Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Линейные отображения: определение, примеры, свойства
ОглавлениеЛинейная алгебра

Линейные отображения: определение, примеры, свойства


Определение линейных отображений


Напомним основные определения, связанные с понятием отображения (функции, оператора).


Пусть [math]{V}[/math] и [math]{W}[/math] — заданные множества. Говорят, что на множестве [math]{V}[/math] определено отображение (функция) [math]{f}[/math], если каждому элементу [math]{\mathbf{v}\in V}[/math] поставлен в соответствие единственный элемент [math]f(\mathbf{v})[/math] множества [math]{W}[/math]. Такое соответствие называют также отображением множества [math]{V}[/math] в множество [math]{W}[/math] и обозначают [math]f\colon V\to W[/math], или [math]V\mathop{\longrightarrow}\limits^{f}W[/math]. Если отображение [math]{f}[/math] элементу [math]\mathbf{v}\in V[/math] ставит в соответствие элемент [math]{w\in W}[/math], т.е. [math]\mathbf{w}=f(\mathbf{v})[/math], то элемент [math]\mathbf{w}[/math] называется образом [math]\mathbf{v}[/math], а элемент [math]\mathbf{v}[/math] — прообразом [math]\mathbf{w}[/math].


Два отображения [math]f\colon V\to W[/math] и [math]g\colon V\to W[/math] называются равными, если [math]f(\mathbf{v})=g(\mathbf{v})~\forall \mathbf{v}\in V[/math].


Отображение [math]f\colon V\to W[/math] называется:


— инъективным, если разным элементам множества [math]{V}[/math] соответствуют разные образы: [math]v_1\ne v_2~\Rightarrow~ f(v_1)\ne f(v_2)[/math];

— сюръективным, если для каждого элемента из множества [math]{W}[/math] имеется хотя бы один прообраз: [math]\forall w\in W~\exists v\in V\colon w=f(v)[/math];

— биективным (взаимно однозначным), если оно инъективно и сюръективно одновременно.


Сюръективное отображение называется также отображением множества [math]{V}[/math] на множество [math]{W}[/math].


Композицией отображений [math]g\colon U\to V[/math] и [math]f\colon V\to W[/math] называется отображение [math]f\circ g\colon U\to W[/math], определяемое равенством [math](f\circ g)(\mathbf{u})=f(g(\mathbf{u}))[/math].


Отображение [math]\mathcal{E}_V\colon V\to V[/math] называется тождественным, если каждому элементу множества [math]{V}[/math] ставится в соответствие этот же элемент: [math]\mathcal{E}_V (\mathbf{v})=\mathbf{v}~ \forall \mathbf{v}\in V[/math].


Отображение [math]f^{-1}\colon W\to V[/math] называется обратным для отображения [math]f\colon V\to W[/math], если [math]f^{-1}\circ f=\matcal{E}_V\colon V\to V[/math] и [math]f\circ f^{-1}=\mathcal{E}_W\colon W\to W[/math]. Отображение [math]{f}[/math] называется обратимым, если для него существует обратное отображение. Необходимым и достаточным условием обратимости является условие биективности (взаимной однозначности) отображения.


Пусть [math]{V}[/math] и [math]{W}[/math] — линейные пространства (над одним и тем же числовым полем). Отображение [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math] называется линейным, если


1. [math]\matcal{A}(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)= \matcal{A}(\mathbf{v}_1)+ \mathcal{A}(\mathbf{v}_2)~ \forall \mathbf{v}_1\in V,~ \forall \mathbf{v}_2\in V[/math];


2. [math]\mathcal{A}(\lambda\cdot \mathbf{v})= \lambda\cdot \mathcal{A}(\mathbf{v})~ \forall \mathbf{v}\in V[/math] и любого числа [math]\lambda[/math] (из данного числового поля).


Условие 1 называется аддитивностью отображения, а условие 2 — однородностью. Пространство [math]{V}[/math] называется пространством прообразов, а пространство [math]{W}[/math]пространством образов.




Замечания 9.1


1. Линейное отображение [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math] нулевому элементу [math]\boldsymbol{o}_V[/math] пространства [math]{V}[/math] ставит в соответствие нулевой элемент [math]\boldsymbol{o}_W[/math] пространства [math]{W}[/math].


2. Условия аддитивности и однородности можно заменить одним условием линейности отображения:


[math]\mathcal{A}(\lambda_1\cdot v_1+\lambda_2\cdot v_2)= \lambda_1\cdot \mathcal{A}(v_1)+ \lambda_2\cdot\mathcal{A}(v_2)\quad \forall v_1\in V,~ \forall v_2\in V[/math]

и любых чисел [math]\lambda_1[/math] и [math]\lambda_2[/math] из данного числового поля.


3. При линейном отображении образ линейной комбинации является линейной комбинацией образов:


[math]\mathcal{A}\!\Biggl(\sum_{i=1}^{k}\lambda_i \mathbf{v}_i \Biggr)= \sum_{i=1}^{k}\lambda_i \mathcal{A}(\mathbf{v}_i).[/math]

4. Взаимно однозначное линейное отображение является изоморфизмом.




Примеры линейных отображений


1. Обозначим [math]\mathcal{O}\colon V\to W[/math] — нулевое отображение, которое ставит в соответствие любому вектору [math]\mathbf{v}\in V[/math] нулевой элемент [math]\mathbf{o}_W[/math] пространства [math]{W}[/math]. Условия аддитивности и однородности такого отображения, разумеется, выполняются. Это отображение не является инъективным (разным прообразам [math]\mathbf{v}_1[/math] и [math]\mathbf{v}_2[/math] соответствует один и тот же образ [math]\mathbf{o}_W[/math]), не является сюръективным (из всех векторов пространства [math]{W}[/math] только у нулевого имеется прообраз). Поэтому нулевое отображение не является биективным и, следовательно, обратимым.


2. Пусть в n-мерном линейном пространстве [math]V[/math] задан базис [math]\mathbf{e}_1,\ldots, \mathbf{e}_n[/math]. Обозначим [math]\mathsf{a\!e}\colon V\to \mathbb{R}^n[/math] отображение, которое ставит в соответствие каждому вектору [math]\mathbf{v}[/math] его координатный столбец [math]v=\begin{pmatrix} v_1&\cdots&v_n \end{pmatrix}^T[/math] относительно заданного базиса. Такое отображение является линейным, так как при сложении векторов в одном и том же базисе их координаты складываются, а при умножении вектора на число — координаты вектора умножаются на это число. Это отображение является инъективным (разные векторы имеют разные координаты (в одном и том же базисе)), является сюръективным (для любого столбца [math]v=\begin{pmatrix} v_1& \cdots&v_n\end{pmatrix}^T\in \mathbb{R}^n[/math] существует прообраз [math]\mathbf{v}=v_1 \mathbf{e}_1+\ldots+v_n \mathbf{e}_n[/math]. Поэтому отображение [math]\mathsf{a\!e}[/math] биективное и, следовательно, обратимое. Напротив, отображение, которое каждому вектору [math]\mathbf{v}\in V[/math] ставит в соответствие столбец [math]v=\begin{pmatrix}v_1+1& \cdots&v_n+1\end{pmatrix}^T\in \mathbb{R}^n[/math], не является линейным, так как образом нулевого вектора [math]\boldsymbol{o}_V\in V[/math] служит столбец [math]\begin{pmatrix}1&\cdots&1\end{pmatrix}^T\ne o[/math], отличный от нулевого.


3. Пусть в n-мерном евклидовом пространстве [math]\mathbb{E}[/math] задан ненулевой вектор [math]\mathbf{e}\in \mathbb{E}[/math]. Обозначим [math]\operatorname{pr}_{\mathbf{e}} (\mathbf{v})=\frac{\langle \mathbf{e},\mathbf{v}\rangle}{|\mathbf{e}|}[/math]- алгебраическое значение проекции вектора [math]\mathbf{v}\in \mathbb{E}[/math] на направление, задаваемое вектором [math]\mathbf{e}[/math]. Тогда отображение [math]\operatorname{pr}_{\mathbf{e}}\colon \mathbb{E}\to \mathbb{R}[/math] будет линейным, так как скалярное произведение линейно по второму сомножителю. Это отображение не является инъективным (разные векторы могут иметь одну и ту же проекцию), является сюръективным (для любого действительного числа [math]\lambda[/math], задающего величину проекции, найдется прообраз, например вектор [math]\frac{\lambda\cdot \mathbf{e}}{|\mathbf{e}|}[/math]). Поэтому отображение не является биективным и, следовательно, обратимым. Отображение [math]\mathbb{E}\to \mathbb{R}[/math], которое каждому вектору [math]\mathbf{v}\to \mathbb{E}[/math] ставит в соответствие его длину [math]|\mathbf{v}|\in \mathbb{R}[/math] не является линейным, поскольку не выполняется, например, условие однородности: [math]|\lambda \mathbf{v}|\ne \lambda|\mathbf{v}|[/math] для отрицательных [math]\lambda[/math].


4. Пусть [math]P_n(\mathbb{R})[/math] и [math]P_{n-1}(\mathbb{R})[/math] — пространства многочленов с действительными коэффициентами степени не выше [math]n[/math] или [math](n-1)[/math] соответственно. Обозначим через [math]\mathcal{D}(p(x))=\frac{dp(x)}{dx}[/math] производную многочлена [math]p(x)\in P_n(\mathbb{R})[/math]. Тогда отображение (оператор дифференцирования) [math]\mathcal{D}\colon P_n(\mathbb{R})\to P_{n-1}(\mathbb{R})[/math] ставит в соответствие каждому многочлену [math]p(x)\in P_n(\mathbb{R})[/math] его производную, т.е. многочлен из пространства [math]P_{n-1}(\mathbb{R})[/math]. Этот оператор линейный, так как производная суммы равна сумме производных, а производная произведения функции на число равна произведению производной на это число. Оператор дифференцирования не является инъективным (два многочлена, отличающиеся свободными членами имеют одну и ту же производную), является сюръективным (для любого многочлена [math]p_{n-1}(x)[/math] имеется прообраз — многочлен из множества первообразных [math]\textstyle{\int p_{n-1}(x)\,dx+C}[/math], где [math]C[/math] — произвольная постоянная). Поэтому оператор дифференцирования не является биективным и, следовательно, обратимым. Оператор интегрирования [math]\mathcal{I}\colon P_{n-1}(\mathbb{R})\to P_n(\mathbb{R})[/math], который многочлену [math]p_{n-1}(x)\in P_{n-1}(\mathbb{R})[/math] ставит в соответствие многочлен [math]\textstyle{p_n(x)=\int\limits_{0}^{x}p_{n-1}(x)\,dx}[/math], также является линейным. Этот оператор является инъективным (из равенства образов, дифференцируя по верхнему пределу интегрирования, получаем равенство прообразов), не является сюръективным (многочлен с отличным от нуля свободным членом не имеет прообраза). Поэтому оператор интегрирования не является биективным и, следовательно, обратимым.




Свойства линейных отображений


Пусть [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math] — линейное отображение.


1. Если векторы [math]\mathbf{v}_1,\ldots, \mathbf{v}_k[/math] линейно зависимы, то их образы также линейно зависимы.


Действительно, если нетривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору: [math]\lambda_1 \mathbf{v}_1+\ldots+\lambda_k \mathbf{v}_k= \boldsymbol{o}_V[/math], то, применяя к обеим частям отображение Л , в силу его линейности с учетом пунктов 1,3 замечаний 9.1, получаем [math]\lambda_1\mathcal{A} (\mathbf{v}_1)+\ldots+ \lambda_k \mathcal{A}(\mathbf{v}_k)= \boldsymbol{o}_V[/math], т.е. равную нулевому вектору нетривиальную линейную комбинацию образов заданных векторов. Значит, образы [math]\mathcal{A}(\mathbf{v}_1),\ldots, \mathcal{A} (\mathbf{v}_k)[/math] заданных векторов линейно зависимы.


2. Пусть [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math] — сюръективное отображение пространства [math]{v}[/math] на пространство [math]{W}[/math] и векторы [math]\boldsymbol{w}_1, \ldots,\boldsymbol{w}_k[/math] пространства [math]{W}[/math] образуют линейно независимую систему. Тогда в пространстве [math]{V}[/math] существует такая линейно независимая система векторов [math]\boldsymbol{v}_1, \ldots,\boldsymbol{v}_k[/math], что [math]\mathcal{A} (\boldsymbol{v}_i)=\boldsymbol{w}_i,~ i=1,\ldots,k[/math].


Действительно, в силу сюръективности отображения у векторов [math]\boldsymbol{w}_1,\ldots, \boldsymbol{w}_k[/math] найдутся прообразы [math]\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k[/math]. Если система [math]\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k[/math] линейно зависима, то и система [math]\boldsymbol{w}_1,\ldots,\boldsymbol{w}_k[/math] была бы линейно зависимой (по свойству 1). Поэтому найденная система прообразов линейно независимая.


3. При линейном сюръективном отображении [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math] конечномерного пространства размерность пространства образов не превосходит размерности пространства прообразов, т.е. [math]\dim{W}\leqslant\dim{V}[/math].


В самом деле, в пространстве образов [math]{W}[/math] нет линейно независимой системы из большего, чем [math]\dim{V}[/math], количества векторов. Если бы такая система векторов была, то прообразы этих векторов были бы линейно независимы (по свойству 2). Но в пространстве [math]{V}[/math]не может быть линейно независимой системы из большего, чем [math]\dim{V}[/math], количества векторов.


4. Композиция линейных отображений является линейным отображением.


Действительно, пусть [math]\mathcal{C}=\mathcal{B}\circ\mathcal{A}[/math] — композиция линейных отображений [math]\mathcal{A}\colon U\to V[/math] и [math]\mathcal{B}\colon V\to W[/math]. Тогда отображение [math]\mathcal{C}[/math] аддитивно:


[math]\begin{aligned} \mathcal{C}(u_1+u_2)&= (\mathcal{B}\circ\mathcal{A})(u_1+u_2)= \mathcal{B} (\mathcal{A}(u_1+u_2))= \mathcal{B}(\mathcal{A}(u_1)+\mathcal{A}(u_2))=\\[2pt] &=\mathcal{B}(\mathcal{A}(u_1))+ \mathcal{B}(\mathcal{A}(u_2))= \mathcal{C}(u_1)+ \mathcal{C}(u_2). \end{aligned}[/math]

Однородность отображения [math]\mathcal{C}[/math] доказывается аналогично.


5. Если линейное отображение [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math] обратимое (взаимно однозначное), то обратное отображение [math]\mathcal{A}^{-1}\colon W\to V[/math] — линейное.


Докажем, например, аддитивность обратного отображения


[math]\mathcal{A}^{-1}(w_1+w_2)= \mathcal{A}^{-1}(w_1)+ \mathcal{A}^{-1}(w_2).[/math]

Обозначим [math]v=\mathcal{A}^{-1}(w_1)+ \mathcal{A}^{-1}(w_2)[/math]. Тогда в силу линейности [math]\mathcal{A}[/math], получаем


[math]\begin{aligned} \mathcal{A}(v)&= \mathcal{A}\Bigl(\mathcal{A}^{-1}(w_1)+ \mathcal{A}^{-1}(w_2)\Bigr)= \mathcal{A}(\mathcal{A}^{-1}(w_1))+ \mathcal{A}(\mathcal{A}^{-1}(w_2))=\\[2pt] &=(\mathcal{A}\circ\mathcal{A}^{-1})(w_1)+ (\mathcal{A}\circ\mathcal{A}^{-1})(w_2)= \mathcal{E}_W(w_1)+ \mathcal{E}_W(w_2)= w_1+w_2. \end{aligned}[/math]

Следовательно, [math]\mathcal{A}^{-1}(w_1+w_2)=v= \mathcal{A}^{-1}(w_1)+ \mathcal{A}^{-1}(w_2)[/math], что и требовалось доказать. Однородность обратного отображения доказывается аналогично.


6. Линейное отображение конечномерного пространства однозначно задается образами базисных векторов.


В самом деле, пусть [math]\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n[/math] — базис пространства [math]{V}[/math], а [math]\mathbf{f}_1,\ldots, \mathbf{f}_n[/math] — произвольная система векторов пространства [math]{W}[/math]. Докажем, что существует единственное линейное отображение [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math], удовлетворяющее условиям [math]\mathcal{A}(\mathbf{e}_i)=\mathbf{f}_i,~ i=1,\ldots,n[/math].


Рассмотрим отображение [math]\mathcal{A}(\mathbf{v})=\sum_{i=1}^{n}v_i \mathbf{f}_i[/math], где [math]v_1,\ldots,v_n[/math] — координаты вектора [math]\mathbf{v}[/math] в заданном базисе: [math]\mathbf{v}= v_1 \mathbf{e}_1+\ldots+v_n \mathbf{e}_n[/math]. Это отображение удовлетворяет заданным условиям, так как [math]\mathcal{A}(\mathbf{e}_i)=\mathbf{f}_i[/math]. Покажем, что оно аддитивное и однородное:


[math]\begin{aligned}\mathcal{A}(\mathbf{u}+\mathbf{v})&= \mathcal{A}\Biggl( \sum_{i=1}^{n} (u_i+v_i) \mathbf{e}_i\Biggr)= \sum_{i=1}^{n}(u_1+v_i)\mathbf{f}_i= \sum_{i=1}^{n}u_i \mathbf{f}_i+ \sum_{i=1}^{n}v_i \mathbf{f}_i= \mathcal{A}(\mathbf{u})+ \mathcal{A}(\mathbf{v});\\[5pt] \mathcal{A}(\lambda \mathbf{v})&= \mathcal{A}\Biggl(\sum_{i=1}^{n} (\lambda v_i)\mathbf{e}_i\Biggr)= \sum_{i=1}^{n}(\lambda v_i)\mathbf{f}_i= \lambda\sum_{i=1}^{n} v_i \mathbf{f}_i= \lambda\mathcal{A}(\mathbf{v}).\end{aligned}[/math]

Существование доказано. Единственность докажем от противного. Пусть [math]\mathcal{B}[/math] — еще одно линейное отображение, удовлетворяющее условиям [math]\mathcal{B}(\mathbf{e}_i)= \mathbf{f}_i[/math]. Для любого вектора [math]\mathbf{v}= v_1 \mathbf{e}_1+\ldots+v_n \mathbf{e}_n[/math] имеем


[math]\mathcal{B}(\mathbf{v})= \mathcal{B}\Biggl(\sum_{i=1}^{n}v_i \mathbf{e}_i\Biggr)= \sum_{i=1}^{n} v_i\mathcal{B}(\mathbf{e}_i) \sum_{i=1}^{n}v_i \mathbf{f}_i= \mathcal{A} (\mathbf{v}).[/math] Следовательно, [math]\mathcal{B}=\mathcal{A}[/math]



Линейные операции над линейными отображениями


Суммой отображений [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math] и [math]\mathcal{B}\colon V\to W[/math] называется отображение, определяемое равенством для всех [math]\boldsymbol{v}\in V[/math].


Произведением отображения [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math] на число [math]\lambda[/math] называется отображение [math](\lambda\cdot\mathcal{A})\colon V\to W[/math], определяемое равенством [math](\lambda\cdot\mathcal{A})(\boldsymbol{v})= \lambda\cdot\mathcal{A} (\boldsymbol{v})[/math] для всех [math]\boldsymbol{v}\in V[/math].


Нетрудно доказать, что сумма линейных отображений и произведение линейного отображения на число являются линейными отображениями.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved