Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Метод исключения - Сведение системы ДУ к одному уравнению

Метод исключения — сведение системы ДУ к одному уравнению


Частным случаем канонической системы дифференциальных уравнений является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной.


x^{(n)}=f(t,x,x',\ldots,x^{(n-1)}).

Введением новых функций


x_1=x'(t),\quad x_2=x''(t),\quad \ldots,\quad x_{n-1}=x^{(n-1)}(t).

это уравнение заменяется нормальной системой n уравнений


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=x_1,\\[9pt] \dfrac{dx_1}{dt}=x_2,\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ \dfrac{dx_{n-2}}{dt}=x_{n-1},\\[9pt] \dfrac{dx_{n-1}}{dt}=f(t,x,x_1,x_2,\ldots,x_{n-1}).\end{cases}

Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система n уравнений первого порядка


\begin{cases}\dfrac{dx_1}{dt}=f_1(t,x,x_1,x_2,\ldots,x_{n}),\\[9pt] \dfrac{dx_2}{dt}=f_2(t,x,x_1,x_2,\ldots,x_{n}),\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ \dfrac{dx_n}{dt}=f_1(t,x,x_1,x_2,\ldots,x_{n}), \end{cases}

эквивалентна одному уравнению порядка n. На этом основан один из методов интегрирования систем дифференциальных уравнений — метод исключения.


Проиллюстрируем этот метод на примере системы двух уравнений:


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=ax+by+f(t),\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=cx+dy+g(t).\end{cases}
(1)

Здесь a,b,c,d — постоянные коэффициенты, а f(t) и g(t) — заданные функции; x(t) и y(t) — искомые функции. Из первого уравнения системы (1) находим


y=\frac{1}{b}\!\left(\frac{dx}{dt}-ax-f(t)\right)\!.
(2)

Подставляя во второе уравнение системы вместо у правую часть (2), а вместо \frac{dy}{dt} производную от правой части (2), получаем уравнение второго порядка относительно x(t)


A\,\frac{d^2x}{dt^2}+B\,\frac{dx}{dt}+Cx+P(t)=0,

где A,\,B,\,C — постоянные. Отсюда находим x=x(t,C_1,C_2). Подставив найденное выражение для x и \frac{dx}{dt} в (2), найдем y.




Пример 1. Проинтегрировать систему уравнений


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=y+1,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=x+1.\end{cases}
(3)

Решение. Из первого уравнения системы (3) находим y=\frac{dx}{dt}-1, тогда


\frac{dy}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}\,.
(4)

Подставляя (4) во второе уравнение системы (3), получаем линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка


\frac{d^2x}{dt^2}-x-1=0\,.
(5)

Общее решение уравнения (5)

x=C_1\,e^{t}+C_2\,e^{-t}-1.
(6)

Находя производную по t от (6), получаем


y=\frac{dx}{dt}-1=C_1\,e^t-C_2\,e^{-t}-1.

Общее решение системы (3):


x=C_1\,e^{t}+C_2\,e^{-t}-1,\quad y=C_1\,e^t-C_2\,e^{-t}-1.



Пример 2. Решить задачу Коши для системы


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=3x+8y,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=-x-3y,\end{cases}
(7)

x(0)=6,\quad y(0)=-2.
(8)

Решение. Из второго уравнения системы (7) находим


x=-3y-\frac{dy}{dt}\,,
(9)

откуда

\frac{dx}{dt}=-3\,\frac{dy}{dt}-\frac{d^2y}{dt^2}\,.
(10)

Подставляя (9) и (10) в первое уравнение системы (7), получаем уравнение \frac{d^2y}{dt^2}-y=0, общее решение которого


y=C_1\,e^t+C_2\,e^{-t}.
(11)

Подставляя (11) в (9), найдем x=-4C_1e^t-2C_2e^{-t}. Общее решение системы (7)


x=-4\,C_1\,e^t-2\,C_2\,e^{-t},\quad y=C_1\,e^t+C_2\,e^{-t}.
(12)

При начальных условиях (8) из (12) получим систему уравнений для определения C_1,\,C_2:


\begin{cases}-4C_1-2C_2=6,\\C_1+C_2=-2,\end{cases}

решая которую, найдем C_1=C_2=-1. Подставляя эти значения C_1 и C_2 в (12), получаем решение поставленной задачи Коши:


x=4e^t+2e^{-t},\quad y=-e^t-e^{-t}.



Пример 3. Решить систему уравнений


\begin{cases}t\,\dfrac{dx}{dt}=-x+yt,\\[9pt] t^2\,\dfrac{dy}{dt}=-2x+yt.\end{cases}

Решение. Из первого уравнения системы находим


y=\frac{x}{t}+\frac{dx}{dt}\,, так что \frac{dy}{dt}=-\frac{x}{t^2}+ \frac{1}{t}\cdot \frac{dx}{dt^2}+ \frac{d^2x}{dt^2}\,.

Подставляя эти выражения для y и \frac{dy}{dt} во второе уравнение, получаем


t^2\,\frac{d^2x}{dt^2}+t\,\frac{dx}{dt}-x=-2x+x+t\,\frac{dx}{dt}\,, или t^2\,\frac{d^2x}{dt^2}=0

Считая t\ne0, из последнего уравнения имеем \frac{d^2x}{dt^2}=0 и после интегрирования получим x=C_1+C_2t. Теперь легко находим


y=\frac{x}{t}+\frac{dx}{dt}=\frac{C_1+C_2t}{t}+C_2=2C_2+\frac{C_1}{t}\,.

Общее решение данной системы


x=C_1+C_2t,\quad y=\frac{C_1}{t}+2C_2,\quad t\ne0.



Замечание. Не всякая система дифференциальных уравнений может быть сведена к одному уравнению более высокого порядка. Например,


\frac{dx}{dt}=x,\quad \frac{dy}{dt}=y

не сводится к одному уравнению второго порядка. Ее общее решение x=C_1e^t,~y=C_2e^t.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved