Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Линейные операции над векторами в координатной форме

Линейные операции над векторами в координатной форме


Равенство векторов и линейные операции (сложение векторов и умножение вектора на число) удобно представлять в координатной форме. При этом справедливы следующие свойства.


1. Равные векторы имеют равные координаты (в одном и том же базисе).

2. Каждая координата суммы векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых.

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению этого числа на соответствующую координату вектора.

4. Каждая координата линейной комбинации векторов равна линейной комбинации соответствующих координат векторов.


Докажем, например, последнее свойство. Проекция линейной комбинации векторов на прямую, содержащую базисный вектор [math]\vec{e}_1[/math], равна линейной комбинации проекций векторов (составляющих линейную комбинацию) на эту прямую. Поэтому абсцисса линейной комбинации векторов равна линейной комбинации абсцисс этих векторов. Аналогичное рассуждение справедливо для ординат и аппликат.




Замечания 1.7


1. Основные теоремы 1.3-1.5 о разложении вектора по базису устанавливают взаимно однозначное соответствие между множеством векторов пространства и множеством их координат в данном базисе. А именно, между векторами на прямой и действительными числами, между векторами на плоскости и упорядоченными парами чисел, между векторами пространства и упорядоченными тройками чисел. Например, при фиксированном базисе [math](\vec{e})=(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)[/math] вектору [math]\vec{a}=x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2+x_3\vec{e}_3[/math] однозначно соответствует упорядоченная тройка чисел [math]x_1,x_2,x_3[/math], и наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел [math]x_1,x_2,x_3[/math] соответствует вектор [math]\vec{a}=x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2+x_3\vec{e}_3[/math], т.е. [math]\vec{a}\mathop{\leftrightarrow}_{(\vec{e})}(x_1,x_2,x_3)[/math]. В частности, если вектор [math]\vec{a}[/math] в базисе [math](\vec{e})=(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)[/math] имеет разложение [math]\vec{a}=2\vec{e}_1-3\vec{e}_2+4\vec{e}_3[/math], то этому вектору соответствует тройка чисел [math](2;-3;4)[/math] и наоборот. Нулевому вектору в любом базисе в пространстве соответствует нулевая тройка [math](0;0;0)[/math].


2. Взаимно однозначное соответствие


(вектор) [math]\leftrightarrow[/math] (его координаты)

сохраняет линейные операции: сумме векторов соответствует сумма их одноименных координат, произведению вектора на число соответствует произведение его координат на это число. Такое взаимно однозначное соответствие называется изоморфизмом.

3. На практике координаты векторов удобно представлять в виде матриц-столбцов (или матриц-строк), которые называются координатными столбцами (координатными строками).


В базисе [math](\vec{e})=(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)[/math] вектору [math]\vec{a}=x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2+x_3\vec{e}_3[/math] соответствует координатный столбец [math]\mathop{a}_{(\vec{e})}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}[/math].


Обозначение базиса [math](\vec{e})[/math] можно не указывать, если не может возникнуть неоднозначности. Линейным операциям над векторами соответствуют линейные операции над их координатными столбцами. Например, если в одном и том же базисе [math](\vec{e})[/math] векторам [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] соответствуют координатные столбцы [math]a[/math] и [math]b[/math], то их линейной комбинации [math]\vec{c}=\alpha\cdot\vec{a}+\beta\cdot\vec{b}[/math] соответствует координатный столбец [math]c=\alpha\cdot a+\beta\cdot b[/math], т.е. координатный столбец линейной комбинации векторов равен линейной комбинации координатных столбцов.




Пример 1.10. Векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] относительно базиса [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math] имеют координаты: [math]2;0;-3[/math] и [math]4;2;-1[/math]. Требуется найти координаты векторов [math]\vec{a}+\vec{b},\,\vec{a}-\vec{b},\,3\cdot\vec{a}+2\cdot\vec{b}[/math] относительно того же базиса.


Решение. Запишем разложения по базису заданных векторов:


[math]\vec{a}=2\cdot\vec{e}_1+0\cdot\vec{e}_2-3\cdot\vec{e}_3;\qquad \vec{a}=4\cdot\vec{e}_1+2\cdot\vec{e}_2-1\cdot\vec{e}_3[/math]

Используя свойства линейных операций, находим разложения по базису [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math] искомых векторов:


[math]\begin{aligned} \vec{a}+\vec{b}&=(2+4)\cdot\vec{e}_1+(0+2)\cdot\vec{e}_2+(-3-1)\cdot\vec{e}_3=6\cdot\vec{e}_1+2\cdot\vec{e}_2-4\cdot\vec{e}_3;\\[4pt] \vec{a}-\vec{b}&=(2-4)\cdot\vec{e}_1+(0-2)\cdot\vec{e}_2+(-3+1)\cdot\vec{e}_3=-2\cdot\vec{e}_1-2\cdot\vec{e}_2-2\cdot\vec{e}_3;\\[4pt] 3\cdot\vec{a}+2\cdot\vec{b}&=3\cdot\bigl(2\cdot\vec{e}_1+0\cdot\vec{e}_2-3\cdot\vec{e}_3\bigl)+2\cdot\bigl(4\cdot\vec{e}_1+2\cdot\vec{e}_2-1\cdot\vec{e}_3\bigl)=\\[2pt] &=14\cdot\vec{e}_1+4\cdot\vec{e}_2-11\cdot\vec{e}_3. \end{aligned}[/math]


Следовательно, векторы [math]\vec{a}+\vec{b},\,\vec{a}-\vec{b},\,3\cdot\vec{a}+2\cdot\vec{b}[/math] имеют координаты: [math](6;2;-4),~(-2;-2;-2),~(14;4;-11)[/math] соответственно.


Вычислим искомые координаты, используя матричную форму записи (см. пункт З замечаний 1.7). Векторам [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] (в заданном базисе) соответствуют координатные столбцы


[math]a=\begin{pmatrix}2\\0\\-3\end{pmatrix}\!,\qquad b=\begin{pmatrix}4\\2\\-1\end{pmatrix}[/math]

Находим координатные столбцы векторов [math]\vec{a}+\vec{b},\,\vec{a}-\vec{b},\,3\cdot\vec{a}+2\cdot\vec{b}[/math]


[math]\begin{gathered}a+b=\begin{pmatrix}2\\0\\-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\2\\-4\end{pmatrix}\!;\qquad a+b=\begin{pmatrix}2\\0\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\-2\end{pmatrix}\!;\\[4pt]3a+2b=3\!\begin{pmatrix}2\\0\\-3\end{pmatrix}+2\!\begin{pmatrix}4\\2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14\\4\\-11\end{pmatrix}\!.\end{gathered}[/math]

Как видим, результаты совпадают.




Пример 1.11. Известны разложения векторов [math]\vec{a}=2\vec{e}_1-\vec{e}_2[/math]; [math]\vec{b}=\vec{e}_1+2\vec{e}_2[/math]; [math]\vec{c}=-4\vec{e}_1+2\vec{e}_2[/math] относительно базиса [math]\vec{e}_1,\,\vec{e}_2[/math] на плоскости.


Разложить вектор [math]\vec{d}[/math]: а) по векторам [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math]; б) по векторам [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{c}[/math].


Решение. а) Требуется представить вектор [math]\vec{d}[/math] в виде линейной комбинации векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math]: [math]\vec{d}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}[/math]. Подставим в это равенство заданные разложения векторов: [math]7\vec{e}_1+4\vec{e}_2=\alpha\bigl(2\vec{e}_1-\vec{e}_2\bigl)+\beta\bigl(\vec{e}_1+2\vec{e}_2\bigl).[/math]. Приводя подобные члены в правой части, имеем [math]7\vec{e}_1+4\vec{e}_2=\bigl(2\alpha+\beta\bigl)+\bigl(-\alpha+2\beta)\vec{e}_2.[/math]. Так как обе части равенства это разложения равных векторов по одному и тому же базису, то можно приравнять соответствующие координаты.


Получим систему уравнений [math]\begin{cases} 7=2\alpha+\beta,\\ 4=-\alpha+2\beta. \end{cases}[/math]


Решая систему, находим [math]\alpha=2,~\beta=3[/math], т.е. [math]\vec{d}=2\vec{a}+3\vec{b}[/math] — искомое разложение.


б) Требуется представить вектор [math]\vec{d}[/math] в виде линейной комбинации векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{c}[/math]: [math]\vec{d}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{c}[/math]. Запишем это равенство в матричной форме [math]d=\alpha\,a+\beta\,c[/math], заменив векторы их координатными столбцами:


[math]\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}=\alpha\!\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}+\beta\!\begin{pmatrix}-4\\2\end{pmatrix},[/math] которое равносильно системе уравнений [math]\begin{cases}7=2\alpha-4\beta,\\4=-\alpha+2\beta.\end{cases}[/math].

Эта система не имеет решения (прибавив к первому уравнению удвоенное второе, получим неверное равенство [math]15=0[/math]). Следовательно, вектор [math]\vec{d}[/math] нельзя разложить по векторам [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{c}[/math] (заметим, что векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{c}[/math] коллинеарны [math](\vec{c}=-2\vec{a})[/math], а вектор [math]\vec{d}[/math] не коллинеарен им).


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved