Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду
ОглавлениеЛинейная алгебра

Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду


Задача приведения линейного преобразования к каноническому виду формулируется следующим образом. Требуется найти базис n-мерного линейного пространства [math]V[/math], в котором матрица линейного преобразования [math]\mathcal{A}\colon V\to V[/math] имеет жорданову форму [math]J_{A}[/math], т.е.


– найти жорданову форму [math]J_A[/math] матрицы [math]A[/math] преобразования [math]\mathcal{A}[/math] (первый этап);

– найти жорданов базис (второй этап).


Нахождение жордановой формы матрицы линейного преобразования (оператора)


Для нахождения жордановой формы [math]J_A[/math] матрицы [math]A[/math] линейного преобразования [math]\mathcal{A}[/math] нужно выполнить следующие действия.


1. Выбрать произвольный базис [math]\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \ldots,\boldsymbol{e}_n[/math] линейного пространства [math]V[/math] и найти в этом базисе матрицу [math]A[/math] преобразования [math]\mathcal{A}[/math].


2. Составить характеристический многочлен преобразования [math]\mathcal{A}\colon\, \Delta_{\mathcal{A}}(\lambda)=\det(A-\lambda E)[/math].


3. Найти все различные корни [math]\lambda_1,\lambda_2, \ldots,\lambda_k[/math] характеристического уравнения [math]\Detelta_{\mathcal{A}}(\lambda)=0[/math] и их алгебраические кратности [math]n_1,n_2,\ldots,n_k[/math].


4. Для корня [math]\lambda=\lambda_1[/math] кратности [math]n_1[/math] найти ранги матриц [math]r_p=\operatorname{rg} B^p,~ p=1,2,\ldots,m_1[/math], где [math]B=A-\lambda_1E[/math], а [math]m_1[/math]— наименьшее натуральное число [math](m_1\leqslant n_1)[/math], при котором [math]r_{m_1+1}=r_{m_1}[/math]. Ранг матрицы [math]B^p[/math] можно найти одним из способов, рассмотренных ранее. Если в дальнейшем предполагается искать жорданов базис, то для нахождения ранга лучше использовать метод Гаусса, приводя матрицу [math]B^p[/math] элементарными преобразованиями строк к модифицированному ступенчатому виду [math](B^p)_{\text{st}}[/math]. Он получается в результате вычеркивания нулевых строк из матрицы ступенчатого вида.


5. Определить количество [math]k_p[/math] жордановых клеток [math]J_{p}(\lambda_1)[/math] порядка [math]p:[/math]


[math]k_p=r_{p-1}-2r_p+r_{p+1},~~p=1,2,\ldots,m_1,[/math] где [math]r_0=n[/math]

Повторить пункты 4, 5 для остальных собственных значений [math]\lambda_2,\ldots,\lambda_k[/math].


6. Составить искомую матрицу [math]J_A[/math] блочно-диагонального вида (9.11)»располагая найденные жордановы клетки на главной диагонали.




Нахождение жорданова базиса линейного преобразования (оператора)


Пусть в базисе [math](\boldsymbol{e})=(\boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n)[/math] линейного пространства [math]V[/math] преобразование [math]\mathcal{A}\colon V\to V[/math] имеет матрицу [math]A[/math]. Требуется найти матрицу перехода [math]S[/math] от базиса [math](\boldsymbol{e})[/math] к жорданову базису [math](\boldsymbol{s})= (\boldsymbol{s}_1,\ldots, \boldsymbol{s}_n)\colon[/math] [math](\boldsymbol{s})=(\boldsymbol{e})\cdot S[/math]. Предполагаем, что жорданова форма [math]J_A[/math] матрицы [math]A[/math] известна.


1. Для собственного значения [math]\lambda_1[/math] (алгебраической кратности [math]n_1[/math]) найти характеристическую матрицу [math]B=A-\lambda_1E[/math] и по жордановой форме [math]J_A[/math] определить наибольший порядок [math]m_1[/math] жордановых клеток, соответствующих собственному значению [math]\lambda_1[/math].


2. Привести матрицы [math]B^p,~ p=1,2,\ldots,m_1[/math], к модифицированному ступенчатому виду [math](B^p)_{\text{st}}[/math] (он получается в результате удаления нулевых строк из матрицы ступенчатого вида).


3. Найти фундаментальную матрицу [math]\Phi_{m_1}[/math] однородной системы уравнений [math](B^{m_1})_{\text{st}}(B^{m_1-1})_{\text{st}}^{\ast}x=o}[/math] и составить матрицу [math]S^{(m_1-1)}= (B^{m_1-1})_{\text{st}}^{\ast}\cdot \Phi_{m_1}[/math]. Если [math]B^{m_1}[/math]— нулевая матрица, то [math]S^{(m_1-1)}= (B^{m_1-1})_{\text{st}}^{\ast}[/math], так как в этом случае [math]\Phi_{m_1}[/math]— единичная матрица.


Вычислить матрицу [math]BS^{(m_1-1)}[/math], найти фундаментальную матрицу [math]\Phi_{m_1-1}[/math] однородной системы уравнений


[math]\begin{pmatrix}\dfrac{(B^{m_1-1})_{\text{st}}}{(BS^{(m_1-1)})^{\ast}} \end{pmatrix}\! (B^{m_1-2})_{\text{st}}^{\ast}x=o[/math] и составить матрицу [math]S^{(m_1-2)}= \begin{pmatrix} BS^{(m_1-1)}\!\!& \vline\!\!& (B^{m_1-2})_{\text{st}}^{\ast}\cdot \Phi_{m_1-1} \end{pmatrix}[/math].

Если однородная система не имеет фундаментальной матрицы (система имеет только тривиальное решение), то [math]S^{(m_1-2)}=BS^{(m_1-1)}[/math].


Вычислить матрицу [math]BS^{(m_1-2)}[/math], найти фундаментальную матрицу [math]\Phi_{m_1-2}[/math] однородной системы уравнений


[math]\begin{pmatrix}\dfrac{(B^{m_1-2})_{\text{st}}}{(BS^{(m_1-2)})^{\ast}} \end{pmatrix}\! (B^{m_1-3})_{\text{st}}^{\ast}x=o[/math] и составить матрицу [math]S^{(m_1-3)}= \begin{pmatrix} BS^{(m_1-2)}\!\!&\vline\!\!& (B^{m_1-3})_{\text{st}}^{\ast}\cdot \Phi_{m_1-2} \end{pmatrix}[/math].

Если фундаментальная матрица [math]\Phi_{m_1-2}[/math] не существует, то [math]S^{(m_1-3)}= BS^{(m_1-2)}[/math].


Продолжить аналогичным образом построение матриц [math]S^{(m_1-4)},\ldots,S^{(3)}, S^{(2)}[/math].


Вычислить матрицу [math]BS^{(2)}[/math], найти фундаментальную матрицу [math]\Phi_2[/math] однородной системы уравнений


[math]\begin{pmatrix}\dfrac{(B_2)_{\text{st}}}{(BS^{(2)})^{\ast}}\end{pmatrix}\!(B)_{\text{st}}^{\ast}x=o[/math] и составить матрицу [math]S^{(1)}= \begin{pmatrix}BS^{(2)}\!\!& \vline\!\!& (B)_{\text{st}}^{\ast}\cdot \Phi_{2}\end{pmatrix}[/math].

Если фундаментальная матрица [math]\Phi_2[/math] не существует, то [math]S^{(1)}= BS^{(2)}[/math].


Вычислить матрицу [math]BS^{(1)}[/math], найти фундаментальную матрицу [math]\Phi_1[/math] однородной системы уравнений [math]\begin{pmatrix} \dfrac{(B)_{\text{st}}}{(BS^{(1)})^{\ast}} \end{pmatrix}\!x=o[/math] и составить матрицу [math]S^{(0)}=(BS^{(1)}\mid\Phi_1)[/math]. Если фундаментальная матрица [math]\Phi_1[/math] не существует, то [math]S^{(0)}=BS^{(1)}[/math].


Если [math]m_1=1[/math], то [math]S^{(0)}=\Phi_1[/math], где [math]\Phi_1[/math]— фундаментальная матрица однородной системы уравнений [math](B)_{\text{st}}x=o[/math].


4. Из столбцов полученных матриц


[math]\begin{gathered}S^{(0)}= \begin{pmatrix} B^{m_1-1} s_1^{(m_1-1)}\ldots B^{m_1-1}s_{k_{m_1}}^{(m_1-1)}\!\!& \vline\!\!& \cdots\!\!&\vline\!\!& B^2s_1^{(2)}\ldots B^2s_{k_3}^{(2)}\!\!&\vline\!\!& Bs_1^{(1)} \ldots Bs_{k_2}^{(1)}\!\!&\vline\!\!&s_1^{(0)}\ldots s_{k_1}^{(0)} \end{pmatrix}\!, \hfill\\[2pt] S^{(1)}= \begin{pmatrix} B^{m_1-2}s_1^{(m_1-1)}\ldots B^{m_1-2}s_{k_{m_1}}^{(m_1-1)}\!\!& \vline\!\!& \cdots\!\!&\vline\!\!& Bs_1^{(2)}\ldots Bs_{k_3}^{(2)}\!\!&\vline\!\!& s_1^{(1)}\ldots s_{k_2}^{(1)} \end{pmatrix}\!, \hfill\\ \cdots\cdots\cdots\\ S^{(m_1-2)}= \begin{pmatrix} Bs_1^{(m_1-1)}\ldots Bs_{k_{m_1}}^{(m_1-1)}\!\!& \vline\!\!& s_{1}^{(m_1-2)}\ldots s_{k_{m_1-1}}^{(m_1-2)} \end{pmatrix}\!,\hfill\\[2pt] S^{(m_1-1)}= \begin{pmatrix}s_1^{m_1-1},\ldots,s_{k_{m_1}}^{(m_1-1)}\end{pmatrix}\!,\hfill \end{gathered}[/math]
(9.15)

составить первые [math]n_1[/math] столбцов искомой матрицы [math]S[/math], записывая первые столбцы матриц [math]S^{(0)},S^{(1)},\ldots,[/math] [math]S^{(m_1-2)},S^{(m_1-1)}[/math], затем вторые столбцы этих матриц и т.д.


Выполнить пункты 1–4 для остальных собственных значений [math]\lambda_2,\ldots,\lambda_k[/math] получая следующие [math]n_2,\ldots,n_k[/math] столбцов искомой матрицы [math]S[/math] соответственно (при этом [math]m_1[/math] заменяется на [math]m_2,\ldots,m_k[/math]).


Данный алгоритм использует метод нахождения относительных алгебраических дополнений, рассмотренный ранеее.




Замечания 9.6


1. Для нахождения матрицы [math]S[/math] перехода к жорданову базису можно использовать также способы, рассмотренные ранее.


2. Вместо модифицированного ступенчатого вида [math](B^p)_{\text{st}}[/math] матрицы [math]B^p[/math], [math]p=1,2,\ldots,m_1[/math], можно использовать любую максимальную линейно независимую систему строк матрицы [math]B^p[/math].


3. Жорданов базис и, следовательно, матрица [math]S[/math], определяются неоднозначно.


4. Для вещественных матриц операция сопряжения, обозначенная звездочкой [math](\ast)[/math], соответствует операции транспонирования.




Пример 9.3. Линейное преобразование [math]\mathcal{A}\colon V\to V[/math] в базисе [math]\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3, \boldsymbol{e}_4[/math] имеет матрицу


[math]A=\begin{pmatrix}1&-1&1&-1\\ -3&3&-5&4\\ 8&-4&3&-4\\ 15&-10&11&-11 \end{pmatrix}\!.[/math]

Привести это преобразование к каноническому виду, т.е. найти базис [math]\boldsymbol{s}_1, \boldsymbol{s}_2, \boldsymbol{s}_3, \boldsymbol{s}_4[/math], в котором матрица преобразования имеет жорданову форму, и найти эту жорданову матрицу.


Решение. Первый этап. Найдем жорданову форму [math]J_A[/math] матрицы преобразования.


1. Выбираем базис [math]\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3, \boldsymbol{e}_4[/math], в котором задана матрица преобразования [math](n=\dim{V}=4)[/math].


2. Составляем характеристический многочлен преобразования [math]\mathcal{A}:[/math]


[math]\Delta_{\mathcal{A}}= \det(A-\lambda E)= \begin{vmatrix}1-\lambda&-1&1&-1\\ -3&3-\lambda&-5&4\\ 8&-4&3-\lambda&-4\\ 15&-10&11&-11-\lambda\end{vmatrix}= (\lambda+1)^4.[/math]

3. Находим корни характеристического уравнения [math](\lambda+1)^4=0[/math] и их алгебраические кратности: [math]\lambda_1=-1[/math]— единственный корень кратности [math]n_1=4[/math].


4. Для корня [math]\lambda_1=-1[/math] кратности [math]n_1=4[/math] находим ранги матриц


[math]B=A-(-1)\cdot E=A+E,\quad B^2,\quad B^3,\quad B^4,[/math]

выполняя элементарные преобразования над строками матриц, приводим матрицы к ступенчатому виду:

[math]\begin{aligned} B&= \begin{pmatrix}2&-1&1&-1\\ -3&4&-5&4\\ 8&-4&4&-4\\ 15&-10&11&-10\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-3&4&-3\\ 0&5&-7&5\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\!;\\[5pt] B^2&=\begin{pmatrix}2&-1&1&-1\\ -3&4&-5&4\\ 8&-4&4&-4\\ 15&-10&11&-10\end{pmatrix}^2= \begin{pmatrix}0&0&0&0\\ 2&-1&1&-1\\ 0&0&0&0\\ -2&1&-1&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}2&-1&1&-1\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\!;\\[5pt] B^3&= \begin{pmatrix}2&-1&1&-1\\ -3&4&-5&4\\ 8&-4&4&-4\\ 15&-10&11&-10\end{pmatrix}^3= \begin{pmatrix}0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}=O. \end{aligned}[/math]

Отсюда [math]r_1=\operatorname{rg}B=2,~ r_2=\operatorname{rg}B^2=1,~ r_3=\operatorname{rg}B^3=0,~ m_1=3[/math], так как


5. Определяем количество [math]k_1[/math] жордановых клеток [math]J_1(-1)[/math] 1-го порядка: [math]k_1=r_0-2r_1+r_2=4-2\cdot2+1=1[/math], где [math]r_0=n=4[/math].Следовательно, в жордановой форме [math]J_A[/math] имеется одна клетка [math]J_1(-1)[/math].


Определяем количество [math]k_2[/math] жордановых клеток [math]J_2(-1)[/math] 2-го порядка: [math]k_2=r_1-2r_2+r_3=2-2\cdot1+0=0[/math]. Следовательно, в жордановой форме [math]J_A[/math] нет клеток [math]J_2(-1)[/math].


Определяем количество [math]k_3[/math] жордановых клеток [math]J_3(-1)[/math] 3-го порядка: [math]k_3=r_2-2r_3+r_4=1-2\cdot0+0=1[/math]. Следовательно, в жордановой форме [math]J_A[/math] имеется одна клетка [math]J_3(-1)[/math].


6. Составляем искомую матрицу [math]J_A[/math] блочно-диагонального вида (9.11),располагая найденные жордановы клетки на главной диагонали:


[math]J_A= \operatorname{diag}\Bigl[J_3(-1),\,J_1(-1)\Bigr]= \begin{pmatrix} -1&1&0\!\!& \vline\!\!&0\\ 0&-1&1\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&0&-1\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&0&0\!\!& \vline\!\!&-1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Второй этап. Найдем жорданов базис матрицы [math]A[/math] линейного оператора [math]\mathcal{A}[/math].


1. Для собственного значения [math]\lambda_1=-1[/math] кратности [math]n_1=4[/math] по жордановой форме [math]J_A[/math] определяем максимальный порядок [math]m_1=3[/math] жордановых клеток, соответствующих собственному значению [math]\lambda_1=-1[/math]. Составляем матрицу [math]B=A-(-1)\cdot E[/math].


2. Приводим матрицы [math]B,\,B^2,\,B^3[/math] к модифицированному ступенчатому виду (см. пункт 4 первого этапа)


[math](B)_{\text{st}}= \begin{pmatrix}1&-3&4&-3\\ 0&5&-7&5 \end{pmatrix}\!;\quad (B^2)_{\text{st}}= \begin{pmatrix}2&-1&1&-1\end{pmatrix}\!,\quad B^3=O.[/math]

3. Так как матрица [math]B^3=O[/math], то [math]S^{(2)}=(B^2)_{\text{st}}^{\ast}= \begin{pmatrix} 7&-19&28&61 \end{pmatrix}^T[/math].


Вычисляем [math]BS^{(2)}= \begin{pmatrix}2&-1&1&-1\\ -3&4&-5&4\\ 8&-4&4&-4\\ 15&-10&11&-10 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}7\\-19\\28\\61 \end{pmatrix}\!.[/math].


Находим фундаментальную матрицу [math]\Phi_2[/math] однородной системы уравнений [math]\begin{pmatrix}\dfrac{(B^2)_{\text{st}}}{(BS^{(2)})^{\ast}}\end{pmatrix}\!(B)_{\text{st}}^{\ast}x=o:[/math]


[math]\begin{pmatrix}2&-1&1&-1\\\hline 7&-19&28&61 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\ -3&5\\ 4&-7\\ -3&5 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix}12&-17\\ -1&14 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2 \end{pmatrix}=o.[/math]

Поскольку определитель матрицы системы не равен нулю, система имеет только нулевое решение. Поэтому фундаментальная матрица не существует и, следовательно, [math]S^{(1)}= BS^{(2)}= \begin{pmatrix} 7&-19&28&61 \end{pmatrix}^T[/math]. Вычисляем [math]BS^{(1)}[/math]


[math]BS^{(1)}= \begin{pmatrix}2&-1&1&-1\\ -3&4&-5&4\\ 8&-4&4&-4\\ 15&-10&11&-10\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}7\\-19\\28\\61 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\7\\0\\-7 \end{pmatrix}\!,[/math]

находим фундаментальную матрицу [math]\Phi_1[/math] однородной системы уравнений [math]\begin{pmatrix}\dfrac{(B)_{\text{st}}}{(BS^{(1)})^{\ast}}\end{pmatrix}\!x=o[/math]


[math]\begin{pmatrix}1&-3&4&-3\\ 0&5&-7&5\\\hline 0&7&0&-7 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix}1&0&4&-6\\ 0&1&0&-1\\ 0&0&7&-10 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\!.[/math]

Фундаментальная матрица содержит один столбец [math]\Phi_1=\begin{pmatrix} 2&7&10&7 \end{pmatrix}^T[/math] (здесь вместо стандартного значения [math]x_4=1[/math] свободной переменной положили [math]x_4=7[/math] для получения целочисленных значений).


Составляем матрицу [math]S^{(0)}= \begin{pmatrix}BS^{(1)}\mid \Phi_1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\!\!&\vline\!\!&2\\ 7\!\!&\vline\!\!&7\\ 0\!\!&\vline\!\!&10\\ -7\!\!&\vline\!\!&7 \end{pmatrix}[/math].


4. Из столбцов полученных матриц [math]S^{(0)}[/math], [math]S^{(1)}[/math], [math]S^{(2)}[/math] составляем искомую матрицу [math]S[/math], записывая сначала первые столбцы матриц матриц [math]S^{(0)}[/math], [math]S^{(1)}[/math], [math]S^{(2)}[/math], а затем второй столбец матрицы [math]S^{(0)}:[/math]


[math]S^{(0)}=\begin{pmatrix}0\!\!&\vline\!\!&2\\ 7\!\!&\vline\!\!&7\\ 0\!\!&\vline\!\!&10\\ -7\!\!&\vline\!\!&7\end{pmatrix}\!,\quad S^{(1)}=\begin{pmatrix}7\\-19\\28\\61 \end{pmatrix}\!,\quad S^{(2)}=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\\-1 \end{pmatrix}\quad \Rightarrow\quad S=\begin{pmatrix} 0&7&2&2\\ 7&-19&-1&7\\ 0&28&1&10\\ -7&61&-1&7 \end{pmatrix}\!,[/math]

Нетрудно проверить, что матрица [math]S[/math] удовлетворяет равенству [math]SJ_A=AS[/math], т.е. является матрицей перехода к жорданову базису [math](\boldsymbol{s})=(\boldsymbol{e})S:[/math]


[math]\begin{cases} \boldsymbol{s}_1= 7\boldsymbol{e}_2-7\boldsymbol{e}_4;\\[2pt] \boldsymbol{s}_2= 7\boldsymbol{e}_1-19 \boldsymbol{e}_2+ 28 \boldsymbol{e}_3+ 61 \boldsymbol{e}_4,\\[2pt] \boldsymbol{s}_3= 2\boldsymbol{e}_1- \boldsymbol{e}_2+ \boldsymbol{e}_3- \boldsymbol{e}_4,\\[2pt] \boldsymbol{s}_4= 2\boldsymbol{e}_1+ 7\boldsymbol{e}_2+ 10\boldsymbol{e}_3+ 7\boldsymbol{e}_4.\end{cases}[/math]



Пример 9.4. Линейный оператор [math]\mathcal{A}\colon V\to V[/math] в базисе [math]\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3, \boldsymbol{e}_4, \boldsymbol{e}_5[/math] имеет матрицу


[math]A=\begin{pmatrix} 1&0&0&1&-1\\ 0&1&-2&3&-3\\ 0&0&-1&2&-2\\ 1&-1&1&0&1\\ 1&-1&1&-1&2 \end{pmatrix}\!.[/math]

Привести это преобразование к каноническому виду, т.е. найти базис [math]\boldsymbol{s}_1, \boldsymbol{s}_2, \boldsymbol{s}_3, \boldsymbol{s}_4, \boldsymbol{s}_5[/math], в котором матрица преобразования имеет жорданову форму, и найти эту жорданову матрицу.


Решение. Первый этап. Найдем жорданову форму [math]J_A[/math] матрицы преобразования.


1. Выбираем базис [math]\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3, \boldsymbol{e}_4, \boldsymbol{e}_5[/math], в котором задана матрица преобразования [math](n=\dim{V}=5)[/math].


2. Составляем характеристический многочлен преобразования


[math]\Delta_{\mathcal{A}}(\lambda)= \det(A-\lambda E)= \begin{pmatrix} 1-\lambda &0&0&1&-1\\ 0&1-\lambda &-2&3&-3\\ 0&0&-1-\lambda &2&-2\\ 1&-1&1&-\lambda &1\\ 1&-1&1&-1&2-\lambda \end{pmatrix}= (\lambda-1)^4(-1-\lambda).[/math]

3. Находим корни характеристического уравнения [math](\lambda-1)^4(-1-\lambda)=0[/math] и их алгебраические кратности: [math]\lambda_1=1[/math] (кратность [math]n_1=4[/math]), [math]\lambda_2=-1[/math] (кратность [math]n_2=1[/math]).


4(1). Для корня [math]\lambda_1=1[/math] кратности [math]n_1=4[/math] находим ранги матриц [math]B=A-\lambda_1E=A-E,[/math] [math]B^2,\,B^3,\,B^4[/math]. Выполняя элементарные преобразования над строками матриц, приводим матрицы к ступенчатому виду:


[math]B=\begin{pmatrix}0&0&0&1&-1\\ 0&0&-2&3&-3\\ 0&0&-2&2&-2\\ 1&-1&1&-1&1\\ 1&-1&1&-1&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&-1\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}\!;[/math]

[math]B^2= \begin{pmatrix}0&0&0&1&-1\\ 0&0&-2&3&-3\\ 0&0&-2&2&-2\\ 1&-1&1&-1&1\\ 1&-1&1&-1&1\end{pmatrix}^2= \begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\ 0&0&4&-4&4\\ 0&0&4&-4&4\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}0&0&1&-1&1\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}\!;[/math]

[math]B^3=\begin{pmatrix}0&0&0&1&-1\\ 0&0&-2&3&-3\\ 0&0&-2&2&-2\\ 1&-1&1&-1&1\\ 1&-1&1&-1&1\end{pmatrix}^3= \begin{pmatrix} 0&0&0&0&0\\ 0&0&-8&8&-8\\ 0&0&-8&8&-8\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}0&0&1&-1&1\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}\!.[/math]

Отсюда [math]r_1=\operatorname{rg}B=3,~ r_2= \operatorname{rg}B^2=1,~ m_1=2<n_1[/math], так как [math]r_3= \operatorname{rg}B^3=1=r_2[/math].


5(1). Определяем количество [math]k_1[/math] жордановых клеток [math]J_1(1)[/math] 1-го порядка: [math]k_1=r_0-2r_1+r_2= 5-2\cdot3+1=0[/math], где [math]r_0=n=5[/math]. Следовательно, клеток 1-го порядка, соответствующих собственному значению [math]\lambda_1=1[/math], нет.


Определяем количество [math]k_2[/math] жордановых клеток [math]J_2(1)[/math] 2-го порядка: [math]k_2=r_1-2r_2+r_3= 3-2\cdot1+1=2[/math]. Следовательно, в жордановой форме [math]J_A[/math] имеются две клетки [math]J_2(1)[/math].


4(2). Для простого корня [math]\lambda_2=-1[/math] (кратность [math]n_2=1[/math]) находим ранг матрицы [math]B=A-\lambda E=A+E[/math]. Выполняя элементарные преобразования над строками матрицы, приводим ее к ступенчатому виду:


[math]B=\begin{pmatrix} 2&0&0&1&-1\\ 0&2&-2&3&-3\\ 0&0&0&2&-2\\ 1&-1&1&1&1\\ 1&-1&1&-1&3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0&0&0\\ 0&1&-1&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!;[/math]

Отсюда [math]r_1=\operatorname{rg}B=4[/math], а так как [math]r_2=\operatorname{rg}B^2=4[/math], то [math]m_2=n_2=1[/math].


5(2). Определяем количество [math]k_1[/math] жордановых клеток [math]J_1(-1)[/math] 1-го порядка: [math]k_1=r_0-2r_1+r_2= 5-2\cdot4+4=1[/math], где [math]r_0=n=5,[/math] [math]r_2=r_1=4[/math]. Следовательно, в жордановой форме [math]J_A[/math] имеется одна клетка [math]J_1(-1)[/math].


6. Составляем искомую матрицу [math]J_A[/math] блочно-диагонального вида (9.11), располагая найденные жордановы клетки на главной диагонали:


[math]J_A= \operatorname{diag}\Bigl[J_2(1),\,J_2(1),\,J_1(-1)\Bigr]= \begin{pmatrix} 1&1\!\!&\vline\!\!&0&0\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&0&0\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&0\!\!&\vline\!\!&1&1\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&0\!\!&\vline\!\!&0&1\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&0\!\!&\vline\!\!&0&0\!\!&\vline\!\!&-1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Второй этап. Найдем жорданов базис матрицы [math]A[/math] линейного оператора [math]\mathcal{A}[/math].


1(1). Для собственного значения [math]\lambda_1=1[/math] кратности [math]n_1=4[/math] по жордановой форме [math]J_A[/math] определяем максимальный порядок [math]m_1=2[/math] жордановых клеток, соответствующих собственному значению [math]\lambda_1=1[/math]. Составляем матрицу [math]B=A-1\cdot E[/math] (см. пункт 4(1) первого этапа).


2(1). Приводим матрицы [math]B[/math] и [math]B^2[/math] к модифицированному ступенчатому виду (см. пункт 4 первого этапа):


[math](B)_{\text{st}}= \begin{pmatrix}1&-1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&-1 \end{pmatrix}\!;\quad (B^2)_{\text{st}}= \begin{pmatrix}0&0&1&-1&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

3. Находим фундаментальную матрицу [math]\Phi_2[/math] однородной системы уравнений [math](B^2)_{\text{st}}(B)_{\text{st}}^{\ast}x=o:[/math]


[math]\begin{pmatrix}0&0&1&-1&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0\\ -1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=0\quad \Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix}0&1&-2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=0.[/math]

Выражая базисную переменную [math]x_2[/math] через свободные [math](x_1,\,x_2)[/math], получаем [math]x_2=0\cdot x_1+2\cdot x_3[/math]. Для [math]x_1=1,~ x_3=0[/math] находим [math]x_2=0[/math], для [math]x_1=0,~ x_3=1[/math] находим [math]x_2=2[/math]. Отсюда [math]\Phi_2= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&2&1 \end{pmatrix}^T[/math]. Составляем матрицу


[math]S^{(1)}= (B)_{\text{st}}^{\ast}\cdot\Phi_2= \begin{pmatrix}1&0&0\\ -1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\ 0&2\\ 0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\ -1&0\\ 0&2\\ 0&1\\ 0&-1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Находим фундаментальную матрицу [math]\Phi_1[/math] однородной системы уравнений [math]\begin{pmatrix}\dfrac{(B)_{\text{st}}}{(BS^{(1)})^{\ast}}\end{pmatrix}\!x=o:[/math]


[math]\begin{pmatrix} 1&-1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&-1\\\hline 0&0&0&2&2\\ 2&2&0&0&0 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0\\0 \end{pmatrix}\!.[/math]

Ранг матрицы системы равен числу неизвестных, поэтому система имеет только тривиальное решение. Следовательно, матрица [math]\Phi_1[/math] отсутствует.


Составляем матрицу [math]S^{(0)}= BS^{(1)}= \begin{pmatrix}0&0&0&2&2\\ 2&2&0&0&0 \end{pmatrix}^T.[/math],


4(1). Из столбцов полученных матриц [math]S^{(0)}[/math], [math]S^{(1)}[/math] составляем первые [math]n_1=4[/math] столбца искомой матрицы [math]S[/math], записывая сначала первые столбцы матриц [math]S^{(0)}[/math], [math]S^{(1)}[/math], а затем вторые (неизвестные пока элементы матрицы [math]S[/math] обозначены звездочкой [math](\ast))[/math]:


[math]S^{(0)}=\begin{pmatrix}0&2\\ 0&2\\ 0&0\\ 2&0\\ 2&0 \end{pmatrix}\!,\quad S^{(1)}= \begin{pmatrix} 1&0\\ -1&0\\ 0&2\\ 0&1\\ 0&-1 \end{pmatrix}\quad \Rightarrow\quad S=\begin{pmatrix} 0&1&2&0&\ast\\ 0&-1&2&0&\ast\\ 0&0&0&2&\ast\\ 2&0&0&1&\ast\\ 2&0&0&-1&\ast \end{pmatrix}\!,[/math]

1(2). Для собственного значения [math]\lambda_2=-1[/math] кратности [math]n_2=1[/math] по жордановой форме [math]J_A[/math] определяем порядок [math]m_2=1[/math] единственной жордановой клетки [math]J_1(-1)[/math], соответствующей собственному значению [math]\lambda_2=-1[/math]. Составляем матрицу [math]B=A-\lambda_2E=A+E[/math] (см. пункт 4(2) первого этапа).


2(2). Приводим матрицу [math]B[/math] к модифицированному ступенчатому виду (см. пункт 4(2) первого этапа)


[math](B)_{text{st}}= \begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ 0&1&-1&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1\end{pmatrix}\!.[/math]

3(2). Находим фундаментальную матрицу [math]\Phi_1[/math] однородной системы уравнений


[math](B)_{\text{st}}\cdot x=o\quad \Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1&0&0&0&0\\ 0&1&-1&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{pmatrix}\!.[/math]

Полагая [math]x_3=1[/math], находим значения базисных переменных [math]x_1=x_4=x_5=0,~ x_2=1[/math]. Следовательно, [math]S^{(0)}= \Phi_1= \begin{pmatrix} 0&1&1&0&0 \end{pmatrix}^T[/math].


4(2). Полученный столбец записываем в матрицу, найденную в пункте 4(1):


[math]S=\begin{pmatrix} 0&1&2&0&0\\ 0&-1&2&0&1\\ 0&0&0&2&1\\ 2&0&0&1&0\\ 2&0&0&-1&0 \end{pmatrix}\!.[/math]

Матрица перехода от базиса [math](\boldsymbol{e})[/math] к жорданову базису [math](\boldsymbol{s})[/math] найдена. С ее помощью находим жорданов базис


[math](\boldsymbol{\boldsymbol{s}})=(\boldsymbol{e})\cdot S\colon~ \begin{cases}\boldsymbol{s}_1= 2\cdot \boldsymbol{e}_4+ 2\cdot \boldsymbol{e}_5;\\[2pt] \boldsymbol{s}_2= 1\cdot\boldsymbol{e}_1+ (-1)\cdot\boldsymbol{e}_2;\\[2pt] \boldsymbol{s}_3= 2\cdot\boldsymbol{e}_1+ 2\cdot\boldsymbol{e}_2;\\[2pt] \boldsymbol{s}_4= 2\cdot \boldsymbol{e}_3+ 1\cdot\boldsymbol{e}_4+ (-1)\cdot\boldsymbol{e}_5;\\[2pt] \boldsymbol{s}_5= 1\cdot\boldsymbol{e}_2+ 1\cdot \boldsymbol{e}_3.\end{cases}[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved