Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Линейные пространства: определение и примеры
ОглавлениеЛинейная алгебра

Линейные пространства: определение и примеры


Аксиомы линейного пространства


Линейным (векторным) пространством называется множество [math]V[/math] произвольных элементов, называемых векторами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, т.е. любым двум векторам [math]\mathbf{u}[/math] и [math]{\mathbf{v}}[/math] поставлен в соответствие вектор [math]\mathbf{u}+\mathbf{v}[/math], называемый суммой векторов [math]\mathbf{u}[/math] и [math]{\mathbf{v}}[/math], любому вектору [math]{\mathbf{v}}[/math] и любому числу [math]\lambda[/math] из поля действительных чисел [math]\mathbb{R}[/math] поставлен в соответствие вектор [math]\lambda \mathbf{v}[/math], называемый произведением вектора [math]\mathbf{v}[/math] на число [math]\lambda[/math]; так что выполняются следующие условия:


1. [math]\mathbf{u}+ \mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}\,~\forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in V[/math] (коммутативность сложения);
2. [math]\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})=(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}\,~\forall \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in V[/math] (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент [math]\mathbf{o}\in V[/math], называемый нулевым вектором, что [math]\mathbf{v}+\mathbf{o}=\mathbf{v}\,~\forall \mathbf{v}\in V[/math];
4. для каждого вектора [math]{\mathbf{v}}[/math] существует такой вектор [math](-\mathbf{v})\in V[/math], называемый противоположным вектору [math]\mathbf{v}[/math], что [math]\mathbf{v}+(-\mathbf{v})=\mathbf{o}[/math];
5. [math]\lambda(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\lambda \mathbf{u}+\lambda \mathbf{v}\,~\forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in V,~\forall \lambda\in \mathbb{R}[/math];
6. [math](\lambda+\mu)\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}+\mu \mathbf{v}\,~ \forall \mathbf{v}\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb{R}[/math];
7. [math]\lambda(\mu \mathbf{v})=(\lambda\mu)\mathbf{v}\,~ \forall \mathbf{v}\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb{R}[/math];
8. [math]1\cdot \mathbf{v}=\mathbf{v}\,~\forall \mathbf{v}\in V[/math].

Условия 1-8 называются аксиомами линейного пространства. Знак равенства, поставленный между векторами, означает, что в левой и правой частях равенства представлен один и тот же элемент множества [math]V[/math], такие векторы называются равными.


В определении линейного пространства операция умножения вектора на число введена для действительных чисел. Такое пространство называют линейным пространством над полем действительных (вещественных) чисел, или, короче, вещественным линейным пространством. Если в определении вместо поля [math]\mathbb{R}[/math] действительных чисел взять поле комплексных чисел [math]\mathbb{C}[/math], то получим линейное пространство над полем комплексных чисел, или, короче, комплексное линейное пространство. В качестве числового поля можно выбрать и поле [math]\mathbb{Q}[/math] рациональных чисел, при этом получим линейное пространство над полем рациональных чисел. Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться вещественные линейные пространства. В некоторых случаях для краткости будем говорить о пространстве, опуская слово линейное, так как все пространства, рассматриваемые ниже — линейные.




Замечания 8.1


1. Аксиомы 1-4 показывают, что линейное пространство является коммутативной группой относительно операции сложения.


2. Аксиомы 5 и 6 определяют дистрибутивность операции умножения вектора на число по отношению к операции сложения векторов (аксиома 5) или к операции сложения чисел (аксиома 6). Аксиома 7, иногда называемая законом ассоциативности умножения на число, выражает связь двух разных операций: умножения вектора на число и умножения чисел. Свойство, определяемое аксиомой 8, называется унитарностью операции умножения вектора на число.


3. Линейное пространство — это непустое множество, так как обязательно содержит нулевой вектор.


4. Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.


5. Разностью векторов [math]\mathbf{u}[/math] и [math]\mathbf{v}[/math] называется сумма вектора [math]\mathbf{u}[/math] с противоположным вектором [math](-\mathbf{v})[/math] и обозначается: [math]\mathbf{u}-\mathbf{v}=\mathbf{u}+(-\mathbf{v})[/math].


6. Два ненулевых вектора [math]\mathbf{u}[/math] и [math]\mathbf{v}[/math] называются коллинеарными (пропорциональными), если существует такое число [math]\lambda[/math], что [math]\mathbf{v}=\lambda \mathbf{u}[/math]. Понятие коллинеарности распространяется на любое конечное число векторов. Нулевой вектор [math]\mathbf{o}[/math] считается коллинеарным с любым вектором.




Следствия аксиом линейного пространства


1. В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор.


2. В линейном пространстве для любого вектора [math]\mathbf{v}\in V[/math] существует единственный противоположный вектор [math](-\mathbf{v})\in V[/math].


3. Произведение произвольного вектора пространства на число нуль равно нулевому вектору, т.е. [math]0\cdot \mathbf{v}=\mathbf{o}\,~\forall \mathbf{v}\in V[/math].


4. Произведение нулевого вектора на любое число равно нулевому вектору, т.е [math]\lambda \mathbf{o}=\mathbf{o}[/math] для любого числа [math]\lambda[/math].


5. Вектор, противоположный данному вектору, равен произведению данного вектора на число (-1), т.е. [math](-\mathbf{v})=(-1)\mathbf{v}\,~\forall \mathbf{v}\in V[/math].


6. В выражениях вида [math]\mathbf{a+b+\ldots+z}[/math] (сумма конечного числа векторов) или [math]\alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf{v}[/math] (произведение вектора на конечное число множителей) можно расставлять скобки в любом порядке, либо вообще не указывать.


Докажем, например, первые два свойства. Единственность нулевого вектора. Если [math]\mathbf{o}[/math] и [math]\mathbf{o}'[/math] — два нулевых вектора, то по аксиоме 3 получаем два равенства: [math]\mathbf{o}'+\mathbf{o}=\mathbf{o}'[/math] или [math]\mathbf{o}+\mathbf{o}'=\mathbf{o}[/math], левые части которых равны по аксиоме 1. Следовательно, равны и правые части, т.е. [math]\mathbf{o}=\mathbf{o}'[/math]. Единственность противоположного вектора. Если вектор [math]\mathbf{v}\in V[/math] имеет два противоположных вектора [math](-\mathbf{v})[/math] и [math](-\mathbf{v})'[/math], то по аксиомам 2, 3,4 получаем их равенство:


[math](-\mathbf{v})'=(-\mathbf{v})'+\underbrace{\mathbf{v}+(-\mathbf{v})}_{\mathbf{o}}= \underbrace{(-\mathbf{v})'+\mathbf{v}}_{\mathbf{o}}+(-\mathbf{v})=(-\mathbf{v}).[/math]

Остальные свойства доказываются аналогично.




Примеры линейных пространств


1. Обозначим [math]\{\mathbf{o}\}[/math] — множество, содержащее один нулевой вектор, с операциями [math]\mathbf{o}+ \mathbf{o}=\mathbf{o}[/math] и [math]\lambda \mathbf{o}=\mathbf{o}[/math]. Для указанных операций аксиомы 1-8 выполняются. Следовательно, множество [math]\{\mathbf{o}\}[/math] является линейным пространством над любым числовым полем. Это линейное пространство называется нулевым.


2. Обозначим [math]V_1,\,V_2,\,V_3[/math] — множества векторов (направленных отрезков) на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно с обычными операциями сложения векторов и умножения векторов на число. Выполнение аксиом 1-8 линейного пространства следует из курса элементарной геометрии. Следовательно, множества [math]V_1,\,V_2,\,V_3[/math] являются вещественными линейными пространствами. Вместо свободных векторов можно рассмотреть соответствующие множества радиус-векторов. Например, множество векторов на плоскости, имеющих общее начало, т.е. отложенных от одной фиксированной точки плоскости, является вещественным линейным пространством. Множество радиус-векторов единичной длины не образует линейное пространство, так как для любого из этих векторов сумма [math]\mathbf{v}+\mathbf{v}[/math] не принадлежит рассматриваемому множеству.


3. Обозначим [math]\mathbb{R}^n[/math] — множество матриц-столбцов размеров [math]n\times1[/math] с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором в этом множестве служит нулевой столбец [math]o=\begin{pmatrix}0&\cdots&0\end{pmatrix}^T[/math]. Следовательно, множество [math]\mathbb{R}^n[/math] является вещественным линейным пространством. Аналогично, множество [math]\mathbb{C}^n[/math] столбцов размеров [math]n\times1[/math] с комплексными элементами является комплексным линейным пространством. Множество матриц-столбцов с неотрицательными действительными элементами, напротив, не является линейным пространством, так как не содержит противоположных векторов.


4. Обозначим [math]\{Ax=o\}[/math] — множество решений однородной системы [math]Ax=o[/math] линейных алгебраических уравнений с и неизвестными (где [math]A[/math] — действительная матрица системы), рассматриваемое как множество столбцов размеров [math]n\times1[/math] с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Заметим, что эти операции действительно определены на множестве [math]\{Ax=o\}[/math]. Из свойства 1 решений однородной системы (см. разд. 5.5) следует, что сумма двух решений однородной системы и произведение ее решения на число также являются решениями однородной системы, т.е. принадлежат множеству [math]\{Ax=o\}[/math]. Аксиомы линейного пространства для столбцов выполняются (см. пункт 3 в примерах линейных пространств). Поэтому множество решений однородной системы является вещественным линейным пространством.


Множество [math]\{Ax=b\}[/math] решений неоднородной системы [math]Ax=b,~b\ne o[/math], напротив, не является линейным пространством, хотя бы потому, что не содержит нулевого элемента ([math]x=o[/math] не является решением неоднородной системы).


5. Обозначим [math]M_{m\times n}[/math] — множество матриц размеров [math]m\times n[/math] с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором является нулевая матрица [math]O[/math] соответствующих размеров. Следовательно, множество [math]M_{m\times n}[/math] является линейным пространством.


6. Обозначим [math]P(\mathbb{C})[/math] — множество многочленов одной переменной с комплексными коэффициентами. Операции сложения много членов и умножения многочлена на число, рассматриваемое как многочлен нулевой степени, определены и удовлетворяют аксиомам 1-8 (в частности, нулевым вектором является многочлен, тождественно равный нулю). Поэтому множество [math]P(\mathbb{C})[/math] является линейным пространством над полем комплексных чисел. Множество [math]P(\mathbb{R})[/math] многочленов с действительными коэффициентами также является линейным пространством (но, разумеется, над полем действительных чисел). Множество [math]P_n(\mathbb{R})[/math] многочленов степени не выше, чем [math]n[/math], с действительными коэффициентами также является вещественным линейным пространством. Заметим, что операция сложения много членов определена на этом множестве, так как степень суммы многочленов не превышает степеней слагаемых.


Множество многочленов степени [math]n[/math] не является линейным пространством, так как сумма таких многочленов может оказаться многочленом меньшей степени, не принадлежащим рассматриваемому множеству. Множество всех многочленов степени не выше, чем л, с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку при умножении такого многочлена на отрицательное число получим многочлен, не принадлежащий этому множеству.


7. Обозначим [math]C(\mathbb{R})[/math] — множество действительных функций, определенных и непрерывных на [math]\mathbb{R}[/math]. Сумма [math](f+g)[/math] функций [math]f,g[/math] и произведение [math]\lambda f[/math] функции [math]f[/math] на действительное число [math]\lambda[/math] определяются равенствами:


[math](f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)[/math] для всех [math]x\in \mathbb{R}[/math]

Эти операции действительно определены на [math]C(\mathbb{R})[/math], так как сумма непрерывных функций и произведение непрерывной функции на число являются непрерывными функциями, т.е. элементами [math]C(\mathbb{R})[/math]. Проверим выполнение аксиом линейного пространства. Из коммутативности сложения действительных чисел следует справедливость равенства [math]f(x)+g(x)=g(x)+f(x)[/math] для любого [math]x\in \mathbb{R}[/math]. По этому [math]f+g=g+f[/math], т.е. аксиома 1 выполняется. Аксиома 2 следует аналогично из ассоциативности сложения. Нулевым вектором служит функция [math]o(x)[/math], тождественно равная нулю, которая, разумеется, является непрерывной. Для любой функции [math]f[/math] выполняется равенство [math]f(x)+o(x)=f(x)[/math], т.е. справедлива аксиома 3. Противоположным вектором для вектора [math]f[/math] будет функция [math](-f)(x)=-f(x)[/math]. Тогда [math]f+(-f)=o[/math] (аксиома 4 выполняется). Аксиомы 5, 6 следуют из дистрибутивности операций сложения и умножения действительных чисел, а аксиома 7 — из ассоциативности умножения чисел. Последняя аксиома выполняется, так как умножение на единицу не изменяет функцию: [math]1\cdot f(x)=f(x)[/math] для любого [math]x\in \mathbb{R}[/math], т.е. [math]1\cdot f=f[/math]. Таким образом, рассматриваемое множество [math]C(\mathbb{R})[/math] с введенными операциями является вещественным линейным пространством. Аналогично доказывается, что [math]C^1(\mathbb{R}),C^2(\mathbb{R}), \ldots, C^m(\mathbb{R})[/math] — множества функций, имеющих непрерывные производные первого, второго .и т.д. порядков соответственно, также являются линейными пространствами.


Обозначим [math]T_{\omega}(\mathbb{R})[/math] — множество тригонометрических двучленов (часто ты [math]\omega\ne0[/math]) с действительными коэффициентами, т.е. множество функций вида [math]f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t[/math], где [math]a\in \mathbb{R},~b\in \mathbb{R}[/math]. Сумма таких двучленов и про изведение двучлена на действительное число являются тригонометрическим двучленом. Аксиомы линейного пространства для рассматриваемого множества выполняются (так как [math]T_{\omega}(\mathbb{R})\subset C(\mathbb{R})[/math]). Поэтому множество [math]T_{\omega}(\mathbb{R})[/math] с обычными для функций операциями сложения и умножения на число является вещественным линейным пространством. Нулевым элементом служит двучлен [math]o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t[/math], тождественно равный нулю.


Множество действительных функций, определенных и монотонных на [math]\mathbb{R}[/math], не является линейным пространством, так как разность двух монотонных функций может оказаться немонотонной функцией.


8. Обозначим [math]\mathbb{R}^X[/math] — множество действительных функций, определенных на множестве [math]X[/math], с операциями:


[math](f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X[/math]

Оно является вещественным линейным пространтвом (доказательство такое же, как в предыдущем примере). При этом множество [math]X[/math] может быть выбрано произвольно. В частности, если [math]X=\{1,2,\ldots,n\}[/math], то [math]f(X)[/math] — упорядоченный набор чисел [math]f_1,f_2,\ldots,f_n[/math], где [math]f_i=f(i),~i=1,\ldots,n[/math] Такой набор можно считать матрицей-столбцом размеров [math]n\times1[/math], т.е. множество [math]\mathbb{R}^{\{1,2,\ldots,n\}}[/math] совпадает с множеством [math]\mathbb{R}^n[/math] (см. пункт 3 примеров линейных пространств). Если [math]X=\mathbb{N}[/math] (напомним, что [math]\mathbb{N}[/math] — множество натуральных чисел), то получаем линейное пространство [math]\mathbb{R}^{\mathbb{N}}[/math] — множество числовых последовательностей [math]\{f(i)\}_{i=1}^{\infty}[/math]. В частности, множество сходящихся числовых последовательностей также образует линейное пространство, так как сумма двух сходящихся последовательностей сходится, и при умножении всех членов сходящейся последовательности на число получаем сходящуюся последовательность. Напротив, множество расходящихся последовательностей не является линейным пространством, так как, например, сумма расходящихся последовательностей может иметь предел.


9. Обозначим [math]\mathbb{R}^{+}[/math] — множество положительных действительных чисел, в котором сумма [math]a\oplus b[/math] и произведение [math]\lambda\ast a[/math] (обозначения в этом примере отличаются от обычных) определены равенствами: [math]a\oplus b=ab,~ \lambda\ast a=a^{\lambda}[/math], другими словами, сумма элементов понимается как произведение чисел, а умножение элемента на число — как возведение в степень. Обе операции действительно определены на множестве [math]\mathbb{R}^{+}[/math], так как произведение положительных чисел есть положительное число и любая действительная степень положительного числа есть положительное число. Проверим справедливость аксиом. Равенства


[math]a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus(b\oplus c)=a(bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c[/math]

показывают, что аксиомы 1, 2 выполняются. Нулевым вектором данного множества является единица, так как [math]a\oplus1=a\cdot1=a[/math], т.е. [math]o=1[/math]. Противоположным для [math]a[/math] вектором является вектор [math]\frac{1}{a}[/math], который определен, так как [math]a\ne o[/math]. В самом деле, [math]a\oplus\frac{1}{a}=a\cdot\frac{1}{a}=1=o[/math]. Проверим выполнение аксиом 5, 6,7,8:


[math]\begin{gathered} \mathsf{5)}\quad \lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^{\lambda}= a^{\lambda}\cdot b^{\lambda}= \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\[5pt] \mathsf{6)}\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^{\lambda+\mu}=a^{\lambda}\cdot a^{\mu}=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\[5pt] \mathsf{7)} \quad \lambda\ast(\mu\ast a)=(a^{\mu})^{\lambda}=a^{\lambda\mu}=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\[5pt] \mathsf{8)}\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hfill \end{gathered}[/math]


Все аксиомы выполняются. Следовательно, рассматриваемое множество является вещественным линейным пространством.

10. Пусть [math]V[/math] — вещественное линейное пространство. Рассмотрим множество определенных на [math]V[/math] линейных скалярных функций, т.е. функций [math]f\colon V\to \mathbb{R}[/math], принимающих действительные значения и удовлетворяющих условиям:


[math]f(\mathbf{u}+\mathbf{v})=f(u)+f(v)~~ \forall u,v\in V[/math] (аддитивность);


[math]f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb{R}[/math] (однородность).


Линейные операции над линейными функциями задаются также, как в пункте 8 примеров линейных пространств. Сумма [math]f+g[/math] и произведение [math]\lambda\cdot f[/math] определяются равенствами:


[math](f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb{R}.[/math]

Выполнение аксиом линейного пространства подтверждается также, как в пункте 8. Поэтому множество линейных функций, определенных на линейном пространстве [math]V[/math], является линейным пространством. Это пространство называется сопряженным к пространству [math]V[/math] и обозначается [math]V^{\ast}[/math]. Его элементы называют ковекторами.


Например, множество линейных форм [math]n[/math] переменных, рассматриваемых как множество скалярных функций векторного аргумента, является линейным пространством, сопряженным к пространству [math]\mathbb{R}^n[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved