Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Матричные уравнения

Матричные уравнения


Рассмотрим матричное уравнение вида

A\cdot X=B
(4.5)

где A и B — данные матрицы, имеющие одинаковое количество строк, причем матрица A квадратная. Требуется найти матрицу X, удовлетворяющую уравнению (4.5).


Теорема 4.2 о существовании и единственности решения матричного уравнения (4.5). Если определитель матрицы A отличен от нуля, то матричное уравнение (4.5) имеет единственное решение X=A^{-1}B.


В самом деле, подставляя X=A^{-1}B в левую часть равенства (4.5), получаем A(A^{-1}B)=\underbrace{AA^{-1}}_{E}B=B, т.е. правую часть этого равенства.


Заметим, что решением матричного уравнения AX=E служит обратная матрица X=A^{-1}.


Рассмотрим также матричное уравнение вида

Y\cdot A=B,
(4.6)

где A и B — данные матрицы, имеющие одинаковое количество столбцов, причем матрица A квадратная. Требуется найти матрицу Y, удовлетворяющую уравнению (4.6).


Теорема 4.3 о существовании и единственности решения матричного уравнения (4.6). Если определитель матрицы A отличен от нуля, то уравнение (4.6) имеет единственное решение Y=BA^{-1}.


Заметим, что матрица X является как бы "левым" частным от "деления" матрицы B на матрицу A, поскольку матрица X в (4.5) умножается на A слева, а матрица Y — "правым" частным, так как матрица Y в (4.6) умножается на A справа.


Пример 4.5. Даны матрицы


A=\begin{pmatrix}1&2\\1&4\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}1&3&5\\ 2&4&6 \end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}\!.

Решить уравнения: а) AX=B; б) YB=B; в) YA=C.


Решение. Обратная матрица A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\ -1/2&1/2 \end{pmatrix} была найдена в примере 4.2.


а) Решение уравнения AX=B находим, умножая обе его части слева на A^{-1}\colon


X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}2&-1\\-1/2&1/2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 1&3&5\\ 2&4&6\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&2&4\\1/2&1/2&1/2\end{pmatrix}\!.

б) Уравнение не имеет решений, так как матрицы A и B имеют разное количество столбцов (2\ne3).


в) Решение уравнения YA=C находим, умножая обе его части справа на A^{-1}\colon


Y=CA^{-1}= \begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&-1\\ -1/2&1/2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\4&-1\\7&-2\end{pmatrix}\!.



Пример 4.6. Решить уравнение: BX+2X=E, где B=\begin{pmatrix}-1&2\\1&2\end{pmatrix}.


Решение. Преобразуя левую часть уравнения:


B\cdot X+2\cdot X=B\cdot X+2\cdot E\cdot X=(B+2\cdot E)\cdot X, приведем его к виду (4.1)

A\cdot X=E, где A=B+2\cdot E=\begin{pmatrix}-1&2\\1&2\end{pmatrix}+ 2\cdot \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\1&4\end{pmatrix}\!.

Следовательно, X=A^{-1}E=A^{-1}. Обратная матрица найдена в примере 4.2:


A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-1/2&1/2\end{pmatrix}\!. Значит, X=A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-1/2&1/2\end{pmatrix}\!.



Пример 4.7. Решить уравнение AXB=C, где


A=\begin{pmatrix}1&2\\1&4\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}1&2&1\\ 0&1&0\\ 0&2&2\end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}\!.

Решение. Обратные матрицы


A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-1/2&1/2\end{pmatrix}\!,\qquad B^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&-1/2\\ 0&1&0\\ 0&-1&1/2\end{pmatrix}

были найдены в примерах 4.2, 4.3 соответственно. Решение уравнения находим по формуле


\begin{aligned}X&=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}= \begin{pmatrix}2&-1\\ -1/2&1/2 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&3&5\\ 2&4&6\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1&-1/2\\ 0&1&0\\ 0&-1&1/2\end{pmatrix}=\\[2pt] &= \begin{pmatrix}0&2&4\\ 1/2&1/2&1/2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 1&-1&-1/2\\ 0&1&0\\ 0&-1&1/2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&-2&2\\ 1/2&-1/2& 0\end{pmatrix}\!.\end{aligned}



Пример 4.8. Решить уравнение AX=B, где


A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\!,\qquad B=\begin{pmatrix}1&0\\ 2&0 \end{pmatrix}\!.

Решение. Определитель матрицы A равен нулю, следовательно, обратная матрица не существует. Поэтому нельзя использовать формулу X=A^{-1}B. Будем искать элементы матрицы X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}. Подставляя в уравнение, получаем


\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix}\!.

Находим произведение, а затем приравниваем соответствующие элементы матриц в левой и правой частях уравнения:


\begin{pmatrix} a+2c&b+2d\\ 2a+4c&2b+4d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}a+2c=1,\\b+2d=0.\end{cases}

Здесь, учитывая пропорциональность уравнений, в системе оставлены только два уравнения из четырех. Выразим неизвестные a и b\colon


\begin{cases}a=1-2c,\\b=-2d.\end{cases}

Следовательно, решение матричного уравнения имеет вид


X=\begin{pmatrix}1-2c&-2d\\c&d\end{pmatrix}\!,

где параметры c и d могут принимать любые значения. Таким образом, данное матричное уравнение имеет бесконечное множество решений.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved