Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду
ОглавлениеЛинейная алгебра

Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду


Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования:


I. Перестановка двух столбцов (строк) матрицы.


II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.


III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на одно и то же число.


Матрица [math]B[/math], полученная из исходной матрицы [math]A[/math] конечным числом элементарных преобразований, называется эквивалентной. Это обозначается [math]A\sim B[/math].


Элементарные преобразования применяются для упрощения матриц, что будет в дальнейшем использоваться для решения разных задач.


Покажем, как при помощи элементарных преобразований можно привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4). Здесь высота каждой "ступеньки" составляет одну строку, символом 1 (единицей) обозначены единичные элементы матрицы, символом * — обозначены элементы с произвольными значениями, остальные элементы матрицы нулевые. К ступенчатому виду можно привести любую матрицу, причем достаточно использовать только элементарные преобразования строк матрицы.


[math]\begin{gathered}\left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}} 0&\cdots&0&1&\ast&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&1&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&1&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&1&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0 \end{array}\!\!\right)\\[2pt] \mathsf{Ris.~1.4}\end{gathered}[/math]



Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду


Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4), нужно выполнить следующие действия.


1. В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля (ведущий элемент). Строку с ведущим элементом (ведущая строка), если она не первая, переставить на место первой строки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равны нулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.


2. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа). Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.


3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа).


4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейся части матрицы.




Пример 1.29. Привести к ступенчатому виду матрицы


[math]A=\begin{pmatrix}3&9\\2&4\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}0&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}2&4\\3&5\\6&7\end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. В первом столбце матрицы [math]A[/math] выбираем ведущий элемент [math]a_{11}=3\ne0[/math]. Делим все элементы первой строки на [math]a_{11}=3[/math] (или, что то же 1 1. самое, умножаем на [math]\tfrac{1}{a_{11}}=\tfrac{1}{3}[/math]):


[math]A=\begin{pmatrix}\boxed{3}&9\\2&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\!.[/math]

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2):

[math]\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&3\\0&-2\end{pmatrix}\!.[/math]

Первый столбец и первую строку исключаем из рассмотрения. В оставшейся части матрицы имеется один элемент (-2), который выбираем в качестве ведущего. Разделив последнюю строку на ведущий элемент, получаем матрицу ступенчатого вида


[math]\begin{pmatrix}1&3\\0&\boxed{-2}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}\!.[/math]

Преобразования закончены, так как ведущая строка последняя. Заметим, что получившаяся матрица является верхней треугольной.

В первом столбце матрицы [math]B[/math] выбираем ведущий элемент [math]b_{21}=2\ne0[/math]. Меняем местами строки, ставя ведущую строку на место первой, и делим элементы ведущей строки на ведущий элемент 2:


[math]B=\begin{pmatrix}0&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\boxed{2}&4&6\\0&2&3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2&3\\0&2&3\end{pmatrix}\!.[/math]

Пункт 3 алгоритма делать не надо, так как под ведущим элементом стоит нуль. Исключаем из рассмотрения первую строку и первый столбец. В оставшейся части ведущий элемент — число 2. Разделив ведущую строку (вторую) на 2, получаем ступенчатый вид:


[math]B\sim \begin{pmatrix}1&2&3\\0&\boxed{2}&3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&1,\!5\end{pmatrix}\!.[/math]

Преобразования закончены, так как ведущая строка последняя.


В первом столбце матрицы [math]C[/math] выбираем ведущий элемент [math]c_{11}=2\ne0[/math]. Первая строка — ведущая. Делим ее элементы на [math]c_{11}=2[/math]. Получаем


[math]C= \begin{pmatrix}\boxed{2}&4\\3&5\\6&7\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\\3&5\\6&7\end{pmatrix}\!.[/math]

Ко второй и третьей строкам прибавим первую, умноженную на (-3) и на (-6) соответственно:

[math]C\sim \begin{pmatrix}\boxed{1}&2\\3&5\\6&7\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\\0&-1\\0&-5\end{pmatrix}\!.[/math]

Обратим внимание на то, что полученная матрица еще не является матрицей ступенчатого вида, так как вторую ступеньку образуют две строки (2-я и 3-я) матрицы. Исключив 1-ю строку и 1-й столбец, ищем в оставшейся части ведущий элемент. Это элемент (-1). Делим вторую строку на (-1), а затем к третьей строке прибавляем ведущую (вторую), умноженную на 5:


[math]C\sim \begin{pmatrix}1&2\\0&\boxed{-1}\\0&-5\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\\0&1\\0&-5\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\\0&1\\0&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Исключим из рассмотрения вторую строку и второй столбец. Поскольку исключены все столбцы, дальнейшие преобразования невозможны. Полученный вид — ступенчатый.




Замечания 1.8.


1. Говорят, что матрица имеет ступенчатый вид также и в случае, когда на месте ведущих элементов (обозначенных на рис. 1.4 единицей) стоят любые отличные от нуля числа.


2. Считается, что нулевая матрица имеет ступенчатый вид.


Пример 1.30. Привести к ступенчатому виду матрицу


[math]A=\begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\0&1&1&2&3&2\\0&2&2&1&2&1\\0&4&4&4&6&4\end{pmatrix}[/math]

Решение. Первый столбец матрицы [math]A[/math] — нулевой. Исключаем его из рассмотрения и исследуем оставшуюся часть (последние 5 столбцов):


[math]A=\begin{pmatrix}0\!&\vline\!\!&1&1&1&1&1\\0\!\!&\vline\!\!&1&1&2&3&2\\0\!\!&\vline\!\!&2&2&1&2&1\\0\!\!&\vline\!\!&4&4&4&6&4\end{pmatrix}[/math]

Берем в качестве ведущего элемент [math]a_{12}=1[/math]. Прибавляем ко второй строке первую, умноженную на (-1); к третьей строке — первую, умноженную на (-2); к четвертой строке — первую, умноженную на (-4). Тем самым "обнуляются" все элементы второго столбца, расположенные ниже ведущего элемента:


[math]A\sim \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&-1&0&-1\\ 0&0&0&0&2&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Полученная матрица не имеет ступенчатого вида, так как одна из ступенек имеет высоту в три строки. Продолжаем преобразования. Первую строку и второй столбец исключаем из рассмотрения. Поскольку первый столбец в оставшейся части матрицы нулевой, исключаем его. Теперь оставшаяся часть матрицы — это матрица (размеров [math]3\times3[/math]), образованная элементами, расположенными в последних трех строках и трех столбцах полученной матрицы. В качестве ведущего элемента выбираем [math]a_{24}=1[/math]. К третьей строке прибавляем вторую. Получаем матрицу


[math]A\sim \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&2&0\\ 0&0&0&0&2&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Вторую строку и четвертый столбец исключаем из рассмотрения. Берем элемент [math]a_{35}=2[/math] в качестве ведущего. Делим третью строку на число 2 (умножаем на 0,5):


[math]A\sim \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&2&0\end{pmatrix}\!.[/math]

К четвертой строке прибавляем третью, умноженную на (-2):

[math]A\sim \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&2&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Третью строку и четвертый столбец исключаем из рассмотрения. Поскольку в оставшейся части матрицы все элементы (один) нулевые, преобразования закончены. Матрица приведена к ступенчатому виду (см. рис. 1.4).




Замечание 1.9. Продолжая выполнять элементарные преобразования над строками матрицы, можно упростить ступенчатый вид, а именно привести матрицу к упрощенному виду (рис. 1.5).


[math]\begin{gathered}\left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}} 0&\cdots&0&1&0&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&1&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&1&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&0&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&1&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0 \end{array}\!\!\right)\\[2pt] \mathsf{Ris.~1.5}\end{gathered}[/math]

Здесь символом 1 обозначены элементы матрицы, равные единице, символом * — обозначены элементы с произвольными значениями, остальные элементы матрицы нулевые. Заметим, что в каждом столбце с единицей остальные элементы равны нулю.




Пример 1.31. Привести к упрощенному виду матрицу


[math]A=\begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Матрица имеет ступенчатый вид. Прибавим к первой строке третью, умноженную на (-1), а ко второй строке третью, умноженную на (-2):


[math]A\sim\begin{pmatrix}0&1&1&1&0&1\\ 0&0&0&1&0&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Теперь к первой строке прибавим вторую, умноженную на (-1). Получим матрицу упрощенного вида (см. рис. 1.5):

[math]A\sim\begin{pmatrix}0&1&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!.[/math]



Замечание 1.10. При помощи элементарных преобразований (строк и столбцов) любую матрицу можно привести к простейшему виду (рис. 1.6).


[math]\begin{gathered} \begin{pmatrix} 1&\cdots&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&1&0&\cdots&0\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0 \end{pmatrix}_{m\times n}=\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}\!.\\[2pt] \mathsf{Ris.~~1.6}\end{gathered}[/math]

Левый верхний угол матрицы представляет собой единичную матрицу порядка [math]r~(0\leqslant r\leqslant\min\{m,n\})[/math], а остальные элементы равны нулю. Считается, что нулевая матрица уже имеет простейший вид (при [math]r=0[/math]).




Пример 1.32. Привести матрицу [math]A=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 2&4&5\end{pmatrix}[/math] к простейшему виду.


Решение. В качестве ведущего элемента возьмем [math]a_{11}=1[/math]. Ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2):


[math]A\sim\begin{pmatrix}1&2&3\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\!.[/math]

Ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на (-2), а к третьему -первый, умноженный на (-3):

[math]A\sim\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\!.[/math]

Умножим все элементы последнего столбца на (-1) и переставим его на место второго:

[math]A\sim\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Таким образом, исходная матрица [math]A[/math] при помощи элементарных преобразований приведена к простейшему виду (см. рис. 1.6).




Свойства элементарных преобразований матриц


Подчеркнем следующие свойства элементарных преобразований матриц.


Теорема 1.1 о приведении матрицы к ступенчатому виду. Любую матрицу при помощи элементарных преобразований ее строк можно привести к ступенчатому (или даже упрощенному) виду.


Следствие (о приведении матрицы к простейшему виду). Любую матрицу при помощи элементарных преобразований ее строк и столбцов можно привести к простейшему виду.


Замечания 1.11


1. Преобразования, обратные к элементарным, являются элементарными. В самом деле, если в матрице поменяли местами два столбца (преобразование I типа), то исходную матрицу можно получить, еще раз поменяв местами эти столбцы. Если столбец матрицы умножили на число [math]\lambda\ne0[/math] (преобразование II типа), то для получения исходной матрицы надо этот столбец умножить на обратное число [math]\tfrac{1}{\lambda}\ne0[/math]. Если к i-му столбцу матрицы прибавили j-й столбец, умноженный на число [math]\lambda[/math], то для получения исходной матрицы достаточно к i-му столбцу матрицы прибавить j-й столбец, умноженный на противоположное число ([math]-\lambda[/math]).


2. В теореме 1.1 говорится о приведении матрицы к ступенчатому (упрощенному) виду при помощи элементарных преобразований только ее строк, не используя преобразования ее столбцов. Чтобы привести произвольную матрицу к простейшему виду (следствие теоремы 1.1), нужно использовать преобразования и строк, и столбцов матрицы.


3. Рассмотрим следующую модификацию пункта 3 метода Гаусса. Ведущий элемент, выбранный в п. 1 метода Гаусса, определяет ведущую строку и ведущий столбец матрицы (он находится на их пересечении). Делим все элементы ведущей строки на ведущий элемент (см. п.2 метода Гаусса). Прибавляя ведущую строку, умноженную на соответствующие числа, к остальным строкам матрицы (аналогично п.3 метода Гаусса), делаем равными нулю все элементы ведущего столбца, за исключением ведущего элемента. Затем, прибавляя полученный ведущий столбец, умноженный на соответствующие числа, к остальным столбцам матрицы, делаем равными нулю все элементы ведущей строки, за исключением ведущего элемента. При этом получаем ведущие строку и столбец, все элементы которых равны нулю, за исключением ведущего элемента, равного единице.


Модифицированный таким образом метод Гаусса называется методом Гаусса-Жордана. Его применение позволяет сразу получить простейший вид матрицы, минуя ее ступенчатый вид.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved