Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Метод изоклин для дифференциальных уравнений 1-го порядка

Метод изоклин для дифференциальных уравнений 1-го порядка


Дифференциальное уравнение первого порядка


[math]y'=f(x,y)[/math]
(1)

определяет в каждой точке [math](x,y)[/math], где существует функция [math]f(x,y)[/math], значение [math]y'[/math], т.е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке.

Если в каждой точке области [math]D[/math] задано значение некоторой величины, то говорят, что в области [math]D[/math] задано поле этой величины. Таким образом, дифференциальное уравнение (1) определяет поле направлений.


Тройка чисел [math](x;y;y')[/math] определяет направление прямой, проходящей через точку [math](x,y)[/math]. Совокупность отрезков этих прямых дает геометрическую картину поля направлений.


Задача интегрирования дифференциального уравнения (1) может быть теперь истолкована так: найти такую кривую, чтобы касательная к ней в каждой точке имела направление, совпадающее с направлением поля в этой точке.


Задача построения интегральной кривой часто решается введением изоклин. Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым имеют одно и тоже направление. Семейство изоклин дифференциального уравнения (1) определяется уравнением


[math]f(x,y)=k,[/math]
(2)

где [math]k[/math] — параметр. Придавая параметру [math]k[/math] близкие числовые значения, получаем достаточно густую сеть изоклин, с помощью которых можно приближенно построить интегральные кривые дифференциального yравнения (1).


Замечание 1. Нулевая изоклина [math]f(x,y)=0[/math] дает уравнение линий, на которых могут находиться точки максимума и минимума интегральных кривых.


Для большей точности построения интегральных кривых находят также геометрическое место точек перегиба. Для этого находят [math]y''[/math] в силу уравнения (1):


[math]y''=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}y'=\frac{\partial f}{\partial x}+f(x,y)\frac{\partial f}{\partial y}[/math]
(3)

и приравнивают ее нулю. Линия, определяемая уравнением


[math]\frac{\partial f}{\partial x}+f(x,y)\frac{\partial f}{\partial y}=0,[/math]
(4)

и есть возможное геометрическое место точек перегиба.




Пример 1. С помощью изоклин построить приближенно интегральные кривые дифференциального уравнения [math]y'=2x-y[/math].


Решение. Для получения уравнения изоклин положим [math]y'=\text{const}=k[/math], тогда [math]2x-y=k[/math] или [math]y=2x-k[/math].


Семейство интегральных кривых дифференциального уравнения

Изоклинами являются параллельные прямые. При [math]k=0[/math] получим изоклину [math]2x[/math]. Эта прямая делит плоскость [math]xOy[/math] на две части, в каждой из которых производная [math]y'[/math]имеет один и тот же знак (рис. 6).


Интегральные кривые, пересекая прямую [math]y=2x[/math], переходят из области убывания функции [math]y[/math] в область возрастания, и наоборот, а значит на этой прямой находятся точки экстремума интегральных кривых, именно точки минимума.


Возьмем еще две изоклины: [math]y=2x+1,~k=-1[/math] и [math]y=2x-1,~k=1[/math].


Касательные, проведенные к интегральным кривым в точках пересечения с изоклинами [math]k=-1[/math] и [math]k=1[/math], образуют с осью [math]Ox[/math] углы в [math]135^\circ[/math] и [math]45^\circ[/math] соответственно. Найдем далее вторую производную [math]y''=2-y'=2-2x+y[/math].


Прямая [math]y=2x-2[/math], на которой [math]y''=0[/math], является изоклиной, получаемой при [math]k=2[/math], и в то же время интегральной линией, в чем можно убедиться подстановкой в уравнение. Так как правая часть данного уравнения [math]f(x,y)=2x-y[/math] удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности во всей плоскости [math]xOy[/math], то остальные интегральные кривые не пересекают эту изоклину. Изоклина [math]y=2x[/math], на которой находятся точки минимума интегральных кривых, расположена над изоклиной [math]y=2x-2[/math], а поэтому интегральные кривые, проходящие ниже изоклины [math]y=2x-2[/math], не имеют точек экстремума.


Прямая [math]y=2x-2[/math] делит плоскость [math]xOy[/math] на две части, в одной из которых (расположенной над прямой) [math]y''>0[/math], а значит интегральные кривые обращены вогнутостью вверх, а в другой [math]y''<0[/math] и, значит, интегральные кривые обращены вогнутостью вниз. Интегральные кривые не пересекают прямой [math]y=2x-2[/math], значит, она не является геометрическим местом точек перегиба. Интегральные кривые данного уравнения не имеют точек перегиба.


Проведенное исследование позволяет нам приближенно построить семейство интегральных кривых уравнения (рис.6).




Пример 2. Методом изоклин построить приближенно интегральные кривые дифференциального уравнения [math]y'=\sin(x+y)[/math].


Решение. Полагая [math]y'=k[/math], где [math]k=\text{const}[/math], получаем уравнение изоклин [math]\sin(x+y)=k[/math], причем [math]-1 \leqslant k \leqslant 1[/math]. При [math]k=0[/math] получим [math]\sin(x+y)=0[/math], откуда


[math]y=-x+\pi n, \quad n\in\mathbb{Z}.[/math]
(5)

Интегральные кривые в точках пересечения с этими изоклинами имеют горизонтальные касательные.


Определим, имеют ли интегральные кривые на изоклинах [math]y=-x+\pi{n}[/math] экстремум. Для этого найдем вторую производную:


[math]y''=(1+y')\cos(x+y)=[1+\sin(x+y)]\cos(x+y).[/math]

При [math]y=-x+\pi{n}[/math] имеем


[math]{y''=(1+\sin\pi{n})\cos\pi{n}=(-1)^n=\begin{cases}~1,&\!\text{if}~~n~~\text{is even},\\-1,&\!\text{if}~~n~~\text{is odd}.\end{cases}}[/math]

Если [math]n[/math] четное, то [math]y''>0[/math], и, значит, в точках пересечения с изоклинами [math]y=-x+\pi{n}[/math], интегральные кривые имеют минимум; если же [math]n[/math] нечетное, то [math]y''<0[/math] и интегральные кривые в точках пересечения с изоклинами имеют максимум. Находим изоклины:


[math]k=-1, \quad \sin(x+y)=-1; \quad y=-x-\frac{\pi}{2}+2\pi n,~n\in\mathbb{Z};[/math]
(6)

[math]k=1, \quad \sin(x+y)=1; \quad y=-x+\frac{\pi}{2}+2\pi n,~n\in\mathbb{Z}.[/math]
(7)

Изоклинами являются параллельные прямыми с угловым коэффициентом, равным –1 , т. е. изоклины пересекают ось [math]Ox[/math] под углом [math]135^\circ[/math]. Легко убедиться в том, что изоклины [math]y=-x-\frac{\pi}{2}+2\pi{n},~n\in\mathbb{Z}[/math], являются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения (для этого достаточно подставить функции [math]y=-x-\frac{\pi}{2}+2\pi{n}[/math] в уравнение [math]y'=\sin(x+y)[/math]).


Во всех точках плоскости [math]xOy[/math] правая часть данного уравнения, т.е. функция [math]f(x,y)=\sin(x+y)[/math], удовлетворяет всем условиям теоремы существования и единственности, а поэтому интегральные кривые не пересекаются, и, следовательно, не пересекают изоклины [math]y=-x-\frac{\pi}{2}+2\pi{n}[/math]. Производная [math]y''[/math] обращается в ноль при [math]1+\sin(x+y)=0[/math], т.е. на изоклинах (6), и при [math]\cos(x+y)=0[/math], т. е. на изоклинах (6) и (7). При переходе (слева направо) через изоклины (7) [math]y''[/math] меняет знак с плюса на минус. Например, если рассмотреть полосу, заключенную между изоклинами [math]y=-x[/math] и [math]y=\pi-x[/math], то на изоклине [math]y=\frac{\pi}{2}-x[/math] производная [math]y''=0[/math], причем под изоклиной [math]y''>0[/math]. Значит, интегральные кривые обращены вогнутостью вверх, а над изоклиной [math]y''<0[/math], значит, интегральные кривые обращены вогнутостью вниз. Таким образом, изоклины (7) являются геометрическим местом точек перегиба интегральных кривых. Полученные данные позволяют приближенно построить семейство интегральных кривых данного уравнения. Для более точного построения следует нанести еще несколько изоклин (рис. 7).


Семейство интегральных кривых и изоклины



Пример 3. Методом изоклин построить интегральные кривые уравнения [math]y'=y-x^2+2x-2[/math].


Решение. Положим [math]y'=\text{const}=k[/math]. Тогда уравнение изоклин будет


[math]y-x^2+2x-2=k[/math], или [math]y=x^2-2x+2+k[/math].

Приближенное семейство интегральных кривых уравнения

Изоклинами являются параболы с вертикальной осью симметрии [math]x=1[/math]. Среди изоклин нет интегральных кривых. В самом деле, подставляя в данное уравнение [math]y=x^2-2x+2+k[/math] и [math]y'=2x-2[/math], будем иметь [math]2x-2=x^2-2x+2+k-x^2+2x-2[/math] , или [math]2x-2=k[/math]. Но это равенство ни при каком значении [math]k[/math] не может выполняться тождественно относительно [math]x[/math].


Пусть [math]k=0[/math], тогда в точках пересечения с изоклиной [math]y=x^2-2x+2[/math] интегральные кривые будут иметь горизонтальные касательные. Изоклина [math]y=x^2-2x+2[/math] разбивает плоскость [math]xOy[/math] на две части: в одной из них [math]y'<0[/math] (решения [math]y[/math] убывают), а в другой [math]y'>0[/math] (решения [math]y[/math] возрастают). И так как эта изоклина не является интегральной кривой, то на ней находятся точки экстремума интегральных кривых, именно на той части параболы [math]y=x^2-2x+2[/math], где [math]x<1[/math] — точки минимума, а на другой части этой параболы, где [math]x>1[/math] — точки максимума. Интегральная кривая, проходящая через точку [math](1;1)[/math], т.е. через вершину параболы [math]y=x^2-2x+2[/math], в этой точке не имеет экстремума. В точках изоклин [math]y=x^2-2x+3[/math] [math](k=1)[/math] и [math]y=x^2-2x+1[/math] [math](k=-1)[/math] касательные к интегральным кривым имеют угловые коэффициенты, соответственно равные 1 и –1.


Для исследования направления вогнутости интегральных кривых найдем вторую производную:


[math]y''=y'-2x+2=y-x^2+2x-2-2x+2=y-x^2.[/math]

Она обращается в ноль только в точках, лежащих на параболе [math]y=x^2[/math]. В точках плоскости [math]xOy[/math], координаты которых удовлетворяют условию [math]y<x^2[/math], интегральные кривые вогнуты вниз [math](y''<0)[/math], а в точках, где [math]y>x^2[/math], они вогнуты вверх [math]y''>0[/math]. Точки пересечения интегральных кривых с параболой [math]y=x^2[/math] являются точками перегиба этих кривых. Итак, парабола [math]y=x^2[/math] есть геометрическое место точек перегиба интегральных кривых.


Правая часть исходного уравнения [math]f(x,y)=y-x^2+2x-2[/math] во всех точках плоскости [math]xOy[/math] удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, поэтому через каждую точку плоскости проходит единственная интегральная кривая уравнения.


Используя полученные сведения, строим приближенно семейство интегральных кривых данного уравнения (рис. 8).




Замечание 2. Точки пересечения двух или нескольких изоклин могут быть особыми точками дифференциального уравнения (1), т.е. такими точками, в которых правая часть уравнения (1) не определена.


Рассмотрим уравнение [math]y'=\frac{y}{x}[/math]. Семейство изоклин определяется уравнением [math]\frac{y}{x}=k[/math]. Это семейство прямых, проходящих через начало координат, так что в начале координат пересекаются изоклины, отвечающие различным наклонам касательных к интегральным кривым. Нетрудно убедиться, что общее решение данного уравнения имеет вид [math]y=Cx[/math] и точка [math](0;0)[/math] является особой точкой дифференциального уравнения. Здесь изоклины являются интегральными кривыми уравнения (рис. 9).




Пример 4. Методом изоклин построить интегральные кривые уравнения [math]\frac{dy}{dx}=\frac{y-x}{y+x}[/math].


Решение. Полагая [math]y'=\text{const}=k[/math], получаем уравнение семейства изоклин [math]\frac{y-x}{y+x}=k[/math]. Таким образом, изоклинами являются прямые, проходящие через начало координат [math]O(0;0)[/math].


При [math]k=-1[/math] получим изоклину [math]y=0[/math], при [math]x[/math] — изоклину [math]y=x[/math], при [math]k=1[/math] — изоклину [math]x=0[/math].


Рассматривая обратное уравнение [math]\frac{dx}{dy}=\frac{y+x}{y-x}[/math] найдем изоклину [math]y=-x[/math], во всех точках которой интегральные кривые имеют вертикальные касательные.


В точке [math](0;0)[/math] пересекаются все изоклины данного уравнения (особая точка уравнения). С помощью полученных изоклин строим интегральные кривые (рис. 10).


Интегральные кривые, построенные по изоклинам

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved