Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Метод функций Ляпунова

Метод функций Ляпунова


Метод функций Ляпунова состоит в непосредственном исследовании устойчивости положения равновесия системы


[math]\frac{dx_i}{dt}=f_i(t,x_1,x_2,\ldots,x_n),\quad i=1,2,\ldots,n,[/math]

при помощи подходящим образом подобранной функции [math]V(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math]функции Ляпунова, причем делается это без предварительного нахождения решений системы.


Ограничимся рассмотрением автономных систем


[math]\frac{dx_i}{dt}=f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n),\quad i=1,2,\ldots,n,[/math]
(1)

для которых [math]x_i\equiv0,~ i=1,2,\ldots,n[/math], есть точка покоя.


Функция [math]V(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math], определенная в некоторой окрестности начала координат, называется знакоопределенной (определенно-положительной или определенно-отрицательной), если она в области


[math]|x_i|\leqslant h, \quad i=1,2,\ldots,n,[/math]
(2)

где [math]h[/math] — достаточно малое положительное число, может принимать значения только одного определенного знака и обращается в ноль лишь при [math]x_1=\ldots=x_n=0[/math]. Так, в случае [math]n=3[/math] функции


[math]V=x_1^2+x_2^2+x_3^2[/math] и [math]V=x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+x_3^2[/math]

будут определенно-положительными, причем здесь величина [math]h>0[/math] может быть взята сколько угодно большой.


Функция [math]V(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] называется знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она в области (2) может принимать значения только одного определенного знака, но может обращаться в ноль и при [math]x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2\ne0[/math]. Например, функция


[math]V(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+x_3^2[/math]

будет знакопостоянной (положительной). В самом деле, функцию [math]V(x_1,x_2,x_3)[/math] можно записать так: [math]V(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^2+x_3^2[/math] откуда видно, что она обращается в ноль и при [math]x_1^2+x_2^2+x_3^2\ne0[/math], а именно при [math]x_3=0[/math] и любых [math]x_1[/math] и [math]x_2[/math] таких, что [math]x_1=-x_2[/math].


Пусть [math]V(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] есть дифференцируемая функция своих аргументов и пусть [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] являются некоторыми функциями времени, удовлетворяющими системе дифференциальных уравнений (1). Тогда для полной производной функции [math]V[/math] по времени будем иметь:


[math]\frac{dV}{dt}= \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial V}{\partial x_i}\cdot\frac{dx_i}{dt}= \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial V}{\partial x_i}f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n).[/math]
(6)

Величина [math]\frac{dV}{dt}[/math], определяемая формулой (3), называется полной производной функции [math]V[/math] по времени, составленной в силу системы уравнений (1).




Теорема (1) Ляпунова об устойчивости. Если для системы дифференциальных уравнений (1) существует знакоопределенная функция [math]V(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] (функция Ляпунова), полная производная [math]\frac{dV}{dt}[/math] которой по времени, составленная в силу системы (1), есть функция знакопостоянная, знака, противоположного с [math]V[/math], или тождественно равная нулю, то точка покоя [math]x_i=0,[/math] [math]i=1,2,\ldots,n[/math], системы (1) устойчива.


Теорема (2) Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если для системы дифференциальных уравнений (I) существует знакоопределенная функция [math]V(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math], полная производная которой по времени, составленная в силу системы (1), есть также функция знакоопределенная, знака противоположного с [math]V[/math], то тонка покоя [math]x_i=0[/math] системы (1) асимптотически устойчива.




Пример 1. Исследовать на устойчивость точку покоя системы


[math]\begin{cases}x'(t)=y(t),\\y'(t)=-x(t).\end{cases}[/math]
(4)

Решение. Выберем в качестве функции [math]V(x,y)[/math] функцию [math]V=x^2+y^2[/math]. Эта функция определенно-положительная. Производная функции [math]V[/math] в силу системы (4) равна


[math]\frac{dV}{dt}= 2x\,\frac{dx}{dt}+2y\,\frac{dy}{dt}= 2xy-2xy\equiv0.[/math]

Из теоремы 1 следует, что точка покоя [math]O(0,0)[/math] системы (4) устойчива. Однако асимптотической устойчивости нет: траектории системы (4) — окружности и они не стремятся к точке [math]O(0,0)[/math] при [math]t\to+\infty[/math].


Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя системы


[math]\begin{cases}x'(t)=y(t)-x^3(t),\\y'(t)=-x(t)-3y^3(t).\end{cases}[/math]
(5)

Решение. Беря опять [math]V(x,y)=x^2+y^2[/math], найдем


[math]\frac{dV}{dt}= 2x(y-x^3)+2y(-x-3y^3)= -2(x^4+3y^4).[/math]

Таким образом, [math]\frac{dV}{dt}[/math] есть определенно-отрицательная функция. В силу теоремы 2 точка покоя [math]O(0,0)[/math] системы (5) устойчива асимптотически.




Общего метода построения функции Ляпунова нет. В простейших случаях функцию Ляпунова можно искать в виде


[math]V(x,y)=ax^2+by^2,\quad V(x,y)=ax^4+by^4,\quad V(x,y)=ax^4+by^2\quad (a,b>0)[/math] и т.д.

Пример 3. С помощью функции Ляпунова исследовать на устойчивость тривиальное решение [math]x\equiv0,[/math] [math]y\equiv0[/math] системы


[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=-x-2y+x^2y^2,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=x-\dfrac{y}{2}-\dfrac{x^3y}{2}.\end{cases}[/math]

Решение. Будем искать функцию Ляпунова в виде [math]V=ax^2+by^2[/math], где [math]a,b>0[/math] — произвольные параметры. Имеем


[math]\begin{aligned}\frac{dV}{dt}&=\frac{\partial V}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\partial V}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dt}=\\ &= 2ax(-x-2y+x^2y^2)+2by\!\left(x-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}x^3y\right)=\\ &=-(2ax^2+by^2)+(2xy-x^3y^2)(b-2a).\end{aligned}[/math]

Полагая [math]b=2a[/math], получим, что [math]\frac{dV}{dt}=-2a(x^2+y^2)\leqslant0[/math]. Таким образом, при всяком [math]a>0[/math] и [math]b=2a[/math] функция [math]V=ax^2+2ay^2[/math] будет определенно-положительной, а ее производная [math]\frac{dV}{dt}[/math], составленная в силу данной системы, является определенно-отрицательной. Из теоремы 2 Ляпунова следует, что тривиальное решение [math]x\equiv0,[/math] [math]y\equiv0[/math] данной системы устойчиво асимптотически.


Если бы в указанной выше форме функцию [math]V(x,y)[/math] не удалось найти, то ее следовало бы поискать в форме


[math]V(x,y)=ax^4+by^4[/math] или [math]V(x,y)=ax^4+by^2[/math] и т.д.



Теорема (3) Ляпунова о неустойчивости. Пусть для системы дифференциальных уравнений (1) существует дифференцируемая в окрестности начала координат функция [math]V(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] такая, что [math]V(0,0,\ldots,0)=0[/math]. Если ее полная производная [math]\frac{dV}{dt}[/math], составленная в силу системы (1), есть определенно-положительная функция и сколь угодно близко от начала координат имеются точки, в которых функция [math]V(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] принимает положи тельные значения, то точка покоя [math]x_i=0,[/math] [math]i=1,2,\ldots,n[/math], неустойчива.


Замкнутая окрестность точки покоя

Теорема (4) Четаева о не устойчивости. Пусть для системы дифференциальных уравнений (1) существует непрерывно дифференцируемая в некоторой окрестности точки покоя [math]x_i=0,[/math] [math]i=1,2,\ldots,n[/math], функция [math]v(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math], удовлетворяющая в некоторой замкнутой окрестности точки покоя условиям:


1) в сколь угодно малой окрестности [math]\Omega[/math] точки покоя [math]x_i=0,[/math] [math]i=1,2,\ldots,n[/math] существует область [math]\Omega_1[/math], в которой [math]v(x_1,x_2,\ldots,x_n)>0[/math], причем [math]v=0[/math] в тех граничных точках [math]\Omega_1[/math], которые являются внутренними для [math]\Omega[/math] (рис. 43);


2) точка покоя [math]O(0,0,\ldots,0)[/math] является граничной точкой области [math]\Omega_1[/math];


3) в области [math]\Omega_1[/math] производная [math]\frac{dv}{dt}[/math], составленная в силу системы (1), определенно-положительная.


Тогда точка покоя [math]x_i=0,[/math] [math]i=1,2,\ldots,n[/math], системы (1) неустойчива.




Пример 4. Исследовать на устойчивость точку покоя [math]x=0,~y=0[/math] системы


[math]\begin{cases}x'(t)=x(t),\\ y'(t)=-y(t).\end{cases}[/math]

Решение. Возьмем функцию [math]v(x,y)=x^2-y^2[/math]. Тогда


[math]\frac{dv}{dt}= \frac{\partial v}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dt}+ \frac{\partial v}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dt}= 2x^2+2y^2[/math]

есть функция определенно-положительная. Так как сколь угодно близко к началу координат найдутся точки, в которых [math]v>0[/math] (например, [math]v=x^2>0[/math] вдоль прямой [math]y=0[/math]), то выполнены все условия теоремы 3 и точка покоя [math]O(0,0)[/math] неустойчива (седло).


Пример 5. Исследовать на устойчивость точку покоя [math]x=0,~y=0[/math] системы


[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=y^3+x^5,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=x^3+y^5.\end{cases}[/math]

Решение. Функция [math]v=x^4-y^4[/math] удовлетворяет условиям теоремы Четаева:


1) [math]v>0[/math] при [math]|x|>|y|[/math];


2) [math]\frac{dv}{dt}=4(x^8-y^8)[/math] — определенно-положительная в области [math]|x|>|y|[/math].


Следовательно, точка покоя [math]x=0,~y=0[/math] неустойчива.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved