Линейные преобразования евклидовых пространств
Рассмотрим линейное преобразование n-мерного евклидова пространства . Напомним, что евклидово пространство является вещественным линейным пространством со скалярным произведением. Поэтому все понятия и свойства линейных преобразований вещественных линейных пространств полностью переносятся на линейные преобразования евклидовых пространств. Наличие скалярного произведения позволяет определить важные свойства таких преобразований.
Ортогональные преобразования евклидовых пространств
Преобразование n-мерного евклидова пространства называется ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведение векторов, т.е.
(9.16)
Из определения следуют простейшие свойства: при ортогональном преобразовании евклидова пространства не изменяются длины векторов , а также углы между векторами , поскольку
и для ненулевых векторов
Перейдем к изучению других свойств ортогональных преобразований.
Свойства ортогональных преобразований евклидовых пространств
1. Ортогональное преобразование евклидова пространства — линейное.
В определении намеренно не говорится о линейности преобразования , поскольку она следует из (9.16). Действительно, выберем в ортонормированный базис . Тогда векторы также образуют ортонормированный базис пространства , так как по определению
(9.17)
Найдем координаты образа произвольного вектора в базисе . Так как , получаем
(9.18)
Найдем образ произведения вектора на число
Следовательно, преобразование — однородное. Аддитивность доказывается аналогично.
2. Линейное преобразование ортогонально тогда и только тогда, когда оно отображает ортонормированный базис в ортонормированный.
Необходимость следует из (9.17). Докажем достаточность. Пусть и — ортонормированные базисы евклидова пространства . В силу линейности преобразования для любого вектора справедливо (9.18). Поэтому
что и требовалось доказать.
3. Линейное преобразование ортогонально тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном базисе является ортогональной, т.е. .
В самом деле, пусть в ортонормированном базисе ортогональное преобразование имеет матрицу . Найдем произведение образов и базисных векторов. Согласно (9.17) имеем
Последнюю сумму можно рассматривать как произведение элементов i-й строки транспонированной матрицы на соответствующие элементы j-го столбца матрицы . Поэтому , тогда и . Следовательно, . Для доказательства достаточности проводим рассуждения в обратном порядке и приходим к заключению, что преобразование (с ортогональной матрицей ) отображает один ортонормированный базис в другой. По свойству 2 такое преобразование ортогональное.
4. Ортогональное преобразование обратимо, т.е. инъективно и сюръективно: . Это следует из свойств ядра и образа линейного отображения .
5. Корни характеристического уравнения ортогонального преобразования по модулю равны единице (собственные значения равны +1 или –1).
Действительно, пусть — матрица ортогонального преобразования в ортонормированием базисе. Характеристическое уравнение имеет действительные коэффициенты, так как матрица действительная. Если — пара комплексных сопряженных корней характеристического уравнения, то найдется ненулевой столбец (с комплексными элементами), для которого , Выполняя комплексное сопряжение и транспонирование обеих частей равенства, получаем . Перемножим оба равенства: . Так как , то . Для ненулевого столбца и, следовательно, . Поэтому для собственных значений, которые являются действительными числами, получаем .
6. Определитель матрицы ортогонального преобразования равен +1 или –1. Это свойство следует из равенства , так как
Ортогональное преобразование называется собственным, если и несобственным, если .
7. Пусть — инвариантное относительно ортогонального преобразования подпространство . Тогда его ортогональное дополнение также инвариантно по отношению к преобразованию .
По свойству 4 ортогональное преобразование (сужение преобразования на инвариантное подпространство ) обратимо. Поэтому для любого найдется прообраз . Тогда для любого имеем , то есть . Следовательно, подпространство инвариантно относительно преобразования , то есть и даже в силу обратимости .
8. Пусть — пара комплексных сопряженных корней характеристического многочлена ортогонального преобразования . Тогда существует такая пара равных по длине ортогональных векторов и , что
(9.19)
В самом деле, в теореме 9.4 доказано существование линейно независимых векторов и , удовлетворяющих системе (9.19), которая в координатной форме имеет вид (9.7). Матрица сужения преобразования на двумерное инвариантное подпространство относительно базиса имеет вид . Она составлена из координатных столбцов векторов в базисе , т.е. из коэффициентов разложений (9.19) этих векторов по базису.
Докажем ортогональность векторов и . Находим скалярные произведения, учитывая (9.19) и ортогональность преобразования:
Подставляя (см. свойство 5) и сокращая на , получаем систему уравнений
относительно двух неизвестных и
Определитель матрицы системы , следовательно, система имеет только тривиальное решение: , то есть векторы и имеют равные длины и перпендикулярны.
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|