Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Линейные операции над матрицами

Линейные операции над матрицами


Определение матрицы


Рассмотрим важные математические объекты — матрицы.


Матрицей размером [math]m\times n[/math] называется совокупность [math]m\cdot n[/math] чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из [math]m[/math] строк и [math]n[/math] столбцов:


[math]A=\begin{pmatrix}a_{12}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}[/math] или [math]A=(a_{ij}),~i=1,\ldots,m;~j=1,\ldots,n.[/math]

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы: [math]a_{ij}[/math] — элемент матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы. Всюду далее предполагаются, что элементы матриц являются действительными числами, если не оговорено противное.


Пример 1.1. Определить размеры матриц


[math]A= \begin{pmatrix}1&0\\2&3\\4&2\end{pmatrix}\!,\quad B= \begin{pmatrix}1&0&4&2\\3&6&8&1\end{pmatrix}\!,\quad c= \begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}\!,\quad d= \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\!,[/math]

Решение. Матрица [math]A[/math] имеет размеры [math]3\times 2[/math], а матрица [math]B-2\times 4,~c-1\times 3,~d-2\times 1[/math].


Две матрицы [math]A[/math] и [math]B[/math] называются равными [math](A=B)[/math], если они имеют одинаковые размеры [math](m\times n)[/math] и равные соответствующие элементы: [math]a_{ij}=b_{ij},~i=1,\ldots,m;~j=1,\ldots,n[/math].




Типы и виды матриц


Виды диагональных матриц

В общем случае матрицу (размеров [math]m\times n[/math]) называют прямоугольной. В частности, если матрица состоит из одного столбца [math](n=1)[/math] или одной строки [math](m=1)[/math], то она называется матрицей-столбцом или матрицей-строкой (либо просто столбцом или строкой) соответственно. Матрицы-строки или матрицы-столбцы часто обозначают строчными буквами (в примере 1.1: [math]C[/math] — строка, [math]D[/math] — столбец). Матрица размеров [math]1\times 1[/math] — это просто число (единственный элемент матрицы).


Если у матрицы количество строк [math](m)[/math] равно количеству столбцов [math](n)[/math], то матрицу называют квадратной (n-го порядка). Элементы [math]a_{11},a_{22},\ldots,a_{nn}[/math] образуют главную диагональ квадратной матрицы (ей соответствует штриховая линия на рис. 1.1, соединяющая левый верхний угол матрицы (элемент [math]a_{11}[/math]) с правым нижним углом (элемент [math]a_{nn}[/math])). Диагональ, соединяющая левый нижний угол (элемент [math]a_{n1}[/math]) с правым верхним углом (элемент [math]a_{1n}[/math]), называется побочной.


Квадратная матрица вида


[math]A=\begin{pmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\\ 0&a_{22}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\!,[/math]

у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной и обозначается [math]\operatorname{diag}(a_{11},a_{22},\ldots,a_{nn})[/math]. Частным случаем диагональной матрицы служит квадратная матрица


[math]E=\begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{pmatrix}\!,[/math]

которая называется единичной (n-го порядка) и обозначается [math]E[/math] (или [math]E_n[/math]).

Диагональная, верхняя и нижняя треугольные матрицы

Если все элементы квадратной матрицы, расположенные ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, то матрицу называют верхней треугольной (нижней треугольной). На рис. 1.2 изображены диагональная и треугольные матрицы (здесь и далее будем полагать, что в частях матрицы, помеченных символом [math]O[/math], все элементы равны нулю, а в частях, помеченных символом * и линиями, элементы матрицы могут быть произвольными). Заметим, что диагональная матрица, в частности единичная, является одновременно верхней и нижней треугольной.


Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.




Пример 1.2. Определить типы матриц


[math]\begin{gathered}A=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&4&5\\0&0&9\end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\!,\quad D=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\!,\quad E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\!,\\[3pt] F=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!,\quad G=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&3&0\\4&5&6\end{pmatrix}\!,\quad H=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!.\end{gathered}[/math]

Решение. Матрица [math]A[/math] — прямоугольная размеров [math]2\times 3[/math], нулевая; матрица [math]B[/math] -верхняя треугольная третьего порядка; [math]C[/math] — нижняя треугольная второго порядка; [math]D[/math] — квадратная второго порядка, нулевая; [math]E[/math] — единичная второго порядка; [math]F[/math] — единичная третьего порядка; [math]G[/math] — нижняя треугольная третьего порядка; [math]H[/math] — диагональная третьего порядка.




Сложение матриц


Пусть [math]A=(a_{ij})[/math] и [math]B=(b_{ij})[/math] — матрицы одинаковых размеров [math]m\times n[/math]. Матрица [math]C=(c_{ij})[/math] тех же размеров [math]m\times n[/math] называется суммой матриц [math]A[/math] и [math]B[/math], если ее элементы равны сумме соответствующих элементов матриц [math]A[/math] и [math]B[/math]: [math]c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}[/math] [math]i=1,\ldots,m;[/math] [math]j=1,\ldots,n[/math]. Сумма матриц обозначается [math]C=A+B[/math]. Операция сложения матриц определена только для матриц одинаковых размеров и выполняется поэлементно:


[math]\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ b_{21}&b_{22} &\cdots&b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{m1}&b_{m2}&\cdots&b_{mn}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12} &\cdots&a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots&a_{2n}+b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots&a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}\!.[/math]

Из определения следует, что складывать можно только матрицы одинаковых размеров. Нельзя, например, найти суммы вида


[math]\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}[/math] или [math]\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\!.[/math]



Пример 1.3. Найти сумму двух матриц [math]A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}\!,~B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\0&0\end{pmatrix}[/math].


Решение. Складывая соответствующие элементы матриц, получаем


[math]C= \underbrace{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}_{(3\times2)}+ \underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\0&0\end{pmatrix}}_{(3\times2)}= \underbrace{\begin{pmatrix}1+0&2+1\\3+1&4+0\\5+0&6+0\end{pmatrix}}_{(3\times2)}= \begin{pmatrix}1&3\\4&4\\5&6\end{pmatrix}\!.[/math]



Умножение матрицы на число


Произведением матрицы [math]A=(a_{ij})[/math] на число [math]\lambda[/math] называется матрица [math]C=(c_{ij})[/math] тех же размеров, что и матрица [math]A[/math], каждый элемент которой равен произведению числа [math]\lambda[/math] на соответствующий элемент матрицы [math]A:[/math]


[math]c_{ij}=\lambda\,a_{ij},\quad i=1,\ldots,m;~j=1,\cdots,n.[/math]

Произведение обозначается [math]\lambda A[/math] или [math]A\lambda[/math]. Операция умножения матрицы на число выполняется поэлементно:


[math]\lambda\! \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda a_{11}& \lambda a_{12}&\cdots&\lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21}&\lambda a_{22}&\cdots&\lambda a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \lambda a_{m1}&\lambda a_{m1}&\cdots&\lambda a_{mn}\end{pmatrix}\!.[/math]

Умножить на число можно любую матрицу, при этом каждый ее элемент умножается на это число.


Пример 1.4. Найти произведение матрицы [math]A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}[/math] на число 2.


Решение. Умножая на 2 каждый элемент матрицы [math]A[/math], получаем


[math]C=2\cdot A=A\cdot 2=2\cdot \begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\cdot2&2\cdot2\\3\cdot2&4\cdot2\\5\cdot2&6\cdot2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&4\\6&8\\10&12\end{pmatrix}\!.[/math]



Матрица [math](-1)\cdot A[/math] называется противоположной матрице [math]A[/math] и обозначается [math](-A)[/math]. Сумма матриц [math]B[/math] и [math](-A)[/math] называется разностью матриц и обозначается [math]B-A[/math]. Для нахождения разности матриц [math]B-A[/math] следует из элементов матрицы [math]B[/math] вычесть соответствующие элементы матрицы [math]A[/math]. Вычитать можно только матрицы одинаковых размеров.


Пример 1.5. Даны матрицы [math]\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}\!,~B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\0&0\end{pmatrix}[/math]. Найти разности [math]B-A[/math] и [math]A-B[/math].


Решение. Вычитая друг из друга соответствующие элементы, находим


[math]B-A=\begin{pmatrix}0-1&1-2\\1-3&0-4\\0-5&0-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-1\\-2&-4\\-5&-6\end{pmatrix}\!,\quad A-B=\begin{pmatrix}1-0&2-1\\3-1&4-0\\5-0&6-0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&1\\2&4\\5&6\end{pmatrix}\!.[/math]



Свойства линейных операций над матрицами


Операции сложения матриц и умножения матрицы на число называются линейными операциями над матрицами. Непосредственно из определений вытекают следующие свойства линейных операций.


Для любых матриц [math]A,B,C[/math] одинаковых размеров и любых чисел [math]\alpha,\beta[/math] справедливы равенства:


1. [math]A+B=B+A[/math] (коммутативность сложения);


2. [math](A+B)+C=A+(B+C)[/math] (ассоциативность сложения);


3. существует нулевая матрица [math]O[/math] (тех же размеров, что и [math]A[/math]): [math]A+O=A[/math];


4. существует матрица [math](-A)[/math], противоположная матрице [math]A\colon\,A+(-A)=O[/math];


5. [math]\alpha (A+B)=\alpha\,A+\alpha\,B[/math];


6. [math](\alpha+\beta)A=\alpha\,A+\beta\,A[/math];


7. [math](\alpha\,\beta)A=\alpha (\beta\,A)[/math];


8. [math]1\cdot A=A[/math].


Замечание 1.1. Свойства 5 и 6 определяют законы дистрибутивности: умножение матрицы на число дистрибутивно по отношению к сложению матриц (свойство 5); умножение матрицы на число дистрибутивно по отношению к сложению чисел (свойство 6).


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved