Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Матрица линейного отображения
ОглавлениеЛинейная алгебра

Матрица линейного отображения


Пусть [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math] — линейное отображение n-мерного пространства [math]{V}[/math] в m-мерное пространство [math]{W}[/math]. Зафиксируем в пространстве [math]{V}[/math] произвольный базис [math](\mathbf{e})=(e_1,\ldots,e_n)[/math], а в пространстве [math]{W}[/math] базис [math](\mathbf{f})=(f_1,\ldots,f_m)[/math]. Линейное отображение однозначно задается образами базисных векторов (см. свойство 6). Разложим образы [math]\mathcal{A}(\mathbf{e}_i),~ i=1,\ldots,n[/math], базисных векторов [math](\mathbf{e})[/math] по базису [math](\mathbf{f}):[/math]


[math]\mathcal{A}(\mathbf{e}_i)= \sum_{j=1}^{m}a_{ji}\mathbf{f}_j,\quad i=1,\ldots,n.[/math]

Из координатных столбцов векторов [math]\mathcal{A}(\mathbf{e}_1),\ldots, \mathcal{A} (\mathbf{e}_n)[/math] относительно базиса [math](\mathbf{f})[/math] составим матрицу размеров [math]m\times n:[/math]


[math]A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}& \cdots& a_{mn}\end{pmatrix}\!.[/math]
(9.1)

Она называется матрицей линейного отображения [math]\mathcal{A}[/math] в базисах [math](\mathbf{e})[/math] и [math](\mathbf{f})[/math]. Матрицу отображения обозначают также [math]\mathop{A}\limits_{(\mathbf{e}),(\mathbf{f})}[/math], чтобы подчеркнуть ее зависимость от выбранных базисов.


При помощи матрицы отображения найдем координаты образа [math]\mathbf{w} =\mathcal{A} (\mathbf{v})[/math] по координатам прообраза [math]\mathbf{v}[/math]. Пусть [math]v= \begin{pmatrix}v_1&\cdots&v_n\end{pmatrix}^T[/math] — координатный столбец вектора [math]\mathbf{v}[/math], а [math]w=\begin{pmatrix}w_1&\cdots&w_m\end{pmatrix}^T[/math] — координатный столбец вектора [math]\mathbf{w}[/math], т.е. [math]\mathbf{v}= v_1 \mathbf{e}_1+\ldots+v_n \mathbf{e}_n[/math] и [math]\mathbf{w}=w_1 \mathbf{f}_1+\ldots+ w_m \mathbf{f}_m[/math]. Тогда


[math]\mathbf{w}= \mathcal{A}(\mathbf{v})= \sum_{i=1}^{n}v_i\mathcal{A}(\mathbf{e}_i)= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}a_{ji}v_{i}\mathbf{f}_j.[/math]

В силу единственности разложения вектора [math]\mathbf{w}[/math] по базису [math](\mathbf{f})[/math] получаем


[math]w_j= \sum_{i=1}^{n}a_{ji}v_i,\quad j=1,\ldots,m.[/math]

Используя матричные операции, связь координат можно записать в виде

[math]\begin{pmatrix}w_1\\\vdots\\w_m \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{pmatrix}\!\quad \Leftrightarrow\quad w=Av,[/math]
(9.2)

где [math]A[/math] — матрица (9.1) отображения [math]\mathcal{A}[/math].


Таким образом, для каждого линейного отображения n-мерного пространства [math]{V}[/math] в m-мерное пространство [math]{W}[/math] (с фиксированными базисами [math](\mathbf{e})[/math] и [math](\mathbf{f})[/math] соответственно) определена единственная матрица (9.1) этого отображения, и наоборот, любая числовая матрица размеров [math]m\times n[/math] является матрицей некоторого линейного отображения n-мерного пространства [math]{V}[/math] в m-мерное пространство [math]{W}[/math].


Для нахождения матрицы отображения [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math] нужно выполнить следующие действия:


1) зафиксировать базисы [math](\mathbf{e})=(e_1,\ldots,e_n)[/math] и [math](\mathbf{f})= (f_1,\ldots,f_n)[/math] пространств [math]{V}[/math] и [math]{W:}[/math]


2) найти образ [math]\mathcal{A}(\mathbf{e}_1)[/math] первого базисного вектора и разложить его по базису [math](\mathbf{f})[/math]. Полученные координаты записать в первый столбец матрицы (9.1) отображения [math]\mathcal{A}[/math];


3) найти образ [math]\mathcal{A}(\mathbf{e}_2)[/math] второго базисного вектора и разложить его по базису [math](\mathbf{f})[/math]. Полученные координаты записать во второй столбец матрицы (9.1) отображения и т.д. В последний столбец матрицы (9.1) записать координаты образа [math]\mathcal{A}(\mathbf{e}_1)[/math] последнего базисного вектора.


Найдем матрицы отображений, рассмотренных выше.


1. Матрица нулевого отображения [math]\mathcal{O}\colon V\to W[/math] нулевая относительно любых базисов пространств [math]{V}[/math] и [math]{W}[/math], так как образ любого базисного вектора равен нулевому вектору [math]\boldsymbol{o}_W[/math], координаты которого равны нулю (относительно любого базиса пространства [math]{W}[/math]).


2. Пусть в n-мерном линейном пространстве [math]{V}[/math] задан базис [math]\mathbf{e}_1, \ldots,\mathbf{e}_n[/math]. Рассмотрим отображение [math]\mathsf{a\!e}\colon V\to \mathbb{R}^n[/math], которое ставит в соответствие каждому вектору [math]\mathbf{v}= v_1 \mathbf{e}_1+\ldots+ v_n \mathbf{e}_n[/math] его координатный столбец [math]v=\begin{pmatrix} v_1&\cdots&v_n\end{pmatrix}^T[/math] относительно заданного базиса. В пространстве [math]\mathbb{R}^n[/math] выберем стандартный базис [math]\mathbf{e}_1,\ldots, \mathbf{e}_n[/math]. Напомним, что в стандартном базисе координатный столбец вектора [math]x=\begin{pmatrix}x_1&\cdot x_n\end{pmatrix}^T[/math] совпадает с самим столбцом [math]x[/math], так как


[math]x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}= x_1\! \begin{pmatrix} 1\\0\\\vdots\\0 \end{pmatrix}+ x_2\! \begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0 \end{pmatrix}+\ldots+ x_n\! \begin{pmatrix} 0\\\vdots\\0\\1 \end{pmatrix}= x_1\cdot e_1+x_2\cdot e_2+\ldots+x_n\cdot e_n.[/math]

Поэтому образ [math]\mathcal{a\!e}(\mathbf{e}_1)[/math] первого базисного вектора [math]\mathbf{e}_1[/math] имеет координатный столбец [math]e_1=\begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0 \end{pmatrix}^T[/math], совпадающий с первым базисным вектором [math]\mathbf{e}_1\in \mathbb{R}^n[/math]. Образ [math]\mathcal{a\!e}(\mathbf{e}_2)=\mathbf{e}_2[/math] и т.д. Составляя из этих столбцов матрицу отображения [math]\mathcal{a\!e}\colon V\to\mathbb{R}^n[/math], получаем единичную матрицу [math]E[/math] n-го порядка.


3. В n-мерном евклидовом пространстве [math]\mathbb{E}[/math] возьмем ортонормированный базис [math]\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n[/math]. В качестве базиса одномерного линейного пространства [math]\mathbb{R}[/math] возьмем единицу. Рассмотрим отображение [math]\operatorname{pr}_{\mathbf{e}_1}\colon \mathbb{E}\to \mathbb{R}[/math], где [math]\operatorname{pr}_{\mathbf{e}_1} (\mathbf{v})= \langle \mathbf{e}_1,\mathbf{v}\rangle[/math] — алгебраическое значение проекции вектора [math]\mathbf{v}[/math] на направление, задаваемое вектором [math]\mathbf{e}_1[/math]. Тогда матрица отображения [math]\operatorname{pr}_{\mathbf{e}_1}[/math] имеет вид [math]\begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0 \end{pmatrix}[/math], так как [math]\operatorname{pr}_{\mathbf{e}_1} (\mathbf{e}_1)= \langle \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_1 \rangle=1[/math], а [math]\operatorname{pr}_{\mathbf{e}_1} (\mathbf{e}_i)= \langle \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_i \rangle=0[/math] для [math]i\ne1[/math].


4. Взяв в пространствах [math]P_n(\mathbb{R})[/math] и [math]P_{n-1}(\mathbb{R})[/math] стандартные базисы, находим образы базисных векторов (первые производные многочленов):


[math]\begin{aligned}\mathcal{D}(1)&= 0= 0\cdot1+0\cdot x+0\cdot x^2+\ldots+0\cdot x^{n-1};\\[2pt] \mathcal{D}(x)&= 1= 1\cdot1+0\cdot x+0\cdot x^2+\ldots+0\cdot x^{n-1};\\[2pt] \mathcal{D}(x^2)&= 2x= 0\cdot1+2\cdot x+0\cdot x^2+\ldots+0\cdot x^{n-1};\\ &\cdots\\ \mathcal{D}(x^n)&= nx^{n-1}= 0\cdot1+0\cdot x+0\cdot x^2+\ldots+n\cdot x^{n-1}.\end{aligned}[/math]

Записывая найденные координаты по столбцам матрицы отображения, получаем матрицу размеров [math]n\times(n+1):[/math]


[math]D=\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&n \end{pmatrix}\!.[/math]



Свойства матриц линейных отображений


При фиксированных базисах линейных пространств:


1) матрица суммы линейных отображений равна сумме их матриц;


2) матрица произведения линейного отображения на число равна произведению матрицы отображения на то же самое число;


3) матрица обратного отображения является обратной для матрицы отображения;


4) матрица композиции [math]\mathcal{C}=\mathcal{B} \circ \mathcal{A}[/math] отображений равна произведению матриц отображений: [math]C=BA[/math].


Докажем, например, последнее свойство. Пусть в линейных пространствах [math]V,\,W,\,U[/math] фиксированы базисы [math](\mathbf{e}),(\mathbf{f}),(\mathbf{g})[/math] соответственно. Отображения [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math], [math]\mathcal{B}\colon W\to U[/math], а также их композиция [math]\mathcal{C}=\mathcal{B}\circ \mathcal{A}[/math], имеют матрицы [math]A,\,B,\,C[/math] относительно соответствующих базисов. Для координатных столбцов [math]v,w,u[/math] векторов [math]\mathbf{v}\in V,[/math] [math]\mathbf{w}=\mathcal{A} (\mathbf{v}),[/math] [math]\mathbf{u}= \mathcal{B}(\mathbf{w})= \mathcal{C}(\mathbf{v})[/math] запишем связи (9.2): [math]w=Av,~ u=Bw,~ u=Cv[/math]. Тогда [math]Cv=Bw=BAv[/math] для координатного столбца [math]{v}[/math] произвольного вектора [math]\mathbf{v}\in V[/math]. Отсюда следует, что [math]C=BA[/math].



Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved