Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Линейные операции над векторами

Линейные операции над векторами


Сложение векторов


Пусть даны два вектора [math]\overrightarrow{AB}[/math] и [math]\overrightarrow{CD}[/math]. Приложим вектор [math]\overrightarrow{CD}[/math] к точке [math]B[/math] (концу вектора [math]\overrightarrow{AB}[/math]) и получим вектор [math]\overrightarrow{BD_1}=\overrightarrow{CD}[/math] (рис.1.7,а; здесь и далее равные векторы отмечены одинаковыми засечками). Вектор [math]\overrightarrow{AD_1}[/math] называется суммой векторов [math]\overrightarrow{AB}[/math] и [math]\overrightarrow{CD}[/math] и обозначается [math]\overrightarrow{AD_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}[/math]. Это нахождение суммы называется правилом треугольника.


Сумму двух неколлинеарных векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] можно найти по правилу параллелограмма. Для этого откладываем от любой точки [math]O[/math] векторы [math]\overrightarrow{OA}=\vec{a}[/math] и [math]\overrightarrow{OB}=\vec{b}[/math], а затем строим параллелограмм [math]OACB[/math] (рис. 1.7,6). Диагональ [math]OC[/math] параллелограмма определяет сумму:


[math]\overrightarrow{OC}= \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}= \vec{a}+\vec{b}\,.[/math]

Для нахождения суммы нескольких векторов можно построить ломаную из равных им векторов. Тогда замыкающий вектор, соединяющий начало первого вектора ломаной с концом последнего ее вектора, равен сумме всех векторов ломаной. На рис.1.7,в изображена сумма [math]\vec{e}[/math] четырех векторов [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}[/math]. Таким способом (правило ломаной) можно сложить любое конечное число векторов. Заметим, что сумма векторов не зависит от точек приложения слагаемых и от порядка суммирования. Например, "выстраивая цепочку" векторов для суммы в виде [math]\vec{b}+\vec{d}+\vec{c}+\vec{a}[/math], получим вектор, равный вектору [math]\vec{e}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}[/math]. Если ломаная получилась замкнутой, то сумма равна нулевому вектору.


Сложение векторов (правило ломаной)



Вычитание векторов


Вектор [math]-\vec{a}[/math] называется противоположным вектору [math]\vec{a}[/math], если их сумма равна нулевому вектору: [math]\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{o}[/math]. Противоположный вектор [math](-\vec{a})[/math] имеет длину [math]|\vec{a}|[/math], коллинеарен и противоположно направлен вектору [math]\vec{a}[/math] (рис.1.8,а,б). Нулевой вектор является противоположным самому себе.


Вычитание векторов

Разностью векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] называется сумма вектора [math]\vec{a}[/math] с вектором [math](-\vec{b})[/math], противоположным вектору [math]\vec{b}[/math]:


[math]\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b}).[/math]

Для нахождения разности векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] приложим к произвольной точке [math]O[/math] векторы [math]\overrightarrow{OA}=\vec{a}[/math] и [math]\overrightarrow{OB}=\vec{b}[/math], а также вектор [math]\overrightarrow{OB_1}=-\overrightarrow{OB}=-\vec{b}[/math], противоположный вектору [math]\vec{b}[/math] (рис.1.9,а). Искомую разность находим по правилу параллелограмма:


[math]\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB_1}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\vec{a}-\vec{b}.[/math]

Для нахождения разности проще использовать правило треугольника (рис. 1.9,6). Для этого прикладываем к произвольной точке [math]O[/math] векторы [math]\overrightarrow{OA}=\vec{a}[/math] и [math]\overrightarrow{OB}=\vec{b}[/math]. Вектор [math]\overrightarrow{BA}[/math] при этом равен искомой разности


[math]\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\vec{a}-\vec{b}\,.[/math]

Вычитание векторов — действие, обратное сложению — можно определить также следующим образом: разностью векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] называется такой вектор [math]\vec{x}[/math], который в сумме с вектором [math]\vec{b}[/math] дает вектор [math]\vec{a}[/math] (рис.1.9,в), т.е. разность [math]\vec{x}=\vec{a}-\vec{b}[/math] — это решение линейного векторного уравнения [math]\vec{x}+\vec{b}=\vec{a}[/math].


Разность векторов



Пример 1.2. Для векторов, изображённых на рис. 1.6 (в конце), найти следующие суммы и разности:


[math]\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{AM};\quad \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{BL};\quad \overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AM};\quad \overrightarrow{BN}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CL}.[/math]

Решение. Учитывая равенство [math]\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NL}[/math], получаем по правилу треугольника [math]\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{NL}=\overrightarrow{BL}[/math].


Поскольку [math]\overrightarrow{BL}=-\overrightarrow{CL}[/math] и [math]\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MC}[/math], то [math]\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BL}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CL}=\overrightarrow{ML}[/math].


По правилу параллелограмма [math]\overrightarrow{AN}+ \overrightarrow{AM}= \overrightarrow{AL}[/math]. Так как [math]\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BL}[/math] и [math]\overrightarrow{CL}=-\overrightarrow{BL}[/math], находим


[math]\overrightarrow{BN}+ \overrightarrow{AM}+ \overrightarrow{CL}= \underbrace{\overrightarrow{BN}+ \overrightarrow{AM}}_{\overrightarrow{BL}}+ \underbrace{\overrightarrow{CL}}_{-\overrightarrow{BL}}= \overrightarrow{BL}-\overrightarrow{BL}= \vec{o}[/math]



Умножение вектора на число


Произведением ненулевого вектора [math]\vec{a}[/math] на действительное число [math]\lambda~(\lambda\ne0)[/math] называется вектор [math]\lambda\cdot\vec{a}[/math], удовлетворяющий условиям:


1) длина вектора [math]\lambda\cdot\vec{a}[/math] равна [math]|\lambda|\cdot|\vec{a}|[/math], т.е. [math]|\lambda\cdot\vec{a}|=|\lambda|\cdot|\vec{a}|[/math];

2) векторы [math]\lambda\cdot\vec{a}[/math] и [math]\vec{a}[/math] коллинеарные [math](\lambda\cdot\vec{a}\parallel\vec{a})[/math];

3) векторы [math]\lambda\cdot\vec{a}[/math] и [math]\vec{a}[/math] одинаково направлены, если [math]\lambda>0[/math], и противоположно направлены, если [math]\lambda<0[/math].


Произведение нулевого вектора на любое число [math]\lambda[/math] считается (по определению) нулевым вектором: [math]\lambda\cdot\vec{o}=\vec{o}[/math]; произведение любого вектора на число нуль также считается нулевым вектором: [math]0\cdot\vec{a}=\vec{o}[/math]. Из определения произведения следует, что:


а) при умножении на единицу [math]\lambda=1[/math] вектор не изменяется: [math]1\cdot\vec{a}=\vec{a}[/math];

б) при умножении вектора на [math]-1[/math] получается противоположный вектор: [math](-1)\cdot\vec{a}=-\vec{a}[/math];

в) деление вектора на отличное от нуля число [math]\mu[/math] сводится к его умножению на число [math]\lambda=\frac{1}{\mu}[/math], обратное [math]\mu\colon\frac{\vec{a}}{\mu}=\frac{1}{\mu}\cdot\vec{a}[/math].

г) при делении ненулевого вектора [math]\vec{a}[/math] на его длину, т.е. при умножении [math]\vec{a}[/math] на число [math]\frac{1}{|\vec{a}|}[/math] получаем единичный вектор, одинаково направленный с вектором [math]\vec{a}[/math].


Действительно, длина вектора [math]\vec{e}=\frac{1}{|\vec{a}|}=\vec{a}[/math] равна единице: [math]|\vec{e}|=\frac{1}{|\vec{a}|}\cdot|\vec{a}|=1[/math].


Вектор [math]\vec{e}[/math] коллинеарен и одинаково направлен с вектором [math]\vec{a}[/math], так как [math]\lambda=\frac{1}{|\vec{a}|}>0[/math];


д) при умножении единичного вектора на число [math]\lambda[/math] получаем коллинеарный ему вектор, длина которого равна [math]|\lambda|[/math].


На рис.1.10 изображены векторы, получающиеся в результате умножения данного вектора [math]\vec{a}[/math] на [math]\lambda=\pm2[/math] и [math]\lambda=\pm\frac{1}{2}[/math], а также противоположный вектор [math]-\vec{a}=(-1)\cdot\vec{a}[/math].


Коллинеарные вектора



Свойства линейных операций над векторами


Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами. Для любых векторов [math]\vec{a}[/math], [math]\vec{b}[/math], [math]\vec{c}[/math] и любых действительных чисел [math]\alpha,\beta[/math] справедливы равенства:


[math]\begin{aligned} &1.~\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a};\\[3pt] &2.~(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c});\\[3pt] &3.~\vec{a}+\vec{o}=\vec{a};\\[3pt] &4.~\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{o};\\[3pt] &5.~(\alpha\beta)\cdot\vec{a}=\alpha(\beta\cdot\vec{a});\\[3pt] &6.~(\alpha+\beta)\cdot\vec{a}=\alpha\cdot{a}+\beta\cdot\vec{a};\\[3pt] &7.~\alpha\cdot(\vec{a}+\vec{b})=\alpha\cdot\vec{a}+\alpha\cdot\vec{b};\\[3pt] &8.~1\cdot\vec{a}=\vec{a}. \end{aligned}[/math]


Свойства 1, 2 выражают коммутативность и ассоциативность операции сложения векторов, свойство 5 — ассоциативность операции умножения на число, свойства 6,7 — законы дистрибутивности, свойство 8 называется унитарностью.


Свойства линейных операций устанавливают такие же правила действия с векторами, как с алгебраическими выражениями.




Линейные комбинации векторов


Применяя линейные операции, можно составлять суммы векторов, умноженных на числа.


Вектор [math]\vec{a}[/math] называется линейной комбинацией векторов [math]\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k[/math], если он может быть представлен в виде


[math]\vec{a}=\alpha_1\vec{a}_1+\alpha_2\vec{a}_2+\cdots+\alpha_k\vec{a}_k=\sum_{n=1}^{k}\alpha_n\vec{a}_n[/math],

где [math]\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k[/math] — некоторые числа. В этом случае говорят, что вектор [math]\vec{a}[/math] разложен по векторам [math]\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k[/math], а числа [math]\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k[/math] называют коэффициентами разложения.


Линейная комбинация [math]0\cdot\vec{a}_1+0\cdot\vec{a}_2+\cdots+0\cdot\vec{a}_k[/math] с нулевыми коэффициентами называется тривиальной.


Отметим следующие свойства линейных комбинаций векторов:


1. Если векторы [math]\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k[/math] — коллинеарны, то любая их линейная комбинация им коллинеарна.

2. Если векторы [math]\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k[/math] — компланарны, то любая их линейная комбинация им компланарна.


Докажем, например, первое свойство. При умножении вектора на число получаем (по определению) вектор, колпинеарный данному. При сложении двух векторов, параллельных некоторой прямой, получаем (по определению) вектор, параллельный той же самой прямой. Поэтому линейная комбинация [math]\alpha_1\vec{a}_1+\alpha_2\vec{a}_2[/math] двух коллинеарных векторов [math]\vec{a}_1[/math] и [math]\vec{a}_2[/math] коллинеарна им. По индукции свойство распространяется на любое конечное число коллинеарных
векторов.


Аналогично доказывается второе свойство.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved