Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Математическая логика и информатика
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Математическая логика и информатика Информатика — находящаяся в становлении наука, изучающая законы и методы накопления, передачи и обработки информации с помощью ЭВМ (компьютера). В англоязычных странах эта наука получила название "computer science" ("вычислительная наука"). Понятие информатики охватывает области, связанные с разработкой, созданием, использованием и материально-техническим обслуживанием систем обработки информации, включая машины, оборудование, математическое обеспечение, организационные аспекты. Таким образом, информатику определяют три неразрывно связанные между собой части: алгоритмические, программные и технические средства. Современная информатика уходит своими корнями в математику и кибернетику, электронику и системотехнику, логику и лингвистику. Основные научные направления информатики образуют следующие научные дисциплины: теоретические основы вычислительной техники, статистическая теория информации, теория вычислительного эксперимента, алгоритмизация, программирование, искусственный интеллект. Прикладная информатика обслуживает науку, технику, производство и другие виды человеческой деятельности путем создания и передачи в общество информационной технологии. О логических аспектах некоторых из перечисленных дисциплин информатики мы уже говорили в предыдущих параграфах настоящей главы. В настоящем параграфе будет указано на логический аспект теории баз данных. Общее понятие о базе данных Обработка больших массивов информации — наиболее массовая область применения компьютеров. Одним из способов хранения и обработки информации являются так называемые базы данных. Под данными понимается информация, находящаяся в памяти компьютера или подготовленная для ввода в компьютер. База данных — это организованная совокупность (система) данных, предназначенная для длительного хранения (обычно во внешней памяти компьютера) и постоянного применения. База данных должна быть способна выдавать ответы на запросы. При этом можно запрашивать то, что непосредственно хранится в базе, но можно запрашивать и производную информацию, т.е. информацию, как-то выражаемую через базисную. База данных является не случайным собранием сведений, но является постоянной основой для некоторого вида конкретной деятельности человека — пользователя базы данных. Базы данных подразделяются на иерархические, сетевые, реляционные. В реляционных базах информация хранится в виде отношений между данными, а в сетевых и иерархических учитывается некоторая геометрия связей данных. База данных снабжается совокупностью языковых и профаммных средств, предназначенных для создания, обслуживания (ведения) и использования базы данных многими пользователями — так называемая система управления базами данных. Понятие базы знаний представляет собой обобщение понятия базы данных. База знаний — организованная совокупность знаний, представленная в форме, допускающей автоматизированное использование этих знаний с помощью компьютера. При этом база знаний содержит не только конкретные факты из той или иной области, но и описание правил и общих закономерностей. Например, при решении задач из тригонометрии базой данных могут служить таблицы значений тригонометрических функций, а в базу знаний будут дополнительно включены различные тригонометрические тождества, выражающие свойства тригонометрических функций и взаимосвязи между ними. С теорией и практикой баз данных и баз знаний связаны различные области математики — математическая логика, алгебра, геометрия. В следующем пункте рассматривается пример реляционной базы данных, на котором поясняется применение математической логики для описания запросов в базах данных. Реляционная база данных и логика запросов в ней Реляционная база данных с математической точки зрения представляет собой конечный набор конечных отношений различной арности между заранее определенными множествами элементарных данных. Другими словами, реляционная база данных (точнее, каждое ее состояние) — это конечная модель в смысле математической логики. Над отношениями модели можно осуществлять различные алгебраические операции. Тем самым теория реляционных баз данных становится областью приложений математической логики и современной алгебры и опирается на точный математический формализм. Пример 41.1. Рассмотрим простой пример реляционной базы данных, содержащей информацию о студенческой группе за один семестр. Будем исходить из трех множеств данных: $D_1$ — множество студентов в данной группе, $D_2$ — список изучаемых за семестр предметов, $D_3$ — спортивные секции, в которых занимаются студенты. Далее введем множество переменных $X=\{x,y,z,u\}$ ; при этом считаем, что $x,y\in D_1,$ $z\in D_2,$ $u\in D_3$ . Таким образом, каждой переменной отвечает множество данных, которые эта переменная пробегает: $D_x=D_y=D_1,\quad D_z=D_2,\quad D_u=D_3.$ Наконец рассмотрим еще определенный список $\Phi$ отношений между студентами и учебными предметами, между студентами и спортивными секциями, между студентами и студентами: а) прежде всего в этот список включим отношения $\varphi_2, \varphi_3, \varphi_4, \varphi_5$ между множеством $D_x$ студентов и множеством $D_z$ учебных предметов. При этом, например, $(x,z)\in \varphi_3$ , если студент $x$ по предмету $z$ в данном семестре имеет "тройку". Аналогичен смысл остальных отношений. Каждое из этих отношений можно мыслить как двухместный предикат $\varphi_{i}(x,z)$ , заданный на множествах $D_x,\,D_z$ , a соответствующее бинарное отношение, являющееся подмножеством декартова произведения $D_x\times D_z$ , будет множеством истинности этого предиката; б) символом $\psi(x,u)$ обозначим отношение (или предикат) между множеством студентов $D_x$ и множеством спортивных секций $D_u$ , означающее, что студент $x$ занимается в секции ${u}$ ; в) введем еще три отношения, на этот раз на множестве всех студентов, связанных с "моральным климатом" в студенческой группе: $f_1(x,y)$ означает, что студент $x$ относится к студенту $y$ доброжелательно; $f_2(x,y)$ — $x$ безразличен к $y$ ; $f_3(x,y)$ — $x$ относится к $y$ недоброжелательно. Соответствующие бинарные отношения являются подмножествами декартова произведения $D_x\times D_y$ . Указанный набор $\Phi$ определяет базисную информацию — информацию о состоянии дел на каждый данный момент. Эта информация хранится в виде подмножеств соответствующих декартовых произведений. Например: $x,y\in D_1=$ {Иванов, Петров, Смирнов}; $z\in D_2=$ {алгебра, геометрия, математический анализ, английский язык}; $u\in D_3=$ {бокс, шахматы, туризм}. Обработка информации, хранящейся в базе данных, предполагает определенные действия с базисными подмножествами. Для осуществления этих действий необходимо всю базисную информацию сделать однородной, т. е. "уравнять" в одном и том же большом декартовом произведении. Для этого рассмотрим множество $D=D_x\times D_y\times D_z\times D_u$ . Проектирование этого множества $D$ на рассматривавшиеся ранее множества $D_x\times D_y,~ D_x\times D_z$ и $D_x\times D_u$ позволяет рассматривать в качестве базисных отношений некоторые подмножества в $D$ . Например, если предикат $\varphi_5(x,z)$ имеет своим множеством истинности бинарное отношение $A \subseteq D_x\times D_z$ , то это же отношение можно рассматривать одновременно как подмножество $A'$ в $D$ по правилу: упорядоченная четверка $(d_x, d_y,d_z,d_u)$ из $D$ принадлежит $A'$ , если $(d_x,d_y)\in A$ . Теперь все исходные базисные бинарные отношения, заданные на разнообразных множествах, рассматриваются как четырехместные отношения, заданные на одних и тех же множествах $D_x,D_y,D_z,D_u$ , т.е. как подмножества одного и того же множества $D$ . Перейдем теперь к запросам в нашей базе данных. Допустим, что нас интересует список студентов, которые отлично учатся по всем предметам, занимаются спортом, ко всем доброжелательны и не имеют врагов. Все эти качества могут быть описаны следующей формулой "идеального" студента: $(\forall z)\bigl(\varphi_5(x,z)\bigr)\land (\exists u)\bigl(\psi(x,u)\bigr)\land (\forall y)\bigl(f_1(x,y)\bigr)\land (\exists y)\bigl(f_3(y,x)\bigr).$ Это есть формула логики предикатов, в которой предметные переменные, кроме одной переменной — $x$ , связаны. Таким образом, формула задает одноместный предикат, зависящий от переменной $x$ , пробегающей множество $D_x$ всех студентов данной группы. Множество истинности этого предиката есть подмножество множества $D_y$ и представляет собой множество "идеальных" студентов группы. В данном случае оно состоит из единственного студента Петрова. Таким образом, формула логики предикатов определяет некоторый запрос в базе данных, ответ на который выдается в зависимости от состояния базы данных в данный момент времени. Приведем другие примеры запросов. Формула $(\exists z_1)(\exists z_2)\bigl(z_1\ne z_2\land \varphi_2(x,z_1)\land \varphi_2(x,z_2)\bigr)$ запрашивает список студентов, имеющих хотя бы две "двойки". Формула $\lnot(\exists u)\bigl(\psi(x,u)\bigr)$ дает список студентов, не занимающихся спортом, а формула $(\exists u_1)(\exists u_2)\bigl(u_1\ne u_2\land \psi(x,u_1)\land \psi(x,u_2)\bigr)$ дает список студентов, занимающихся по меньшей мере двумя видами спорта. Наконец формула $\lnot(\exists x)\bigl(\varphi_2(x,z)\bigr)$ дает список предметов, по которым нет неудовлетворительных оценок. Обсудим более подробно понятие запроса в базе данных. Отметим, во-первых, что один и тот же запрос может быть представлен разными формулами. Например, в формуле "идеального" студента вместо $\lnot(\exists y)\bigl(f_3(y,x)\bigr)$ можно писать $(\forall y)\bigl(\lnot f_3(y,x)\bigr)$ , что равносильно $(\forall y)\bigl(f_1(y,x)\lor f_2(y,x)\bigr)$ . Ясно, что от формы записи запроса зависит скорость вычисления ответа, и поэтому далеко не безразлично, какую запись запроса выбрать. Две формулы называют равносильными, если в любых состояниях и в любых системах данных этим формулам отвечает один и тот же результат вычислений (ответ). Другими словами, равносильные формулы — это формулы, имеющие одинаковое семантическое содержание. Тогда под запросом можно понимать не одну формулу, а весь класс равносильных ей формул. Правда, здесь возникают трудности, связанные с необходимостью уточнить понятие состояния и с необходимостью предвидеть все возможные состояния базы данных. Эти трудности преодолеваются с помощью математической логики. В математической логике имеется еще один (синтаксический) подход к определению той же равносильности формул, не требующий обращения к состояниям (к семантике). Он основан на подходящем формализованном исчислении. В каждом таком исчислении, как мы знаем, имеется понятие формулы, некоторые формулы объявляются аксиомами исчисления и указываются правила вывода. Две формулы $F$ и $G$ объявляются эквивалентными, если формула $F\leftrightarrow G$ (или $(F\to G)\land(G\to F)$ , или $(\lnot F\lor G)\land (F\lor\lnot G)$ ) выводима из аксиом (т.е. является теоремой исчисления). Доказывается метатеорема адекватности исчисления: две формулы равносильны в семантическом смысле тогда и только тогда, когда они эквивалентны в указанном сейчас синтаксическом смысле. Имеется и еще одно применение аксиоматического подхода в теории баз данных. В схему базы данных, как правило, включается определенный набор аксиом, которым должны удовлетворять состояния. В общем случае система аксиом базы данных — это некоторый набор формул в языке первой ступени, связанном с данной базой. Аксиомы выделяют определенный набор состояний и вносят определенное содержание в набор $\Phi$ , в общем, бессодержательных символов отношений. В базах данных эти ограничения называют еще ограничениями целостности. В различных конкретных ситуациях они возникают естественным образом. Например, в рассмотренном выше примере базы данных студенческой группы добавим еще один одноместный предикат $\xi(x)$ , означающий, что студент х получает стипендию. Тогда можем ввести аксиому: $(\exists z)\bigl(\varphi_2(x,z)\lor \varphi_3(x,z)\bigr)\to\lnot \xi(x).$ Эта аксиома означает, что во всех рассматриваемых состояниях наличие "двойки" или "тройки" хотя бы по одному предмету лишает студента права на стипендию. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Математическая логика и информатика

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Математическая логика и информатика

Информатика — находящаяся в становлении наука, изучающая законы и методы накопления, передачи и обработки информации с помощью ЭВМ (компьютера). В англоязычных странах эта наука получила название "computer science" ("вычислительная наука"). Понятие информатики охватывает области, связанные с разработкой, созданием, использованием и материально-техническим обслуживанием систем обработки информации, включая машины, оборудование, математическое обеспечение, организационные аспекты. Таким образом, информатику определяют три неразрывно связанные между собой части: алгоритмические, программные и технические средства.

Современная информатика уходит своими корнями в математику и кибернетику, электронику и системотехнику, логику и лингвистику. Основные научные направления информатики образуют следующие научные дисциплины: теоретические основы вычислительной техники, статистическая теория информации, теория вычислительного эксперимента, алгоритмизация, программирование, искусственный интеллект. Прикладная информатика обслуживает науку, технику, производство и другие виды человеческой деятельности путем создания и передачи в общество информационной технологии.

О логических аспектах некоторых из перечисленных дисциплин информатики мы уже говорили в предыдущих параграфах настоящей главы. В настоящем параграфе будет указано на логический аспект теории баз данных.

Общее понятие о базе данных

Обработка больших массивов информации — наиболее массовая область применения компьютеров. Одним из способов хранения и обработки информации являются так называемые базы данных. Под данными понимается информация, находящаяся в памяти компьютера или подготовленная для ввода в компьютер. База данных — это организованная совокупность (система) данных, предназначенная для длительного хранения (обычно во внешней памяти компьютера) и постоянного применения. База данных должна быть способна выдавать ответы на запросы. При этом можно запрашивать то, что непосредственно хранится в базе, но можно запрашивать и производную информацию, т.е. информацию, как-то выражаемую через базисную. База данных является не случайным собранием сведений, но является постоянной основой для некоторого вида конкретной деятельности человека — пользователя базы данных. Базы данных подразделяются на иерархические, сетевые, реляционные. В реляционных базах информация хранится в виде отношений между данными, а в сетевых и иерархических учитывается некоторая геометрия связей данных. База данных снабжается совокупностью языковых и профаммных средств, предназначенных для создания, обслуживания (ведения) и использования базы данных многими пользователями — так называемая система управления базами данных.

Понятие базы знаний представляет собой обобщение понятия базы данных. База знаний — организованная совокупность знаний, представленная в форме, допускающей автоматизированное использование этих знаний с помощью компьютера. При этом база знаний содержит не только конкретные факты из той или иной области, но и описание правил и общих закономерностей. Например, при решении задач из тригонометрии базой данных могут служить таблицы значений тригонометрических функций, а в базу знаний будут дополнительно включены различные тригонометрические тождества, выражающие свойства тригонометрических функций и взаимосвязи между ними.

С теорией и практикой баз данных и баз знаний связаны различные области математики — математическая логика, алгебра, геометрия.

В следующем пункте рассматривается пример реляционной базы данных, на котором поясняется применение математической логики для описания запросов в базах данных.

Реляционная база данных и логика запросов в ней

Реляционная база данных с математической точки зрения представляет собой конечный набор конечных отношений различной арности между заранее определенными множествами элементарных данных. Другими словами, реляционная база данных (точнее, каждое ее состояние) — это конечная модель в смысле математической логики. Над отношениями модели можно осуществлять различные алгебраические операции. Тем самым теория реляционных баз данных становится областью приложений математической логики и современной алгебры и опирается на точный математический формализм.

Пример 41.1. Рассмотрим простой пример реляционной базы данных, содержащей информацию о студенческой группе за один семестр. Будем исходить из трех множеств данных: $D_1$ — множество студентов в данной группе, $D_2$ — список изучаемых за семестр предметов, $D_3$ — спортивные секции, в которых занимаются студенты. Далее введем множество переменных $X=\{x,y,z,u\}$ ; при этом считаем, что $x,y\in D_1,$ $z\in D_2,$ $u\in D_3$ . Таким образом, каждой переменной отвечает множество данных, которые эта переменная пробегает:

$D_x=D_y=D_1,\quad D_z=D_2,\quad D_u=D_3.$

Наконец рассмотрим еще определенный список $\Phi$ отношений между студентами и учебными предметами, между студентами и спортивными секциями, между студентами и студентами:

а) прежде всего в этот список включим отношения $\varphi_2, \varphi_3, \varphi_4, \varphi_5$ между множеством $D_x$ студентов и множеством $D_z$ учебных предметов. При этом, например, $(x,z)\in \varphi_3$ , если студент $x$ по предмету $z$ в данном семестре имеет "тройку". Аналогичен смысл остальных отношений. Каждое из этих отношений можно мыслить как двухместный предикат $\varphi_{i}(x,z)$ , заданный на множествах $D_x,\,D_z$ , a соответствующее бинарное отношение, являющееся подмножеством декартова произведения $D_x\times D_z$ , будет множеством истинности этого предиката;

б) символом $\psi(x,u)$ обозначим отношение (или предикат) между множеством студентов $D_x$ и множеством спортивных секций $D_u$ , означающее, что студент $x$ занимается в секции ${u}$ ;

в) введем еще три отношения, на этот раз на множестве всех студентов, связанных с "моральным климатом" в студенческой группе: $f_1(x,y)$ означает, что студент $x$ относится к студенту $y$ доброжелательно; $f_2(x,y)$ — $x$ безразличен к $y$ ; $f_3(x,y)$ — $x$ относится к $y$ недоброжелательно. Соответствующие бинарные отношения являются подмножествами декартова произведения $D_x\times D_y$ .

Указанный набор $\Phi$ определяет базисную информацию — информацию о состоянии дел на каждый данный момент. Эта информация хранится в виде подмножеств соответствующих декартовых произведений. Например:

Информация, хранящаяся в виде подмножеств декартовых произведений

$x,y\in D_1=$ {Иванов, Петров, Смирнов};
$z\in D_2=$ {алгебра, геометрия, математический анализ, английский язык};
$u\in D_3=$ {бокс, шахматы, туризм}.

Обработка информации, хранящейся в базе данных, предполагает определенные действия с базисными подмножествами. Для осуществления этих действий необходимо всю базисную информацию сделать однородной, т. е. "уравнять" в одном и том же большом декартовом произведении. Для этого рассмотрим множество $D=D_x\times D_y\times D_z\times D_u$ . Проектирование этого множества $D$ на рассматривавшиеся ранее множества $D_x\times D_y,~ D_x\times D_z$ и $D_x\times D_u$ позволяет рассматривать в качестве базисных отношений некоторые подмножества в $D$ . Например, если предикат $\varphi_5(x,z)$ имеет своим множеством истинности бинарное отношение $A \subseteq D_x\times D_z$ , то это же отношение можно рассматривать одновременно как подмножество $A'$ в $D$ по правилу: упорядоченная четверка $(d_x, d_y,d_z,d_u)$ из $D$ принадлежит $A'$ , если $(d_x,d_y)\in A$ . Теперь все исходные базисные бинарные отношения, заданные на разнообразных множествах, рассматриваются как четырехместные отношения, заданные на одних и тех же множествах $D_x,D_y,D_z,D_u$ , т.е. как подмножества одного и того же множества $D$ .

Перейдем теперь к запросам в нашей базе данных. Допустим, что нас интересует список студентов, которые отлично учатся по всем предметам, занимаются спортом, ко всем доброжелательны и не имеют врагов. Все эти качества могут быть описаны следующей формулой "идеального" студента:

$(\forall z)\bigl(\varphi_5(x,z)\bigr)\land (\exists u)\bigl(\psi(x,u)\bigr)\land (\forall y)\bigl(f_1(x,y)\bigr)\land (\exists y)\bigl(f_3(y,x)\bigr).$

Это есть формула логики предикатов, в которой предметные переменные, кроме одной переменной — $x$ , связаны. Таким образом, формула задает одноместный предикат, зависящий от переменной $x$ , пробегающей множество $D_x$ всех студентов данной группы. Множество истинности этого предиката есть подмножество множества $D_y$ и представляет собой множество "идеальных" студентов группы. В данном случае оно состоит из единственного студента Петрова.

Таким образом, формула логики предикатов определяет некоторый запрос в базе данных, ответ на который выдается в зависимости от состояния базы данных в данный момент времени.

Приведем другие примеры запросов. Формула

$(\exists z_1)(\exists z_2)\bigl(z_1\ne z_2\land \varphi_2(x,z_1)\land \varphi_2(x,z_2)\bigr)$

запрашивает список студентов, имеющих хотя бы две "двойки". Формула $\lnot(\exists u)\bigl(\psi(x,u)\bigr)$ дает список студентов, не занимающихся спортом, а формула

$(\exists u_1)(\exists u_2)\bigl(u_1\ne u_2\land \psi(x,u_1)\land \psi(x,u_2)\bigr)$

дает список студентов, занимающихся по меньшей мере двумя видами спорта. Наконец формула $\lnot(\exists x)\bigl(\varphi_2(x,z)\bigr)$ дает список предметов, по которым нет неудовлетворительных оценок.

Обсудим более подробно понятие запроса в базе данных. Отметим, во-первых, что один и тот же запрос может быть представлен разными формулами. Например, в формуле "идеального" студента вместо $\lnot(\exists y)\bigl(f_3(y,x)\bigr)$ можно писать $(\forall y)\bigl(\lnot f_3(y,x)\bigr)$ , что равносильно $(\forall y)\bigl(f_1(y,x)\lor f_2(y,x)\bigr)$ . Ясно, что от формы записи запроса зависит скорость вычисления ответа, и поэтому далеко не безразлично, какую запись запроса выбрать.

Две формулы называют равносильными, если в любых состояниях и в любых системах данных этим формулам отвечает один и тот же результат вычислений (ответ). Другими словами, равносильные формулы — это формулы, имеющие одинаковое семантическое содержание. Тогда под запросом можно понимать не одну формулу, а весь класс равносильных ей формул. Правда, здесь возникают трудности, связанные с необходимостью уточнить понятие состояния и с необходимостью предвидеть все возможные состояния базы данных. Эти трудности преодолеваются с помощью математической логики. В математической логике имеется еще один (синтаксический) подход к определению той же равносильности формул, не требующий обращения к состояниям (к семантике). Он основан на подходящем формализованном исчислении. В каждом таком исчислении, как мы знаем, имеется понятие формулы, некоторые формулы объявляются аксиомами исчисления и указываются правила вывода. Две формулы $F$ и $G$ объявляются эквивалентными, если формула $F\leftrightarrow G$ (или $(F\to G)\land(G\to F)$ , или $(\lnot F\lor G)\land (F\lor\lnot G)$ ) выводима из аксиом (т.е. является теоремой исчисления). Доказывается метатеорема адекватности исчисления: две формулы равносильны в семантическом смысле тогда и только тогда, когда они эквивалентны в указанном сейчас синтаксическом смысле.

Имеется и еще одно применение аксиоматического подхода в теории баз данных. В схему базы данных, как правило, включается определенный набор аксиом, которым должны удовлетворять состояния. В общем случае система аксиом базы данных — это некоторый набор формул в языке первой ступени, связанном с данной базой. Аксиомы выделяют определенный набор состояний и вносят определенное содержание в набор $\Phi$ , в общем, бессодержательных символов отношений. В базах данных эти ограничения называют еще ограничениями целостности. В различных конкретных ситуациях они возникают естественным образом.

Например, в рассмотренном выше примере базы данных студенческой группы добавим еще один одноместный предикат $\xi(x)$ , означающий, что студент х получает стипендию. Тогда можем ввести аксиому:

$(\exists z)\bigl(\varphi_2(x,z)\lor \varphi_3(x,z)\bigr)\to\lnot \xi(x).$

Эта аксиома означает, что во всех рассматриваемых состояниях наличие "двойки" или "тройки" хотя бы по одному предмету лишает студента права на стипендию.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]