Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Матричные уравнения
ОглавлениеЛинейная алгебра

Матричные уравнения


Рассмотрим матричное уравнение вида

[math]A\cdot X=B[/math]
(4.5)

где [math]A[/math] и [math]B[/math] — данные матрицы, имеющие одинаковое количество строк, причем матрица [math]A[/math] квадратная. Требуется найти матрицу [math]X[/math], удовлетворяющую уравнению (4.5).

Теорема 4.2 о существовании и единственности решения матричного уравнения (4.5). Если определитель матрицы [math]A[/math] отличен от нуля, то матричное уравнение (4.5) имеет единственное решение [math]X=A^{-1}B[/math].


В самом деле, подставляя [math]X=A^{-1}B[/math] в левую часть равенства (4.5), получаем [math]A(A^{-1}B)=\underbrace{AA^{-1}}_{E}B=B[/math], т.е. правую часть этого равенства.


Заметим, что решением матричного уравнения [math]AX=E[/math] служит обратная матрица [math]X=A^{-1}[/math].


Рассмотрим также матричное уравнение вида

[math]Y\cdot A=B,[/math]
(4.6)

где [math]A[/math] и [math]B[/math] — данные матрицы, имеющие одинаковое количество столбцов, причем матрица [math]A[/math] квадратная. Требуется найти матрицу [math]Y[/math], удовлетворяющую уравнению (4.6).

Теорема 4.3 о существовании и единственности решения матричного уравнения (4.6). Если определитель матрицы [math]A[/math] отличен от нуля, то уравнение (4.6) имеет единственное решение [math]Y=BA^{-1}[/math].


Заметим, что матрица [math]X[/math] является как бы "левым" частным от "деления" матрицы [math]B[/math] на матрицу [math]A[/math], поскольку матрица [math]X[/math] в (4.5) умножается на [math]A[/math] слева, а матрица [math]Y[/math] — "правым" частным, так как матрица [math]Y[/math] в (4.6) умножается на [math]A[/math] справа.


Пример 4.5. Даны матрицы


[math]A=\begin{pmatrix}1&2\\1&4\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}1&3&5\\ 2&4&6 \end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}\!.[/math]

Решить уравнения: а) [math]AX=B[/math]; б) [math]YB=B[/math]; в) [math]YA=C[/math].


Решение. Обратная матрица [math]A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\ -1/2&1/2 \end{pmatrix}[/math] была найдена в примере 4.2.


а) Решение уравнения [math]AX=B[/math] находим, умножая обе его части слева на [math]A^{-1}:[/math]


[math]X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}2&-1\\-1/2&1/2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 1&3&5\\ 2&4&6\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&2&4\\1/2&1/2&1/2\end{pmatrix}\!.[/math]

б) Уравнение не имеет решений, так как матрицы [math]A[/math] и [math]B[/math] имеют разное количество столбцов [math](2\ne3)[/math].


в) Решение уравнения [math]YA=C[/math] находим, умножая обе его части справа на [math]A^{-1}:[/math]


[math]Y=CA^{-1}= \begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&-1\\ -1/2&1/2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\4&-1\\7&-2\end{pmatrix}\!.[/math]



Пример 4.6. Решить уравнение: [math]BX+2X=E[/math], где [math]B=\begin{pmatrix}-1&2\\1&2\end{pmatrix}[/math].


Решение. Преобразуя левую часть уравнения:


[math]B\cdot X+2\cdot X=B\cdot X+2\cdot E\cdot X=(B+2\cdot E)\cdot X,[/math]
приведем его к виду (4.1)
[math]A\cdot X=E,[/math] где [math]A=B+2\cdot E=\begin{pmatrix}-1&2\\1&2\end{pmatrix}+ 2\cdot \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\1&4\end{pmatrix}\!.[/math]

Следовательно, [math]X=A^{-1}E=A^{-1}[/math]. Обратная матрица найдена в примере 4.2:


[math]A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-1/2&1/2\end{pmatrix}\!.[/math] Значит, [math]X=A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-1/2&1/2\end{pmatrix}\!.[/math]



Пример 4.7. Решить уравнение [math]AXB=C[/math], где


[math]A=\begin{pmatrix}1&2\\1&4\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}1&2&1\\ 0&1&0\\ 0&2&2\end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Обратные матрицы


[math]A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-1/2&1/2\end{pmatrix}\!,\qquad B^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&-1/2\\ 0&1&0\\ 0&-1&1/2\end{pmatrix}[/math]

были найдены в примерах 4.2, 4.3 соответственно. Решение уравнения находим по формуле

[math]\begin{aligned}X&=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}= \begin{pmatrix}2&-1\\ -1/2&1/2 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&3&5\\ 2&4&6\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1&-1/2\\ 0&1&0\\ 0&-1&1/2\end{pmatrix}=\\[2pt] &= \begin{pmatrix}0&2&4\\ 1/2&1/2&1/2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 1&-1&-1/2\\ 0&1&0\\ 0&-1&1/2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&-2&2\\ 1/2&-1/2& 0\end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]



Пример 4.8. Решить уравнение [math]AX=B[/math], где


[math]A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\!,\qquad B=\begin{pmatrix}1&0\\ 2&0 \end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Определитель матрицы [math]A[/math] равен нулю, следовательно, обратная матрица не существует. Поэтому нельзя использовать формулу [math]X=A^{-1}B[/math]. Будем искать элементы матрицы [math]X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}[/math]. Подставляя в уравнение, получаем


[math]\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Находим произведение, а затем приравниваем соответствующие элементы матриц в левой и правой частях уравнения:


[math]\begin{pmatrix} a+2c&b+2d\\ 2a+4c&2b+4d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}a+2c=1,\\b+2d=0.\end{cases}[/math]

Здесь, учитывая пропорциональность уравнений, в системе оставлены только два уравнения из четырех. Выразим неизвестные [math]a[/math] и [math]b:[/math]


[math]\begin{cases}a=1-2c,\\b=-2d.\end{cases}[/math]

Следовательно, решение матричного уравнения имеет вид


[math]X=\begin{pmatrix}1-2c&-2d\\c&d\end{pmatrix}\!,[/math]

где параметры [math]c[/math] и [math]d[/math] могут принимать любые значения. Таким образом, данное матричное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved