Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Метод функций Ляпунова

Метод функций Ляпунова


Метод функций Ляпунова состоит в непосредственном исследовании устойчивости положения равновесия системы


\frac{dx_i}{dt}=f_i(t,x_1,x_2,\ldots,x_n),\quad i=1,2,\ldots,n,

при помощи подходящим образом подобранной функции V(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)функции Ляпунова, причем делается это без предварительного нахождения решений системы.


Ограничимся рассмотрением автономных систем


\frac{dx_i}{dt}=f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n),\quad i=1,2,\ldots,n,
(1)

для которых x_i\equiv0,~ i=1,2,\ldots,n, есть точка покоя.


Функция V(x_1,x_2,\ldots,x_n), определенная в некоторой окрестности начала координат, называется знакоопределенной (определенно-положительной или определенно-отрицательной), если она в области


|x_i|\leqslant h, \quad i=1,2,\ldots,n,
(2)

где h — достаточно малое положительное число, может принимать значения только одного определенного знака и обращается в ноль лишь при x_1=\ldots=x_n=0. Так, в случае n=3 функции


V=x_1^2+x_2^2+x_3^2 и V=x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+x_3^2

будут определенно-положительными, причем здесь величина h>0 может быть взята сколько угодно большой.


Функция V(x_1,x_2,\ldots,x_n) называется знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она в области (2) может принимать значения только одного определенного знака, но может обращаться в ноль и при x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2\ne0. Например, функция


V(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+x_3^2

будет знакопостоянной (положительной). В самом деле, функцию V(x_1,x_2,x_3) можно записать так: V(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^2+x_3^2 откуда видно, что она обращается в ноль и при x_1^2+x_2^2+x_3^2\ne0, а именно при x_3=0 и любых x_1 и x_2 таких, что x_1=-x_2.


Пусть V(x_1,x_2,\ldots,x_n) есть дифференцируемая функция своих аргументов и пусть x_1,x_2,\ldots,x_n являются некоторыми функциями времени, удовлетворяющими системе дифференциальных уравнений (1). Тогда для полной производной функции V по времени будем иметь:


\frac{dV}{dt}= \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial V}{\partial x_i}\cdot\frac{dx_i}{dt}= \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial V}{\partial x_i}f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n).
(6)

Величина \frac{dV}{dt}, определяемая формулой (3), называется полной производной функции V по времени, составленной в силу системы уравнений (1).




Теорема (1) Ляпунова об устойчивости. Если для системы дифференциальных уравнений (1) существует знакоопределенная функция V(x_1,x_2,\ldots,x_n) (функция Ляпунова), полная производная \frac{dV}{dt} которой по времени, составленная в силу системы (1), есть функция знакопостоянная, знака, противоположного с V, или тождественно равная нулю, то точка покоя x_i=0, i=1,2,\ldots,n, системы (1) устойчива.


Теорема (2) Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если для системы дифференциальных уравнений (I) существует знакоопределенная функция V(x_1,x_2,\ldots,x_n), полная производная которой по времени, составленная в силу системы (1), есть также функция знакоопределенная, знака противоположного с V, то тонка покоя x_i=0 системы (1) асимптотически устойчива.




Пример 1. Исследовать на устойчивость точку покоя системы


\begin{cases}x'(t)=y(t),\\y'(t)=-x(t).\end{cases}
(4)

Решение. Выберем в качестве функции V(x,y) функцию V=x^2+y^2. Эта функция определенно-положительная. Производная функции V в силу системы (4) равна


\frac{dV}{dt}= 2x\,\frac{dx}{dt}+2y\,\frac{dy}{dt}= 2xy-2xy\equiv0.

Из теоремы 1 следует, что точка покоя O(0,0) системы (4) устойчива. Однако асимптотической устойчивости нет: траектории системы (4) — окружности и они не стремятся к точке O(0,0) при t\to+\infty.


Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя системы


\begin{cases}x'(t)=y(t)-x^3(t),\\y'(t)=-x(t)-3y^3(t).\end{cases}
(5)

Решение. Беря опять V(x,y)=x^2+y^2, найдем


\frac{dV}{dt}= 2x(y-x^3)+2y(-x-3y^3)= -2(x^4+3y^4).

Таким образом, \frac{dV}{dt} есть определенно-отрицательная функция. В силу теоремы 2 точка покоя O(0,0) системы (5) устойчива асимптотически.




Общего метода построения функции Ляпунова нет. В простейших случаях функцию Ляпунова можно искать в виде


V(x,y)=ax^2+by^2,\quad V(x,y)=ax^4+by^4,\quad V(x,y)=ax^4+by^2\quad (a,b>0) и т.д.

Пример 3. С помощью функции Ляпунова исследовать на устойчивость тривиальное решение x\equiv0, y\equiv0 системы


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=-x-2y+x^2y^2,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=x-\dfrac{y}{2}-\dfrac{x^3y}{2}.\end{cases}

Решение. Будем искать функцию Ляпунова в виде V=ax^2+by^2, где a,b>0 — произвольные параметры. Имеем


\begin{aligned}\frac{dV}{dt}&=\frac{\partial V}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\partial V}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dt}=\\ &= 2ax(-x-2y+x^2y^2)+2by\!\left(x-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}x^3y\right)=\\ &=-(2ax^2+by^2)+(2xy-x^3y^2)(b-2a).\end{aligned}

Полагая b=2a, получим, что \frac{dV}{dt}=-2a(x^2+y^2)\leqslant0. Таким образом, при всяком a>0 и b=2a функция V=ax^2+2ay^2 будет определенно-положительной, а ее производная \frac{dV}{dt}, составленная в силу данной системы, является определенно-отрицательной. Из теоремы 2 Ляпунова следует, что тривиальное решение x\equiv0, y\equiv0 данной системы устойчиво асимптотически.


Если бы в указанной выше форме функцию V(x,y) не удалось найти, то ее следовало бы поискать в форме


V(x,y)=ax^4+by^4 или V(x,y)=ax^4+by^2 и т.д.



Теорема (3) Ляпунова о неустойчивости. Пусть для системы дифференциальных уравнений (1) существует дифференцируемая в окрестности начала координат функция V(x_1,x_2,\ldots,x_n) такая, что V(0,0,\ldots,0)=0. Если ее полная производная \frac{dV}{dt}, составленная в силу системы (1), есть определенно-положительная функция и сколь угодно близко от начала координат имеются точки, в которых функция V(x_1,x_2,\ldots,x_n) принимает положи тельные значения, то точка покоя x_i=0, i=1,2,\ldots,n, неустойчива.


Замкнутая окрестность точки покоя

Теорема (4) Четаева о не устойчивости. Пусть для системы дифференциальных уравнений (1) существует непрерывно дифференцируемая в некоторой окрестности точки покоя x_i=0, i=1,2,\ldots,n, функция v(x_1,x_2,\ldots,x_n), удовлетворяющая в некоторой замкнутой окрестности точки покоя условиям:


1) в сколь угодно малой окрестности \Omega точки покоя x_i=0, i=1,2,\ldots,n существует область \Omega_1, в которой v(x_1,x_2,\ldots,x_n)>0, причем v=0 в тех граничных точках \Omega_1, которые являются внутренними для \Omega (рис. 43);


2) точка покоя O(0,0,\ldots,0) является граничной точкой области \Omega_1;


3) в области \Omega_1 производная \frac{dv}{dt}, составленная в силу системы (1), определенно-положительная.


Тогда точка покоя x_i=0, i=1,2,\ldots,n, системы (1) неустойчива.




Пример 4. Исследовать на устойчивость точку покоя x=0,~y=0 системы


\begin{cases}x'(t)=x(t),\\ y'(t)=-y(t).\end{cases}

Решение. Возьмем функцию v(x,y)=x^2-y^2. Тогда


\frac{dv}{dt}= \frac{\partial v}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dt}+ \frac{\partial v}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dt}= 2x^2+2y^2

есть функция определенно-положительная. Так как сколь угодно близко к началу координат найдутся точки, в которых v>0 (например, v=x^2>0 вдоль прямой y=0), то выполнены все условия теоремы 3 и точка покоя O(0,0) неустойчива (седло).


Пример 5. Исследовать на устойчивость точку покоя x=0,~y=0 системы


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=y^3+x^5,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=x^3+y^5.\end{cases}

Решение. Функция v=x^4-y^4 удовлетворяет условиям теоремы Четаева:


1) v>0 при |x|>|y|;


2) \frac{dv}{dt}=4(x^8-y^8) — определенно-положительная в области |x|>|y|.


Следовательно, точка покоя x=0,~y=0 неустойчива.

Перейти на форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved