Метод исключения — сведение системы ДУ к одному уравнению
Частным случаем канонической системы дифференциальных уравнений является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной.
Введением новых функций
это уравнение заменяется нормальной системой уравнений
Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система уравнений первого порядка
эквивалентна одному уравнению порядка . На этом основан один из методов интегрирования систем дифференциальных уравнений — метод исключения.
Проиллюстрируем этот метод на примере системы двух уравнений:
(1)
Здесь — постоянные коэффициенты, а и — заданные функции; и — искомые функции. Из первого уравнения системы (1) находим
(2)
Подставляя во второе уравнение системы вместо у правую часть (2), а вместо производную от правой части (2), получаем уравнение второго порядка относительно
где — постоянные. Отсюда находим . Подставив найденное выражение для и в (2), найдем .
Пример 1. Проинтегрировать систему уравнений
(3)
Решение. Из первого уравнения системы (3) находим , тогда
(4)
Подставляя (4) во второе уравнение системы (3), получаем линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка
(5)
Общее решение уравнения (5) (6)
Находя производную по от (6), получаем
Общее решение системы (3):
Пример 2. Решить задачу Коши для системы
(7)
(8)
Решение. Из второго уравнения системы (7) находим
(9) откуда (10)
Подставляя (9) и (10) в первое уравнение системы (7), получаем уравнение , общее решение которого
(11)
Подставляя (11) в (9), найдем . Общее решение системы (7)
(12)
При начальных условиях (8) из (12) получим систему уравнений для определения
решая которую, найдем . Подставляя эти значения и в (12), получаем решение поставленной задачи Коши:
Пример 3. Решить систему уравнений
Решение. Из первого уравнения системы находим
так что
Подставляя эти выражения для и во второе уравнение, получаем
или
Считая , из последнего уравнения имеем и после интегрирования получим . Теперь легко находим
Общее решение данной системы
Замечание. Не всякая система дифференциальных уравнений может быть сведена к одному уравнению более высокого порядка. Например,
не сводится к одному уравнению второго порядка. Ее общее решение .
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|