Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Логика предикатов

Логика предикатов


Предикаты вслед за высказываниями являются следующим важным предметом, исследуемым математической логикой. Понятие предиката обобщает понятие высказывания, а теория предикатов представляет собой более тонкий инструмент, по сравнению с теорией высказываний, для изучения закономерностей процессов умозаключения и логического следования, составляющих предмет математической логики. В настоящей главе рассматриваются основы теории предикатов.


Понятие предиката


В высказывании все четко: это — конкретное утверждение о конкретных объектах — истинное или ложное. Предикат — предложение, похожее на высказывание, но все же им не являющееся: о нем нельзя судить, истинно оно или ложно. Дадим точное определение.


Определение 18.1. Определенным на множествах [math]M_1,M_2,\ldots,M_n[/math] n-местным предикатом называется предложение, содержащее [math]n[/math] переменных [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math], превращающееся в высказывание при подстановке вместо этих переменных любых конкретных элементов из множеств [math]M_1,M_2,\ldots,M_n[/math] соответственно.


Для n-местного предиката будем использовать обозначение [math]P(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math]. Переменные [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] называют предметными, а элементы множеств [math]M_1,M_2,\ldots,M_n[/math], которые эти переменные пробегают, — конкретными предметами. Всякий n-местный предикат [math]P(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math], определенный на множествах [math]M_1,M_2,\ldots,M_n[/math], представляет собой функцию п аргументов, заданную на указанных множествах и принимающую значения в множестве всех высказываний. Поэтому предикат называют также функцией-высказыванием.


Рассмотрим пример. Предложение "Река [math]x[/math] впадает в озеро Байкал" является одноместным предикатом, определенным над множеством всех названий рек. Подставив вместо предметной переменной [math]x[/math] название "Баргузин", получим высказывание "Река Баргузин впадает в озеро Байкал". Это высказывание истинно. Подставив вместо предметной переменной [math]x[/math] название "Днепр", получим ложное высказывание "Река Днепр впадает в озеро Байкал".


Другой пример. Предложение (выражение) "[math]x^2+y^2 \leqslant 9[/math]" является двухместным предикатом, заданным над множествами [math]\mathbb{R},\mathbb{R}[/math]. Множества, на которых задан двухместный предикат, совпадают (говорят, что "двухместный предикат задан на множестве [math]\mathbb{R}^2[/math]"). Пара действительных чисел 2, 2 превращает данный предикат в истинное высказывание: "[math]2^2+2^2 \leqslant 9[/math]", а пара чисел 2, 3 — в ложное: "[math]2^2+3^2 \leqslant 9[/math]".


Отметим еще один подход к понятию предиката. Как отмечалось, предикат [math]P(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math], определенный на множествах [math]M_1,M_2,\ldots,M_n[/math], превращается в конкретное высказывание [math]P(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math], если вместо предметных переменных [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] подставить в него конкретные предметы (элементы [math]a_1,a_2,\ldots,a_n[/math]) из множеств [math]M_1,M_2,\ldots,M_n[/math] соответственно. Это высказывание может быть либо истинным, либо ложным, т. е. его логическое значение равно 1 или 0. Следовательно, данный предикат определяет функцию [math]n[/math] аргументов, заданную на множествах [math]M_1,M_2,\ldots,M_n[/math] принимающую значение в двухэлементном множестве [math]\{0;1\}[/math]. Иногда эту функцию и называют предикатом.




Классификация предикатов


Определение 18.2. Предикат [math]P(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math], заданный на множествах [math]M_1,M_2,\ldots,M_n[/math], называется:


а) тождественно истинным, если при любой подстановке вместо переменных [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] любых конкретных предметов [math]a_1,a_2,\ldots,a_n[/math] из множеств [math]M_1,M_2,\ldots,M_n[/math] соответственно он превращается в истинное высказывание [math]P(a_1,a_2,\ldots,a_n)[/math];


б) тождественно ложным, если при любой подстановке вместо переменных [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] любых конкретных предметов из множеств [math]M_1,M_2,\ldots,M_n[/math] соответственно он превращается в ложное высказывание;


в) выполнимым (опровержимым), если существует по меньшей мере один набор конкретных предметов [math]a_1,a_2,\ldots,a_n[/math] из множеств [math]M_1,M_2,\ldots,M_n[/math] соответственно, при подстановке которых вместо соответствующих предметных переменных в предикат [math]P(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] последний превратится в истинное (ложное) высказывание [math]P(a_1,a_2,\ldots,a_n)[/math].


Приведем примеры предикатов.


Одноместный предикат "Город [math]x[/math] расположен на берегу реки Волги", определенный на множестве названий городов, является выполнимым, потому что существуют города, названия которых превращают данный предикат в истинное высказывание, или, иначе, удовлетворяют этому предикату (например, Ульяновск, Саратов и т. д.). Но данный предикат не будет тождественно истинным, потому что существуют города, названия которых превращают его в ложное высказывание, или, иначе, не удовлетворяют этому предикату (например, Прага, Якутск и т.д.). Этот же предикат являет собой пример опровержимого, но не тождественно ложного предиката (продумайте!).


В другом примере одноместный предикат "[math]\sin^2x+\cos^2x=1[/math]", определенный на множестве действительных чисел, тождественно истинный. Наконец, двухместный предикат "[math]x^2+y^2<0[/math]", заданный также на множестве действительных чисел, является тождественно ложным предикатом, потому что любая пара действительных чисел превращает его в ложное высказывание (не удовлетворяет ему).


Отметим некоторые достаточно очевидные закономерности взаимосвязей между предикатами различных типов (рекомендуется осмыслить их):


1) каждый тождественно истинный предикат является выполнимым, но обратное неверно;
2) каждый тождественно ложный предикат является опровержимым, но обратное неверно;
3) каждый не тождественно истинный предикат будет опровержимым, но, вообще говоря, не будет тождественно ложным;
4) каждый не тождественно ложный предикат будет выполнимым, но, вообще говоря, не будет тождественно истинным.



Множество истинности предиката


Определение 18.3. Множеством истинности предиката [math]P(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math], заданного на множествах [math]M_1,M_2,\ldots,M_n[/math], называется совокупность всех упорядоченных n-систем [math](a_1,a_2,\ldots,a_n)[/math], в которых [math]a_1\in M_1,a_2\in M_2,\ldots,a_n\in M_n[/math], таких, что данный предикат обращается в истинное высказывание [math]P(a_1,a_2,\ldots,a_n)[/math] при подстановке [math]x_1=a_1,x_2=a_2,\ldots,x_n=a_n[/math]. Это множество будем обозначать [math]P^{+}[/math]. Таким образом,


[math]P^{+}= \bigl\{(a_1,a_2,\ldots,a_n)\colon\, \lambda \bigl(P(a_1,a_2, \ldots, a_n)\bigr)= 1\bigr\}.[/math]

Множество [math]P^{+}[/math] истинности "-местного предиката [math]P(a_1,a_2,\ldots,a_n)[/math] представляет собой n-арное отношение между элементами множеств [math]M_1,M_2,\ldots,M_n[/math]. Если предикат [math]P(x)[/math] — одноместный, заданный над множеством [math]M[/math], то его множество истинности [math]P^{+}[/math] является подмножеством множества [math]M\colon\, P^{+}\subseteq M[/math].


Например, множеством истинности двухместного предиката "Точка [math]x[/math] принадлежит прямой [math]y[/math]", заданного на множестве [math]E[/math] всех точек плоскости и на множестве [math]F[/math] всех прямых этой плоскости, является бинарное отношение принадлежности (инцидентности) между точками и прямыми плоскости. Другой пример. Множество истинности двухместного предиката [math]S(x,y)\colon~ x^2+y^2=9[/math], заданного на множестве [math]\mathbb{R}^2[/math], есть множество всех таких пар действительных чисел, которые являются координатами точек плоскости, образующими окружность с центром в начале координат и радиуса 3. Наконец, если [math]A(x)\colon[/math] "[math]|a|>2[/math]" — одноместный предикат над [math]\mathbb{R}[/math], то [math]A^{+}= (-\infty;-2)\cup(2;+\infty)[/math], или [math]A^{+}= \mathbb{R} \setminus[-2;2][/math].


В терминах множества истинности легко выразить понятия, связанные с классификацией предикатов (определение 18.2). В самом деле, n-местный предикат [math]P(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math], заданный на множествах [math]M_1,M_2,\ldots,M_n[/math], будет:


а) тождественно истинным тогда и только тогда, когда [math]P^{+}=M_1\times M_2\times \ldots\times M_n[/math];
б) тождественно ложным тогда и только тогда, когда [math]P^{+}=\varnothing[/math];
в) выполнимым тогда и только тогда, когда [math]P^{+}\ne\varnothing[/math];
г) опровержимым тогда и только тогда, когда [math]P^{+}\ne M_1\times M_2\times \ldots\times M_n[/math].

На языке множеств истинности еще более отчетливо проясняются закономерности взаимосвязей между предикатами различных типов, отмеченные в конце предыдущего пункта. Проанализируйте их еще раз.




Равносильность и следование предикатов


Определение 18.4. Два n-местных предиката [math]P(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] и [math]Q(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math], заданных над одними и теми же множествами [math]M_1,M_2,\ldots,M_n[/math], называются равносильными, если набор предметов (элементов) [math]a_1\in M_1, a_2\in M_2, \ldots, a_n\in M_n[/math] превращает первый предикат в истинное высказывание [math]P(a_1,a_2,\ldots,a_n)[/math] в том и только в том случае, когда этот набор предметов превращает второй предикат в истинное высказывание [math]Q(a_1,a_2,\ldots,a_n)[/math].


Другими словами (на языке множеств истинности), предикаты [math]P(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] и [math]Q(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] равносильны тогда и только тогда, когда их множества истинности совпадают. [math]P^{+}=Q^{+}[/math].


Утверждение о равносильности двух предикатов [math]P[/math] и [math]Q[/math] символически будем записывать так: [math]P\Leftrightarrow Q[/math]. Отношение равносильности предикатов является отношением эквивалентности, так что совокупность всех n-местных предикатов, определенных на множествах [math]M_1,M_2,\ldots,M_n[/math], распадается на непересекающиеся классы равносильных предикатов (все они определяют одну и ту же функцию, заданную на множествах [math]M_1,M_2,\ldots,M_n[/math] и принимающую значения в двухэлементном множестве [math]\{0;1\}[/math]). Переход от предиката [math]P_1[/math] к равносильному ему предикату [math]P_2[/math] называется равносильным преобразованием первого. Это понятие очень важно для школьной математики, потому что изучаемые в ней уравнения и неравенства представляют собой частные виды предикатов. Решение уравнения и неравенства есть поиск их множеств истинности. При таком поиске мы проделываем над уравнением и неравенством различные преобразования, и здесь важно, чтобы эти преобразования были равносильными, т. е. чтобы найденное множество оказалось бы множеством истинности именно исходного уравнения или неравенства. Аналогична ситуация при решении систем уравнений или неравенств.


Рассмотрим простой пример. Пусть требуется решить уравнение (найти множество истинности предиката): [math]4x-2=-3x-9[/math]. Преобразуем его равносильным образом:


[math]4x-2=-3x-9\quad \Leftrightarrow\quad 4x+3x=-9+2\quad \Leftrightarrow\quad x=-1[/math]

Ответ: [math]\{-1\}[/math] — множество всех решений данного уравнения (множество истинности данного предиката).


Отметим следующее немаловажное обстоятельство: может быть так, что два предиката равносильны, если их рассматривать над одним множеством, и неравносильны, если их рассматривать над другим (в частности, объемлющим первое) множеством. Такова, например, ситуация с предикатами: [math]\sqrt{x\cdot y}=15[/math] и [math]\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}=15[/math].




Определение 18.5. Предикат [math]Q(x_1,x_2, \ldots,x_n)[/math], заданный над множествами [math]M_1,M_2, \ldots, M_n[/math], называется следствием предиката [math]P(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math], заданного над теми же множествами, если он превращается в истинное высказывание на всех тех наборах значений предметных переменных из соответствующих множеств, на которых в истинное высказывание превращается предикат [math]P(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math].


Другими словами (в терминах множеств истинности), можно сказать, что предикат [math]Q[/math] является следствием предиката [math]P[/math] тогда и только тогда, когда [math]P^{+}\subseteq Q^{+}[/math].


Утверждение о том, что предикат [math]Q[/math] является следствием предиката [math]P[/math], будем символически записывать так: [math]P\Rightarrow Q[/math].


Например, одноместный предикат, определенный на множестве натуральных чисел, "[math]n[/math] делится на 3" является следствием одноместного предиката, определенного на том же множестве, "[math]n[/math] делится на 6". Из двух предикатов, упомянутых перед последним определением, первый будет следствием второго, если считать, что оба предиката заданы на множестве [math]\mathbb{Z}[/math] целых чисел.


Язык множеств истинности позволяет установить взаимосвязь между понятиями равносильности и следования предикатов: два предиката, определенные на одних и тех же множествах, равносильны тогда и только тогда, когда каждый из них является следствием другого. Кроме того, этот же язык дает возможность без труда установить следующие простые теоремы.


Теорема 18.6. Каждые два тождественно истинных (тождественно ложных) предиката, заданных на одних и тех же множествах, равносильны. Обратно, всякий предикат, равносильный тождественно истинному (тождественно ложному) предикату, сам является тождественно истинным (тождественно ложным) предикатом.


Теорема 18.7. Каждый тождественно истинный n-местный предикат является следствием любого другого n-местного предиката, определенного на тех же множествах. Каждый n-местный предикат является следствием любого тождественно ложного n-местного предиката, определенного на тех же множествах.


Теорема 18.8. Пусть [math]P(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] и [math]Q(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] — два n-местных предиката, определенные на одних и тех же множествах, такие, что [math]Q(x_1, x_2, \ldots, x_n)[/math] есть следствие [math]P(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math]. Тогда:


а) если [math]P(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] тождественно истинный (выполнимый), то и [math]Q(x_1, x_2, \ldots, x_n)[/math] тождественно истинный (выполнимый);


б) если [math]Q(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] тождественно ложный (опровержимый), то и [math]P(x_1, x_2, \ldots, x_n)[/math] тождественно ложный (опровержимый).


Доказательство теоремы 18.8:


а) Поскольку [math]P\Rightarrow Q[/math], поэтому [math]P^{+}\subseteq Q^{+}[/math]. Если теперь [math]P[/math] тождественно истинный предикат, то


[math]P^{+}= M_1\times M_2\times \ldots\times M_n[/math] (где [math]M_1,M_2,\ldots,M_n[/math] — множества, на которых определены n-местные предикаты [math]P[/math] и [math]Q[/math]).

Но [math]Q^{+}\subseteq M_1\times M_2\times \ldots\times M_n[/math]. Поэтому [math]Q^{+}= M_1\times M_2\times \ldots\times M_n[/math], а, значит, предикат [math]Q[/math] — тождественно истинный предикат. Если же [math]P[/math] — выполнимый предикат, то [math]P^{+}\ne\varnothing[/math]. Но [math]P^{+}\subseteq Q^{+}[/math]. Тогда [math]Q^{+}\ne\varnothing[/math] и [math]Q[/math] — выполнимый предикат.


б) Пусть [math]Q[/math] — тождественно ложный предикат. Тогда [math]Q^{+}=\varnothing[/math]. Но [math]P^{+}\subseteq Q^{+}[/math], поэтому [math]P^{+}=\varnothing[/math]. Следовательно, предикат [math]P[/math] — тождественно ложный. Наконец, пусть [math]Q[/math] — опровержимый предикат. Тогда [math]Q^{+}\ne M_1\times M_2\times \ldots\times M_n[/math]. Поскольку, кроме того,


[math]P^{+}\subseteq Q^{+}[/math] и [math]P^{+}\subseteq M_1\times M_2\times \ldots\times M_n[/math], то [math]P^{+}\ne M_1\times M_2\times \ldots\times M_n[/math].

Следовательно, предикат [math]P[/math] — опровержимый.


Отыщите самостоятельно в настоящем и предыдущем пунктах данной лекции утверждения, обосновывающие остальные сформулированные теоремы.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved