Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду


Задача приведения линейного преобразования к каноническому виду формулируется следующим образом. Требуется найти базис n-мерного линейного пространства V, в котором матрица линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V имеет жорданову форму J_{A}, т.е.


– найти жорданову форму J_A матрицы A преобразования \mathcal{A} (первый этап);

– найти жорданов базис (второй этап).


Нахождение жордановой формы матрицы линейного преобразования (оператора)


Для нахождения жордановой формы J_A матрицы A линейного преобразования \mathcal{A} нужно выполнить следующие действия.


1. Выбрать произвольный базис \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \ldots,\boldsymbol{e}_n линейного пространства V и найти в этом базисе матрицу A преобразования \mathcal{A}.


2. Составить характеристический многочлен преобразования \mathcal{A}\colon\, \Delta_{\mathcal{A}}(\lambda)=\det(A-\lambda E).


3. Найти все различные корни \lambda_1,\lambda_2, \ldots,\lambda_k характеристического уравнения \Delta_{\mathcal{A}}(\lambda)=0 и их алгебраические кратности n_1,n_2,\ldots,n_k.


4. Для корня \lambda=\lambda_1 кратности n_1 найти ранги матриц r_p=\operatorname{rg} B^p,~ p=1,2,\ldots,m_1, где B=A-\lambda_1E, а m_1— наименьшее натуральное число (m_1\leqslant n_1), при котором r_{m_1+1}=r_{m_1}. Ранг матрицы B^p можно найти одним из способов, рассмотренных ранее. Если в дальнейшем предполагается искать жорданов базис, то для нахождения ранга лучше использовать метод Гаусса, приводя матрицу B^p элементарными преобразованиями строк к модифицированному ступенчатому виду (B^p)_{\text{st}}. Он получается в результате вычеркивания нулевых строк из матрицы ступенчатого вида.


5. Определить количество k_p жордановых клеток J_{p}(\lambda_1) порядка p:


k_p=r_{p-1}-2r_p+r_{p+1},~~p=1,2,\ldots,m_1, где r_0=n

Повторить пункты 4, 5 для остальных собственных значений \lambda_2,\ldots,\lambda_k.


6. Составить искомую матрицу J_A блочно-диагонального вида (9.11)»располагая найденные жордановы клетки на главной диагонали.




Нахождение жорданова базиса линейного преобразования (оператора)


Пусть в базисе (\boldsymbol{e})=(\boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n) линейного пространства V преобразование \mathcal{A}\colon V\to V имеет матрицу A. Требуется найти матрицу перехода S от базиса (\boldsymbol{e}) к жорданову базису (\boldsymbol{s})= (\boldsymbol{s}_1,\ldots, \boldsymbol{s}_n)\colon (\boldsymbol{s})=(\boldsymbol{e})\cdot S. Предполагаем, что жорданова форма J_A матрицы A известна.


1. Для собственного значения \lambda_1 (алгебраической кратности n_1) найти характеристическую матрицу B=A-\lambda_1E и по жордановой форме J_A определить наибольший порядок m_1 жордановых клеток, соответствующих собственному значению \lambda_1.


2. Привести матрицы B^p,~ p=1,2,\ldots,m_1, к модифицированному ступенчатому виду (B^p)_{\text{st}} (он получается в результате удаления нулевых строк из матрицы ступенчатого вида).


3. Найти фундаментальную матрицу \Phi_{m_1} однородной системы уравнений (B^{m_1})_{\text{st}}(B^{m_1-1})_{\text{st}}^{\ast}x=o и составить матрицу S^{(m_1-1)}= (B^{m_1-1})_{\text{st}}^{\ast}\cdot \Phi_{m_1}. Если B^{m_1}— нулевая матрица, то S^{(m_1-1)}= (B^{m_1-1})_{\text{st}}^{\ast}, так как в этом случае \Phi_{m_1}— единичная матрица.


Вычислить матрицу BS^{(m_1-1)}, найти фундаментальную матрицу \Phi_{m_1-1} однородной системы уравнений


\begin{pmatrix}\dfrac{(B^{m_1-1})_{\text{st}}}{(BS^{(m_1-1)})^{\ast}} \end{pmatrix}\! (B^{m_1-2})_{\text{st}}^{\ast}x=o и составить матрицу S^{(m_1-2)}= \begin{pmatrix} BS^{(m_1-1)}\!\!& \vline\!\!& (B^{m_1-2})_{\text{st}}^{\ast}\cdot \Phi_{m_1-1} \end{pmatrix}.

Если однородная система не имеет фундаментальной матрицы (система имеет только тривиальное решение), то S^{(m_1-2)}=BS^{(m_1-1)}.


Вычислить матрицу BS^{(m_1-2)}, найти фундаментальную матрицу \Phi_{m_1-2} однородной системы уравнений


\begin{pmatrix}\dfrac{(B^{m_1-2})_{\text{st}}}{(BS^{(m_1-2)})^{\ast}} \end{pmatrix}\! (B^{m_1-3})_{\text{st}}^{\ast}x=o и составить матрицу S^{(m_1-3)}= \begin{pmatrix} BS^{(m_1-2)}\!\!&\vline\!\!& (B^{m_1-3})_{\text{st}}^{\ast}\cdot \Phi_{m_1-2} \end{pmatrix}.

Если фундаментальная матрица \Phi_{m_1-2} не существует, то S^{(m_1-3)}= BS^{(m_1-2)}.


Продолжить аналогичным образом построение матриц S^{(m_1-4)},\ldots,S^{(3)}, S^{(2)}.


Вычислить матрицу BS^{(2)}, найти фундаментальную матрицу \Phi_2 однородной системы уравнений


\begin{pmatrix}\dfrac{(B_2)_{\text{st}}}{(BS^{(2)})^{\ast}}\end{pmatrix}\!(B)_{\text{st}}^{\ast}x=o и составить матрицу S^{(1)}= \begin{pmatrix}BS^{(2)}\!\!& \vline\!\!& (B)_{\text{st}}^{\ast}\cdot \Phi_{2}\end{pmatrix}.

Если фундаментальная матрица \Phi_2 не существует, то S^{(1)}= BS^{(2)}.


Вычислить матрицу BS^{(1)}, найти фундаментальную матрицу \Phi_1 однородной системы уравнений \begin{pmatrix} \dfrac{(B)_{\text{st}}}{(BS^{(1)})^{\ast}} \end{pmatrix}\!x=o и составить матрицу S^{(0)}=(BS^{(1)}\mid\Phi_1). Если фундаментальная матрица \Phi_1 не существует, то S^{(0)}=BS^{(1)}.


Если m_1=1, то S^{(0)}=\Phi_1, где \Phi_1— фундаментальная матрица однородной системы уравнений (B)_{\text{st}}x=o.


4. Из столбцов полученных матриц


\begin{gathered}S^{(0)}= \begin{pmatrix} B^{m_1-1} s_1^{(m_1-1)}\ldots B^{m_1-1}s_{k_{m_1}}^{(m_1-1)}\!\!& \vline\!\!& \cdots\!\!&\vline\!\!& B^2s_1^{(2)}\ldots B^2s_{k_3}^{(2)}\!\!&\vline\!\!& Bs_1^{(1)} \ldots Bs_{k_2}^{(1)}\!\!&\vline\!\!&s_1^{(0)}\ldots s_{k_1}^{(0)} \end{pmatrix}\!, \hfill\\[2pt] S^{(1)}= \begin{pmatrix} B^{m_1-2}s_1^{(m_1-1)}\ldots B^{m_1-2}s_{k_{m_1}}^{(m_1-1)}\!\!& \vline\!\!& \cdots\!\!&\vline\!\!& Bs_1^{(2)}\ldots Bs_{k_3}^{(2)}\!\!&\vline\!\!& s_1^{(1)}\ldots s_{k_2}^{(1)} \end{pmatrix}\!, \hfill\\ \cdots\cdots\cdots\\  S^{(m_1-2)}= \begin{pmatrix} Bs_1^{(m_1-1)}\ldots Bs_{k_{m_1}}^{(m_1-1)}\!\!& \vline\!\!& s_{1}^{(m_1-2)}\ldots s_{k_{m_1-1}}^{(m_1-2)} \end{pmatrix}\!,\hfill\\[2pt] S^{(m_1-1)}= \begin{pmatrix}s_1^{m_1-1},\ldots,s_{k_{m_1}}^{(m_1-1)}\end{pmatrix}\!,\hfill \end{gathered}
(9.15)

составить первые n_1 столбцов искомой матрицы S, записывая первые столбцы матриц S^{(0)},S^{(1)},\ldots, S^{(m_1-2)},S^{(m_1-1)}, затем вторые столбцы этих матриц и т.д.


Выполнить пункты 1–4 для остальных собственных значений \lambda_2,\ldots,\lambda_k получая следующие n_2,\ldots,n_k столбцов искомой матрицы S соответственно (при этом m_1 заменяется на m_2,\ldots,m_k).


Данный алгоритм использует метод нахождения относительных алгебраических дополнений, рассмотренный ранеее.




Замечания 9.6


1. Для нахождения матрицы S перехода к жорданову базису можно использовать также способы, рассмотренные ранее.


2. Вместо модифицированного ступенчатого вида (B^p)_{\text{st}} матрицы B^p, p=1,2,\ldots,m_1, можно использовать любую максимальную линейно независимую систему строк матрицы B^p.


3. Жорданов базис и, следовательно, матрица S, определяются неоднозначно.


4. Для вещественных матриц операция сопряжения, обозначенная звездочкой (\ast), соответствует операции транспонирования.




Пример 9.3. Линейное преобразование \mathcal{A}\colon V\to V в базисе \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3, \boldsymbol{e}_4 имеет матрицу


A=\begin{pmatrix}1&-1&1&-1\\ -3&3&-5&4\\ 8&-4&3&-4\\ 15&-10&11&-11 \end{pmatrix}\!.

Привести это преобразование к каноническому виду, т.е. найти базис \boldsymbol{s}_1, \boldsymbol{s}_2, \boldsymbol{s}_3, \boldsymbol{s}_4, в котором матрица преобразования имеет жорданову форму, и найти эту жорданову матрицу.


Решение. Первый этап. Найдем жорданову форму J_A матрицы преобразования.


1. Выбираем базис \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3, \boldsymbol{e}_4, в котором задана матрица преобразования (n=\dim{V}=4).


2. Составляем характеристический многочлен преобразования \mathcal{A}:


\Delta_{\mathcal{A}}= \det(A-\lambda E)= \begin{vmatrix}1-\lambda&-1&1&-1\\ -3&3-\lambda&-5&4\\ 8&-4&3-\lambda&-4\\ 15&-10&11&-11-\lambda\end{vmatrix}= (\lambda+1)^4.

3. Находим корни характеристического уравнения (\lambda+1)^4=0 и их алгебраические кратности: \lambda_1=-1— единственный корень кратности n_1=4.


4. Для корня \lambda_1=-1 кратности n_1=4 находим ранги матриц


B=A-(-1)\cdot E=A+E,\quad B^2,\quad B^3,\quad B^4,

выполняя элементарные преобразования над строками матриц, приводим матрицы к ступенчатому виду:


\begin{aligned} B&= \begin{pmatrix}2&-1&1&-1\\ -3&4&-5&4\\ 8&-4&4&-4\\ 15&-10&11&-10\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-3&4&-3\\ 0&5&-7&5\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\!;\\[5pt] B^2&=\begin{pmatrix}2&-1&1&-1\\ -3&4&-5&4\\ 8&-4&4&-4\\ 15&-10&11&-10\end{pmatrix}^2= \begin{pmatrix}0&0&0&0\\ 2&-1&1&-1\\ 0&0&0&0\\ -2&1&-1&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}2&-1&1&-1\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\!;\\[5pt] B^3&= \begin{pmatrix}2&-1&1&-1\\ -3&4&-5&4\\ 8&-4&4&-4\\ 15&-10&11&-10\end{pmatrix}^3= \begin{pmatrix}0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}=O. \end{aligned}

Отсюда r_1=\operatorname{rg}B=2,~ r_2=\operatorname{rg}B^2=1,~ r_3=\operatorname{rg}B^3=0,~ m_1=3, так как


5. Определяем количество k_1 жордановых клеток J_1(-1) 1-го порядка: k_1=r_0-2r_1+r_2=4-2\cdot2+1=1, где r_0=n=4.Следовательно, в жордановой форме J_A имеется одна клетка J_1(-1).


Определяем количество k_2 жордановых клеток J_2(-1) 2-го порядка: k_2=r_1-2r_2+r_3=2-2\cdot1+0=0. Следовательно, в жордановой форме J_A нет клеток J_2(-1).


Определяем количество k_3 жордановых клеток J_3(-1) 3-го порядка: k_3=r_2-2r_3+r_4=1-2\cdot0+0=1. Следовательно, в жордановой форме J_A имеется одна клетка J_3(-1).


6. Составляем искомую матрицу J_A блочно-диагонального вида (9.11),располагая найденные жордановы клетки на главной диагонали:


J_A= \operatorname{diag}\Bigl[J_3(-1),\,J_1(-1)\Bigr]= \begin{pmatrix} -1&1&0\!\!& \vline\!\!&0\\ 0&-1&1\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&0&-1\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&0&0\!\!& \vline\!\!&-1 \end{pmatrix}\!.

Второй этап. Найдем жорданов базис матрицы A линейного оператора \mathcal{A}.


1. Для собственного значения \lambda_1=-1 кратности n_1=4 по жордановой форме J_A определяем максимальный порядок m_1=3 жордановых клеток, соответствующих собственному значению \lambda_1=-1. Составляем матрицу B=A-(-1)\cdot E.


2. Приводим матрицы B,\,B^2,\,B^3 к модифицированному ступенчатому виду (см. пункт 4 первого этапа)


(B)_{\text{st}}= \begin{pmatrix}1&-3&4&-3\\ 0&5&-7&5 \end{pmatrix}\!;\quad (B^2)_{\text{st}}= \begin{pmatrix}2&-1&1&-1\end{pmatrix}\!,\quad B^3=O.

3. Так как матрица B^3=O, то S^{(2)}=(B^2)_{\text{st}}^{\ast}= \begin{pmatrix} 7&-19&28&61 \end{pmatrix}^T.


Вычисляем BS^{(2)}= \begin{pmatrix}2&-1&1&-1\\ -3&4&-5&4\\ 8&-4&4&-4\\ 15&-10&11&-10 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}7\\-19\\28\\61 \end{pmatrix}\!..


Находим фундаментальную матрицу \Phi_2 однородной системы уравнений \begin{pmatrix}\dfrac{(B^2)_{\text{st}}}{(BS^{(2)})^{\ast}}\end{pmatrix}\!(B)_{\text{st}}^{\ast}x=o:


\begin{pmatrix}2&-1&1&-1\\\hline 7&-19&28&61 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\ -3&5\\ 4&-7\\ -3&5 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix}12&-17\\ -1&14 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2 \end{pmatrix}=o.

Поскольку определитель матрицы системы не равен нулю, система имеет только нулевое решение. Поэтому фундаментальная матрица не существует и, следовательно, S^{(1)}= BS^{(2)}= \begin{pmatrix} 7&-19&28&61 \end{pmatrix}^T. Вычисляем BS^{(1)}


BS^{(1)}= \begin{pmatrix}2&-1&1&-1\\ -3&4&-5&4\\ 8&-4&4&-4\\ 15&-10&11&-10\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}7\\-19\\28\\61 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\7\\0\\-7 \end{pmatrix}\!,

находим фундаментальную матрицу \Phi_1 однородной системы уравнений \begin{pmatrix}\dfrac{(B)_{\text{st}}}{(BS^{(1)})^{\ast}}\end{pmatrix}\!x=o


\begin{pmatrix}1&-3&4&-3\\ 0&5&-7&5\\\hline 0&7&0&-7 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix}1&0&4&-6\\ 0&1&0&-1\\ 0&0&7&-10 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\!.

Фундаментальная матрица содержит один столбец \Phi_1=\begin{pmatrix} 2&7&10&7 \end{pmatrix}^T (здесь вместо стандартного значения x_4=1 свободной переменной положили x_4=7 для получения целочисленных значений).


Составляем матрицу S^{(0)}= \begin{pmatrix}BS^{(1)}\mid \Phi_1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\!\!&\vline\!\!&2\\ 7\!\!&\vline\!\!&7\\ 0\!\!&\vline\!\!&10\\ -7\!\!&\vline\!\!&7 \end{pmatrix}.


4. Из столбцов полученных матриц S^{(0)}, S^{(1)}, S^{(2)} составляем искомую матрицу S, записывая сначала первые столбцы матриц матриц S^{(0)}, S^{(1)}, S^{(2)}, а затем второй столбец матрицы S^{(0)}:


S^{(0)}=\begin{pmatrix}0\!\!&\vline\!\!&2\\ 7\!\!&\vline\!\!&7\\ 0\!\!&\vline\!\!&10\\ -7\!\!&\vline\!\!&7\end{pmatrix}\!,\quad S^{(1)}=\begin{pmatrix}7\\-19\\28\\61 \end{pmatrix}\!,\quad S^{(2)}=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\\-1 \end{pmatrix}\quad \Rightarrow\quad S=\begin{pmatrix} 0&7&2&2\\ 7&-19&-1&7\\ 0&28&1&10\\ -7&61&-1&7 \end{pmatrix}\!,

Нетрудно проверить, что матрица S удовлетворяет равенству SJ_A=AS, т.е. является матрицей перехода к жорданову базису (\boldsymbol{s})=(\boldsymbol{e})S:


\begin{cases} \boldsymbol{s}_1= 7\boldsymbol{e}_2-7\boldsymbol{e}_4;\\[2pt] \boldsymbol{s}_2= 7\boldsymbol{e}_1-19 \boldsymbol{e}_2+ 28 \boldsymbol{e}_3+ 61 \boldsymbol{e}_4,\\[2pt] \boldsymbol{s}_3= 2\boldsymbol{e}_1- \boldsymbol{e}_2+ \boldsymbol{e}_3- \boldsymbol{e}_4,\\[2pt] \boldsymbol{s}_4= 2\boldsymbol{e}_1+ 7\boldsymbol{e}_2+ 10\boldsymbol{e}_3+ 7\boldsymbol{e}_4.\end{cases}



Пример 9.4. Линейный оператор \mathcal{A}\colon V\to V в базисе \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3, \boldsymbol{e}_4, \boldsymbol{e}_5 имеет матрицу


A=\begin{pmatrix} 1&0&0&1&-1\\ 0&1&-2&3&-3\\ 0&0&-1&2&-2\\ 1&-1&1&0&1\\ 1&-1&1&-1&2 \end{pmatrix}\!.

Привести это преобразование к каноническому виду, т.е. найти базис \boldsymbol{s}_1, \boldsymbol{s}_2, \boldsymbol{s}_3, \boldsymbol{s}_4, \boldsymbol{s}_5, в котором матрица преобразования имеет жорданову форму, и найти эту жорданову матрицу.


Решение. Первый этап. Найдем жорданову форму J_A матрицы преобразования.


1. Выбираем базис \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3, \boldsymbol{e}_4, \boldsymbol{e}_5, в котором задана матрица преобразования (n=\dim{V}=5).


2. Составляем характеристический многочлен преобразования


\Delta_{\mathcal{A}}(\lambda)= \det(A-\lambda E)= \begin{pmatrix} 1-\lambda &0&0&1&-1\\ 0&1-\lambda &-2&3&-3\\ 0&0&-1-\lambda &2&-2\\ 1&-1&1&-\lambda &1\\ 1&-1&1&-1&2-\lambda \end{pmatrix}= (\lambda-1)^4(-1-\lambda).

3. Находим корни характеристического уравнения (\lambda-1)^4(-1-\lambda)=0 и их алгебраические кратности: \lambda_1=1 (кратность n_1=4), \lambda_2=-1 (кратность n_2=1).


4(1). Для корня \lambda_1=1 кратности n_1=4 находим ранги матриц B=A-\lambda_1E=A-E, B^2,\,B^3,\,B^4. Выполняя элементарные преобразования над строками матриц, приводим матрицы к ступенчатому виду:


B=\begin{pmatrix}0&0&0&1&-1\\ 0&0&-2&3&-3\\ 0&0&-2&2&-2\\ 1&-1&1&-1&1\\ 1&-1&1&-1&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&-1\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}\!;

B^2= \begin{pmatrix}0&0&0&1&-1\\ 0&0&-2&3&-3\\ 0&0&-2&2&-2\\ 1&-1&1&-1&1\\ 1&-1&1&-1&1\end{pmatrix}^2= \begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\ 0&0&4&-4&4\\ 0&0&4&-4&4\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}0&0&1&-1&1\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}\!;

B^3=\begin{pmatrix}0&0&0&1&-1\\ 0&0&-2&3&-3\\ 0&0&-2&2&-2\\ 1&-1&1&-1&1\\ 1&-1&1&-1&1\end{pmatrix}^3= \begin{pmatrix} 0&0&0&0&0\\ 0&0&-8&8&-8\\ 0&0&-8&8&-8\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}0&0&1&-1&1\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}\!.

Отсюда r_1=\operatorname{rg}B=3,~ r_2= \operatorname{rg}B^2=1,~ m_1=2<n_1, так как r_3= \operatorname{rg}B^3=1=r_2.


5(1). Определяем количество k_1 жордановых клеток J_1(1) 1-го порядка: k_1=r_0-2r_1+r_2= 5-2\cdot3+1=0, где r_0=n=5. Следовательно, клеток 1-го порядка, соответствующих собственному значению \lambda_1=1, нет.


Определяем количество k_2 жордановых клеток J_2(1) 2-го порядка: k_2=r_1-2r_2+r_3= 3-2\cdot1+1=2. Следовательно, в жордановой форме J_A имеются две клетки J_2(1).


4(2). Для простого корня \lambda_2=-1 (кратность n_2=1) находим ранг матрицы B=A-\lambda E=A+E. Выполняя элементарные преобразования над строками матрицы, приводим ее к ступенчатому виду:


B=\begin{pmatrix} 2&0&0&1&-1\\ 0&2&-2&3&-3\\ 0&0&0&2&-2\\ 1&-1&1&1&1\\ 1&-1&1&-1&3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0&0&0\\ 0&1&-1&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!;

Отсюда r_1=\operatorname{rg}B=4, а так как r_2=\operatorname{rg}B^2=4, то m_2=n_2=1.


5(2). Определяем количество k_1 жордановых клеток J_1(-1) 1-го порядка: k_1=r_0-2r_1+r_2= 5-2\cdot4+4=1, где r_0=n=5, r_2=r_1=4. Следовательно, в жордановой форме J_A имеется одна клетка J_1(-1).


6. Составляем искомую матрицу J_A блочно-диагонального вида (9.11), располагая найденные жордановы клетки на главной диагонали:


J_A= \operatorname{diag}\Bigl[J_2(1),\,J_2(1),\,J_1(-1)\Bigr]= \begin{pmatrix} 1&1\!\!&\vline\!\!&0&0\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&0&0\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&0\!\!&\vline\!\!&1&1\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&0\!\!&\vline\!\!&0&1\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&0\!\!&\vline\!\!&0&0\!\!&\vline\!\!&-1 \end{pmatrix}\!.

Второй этап. Найдем жорданов базис матрицы A линейного оператора \mathcal{A}.


1(1). Для собственного значения \lambda_1=1 кратности n_1=4 по жордановой форме J_A определяем максимальный порядок m_1=2 жордановых клеток, соответствующих собственному значению \lambda_1=1. Составляем матрицу B=A-1\cdot E (см. пункт 4(1) первого этапа).


2(1). Приводим матрицы B и B^2 к модифицированному ступенчатому виду (см. пункт 4 первого этапа):


(B)_{\text{st}}= \begin{pmatrix}1&-1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&-1 \end{pmatrix}\!;\quad (B^2)_{\text{st}}= \begin{pmatrix}0&0&1&-1&1 \end{pmatrix}\!.

3. Находим фундаментальную матрицу \Phi_2 однородной системы уравнений (B^2)_{\text{st}}(B)_{\text{st}}^{\ast}x=o:


\begin{pmatrix}0&0&1&-1&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0\\ -1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=0\quad \Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix}0&1&-2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=0.

Выражая базисную переменную x_2 через свободные (x_1,\,x_2), получаем x_2=0\cdot x_1+2\cdot x_3. Для x_1=1,~ x_3=0 находим x_2=0, для x_1=0,~ x_3=1 находим x_2=2. Отсюда \Phi_2= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&2&1 \end{pmatrix}^T. Составляем матрицу


S^{(1)}= (B)_{\text{st}}^{\ast}\cdot\Phi_2= \begin{pmatrix}1&0&0\\ -1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\ 0&2\\ 0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\ -1&0\\ 0&2\\ 0&1\\ 0&-1 \end{pmatrix}\!.

Находим фундаментальную матрицу \Phi_1 однородной системы уравнений \begin{pmatrix}\dfrac{(B)_{\text{st}}}{(BS^{(1)})^{\ast}}\end{pmatrix}\!x=o:


\begin{pmatrix} 1&-1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&-1\\\hline 0&0&0&2&2\\ 2&2&0&0&0 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0\\0 \end{pmatrix}\!.

Ранг матрицы системы равен числу неизвестных, поэтому система имеет только тривиальное решение. Следовательно, матрица \Phi_1 отсутствует.


Составляем матрицу S^{(0)}= BS^{(1)}= \begin{pmatrix}0&0&0&2&2\\ 2&2&0&0&0 \end{pmatrix}^T.,


4(1). Из столбцов полученных матриц S^{(0)}, S^{(1)} составляем первые n_1=4 столбца искомой матрицы S, записывая сначала первые столбцы матриц S^{(0)}, S^{(1)}, а затем вторые (неизвестные пока элементы матрицы S обозначены звездочкой (\ast)):


S^{(0)}=\begin{pmatrix}0&2\\ 0&2\\ 0&0\\ 2&0\\ 2&0 \end{pmatrix}\!,\quad S^{(1)}= \begin{pmatrix} 1&0\\ -1&0\\ 0&2\\ 0&1\\ 0&-1 \end{pmatrix}\quad \Rightarrow\quad S=\begin{pmatrix} 0&1&2&0&\ast\\ 0&-1&2&0&\ast\\ 0&0&0&2&\ast\\ 2&0&0&1&\ast\\ 2&0&0&-1&\ast \end{pmatrix}\!,

1(2). Для собственного значения \lambda_2=-1 кратности n_2=1 по жордановой форме J_A определяем порядок m_2=1 единственной жордановой клетки J_1(-1), соответствующей собственному значению \lambda_2=-1. Составляем матрицу B=A-\lambda_2E=A+E (см. пункт 4(2) первого этапа).


2(2). Приводим матрицу B к модифицированному ступенчатому виду (см. пункт 4(2) первого этапа)


(B)_{text{st}}= \begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ 0&1&-1&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1\end{pmatrix}\!.

3(2). Находим фундаментальную матрицу \Phi_1 однородной системы уравнений


(B)_{\text{st}}\cdot x=o\quad \Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1&0&0&0&0\\ 0&1&-1&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{pmatrix}\!.

Полагая x_3=1, находим значения базисных переменных x_1=x_4=x_5=0,~ x_2=1. Следовательно, S^{(0)}= \Phi_1= \begin{pmatrix} 0&1&1&0&0 \end{pmatrix}^T.


4(2). Полученный столбец записываем в матрицу, найденную в пункте 4(1):


S=\begin{pmatrix} 0&1&2&0&0\\ 0&-1&2&0&1\\ 0&0&0&2&1\\ 2&0&0&1&0\\ 2&0&0&-1&0 \end{pmatrix}\!.

Матрица перехода от базиса (\boldsymbol{e}) к жорданову базису (\boldsymbol{s}) найдена. С ее помощью находим жорданов базис


(\boldsymbol{\boldsymbol{s}})=(\boldsymbol{e})\cdot S\colon~ \begin{cases}\boldsymbol{s}_1= 2\cdot \boldsymbol{e}_4+ 2\cdot \boldsymbol{e}_5;\\[2pt] \boldsymbol{s}_2= 1\cdot\boldsymbol{e}_1+ (-1)\cdot\boldsymbol{e}_2;\\[2pt] \boldsymbol{s}_3= 2\cdot\boldsymbol{e}_1+ 2\cdot\boldsymbol{e}_2;\\[2pt] \boldsymbol{s}_4= 2\cdot \boldsymbol{e}_3+ 1\cdot\boldsymbol{e}_4+ (-1)\cdot\boldsymbol{e}_5;\\[2pt] \boldsymbol{s}_5= 1\cdot\boldsymbol{e}_2+ 1\cdot \boldsymbol{e}_3.\end{cases}
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved