Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Логическое следование формул
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Логическое следование формул Раздел алгебры высказываний, изучающий закономерности логического следования, логического умозаключения, является ее сердцевиной. Именно в этом разделе на данном уровне развития математической логики решается основная задача логики, состоящая в нахождении общих способов установления связей логических значений одних высказываний с логическими значениями других высказываний на основании исследования формальной структуры высказываний. Одно из важнейших предназначений логики состоит в том, чтобы устанавливать, что из чего следует, т.е. устанавливать структуры высказываний, связанных отношением логического следования (часть общего назначения математики, по выражению Н.Винера, "находить порядок в хаосе, который нас окружает"). Знание этих закономерностей необходимо прежде всего самой математической науке. С помощью таких знаний происходит доказательство математических теорем и, следовательно, развитие математики. Это знание важно и для других наук, для систематизации научного знания вообще; да и в повседневной жизни оно служит инструментом рассуждений, обоснований и доказательств. Понятие логического следствия Когда говорят, что из одного или нескольких предложений $A_1,A_2,\ldots,A_m$ следует предложение $B$ , то подразумевают следующее: всякий раз, когда окажутся истинными все предложения $A_1,A_2,\ldots,A_m$ , истинным будет и предложение $B$ . Вот примеры таких следований: "Если летом я устроюсь на временную работу (утверждение $A$ ), то у меня будут заработанные деньги (утверждение $B$ )", "Если у меня будут заработанные деньги (утверждение $B$ ), то я куплю видеомагнитофон (утверждение $C$ ", "Если днем я не приготовлю уроки на завтра (утверждение $A_1$ ), и если вечером я пойду в кино (утверждение $A_2$ ), то завтра я буду не готов к занятиям (утверждение $D$ )". Установление справедливости приведенных суждений не относится к компетенции математической логики, а осуществляется на основе анализа их содержания и смысла. Задача математической логики (в частности, алгебры высказываний) в вопросах логического следования состоит в том, чтобы указать такие формы высказываний $A_1,A_2,\ldots,A_m,B$ , когда последнее высказывание непременно было бы следствием $m$ первых, независимо от конкретного содержания всех этих высказываний. Формы высказываний выражаются, как нам известно, формулами алгебры высказываний. Итак, теория логического следования (в рамках алгебры высказываний) должна изучать закономерности образования формул $F_1,F_2, \ldots,F_m,H$ , по которым первые $m$ из них связаны с последней отношением логического следования. Вернемся к двум первым суждениям, приведенным в начале пункта: $A\to B$ и $B\to C$ . Вынесем относительно них следующее умозаключение: "Если $A\to B$ и $B\to C$ , то $A\to C$ ". Формулировка данного суждения без использования математической символики будет, конечно, неуклюжа. Поэтому сформулируем его так: "Если высказывание $A\to B$ верно и высказывание $B\to C$ верно, то верно и высказывание $A\to C$ ". Нет никаких сомнений в том, что высказанное суждение справедливо. Более того, мы осознаем его справедливость, даже не интересуясь содержанием простейших высказываний $A,\,B$ и $C$ . Значит, высказывание, имеющее форму $X\to Z$ , следует из двух высказываний, имеющих формы $X\to Y$ и $Y\to Z$ , независимо от того, каковы высказывания $X,\,Y$ и $Z$ . Перейдем теперь к точному определению понятия логического следствия и к изучению свойств этого понятия. Определение 6.1. Формула $H(X_1,\ldots,X_n)$ называется логическим следствием формул $F_1(X_1,\ldots,X_n),\ldots, F_m(X_1,\ldots,X_n)$ , если формула $H(X_1,\ldots,X_n)$ превращается в истинное высказывание при всякой такой подстановке вместо всех ее пропозициональных переменных ${ X_1,\ldots,X_n}$ конкретных высказываний, при которой в истинное высказывание превращаются все формулы $F_1(X_1,\ldots,X_n),\ldots, F_m(X_1,\ldots,X_n)$ . То, что формула $H$ является логическим следствием формул $F_1,\ldots,F_m$ , записывается так: $F_1,\ldots,F_m\vDash H$ . Формулы $F_1,\ldots,F_m$ называются посылками для логического следствия $H$ . Таким образом, $F_1,\ldots,F_m\vDash H$ , если для любых высказываний $A_1,\ldots,A_n$ из $\lambda\bigl(F_1(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1,\quad \ldots,\quad \lambda\bigl(F_m(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$ следует $\lambda\bigl(H(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$ . Наконец можно и так сказать о логическом следствии. Составим таблицы истинности для формул $F_1,\ldots,F_m,H$ . Предположим, что если в какой-то строке таблицы все формулы $F_1,\ldots,F_m$ принимают значение 1, то в этой строке непременно и формула $H$ принимает значение 1. Это и будет означать, что $H$ является логическим следствием формул $F_1,\ldots,F_m$ . Из сформулированного определения вытекает четкий алгоритм проверки формул на логическое следование (далее приводится в виде схемы). Рассмотрим его действие для случая, например, трех формул-посылок, зависящих от трех переменных: $F_1(X,Y,Z),\, F_2(X,Y,Z),\, F_3(X,Y,Z) \vDash H(X,Y,Z).$ Все эти формулы должны быть заданы таблицей своих значений: $\begin{array}{\|c\|c\|c\|\|c\|c\|c\|c\|}\hline X& Y& Z& F_1(X,Y,Z)& F_2(X,Y,Z)& F_3(X,Y,Z)& H(X,Y,Z)\\\hline 0&0&0& \alpha_0& \beta_0& \gamma_0& \xi_0\\ 0&0&1& \alpha_1& \beta_1& \gamma_1& \xi_1\\ 0&1&0& \alpha_2& \beta_2& \gamma_2& \xi_2\\ 0&1&1& \alpha_3& \beta_3& \gamma_3& \xi_3\\ 1&0&0& \alpha_4& \beta_4& \gamma_4& \xi_4\\ 1&0&1& \alpha_5& \beta_5& \gamma_5& \xi_5\\ 1&2&0& \alpha_6& \beta_6& \gamma_6& \xi_6\\ 1&1&1& \alpha_7& \beta_7& \gamma_7& \xi_7\\\hline \end{array}$ Алгоритм проверки формул на логическое следование Алгоритм действует следующим образом. Он просматривает последовательно по строкам таблицы значений формул $F_1,F_2,F_3,H$ . Если хотя бы один элемент нулевой строки $\alpha_0,\beta_0,\gamma_0$ равен 0, то без просмотра значения формулы $H$ в этой строке (т. е. числа $\xi_0$ ) происходит переход к просмотру следующей строки $\alpha_1,\beta_1,\gamma_1$ . Если все элементы $\alpha_0,\beta_0,\gamma_0$ нулевой строки равны 1, то просматривается значение $\xi_0$ формулы $H$ в этой строке. При $\xi_0=0$ выдается результат: формула $H$ не является логическим следствием формул $F_1,F_2,F_3$ . При $\xi_0=1$ происходит переход к просмотру следующей строки $\alpha_1,\beta_1,\gamma_1$ . И так далее. Если после просмотра последней строки $\alpha_7,\beta_7,\gamma_7,\xi_7$ должен произойти переход к просмотру следующей строки, то это означает, что определение логического следования выполнено и формула $H$ является логическим следствием формул $F_1,F_2,F_3$ . Пример 6.2. По таблице истинности нескольких формул попытаемся определить, какие из них следуют из каких: $\begin{array}{\|c\|\|c\|c\|c\|\|c\|c\|c\|c\|}\hline \mathsf{H^{\underline{\circ}}}& \lambda(X)& \lambda(Y)& \lambda(Z)& \lambda((X\land Y)\to\lnot Z)& \lambda(\lnot Y)& \lambda(X\to Z)& \lambda(\lnot(X\land Y))\\\hline 1& 0& 0& 0& 1& 1& 1& 1\\ 2& 0& 0& 1& 1& 1& 1& 1\\ 3& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 1\\ 4& 0& 1& 1& 1& 0& 1& 1\\ 5& 1& 0& 0& 1& 1& 0& 1\\ 6& 1& 0& 1& 1& 1& 1& 1\\ 7& 1& 1& 0& 1& 0& 0& 0\\ 8& 1& 1& 1& 0& 0& 1& 0\\\hline \end{array}$ Рассмотрим формулы $X,\,Z,\,(X\land Y)\to\lnot Z,\,\lnot Y$ . Из таблицы видно, что имеется только одна строка (6-я), в которой первые три формулы принимают значение 1. В этой строке и формула $\lnot Y$ также принимает значение 1. Следовательно, $X,\,Z,\,(X\land Y)\to\lnot Z\vDash\lnot Y$ . Теперь рассматриваем формулы $(X\land Y)\to\lnot Z,~ X\to Z,~ \lnot(X\land Y)$ . Из таблицы видно, что имеется точно пять строк, в которых первые две формулы принимают значение 1, а именно 1-я, 2-я, 3-я, 4-я и 6-я. В этих строках третья формула также принимает значение 1. Следовательно, $(X\land Y)\to\lnot Z,\quad X\to Z\vDash\lnot(X\land Y).$ Предлагается, глядя на таблицу, обнаружить еще какие-нибудь логические следствия одних формул из других. Признаки логического следствия То, что некоторая формула является логическим следствием каких-то формул, можно выразить так же, сказав, что подходящая формула является тавтологией. В этом существо признаков, о которых пойдет речь в настоящем пункте, чем еще раз подчеркивается важное значение тавтологий. Теорема 6.3 (признак логического следствия). Формула Нбудет логическим следствием формулы $F$ тогда и только тогда, когда формула $F\to H$ является тавтологией: $F\vDash H\Leftrightarrow\vDash F\to H$ . Доказательство. Необходимость. Дано: $F(X_1,\ldots,X_n)\vDash H(X_1,\ldots,X_n)$ , т.е. если для набора высказываний $A_1,\ldots,A_n$ имеет место $\lambda\bigl(F(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$ , то $\lambda\bigl(H(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$ . Тогда для любого набора высказываний $A_1,\ldots,A_n$ имеет место равенство $\lambda\bigl(F(A_1,\ldots,A_n)\bigr)\to \lambda \bigl(H(A_1,\ldots,A_n)\bigr),$ поскольку равенство нулю возможно лишь в том случае, когда $\lambda\bigl(F(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$ и $\lambda\bigl(H(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=0$ , но такая ситуация исключена условием. Следовательно, на основании равенства (1.4) $\lambda\bigl(F(A_1,\ldots,A_n)\to H(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$ для любых высказываний $A_1,\ldots,A_n$ . Это означает, что формула $F(X_1,\ldots,X_n)\to H(X_1,\ldots,X_n)$ — тавтология, т.е. $\vDash F\to H$ . Достаточность. Дано: $\vDash F\to H$ . Тогда: $\lambda\bigl(F(A_1,\ldots,A_n)\bigr)\to H(A_1,\ldots,A_n)=1$ для любых высказываний $A_1,\ldots,A_n$ , откуда в силу равенства (1.4) $\lambda\bigl(F(A_1,\ldots,A_n)\bigr)\to \lambda\bigl(H(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1.$ Предположим теперь, что $\lambda\bigl(F(A_1, \ldots, A_n)\bigr)=1$ . Тогда: $1\to \lambda\bigl(H(A_1, \ldots, A_n)\bigr)=1$ , откуда (на основании определения 1.7) $\lambda\bigl(H(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$ , ибо в противном случае $1\to 0=1$ — противоречие. Но это значит (по определению 6.1 логического следствия), что $F\vDash H$ . Следующая теорема дает признаки того, что формула является логическим следствием двух или большего количества формул. Теорема 6.4. Для любых формул $F_1,F_1,\ldots,F_m,H~(m \geqslant 2)$ следующие утверждения равносильны: а) $F_1,F_1,\ldots,F_m\vDash H$ ; б) $F_1\land F_1\land \ldots\land F_m\vDash H$ ; в) $\vDash (F_1\land F_1\land \ldots\land F_m)\to H$ . Доказательство. Утверждения б) и в) равносильны на основании предыдущей теоремы. Докажем равносильность утверждений а) и б). а) $\Rightarrow$ б). Дано: $F_1,F_2, \ldots,F_m \vDash H$ . Покажем, что $F_1\land F_2\land \ldots\land F_m\vDash H$ . Пусть $A_1,\ldots,A_n$ — такие конкретные высказывания, что $\lambda\bigl( F_1(A_1,\ldots,A_n)\land \ldots\land F_m(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1.$ (6.1) Тогда по равенству (1.2) $\lambda\bigl( F_1(A_1,\ldots,A_n)\bigr)\land \ldots\land \lambda\bigl(F_m(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1.$ (6.2) Отсюда по определению 1.3 $\lambda\bigl( F_1(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1,\quad \ldots,\quad \lambda\bigl(F_m(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1.$ (6.3) Но поскольку по условию $F_1, F_2, \ldots, F_m\vDash H$ , то отсюда следует. что $\lambda\bigl(H(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$ . Следовательно, $F_1\land F_2\land \ldots\land F_m\vDash H$ . б) $\Rightarrow$ а). Дано: $F_1\land F_2\land \ldots\land F_m\vDash H$ . Покажем, что $F_1, F_2, \ldots, F_m\vDash H$ . Предположим, что справедливы все соотношения (6.3) для некоторых $A_1,\ldots,A_n$ . Тогда имеет место соотношение (6.2), из которого на основании равенства (1.2) приходим к соотношению (6.1). Из последнего на основании условия $F_1\land F_2\land \ldots\land F_m\vDash H$ заключаем: $\lambda\bigl(H(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$ . Но это и означает, что $F_1, F_2, \ldots, F_m\vDash H$ . Два свойства логического следования Свойства, формулируемые в теореме 6.5, используются для доказательства того, что какая-то формула является логическим следствием некоторых формул (см. пример 6.2). Теорема 6.5. Отношение логического следования между формулами алгебры высказываний обладает следующими свойствами: а) $F_1, F_2, \ldots, F_m\vDash F_i$ для $i=1,3,\ldots,m$ ; б) если $F_1, F_2, \ldots, F_m\vDash G_i$ для $j=1,2,\ldots,p$ и $G_1,G_2,\ldots,G_p\vDash H$ , то $F_1, F_2, \ldots, F_m\vDash H$ . Доказательство. а) Фактически это свойство состоит в следующем: $F_i\vDash F_i$ . Оно непосредственно вытекает из определения 6.1 логического следования и означает, что отношение логического следования рефлексивно. б) В частном случае при $m=p=1$ данное свойство утверждает: если $F\vDash G$ и $G\vDash H$ , то $F\vDash H$ . Другими словами, отношение логического следования транзитивно. Докажем исходное утверждение. Строим таблицу истинности для всех формул, указанных в утверждении б), перечислив все пропозициональные переменные $X_1,X_2,\ldots,X_n$ , входящие хотя бы в одну из этих формул. Рассмотрим какую-нибудь строку этой таблицы, в которой каждая формула $F_1,F_2,\ldots,F_m$ получает истинностное значение, равное 1. Тогда на основании условий каждая из формул $G_1,G_2,\ldots,G_p$ также принимает истинностное значение, равное 1. Следовательно, и $H$ имеет значение 1. Таким образом, для всякого набора истинностных значений переменных $X_1,X_2,\ldots,X_n$ , для которого каждая формула $F_1,F_2,\ldots,F_m$ принимает значение 1, формула Я также принимает значение 1. Это означает, что $F_1,F_2,\ldots,F_m\vDash H$ . Следование и равносильность формул Если говорить о следовании из одной формулы другой, то получаем бинарное отношение на совокупности всех формул алгебры высказываний. Две формулы $F$ и $H$ (в указанном порядке) находятся в данном отношении, если $F\vDash H$ . Ранее рассмотрены бинарные отношения равносильности на совокупности всех формул алгебры высказываний. Две формулы $F$ и $H$ (в указанном порядке) находятся в этом отношении, если $F\cong H$ . Там же (следствие 4.3) установлено, что отношение равносильности формул есть отношение эквивалентности. Установим взаимосвязь между отношением равносильности и отношением следования. Теорема 6.6. Две формулы алгебры высказываний равносильны тогда и только тогда, когда каждая из них является логическим следствием другой: $F\cong H\quad \Rightarrow\quad F\vDash H$ и $H\vDash F$ . Доказательство. Необходимость. Дано: $F\cong H$ . По определению равносильности обе формулы $F(X_1,\ldots,X_n)$ и $H(X_1,\ldots,X_n)$ для любых конкретных высказываний $A_1,\ldots,A_n$ превращаются в высказывания $F(A_1,\ldots,A_n)$ и $H(A_1,\ldots,A_n)$ , которые одновременно либо оба истинны, либо оба ложны. А раз так, то каждое из высказываний $F(A_1,\ldots,A_n)\to H(A_1,\ldots,A_n)$ и $H(A_1,\ldots,A_n)\to F(A_1,\ldots,A_n)$ истинно для любых конкретных высказываний $A_1,\ldots,A_n$ . Это означает, что $\vDash F\to H$ и $\vDash H\to F$ , откуда, по теореме 6.3, $F\vDash H$ и $H\vDash F$ . Достаточность. Дано: $F\vDash H$ и $H\vDash F$ . Тогда, по теореме 6.3, $\vDash F\to H$ и $\vDash H\to F$ . Поскольку формула $F\to H$ всегда превращается в истинное высказывание и формула $H\to F$ всегда превращается в истинное высказывание, то и их конъюнкция $(F\to H)\land (H\to F)$ является формулой, которая превращается в истинное высказывание всегда, т.е. $\vDash(F\to H)\land (H\to F)$ . Но на основании теоремы 4.4, пункт ч), $(F\to H)\land (H\to F)\cong F\leftrightarrow H\,.$ Тогда по замечанию 4.7 имеем $\vDash F\leftrightarrow H$ , а по теореме 4.2 $F\cong H$ . Итак, теорема доказана. Замечание 6.7. Если некоторая формула является тавтологией, то и всякое ее логическое следствие также является тавтологией. Символически это можно записать так: $\vDash F$ и $F\vDash H\Rightarrow\vDash H$ . Продумайте это утверждение самостоятельно. Правила логических умозаключений Теперь можем рассмотреть примеры структур правильного мышления, т.е. ответить на вопрос, что из чего следует. Начнем с тавтологии из теоремы 3.1, пункт к): $\vDash(F\land (F\to G))\to G$ . (На основании замечания 3.7 пропозициональные переменные $P$ и $Q$ заменены произвольными формулами $F$ и $G$ алгебры высказываний.) На основании теоремы 6.4 заключаем, что $F,F\to G\vDash G$ . Полученную схему, или правило вывода (умозаключения), также называют правилом modus ponens. Правило 6.8 (modus ponens): $\frac{F,F\to G}{G}$ . Это правило означает, что от утверждения об истинности посылки $F$ с помощью другой посылки $F\to G$ переходят к утверждению об истинности следствия $G$ . Данное правило называют также правилом заключения или отделения (от посылки $F\to G$ с помощью посылки $F$ отделяется заключение $G$ ). По теореме 3.5 правилу 6.8 можно придать несколько иной смысл: если формулы, стоящие в числителе, являются тавтологиями, то и формула в знаменателе — также тавтология. Не менее важное и широко применяемое в рассуждениях правило умозаключения получается на основе тавтологии теоремы 3.1, пункт л). Правило 6.9 (modus fallens): $\frac{F\to G,\lnot G}{\lnot F}$ . Оно называется правилом modus tollens: от отрицания истинности посылки $G$ с помощью посылки $F\to G$ переходят к отрицанию истинности $F$ . Таким образом, рассмотренные правила вывода 6.8 и 6.9 позволяют в истинной импликации $F\to G$ из истинности посылки $F$ делать вывод об истинности следствия $G$ , а из ложности следствия $G$ — о ложности посылки $F$ . Укажем еще некоторые правила вывода, применяемые в рассуждениях. Путь их получения состоит в том, что сначала заменяем в соответствующей тавтологии каждую пропозициональную переменную произвольной формулой алгебры высказываний, в результате чего на основании теоремы 3.6 снова получаем тавтологию, а затем от нее по теореме 6.3 переходим к соответствующему правилу вывода (умозаключения), которое и записываем в принятой форме. Так, тавтология теоремы 3.3, пункт б) дает следующее правило вывода: Правило 6.10 (введения конъюнкции): $\frac{F,G}{F\land G}$ . Из тавтологий теоремы 3.2, пункт б) приходим к таким правилам вывода: Правило 6.11 (удаления конъюнкции): $\frac{F\land G}{F}\,,~~ \frac{F\land G}{G}$ . Правило 6.12 (введения дизъюнкции): $\frac{F}{F\land G}\,,~~ \frac{G}{F\land G}$ . Смысл названий этих правил виден из характера их действия. Из тавтологии теоремы 3.1, пункт д) получаем правило контрапозиции. Правило 6.13 (контрапозиции): $\frac{F\to G}{\lnot G\to\lnot F}$ . Из тавтологии теоремы 3.1, пункт е) вытекает правило цепного заключения (или правило силлогизма). Правило 6.14 (цепного заключения): $\frac{F\to G,G\to H}{F\to H}$ . Из тавтологии теоремы 3.1, пункт м) следует правило перестановки посылок. Правило 6.15 (перестановки посылок): $\frac{F\to(G\to H)}{G\to(F\to H)}$ . Наконец, из тавтологии теоремы 3.1, пункт н) получаем следующие правила: Правила 6.16 (объединения и разъединения посылок): $\frac{F\to(G\to H)}{(F\land G)\to H}\,,~~ \frac{(F\land G)\to H}{F\to (G\to H)}$ . Правило 6.17 (расширенной контрапозиции): $\frac{(F\land G)\to H}{(F\land\lnot H)\to\lnot G}$ . Аналогично формулируются другие правила вывода тавтологий, что рекомендуется проделать самостоятельно. На правила 6.8–6.17 можно смотреть с двух точек зрения. Во-первых, каждое из них представляет собой утверждение следующего типа: формула, записанная в знаменателе, является логическим следствием всех формул, записанных в числителе данного правила. Во-вторых, каждое из этих правил можно рассматривать как правило получения новой тавтологии из уже имеющихся: если все формулы, записанные в числителе, являются тавтологиями, то тавтологией будет и формула, записанная в знаменателе правила (для доказательства этого утверждения примените замечание 6.7). Способ проверки логического следования Требуется выяснить, является ли формула $H(X_1,\ldots,X_n)$ логическим следствием формул $F_1(X_1,\ldots,X_n),\ldots, F_m(X_1,\ldots,X_n)$ , то есть $F_1,F_2,\ldots,F_m\vDash H$ . Предположим, что $H$ не есть логическое следствие формул $F_1,F_2,\ldots,F_m$ . Значит, существуют такие конкретные высказывания $A_1,\ldots,A_m$ , что высказывание $H(A_1,\ldots,A_m)$ ложно, в то время как все высказывания $F_1(A_1,\ldots,A_m),\ldots, F_m(A_1,\ldots,A_m)$ истинны. Если при этом удается найти распределение нулей и единиц между значениями переменных ${ X_1,\ldots,X_n}$ , соответствующее сделанному предположению, то предположение верно. Если же возникает противоречие, то предположение неверно. Посмотрим на примерах, как это делается. Пример 6.18. Выясните, выполняется ли логическое следование $X\to (\lnot Y\lor Z),~ \lnot X,~ Y\to Z\vDash X\lor Z\,.$ Допустим, что существуют такие конкретные высказывания $A,B,C$ , что $\lambda\bigl(A\to (\lnot B\lor C)\bigr)=1,~ \lambda(\lnot A)=1,~ \lambda(B\to C)=1$ , но $\lambda(A\lor C)=0$ . Тогда из последнего соотношения получаем $\lambda(A)=0,~ \lambda(C)=0$ , что не противоречит соотношению $\lambda(\lnot A)=1$ . Далее, соотношение $\lambda(B\to C)=1$ дает $\lambda(B)=0$ (так как $\lambda(C)=0$ ). Наконец, вычислив при данных значениях $A,\,B$ и $C$ значение $\lambda(A\to (\lnot B\lor C))$ , убеждаемся что оно равно 1, а это находится в полном соответствии с допущением. Следовательно, приходим к выводу: если высказывания $A,B,C$ таковы, что $\lambda(A)= \lambda(B)= \lambda(C)=0$ , то при подстановке $X=A$ , $Y=B$ , $Z=C$ формулы-посылки примут значение 1, а формула $X\lor Z$ примет значение 0. Значит, формула $X\lor Z$ не выводима из формул $X\to(\lnot Y\to Z),$ $\lnot X,~ Y\to Z$ . Нахождение следствий из данных посылок Мы научились определять, является ли данная формула логическим следствием некоторых других данных формул. Теперь возникает вопрос, как можно находить все формулы, являющиеся логическим следствием данной совокупности формул. Следующая теорема дает ключ к решению этой задачи. Теорема 6.19. Формула $H(X_1,\ldots,X_n)$ , не являющаяся тавтологией, тогда и только тогда будет логическим следствием формул $F_1(X_1,\ldots,X_n),\ldots, F_m(X_1,\ldots,X_n)$ , не все из которых являются тавтологиями, когда все совершенные дизъюнктивные одночлены из разложения формулы Не совершенную конъюнктивную нормальную форму входят в совершенную конъюнктивную нормальную форму формулы $F_1(X_1,\ldots,X_n)\land \ldots\land F_m(X_1,\ldots,X_n).$ Доказательство. Необходимость. Дано: $F_1,\ldots,F_m\vDash H$ .Тогда, по теореме 6.4, $F_1\land \ldots\land F_m\vDash H$ . Найдем для формул $F_1\land \ldots\land F_m$ и $H$ их совершенные конъюнктивные нормальные формы. Такая форма для каждой не тождественно истинной формулы существует и единственна с точностью до порядка совершенных дизъюнктивных одночленов в конъюнкции (см. теорему 5.5). Пусть $D_1\land \ldots\land D_k$ — СКН-формадля формулы $F_1\land \ldots\land F_m$ , а $H_1\land \ldots\land H_{\ell}$ — СКН-форма для формулы $H$ . Тогда: $F_1\land \ldots\land F_m\cong D_1\land \ldots\land D_k,\quad H\cong H_1\land \ldots\land H_{\ell}$ Допустим, что заключение теоремы не выполняется, т. е. среди совершенных дизъюнктивных одночленов $H_1,\ldots,H_{\ell}$ имеется такой, которого нет среди совершенных дизъюнктивных одночленов $D_1,\ldots,D_k$ . He нарушая общности (ввиду несущественности порядка вхождения одночленов $H_1,\ldots,H_{\ell}$ , в СКН-форму $H_1\land \ldots\land H_{\ell}$ , можем считать, что таким одночленом является, например, $H_1$ . Итак, $H_1(X_1,\ldots,X_n) \not\cong D_1(X_1,\ldots,X_n),~ \ldots,~ H_{\ell}(X_1,\ldots,X_n) \not\cong D_{k}(X_1,\ldots,X_n).$ Тогда существует единственный (с точки зрения логических значений) набор $A_1,\ldots,A_n$ , на котором совершенный дизъюнктивный одночлен $H_1(X_1,\ldots,X_n)$ принимает значение 0: $\lambda\bigl(H_1(X_1,\ldots,X_n)\bigr)=0$ , откуда $\lambda\bigl(H(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=0.$ (1) Этот набор выбирается следующим образом. Если переменная $X_i$ входит в $H_1$ без знака отрицания, то $A_i$ таково, что $\lambda(A_i)=0$ ; если $X_i$ входит в $H_1$ со знаком отрицания, то $A_i$ таково, что $\lambda(A_i)=1$ $(1 \leqslant i \leqslant n)$ . Каждый из совершенных дизъюнктивных одночленов $D_1,\ldots,D_k$ в силу его отличия от совершенного дизъюнктивного одночлена $H_1$ обращается на данном наборе в 1 (почему?): $\lambda\bigl(D_1(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1,~ \ldots,~ \lambda\bigl(D_k(A_1, \ldots,A_n)\bigr)=1$ . Тогда $\lambda\bigl(D_1(A_1,\ldots,A_n) \land \ldots\land D_k(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$ , откуда, в силу равносильности $D_1\land \ldots\land D_k\cong F_1\land \ldots\land F_m$ получаем $\lambda\bigl(F_1(A_1,\ldots,A_n)\land \ldots\land F_m(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$ Следовательно, $\lambda\bigl(F_1(A_1,\ldots,A_n)\bigr)\land \ldots\land \lambda\bigl(F_m(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$ . а значит, $\lambda\bigl(F_1(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1,\quad \ldots,\quad \lambda\bigl(F_m(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1.$ (2) Соотношения (1) и (2) противоречат условию: $F_1,\ldots,F_m\vDash H$ . Следовательно, в СКН-форме формулы $H$ нет ни одного совершенного дизъюнктивного одночлена, который отсутствовал бы в СКН-форме формулы $F_1\land \ldots\land F_m$ . Достаточность. Пусть $D_1\land \ldots\land D_k$ — СКН-форма формулы $F_1\land \ldots\land F_m$ . Тогда $F_1\land \ldots\land F_m\cong D_1\land \ldots\land D_k$ . Пусть далее $H\cong D_{i1}\land \ldots\land D_{is}$ , где $1 \leqslant i_1,\ldots,i_s \leqslant k$ и $i_1,\ldots,i_s$ попарно различны. Тогда ясно, что если при некоторой подстановке формула $F_1\land \ldots\land F_m$ принимает истинное значение, то и равносильная ей формула $D_1\land \ldots\land D_k$ также принимает значение 1. Следовательно, и все члены $D_{1}\land \ldots\land D_{k}$ последней конъюнкции принимают значение 1, включая члены $D_{i1}\land \ldots\land D_{is}$ . Но тогда и конъюнкция $D_{i1}\land \ldots\land D_{is}\cong H$ также принимает значение 1. Значит, $F_1,\ldots,F_m\cong H$ . Эта теорема определяет следующее правило (алгоритм) для нахождения всех (неравносильных) формул, являющихся логическими следствиями из посылок $F_1,\ldots,F_m:$ ) 1) составить конъюнкцию $F_1\land \ldots\land F_m$ ; 2) найти СКН-форму формулы $F_1\land \ldots\land F_m$ ; 3) выписать все совершенные дизъюнктивные одночлены найденной СКН-формы, а также всевозможные конъюнкции этих одночленов. Полученное множество формул и является искомым. Нахождение посылок для данного следствия Задача нахождения всех формул, из которых данная формула логически следует, является обратной по отношению к той, которая была рассмотрена в предыдущем пункте. Ее решение основывается на следующей теореме. Теорема 6.20. Чтобы найти все формулы, логическим следствием каждой из которых будет данная формула $G(X_1,\ldots,X_n)$ , нужно действовать по следующему алгоритму. Найти СКН-форму для формулы $G(X_1,\ldots,X_n)$ ; выявить все совершенные дизъюнктивные одночлены, которые в ней отсутствуют; составить всевозможные конъюнкции формулы $G(X_1,\ldots,X_n)$ с недостающими дизъюнктивными одночленами. Получившаяся совокупность формул (вместе с формулой $G$ ) будет искомой (с точностью до равносильности формул). Доказательство. Ясно, что из каждой формулы этой совокупности будет логически следовать формула $G$ , так как $G\land H\vDash G$ (конъюнкция сильнее каждого из сомножителей). Обратно, покажем, что каждая формула $F$ , из которой логически следует данная формула $G$ , имеет указанный вид, т.е. представляет собой конъюнкцию формулы $G$ и некоторых совершенных дизъюнктивных одночленов, отсутствующих в СКН-форме для $G$ . В самом деле, пусть $F\vDash G$ и $G\cong D_1\land D_2\land \ldots\land D_k$ — СКН-форма для формулы $G(X_1,\ldots,X_n)$ и $F\cong \Delta_1\land \Delta_2\land \ldots\land \Delta_s$ — СКН-форма для формулы $F(X_1,\ldots,X_n)$ . По определению логического следования, $F\vDash G$ означает, что если формула $F(X_1,\ldots,X_n)$ на некотором наборе $A_1,\ldots,A_n$ значений пропозициональных переменных приняла значение 1, то и формула $G(X_1,\ldots,X_n)$ на этом наборе примет значение 1. Другими словами, если формула $G(X_1,\ldots,X_n)$ на некотором наборе $A_1,\ldots,A_n$ значений пропозициональных переменных принимает значение 0, то и формула $F(X_1,\ldots,X_n)$ на этом наборе принимает значение 0. Но все наборы значений переменных, на которых $G$ принимает значение 0, находятся во взаимно-однозначном соответствии с совершенными дизъюнктивными одночленами $D_1,D_2,\ldots,D_s$ , образующими СКН-форму для формулы $G$ , т.е. если $G(A_1,\ldots,A_n)=0$ , то $D_i(A_1,\ldots,A_n)=0$ для некоторого $1 \leqslant i \leqslant k$ . Следовательно, $F(A_1,\ldots,A_n)=0$ и значит на этом же наборе принимает значение 0 некоторый совершенный дизъюнктивный одночлен $\Delta_i$ , входящий в ее СКН-форму. Но тогда этот одночлен совпадает с одночленом $D_i$ . Таким образом, каждый совершенный дизъюнктивный одночлен $D_i$ из СКН-формы для $G$ входит в СКН-форму для формулы $F$ , т.е. СКН-форма для $F$ имеет вид: $F\cong D_1\land D_2\land \ldots\land D_k\land \Delta_{k+1}\land \ldots\land \Delta_{s}$ где $\Delta_{k+2},\ldots,\Delta_{s}$ — совершенные дизъюнктивные одночлены от переменных ${ X_1,\ldots,X_n}$ , не входящие в СКН-форму для формулы $G$ . Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Логическое следование формул

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Логическое следование формул

Раздел алгебры высказываний, изучающий закономерности логического следования, логического умозаключения, является ее сердцевиной. Именно в этом разделе на данном уровне развития математической логики решается основная задача логики, состоящая в нахождении общих способов установления связей логических значений одних высказываний с логическими значениями других высказываний на основании исследования формальной структуры высказываний. Одно из важнейших предназначений логики состоит в том, чтобы устанавливать, что из чего следует, т.е. устанавливать структуры высказываний, связанных отношением логического следования (часть общего назначения математики, по выражению Н.Винера, "находить порядок в хаосе, который нас окружает"). Знание этих закономерностей необходимо прежде всего самой математической науке. С помощью таких знаний происходит доказательство математических теорем и, следовательно, развитие математики. Это знание важно и для других наук, для систематизации научного знания вообще; да и в повседневной жизни оно служит инструментом рассуждений, обоснований и доказательств.

Понятие логического следствия

Когда говорят, что из одного или нескольких предложений $A_1,A_2,\ldots,A_m$ следует предложение $B$ , то подразумевают следующее: всякий раз, когда окажутся истинными все предложения $A_1,A_2,\ldots,A_m$ , истинным будет и предложение $B$ . Вот примеры таких следований: "Если летом я устроюсь на временную работу (утверждение $A$ ), то у меня будут заработанные деньги (утверждение $B$ )", "Если у меня будут заработанные деньги (утверждение $B$ ), то я куплю видеомагнитофон (утверждение $C$ ", "Если днем я не приготовлю уроки на завтра (утверждение $A_1$ ), и если вечером я пойду в кино (утверждение $A_2$ ), то завтра я буду не готов к занятиям (утверждение $D$ )". Установление справедливости приведенных суждений не относится к компетенции математической логики, а осуществляется на основе анализа их содержания и смысла.

Задача математической логики (в частности, алгебры высказываний) в вопросах логического следования состоит в том, чтобы указать такие формы высказываний $A_1,A_2,\ldots,A_m,B$ , когда последнее высказывание непременно было бы следствием $m$ первых, независимо от конкретного содержания всех этих высказываний. Формы высказываний выражаются, как нам известно, формулами алгебры высказываний. Итак, теория логического следования (в рамках алгебры высказываний) должна изучать закономерности образования формул $F_1,F_2, \ldots,F_m,H$ , по которым первые $m$ из них связаны с последней отношением логического следования.

Вернемся к двум первым суждениям, приведенным в начале пункта: $A\to B$ и $B\to C$ . Вынесем относительно них следующее умозаключение: "Если $A\to B$ и $B\to C$ , то $A\to C$ ". Формулировка данного суждения без использования математической символики будет, конечно, неуклюжа. Поэтому сформулируем его так: "Если высказывание $A\to B$ верно и высказывание $B\to C$ верно, то верно и высказывание $A\to C$ ". Нет никаких сомнений в том, что высказанное суждение справедливо. Более того, мы осознаем его справедливость, даже не интересуясь содержанием простейших высказываний $A,\,B$ и $C$ . Значит, высказывание, имеющее форму $X\to Z$ , следует из двух высказываний, имеющих формы $X\to Y$ и $Y\to Z$ , независимо от того, каковы высказывания $X,\,Y$ и $Z$ .

Перейдем теперь к точному определению понятия логического следствия и к изучению свойств этого понятия.

Определение 6.1. Формула $H(X_1,\ldots,X_n)$ называется логическим следствием формул $F_1(X_1,\ldots,X_n),\ldots, F_m(X_1,\ldots,X_n)$ , если формула $H(X_1,\ldots,X_n)$ превращается в истинное высказывание при всякой такой подстановке вместо всех ее пропозициональных переменных ${ X_1,\ldots,X_n}$ конкретных высказываний, при которой в истинное высказывание превращаются все формулы $F_1(X_1,\ldots,X_n),\ldots, F_m(X_1,\ldots,X_n)$ . То, что формула $H$ является логическим следствием формул $F_1,\ldots,F_m$ , записывается так: $F_1,\ldots,F_m\vDash H$ . Формулы $F_1,\ldots,F_m$ называются посылками для логического следствия $H$ .

Таким образом, $F_1,\ldots,F_m\vDash H$ , если для любых высказываний $A_1,\ldots,A_n$ из

$\lambda\bigl(F_1(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1,\quad \ldots,\quad \lambda\bigl(F_m(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$ следует $\lambda\bigl(H(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$ .

Наконец можно и так сказать о логическом следствии. Составим таблицы истинности для формул $F_1,\ldots,F_m,H$ . Предположим, что если в какой-то строке таблицы все формулы $F_1,\ldots,F_m$ принимают значение 1, то в этой строке непременно и формула $H$ принимает значение 1. Это и будет означать, что $H$ является логическим следствием формул $F_1,\ldots,F_m$ .

Из сформулированного определения вытекает четкий алгоритм проверки формул на логическое следование (далее приводится в виде схемы). Рассмотрим его действие для случая, например, трех формул-посылок, зависящих от трех переменных:

$F_1(X,Y,Z),\, F_2(X,Y,Z),\, F_3(X,Y,Z) \vDash H(X,Y,Z).$

Все эти формулы должны быть заданы таблицей своих значений:

$\begin{array}{|c|c|c||c|c|c|c|}\hline X& Y& Z& F_1(X,Y,Z)& F_2(X,Y,Z)& F_3(X,Y,Z)& H(X,Y,Z)\\\hline 0&0&0& \alpha_0& \beta_0& \gamma_0& \xi_0\\ 0&0&1& \alpha_1& \beta_1& \gamma_1& \xi_1\\ 0&1&0& \alpha_2& \beta_2& \gamma_2& \xi_2\\ 0&1&1& \alpha_3& \beta_3& \gamma_3& \xi_3\\ 1&0&0& \alpha_4& \beta_4& \gamma_4& \xi_4\\ 1&0&1& \alpha_5& \beta_5& \gamma_5& \xi_5\\ 1&2&0& \alpha_6& \beta_6& \gamma_6& \xi_6\\ 1&1&1& \alpha_7& \beta_7& \gamma_7& \xi_7\\\hline \end{array}$

Алгоритм проверки формул на логическое следование

Алгоритм действует следующим образом. Он просматривает последовательно по строкам таблицы значений формул $F_1,F_2,F_3,H$ . Если хотя бы один элемент нулевой строки $\alpha_0,\beta_0,\gamma_0$ равен 0, то без просмотра значения формулы $H$ в этой строке (т. е. числа $\xi_0$ ) происходит переход к просмотру следующей строки $\alpha_1,\beta_1,\gamma_1$ . Если все элементы $\alpha_0,\beta_0,\gamma_0$ нулевой строки равны 1, то просматривается значение $\xi_0$ формулы $H$ в этой строке. При $\xi_0=0$ выдается результат: формула $H$ не является логическим следствием формул $F_1,F_2,F_3$ . При $\xi_0=1$ происходит переход к просмотру следующей строки $\alpha_1,\beta_1,\gamma_1$ . И так далее. Если после просмотра последней строки $\alpha_7,\beta_7,\gamma_7,\xi_7$ должен произойти переход к просмотру следующей строки, то это означает, что определение логического следования выполнено и формула $H$ является логическим следствием формул $F_1,F_2,F_3$ .

Пример 6.2. По таблице истинности нескольких формул попытаемся определить, какие из них следуют из каких:

$\begin{array}{|c||c|c|c||c|c|c|c|}\hline \mathsf{H^{\underline{\circ}}}& \lambda(X)& \lambda(Y)& \lambda(Z)& \lambda((X\land Y)\to\lnot Z)& \lambda(\lnot Y)& \lambda(X\to Z)& \lambda(\lnot(X\land Y))\\\hline 1& 0& 0& 0& 1& 1& 1& 1\\ 2& 0& 0& 1& 1& 1& 1& 1\\ 3& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 1\\ 4& 0& 1& 1& 1& 0& 1& 1\\ 5& 1& 0& 0& 1& 1& 0& 1\\ 6& 1& 0& 1& 1& 1& 1& 1\\ 7& 1& 1& 0& 1& 0& 0& 0\\ 8& 1& 1& 1& 0& 0& 1& 0\\\hline \end{array}$

Рассмотрим формулы $X,\,Z,\,(X\land Y)\to\lnot Z,\,\lnot Y$ . Из таблицы видно, что имеется только одна строка (6-я), в которой первые три формулы принимают значение 1. В этой строке и формула $\lnot Y$ также принимает значение 1. Следовательно, $X,\,Z,\,(X\land Y)\to\lnot Z\vDash\lnot Y$ .

Теперь рассматриваем формулы $(X\land Y)\to\lnot Z,~ X\to Z,~ \lnot(X\land Y)$ . Из таблицы видно, что имеется точно пять строк, в которых первые две формулы принимают значение 1, а именно 1-я, 2-я, 3-я, 4-я и 6-я. В этих строках третья формула также принимает значение 1. Следовательно,

$(X\land Y)\to\lnot Z,\quad X\to Z\vDash\lnot(X\land Y).$

Предлагается, глядя на таблицу, обнаружить еще какие-нибудь логические следствия одних формул из других.

Признаки логического следствия

То, что некоторая формула является логическим следствием каких-то формул, можно выразить так же, сказав, что подходящая формула является тавтологией. В этом существо признаков, о которых пойдет речь в настоящем пункте, чем еще раз подчеркивается важное значение тавтологий.

Теорема 6.3 (признак логического следствия). Формула Нбудет логическим следствием формулы $F$ тогда и только тогда, когда формула $F\to H$ является тавтологией: $F\vDash H\Leftrightarrow\vDash F\to H$ .

Доказательство. Необходимость. Дано: $F(X_1,\ldots,X_n)\vDash H(X_1,\ldots,X_n)$ , т.е. если для набора высказываний $A_1,\ldots,A_n$ имеет место $\lambda\bigl(F(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$ , то $\lambda\bigl(H(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$ . Тогда для любого набора высказываний $A_1,\ldots,A_n$ имеет место равенство

$\lambda\bigl(F(A_1,\ldots,A_n)\bigr)\to \lambda \bigl(H(A_1,\ldots,A_n)\bigr),$

поскольку равенство нулю возможно лишь в том случае, когда $\lambda\bigl(F(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$ и $\lambda\bigl(H(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=0$ , но такая ситуация исключена условием. Следовательно, на основании равенства (1.4) $\lambda\bigl(F(A_1,\ldots,A_n)\to H(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$ для любых высказываний $A_1,\ldots,A_n$ . Это означает, что формула $F(X_1,\ldots,X_n)\to H(X_1,\ldots,X_n)$ — тавтология, т.е. $\vDash F\to H$ .

Достаточность. Дано: $\vDash F\to H$ . Тогда: $\lambda\bigl(F(A_1,\ldots,A_n)\bigr)\to H(A_1,\ldots,A_n)=1$ для любых высказываний $A_1,\ldots,A_n$ , откуда в силу равенства (1.4)

$\lambda\bigl(F(A_1,\ldots,A_n)\bigr)\to \lambda\bigl(H(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1.$

Предположим теперь, что $\lambda\bigl(F(A_1, \ldots, A_n)\bigr)=1$ . Тогда: $1\to \lambda\bigl(H(A_1, \ldots, A_n)\bigr)=1$ , откуда (на основании определения 1.7) $\lambda\bigl(H(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$ , ибо в противном случае $1\to 0=1$ — противоречие. Но это значит (по определению 6.1 логического следствия), что $F\vDash H$ .

Следующая теорема дает признаки того, что формула является логическим следствием двух или большего количества формул.

Теорема 6.4. Для любых формул $F_1,F_1,\ldots,F_m,H~(m \geqslant 2)$ следующие утверждения равносильны:

а) $F_1,F_1,\ldots,F_m\vDash H$ ;
б) $F_1\land F_1\land \ldots\land F_m\vDash H$ ;
в) $\vDash (F_1\land F_1\land \ldots\land F_m)\to H$ .

Доказательство. Утверждения б) и в) равносильны на основании предыдущей теоремы. Докажем равносильность утверждений а) и б).

а) $\Rightarrow$ б). Дано: $F_1,F_2, \ldots,F_m \vDash H$ . Покажем, что $F_1\land F_2\land \ldots\land F_m\vDash H$ . Пусть $A_1,\ldots,A_n$ — такие конкретные высказывания, что

$\lambda\bigl( F_1(A_1,\ldots,A_n)\land \ldots\land F_m(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1.$

(6.1)

Тогда по равенству (1.2)

$\lambda\bigl( F_1(A_1,\ldots,A_n)\bigr)\land \ldots\land \lambda\bigl(F_m(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1.$

(6.2)

Отсюда по определению 1.3

$\lambda\bigl( F_1(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1,\quad \ldots,\quad \lambda\bigl(F_m(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1.$

(6.3)

Но поскольку по условию $F_1, F_2, \ldots, F_m\vDash H$ , то отсюда следует. что $\lambda\bigl(H(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$ . Следовательно, $F_1\land F_2\land \ldots\land F_m\vDash H$ .

б) $\Rightarrow$ а). Дано: $F_1\land F_2\land \ldots\land F_m\vDash H$ . Покажем, что $F_1, F_2, \ldots, F_m\vDash H$ . Предположим, что справедливы все соотношения (6.3) для некоторых $A_1,\ldots,A_n$ . Тогда имеет место соотношение (6.2), из которого на основании равенства (1.2) приходим к соотношению (6.1). Из последнего на основании условия $F_1\land F_2\land \ldots\land F_m\vDash H$ заключаем: $\lambda\bigl(H(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$ . Но это и означает, что $F_1, F_2, \ldots, F_m\vDash H$ .

Два свойства логического следования

Свойства, формулируемые в теореме 6.5, используются для доказательства того, что какая-то формула является логическим следствием некоторых формул (см. пример 6.2).

Теорема 6.5. Отношение логического следования между формулами алгебры высказываний обладает следующими свойствами:

а) $F_1, F_2, \ldots, F_m\vDash F_i$ для $i=1,3,\ldots,m$ ;
б) если $F_1, F_2, \ldots, F_m\vDash G_i$ для $j=1,2,\ldots,p$ и $G_1,G_2,\ldots,G_p\vDash H$ , то $F_1, F_2, \ldots, F_m\vDash H$ .

Доказательство. а) Фактически это свойство состоит в следующем: $F_i\vDash F_i$ . Оно непосредственно вытекает из определения 6.1 логического следования и означает, что отношение логического следования рефлексивно.

б) В частном случае при $m=p=1$ данное свойство утверждает: если $F\vDash G$ и $G\vDash H$ , то $F\vDash H$ . Другими словами, отношение логического следования транзитивно. Докажем исходное утверждение. Строим таблицу истинности для всех формул, указанных в утверждении б), перечислив все пропозициональные переменные $X_1,X_2,\ldots,X_n$ , входящие хотя бы в одну из этих формул. Рассмотрим какую-нибудь строку этой таблицы, в которой каждая формула $F_1,F_2,\ldots,F_m$ получает истинностное значение, равное 1. Тогда на основании условий каждая из формул $G_1,G_2,\ldots,G_p$ также принимает истинностное значение, равное 1. Следовательно, и $H$ имеет значение 1. Таким образом, для всякого набора истинностных значений переменных $X_1,X_2,\ldots,X_n$ , для которого каждая формула $F_1,F_2,\ldots,F_m$ принимает значение 1, формула Я также принимает значение 1. Это означает, что $F_1,F_2,\ldots,F_m\vDash H$ .

Следование и равносильность формул

Если говорить о следовании из одной формулы другой, то получаем бинарное отношение на совокупности всех формул алгебры высказываний. Две формулы $F$ и $H$ (в указанном порядке) находятся в данном отношении, если $F\vDash H$ .

Ранее рассмотрены бинарные отношения равносильности на совокупности всех формул алгебры высказываний. Две формулы $F$ и $H$ (в указанном порядке) находятся в этом отношении, если $F\cong H$ . Там же (следствие 4.3) установлено, что отношение равносильности формул есть отношение эквивалентности. Установим взаимосвязь между отношением равносильности и отношением следования.

Теорема 6.6. Две формулы алгебры высказываний равносильны тогда и только тогда, когда каждая из них является логическим следствием другой:

$F\cong H\quad \Rightarrow\quad F\vDash H$ и $H\vDash F$ .

Доказательство. Необходимость. Дано: $F\cong H$ . По определению равносильности обе формулы $F(X_1,\ldots,X_n)$ и $H(X_1,\ldots,X_n)$ для любых конкретных высказываний $A_1,\ldots,A_n$ превращаются в высказывания $F(A_1,\ldots,A_n)$ и $H(A_1,\ldots,A_n)$ , которые одновременно либо оба истинны, либо оба ложны. А раз так, то каждое из высказываний

$F(A_1,\ldots,A_n)\to H(A_1,\ldots,A_n)$ и $H(A_1,\ldots,A_n)\to F(A_1,\ldots,A_n)$

истинно для любых конкретных высказываний $A_1,\ldots,A_n$ . Это означает, что $\vDash F\to H$ и $\vDash H\to F$ , откуда, по теореме 6.3, $F\vDash H$ и $H\vDash F$ .

Достаточность. Дано: $F\vDash H$ и $H\vDash F$ . Тогда, по теореме 6.3, $\vDash F\to H$ и $\vDash H\to F$ . Поскольку формула $F\to H$ всегда превращается в истинное высказывание и формула $H\to F$ всегда превращается в истинное высказывание, то и их конъюнкция $(F\to H)\land (H\to F)$ является формулой, которая превращается в истинное высказывание всегда, т.е. $\vDash(F\to H)\land (H\to F)$ . Но на основании теоремы 4.4, пункт ч),

$(F\to H)\land (H\to F)\cong F\leftrightarrow H\,.$

Тогда по замечанию 4.7 имеем $\vDash F\leftrightarrow H$ , а по теореме 4.2 $F\cong H$ . Итак, теорема доказана.

Замечание 6.7. Если некоторая формула является тавтологией, то и всякое ее логическое следствие также является тавтологией. Символически это можно записать так: $\vDash F$ и $F\vDash H\Rightarrow\vDash H$ .

Продумайте это утверждение самостоятельно.

Правила логических умозаключений

Теперь можем рассмотреть примеры структур правильного мышления, т.е. ответить на вопрос, что из чего следует.

Начнем с тавтологии из теоремы 3.1, пункт к): $\vDash(F\land (F\to G))\to G$ . (На основании замечания 3.7 пропозициональные переменные $P$ и $Q$ заменены произвольными формулами $F$ и $G$ алгебры высказываний.) На основании теоремы 6.4 заключаем, что $F,F\to G\vDash G$ . Полученную схему, или правило вывода (умозаключения), также называют правилом modus ponens.

Правило 6.8 (modus ponens): $\frac{F,F\to G}{G}$ .

Это правило означает, что от утверждения об истинности посылки $F$ с помощью другой посылки $F\to G$ переходят к утверждению об истинности следствия $G$ . Данное правило называют также правилом заключения или отделения (от посылки $F\to G$ с помощью посылки $F$ отделяется заключение $G$ ). По теореме 3.5 правилу 6.8 можно придать несколько иной смысл: если формулы, стоящие в числителе, являются тавтологиями, то и формула в знаменателе — также тавтология.

Не менее важное и широко применяемое в рассуждениях правило умозаключения получается на основе тавтологии теоремы 3.1, пункт л).

Правило 6.9 (modus fallens): $\frac{F\to G,\lnot G}{\lnot F}$ .

Оно называется правилом modus tollens: от отрицания истинности посылки $G$ с помощью посылки $F\to G$ переходят к отрицанию истинности $F$ .

Таким образом, рассмотренные правила вывода 6.8 и 6.9 позволяют в истинной импликации $F\to G$ из истинности посылки $F$ делать вывод об истинности следствия $G$ , а из ложности следствия $G$ — о ложности посылки $F$ .

Укажем еще некоторые правила вывода, применяемые в рассуждениях. Путь их получения состоит в том, что сначала заменяем в соответствующей тавтологии каждую пропозициональную переменную произвольной формулой алгебры высказываний, в результате чего на основании теоремы 3.6 снова получаем тавтологию, а затем от нее по теореме 6.3 переходим к соответствующему правилу вывода (умозаключения), которое и записываем в принятой форме. Так, тавтология теоремы 3.3, пункт б) дает следующее правило вывода:

Правило 6.10 (введения конъюнкции): $\frac{F,G}{F\land G}$ .

Из тавтологий теоремы 3.2, пункт б) приходим к таким правилам вывода:

Правило 6.11 (удаления конъюнкции): $\frac{F\land G}{F}\,,~~ \frac{F\land G}{G}$ .

Правило 6.12 (введения дизъюнкции): $\frac{F}{F\land G}\,,~~ \frac{G}{F\land G}$ .

Смысл названий этих правил виден из характера их действия. Из тавтологии теоремы 3.1, пункт д) получаем правило контрапозиции.

Правило 6.13 (контрапозиции): $\frac{F\to G}{\lnot G\to\lnot F}$ .

Из тавтологии теоремы 3.1, пункт е) вытекает правило цепного заключения (или правило силлогизма).

Правило 6.14 (цепного заключения): $\frac{F\to G,G\to H}{F\to H}$ .

Из тавтологии теоремы 3.1, пункт м) следует правило перестановки посылок.

Правило 6.15 (перестановки посылок): $\frac{F\to(G\to H)}{G\to(F\to H)}$ .

Наконец, из тавтологии теоремы 3.1, пункт н) получаем следующие правила:

Правила 6.16 (объединения и разъединения посылок): $\frac{F\to(G\to H)}{(F\land G)\to H}\,,~~ \frac{(F\land G)\to H}{F\to (G\to H)}$ .

Правило 6.17 (расширенной контрапозиции): $\frac{(F\land G)\to H}{(F\land\lnot H)\to\lnot G}$ .

Аналогично формулируются другие правила вывода тавтологий, что рекомендуется проделать самостоятельно.

На правила 6.8–6.17 можно смотреть с двух точек зрения. Во-первых, каждое из них представляет собой утверждение следующего типа: формула, записанная в знаменателе, является логическим следствием всех формул, записанных в числителе данного правила. Во-вторых, каждое из этих правил можно рассматривать как правило получения новой тавтологии из уже имеющихся: если все формулы, записанные в числителе, являются тавтологиями, то тавтологией будет и формула, записанная в знаменателе правила (для доказательства этого утверждения примените замечание 6.7).

Способ проверки логического следования

Требуется выяснить, является ли формула $H(X_1,\ldots,X_n)$ логическим следствием формул

$F_1(X_1,\ldots,X_n),\ldots, F_m(X_1,\ldots,X_n)$ , то есть $F_1,F_2,\ldots,F_m\vDash H$ .

Предположим, что $H$ не есть логическое следствие формул $F_1,F_2,\ldots,F_m$ . Значит, существуют такие конкретные высказывания $A_1,\ldots,A_m$ , что высказывание $H(A_1,\ldots,A_m)$ ложно, в то время как все высказывания $F_1(A_1,\ldots,A_m),\ldots, F_m(A_1,\ldots,A_m)$ истинны. Если при этом удается найти распределение нулей и единиц между значениями переменных ${ X_1,\ldots,X_n}$ , соответствующее сделанному предположению, то предположение верно. Если же возникает противоречие, то предположение неверно. Посмотрим на примерах, как это делается.

Пример 6.18. Выясните, выполняется ли логическое следование

$X\to (\lnot Y\lor Z),~ \lnot X,~ Y\to Z\vDash X\lor Z\,.$

Допустим, что существуют такие конкретные высказывания $A,B,C$ , что

$\lambda\bigl(A\to (\lnot B\lor C)\bigr)=1,~ \lambda(\lnot A)=1,~ \lambda(B\to C)=1$ , но $\lambda(A\lor C)=0$ .

Тогда из последнего соотношения получаем $\lambda(A)=0,~ \lambda(C)=0$ , что не противоречит соотношению $\lambda(\lnot A)=1$ . Далее, соотношение $\lambda(B\to C)=1$ дает $\lambda(B)=0$ (так как $\lambda(C)=0$ ). Наконец, вычислив при данных значениях $A,\,B$ и $C$ значение $\lambda(A\to (\lnot B\lor C))$ , убеждаемся что оно равно 1, а это находится в полном соответствии с допущением. Следовательно, приходим к выводу: если высказывания $A,B,C$ таковы, что $\lambda(A)= \lambda(B)= \lambda(C)=0$ , то при подстановке $X=A$ , $Y=B$ , $Z=C$ формулы-посылки примут значение 1, а формула $X\lor Z$ примет значение 0. Значит, формула $X\lor Z$ не выводима из формул $X\to(\lnot Y\to Z),$ $\lnot X,~ Y\to Z$ .

Нахождение следствий из данных посылок

Мы научились определять, является ли данная формула логическим следствием некоторых других данных формул. Теперь возникает вопрос, как можно находить все формулы, являющиеся логическим следствием данной совокупности формул. Следующая теорема дает ключ к решению этой задачи.

Теорема 6.19. Формула $H(X_1,\ldots,X_n)$ , не являющаяся тавтологией, тогда и только тогда будет логическим следствием формул $F_1(X_1,\ldots,X_n),\ldots, F_m(X_1,\ldots,X_n)$ , не все из которых являются тавтологиями, когда все совершенные дизъюнктивные одночлены из разложения формулы Не совершенную конъюнктивную нормальную форму входят в совершенную конъюнктивную нормальную форму формулы

$F_1(X_1,\ldots,X_n)\land \ldots\land F_m(X_1,\ldots,X_n).$

Доказательство. Необходимость. Дано: $F_1,\ldots,F_m\vDash H$ .Тогда, по теореме 6.4, $F_1\land \ldots\land F_m\vDash H$ . Найдем для формул $F_1\land \ldots\land F_m$ и $H$ их совершенные конъюнктивные нормальные формы. Такая форма для каждой не тождественно истинной формулы существует и единственна с точностью до порядка совершенных дизъюнктивных одночленов в конъюнкции (см. теорему 5.5). Пусть $D_1\land \ldots\land D_k$ — СКН-формадля формулы $F_1\land \ldots\land F_m$ , а $H_1\land \ldots\land H_{\ell}$ — СКН-форма для формулы $H$ . Тогда:

$F_1\land \ldots\land F_m\cong D_1\land \ldots\land D_k,\quad H\cong H_1\land \ldots\land H_{\ell}$

Допустим, что заключение теоремы не выполняется, т. е. среди совершенных дизъюнктивных одночленов $H_1,\ldots,H_{\ell}$ имеется такой, которого нет среди совершенных дизъюнктивных одночленов $D_1,\ldots,D_k$ . He нарушая общности (ввиду несущественности порядка вхождения одночленов $H_1,\ldots,H_{\ell}$ , в СКН-форму $H_1\land \ldots\land H_{\ell}$ , можем считать, что таким одночленом является, например, $H_1$ . Итак,

$H_1(X_1,\ldots,X_n) \not\cong D_1(X_1,\ldots,X_n),~ \ldots,~ H_{\ell}(X_1,\ldots,X_n) \not\cong D_{k}(X_1,\ldots,X_n).$

Тогда существует единственный (с точки зрения логических значений) набор $A_1,\ldots,A_n$ , на котором совершенный дизъюнктивный одночлен $H_1(X_1,\ldots,X_n)$ принимает значение 0: $\lambda\bigl(H_1(X_1,\ldots,X_n)\bigr)=0$ , откуда

$\lambda\bigl(H(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=0.$

(1)

Этот набор выбирается следующим образом. Если переменная $X_i$ входит в $H_1$ без знака отрицания, то $A_i$ таково, что $\lambda(A_i)=0$ ; если $X_i$ входит в $H_1$ со знаком отрицания, то $A_i$ таково, что $\lambda(A_i)=1$ $(1 \leqslant i \leqslant n)$ . Каждый из совершенных дизъюнктивных одночленов $D_1,\ldots,D_k$ в силу его отличия от совершенного дизъюнктивного одночлена $H_1$ обращается на данном наборе в 1 (почему?):

$\lambda\bigl(D_1(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1,~ \ldots,~ \lambda\bigl(D_k(A_1, \ldots,A_n)\bigr)=1$ . Тогда $\lambda\bigl(D_1(A_1,\ldots,A_n) \land \ldots\land D_k(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$ ,

откуда, в силу равносильности $D_1\land \ldots\land D_k\cong F_1\land \ldots\land F_m$ получаем

$\lambda\bigl(F_1(A_1,\ldots,A_n)\land \ldots\land F_m(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$

Следовательно, $\lambda\bigl(F_1(A_1,\ldots,A_n)\bigr)\land \ldots\land \lambda\bigl(F_m(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1$ . а значит,

$\lambda\bigl(F_1(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1,\quad \ldots,\quad \lambda\bigl(F_m(A_1,\ldots,A_n)\bigr)=1.$

(2)

Соотношения (1) и (2) противоречат условию: $F_1,\ldots,F_m\vDash H$ . Следовательно, в СКН-форме формулы $H$ нет ни одного совершенного дизъюнктивного одночлена, который отсутствовал бы в СКН-форме формулы $F_1\land \ldots\land F_m$ .

Достаточность. Пусть $D_1\land \ldots\land D_k$ — СКН-форма формулы $F_1\land \ldots\land F_m$ . Тогда $F_1\land \ldots\land F_m\cong D_1\land \ldots\land D_k$ . Пусть далее $H\cong D_{i1}\land \ldots\land D_{is}$ , где $1 \leqslant i_1,\ldots,i_s \leqslant k$ и $i_1,\ldots,i_s$ попарно различны. Тогда ясно, что если при некоторой подстановке формула $F_1\land \ldots\land F_m$ принимает истинное значение, то и равносильная ей формула $D_1\land \ldots\land D_k$ также принимает значение 1. Следовательно, и все члены $D_{1}\land \ldots\land D_{k}$ последней конъюнкции принимают значение 1, включая члены $D_{i1}\land \ldots\land D_{is}$ . Но тогда и конъюнкция $D_{i1}\land \ldots\land D_{is}\cong H$ также принимает значение 1. Значит, $F_1,\ldots,F_m\cong H$ .

Эта теорема определяет следующее правило (алгоритм) для нахождения всех (неравносильных) формул, являющихся логическими следствиями из посылок $F_1,\ldots,F_m:$ )

1) составить конъюнкцию $F_1\land \ldots\land F_m$ ;

2) найти СКН-форму формулы $F_1\land \ldots\land F_m$ ;

3) выписать все совершенные дизъюнктивные одночлены найденной СКН-формы, а также всевозможные конъюнкции этих одночленов. Полученное множество формул и является искомым.

Нахождение посылок для данного следствия

Задача нахождения всех формул, из которых данная формула логически следует, является обратной по отношению к той, которая была рассмотрена в предыдущем пункте. Ее решение основывается на следующей теореме.

Теорема 6.20. Чтобы найти все формулы, логическим следствием каждой из которых будет данная формула $G(X_1,\ldots,X_n)$ , нужно действовать по следующему алгоритму. Найти СКН-форму для формулы $G(X_1,\ldots,X_n)$ ; выявить все совершенные дизъюнктивные одночлены, которые в ней отсутствуют; составить всевозможные конъюнкции формулы $G(X_1,\ldots,X_n)$ с недостающими дизъюнктивными одночленами. Получившаяся совокупность формул (вместе с формулой $G$ ) будет искомой (с точностью до равносильности формул).

Доказательство. Ясно, что из каждой формулы этой совокупности будет логически следовать формула $G$ , так как $G\land H\vDash G$ (конъюнкция сильнее каждого из сомножителей). Обратно, покажем, что каждая формула $F$ , из которой логически следует данная формула $G$ , имеет указанный вид, т.е. представляет собой конъюнкцию формулы $G$ и некоторых совершенных дизъюнктивных одночленов, отсутствующих в СКН-форме для $G$ . В самом деле, пусть $F\vDash G$ и

$G\cong D_1\land D_2\land \ldots\land D_k$ — СКН-форма для формулы $G(X_1,\ldots,X_n)$ и
$F\cong \Delta_1\land \Delta_2\land \ldots\land \Delta_s$ — СКН-форма для формулы $F(X_1,\ldots,X_n)$ .

По определению логического следования, $F\vDash G$ означает, что если формула $F(X_1,\ldots,X_n)$ на некотором наборе $A_1,\ldots,A_n$ значений пропозициональных переменных приняла значение 1, то и формула $G(X_1,\ldots,X_n)$ на этом наборе примет значение 1. Другими словами, если формула $G(X_1,\ldots,X_n)$ на некотором наборе $A_1,\ldots,A_n$ значений пропозициональных переменных принимает значение 0, то и формула $F(X_1,\ldots,X_n)$ на этом наборе принимает значение 0. Но все наборы значений переменных, на которых $G$ принимает значение 0, находятся во взаимно-однозначном соответствии с совершенными дизъюнктивными одночленами $D_1,D_2,\ldots,D_s$ , образующими СКН-форму для формулы $G$ , т.е. если $G(A_1,\ldots,A_n)=0$ , то $D_i(A_1,\ldots,A_n)=0$ для некоторого $1 \leqslant i \leqslant k$ . Следовательно, $F(A_1,\ldots,A_n)=0$ и значит на этом же наборе принимает значение 0 некоторый совершенный дизъюнктивный одночлен $\Delta_i$ , входящий в ее СКН-форму. Но тогда этот одночлен совпадает с одночленом $D_i$ . Таким образом, каждый совершенный дизъюнктивный одночлен $D_i$ из СКН-формы для $G$ входит в СКН-форму для формулы $F$ , т.е. СКН-форма для $F$ имеет вид:

$F\cong D_1\land D_2\land \ldots\land D_k\land \Delta_{k+1}\land \ldots\land \Delta_{s}$

где $\Delta_{k+2},\ldots,\Delta_{s}$ — совершенные дизъюнктивные одночлены от переменных ${ X_1,\ldots,X_n}$ , не входящие в СКН-форму для формулы $G$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]