Метод исключения — сведение системы ДУ к одному уравнению
Частным случаем канонической системы дифференциальных уравнений является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной.
Введением новых функций
это уравнение заменяется нормальной системой уравнений
Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система уравнений первого порядка
эквивалентна одному уравнению порядка . На этом основан один из методов интегрирования систем дифференциальных уравнений — метод исключения.
Проиллюстрируем этот метод на примере системы двух уравнений:
![\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=ax+by+f(t),\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=cx+dy+g(t).\end{cases}](data:image/png;base64,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) (1)
Здесь — постоянные коэффициенты, а и — заданные функции; и — искомые функции. Из первого уравнения системы (1) находим
 (2)
Подставляя во второе уравнение системы вместо у правую часть (2), а вместо производную от правой части (2), получаем уравнение второго порядка относительно 
где — постоянные. Отсюда находим . Подставив найденное выражение для и в (2), найдем .
Пример 1. Проинтегрировать систему уравнений
![\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=y+1,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=x+1.\end{cases}](data:image/png;base64,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) (3)
Решение. Из первого уравнения системы (3) находим , тогда
 (4)
Подставляя (4) во второе уравнение системы (3), получаем линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка
 (5)
Общее решение уравнения (5)  (6)
Находя производную по от (6), получаем
Общее решение системы (3):
Пример 2. Решить задачу Коши для системы
![\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=3x+8y,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=-x-3y,\end{cases}](data:image/png;base64,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) (7)
 (8)
Решение. Из второго уравнения системы (7) находим
 (9) откуда  (10)
Подставляя (9) и (10) в первое уравнение системы (7), получаем уравнение , общее решение которого
 (11)
Подставляя (11) в (9), найдем . Общее решение системы (7)
 (12)
При начальных условиях (8) из (12) получим систему уравнений для определения 
решая которую, найдем . Подставляя эти значения и в (12), получаем решение поставленной задачи Коши:
Пример 3. Решить систему уравнений
Решение. Из первого уравнения системы находим
 так что 
Подставляя эти выражения для и во второе уравнение, получаем
 или 
Считая , из последнего уравнения имеем и после интегрирования получим . Теперь легко находим
Общее решение данной системы
Замечание. Не всякая система дифференциальных уравнений может быть сведена к одному уравнению более высокого порядка. Например,
не сводится к одному уравнению второго порядка. Ее общее решение .
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|