Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Матрица и определитель Грама: определение, свойства, приложения
ОглавлениеЛинейная алгебра

Матрица и определитель Грама: определение, свойства, приложения


Определение матрицы Грама


Квадратная симметрическая матрица [math]G(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots, \mathbf{e}_n)[/math], составленная из скалярных произведений системы векторов [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n[/math] называется матрицей Грама


[math]G(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots, \mathbf{e}_n)= \begin{pmatrix} \langle \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_1\rangle& \langle \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\rangle &\cdots&\langle \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_n\rangle\\ \langle \mathbf{e}_2,\mathbf{e}_1\rangle& \langle \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_2\rangle &\cdots&\langle \mathbf{e}_2,\mathbf{e}_n\rangle\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \langle \mathbf{e}_n,\mathbf{e}_1\rangle& \langle \mathbf{e}_n,\mathbf{e}_2\rangle &\cdots&\langle \mathbf{e}_n,\mathbf{e}_n\rangle \end{pmatrix}\!.[/math]

Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому


Пусть [math](\mathbf{e})=(\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n)[/math] и [math](\mathbf{f})= (\mathbf{f}_1,\ldots,\mathbf{f}_n)[/math] — два базиса евклидова пространства [math]\mathbb{E}[/math], a [math]S[/math] — матрица перехода от базиса [math](\mathbf{e})[/math] к базису [math](\mathbf{f})\colon\, (\mathbf{f})=(\mathbf{e})S[/math]. Требуется найти связь матриц Грама систем векторов [math](\mathbf{e})[/math] и [math](\mathbf{f})[/math]


По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов [math]\mathbf{x}[/math] и [math]\mathbf{y}[/math] в разных базисах:


[math]\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle= {\mathop{x}\limits_{(\mathbf{e})}}^T\cdot\, G(\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n)\cdot \mathop{\mathbf{y}}\limits_{(\mathbf{e})}= {\mathop{x}\limits_{(\mathbf{f})}}^T\cdot\, G(\mathbf{f}_1,\ldots,\mathbf{f}_n)\cdot \mathop{\mathbf{y}}\limits_{(\mathbf{f})},[/math]

где [math]\mathop{x}\limits_{(\mathbf{e})},\, \mathop{x}\limits_{(\mathbf{f})}[/math] и [math]\mathop{y}\limits_{(\mathbf{e})},\, \mathop{y}\limits_{(\mathbf{f})}[/math] — координатные столбцы векторов [math]\mathbf{x}[/math] и [math]\mathbf{y}[/math] в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи [math]\mathop{x}\limits_{(\mathbf{e})}= S \mathop{x}\limits_{(\mathbf{f})},[/math] [math]\mathop{y}\limits_{(\mathbf{e})}= S \mathop{y}\limits_{(\mathbf{f})}[/math], получаем тождество


[math]{\mathop{x}\limits_{(\mathbf{f})}}^T\cdot S^T\cdot\, G(\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n)\cdot S\cdot \mathop{\mathbf{y}}\limits_{(\mathbf{f})}= {\mathop{x}\limits_{(\mathbf{f})}}^T\cdot\, G(\mathbf{f}_1,\ldots,\mathbf{f}_n)\cdot \mathop{\mathbf{y}}\limits_{(\mathbf{f})}.[/math]

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому:

[math]G(\mathbf{f}_1,\ldots,\mathbf{f}_n)= S^T\cdot G(\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n)\cdot S.[/math]

Записав это равенство для ортонормированных базисов [math](\mathbf{e})[/math] и [math](\mathbf{f})[/math], получаем [math]E=S^TES[/math], так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: [math]G(\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n)= G(\mathbf{f}_1,\ldots,\mathbf{f}_n)=E[/math]. Поэтому матрица [math]S[/math] перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной: [math]S^{-1}=S^T[/math].




Определитель Грама и его свойства


Определитель матрицы [math]G(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots, \mathbf{e}_n)[/math] называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.


1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k[/math] линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.


Действительно, если система [math]\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots,\mathbf{v}_k[/math] линейно зависима, то существуют такие числа [math]x_1,x_2,\ldots,x_k[/math], не равные нулю одновременно, что


[math]x_1\cdot \mathbf{v}_1+x_2\cdot \mathbf{v}_2+\ldots+ x_k\cdot \mathbf{v}_k= \mathbf{o}.[/math]

Умножая это равенство скалярно на [math]\mathbf{v}_1[/math], затем на [math]\mathbf{v}_2[/math] и т.д. на [math]\mathbf{v}_k[/math], получаем однородную систему уравнений [math]G(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k)x=o[/math], которая имеет нетривиальное решение [math]x=\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_k \end{pmatrix}^T[/math]. Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.


Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.


Главный минор матрицы Грама системы [math]\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k[/math] представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.


2. Определитель Грама [math]\det{G (\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k)}[/math] не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k[/math]. Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k[/math] получены векторы [math]\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_k[/math], то


[math]\det G(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k)= \det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \ldots,\mathbf{w}_k)= \langle \mathbf{w}_1,\mathbf{w}_1\rangle\cdot \langle \mathbf{w}_2,\mathbf{w}_2\rangle\cdot \ldots\cdot \langle \mathbf{w}_k,\mathbf{w}_k\rangle.[/math]

Действительно, в процессе ортогонализации по векторам [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots,\mathbf{v}_k[/math] последовательно строятся векторы


[math]\mathbf{w}_1=\mathbf{v}_1,\quad \mathbf{w}_2= \mathbf{v}_2- \alpha_{21} \mathbf{w}_1,\quad \ldots,\quad \mathbf{w}_k= \mathbf{v}_k- \sum_{j=1}^{k-1}\alpha_{kj} \mathbf{w}_j.[/math]

После первого шага определитель Грама не изменяется


[math]\det G(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k)= \det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{v}_2, \ldots,\mathbf{v}_k).[/math]

Выполним с определителем [math]\det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{v}_2, \ldots,\mathbf{v}_k)[/math] следующие преобразования. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число [math](-\alpha_{21})[/math], а затем ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на [math](-\alpha_{21})[/math]. Получим определитель


[math]\det G(\mathbf{w}_1,\mathbf{v}_2-\alpha_{21}\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{v}_k)= \det G(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2, \mathbf{v}_3, \ldots,\mathbf{v}_k).[/math]

Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то

[math]\det G(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k)= \det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k)= \det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2,\mathbf{v}_3, \ldots,\mathbf{v}_k).[/math]

Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после [math]k[/math] шагов:


[math]\det G(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k)= \det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \ldots,\mathbf{w}_k).[/math]

Вычислим правую часть этого равенства. Матрица [math]G(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\ldots, \mathbf{w}_k)[/math] Грама ортогональной системы [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots,\mathbf{v}_k[/math] векторов является диагональной, так как [math]\langle \mathbf{w}_i,\mathbf{w}_j\rangle=0[/math] при [math]i\ne j[/math]. Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:


[math]\det G(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_k)= \langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1\rangle\cdot \langle \mathbf{w}_2,\mathbf{w}_2\rangle\cdot \ldots \langle \mathbf{w}_k, \mathbf{w}_k\rangle.[/math]

3. Определитель Грама любой системы [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_k[/math] векторов удовлетворяет двойному неравенству


[math]0\leqslant \det G(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k) \leqslant \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1\rangle\cdot \langle \mathbf{v}_2,\mathbf{v}_2\rangle\cdot \ldots \langle \mathbf{v}_k, \mathbf{v}_k\rangle.[/math]

Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k[/math] линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_k[/math] линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы [math]\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2, \ldots, \mathbf{w}_k[/math], для которых по свойству 2:


[math]\det G(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_k)= \det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \ldots, \mathbf{w}_k)= |\mathbf{w}_1|^2\cdot |\mathbf{w}_2|^2\cdot \ldots\cdot |\mathbf{w}_k|^2>0.[/math]

Оценим теперь скалярный квадрат [math]\langle \mathbf{v}_j,\mathbf{w}_j\rangle[/math]. Выполняя процесс ортого-1нализации, имеем [math]\mathbf{v}_j= \mathbf{w}_j+ \alpha_{j\,1}\mathbf{w}_1+ \ldots+ \alpha_{j\,j-1}\mathbf{w}_{j-1}[/math]. Отсюда


[math]\langle \mathbf{v}_j,\mathbf{w}_j\rangle= \langle \mathbf{w}_j,\mathbf{w}_j\rangle+ \sum_{i=1}^{j-1}\alpha_{i\,i}^2 \langle \mathbf{w}_j,\mathbf{w}_j\rangle \geqslant \langle \mathbf{w}_j, \mathbf{w}_j\rangle.[/math]

Следовательно, по свойству 2 имеем


[math]\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_1\rangle\cdot \langle \mathbf{v}_2,\mathbf{v}_2 \rangle\cdot \ldots\cdot \langle \mathbf{v}_k,\mathbf{v}_k\rangle\geqslant \langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1\rangle\cdot \langle \mathbf{w}_2,\mathbf{w}_2\rangle\cdot \ldots\cdot \langle \mathbf{w}_k, \mathbf{w}_k\rangle= \det G(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_k).[/math]



Замечания


1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.


2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.




Метрические приложения определителя Грама


Пусть [math]\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2, \ldots,\boldsymbol{v}_k[/math] — линейно независимая система векторов n-мерного евклидова пространства [math](k\leqslant n)[/math]. Определим по индукции понятие многомерного объема. Обозначим через [math]\boldsymbol{h}_j[/math] — перпендикуляр, опущенный из конца вектора [math]\boldsymbol{v}_j[/math] на подпространство [math]\operatorname{Lin} (\boldsymbol{v}_1, \ldots,\boldsymbol{v}_{j-1}),[/math] [math]j=2,\ldots,k[/math].


Обозначим


[math]V_{\ast \boldsymbol{v}_1}=|\boldsymbol{v}_1|[/math] — одномерный объем — длина вектора [math]\boldsymbol{v}_1[/math];


[math]V_{\ast \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2}= V_{\ast \boldsymbol{v}_1}\cdot |\boldsymbol{h}_2|= |\boldsymbol{v}_1|\cdot|\boldsymbol{h}_2|[/math] — двумерный объем — площадь параллелограмма, построенного на векторах [math]\boldsymbol{v}_1,\,\boldsymbol{v}_2[/math];


[math]V_{\ast \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{v}_3}= V_{\ast \boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2}\cdot |\boldsymbol{h}_3|= |\boldsymbol{v}_1|\cdot |\boldsymbol{h}_2|\cdot |\boldsymbol{h}_3|[/math] — трехмерный объем — объем параллелепипеда, построенного на векторах [math]\boldsymbol{v}_1,\,\boldsymbol{v}_2,\, \boldsymbol{v}_3[/math];


[math]V_{\ast \boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_{k}}= V_{\ast \boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{v}_{k-1}}\cdot |\boldsymbol{h}_k|= |\boldsymbol{v}_1|\cdot|\boldsymbol{h}_2|\cdot \ldots\cdot |\boldsymbol{h}_k|[/math] — k-мерный объем — объем параллелепипеда, построенного на векторах [math]\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \ldots,\boldsymbol{v}_k[/math].


Проводя ортогонализацию системы векторов [math]\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2, \ldots, \boldsymbol{v}_k[/math], получаем, согласно пункту 4 замечаний 8.14, перпендикуляры [math]\boldsymbol{h}_1= \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{h}_2, \ldots,\boldsymbol{h}_k[/math]. Тогда по свойству 2 определителя Грама имеем


[math]V_{\ast \boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k}^2= |\boldsymbol{h}_1|^2\cdot |\boldsymbol{h}_2|^2\cdot \ldots\cdot |\boldsymbol{h}_k|^2= \det G(\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2,\ldots, \boldsymbol{v}_k),[/math]
(8.37)

т.е. определитель Грама векторов [math]\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \ldots, \boldsymbol{v}_k[/math] равен квадрату k-мерного объема параллелепипеда, построенного на этих векторах. В этом заключается геометрический смысл определителя Грама.


Расстоянием от конца вектора [math]\boldsymbol{v}[/math] до подпространства [math]L[/math] называется наименьшее значение длин векторов [math](\boldsymbol{v}-\boldsymbol{l})[/math], где [math]\boldsymbol{l}\in L[/math], т.е.


[math]d=\min_{\boldsymbol{l}\in L}|\boldsymbol{v}-\boldsymbol{l}|.[/math]

Аналогично определяется расстояние от конца вектора до многообразия.


Углом между ненулевым вектором [math]\boldsymbol{v}[/math] и подпространством [math]L[/math] называется наименьший угол [math]\varphi[/math] между вектором [math]\boldsymbol{v}[/math] и ненулевыми векторами подпространства, т.е.


[math]\varphi= \min_{\boldsymbol{l}\in L}\!\left(\arccos\frac{\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{l}\rangle}{|\boldsymbol{v}|\cdot|\boldsymbol{l}|}\right)\!.[/math]

Аналогично определяется угол между вектором и многообразием, как угол между вектором и однородной частью многообразия.


Из неравенств пункта 1 замечаний 8.14 следует, что


1) расстояние [math]d[/math] от конца вектора [math]\boldsymbol{v}[/math] до подпространства [math]L[/math] равно длине перпендикуляра [math]\boldsymbol{h}[/math], опущенного из конца вектора [math]\boldsymbol{v}[/math] на подпространство [math]L[/math], т.е. [math]d=|\boldsymbol{h}|[/math];


2) угол между ненулевым вектором [math]\boldsymbol{v}[/math] и подпространством [math]L[/math] равен углу между вектором [math]\boldsymbol{v}[/math] и его ортогональной проекцией на подпространство [math]L[/math].


Для нахождения расстояний и углов можно использовать формулу (8.37).


Пусть задан вектор [math]\boldsymbol{v}[/math] и подпространство [math]L=\operatorname{Lin} (\boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_r)[/math], причем векторы [math]\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_r[/math] линейно независимы. Тогда [math]V_{\ast \boldsymbol{e}_1,\ldots, \boldsymbol{e}_r, \boldsymbol{v}}= V_{\ast \boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_r}\cdot |\boldsymbol{h}|[/math], где [math]\boldsymbol{h}[/math] — ортогональная составляющая вектора [math]\boldsymbol{v}[/math] относительно подпространства [math]L[/math]. Отсюда, [math]\boldsymbol{h}= \frac{V_{\ast \boldsymbol{e}_1,\ldots, \boldsymbol{e}_r, \boldsymbol{v}}}{V_{\ast \boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_r}}[/math]. Используя (8.37) для вычисления объемов, получаем, что длина [math]|\boldsymbol{h}|[/math] ортогональной составляющей (расстояние от конца вектора [math]\boldsymbol{v}[/math] до подпространства [math]L=\operatorname{Lin}( \boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_r)[/math] находится по формуле


[math]|\boldsymbol{h}|= \sqrt{\frac{\det G(\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_r, \boldsymbol{v})}{\det G(\boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_r)}}\,,[/math]
(8.38)

а угол [math]\varphi[/math] между ненулевым вектором [math]\boldsymbol{v}[/math] и подпространством находится по формуле


[math]\varphi= \arcsin\frac{|\boldsymbol{h}|}{|\boldsymbol{v}|}\,.[/math]
(8.39)



Пример 8.22. В пространстве [math]\mathbb{R}^4[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27) заданы: вектор [math]v=\begin{pmatrix}-3&2&0&0\end{pmatrix}^T[/math] и подпространство [math]L[/math] — множество [math]\{Ax=o\}[/math] решений однородной системы:


[math]\begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=0,\\ 2x_1+3x_2+x_4=0,\\ 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=0. \end{cases}[/math]

Требуется найти расстояние [math]|h|[/math] от конца вектора [math]\boldsymbol{v}[/math] до подпространства [math]L[/math] и угол между вектором [math]\boldsymbol{v}[/math] и подпространством [math]L[/math].


Решение. Базис подпространства был найден в примере 8.9:


[math]L=\operatorname{Lin}(\varphi_1,\varphi_2),[/math] где [math]\varphi_1=\begin{pmatrix}-6&4&1&0\end{pmatrix}^T,\quad \varphi_2=\begin{pmatrix}-2&1&0&1\end{pmatrix}^T.[/math]

Составляем определители Грама [math]\Bigl(\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{v}_1\rangle= (-3)^2+ 2^2+0^2+0^2=13\Bigr)[/math], остальные скалярные произведения векторов найдены в примере 8.20):


[math]\det G(\varphi_1,\varphi_2,v)= \begin{vmatrix}53&16&26\\ 16&6&8\\ 26&8&13 \end{vmatrix}=14,\quad \det G(\varphi_1,\varphi_2)= \begin{vmatrix}53&16\\ 16&6 \end{vmatrix}=62.[/math]

Тогда [math]|h|=\sqrt{\frac{14}{62}}=\sqrt{\frac{7}{31}}[/math], а [math]\varphi= \arcsin\sqrt{\frac{7}{403}}[/math]. В найдены ортогональная проекция [math]l=\begin{pmatrix}\dfrac{-92}{31}&\dfrac{60}{31}&\dfrac{14}{31}&\dfrac{4}{31}\end{pmatrix}^T[/math] и ортогональная составляющая [math]h=\begin{pmatrix}\dfrac{-1}{31}& \dfrac{2}{31}&\dfrac{-14}{31}& \dfrac{-4}{31} \end{pmatrix}^T[/math]. Вычисляя длину вектора [math]h[/math], получаем [math]|h|=\sqrt{\frac{7}{31}}[/math]. Результаты совпадают.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved