Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Линейные отображения: определение, примеры, свойства

Линейные отображения: определение, примеры, свойства


Определение линейных отображений


Напомним основные определения, связанные с понятием отображения (функции, оператора).


Пусть {V} и {W} — заданные множества. Говорят, что на множестве {V} определено отображение (функция) {f}, если каждому элементу {\mathbf{v}\in V} поставлен в соответствие единственный элемент f(\mathbf{v}) множества {W}. Такое соответствие называют также отображением множества {V} в множество {W} и обозначают f\colon V\to W, или V\mathop{\longrightarrow}\limits^{f}W. Если отображение {f} элементу \mathbf{v}\in V ставит в соответствие элемент {w\in W}, т.е. \mathbf{w}=f(\mathbf{v}), то элемент \mathbf{w} называется образом \mathbf{v}, а элемент \mathbf{v} — прообразом \mathbf{w}.


Два отображения f\colon V\to W и g\colon V\to W называются равными, если f(\mathbf{v})=g(\mathbf{v})~\forall \mathbf{v}\in V.


Отображение f\colon V\to W называется:


— инъективным, если разным элементам множества {V} соответствуют разные образы: v_1\ne v_2~\Rightarrow~ f(v_1)\ne f(v_2);

— сюръективным, если для каждого элемента из множества {W} имеется хотя бы один прообраз: \forall w\in W~\exists v\in V\colon w=f(v);

— биективным (взаимно однозначным), если оно инъективно и сюръективно одновременно.


Сюръективное отображение называется также отображением множества {V} на множество {W}.


Композицией отображений g\colon U\to V и f\colon V\to W называется отображение f\circ g\colon U\to W, определяемое равенством (f\circ g)(\mathbf{u})=f(g(\mathbf{u})).


Отображение \mathcal{E}_V\colon V\to V называется тождественным, если каждому элементу множества {V} ставится в соответствие этот же элемент: \mathcal{E}_V (\mathbf{v})=\mathbf{v}~ \forall \mathbf{v}\in V.


Отображение f^{-1}\colon W\to V называется обратным для отображения f\colon V\to W, если f^{-1}\circ f=\mathcal{E}_V\colon V\to V и f\circ f^{-1}=\mathcal{E}_W\colon W\to W. Отображение {f} называется обратимым, если для него существует обратное отображение. Необходимым и достаточным условием обратимости является условие биективности (взаимной однозначности) отображения.


Пусть {V} и {W} — линейные пространства (над одним и тем же числовым полем). Отображение \mathcal{A}\colon V\to W называется линейным, если


1. \mathcal{A}(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)= \mathcal{A}(\mathbf{v}_1)+ \mathcal{A}(\mathbf{v}_2)~ \forall \mathbf{v}_1\in V,~ \forall \mathbf{v}_2\in V;


2. \mathcal{A}(\lambda\cdot \mathbf{v})= \lambda\cdot \mathcal{A}(\mathbf{v})~ \forall \mathbf{v}\in V и любого числа \lambda (из данного числового поля).


Условие 1 называется аддитивностью отображения, а условие 2 — однородностью. Пространство {V} называется пространством прообразов, а пространство {W}пространством образов.




Замечания 9.1


1. Линейное отображение \mathcal{A}\colon V\to W нулевому элементу \boldsymbol{o}_V пространства {V} ставит в соответствие нулевой элемент \boldsymbol{o}_W пространства {W}.


2. Условия аддитивности и однородности можно заменить одним условием линейности отображения:


\mathcal{A}(\lambda_1\cdot v_1+\lambda_2\cdot v_2)= \lambda_1\cdot \mathcal{A}(v_1)+ \lambda_2\cdot\mathcal{A}(v_2)\quad \forall v_1\in V,~ \forall v_2\in V

и любых чисел \lambda_1 и \lambda_2 из данного числового поля.


3. При линейном отображении образ линейной комбинации является линейной комбинацией образов:


\mathcal{A}\!\Biggl(\sum_{i=1}^{k}\lambda_i \mathbf{v}_i \Biggr)= \sum_{i=1}^{k}\lambda_i \mathcal{A}(\mathbf{v}_i).

4. Взаимно однозначное линейное отображение является изоморфизмом.




Примеры линейных отображений


1. Обозначим \mathcal{O}\colon V\to W — нулевое отображение, которое ставит в соответствие любому вектору \mathbf{v}\in V нулевой элемент \mathbf{o}_W пространства {W}. Условия аддитивности и однородности такого отображения, разумеется, выполняются. Это отображение не является инъективным (разным прообразам \mathbf{v}_1 и \mathbf{v}_2 соответствует один и тот же образ \mathbf{o}_W), не является сюръективным (из всех векторов пространства {W} только у нулевого имеется прообраз). Поэтому нулевое отображение не является биективным и, следовательно, обратимым.


2. Пусть в n-мерном линейном пространстве V задан базис \mathbf{e}_1,\ldots, \mathbf{e}_n. Обозначим \mathsf{a\!e}\colon V\to \mathbb{R}^n отображение, которое ставит в соответствие каждому вектору \mathbf{v} его координатный столбец v=\begin{pmatrix} v_1&\cdots&v_n \end{pmatrix}^T относительно заданного базиса. Такое отображение является линейным, так как при сложении векторов в одном и том же базисе их координаты складываются, а при умножении вектора на число — координаты вектора умножаются на это число. Это отображение является инъективным (разные векторы имеют разные координаты (в одном и том же базисе)), является сюръективным (для любого столбца v=\begin{pmatrix} v_1& \cdots&v_n\end{pmatrix}^T\in \mathbb{R}^n существует прообраз \mathbf{v}=v_1 \mathbf{e}_1+\ldots+v_n \mathbf{e}_n. Поэтому отображение \mathsf{a\!e} биективное и, следовательно, обратимое. Напротив, отображение, которое каждому вектору \mathbf{v}\in V ставит в соответствие столбец v=\begin{pmatrix}v_1+1& \cdots&v_n+1\end{pmatrix}^T\in \mathbb{R}^n, не является линейным, так как образом нулевого вектора \boldsymbol{o}_V\in V служит столбец \begin{pmatrix}1&\cdots&1\end{pmatrix}^T\ne o, отличный от нулевого.


3. Пусть в n-мерном евклидовом пространстве \mathbb{E} задан ненулевой вектор \mathbf{e}\in \mathbb{E}. Обозначим \operatorname{pr}_{\mathbf{e}} (\mathbf{v})=\frac{\langle \mathbf{e},\mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{e}|}- алгебраическое значение проекции вектора \mathbf{v}\in \mathbb{E} на направление, задаваемое вектором \mathbf{e}. Тогда отображение \operatorname{pr}_{\mathbf{e}}\colon \mathbb{E}\to \mathbb{R} будет линейным, так как скалярное произведение линейно по второму сомножителю. Это отображение не является инъективным (разные векторы могут иметь одну и ту же проекцию), является сюръективным (для любого действительного числа \lambda, задающего величину проекции, найдется прообраз, например вектор \frac{\lambda\cdot \mathbf{e}}{|\mathbf{e}|}). Поэтому отображение не является биективным и, следовательно, обратимым. Отображение \mathbb{E}\to \mathbb{R}, которое каждому вектору \mathbf{v}\to \mathbb{E} ставит в соответствие его длину |\mathbf{v}|\in \mathbb{R} не является линейным, поскольку не выполняется, например, условие однородности: |\lambda \mathbf{v}|\ne \lambda|\mathbf{v}| для отрицательных \lambda.


4. Пусть P_n(\mathbb{R}) и P_{n-1}(\mathbb{R}) — пространства многочленов с действительными коэффициентами степени не выше n или (n-1) соответственно. Обозначим через \mathcal{D}(p(x))=\frac{dp(x)}{dx} производную многочлена p(x)\in P_n(\mathbb{R}). Тогда отображение (оператор дифференцирования) \mathcal{D}\colon P_n(\mathbb{R})\to P_{n-1}(\mathbb{R}) ставит в соответствие каждому многочлену p(x)\in P_n(\mathbb{R}) его производную, т.е. многочлен из пространства P_{n-1}(\mathbb{R}). Этот оператор линейный, так как производная суммы равна сумме производных, а производная произведения функции на число равна произведению производной на это число. Оператор дифференцирования не является инъективным (два многочлена, отличающиеся свободными членами имеют одну и ту же производную), является сюръективным (для любого многочлена p_{n-1}(x) имеется прообраз — многочлен из множества первообразных \textstyle{\int p_{n-1}(x)\,dx+C}, где C — произвольная постоянная). Поэтому оператор дифференцирования не является биективным и, следовательно, обратимым. Оператор интегрирования \mathcal{I}\colon P_{n-1}(\mathbb{R})\to P_n(\mathbb{R}), который многочлену p_{n-1}(x)\in P_{n-1}(\mathbb{R}) ставит в соответствие многочлен \textstyle{p_n(x)=\int\limits_{0}^{x}p_{n-1}(x)\,dx}, также является линейным. Этот оператор является инъективным (из равенства образов, дифференцируя по верхнему пределу интегрирования, получаем равенство прообразов), не является сюръективным (многочлен с отличным от нуля свободным членом не имеет прообраза). Поэтому оператор интегрирования не является биективным и, следовательно, обратимым.




Свойства линейных отображений


Пусть \mathcal{A}\colon V\to W — линейное отображение.


1. Если векторы \mathbf{v}_1,\ldots, \mathbf{v}_k линейно зависимы, то их образы также линейно зависимы.


Действительно, если нетривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору: \lambda_1 \mathbf{v}_1+\ldots+\lambda_k \mathbf{v}_k= \boldsymbol{o}_V, то, применяя к обеим частям отображение Л , в силу его линейности с учетом пунктов 1,3 замечаний 9.1, получаем \lambda_1\mathcal{A} (\mathbf{v}_1)+\ldots+ \lambda_k \mathcal{A}(\mathbf{v}_k)= \boldsymbol{o}_V, т.е. равную нулевому вектору нетривиальную линейную комбинацию образов заданных векторов. Значит, образы \mathcal{A}(\mathbf{v}_1),\ldots, \mathcal{A} (\mathbf{v}_k) заданных векторов линейно зависимы.


2. Пусть \mathcal{A}\colon V\to W — сюръективное отображение пространства {v} на пространство {W} и векторы \boldsymbol{w}_1, \ldots,\boldsymbol{w}_k пространства {W} образуют линейно независимую систему. Тогда в пространстве {V} существует такая линейно независимая система векторов \boldsymbol{v}_1, \ldots,\boldsymbol{v}_k, что \mathcal{A} (\boldsymbol{v}_i)=\boldsymbol{w}_i,~ i=1,\ldots,k.


Действительно, в силу сюръективности отображения у векторов \boldsymbol{w}_1,\ldots, \boldsymbol{w}_k найдутся прообразы \boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k. Если система \boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k линейно зависима, то и система \boldsymbol{w}_1,\ldots,\boldsymbol{w}_k была бы линейно зависимой (по свойству 1). Поэтому найденная система прообразов линейно независимая.


3. При линейном сюръективном отображении \mathcal{A}\colon V\to W конечномерного пространства размерность пространства образов не превосходит размерности пространства прообразов, т.е. \dim{W}\leqslant\dim{V}.


В самом деле, в пространстве образов {W} нет линейно независимой системы из большего, чем \dim{V}, количества векторов. Если бы такая система векторов была, то прообразы этих векторов были бы линейно независимы (по свойству 2). Но в пространстве {V}не может быть линейно независимой системы из большего, чем \dim{V}, количества векторов.


4. Композиция линейных отображений является линейным отображением.


Действительно, пусть \mathcal{C}=\mathcal{B}\circ\mathcal{A} — композиция линейных отображений \mathcal{A}\colon U\to V и \mathcal{B}\colon V\to W. Тогда отображение \mathcal{C} аддитивно:


\begin{aligned} \mathcal{C}(u_1+u_2)&= (\mathcal{B}\circ\mathcal{A})(u_1+u_2)= \mathcal{B} (\mathcal{A}(u_1+u_2))= \mathcal{B}(\mathcal{A}(u_1)+\mathcal{A}(u_2))=\\[2pt] &=\mathcal{B}(\mathcal{A}(u_1))+ \mathcal{B}(\mathcal{A}(u_2))= \mathcal{C}(u_1)+ \mathcal{C}(u_2). \end{aligned}

Однородность отображения \mathcal{C} доказывается аналогично.


5. Если линейное отображение \mathcal{A}\colon V\to W обратимое (взаимно однозначное), то обратное отображение \mathcal{A}^{-1}\colon W\to V — линейное.


Докажем, например, аддитивность обратного отображения


\mathcal{A}^{-1}(w_1+w_2)= \mathcal{A}^{-1}(w_1)+ \mathcal{A}^{-1}(w_2).

Обозначим v=\mathcal{A}^{-1}(w_1)+ \mathcal{A}^{-1}(w_2). Тогда в силу линейности \mathcal{A}, получаем


\begin{aligned} \mathcal{A}(v)&= \mathcal{A}\Bigl(\mathcal{A}^{-1}(w_1)+ \mathcal{A}^{-1}(w_2)\Bigr)= \mathcal{A}(\mathcal{A}^{-1}(w_1))+ \mathcal{A}(\mathcal{A}^{-1}(w_2))=\\[2pt] &=(\mathcal{A}\circ\mathcal{A}^{-1})(w_1)+ (\mathcal{A}\circ\mathcal{A}^{-1})(w_2)= \mathcal{E}_W(w_1)+ \mathcal{E}_W(w_2)= w_1+w_2. \end{aligned}

Следовательно, \mathcal{A}^{-1}(w_1+w_2)=v= \mathcal{A}^{-1}(w_1)+ \mathcal{A}^{-1}(w_2), что и требовалось доказать. Однородность обратного отображения доказывается аналогично.


6. Линейное отображение конечномерного пространства однозначно задается образами базисных векторов.


В самом деле, пусть \mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n — базис пространства {V}, а \mathbf{f}_1,\ldots, \mathbf{f}_n — произвольная система векторов пространства {W}. Докажем, что существует единственное линейное отображение \mathcal{A}\colon V\to W, удовлетворяющее условиям \mathcal{A}(\mathbf{e}_i)=\mathbf{f}_i,~ i=1,\ldots,n.


Рассмотрим отображение \mathcal{A}(\mathbf{v})=\sum_{i=1}^{n}v_i \mathbf{f}_i, где v_1,\ldots,v_n — координаты вектора \mathbf{v} в заданном базисе: \mathbf{v}= v_1 \mathbf{e}_1+\ldots+v_n \mathbf{e}_n. Это отображение удовлетворяет заданным условиям, так как \mathcal{A}(\mathbf{e}_i)=\mathbf{f}_i. Покажем, что оно аддитивное и однородное:


\begin{aligned}\mathcal{A}(\mathbf{u}+\mathbf{v})&= \mathcal{A}\Biggl( \sum_{i=1}^{n} (u_i+v_i) \mathbf{e}_i\Biggr)= \sum_{i=1}^{n}(u_1+v_i)\mathbf{f}_i= \sum_{i=1}^{n}u_i \mathbf{f}_i+ \sum_{i=1}^{n}v_i \mathbf{f}_i= \mathcal{A}(\mathbf{u})+ \mathcal{A}(\mathbf{v});\\[5pt] \mathcal{A}(\lambda \mathbf{v})&= \mathcal{A}\Biggl(\sum_{i=1}^{n} (\lambda v_i)\mathbf{e}_i\Biggr)= \sum_{i=1}^{n}(\lambda v_i)\mathbf{f}_i= \lambda\sum_{i=1}^{n} v_i \mathbf{f}_i= \lambda\mathcal{A}(\mathbf{v}).\end{aligned}

Существование доказано. Единственность докажем от противного. Пусть \mathcal{B} — еще одно линейное отображение, удовлетворяющее условиям \mathcal{B}(\mathbf{e}_i)= \mathbf{f}_i. Для любого вектора \mathbf{v}= v_1 \mathbf{e}_1+\ldots+v_n \mathbf{e}_n имеем


\mathcal{B}(\mathbf{v})= \mathcal{B}\Biggl(\sum_{i=1}^{n}v_i \mathbf{e}_i\Biggr)= \sum_{i=1}^{n} v_i\mathcal{B}(\mathbf{e}_i) \sum_{i=1}^{n}v_i \mathbf{f}_i= \mathcal{A} (\mathbf{v}). Следовательно, \mathcal{B}=\mathcal{A}



Линейные операции над линейными отображениями


Суммой отображений \mathcal{A}\colon V\to W и \mathcal{B}\colon V\to W называется отображение, определяемое равенством для всех \boldsymbol{v}\in V.


Произведением отображения \mathcal{A}\colon V\to W на число \lambda называется отображение (\lambda\cdot\mathcal{A})\colon V\to W, определяемое равенством (\lambda\cdot\mathcal{A})(\boldsymbol{v})= \lambda\cdot\mathcal{A} (\boldsymbol{v}) для всех \boldsymbol{v}\in V.


Нетрудно доказать, что сумма линейных отображений и произведение линейного отображения на число являются линейными отображениями.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved