Глава 3. Системы дифференциальных уравнений
Метод исключения — сведение системы ДУ к одному уравнению
Частным случаем канонической системы дифференциальных уравнений является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной.
[math]x^{(n)}=f(t,x,x',\ldots,x^{(n-1)}).[/math]
Введением новых функций
[math]x_1=x'(t),\quad x_2=x''(t),\quad \ldots,\quad x_{n-1}=x^{(n-1)}(t).[/math]
это уравнение заменяется нормальной системой [math]n[/math] уравнений
[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=x_1,\\[9pt] \dfrac{dx_1}{dt}=x_2,\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ \dfrac{dx_{n-2}}{dt}=x_{n-1},\\[9pt] \dfrac{dx_{n-1}}{dt}=f(t,x,x_1,x_2,\ldots,x_{n-1}).\end{cases}[/math]
Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система [math]n[/math] уравнений первого порядка
[math]\begin{cases}\dfrac{dx_1}{dt}=f_1(t,x,x_1,x_2,\ldots,x_{n}),\\[9pt] \dfrac{dx_2}{dt}=f_2(t,x,x_1,x_2,\ldots,x_{n}),\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ \dfrac{dx_n}{dt}=f_1(t,x,x_1,x_2,\ldots,x_{n}), \end{cases}[/math]
эквивалентна одному уравнению порядка [math]n[/math]. На этом основан один из методов интегрирования систем дифференциальных уравнений — метод исключения.
Проиллюстрируем этот метод на примере системы двух уравнений:
[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=ax+by+f(t),\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=cx+dy+g(t).\end{cases}[/math](1)
Здесь [math]a,b,c,d[/math] — постоянные коэффициенты, а [math]f(t)[/math] и [math]g(t)[/math] — заданные функции; [math]x(t)[/math] и [math]y(t)[/math] — искомые функции. Из первого уравнения системы (1) находим
[math]y=\frac{1}{b}\!\left(\frac{dx}{dt}-ax-f(t)\right)\!.[/math](2)
Подставляя во второе уравнение системы вместо у правую часть (2), а вместо [math]\frac{dy}{dt}[/math] производную от правой части (2), получаем уравнение at второго порядка относительно [math]x(t)[/math]
[math]A\,\frac{d^2x}{dt^2}+B\,\frac{dx}{dt}+Cx+P(t)=0,[/math]
где [math]A,\,B,\,C[/math] — постоянные. Отсюда находим [math]x=x(t,C_1,C_2)[/math]. Подставив найденное выражение для [math]x[/math] и [math]\frac{dx}{dt}[/math] в (2), найдем [math]y[/math].
Пример 1. Проинтегрировать систему уравнений
[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=y+1,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=x+1.\end{cases}[/math](3)
Решение. Из первого уравнения системы (3) находим [math]y=\frac{dx}{dt}-1[/math], тогда
[math]\frac{dy}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}\,.[/math](4)
Подставляя (4) во второе уравнение системы (3), получаем линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка
[math]\frac{d^2x}{dt^2}-x-1=0\,.[/math](5)
Общее решение уравнения (5) [math]x=C_1\,e^{t}+C_2\,e^{-t}-1.[/math](6)
Находя производную по [math]t[/math] от (6), получаем
[math]y=\frac{dx}{dt}-1=C_1\,e^t-C_2\,e^{-t}-1.[/math]
Общее решение системы (3):
[math]x=C_1\,e^{t}+C_2\,e^{-t}-1,\quad y=C_1\,e^t-C_2\,e^{-t}-1.[/math]
Пример 2. Решить задачу Коши для системы
[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=3x+8y,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=-x-3y,\end{cases}[/math](7)
[math]x(0)=6,\quad y(0)=-2.[/math](8)
Решение. Из второго уравнения системы (7) находим
[math]x=-3y-\frac{dy}{dt}\,,[/math](9)
откуда
[math]\frac{dx}{dt}=-3\,\frac{dy}{dt}-\frac{d^2y}{dt^2}\,.[/math](10)
Подставляя (9) и (10) в первое уравнение системы (7), получаем уравнение [math]\frac{d^2y}{dt^2}-y=0[/math], общее решение которого
[math]y=C_1\,e^t+C_2\,e^{-t}.[/math](11)
Подставляя (11) в (9), найдем [math]x=-4C_1e^t-2C_2e^{-t}[/math]. Общее решение системы (7)
[math]x=-4\,C_1\,e^t-2\,C_2\,e^{-t},\quad y=C_1\,e^t+C_2\,e^{-t}.[/math](12)
При начальных условиях (8) из (12) получим систему уравнений для определения [math]C_1,\,C_2:[/math]
[math]\begin{cases}-4C_1-2C_2=6,\\C_1+C_2=-2,\end{cases}[/math]
решая которую, найдем [math]C_1=C_2=-1[/math]. Подставляя эти значения [math]C_1[/math] и [math]C_2[/math] в (12), получаем решение поставленной задачи Коши:
[math]x=4e^t+2e^{-t},\quad y=-e^t-e^{-t}.[/math]
Пример 3. Решить систему уравнений
[math]\begin{cases}t\,\dfrac{dx}{dt}=-x+yt,\\[9pt] t^2\,\dfrac{dy}{dt}=-2x+yt.\end{cases}[/math]
Решение. Из первого уравнения системы находим
[math]y=\frac{x}{t}+\frac{dx}{dt}\,,[/math] так что [math]\frac{dy}{dt}=-\frac{x}{t^2}+\frac{1}{t}\cdot\frac{dx}{dt^2}+\frac{d^2x}{dt^2}\,.[/math]
Подставляя эти выражения для [math]y[/math] и [math]\frac{dy}{dt}[/math] во второе уравнение, получаем
[math]t^2\,\frac{d^2x}{dt^2}+t\,\frac{dx}{dt}-x=-2x+x+t\,\frac{dx}{dt}\,,[/math] или [math]t^2\,\frac{d^2x}{dt^2}=0[/math]
Считая [math]t\ne0[/math], из последнего уравнения имеем [math]\frac{d^2x}{dt^2}=0[/math] и после интегрирования получим [math]x=C_1+C_2t[/math]. Теперь легко находим
[math]y=\frac{x}{t}+\frac{dx}{dt}=\frac{C_1+C_2t}{t}+C_2=2C_2+\frac{C_1}{t}\,.[/math]
Общее решение данной системы
[math]x=C_1+C_2t,\quad y=\frac{C_1}{t}+2C_2,\quad t\ne0.[/math]
Замечание. Не всякая система дифференциальных уравнений может быть сведена к одному уравнению более высокого порядка. Например,
[math]\frac{dx}{dt}=x,\quad \frac{dy}{dt}=y[/math]
не сводится к одному уравнению второго порядка. Ее общее решение [math]x=C_1e^t,~y=C_2e^t[/math].
|
Вход
Регистрация
Альбомы
FAQ
Поиск