Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Матрица линейного отображения

Матрица линейного отображения


Пусть \mathcal{A}\colon V\to W — линейное отображение n-мерного пространства {V} в m-мерное пространство {W}. Зафиксируем в пространстве {V} произвольный базис (\mathbf{e})=(e_1,\ldots,e_n), а в пространстве {W} базис (\mathbf{f})=(f_1,\ldots,f_m). Линейное отображение однозначно задается образами базисных векторов (см. свойство 6). Разложим образы \mathcal{A}(\mathbf{e}_i),~ i=1,\ldots,n, базисных векторов (\mathbf{e}) по базису (\mathbf{f}):


\mathcal{A}(\mathbf{e}_i)= \sum_{j=1}^{m}a_{ji}\mathbf{f}_j,\quad i=1,\ldots,n.

Из координатных столбцов векторов \mathcal{A}(\mathbf{e}_1),\ldots, \mathcal{A} (\mathbf{e}_n) относительно базиса (\mathbf{f}) составим матрицу размеров m\times n:


A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}& \cdots& a_{mn}\end{pmatrix}\!.
(9.1)

Она называется матрицей линейного отображения \mathcal{A} в базисах (\mathbf{e}) и (\mathbf{f}). Матрицу отображения обозначают также \mathop{A}\limits_{(\mathbf{e}),(\mathbf{f})}, чтобы подчеркнуть ее зависимость от выбранных базисов.


При помощи матрицы отображения найдем координаты образа \mathbf{w} =\mathcal{A} (\mathbf{v}) по координатам прообраза \mathbf{v}. Пусть v= \begin{pmatrix}v_1&\cdots&v_n\end{pmatrix}^T — координатный столбец вектора \mathbf{v}, а w=\begin{pmatrix}w_1&\cdots&w_m\end{pmatrix}^T — координатный столбец вектора \mathbf{w}, т.е. \mathbf{v}= v_1 \mathbf{e}_1+\ldots+v_n \mathbf{e}_n и \mathbf{w}=w_1 \mathbf{f}_1+\ldots+ w_m \mathbf{f}_m. Тогда


\mathbf{w}= \mathcal{A}(\mathbf{v})= \sum_{i=1}^{n}v_i\mathcal{A}(\mathbf{e}_i)= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}a_{ji}v_{i}\mathbf{f}_j.

В силу единственности разложения вектора \mathbf{w} по базису (\mathbf{f}) получаем


w_j= \sum_{i=1}^{n}a_{ji}v_i,\quad j=1,\ldots,m.

Используя матричные операции, связь координат можно записать в виде


\begin{pmatrix}w_1\\\vdots\\w_m \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{pmatrix}\!\quad \Leftrightarrow\quad w=Av,
(9.2)

где A — матрица (9.1) отображения \mathcal{A}.


Таким образом, для каждого линейного отображения n-мерного пространства {V} в m-мерное пространство {W} (с фиксированными базисами (\mathbf{e}) и (\mathbf{f}) соответственно) определена единственная матрица (9.1) этого отображения, и наоборот, любая числовая матрица размеров m\times n является матрицей некоторого линейного отображения n-мерного пространства {V} в m-мерное пространство {W}.


Для нахождения матрицы отображения \mathcal{A}\colon V\to W нужно выполнить следующие действия:


1) зафиксировать базисы (\mathbf{e})=(e_1,\ldots,e_n) и (\mathbf{f})= (f_1,\ldots,f_n) пространств {V} и {W:}


2) найти образ \mathcal{A}(\mathbf{e}_1) первого базисного вектора и разложить его по базису (\mathbf{f}). Полученные координаты записать в первый столбец матрицы (9.1) отображения \mathcal{A};


3) найти образ \mathcal{A}(\mathbf{e}_2) второго базисного вектора и разложить его по базису (\mathbf{f}). Полученные координаты записать во второй столбец матрицы (9.1) отображения и т.д. В последний столбец матрицы (9.1) записать координаты образа \mathcal{A}(\mathbf{e}_1) последнего базисного вектора.


Найдем матрицы отображений, рассмотренных выше.


1. Матрица нулевого отображения \mathcal{O}\colon V\to W нулевая относительно любых базисов пространств {V} и {W}, так как образ любого базисного вектора равен нулевому вектору \boldsymbol{o}_W, координаты которого равны нулю (относительно любого базиса пространства {W}).


2. Пусть в n-мерном линейном пространстве {V} задан базис \mathbf{e}_1, \ldots,\mathbf{e}_n. Рассмотрим отображение \mathsf{a\!e}\colon V\to \mathbb{R}^n, которое ставит в соответствие каждому вектору \mathbf{v}= v_1 \mathbf{e}_1+\ldots+ v_n \mathbf{e}_n его координатный столбец v=\begin{pmatrix} v_1&\cdots&v_n\end{pmatrix}^T относительно заданного базиса. В пространстве \mathbb{R}^n выберем стандартный базис \mathbf{e}_1,\ldots, \mathbf{e}_n. Напомним, что в стандартном базисе координатный столбец вектора x=\begin{pmatrix}x_1&\cdot x_n\end{pmatrix}^T совпадает с самим столбцом x, так как


x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}= x_1\! \begin{pmatrix} 1\\0\\\vdots\\0 \end{pmatrix}+ x_2\! \begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0 \end{pmatrix}+\ldots+ x_n\! \begin{pmatrix} 0\\\vdots\\0\\1 \end{pmatrix}= x_1\cdot e_1+x_2\cdot e_2+\ldots+x_n\cdot e_n.

Поэтому образ \mathcal{a\!e}(\mathbf{e}_1) первого базисного вектора \mathbf{e}_1 имеет координатный столбец e_1=\begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0 \end{pmatrix}^T, совпадающий с первым базисным вектором \mathbf{e}_1\in \mathbb{R}^n. Образ \mathcal{a\!e}(\mathbf{e}_2)=\mathbf{e}_2 и т.д. Составляя из этих столбцов матрицу отображения \mathcal{a\!e}\colon V\to\mathbb{R}^n, получаем единичную матрицу E n-го порядка.


3. В n-мерном евклидовом пространстве \mathbb{E} возьмем ортонормированный базис \mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n. В качестве базиса одномерного линейного пространства \mathbb{R} возьмем единицу. Рассмотрим отображение \operatorname{pr}_{\mathbf{e}_1}\colon \mathbb{E}\to \mathbb{R}, где \operatorname{pr}_{\mathbf{e}_1} (\mathbf{v})= \langle \mathbf{e}_1,\mathbf{v}\rangle — алгебраическое значение проекции вектора \mathbf{v} на направление, задаваемое вектором \mathbf{e}_1. Тогда матрица отображения \operatorname{pr}_{\mathbf{e}_1} имеет вид \begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0 \end{pmatrix}, так как \operatorname{pr}_{\mathbf{e}_1} (\mathbf{e}_1)= \langle \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_1 \rangle=1, а \operatorname{pr}_{\mathbf{e}_1} (\mathbf{e}_i)= \langle \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_i \rangle=0 для i\ne1.


4. Взяв в пространствах P_n(\mathbb{R}) и P_{n-1}(\mathbb{R}) стандартные базисы, находим образы базисных векторов (первые производные многочленов):


\begin{aligned}\mathcal{D}(1)&= 0= 0\cdot1+0\cdot x+0\cdot x^2+\ldots+0\cdot x^{n-1};\\[2pt] \mathcal{D}(x)&= 1= 1\cdot1+0\cdot x+0\cdot x^2+\ldots+0\cdot x^{n-1};\\[2pt] \mathcal{D}(x^2)&= 2x= 0\cdot1+2\cdot x+0\cdot x^2+\ldots+0\cdot x^{n-1};\\ &\cdots\\ \mathcal{D}(x^n)&= nx^{n-1}= 0\cdot1+0\cdot x+0\cdot x^2+\ldots+n\cdot x^{n-1}.\end{aligned}

Записывая найденные координаты по столбцам матрицы отображения, получаем матрицу размеров n\times(n+1):


D=\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&n \end{pmatrix}\!.



Свойства матриц линейных отображений


При фиксированных базисах линейных пространств:


1) матрица суммы линейных отображений равна сумме их матриц;


2) матрица произведения линейного отображения на число равна произведению матрицы отображения на то же самое число;


3) матрица обратного отображения является обратной для матрицы отображения;


4) матрица композиции \mathcal{C}=\mathcal{B} \circ \mathcal{A} отображений равна произведению матриц отображений: C=BA.


Докажем, например, последнее свойство. Пусть в линейных пространствах V,\,W,\,U фиксированы базисы (\mathbf{e}),(\mathbf{f}),(\mathbf{g}) соответственно. Отображения \mathcal{A}\colon V\to W, \mathcal{B}\colon W\to U, а также их композиция \mathcal{C}=\mathcal{B}\circ \mathcal{A}, имеют матрицы A,\,B,\,C относительно соответствующих базисов. Для координатных столбцов v,w,u векторов \mathbf{v}\in V, \mathbf{w}=\mathcal{A} (\mathbf{v}), \mathbf{u}= \mathcal{B}(\mathbf{w})= \mathcal{C}(\mathbf{v}) запишем связи (9.2): w=Av,~ u=Bw,~ u=Cv. Тогда Cv=Bw=BAv для координатного столбца {v} произвольного вектора \mathbf{v}\in V. Отсюда следует, что C=BA.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved