышеприведенной методикой.

[math]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \multicolumn{7}{r}{\mathit{Table~5.1}}\\\hline i& 0& 1& 2& 3& 4& 5 \\\hline x_i& 1& 1,\!2& 1,\!4& 1,\!6& 1,\!8& 2,\!0 \\\hline f_i& 1,\!000000& 0,\!83333333& 0,\!7142857& 0,\!6250000& 0,\!5555555& 0,\!500000 \\\hline \end{array}[/math]

1. Так как шаг задания сеточной функции постоянный [math]h=x_{i+1}-x_i=0,\!2[/math], точка [math]x_j=1,\!4[/math] находится внутри сетки [math]\Omega_n[/math], то для вычисления производной в этой точке выбирается вторая формула из (5.10), имеющая второй порядок аппроксимации относительно шага [math]h[/math]. При этом центральная точка шаблона совпадает с точкой [math]x_j=1,\!4[/math].

2. Выберем трехточечный шаблон [math]H_{3,i}= (x_{i-1}, x_i,x_{i+1})= (1,\!2; 1,\!4; 1,\!6)[/math], в котором

[math]x_i=1,\!4~(i=2);\quad x_{i-1}=1,\!2~(i-1=1);\quad x_{i+1}=1,\!6~ (i+1=3).[/math]

В данном шаблоне центральная точка [math]x_i=1,\!4[/math], что соответствует центральному типу аппроксимационной формулы.

3. Подсчитаем искомое значение производной по формуле (5.10):

[math]\widehat{f}\,'_{i,c}= \frac{f_{i+1}-f_{i-1}}{2h}= \frac{0,\!6250000-0,\!8333333}{2\cdot 0,\!2}\,.[/math]

4. Прежде чем выполнить вычисление, необходимо определить количество знаков, которое сохраняется при этом. Остаточное слагаемое выбранной формулы равно [math]\frac{h^2}{6} M_{3,i}[/math]. Для его вычисления необходимо сначала определить [math]M_{3,i}= \max_{[x_{i-1},x_{i+1}]}\bigl|f'''(x)\bigr|[/math]. Поэтому воспользуемся интерполяционным многочленом Ньютона с конечными разностями:

[math]f'''_i \approx N'''_3(x_i)= \frac{\Delta^3 f}{h^3}\,.[/math]

где [math]\Delta^3 f[/math] — конечная разность третьего порядка. Эта разность может быть вычислена по значениям функции [math]f_i[/math] в четырех точках. Возьмем точки [math]x_2,\, x_3,\, x_4,\, x_5[/math]. При этом будем считать, что [math]M_{3,i}\approx f'''(x_i)[/math].

Вычисление дает [math]f'''(x_i)\approx-\frac{0,\!005935}{0,\!008}=-0,\!741875[/math]. Тогда остаточное слагаемое по модулю будет равно [math]\frac{0,\!04\cdot 0,\!74405}{6}\approx 0,\!0049<0,\!01[/math].

На основе полученного приближенного значения остаточного слагаемого можно заключить, что в вычислениях ожидается одна верная цифра после запятой. Обычно в расчетах оставляют еще одну или две дополнительные цифры (в нашем примере это составляет всего 3 цифры). Оставляя три цифры после запятой, получаем результат: [math]\Bigl.{\widehat{f}\,'(x)}\Bigr|_{x=1,\!4}=-0,\!521[/math].

Фактическая абсолютная погрешность составляет

[math]\left|-0,\!521+ \frac{1}{1,\!4^2}\right|= |-0,\!521+0,\!5102|= 0,\!0108,[/math]

т.е. относительная погрешность равна [math]\frac{0,\!0108}{0,\!5102}\cdot 100\%=2,\!1\%[/math]. Если эта погрешность не устраивает вычислителя, необходимо повышать порядок точности относительно [math]h[/math], например, до [math]t=3[/math]. В дальнейшем приводятся соответствующие примеры с порядком [math]t=3[/math].

Для вычисления первой производной можно было использовать и другие формулы. При выборе шаблона [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_i,x_{i+1})= (1,\!4; 1,\!6; 1,\!8)[/math] по формуле (5.8) имеем

[math]\begin{aligned}f'(1,\!4)&= \widehat{f}\,'_{i-1,c}= \frac{1}{2h}\bigl(-3f_{i-1}+4f_i-f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{2h}\bigl[-3f(1,\!4)+ 4f(1,\!6)-f(1,\!8)\bigr]=\\ &=\frac{1}{2\cdot 0,\!2}\bigl[-3\!0,\!7142857+ 4\cdot 0,\!625-0,\!5555\bigr]=-0,\!496017. \end{aligned}[/math]

Фактическая абсолютная погрешность составляет [math]|-0,\!496017-0,\!510204|= 0,\!0142[/math], относительная погрешность равна [math]2,\!78\%[/math].

Если выбрать шаблон [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_i,x_{i+1})= (1; 1,\!2; 1,\!4)[/math], то по формуле (5.9) получаем

[math]\begin{aligned}f'(1,\!4)&\cong \widehat{f}\,'_{i+1,c}= \frac{1}{2h}\bigl(f_{i-1}-4f_i+ 3f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{2\cdot0,\!2} \bigl[f(1)-4f(1,\!2)+ 3f(1,\!4)\bigr]=\\ &= \frac{1}{0,\!4}\bigl[1,\!0-4\cdot 0,\!83333+ 3\cdot 0,\!7142857\bigr]=-0,\!476187. \end{aligned}[/math]

Фактическая абсолютная погрешность равна [math]|-0,\!476187-0,\!510204|=0,\!03401[/math], относительная погрешность составляет [math]6,\!66\%[/math].

Для вычисления второй производной можно взять формулу (5.14) на шаблоне [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_i,x_{i+1})= (1,\!2; 1,\!4; 1,\!6)\colon[/math]

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i,c}&= \frac{1}{h^2} \bigl(f_{i-1}-2f_i+ f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{0,\!2}\bigl[f(1,\!2)-2\cdot f(1,\!4)+ f(1,\!6)\bigr]=\\ &= \frac{1}{0,\!04} \bigl[0,\!8333-2\cdot 0,\!7142857+ 0,\!625\bigr]= 0,\!743965. \end{aligned}[/math]

Точное значение [math]f''(1,\!4)= \frac{1}{1,\!4^3}= 0,\!7288629[/math]. Фактическая абсолютная погрешность равна [math]0,\!0151[/math], относительная погрешность [math]2,\!07\%[/math].

Оценка погрешности аппроксимационного оператора

В вычислительной практике иногда применяют аппроксимационные формулы, порядок аппроксимации которых не известен или не приведен в используемом источнике, и в этом случае, прежде чем использовать эту формулу, нужно получить оценку ее погрешности.

Данную процедуру можно выполнить с помощью различных подходов, один из которых основан на разложении функций, входящих в правую часть оператора, по формуле Тейлора относительно той точки [math]x_j[/math], для которой записан этот оператор. Другой подход использует анализ остаточного слагаемого, полученного для интерполяционного многочлена Лагранжа. При этом рассматривается соотношение (4.19), которое дифференцируется нужное количество раз:

[math]f^{(p)}(x)= L_{n}^{(p)}+ R_{n}^{(p)}(x).[/math]

Тогда если нужно найти погрешность численного дифференцирования в точке [math]x=x_j[/math], то осуществляется подстановка [math]x=x_j[/math]. В результате находится оценка погрешности в точке

[math]\left|\Bigl.{R_n^{(p)}(x)}\Bigr|_{x=x_j}\right|\leqslant \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}\cdot \omega_n^{(p)}(x_j),[/math]

где [math]n[/math] — степень алгебраического многочлена, по которому получен аппроксимационный оператор. Если априори степень [math]n[/math] неизвестна, то она может быть определена путем подстановки в правую часть оператора произвольных узлов [math]x_i[/math] и значений [math]f(x_i)[/math] для многочленов [math]N_1(x)= ax+b;~ N_2(x)= ax^2+bx+c[/math] и т. д. Максимальная степень многочлена [math]N_n(x)[/math], для которого остаточное слагаемое равно нулю, является искомой.

Если необходимо оценить погрешность аппроксимационного оператора [math]\widehat{f}^{(p)} (x)[/math] не в точке, а на всем отрезке [math][a,b][/math], то для этого используется неравенство (4.22), которое дифференцируется [math]p[/math] раз:

[math]\max_{x\in[a,b]} \bigl|R_n^{(p)}(x)\bigr|\leqslant \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}\cdot \max_{x\in [a,b]} \bigl|\omega_n^{(p)}(x)\bigr|.[/math]

Изложим простейшую методику оценки погрешности в точке [math]x=x_j[/math], когда степень многочлена [math]L_{k-1}(x)[/math] и шаблон [math]H_{k,i}[/math], на котором этот многочлен получен, известны.

Методика оценки погрешности аппроксимационного оператора

1. На заданном шаблоне, который в общем случае имеет структуру [math]H_{k,i}= (x_{i-r}, \ldots, x_i,\ldots, x_{i+s}),~ k=r+s+1[/math], записать выражение для оценки остаточного слагаемого в точке [math]x=x_j\in H_{k,i}\colon[/math]

[math]\left|\Bigl.{R_{k-1}^{(p)}(x)}\Bigr|_{x=x_j}\right|\leqslant \frac{M_k}{k!} \left|\Bigl.{\omega_{k-1}^{(p)}(x)}\Bigr|_{x=x_j}\right|.[/math]

Здесь [math]r[/math] и [math]s[/math] — количество точек, расположенных соответственно левее и правее точки [math]x_j[/math], которая фиксируется на этом шаблоне.

2. Найти производную [math]\omega_{k-1}^{(p)}(x)= \bigl[(x-x_{i-r})(x-x_{i-r+1})\ldots (x-x_{i+s})\bigr]^{(p)}[/math].

3. В полученную производную подставить значение [math]x_j[/math]. Далее преобразовать ее, выразив через [math]h[/math] (при [math]h=\text{const}[/math]) или через параметр нерегулярности [math]\delta_{i+1}= h_{i+1}\!\!\not{\phantom{|}}\,h_i[/math], и записать окончательно оценку погрешности.

▼ Пример 5.2

Для заданного дифференциального оператора (5.8), записанного для производной в левой крайней точке шаблона [math]H_{3,i}= (x_{i-1}, x_i, x_{i+1})[/math], требуется найти остаточное слагаемое и оценить погрешность в точке [math]x_j=x_{i-1}[/math].

Решение. 1. На шаблоне [math]H_{3,i}= (x_{i-1}, x_i, x_{i+1})[/math] записываем выражение [math](k=3)\colon[/math]

[math]\left|\Bigl.{R'_2(x)}\Bigr|_{x=x_{i-1}}\right|\leqslant \frac{M_3}{3!} \left|\Bigl.{\omega'_2(x) }\Bigr|_{x=x_{i-1}}\right|[/math] или [math]\left|\Bigl.{R'_2(x)}\Bigr|_{x=x_{i-1}}\right|\leqslant \frac{M_3}{3!} \left|\Bigl.{\bigl[(x-x_{i-1})(x-x_i)(x-x_{i+1})\bigr]'}\Bigr|_{x=x_{i-1}}\right|[/math].

2. Находим производную многочлена [math]\omega_2(x)\colon[/math]

[math]\omega'_2(x)= (x-x_i)(x-x_{i+1})+ (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})+ (x-x_{i-1})(x-x_{i}).[/math]

3. Так как [math]h=\text{const}[/math], то

[math]\begin{aligned}\Bigl.{\omega'_2(x)}\Bigr|_{x=x_{i-1}}&= (x_{i-1}-x_{i})(x_{i-1}-x_{i+1})+ (x_{i-1}-x_{i-1})(x_{i-1}-x_{i})\,+\\ &\quad +\,(x_{i-1}-x_{i-1})(x_{i-1}-x_{i})= (-h)(-2h)= 2h^2. \end{aligned}[/math]

В результате получаем [math]\left|\Bigl.{R'_2(x)}\Bigr|_{x=x_{i-1}}\right|\leqslant \frac{M_3}{3}h^2[/math].

Именно эта оценка и приведена в скобках справа от формулы (5.8).

Четырехточечный шаблон

Формулы третьего порядка для первых производных на регулярном шаблоне [math]H_{4,i}= (x_{i-2},x_{i-1},x_i,x_{i+1})[/math] имеют вид:

[math]\begin{gathered}\widehat{f}\,'_{i-2,c}= \frac{1}{6h}\bigl(-11f_{i-2}+ 18f_{i-1}- 9f_i+ 2f_{i+1}\bigr)\quad \left(\frac{h^3}{4}M_{4,i}\right)\!,\\ \text{ili}\\ \widehat{f}\,'_{i-2,c}= \frac{1}{6h} \bigl(11 \Delta f_{i-2}-7 \Delta f_{i-1}+ 2 \Delta f_i\bigr);\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i-1,c}= \frac{1}{6h}\bigl(-2f_{i-2}-3f_{i-1}+6f_i-f_{i+1}\bigr)\quad \left(\frac{h^3}{12}M_{4,i}\right)\!,\\ \text{ili}\\ \widehat{f}\,'_{i-1,c}= \frac{1}{6h} \bigl(2\Delta f_{i-2}+5 \Delta f_{i-1}-\Delta f_i\bigr);\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i,c}= \frac{1}{6h}\bigl(f_{i-2}-6f_{i-1}+3f_i+ 2f_{i+1}\bigr)\quad \left(\frac{h^3}{12} M_{4,i}\right)\!,\\ \text{ili}\\ \widehat{f}\,'_{i,c}= \frac{1}{6h} \bigl(-\Delta f_{i-2}+5 \Delta f_{i-1}+ 2\Delta f_i\bigr);\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i+1,c}= \frac{1}{6h}\bigl(-2f_{i-2}+9f_{i-1}-18f_i+ 11f_{i+1}\bigr)\quad \left(\frac{h^3}{4}M_{4,i}\right)\!,\\ \text{ili}\\ \widehat{f}\,'_{i+1,c}= \frac{1}{6h} \bigl(2\Delta f_{i-2}-7 \Delta f_{i-1}+ 11\Delta f_i\bigr). \end{gathered}[/math]

(5.15)

Замечание. Вариант записи производных через конечные разности здесь и выше приведен для того, чтобы в дальнейшем можно было преобразовать эти формулы на основе теории подобия для аппроксимации (восстановления) функций по интегралам (см. замечание в конце данного раздела).

Формулы второго порядка на регулярном шаблоне для вторых производных имеют вид

[math]\begin{array}{ll}\widehat{f}\,''_{i-2,c}= \dfrac{1}{h^2}\bigl(2f_{i-2}-5f_{i-1}+ 4f_i-f_{i+1}\bigr)&\quad \left(\dfrac{11h^2}{12}M_{4,i}\right)\!,\\[8pt] \widehat{f}\,''_{i-1,c}= \dfrac{1}{h^2} \bigl(f_{i-2}-2f_{i-1}+ f_i\bigr)&\quad \left(\dfrac{h^2}{12}M_{4,i}\right)\!,\\[8pt] \widehat{f}\,''_{i,c}= \dfrac{1}{h^2}\bigl(f_{i-1}-2f_{i}+ f_{i+1}\bigr)&\quad \left(\dfrac{h^2}{12}M_{4,i}\right)\!,\\[8pt] \widehat{f}\,''_{i+1,c}= \dfrac{1}{h^2}\bigl(-f_{i-2}+ 4f_{i-1}-5f_i+ 2f_{i+1}\bigr)&\quad \left(\dfrac{11h^2}{12}M_{4,i}\right)\!. \end{array}[/math]

(5.16)

Пятиточечный шаблон

Формулы четвертого порядка для первых производных на регулярном шаблоне [math]H_{5,i}= (x_{i-2}, x_{i-1},x_i,x_{i+1},x_{i+2})[/math] имеют вид

[math]\begin{array}{ll}\widehat{f}\,'_{i-2,c}= \dfrac{1}{12h}\bigl(-25f_{i-2}+ 48f_{i-1}-36 f_i+ 16f_{i+1}-3 f_{i+2}\bigr)&\quad \left(\dfrac{h^4}{5}M_{5,i}\right)\!,\\[8pt] \widehat{f}\,'_{i-1,c}= \dfrac{1}{12h}\bigl(-3f_{i-2}-10f_{i-1}+18 f_i-6f_{i+1}+ f_{i+2}\bigr)&\quad \left(\dfrac{h^4}{20}M_{5,i}\right)\!,\\[8pt] \widehat{f}\,'_{i,c}= \dfrac{1}{12h}\bigl(f_{i-2}-8f_{i-1}+8 f_{i+1}-f_{i+2}\bigr)&\quad \left(\dfrac{h^4}{30}M_{5,i}\right)\!,\\[8pt] \widehat{f}\,'_{i+1,c}= \dfrac{1}{12h}\bigl(-f_{i-2}+ 6f_{i-1}-18 f_i+10 f_{i+1}+ 3f_{i+2}\bigr)&\quad \left(\dfrac{h^4}{20}M_{5,i}\right)\!,\\[8pt] \widehat{f}\,'_{i+2,c}= \dfrac{1}{12h}\bigl(3f_{i-2}-16f_{i-1}+36 f_i-48 f_{i+1}+ 25f_{i+2}\bigr)&\quad \left(\dfrac{h^4}{5}M_{5,i}\right)\!. \end{array}[/math]

(5.17)

Формулы третьего порядка для вторых производных на указанном шаблоне имеют вид

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i-2,c}&= \dfrac{1}{12h^2}\bigl(35f_{i-2}-104f_{i-1}+114 f_i-56 f_{i+1}+ 11f_{i+2}\bigr),\\ \widehat{f}\,''_{i-1,c}&= \dfrac{1}{12h^2}\bigl(11f_{i-2}-204f_{i-1}+6 f_i+4 f_{i+1}-f_{i+2}\bigr),\\ \widehat{f}\,''_{i,c}&= \dfrac{1}{12h^2}\bigl(-f_{i-2}+16f_{i-1}-30 f_i+16 f_{i+1}-f_{i+2}\bigr),\\ \widehat{f}\,''_{i+1,c}&= \dfrac{1}{12h^2}\bigl(-f_{i-2}+4f_{i-1}+6 f_i-20 f_{i+1}+ 11f_{i+2}\bigr),\\ \widehat{f}\,''_{i+2,c}&= \dfrac{1}{12h^2}\bigl(11f_{i-2}-56f_{i-1}+114 f_i-104 f_{i+1}+ 35f_{i+2}\bigr). \end{aligned}[/math]

(5.18)

▼ Пример 5.3

Для сеточной функции из примера 5.1 вычислить значение первой производной [math]\Bigl.{f'(x)}\Bigr|_{x_j=1,4}[/math] и второй производной [math]\Bigl.{f''(x) }\Bigr|_{x_j=1,4}[/math], используя каждую из приведенных выше формул для четырехточечного и пятиточечного шаблонов.

Решение. Для вычисления производных воспользуемся соответствующей методикой.

Используем сначала четырехточечные шаблоны.

Для шаблона [math]H_{4,i}= (x_{i-2},x_{i-1},x_i,x_{i+1})= (1,\!4; 1,\!6; 1,\!8; 2)[/math] по первой из формул (5.15) при [math]x_{i-2}=x_j[/math] имеем

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-2,c}&= \frac{1}{6h}\bigl(-11f_{i-2}+ 18f_{i-1}-9f_i+ 2f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{6\cdot0,\!2}\bigl[-11f(1,\!4)+ 18f(1,\!6)-9f(1,\!8)+ 2f(2)\bigr]=\\ &=\frac{1}{1,\!2}\bigl[-11\cdot 0,\!7142857+ 18\cdot 0,\!625-9\cdot 0,\!5555+ 2\cdot0,\!5\bigr]=-0,\!505535.\end{aligned}[/math]

Фактическая абсолютная ошибка равна [math]0,\!00467[/math], относительная погрешность [math]0,\!915\%[/math].

Значение второй производной найдем по первой из формул (5.16) при [math]x_{i-2}=x_j[/math] имеем

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i-2,c}&= \frac{1}{h^2} \bigl(2f_{i-2}-5f_{i-1}+ 4f_i-f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{0,\!2^2} \bigl[2f(1,\!4)-5f(1,\!6)+ 4f(1,\!8)-f(2)\bigr]=\\ &=\frac{1}{0,\!04} \bigl[2\cdot 0,\!7142857 — 5\cdot 0,\!625 + 4\cdot 0,\!5555 — 0,\!5\bigr]= 0,\!639285. \end{aligned}[/math]

Фактическая абсолютная ошибка равна [math]0,\!10468[/math], относительная погрешность [math]14,\!07\%[/math].

Заметим, что величина мажоранты в оценке остаточного слагаемого для использованной формулы в 11 раз больше, чем для двух других формул в (5.16), аппроксимирующих производные в точках, расположенных внутри шаблона.

Для шаблона [math]H_{4,i}= (x_{i-2}, x_{i-1}, x_i, x_{i+1})= (1,\!2; 1,\!4; 1,\!6; 1,\!8)[/math] по второй из формул (5.15) при [math]x_{i-1}= x_j[/math] получаем

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1,c}&= \frac{1}{6h} \bigl(-2f_{i-2}-3f_{i-1}+ 6f_i-f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{6\cdot 0,\!2} \bigl[-2f(1,\!2)-3f(1,\!4)+ 6f(1,\!6)-f(1,\!8)\bigr]=\\ &=\frac{1}{1,\!2} \bigl[-2\cdot 0,\!8333-3\cdot 0,\!7142857+6\cdot 0,\!625-0,\!5555\bigr]=-0,\!51256. \end{aligned}[/math]

Фактическая абсолютная ошибка равна [math]0,\!002357[/math], относительная погрешность [math]0,\!462\%[/math].

Значение второй производной найдем по формуле

[math]\widehat{f}\,''_{i-1,c}= \frac{1}{h^2}\bigl(f_{i-2}-2f_{i-1}+ f_i\bigr)= \frac{1}{0,\!2^2} \bigl[f(1,\!2)-2f(1,\!4)+ f(1,\!6)\bigr]= 0,\!743965.[/math]

Фактическая абсолютная погрешность равна [math]0,\!0151[/math], относительная погрешность [math]2,\!07\%[/math] (см. пример 5.1).

Для шаблона [math]H_{4,i}= (x_{i-2}, x_{i-1}, x_i, x_{i+1})= (1; 1,\!2; 1,\!4; 1,\!6)[/math] при [math]x_i=x_j[/math] имеем

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i,c}&= \frac{1}{6h} \bigl(f_{i-2}-6f_{i-1}+ 3f_i+ 2f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{6\cdot 0,\!3} \bigl[f(1)-6(1,\!2)+ 3f(1,\!4)+ 2f(1,\!6)\bigr]=\\ \bigl[\bigr]=\\ &=\frac{1}{1,\!2} \bigl[1,\!0-6\cdot 0,\!8333+ 3\cdot 0,\!7142857+ 2\cdot 0,\!6\bigr]=-0,\!505785. \end{aligned}[/math]

Фактическая абсолютная ошибка равна [math]0,\!00442[/math], относительная погрешность [math]0,\!866\%[/math].

Значение второй производной найдем по формуле

[math]\widehat{f}\,''_{i,c}= \frac{1}{h^2} \bigl(f_{i-1}-2f_i+ f_{i+1}\bigr)= \frac{1}{0,\!2^2} \bigl[f(1,\!2)-2f(1,\!4)+ f(1,\!6)\bigr]= 0,\!743965.[/math]

Фактическая абсолютная погрешность равна [math]0,\!0151[/math], относительная погрешность [math]2,\!07\%[/math] (см. пример 5.1).

Используем формулы (5.17),(5.18) для пятиточечного шаблона. Для шаблона [math]H_{5,i}= (x_{i-2}, x_{i-1}, x_i, x_{i+1}, x_{i+2})= (1,\!2; 1,\!4; 1,\!6; 1,\!8; 2)[/math] имеем

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1,c}&= \frac{1}{12h} \bigl(-3f_{i-2}-10f_{i-1}+18f_i-6 f_{i+1}+ f_{i+2}\bigr)=\\ &=\frac{1}{12\cdot0,\!2} \bigl[-3f(1,\!2)-10 f(1,\!4)+ 18f(1,\!6)-6f(1,\!8)+ f(2)\bigr]=\\ &=\frac{1}{2,\!4}\bigl[-3\cdot 0,\!83333-10\cdot 0,\!7142857+ 18\cdot 0,\!625-6\! 0,\!555+ 0,\!5\bigr]=-0,\!5107696. \end{aligned}[/math]

Фактическая абсолютная погрешность равна [math]0,\!000566[/math], относительная погрешность [math]0,\!11\%[/math].

Значение второй производной вычислим по формуле

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i-1,c}&= \frac{1}{12h^2}\bigl(11f_{i-2}-20f_{i-1}+ 6f_i+ 4f_{i+1}-f_{i+2}\bigr)=\\ &=\frac{1}{12\cdot 0,\!2^2} \bigl[11f(1,\!2)-20f(1,\!4)+ 6f(1,\!6)+ 4f(1,\!8)-f(2)\bigr]=\\ &=\frac{1}{0,\!48} \bigl[11\cdot 0,\!83333-20\cdot 0,\!7142857+ 6\cdot 0,\!625+ 4\cdot 0,\!5555-0,\!5\bigr]= 0,\!735241.\end{aligned}[/math]

Фактическая абсолютная погрешность равна [math]0,\!00637[/math], относительная погрешность [math]0,\!875\%[/math].

Для шаблона [math]H_{5,i}= (x_{i-2},x_{i-1},x_i, x_{i+1}, x_{i+2})= (1; 1,\!2; 1,\!4; 1,\!6; 1,\!8)[/math] получаем

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i,c}&= \frac{1}{12h} \bigl(f_{i-2}-8f_{i-1}+ 8f_{i+1}-f_{i+2}\bigr)=\\ &=\frac{1}{12\cdot 0,\!2} \bigl[f(1)-8f(1,\!2)+8f(1,\!6)-f(1,\!8)\bigr]=\\ &=\frac{1}{2,\!4} \bigl[1-8\cdot 0,\!8333+8\cdot 0,\!625-0,\!5555\bigr]=-0,\!5092.\end{aligned}[/math]

Фактическая абсолютная погрешность равна [math]0,\!00098[/math], относительная погрешность [math]0,\!192\%[/math].

Вычислим вторую производную по формуле

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{I,c}&= \frac{1}{12h^2} \bigl(-f_{i-2}+ 16f_{i-1}-30f_i+ 16f_{i+1}-f_{i+2}\bigr)=\\ &=\frac{1}{12\cdot 0,\!2^2} \bigl[-f(1)+ 16f(1,\!2)-30f(1,\!4)+ 16f(1,\!6)-f(1,\!8)\bigr]=\\ &=\frac{1}{0,\!48} \bigl(-1,\!0+ 16\cdot 0,\!83333-30\cdot 0,\!7142857+16\cdot 0,\!625-0,\!5555\bigr)= 0,\!72751.\end{aligned}[/math]

Фактическая абсолютная погрешность равна [math]0,\!00134[/math], относительная погрешность [math]0,\!18\%[/math].

Анализ точности аппроксимации показывает, что значения производных в точках, расположенных вблизи центра шаблона, вычисляются с большей точностью, чем значения производных в точках, расположенных вблизи концов шаблона. При повышении порядка аппроксимации точность вычисления производных возрастает.

Замечание. Формулы, записанные выше для аппроксимации производных через приращения функций, могут быть переписаны для восстановления функции [math]y=f(x)[/math] по значениям интегралов. С этой целью можно использовать изложенный ранее метод подобия, состоящий в соответствующем изменении порядка производной в левой и правой частях аппроксимационного выражения. Так, из оператора [math]\widehat{f}\,'_k[/math] ([math]k[/math] — номер точки шаблона) можно получить оператор [math]\widehat{f}\,'_k[/math] путем замены [math]\Delta f_{k-1}= f_k-f_{k-1}[/math] на интеграл [math]I_{k-1}^k= F_k-F_{k-1}[/math]. Проделав это, вместо формулы, следующей за (5.8), вторых из формул (5.9),(5.10) и формул (5.15) получим операторы, восстанавливающие функцию [math]y=f(x)[/math] по значениям интегралов:

[math]\begin{aligned}&\widehat{f}_{i-1,c}= \frac{1}{2h} (3I_{i-1}^{i}-I_{i}^{i+1}); &\qquad & \widehat{f}_{i,c}= \frac{1}{2h} (I_{i}^{i+1}+ I_{i-1}^{i});\\ &\widehat{f}_{i-2,c}= \frac{1}{6h} (11I_{i-2}^{i-1}-7I_{i-1}^{i}+ 2I_{i}^{i+1}); &\qquad & \widehat{f}_{i-1,c}= \frac{1}{6h} (2I_{i-2}^{i-1}+ 5I_{i-1}^{i}-I_{i}^{i+1});\\ &\widehat{f}_{i,c}= \frac{1}{6h} (-I_{i-2}^{i-1}+ 5I_{i-1}^{i}+ 2I_{i}^{i+1}); &\qquad & \widehat{f}_{i+1,c}= \frac{1}{6h} (2I_{i-2}^{i-1}-7I_{i-1}^{i}+ 11I_{i}^{i+1}). \end{aligned}[/math]

Первые две формулы имеют второй порядок аппроксимации по [math]h[/math] (они записаны на трехточечном шаблоне), а последние четыре — третий порядок (они записаны на четырехточечном шаблоне).

Вместо формулы (5.14) имеем следующую: [math]\widehat{f}_{i,c}= \frac{1}{2h}(I_{i}^{i+1}-I_{i-1}^{i})[/math]. Аналогичным путем можно найти и другие интегральные аппроксимации первой производной.

Формулы на основе разложения первообразных по формуле Тейлора

А. Двухточечный шаблон. На неравномерной сетке [math]\Omega_n[/math] рассмотрим двухточечный шаблон [math]H_{2,i}= (x_{i},x_{i+1})[/math] с шагом [math]h_{i+1}= x_{i+1}-x_{i}[/math]. Предположив, что [math]f(x)\in C_2[a,b][/math], разложим первообразную [math]F(x)[/math] относительно точки [math]x_i[/math] по формуле Тейлора при [math]k=2[/math] и найдем выражение для [math]\Bigl.{F(x)}\Bigr|_{x=x_{i+1}}= F_{i+1}\colon[/math]

[math]F_{i+1}= F_{i}+ h_{i+1}\cdot f_{i}+ \frac{h_{i+1}^2}{2}\cdot f'_{i}+ \frac{h_{i+1}^3}{6}\cdot f''(\xi),[/math]

где [math]\xi\in (x_{i},x_{i+1})[/math]. Выражая из этого разложения сначала первую производную, а затем интеграл [math]I_{i}^{i+1}= F_{i+1}-F_{i}[/math], получаем

[math]f'_{i}= \frac{2I_{i}^{i+1}}{h_{i+1}^2}-\frac{2f_{i}}{h_{i+1}}-\frac{h_{i+1}}{3}\cdot f''(\xi),\qquad I_{i}^{i+1}= h_{i+1}\cdot f_{i}+ \frac{h_{i+1}^2}{2}\cdot f'_{i}+ \frac{h_{i+1}^3}{6}\cdot f''(\xi).[/math]

Первые два слагаемых в правых частях последних двух соотношений представляют собой интегрально-функциональную (интегрально-точечную) аппроксимацию производной [math]f'_{i}[/math] и функционально-дифференциальную аппроксимацию интеграла [math]I_{i}^{i+1}[/math] соответственно:

[math]\widehat{f}\,'_{i}= \frac{2I_{i}^{i+1}}{h_{i+1}^2}-\frac{2f_{i}}{h_{i+1}}\qquad \left(\frac{h_{i+1}}{3}M_2\right)\!,[/math]

(5.19)

[math]\widehat{I}_{i}^{i+1}= h_{i+1}f_{i}+ \frac{h_{i+1}^2}{2}f'_{i}\qquad \left(\frac{h_{i+1}^3}{6}M_2\right)\!.[/math]

(5.20)

Порядки этих аппроксимаций устанавливают остаточные слагаемые в выражениях для [math]f'_{i}[/math] и [math]I_{i}^{i+1}[/math], из которых следуют оценки, правые части которых указаны в скобках рядом с формулами.

Данные оценки свидетельствуют о том, что порядок аппроксимации, обеспечиваемый (5.19), равен единице, а обеспечиваемый (5.20) равен трем при условии, что [math]I_{i}^{i+1}[/math] и [math]f_i[/math] для (5.19) известны с точностью не ниже [math]O(h_{i+1}^3)[/math] и [math]O(h_{i+1}^2)[/math], а [math]f_{i}[/math] и [math]f'_{i}[/math] для (5.20) с точностью не ниже [math]O(h_{i+1}^2)[/math] и [math]O(h_{i+1})[/math]. Этот же результат следует из рассмотренного ранее правила соответствия порядков аппроксимации математических моделей различного типа.

Замечания

1. Выразив из разложения для [math]F_{i+1}[/math] непосредственно функцию [math]f_{i}[/math], получим еще одно аппроксимационное выражение: [math]\widehat{f}_{i}= \frac{1}{h_{i+1}}\cdot I_{i}^{i+1}-\frac{h_{i+1}}{2}\cdot f'_{i},[/math] позволяющее восстанавливать со вторым порядком аппроксимации значение функции [math]f_{i}[/math] в точке [math]x_{i}[/math] по значениям [math]I_[i}^{i+1}[/math] и [math]f'_{i}[/math], известным с точностью не ниже [math]O(h_{i+1}^3)[/math] и [math]O(h_{i+1})[/math] соответственно.

2. Если в точке [math]x_{i}[/math] известны производные более высоких порядков, то могут быть построены аппроксимации [math]\widehat{f}\,'_{i},\, \widehat{I}_{i}^{i+1},\, \widehat{f}_{i}[/math] более высокого порядка, которые здесь не рассматриваются.

Б. Трехточечный шаблон. Возьмем на неравномерной сетке [math]\Omega_{n}[/math] трехточечный шаблон [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_{i},x_{i+1})[/math], характеризующийся шагами [math]h_{i+1}= x_{i+1}-x_{i},~ h_{i}= x_{i}-x_{i-1}[/math] и параметром нерегулярности [math]\Delta_{i+1}= \frac{h_{i+1}}{h_{i}}[/math]. Предположив, что [math]f(x)\in C_3[a,b][/math], найдем разложения для первообразной [math]F(x)[/math] при [math]x=x_{i+1}[/math] и [math]x=x_{i-1}[/math] относительно точки [math]x_{i}[/math] и выпишем выражения для [math]F(x_{i+1}),\, F(x_{i+1})[/math] по формуле Тейлора (В.23) при [math]k=3\colon[/math]

[math]\begin{gathered}F_{i+1}= F_{i}+ h_{i+1}\cdot f_{i}+ \frac{h_{i+1}^2}{2}\cdot f'_{i}+ \frac{h_{i+1}^3}{6}\cdot f''_{i}+ \frac{h_{i+1}^4}{24}\cdot f'''(\xi_1),\quad \xi_1\in (x_{i},x_{i+1}),\\ F_{i-1}= F_{i}- h_{i}\cdot f_{i}+ \frac{h_{i}^2}{2}\cdot f'_{i}-\frac{h_{i}^3}{6}\cdot f''_{i}+ \frac{h_{i}^4}{24}\cdot f'''(\xi_2),\quad \xi_2\in (x_{i-1},x_{i}).\end{gathered}[/math]

Умножая первое соотношение на [math]h_{i}[/math] а второе на [math]h_{i+1}[/math], складывая их с учетом равенства [math]I_{i}^{i+1}= F_{i+1}-F_{i}[/math] и разрешая относительно [math]f'_{i}[/math], получаем

[math]f'_{i}= \frac{2}{h_{i}(1+\delta_{i+1})}\! \left(\frac{I_{i}^{i+1}}{h_{i+1}}-\frac{I_{i-1}^{i}}{h_{i}}\right)-\frac{h_{i}(\delta_{i+1}-1)}{3}f''_{i}-\frac{h_{i}^2}{12(1+ \delta_{i+1})}\bigl(\delta_{i+1}^3 f'''(\xi_{i})+ f'''(\xi_2)\bigr).[/math]

Отсюда следует интегрально-дифференциальная аппроксимационная формула для первой производной [math]f'_{i}[/math] на нерегулярном шаблоне:

[math]\widehat{f}\,'_{i,\nu}= \frac{2}{h_{i}(1+ \delta_{i+1})}\! \left(\frac{I_{i}^{i+1}}{h_{i+1}}-\frac{I_{i-1}^{i}}{h_{i}}\right)-\frac{h_{i}(\delta_{i+1}-1)}{3} f''_{i}.[/math]

(5.21)

Формула (5.21) при заданных интегралах [math]I_{i}^{i+1},\, I_{i-1}^{i}[/math] (известных с точностью не ниже [math]O(h_{i+1}^3)[/math] и [math]O(h_{i}^3)[/math] и производной [math]f''_{i}[/math] (известной с точностью не ниже первого порядка) аппроксимирует первую производную [math]f'_{i}[/math] на нерегулярном шаблоне со вторым порядком (безусловная аппроксимация).

При условной аппроксимации, когда [math]\delta_{i+1}=1[/math] (равномерная сетка), из (5.21) следует интегральная аппроксимационная формула для первой производной [math]f'_{i}[/math] на регулярном шаблоне:

[math]\widehat{f}_{i,c}= \frac{1}{h^2}(I_{i}^{i+1}-I_{i-1}^{i})\quad \left(\frac{h^2}{12}M_3\right)\!.[/math]

(5.22)

Эта формула аппроксимирует первую производную [math]f'_{i}[/math] со вторым порядком.

Из сопоставления мажорант оценок аппроксимационных операторов [math]\widehat{f}_{i,c}[/math] (см. (5.10)) и [math]\widehat{f}_{i,c}[/math] (см. (5.22)) вытекает, что они имеют одинаковый (второй) порядок аппроксимации, однако, мажоранта или остаточное слагаемое оператора интегрального типа содержит константу [math](1\!\!\not{\phantom{|}}\,12)[/math], в два раза меньшую соответствующей константы в мажоранте оператора точечного (функционального) типа.

Замечание. При условии [math]f(x)\in C_2[a,b][/math] на регулярном шаблоне из разложения первообразных получается аппроксимационная интегрально-функциональная формула для второй производной:

[math]\widehat{f}\,''_{i}= \frac{3}{h^2}\cdot I_{i-1}^{i+1}-\frac{6}{h^2}\cdot f_{i}\quad \bigl(O(h)\bigr),[/math]

(5.23)

из которой можно выразить интеграл [math]I_{i-1}^{i+1}[/math] через значения функции [math]f_{i}[/math] и производной [math]f''_{i}\colon\, \widehat{I}_{i-1}^{i+1}= 2hf_{i}+ \frac{h^3}{3}f''_{i}[/math].

▼ Примеры 5.4-5.5

Пример 5.4. Пусть некоторая функция (взята функция [math]f(x)=x^3[/math]) на трехточечном шаблоне [math]x_1=1;~ x_2=1,\!5;~ x_3=2[/math] [math](h=0,\!5=\text{const})[/math] задана двумя независимыми способами:

1) значениями функции [math]f_1=1;~ f_2=3,\!375;~ f_3=8[/math];

2) значениями интегралов на двух соседних отрезках: на отрезке [math][x_1,x_2]\colon I_1^2= 1,\!015625[/math], а на отрезке [math][x_2,x_3]\colon I_2^3=2,\!734375[/math] (значения функций [math]f(x_{i})[/math] и интегралов вычислены по [math]f(x)=x^3[/math] точно).

Требуется найти значение производной [math]\Bigl.{f'(x)}\Bigr|_{x=1,5}[/math] с помощью функциональной и интегральной аппроксимаций.

Решение

Для определения [math]\Bigl.{f'(x)}\Bigr|_{x=1,5}[/math] сначала воспользуемся функциональной аппроксимационной формулой (5.10):

[math]\widehat{f}_{2,c}= \frac{f_3-f_1}{2h}= \frac{8-1}{2\cdot 0,\!5}= \frac{7}{1}=7\quad (3,\!7\%).[/math]

Применим интегральную формулу (5.22):

[math]\widehat{f}_{2,c}= \frac{I_2^3-I_1^2}{h^2}= \frac{2,\!734375-1,\!015625}{0,\!25}= 6,\!875\quad (1,\!8\%).[/math]

В скобках, сразу за численными результатами значений производных указана относительная погрешность в процентах. Из сопоставления полученных приближенных значений с точными следует, что интегральная аппроксимация дает лучший результат.

Пример 5.5. Пусть сеточная функция (табл. 5.2), являющаяся представлением [math]f(x)=x^4[/math], задана интегралами на отрезках [math][x_{i},x_{i+1}]~ (i=1,2,3),~h=1[/math].

Решение

Требуется вычислить производную [math]\Bigl.{f'(x)}\Bigr|_{x=2}[/math] с использованием интегральной формулы (5.22), имеющей второй порядок аппроксимации.

Вычисление производной основывается на методике, изложенной выше.

1. Так как в задаче указан конкретный аппроксимационный оператор, то выбор формулы осуществлять не нужно.

2. Формула (5.22) записана через значение двух интегралов [math]I_{i-1}^{i}[/math] и [math]I_{i}^{i+1}[/math], что соответствует двухшаговому (трехточечному) шаблону [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_{i},x_{i+1})[/math], в котором

[math]x_{i}=2~ (i=2),\qquad x_{i-1}=1~ (i-1=1),\quad x_{i+1}=3~ (i+1=2).[/math]

В данном шаблоне центральная точка [math]x_{i}=2[/math] совпадает с точкой [math]x_{j}=2[/math].

3. Получим искомое значение [math]\widehat{f}\,'= \frac{I_[i}^{i+1}-I_{i-1}^{i}}{h^2}= \frac{211\!\!\not{\phantom{|}}\,5-31\!\!\not{\phantom{|}}\,5}{1}= \frac{180}{5}=36[/math]. Здесь вычисления выполнены точно, хотя результат является приближенным.

4. Используя точное значение производной [math]f'(2)=32[/math], можно получить фактическую погрешность результата [math]\frac{|36-32|}{32}\cdot 100\%=12,\!5\%[/math].

Оценка погрешности дифференциальных операторов

Изложенная ранее методика определения остаточного слагаемого основана на соответствующей теореме для интерполяционного многочлена Лагранжа. Полезно рассмотреть и другой способ получения оценки погрешности, использующей разложение функций по формуле Тейлора.

Методика оценки погрешности дифференциальных операторов на основе разложения функции по формуле Тейлора

1. Составить разность [math]f_{i}^{(p)}-\widehat{f}_{i}^{(p)}[/math], где [math]\widehat{f}_{i}^{(p)}[/math] — обозначение оператора, в качестве которого может быть принят оператор как функционального типа, так и интегрального или интегрально-функционального, а [math]f_{i}^{(p)}[/math] — точное значение производной.

2. Все функции, входящие в [math]\widehat{f}_{i}^{(p)}[/math] разложить по формуле Тейлора с остаточным слагаемым в форме Лагранжа относительно точки [math]x_{i}[/math], в которой записан [math]\widehat{f}_{i}^{(p)}[/math]. Если оператор [math]\widehat{f}_{i}^{(p)}[/math] выражается через интегралы, то они записываются через разности первообразных [math]\bigl(F(x)\bigr)[/math]. При этом предполагается, что функции [math]f(x),\, F(x)[/math] являются непрерывными, и для них существуют непрерывные производные соответствующего порядка.

3. Подставить разложения функции в разность (см. п. 1) и выполнить ее преобразование, в процессе которого получается остаточное слагаемое.

4. На основе остаточного слагаемого оценить погрешность аппроксимации.

▼ Пример 5.6

Для заданного дифференциального оператора (5.22) [math]\widehat{f}\,'_{i}= \frac{I_{i}^{i+1}-I_{i-1}^{i}}{h^2}[/math], записанного на шаблоне [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_{i},x_{i+1})[/math], найти остаточное слагаемое и оценить погрешность в точке [math]x_{j}=x_{i}[/math].

Решение. 1. Составим разность [math]f'_{i}-\widehat{f}\,'_{i}= f'_{i}-\frac{1}{h^2}(I_{i}^{i+1}-I_{i-1}^{i})[/math], где [math]f'_{i}[/math] — точное значение производной, а [math]\widehat{f}\,'_{i}[/math] — аппроксимирующий ее оператор.

2. Интегралы заменим разностями первообразных:

[math]I_{i}^{i+1}= F_{i+1}-F_{i}\quad \bigl(F_{i+1}= F(x_{i+1}),~ F_{i}= F(x_{i})\bigr),\qquad I_{i-1}^{i}= F_{i}-F_{i-1}.[/math]

Функцию [math]F(x)[/math] при [math]x=x_{i},~ x=x_{i+1}[/math] разложим по формуле Тейлора с остаточным слагаемым в форме Лагранжа относительно точки [math]x_{i}[/math] и выпишем выражения для [math]F(x_{i+1}),~ F(x_{i-1})[/math], где [math]\xi_{+}= (x_{i},x_{i+1}),~ \xi_{-}\in (x_{i-1},x_{i})\colon[/math]

[math]\begin{aligned}F(x_{i+1})&= F_{i}+ h\cdot f_{i}+ \frac{h^2}{2}\cdot f'_{i}+ \frac{h^3}{6}\cdot f''_{i}+ \frac{h^4}{24}\cdot f'''_{i}(\xi_{+}),\\ F(x_{i-1})&= F_{i}-h\cdot f_{i}+ \frac{h^2}{2}\cdot f'_{i}-\frac{h^3}{6}\cdot f''_{i}+ \frac{h^4}{24}\cdot f'''_{i}(\xi_{-}). \end{aligned}[/math]

3. Подставим данные разложения в разность, составленную в п. 1, и осуществим преобразования:

[math]\begin{aligned} f'_{i}&= \left(F_{i}+ hf_{i}+ \frac{h^2}{2}f'_{i}+ \frac{h^3}{6}f''_{i}+ \frac{h^4}{24}f'''_{i}(\xi_{+})-F_{i}-F_{i}+ F_{i}-hf_{i}+ \frac{h^2}{2}f'_{i}-\frac{h^3}{6}f''_{i}+ \frac{h^4}{24}f'''_{i}(\xi_{-})\right)=\\ &= \frac{h^2}{24}\bigl(f'''(\xi_{+})+ f'''(\xi_{-})\bigr). \end{aligned}[/math]

Применяя теорему о среднем (см. утверждение В.1), находим остаточное слагаемое

[math]f'_{i}-\widehat{f}\,'_{i}= \frac{h^2}{12}f'''(\xi_{i}),\quad \xi_{i}\in (x_{i-1},x_{i}).[/math]

4. С помощью последнего соотношения получим оценку погрешности аппроксимации интегральным оператором (5.22), где [math]M_{3,i}= \max_{x\in [x_{i-1},x_{i}]} \bigl|f'''(x)\bigr|\colon[/math]

[math]\left|f'_{i}-\frac{1}{h^2}(I_{i}^{i+1}-I_{i-1}^{i})\right|\leqslant \frac{M_{3,i}}{12}\cdot h^2.[/math]

Формулы, полученные на основе сплайнов

А. Двухточечный шаблон. Из рассмотрения интегрально-дифференциальных сплайн-многочленов второй степени в работе получены интегрально-функциональные аппроксимационные формулы для первых производных на двухточечном шаблоне [math]H_{2,i}= (x_{i},x_{i+1})\colon[/math]

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1}&= \frac{6}{h_{i}^2}\cdot I_{i-1}^{i}-\frac{2}{h_{i}}\cdot (2f_{i-1}+ f_{i});\\ \widehat{f}\,'_{i}&= \frac{2}{h_{i}}\cdot (f_{i-1}+ 2f_{i})-\frac{6}{h_{i}^2}\cdot I_{i-1}^{i}. \end{aligned}[/math]

(5.24)

Формулы (5.24) в силу их одноинтервального характера могут использоваться при [math]h_{i}= \text{const}[/math], если значение интеграла [math]I_{i-1}^{i}[/math] либо известно, либо заранее вычислено с точностью не ниже [math]O(h_{i}^4)[/math]. Для операторов [math]\widehat{f}\,'_{i-1},\, \widehat{f}\,'_{i}[/math] справедливы оценки

[math]\bigl|\widehat{f}\,'_{k}-f'_{k}\bigr|\leqslant \frac{h_{i}^2}{12}\cdot M_{3,i},\quad k=i-1,i.[/math]

Замечание. Из (5.24) можно выразить величину [math]I_{i-1}^{i}[/math], и тогда получаются следующие функционально-дифференциальные квадратурные формулы:

[math]\begin{aligned}I_{i-1}^{i}&= \frac{h_{i}}{3}\cdot (2f_{i-1}+ f_{i})+ \frac{h_{i}^2}{6}\cdot f'_{i-1},\\ I_{i-1}^{i}= \frac{h_{i}}{3}\cdot (f_{i-1}+ 2f_{i})-\frac{h_{i}^2}{6}\cdot f'_{i}. \end{aligned}[/math]

Б. Трехточечный шаблон. Из рассмотрения интегрально-дифференциальных сплайн-многочленов третьей степени на трехточечном шаблоне [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_{i}, x_{i+1})[/math] получены следующие интегрально-функциональные формулы:

– для левой, центральной и правой точек нерегулярного шаблона аппрокси-мационные формулы для первой производной имеют вид

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1,\nu}&= \frac{1}{H_{i}^{i+1}}\left[4\! \left(\frac{h_{i}}{h_{i+1}^2}I_{i}^{i+1}+ \frac{2H_{i}^{i+1}+h_{i}}{h_{i}^2}I_{i-1}^{i}\right)-\left(\frac{h_{i}}{h_{i+1}}f_{i+1}+ \frac{3(H_{i}^{i+1})^2}{h_{i}h_{i+1}}f_{i}+ \frac{5H_{i}^{i+1}+h_{i}}{h_{i}}f_{i-1}\right)\right]\!,\\[4pt]
\widehat{f}\,'_{i,\nu}&= \frac{1}{H_{i}^{i+1}}\left[4\! \left(\frac{h_{i}}{h_{i+1}^2}I_{i}^{i+1}-\frac{h_{i+1}}{h_{i}^2}I_{i-1}^{i}\right)-\left(\frac{h_{i}}{h_{i+1}}f_{i+1}+ \frac{3(h_{i}^2-h_{i+1}^2)}{h_{i}h_{i+1}}f_{i}-\frac{h_{i+1}}{h_{i}}f_{i-1}\right)\right]\!,\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i+1,\nu}&= \frac{1}{H_{i}^{i+1}}\left[-4\! \left(\frac{2H_{i}^{i+1}+ h_{i+1}}{h_{i+1}^2}I_{i}^{i+1}+ \frac{h_{i+1}}{h_{i}^2}I_{i-1}^{i}\right)+ \left(\frac{5H_{i}^{i+1}+ h_{i+1}}{h_{i+1}}f_{i+1}+ \frac{3(H_{i}^{i+1})^2}{h_{i}h_{i+1}}f_{i}+ \frac{h_{i+1}}{h_{i}}f_{i-1}\right)\right]\!;\end{aligned}[/math]

– для левой, центральной и правой точек регулярного шаблона аппрокси-мационные формулы для первой производной принимают форму

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1,c}&= \frac{1}{2h}\! \left[\frac{4}{h}(I_{i}^{i+1}+ 5I_{i-1}^{i})-(f_{i+1}+ 12f_{i}+ 11f_{i-1})\right] &\quad & \left(\frac{h^3}{60}M_{4,i}\right)\!,\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i,c}&= \frac{1}{2h}\! \left[\frac{4}{h}(I_{i}^{i+1}-I_{i-1}^{i})-(f_{i+1}-f_{i-1})\right]= \frac{1}{2h}\! \left[\frac{4}{h} \Delta I_{i}^{i+1}-(\Delta f_{i}+ \Delta f_{i-1})\right] &\quad & \left(\frac{h^4}{360}M_{5,i}\right)\!,\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i+1,c}&= \frac{1}{2h}\! \left[-\frac{4}{h}(5I_{i}^{i+1}+ I_{i-1}^{i})+ (11f_{i+1}+ 12f_{i}+ f_{i-1})\right] &\quad & \left(\frac{h^3}{60}M_{4,i}\right)\!; \end{aligned}[/math]

– для левой, центральной и правой точек нерегулярного шаблона аппрокси-мационные формулы для второй производной имеют вид

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i-1,\nu}&= \frac{6}{H_{i}^{i+1}}\! \left[-4\! \left(\frac{1}{h_{i+1}^2}I_{i}^{i+1}+ \frac{H_{2i}^{i+1}}{h_{i}^3}I_{i-1}^{i}\right)+ \frac{1}{h_{i+1}}f_{i+1}+ \frac{H_{i}^{i+1}(2H_{i}^{i+1}+ h_{i})}{h_{i}^2h_{i+1}}f_{i}+ \frac{2H_{i}^{i+1}+ h_{i}}{h_{i}^2}f_{i-1}\right]\!,\\[4pt] \widehat{f}\,''_{i,\nu}&= \frac{6}{H_{i}^{i+1}}\! \left[4\! \left(\frac{1}{h_{i+1}^2}I_{i}^{i+1}+ \frac{1}{h_{i}^2}I_{i-1}^{i}\right)-\left(\frac{1}{h_{i+1}}f_{i+1}+ \frac{3H_{i}^{i+1}}{h_{i+1}h_{i}}f_{i}+ \frac{1}{h_{i}}f_{i-1}\right)\right]\!,\\[4pt] \widehat{f}\,''_{i+1,\nu}&= \frac{6}{H_{i}^{i+1}}\! \left[-4\! \left(\frac{H_{i}^{2(i+1)}}{h_{i+1}^3}I_{i}^{i+1}+ \frac{1}{h_{i}^2}I_{i-1}^{i}\right)+ \frac{2H_{i}^{i+1}+ h_{i+1}}{h_{i+1}^2}f_{i+1}+ \frac{H_{i}^{i+1}(2H_{i}^{i+1}+ h_{i+1})}{h_{i}h_{i+1}^2}f_{i}+ \frac{f_{i-1}}{h_{i}}\right]\!; \end{aligned}[/math]

– для левой, центральной и правой точек регулярного шаблона аппроксима-ционные формулы для второй производной принимают форму

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i-1,c}&= \frac{3}{h^2}\! \left[-\frac{4}{h}(I_{i}^{i+1}+ 3I_{i-1}^{i})+ (f_{i+1}+ 10f_{i}+ 5f_{i-1})\right] &\quad & \left(\frac{7h^2}{20}M_{4,i}\right)\!,\\[4pt] \widehat{f}\,''_{i,c}&= \frac{3}{h^2}\! \left[\frac{4}{h}(I_{i}^{i+1}+ I_{i-1}^{i})+ (f_{i+1}+ 6f_{i}+ f_{i-1})\right] &\quad & \left(\frac{h^2}{20}M_{4,i}\right)\!,\\[4pt] \widehat{f}\,''_{i+1,c}&= \frac{3}{h^2}\! \left[-\frac{4}{h}(3I_{i}^{i+1}+ I_{i-1}^{i})+ (5f_{i+1}+ 10f_{i}+ f_{i-1})\right] &\quad & \left(\frac{7h^2}{20}M_{4,i}\right)\!. \end{aligned}[/math]

Подчеркнем, что правые части данных аппроксимационных соотношений записаны через интегралы [math]I_{i-1}^{i},\, I_{i}^{i+1}[/math] на двух смежных отрезках, составляющих шаблон, и через значения функций в точках этого шаблона. Если известны интегралы и значения самой функции, то по этим формулам можно вычислить первые производные с третьим порядком, а вторые производные — со вторым (остаточные слагаемые некоторых аппроксимационных формул указаны в скобках, расположенных рядом с этими формулами). При этом формула для [math]\widehat{f}\,'_{i,c}[/math], имеющая симметричный вид относительно центральной точки х, и содержащая интегральные и функциональные разности, обеспечивает повышенный (четвертый) порядок аппроксимации. Если интегралы для исследуемой функции неизвестны, они должны быть предварительно рассчитаны с порядком, по крайней мере на два превышающим порядок аппроксимации дифференциальных операторов.

Замечание. В вычислительной практике могут оказаться полезными еще два аппроксимационных оператора [math]\widehat{f}\,''_{L(\Pi),\nu},\, \widehat{f}\,''_{i,c}\colon[/math]

[math]\widehat{f}\,''_{L(\Pi),\nu}= \frac{6}{h_{i+1}^2}(f_{i}+ f_{i+1})-\frac{12}{h_{i+1}^3}I_{i}^{i+1}\quad \left(\frac{h_{i+1}}{2}M_{3,i}\right)\!,[/math]

(5.25)

[math]\widehat{f}\,''_{i,c}= \frac{3}{2h^2}(f_{i}+ f_{i+1})-\frac{3}{2h_{i}}I_{i-1}^{i+1}\quad \left(\frac{h^2}{10}M_{4,i}\right)\!,[/math]

(5.26)

где [math]\widehat{f}\,''_{L(\Pi),\nu}[/math] — лево- или правосторонний оператор, а [math]\widehat{f}\,''_{i,c}[/math] — центральный оператор, записанный на трехточечном шаблоне при [math]h=\text{const}[/math].

В. Четырехточечный шаблон. Выше приведены формулы численного дифференцирования на трехточечном (или для некоторых формул на двухточечном) шаблоне, имеющие порядок аппроксимации [math]h^{3-(p-1)}[/math], где [math]p[/math] — порядок производных, для которых записаны эти формулы. В дополнение к изложенному материалу приведем формулы, аппроксимирующие производную [math]f^{(p)}~(p=1,\,2)[/math] с порядками [math]h^{3-(p-1)}[/math] на четырехточечном шаблоне. Данные формулы получены путем анализа кубических дифференциальных и интегрально-дифференциальных сплайнов.

1. Формулы для первых производных третьего порядка аппроксимации на шаблоне [math]H_{4,i}= (x_{i-2},x_{i-1},x_{i},x_{i+1})\colon[/math]

– для лево- и правосторонних внутренних точек [math]x_{i-1},\,x_{i}[/math] нерегулярного шаблона справедливы функциональные формулы:

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1,\nu}&= \frac{1}{a} \Big[\!-\!h_{i}^2h_{i+1}^2(H_{i}^{i+1})^2f_{i-2}+ h_{i+1}\bigl[h_{i}^2(H_{i}^{i+1})^2-h_{i-1}^2K_{2i-1}^2\bigr]f_{i-1}\,+\\ &\qquad +h_{i-1}^2 \bigl(h_{i}^2H_{i-1}^{i}+ K_{2i-1}^{2}h_{i+1}\bigr)f_{i}-h_{i}^2h_{i-1}^2H_{i-1}^{i}f_{i+1}\Big], \end{aligned}[/math]

(5.27)

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i,\nu}&= \frac{1}{a} \Big[h_{i}^2h_{i+1}^2H_{i}^{i+1}f_{i-2}-h_{i+1}^2\bigl(h_{i}^2H_{i}^{i+1}+ h_{i-1}^2K_{2i}^2\bigr)f_{i+1}\,+\\ &\qquad +h_{i-1}^2 \bigl[h_{i+1}^2K_{2i}^2-h_{i}^2(H_{i-1}^{i})^2\bigr]f_{i}+ h_{i}^2h_{i-1}^2(H_{i-1}^{i})^2f_{i+1}\Big], \end{aligned}[/math]

(5.28)

где [math]a= H_{i-1}^{i+1}H_{i-1}^{i}H_{i}^{i+1}\Pi_{i-1}^{i+1};~~ K_{2i}^2= h_{i-1}(H_{i-1}^{i+1}+2h_{i})+ h_{i}(2H_{i}^{i+1}+ h_{i})[/math];
[math]K_{2i-1}^2= h_{i+1}(H_{i-1}^{i+1}+ 2h_{i})+ h_{i}(2H_{i-1}^{i}+h_{i});~~ \Pi_{i-1}^{i+1}= h_{i-1}h_{i}h_{i+1};~~ H_{i-1}^{i+1}= h_{i-1}+ h_{i}+ h_{i+1};[/math]

– для левой и правой крайних точек [math]x_{i-2},\,x_{i+1}[/math] нерегулярного шаблона справедливы функционально-дифференциальные формулы рекуррентного типа:

[math]\widehat{f}\,'_{i-2,\nu}= \frac{h_{i-1}^2}{H_{i-1}^{i}}\! \left(\frac{2H_{i-1}^{i}+ h_{i-1}}{h_{i-1}^3} \Delta f_{i-2}+ \frac{\Delta f_{i-1}}{h_{i}^2}\right)-\frac{H_{i-1}^{i}}{h_{i}} \widehat{f}\,'_{i-1},[/math]

(5.29)

[math]\widehat{f}\,'_{i+1,\nu}= \frac{h_{i+1}^2}{H_{i}^{i+1}}\! \left(\frac{2H_{i}^{i+1}+ h_{i+1}}{h_{i+1}^3} \Delta f_{i}+ \frac{\Delta f_{i-1}}{h_{i}^2}\right)-\frac{H_{i}^{i+1}}{h_{i}} \widehat{f}\,'_{i}.[/math]

(5.30)

На регулярном четырехточечном шаблоне при [math]h=\text{const}[/math] формулы (5.27) – (5.30) упрощаются и сводятся к формулам (5.15). Можно показать, что (5.27) – (5.30), так же как и формулы (5.15), имеют третий порядок аппроксимации.

Параболические и кубические интегрально-дифференциальные сплайны позволяют сконструировать интегральные формулы численного дифференцирования.

На четырехточечном нерегулярном шаблоне [math]H_{4,i+1}= (x_{i-1},x_{i},x_{i+1},x_{i+2})[/math] получаются следующие интегральные и рекуррентные формулы для первых производных:

[math]\widehat{f}\,'_{i}= \frac{2}{A}\! \left[\frac{h_{i}^2-h_{i+1}^2}{h_{i+2}}I_{i-1}^{i+2}+ \bigl[3h_{i+1}H_{i+1}^{i+2}+ (h_{i+2}^2-h_{i}^2)\bigr]\frac{1}{h_{i+1}}I_{i}^{i+1}-\frac{H_{i+1}^{i+2} H_{2(i+1)}^{i+2}}{h_{i}}I_{i-1}^{i}\right]\!,[/math]

(5.31)

[math]\widehat{f}\,'_{i+1}= \frac{2}{A}\! \left[\frac{H_{i}^{i+1} H_{i}^{2(i+1)}}{h_{i+2}}I_{i+1}^{i+2}-\frac{3h_{i+1}H_{i}^{i+1}+ (h_{i}^2-h_{i+2}^2)}{h_{i+1}}I_{i}^{i+1}+ \frac{h_{i+1}^2-h_{i+2}^2}{h_{i}}I_{i-1}^{i}\right]\!,[/math]

(5.32)

[math]\widehat{f}\,'_{i-1}= \frac{H_{i-1}^{i}}{h_{i}}\widehat{f}\,'_{i}-\frac{h_{i-1}}{h_{i}}\widehat{f}\,'_{i+1};\qquad \widehat{f}\,'_{i+2}= \frac{H_{i+1}^{i+2}}{h_{i}} \widehat{f}\,'_{i+1}-\frac{h_{i+2}}{h_{i+1}}\widehat{f}\,'_{i}.[/math]

(5.33)

где [math]A= h_{i+1}^2 \bigl(2h_{i}+ h_{i+1}+ 2h_{i+2}\bigr)+ h_{i+1} \bigl(h_{i}^2+ h_{i+2}^2\bigr)+ h_{i}h_{i+2} \bigl(h_{i}+ 3h_{i+1}+ h_{i+2}\bigr)[/math].

Формулы (5.31),(5.32) относятся к внутренним точкам шаблона и при [math]h=\text{const}[/math] переходят в (5.22), а формулы (5.33) (рекуррентные) — к крайним точкам шаблона и являются подобными формулам (5.36), справедливыми для вторых производных.

На регулярном шаблоне из (5.33) при [math]h=\text{const}[/math] легко получаются явные трехинтервальные аппроксимации интегрального типа:

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1,c}&= \frac{1}{h^2}\bigl(-2I_{i-1}^{i}+ 3I_{i}^{i+1}-I_{i+1}^{i+2}\bigr) &\quad & \left(\frac{11}{12}h^2M_{3,i}\right)\!,\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i+2,c}&= \frac{1}{h^2}\bigl(I_{i-1}^{i}-3I_{i}^{i+1}+ 2I_{i+1}^{i+2}\bigr) &\quad & \left(\frac{11}{12}h^2M_{3,i}\right)\!. \end{aligned}[/math]

Последние две формулы могут быть получены также методом подобия из первой и последней формул (5.16). Их можно записать через интегральные разности, где [math]\Delta I_{k}^{k+1}= I_{k}^{k+1}-I_{k-1}^{k}[/math]:

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,'_{i-1,c}&- \frac{1}{h^2}\bigl(2 \Delta I_{i}^{i+1}-\Delta I_{i+1}^{i+2}\bigr);\\[4pt] \widehat{f}\,'_{i+2,c}&- \frac{1}{h^2}\bigl(2 \Delta I_{i+1}^{i+2}-\Delta I_{i}^{i+1}\bigr). \end{aligned}[/math]

2. Формулы для вторых производных второго порядка апппроксимации на шаблоне [math]H_{4,i}= (x_{i-2},x_{i-1},x_{i},x_{i+1})[/math]

– для лево- и правосторонних внутренних точек [math]x_{i-1},\,x_{i}[/math] нерегулярного шаблона справедливы следующие функциональные формулы.

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i,\nu}&= \frac{2}{a}\Big[K_{i}^{i+1} \Delta h_{i+1}f_{i-2}+ H_{i-1}^{i} h_{i+1} \bigl(H_{i-1}^{2i} h_{i-1}-H_{i}^{i+1} \Delta h_{i+1}\bigr)f_{i}\,-\\ &\qquad -\,H_{i}^{i+1} h_{i-1} \bigl(H_{i-1}^{2i} H_{i-1}^{i}-h_{i+1} \Delta h_{i}\bigr)f_{i}+ K_{i-1}^{i} H_{i-1}^{2i} f_{i+1} \Big], \end{aligned}[/math]

(5.34)

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i-1,\nu}&= \frac{2}{a}\Big[K_{i}^{i+1}H_{2i}^{i+1} f_{i-2}-h_{i+1} H_{i}^{i+1} \bigl(H_{2i}^{i+1} H_{i}^{i+1}+ h_{i-1} \Delta h_{i}\bigr)f_{i-1}\,+\\ &\qquad +\,H_{i}^{i+1} h_{i-1} \bigl(\bigr)f_{i}-K_{i-1}^{i} \Delta h_{i} f_{i+1}\Big],\end{aligned}[/math]

(5.35)

где [math]K_{t}^{t+1}= \Pi_{t}^{t+1}H_{t}^{t+1};~~ \Pi_{t}^{t+1}= h_{t}h_{t+1};~~t=i-1,I;~~ H_{i-1}^{2i}= h_{i-1}+2h_{i}[/math];
[math]H_{2i}^{i+1}= 2h_{i}+ h_{i+1};~~ \Delta h_{i+1}= h_{i+1}-h_{i};~~ a=H_{i-1}^{i+1} H_{i-1}^{i} H_{i}^{i+1} \Pi_{i-1}^{i+1};[/math]

– для левой и правой крайних точек нерегулярного шаблона справедливы дифференциальные формулы рекуррентного типа:

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i-2,\nu}&= \frac{H_{i-1}^{i}}{h_{i}}\cdot \widehat{f}\,''_{i-1,\nu}-\frac{h_{i-1}}{h_{i}}\cdot \widehat{f}\,''_{i,\nu};\\[4pt] \widehat{f}\,''_{i+1,\nu}&= \frac{H_{i}^{i+1}}{h_{i}}\cdot \widehat{f}\,''_{i,\nu}-\frac{h_{i+1}}{h_{i}}\cdot \widehat{f}\,''_{i-1,\nu}. \end{aligned}[/math]

(5.36)

Формулы (5.27), (5.28) и (5.34), (5.35) могут использоваться для расчета значений производных во внутренних точках сетки [math]\{x_{i}\},~ i=\overline{1,n-1}[/math], а (5.29), (5.30) и (5.36) — для расчета производных в крайних точках [math]x_{0},\,x_{n}[/math] сетки [math]\Omega_{n}[/math].

На регулярном шаблоне при [math]h=\text{const}[/math] последняя группа формул для аппроксимации вторых производных во внутренних точках шаблона преобразуется к традиционным:

[math]\begin{aligned}\widehat{f}\,''_{i,c}&= \frac{1}{h^2}\bigl(f_{i-1}-2f_{i}+ f_{i+1}\bigr) \quad \left(\frac{h^2}{12}M_{4,i}\right)\!;\\ \widehat{f}\,''_{i-1,c}&= \frac{1}{h^2}\bigl(f_{i-2}-f_{i-1}+ f_{i}\bigr),\end{aligned}[/math]

а (5.36) — к рекуррентным формулам: [math]\widehat{f}\,''_{i-2,c}= 2\widehat{f}\,''_{i-1,c}-\widehat{f}\,''_{i,c};~ \widehat{f}\,''_{i+1,c}= 2\widehat{f}\,''_{i,c}-\widehat{f}\,''_{i-1,c}[/math], а также к первой и последней формулам из (5.16), имеющим второй порядок аппроксимации.

Неявные алгоритмы численного дифференцирования

Путем несложного анализа параболических и кубических дифференциальных сплайнов получаются нижеследующие неявные алгоритмы вычисления первых и вторых производных сеточных функций. Значения производных могут быть получены не по явным формулам, а в результате решения трехдиагональных систем линейных алгебраических уравнений методом прогонки.

Первые производные по заданной сеточной функции [math]y_{i}= f(x_{i}),~ i=\overline{0,n}[/math], можно вычислить несколькими способами:

а) следствием параметрических соотношений параболических сплайнов является система линейных алгебраических уравнений относительно первых производных, где [math]\Delta f_{i}= f_{i+1}-f_{i};~ h_{i+1}= x_{i+1}-x_{i}\colon[/math]

[math]\frac{h_{i}}{2}f'_{i-1}+ \frac{1}{2}(h_{i}+h_{i+1})f'_{i}+ \frac{h_{i+1}}{2}f'_{i+1}= \Delta f_{i-1}+ \Delta f_{i},\quad i=\overline{1,n-1}.[/math]

(5.37)

При заданных значениях производных на концах отрезка [math][x_{0},x_{n}][/math] эта система позволяет со вторым порядком аппроксимации вычислить значения первых производных [math]\widehat{f}\,'_{i}[/math] во всех внутренних точках.

На регулярном шаблоне при [math]h=\text{const}[/math] эта система упрощается:

[math]\widehat{f}\,'_{i-1}+ 2\widehat{f}\,'_{i}+ \widehat{f}\,'_{i+1}= \frac{2}{h}(f_{i+1}-f_{i-1}),\quad i=\overline{1,n-1};[/math]

б) на регулярном шаблоне значения первых производных [math]\widehat{f}\,'_{i}[/math] со вторым порядком аппроксимации могут быть вычислены также из системы, удовлетворяющей свойству преобладания диагональных элементов:

[math]\widehat{f}\,'_{i-0,5}+ 6\widehat{f}\,'_{i+0,5}+ \widehat{f}\,'_{i+1,5}= \frac{8 \Delta f_{i}}{h_{i}}\,,\quad i=\overline{1,n-1}.[/math]

(5.38)

Решением этой системы будут производные в узлах, сдвинутых влево на полшага. Если производные на концах неизвестны, то их необходимо предварительно вычислить с порядком не ниже второго;

в) первые производные с третьим порядком аппроксимации могут быть определены из системы, являющейся следствием кубических дифференциальных сплайнов (см. (4.76)):

[math]\frac{\widehat{f}\,'_{i-1}}{h_{i}}+ 2\! \left(\frac{1}{h_{i+1}}+ \frac{1}{h_{i}}\right)\! \widehat{f}\,'_{i}+ \frac{\widehat{f}\,'_{i+1}}{h_{i+1}}= 3\! \left(\frac{\Delta f_{i}}{h_{i+1}^2}+ \frac{\Delta f_{i-1}}{h_{i}^2}\right)\!,\quad i=\overline{1,n-1}.[/math]

Данная система, удовлетворяющая свойству преобладания диагональных элементов, может быть замкнута либо значениями [math]\widehat{f}\,'_{0},\,\widehat{f}\,'_{n}[/math], либо двумя функционально-дифференциальными граничными соотношениями (4.77);

г) первые производные со вторым порядком аппроксимации могут вычисляться также по значениям интегралов с использованием системы, подобной системе (4.72), в которой порядок производных понижен на единицу (в этом случае вместо [math]\Delta f_{i}[/math] и [math]\Delta f_{i-1}[/math] следует подставить [math]\Delta F_{i}= I_{i}^{i+1}[/math] и [math]\Delta F_{i-1}= I_{i-1}^{i}[/math]):

[math]h_{i} \widehat{f}\,'_{i-1}+ 2(h_{i}+ h_{i+1}) \widehat{f}\,'_{i}+ h_{i+1} \widehat{f}\,'_{i+1}= 6\! \left(\frac{I_{i}^{i+1}}{h_{i+1}}-\frac{I_{i-1}^{i}}{h_{i}}\right)\!,\quad i=\overline{1,n-1}.[/math]

(5.40)

Замыкающие соотношения формируются аналогично предыдущему случаю. На регулярном шаблоне система (5.40) для [math]\widehat{f}\,'_{i}[/math] записывается через интегральные приращения:

[math]\widehat{f}\,'_{i-1}+ 4\widehat{f}\,'_{i}+ \widehat{f}\,'_{i+1}= \frac{6}{h}(\Delta I_{i}^{i+1}),\quad i=\overline{1,n-1}.[/math]

Вторые производные со вторым порядком аппроксимации могут быть определены из системы, являющейся следствием применения кубических дифференциальных сплайнов (см. систему (4.72)):

[math]h_{i}\widehat{f}\,''_{i-1}+ 2(h_{i}+h_{i+1}) \widehat{f}\,''_{i}+ h_{i+1} \widehat{f}\,''_{i+1}= 6\! \left(\frac{\Delta f_{i}}{h_{i+1}}-\frac{\Delta f_{i-1}}{h_{i}}\right)\!,\quad i=\overline{1,n-1}.[/math]

(5.41)

Данная система, удовлетворяющая условию преобладания диагональных элементов, может быть замкнута либо известными значениями [math]\widehat{f}\,''_{0},\, \widehat{f}\,''_{n}[/math], либо двумя граничными соотношениями, следующими из равенства

[math]\frac{\Delta \widehat{f}\,''_{i}}{h_{i+1}}= \frac{\Delta \widehat{f}\,''_{i-1}}{h_{i}}\quad \left(\frac{\widehat{f}\,''_{i+1}-\widehat{f}\,''_{i}}{h_{i+1}}= \frac{\widehat{f}\,''_{i}-\widehat{f}\,''_{i-1}}{h_{i}}\right)\!,[/math]

которое записывается для трех крайних точек сетки [math]\Omega_{n}[/math], т. е. для [math](x_0,x_1,x_2)[/math] и [math](x_{n-2},x_{n-1},x_{n})[/math].

Подчеркнем, что неявные алгоритмы вычисления производных предпочтительно использовать в случае, когда для заданной сеточной функции необходимо определять производные во всех узлах.

▼ Пример 5.7

Проверить соотношение (5.37) при фиксированном [math]i[/math] путем подстановки в него степенной функции.

Решение. Соотношение (5.37) является следствием применения параболических сплайнов, поэтому оно должно выполняться для сеточного представления степенной функции (параболы) [math]f(x)=x^2[/math]. Возьмем трехточечный нерегулярный шаблон [math]H_{3,i}= (x_{i-1},x_{i},x_{i+1})[/math] с шагами

[math]h_{i+1}= 3;\quad h_{i}=2;\quad x_{i-1}=2;\quad x_{i}=4;\quad x_{i+1}=7.[/math]

Значения функции [math]f(x_{k})~(k=i-1,i,i+1)[/math] и ее производной [math]\Bigl.{f'(x)}\Bigr|_{x=x_{k}}= 2x_{k}[/math] вместе с функциональными приращениями приведены в табл. 5.3.

[math]\begin{array}{|c|c|c|c|} \multicolumn{4}{r}{\mathit{Table~5.3}}\\\hline x_{k}& f(x_{k})& \Delta f_{k}& f'(x_{k}) \\\hline x_{i-1}=2& 4& 12& 4 \\\hline x_{i}=4& 16& 33& 8 \\\hline x_{i+1}=7& 49&-&14 \\\hline \end{array}[/math]

Тогда соотношению (5.37) при фиксированном [math]i[/math] и выбранном шаблоне будет соответствовать численное равенство

[math]\frac{2}{2}\cdot 4+ \frac{1}{2}(2+3)\cdot 8+ \frac{3}{2}\cdot14= 12+33.[/math]

В левой и правой частях получаются одинаковые значения, что свидетельствует о правильности системы (5.37).

Методика вычисления производных по неявным алгоритмам

1. С учетом характера задания сеточной функции (заданы значения функции [math]y_{i}= f(x_{i}),~ i= \overline{0,n}[/math], или значения интегралов [math]I_{i}^{i+1},~ i= \overline{0,n-1}[/math]) и порядка аппроксимации [math]t[/math], который необходимо обеспечить в алгоритме, выбрать систему алгебраических уравнений относительно значений производных во всех внутренних узлах сетки. При этом, если эта система является следствием параболических сплайнов, то для первых производных [math]t=2[/math], для вторых производных [math]t=1[/math]. В случае, когда система получена из кубических сплайнов, порядок [math]t[/math] возрастает на единицу. Данные системы являются незамкнутыми (число неизвестных превышает на два число уравнений).

2. Замкнуть выбранную систему двумя граничными условиями на концах сетки [math]\Omega_{n}[/math]. Эти условия могут выбираться либо в виде явных аппроксимационных формул, либо в виде двух дополнительных алгебраических соотношений, включающих по два слагаемых с [math]f_{0}^{(p)},\, f_{1}^{(p)}[/math] и [math]f_{n-1}^{(p)},\, f_{n}^{(p)},\, p=1,\,2[/math]. При этом необходимо соблюсти соответствие порядков аппроксимации последних соотношений (или формул) и исходного порядка [math]t[/math].

3. Решить полученную замкнутую систему линейных алгебраических уравнений трехдиагонального вида методом прогонки.

Приведенная методика является составной частью построения кубического дифференциального сплайна. Она была применена при решении примера 4.13.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]