Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Мера множества
ОглавлениеТеория множеств

Мера множества


Понятие меры множества является далеко идущим обобщением понятия длины отрезка. В простейшем случае (которым только мы и будем заниматься) задача состоит в том, чтобы дать определение длины не только для отрезков, но также и для более сложных точечных множеств, расположенных на прямой.


Примем за единицу измерения отрезок [math][0,1][/math]. Тогда длина произвольного отрезка [math][a,b][/math], очевидно, равна [math]b-a[/math]. Точно так же если имеется два непересекающихся отрезка [math][a_1,b_1][/math] и [math][a_2,b_2][/math], то под длиной множества [math]E[/math], состоящего из этих двух отрезков, естественно понимать число [math](b_1-a_1)+(b_2-a_2)[/math]. Однако далеко не так ясно, что следует понимать под длиной множества более сложной природы, расположенного на прямой; например, чему равна длина канторова множества. Отсюда вывод: понятие длины множества, расположенного на прямой, нуждается в строгом математическом определении.


Задача определения длины множеств, или, как говорят еще, задача измерения множеств, весьма важна, так как она имеет существенное значение для обобщения понятия интеграла. Понятие меры множества применяется и в других вопросах теории функций, а также в теории вероятностей, топологии, функциональном анализе и т. д.


Ниже излагается определение меры множеств, предложенное французским математиком А. Лебегом и лежащее в основе данного им определения интеграла.




Мера открытого и замкнутого множества


Начнем с определения меры произвольного открытого или замкнутого множества. Как уже отмечалось, всякое открытое множество на прямой является конечной или счетной суммой попарно не пересекающихся интервалов.


Мерой открытого множества называется сумма длин составляющих его интервалов.


Таким образом, если


[math]G=\sum(a_i,b_i)[/math]

и интервалы [math](a_i,b_i)[/math] попарно не пересекаются, то мера [math]G[/math] равна [math]\sum(b_i-a_i)[/math]. Обозначая вообще меру множества [math]E[/math] через [math]\mu E[/math], можем написать

[math]\mu G=\sum(b_i-a_i).[/math]

В частности, мера одного интервала равна его длине

[math]\mu(a,b)=b-a.[/math]

Всякое замкнутое множество [math]F[/math], содержащееся в отрезке [math][a,b][/math] и такое, что концы отрезка [math][a,b][/math] принадлежат [math]F[/math], получается из отрезка [math][a,b][/math] путем удаления из него некоторого открытого множества [math]G[/math]. В соответствии с этим мерой замкнутого множества [math]F\subseteq[a,b][/math], где [math]a\in F,~b\in F[/math], называется разность между длиной отрезка [math][a,b][/math] и мерой открытого множества [math]G[/math], дополнительного к [math]F[/math] (относительно отрезка [math][a,b][/math]).


Итак,


[math]\mu F=(b-a)-\mu G.~~~~~~~~~(2)[/math]

Нетрудно усмотреть, что, согласно этому определению, мера произвольного отрезка равна его длине


[math]\mu[a,b]=b-a,[/math]

а мера множества, состоящего из конечного числа точек, равна нулю.



Определение меры множества


Для того чтобы дать определение меры множеств более общей природы, чем открытые и замкнутые, нам понадобится одно вспомогательное понятие. Пусть [math]E[/math] — некоторое множество, лежащее на отрезке [math][a,b][/math]. Рассмотрим всевозможные покрытия множества [math]E[/math], т. е. всевозможные открытые множества [math]V(E)[/math], содержащие [math]E[/math]. Мера каждого из множеств [math]V(E)[/math] уже определена. Совокупность мер всех множеств [math]V(E)[/math] есть некоторое множество положительных чисел. Это множество чисел ограничено снизу (хотя бы числом 0) и потому имеет нижнюю грань, которую мы обозначим через [math]\mu_eE[/math]. Число [math]\mu_eE[/math] называется внешней мерой множества [math]E[/math].


Пусть [math]\mu_eE[/math] — внешняя мера множества [math]E[/math], а [math]\mu_eCE[/math] — внешняя мера его дополнения относительно отрезка [math][a,b][/math].


Если удовлетворяется соотношение


[math]\mu_eE+\mu_eCE=b-a,~~~~~~~~~(3)[/math]

то множество [math]E[/math] называется измеримым, а число [math]\mu_eE[/math] — его мерой: [math]\mu E=\mu_eE[/math]; если соотношение (3) не удовлетворяется, то говорят, что
множество [math]E[/math] неизмеримо; неизмеримое множество не имеет меры.

Отметим, что всегда


[math]\mu_eE+\mu_eCE\geqslant b-a.~~~~~~~~(4)[/math]

Сделаем несколько пояснений. Длина простейших множеств (например, интервалов и отрезков) обладает рядом замечательных свойств. Укажем важнейшие из них.


1. Если множества [math]E_1[/math] и [math]E[/math] измеримы и [math]E_1\subseteq E[/math], то


[math]\mu E_1\leqslant \mu E,[/math]

т. е. мера части множества [math]E[/math] не превосходит меры всего множества [math]E[/math].

2. Если множества [math]E_1[/math] и [math]E_2[/math] измеримы, то множество [math]E=E_1+E_2[/math] измеримо и


[math]\mu(E_1+E_2)\leqslant\mu E_1+\mu E_2,[/math]

т. е. мера суммы не превосходит суммы мер слагаемых.

3. Если множества [math]E_i,~i\in\mathbb{N}[/math] измеримы и попарно не пересекаются, [math]E_iE_j=\varnothing~(i\ne j)[/math], то их сумма [math]E=\sum E_i[/math] измерима и


[math]\mu\!\left(\sum E_i\right)=\sum\mu E_i,[/math]

т. е. мера конечной или счетной суммы попарно непересекающихся множеств равна сумме мер слагаемых. Это свойство меры называется ее полной аддитивностью.

4. Мера множества [math]E[/math] не меняется, если его сдвинуть как твердое тело.


Желательно, чтобы основные свойства длины сохранялись и для более общего понятия меры множеств. Но, как можно совершенно строго показать, это оказывается невозможным, если приписывать меру произвольному множеству точек на прямой. Поэтому-то в данном выше определении и появляются множества, имеющие меру или измеримые, и множества, не имеющие меры или неизмеримые. Впрочем, класс измеримых множеств настолько широк, что это обстоятельство не вносит каких-либо существенных неудобств. Даже построение примера неизмеримого множества представляет известные трудности.


Приведем несколько примеров измеримых множеств.




Мера канторова совершенного множества


При построении канторового множества [math]P[/math] из отрезка [math][0,1][/math] выбрасывается сперва один смежный интервал длины [math]1/3[/math], затем два смежных интервала длины [math]1/9[/math], затем четыре смежных интервала длины [math]1/27[/math] и т. д. Вообще, на [math]n[/math]-м. шаге выбрасывается [math]2^{n-1}[/math] смежных интервалов длины [math]3^{-n}[/math]. Таким образом, сумма длин всех выброшенных интервалов равна


[math]S=\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+\cdots+\frac{2^{n-1}}{3^n}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3^n}.[/math]

Члены этого ряда представляют собою геометрическую прогрессию с первым членом [math]1/3[/math] и знаменателем [math]2/3[/math]. Поэтому сумма ряда [math]S[/math] равна


[math]\frac{1/3}{1-2/3}=1.[/math]

Итак, сумма длин всех смежных к канторовому множеству интервалов равна 1. Иначе говоря, мера дополнительного к канторовому множеству [math]P[/math]открытого множества [math]G[/math] равна 1. Поэтому само множество имеет меру


[math]\mu P=1-\mu G=1-1=0.[/math]

Как показывает этот пример, множество может иметь мощность континуума и тем не менее иметь меру, равную нулю.




Мера множества R всех рациональных точек отрезка [0, 1]


Покажем прежде всего, что [math]\mu_e R=0[/math]. Как известно, множество [math]R[/math] счетно. Расположим точки множества [math]R[/math] в последовательность


[math]r_1,r_2,\ldots,r_n,\ldots[/math]

Далее, зададим [math]\varepsilon>0[/math] и окружим точку [math]r_n[/math] интервалом [math]\delta_n[/math] длины [math]\frac{\varepsilon}{2^n}[/math]. Сумма [math]\delta=\sum\delta_n[/math] есть открытое множество, покрывающее [math]R[/math]. Интервалы [math]\delta_n[/math] могут пересекаться, поэтому


[math]\mu(\delta)=\mu\!\left(\sum_{n=1}^{\infty}\delta_n\right)\leqslant\sum_{n=1}^{\infty}\mu\delta_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^n}=\varepsilon.[/math]

Так как [math]\varepsilon[/math] можно выбрать сколь угодно малым, то [math]\mu_eR=0[/math].


Далее, согласно (3) имеем [math]\mu_eR+\mu_eCR\geqslant1[/math], т. е. [math]\mu_eCR\geqslant1[/math]. Так как [math]CR[/math] содержится в отрезке [math][0,1][/math], то [math]\mu_eCR\leqslant1[/math].


Итак,


[math]\mu_eR+\mu_eCR=1,[/math]

откуда

[math]\mu R=0,\quad\mu CR=1.~~~~~~~~~(5)[/math]

Этот пример показывает, что множество может быть всюду плотным на некотором отрезке и тем не менее иметь меру, равную нулю.


Множества меры нуль во многих вопросах теории функций не играют никакой роли, и ими следует пренебрегать. Например, функция [math]f(x)[/math] интегрируема по Риману в том и только в том случае, если она ограничена и множество её точек разрыва имеет меру нуль. Можно было бы привести значительное число таких примеров.




Измеримые функции


Переходим к одному из наиболее блестящих приложений понятия меры множеств, а именно к описанию того класса функций, с которыми фактически оперирует математический анализ и теория функций. Точная постановка задачи такова. Если последовательность функций [math]\{f_n(x)\}[/math], заданных на некотором множестве [math]E[/math], сходится в каждой точке [math]E[/math], кроме, быть может, точек множества [math]\mathbb{N}[/math] меры нуль, то будем говорить, что последовательность [math]\{f_n(x)\}[/math] сходится почти всюду.


Какие функции можно получить из непрерывных функций путем повторного применения операции построения предела почти всюду сходящейся последовательности функций и алгебраических операций?


Для ответа на этот вопрос нам потребуется несколько новых понятий.


Пусть функция [math]f(x)[/math] определена на некотором множестве [math]E[/math] и [math]\alpha[/math] — произвольное действительное число. Обозначим через


[math]E[f(x)>\alpha][/math]

множество тех точек [math]E[/math], для которых [math]f(x)>\alpha[/math]. Например, если функция [math]f(x)[/math] определена на отрезке [math][0,1][/math] и на этом отрезке [math]f(x)=x[/math], то множества [math]E[f(x)>\alpha][/math] равны [math][0,1][/math] для [math]\alpha<0[/math], равны [math](\alpha,1][/math] для [math]0\leqslant\alpha<1[/math] и пусты для [math]\alpha>1[/math].

Функция [math]f(x)[/math], определенная на некотором множестве [math]E[/math], называется измеримой, если само множество [math]E[/math] измеримо и для любого действительного числа [math]\alpha[/math] измеримо множество [math]E[f(x)>\alpha][/math].


Можно показать, что произвольная непрерывная функция, заданная на отрезке, измерима. Однако к числу измеримых функций принадлежат также и многие разрывные функции, например функция Дирихле, равная 1 для иррациональных точек отрезка [math][0,1][/math] и равная 0 для остальных точек этого отрезка.


Отметим без доказательства, что измеримые функции обладают следующими свойствами.


1. Если [math]f(x)[/math] и [math]\varphi(x)[/math] — измеримые функции, определенные на одном и том же множестве [math]E[/math], то функции


[math]f+\varphi,\quad f-\varphi,\quad f\cdot\varphi[/math] и [math]\frac{f}{\varphi}[/math]

также измеримы (последняя, если [math]\varphi\ne0[/math]).

Это свойство показывает, что алгебраические операции над измеримыми функциями снова приводят к измеримым функциям.


2. Если последовательность измеримых функций [math]\{f_n(x)\}[/math], определенных на множестве [math]E[/math], сходится почти всюду к функции [math]f(x)[/math], то эта функция также измерима.


Таким образом, операция построения предела почти всюду сходящейся последовательности измеримых функций вновь приводит к измеримым функциям.


Эти свойства измеримых функций были установлены Лебегом. Глубокое исследование измеримых функций было произведено советскими математиками Д. Ф. Егоровым и Н. Н. Лузиным. В частности, Н. Н. Лузин показал, что всякую измеримую функцию, заданную на отрезке, можно превратить в непрерывную, изменив ее значения на некотором множестве сколь угодно малой меры.


Этот классический результат Н. Н. Лузина и перечисленные выше свойства измеримых функций позволяют показать, что измеримые функции и представляют собой тот класс функций, о котором шла речь в начале этого пункта. Измеримые функции имеют также большое значение для теории интегрирования, именно, понятие интеграла может быть обобщено таким образом, чтобы всякая ограниченная измеримая функция оказалась интегрируемой. Подробнее об этом рассказывается в разделе интеграл Лебега.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved