Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Линейные операции над матрицами

Линейные операции над матрицами


Определение матрицы


Рассмотрим важные математические объекты — матрицы.


Матрицей размером m\times n называется совокупность m\cdot n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов:


A=\begin{pmatrix}a_{12}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix} или A=(a_{ij}),~i=1,\ldots,m;~j=1,\ldots,n.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы: a_{ij} — элемент матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы. Всюду далее предполагаются, что элементы матриц являются действительными числами, если не оговорено противное.


Пример 1.1. Определить размеры матриц


A= \begin{pmatrix}1&0\\2&3\\4&2\end{pmatrix}\!,\quad B= \begin{pmatrix}1&0&4&2\\3&6&8&1\end{pmatrix}\!,\quad c= \begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}\!,\quad d= \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\!,

Решение. Матрица A имеет размеры 3\times 2, а матрица B-2\times 4,~c-1\times 3,~d-2\times 1.


Две матрицы A и B называются равными (A=B), если они имеют одинаковые размеры (m\times n) и равные соответствующие элементы: a_{ij}=b_{ij},~i=1,\ldots,m;~j=1,\ldots,n.




Типы и виды матриц


Виды диагональных матриц

В общем случае матрицу (размеров m\times n) называют прямоугольной. В частности, если матрица состоит из одного столбца (n=1) или одной строки (m=1), то она называется матрицей-столбцом или матрицей-строкой (либо просто столбцом или строкой) соответственно. Матрицы-строки или матрицы-столбцы часто обозначают строчными буквами (в примере 1.1: C — строка, D — столбец). Матрица размеров 1\times 1 — это просто число (единственный элемент матрицы).


Если у матрицы количество строк (m) равно количеству столбцов (n), то матрицу называют квадратной (n-го порядка). Элементы a_{11},a_{22},\ldots,a_{nn} образуют главную диагональ квадратной матрицы (ей соответствует штриховая линия на рис. 1.1, соединяющая левый верхний угол матрицы (элемент a_{11}) с правым нижним углом (элемент a_{nn})). Диагональ, соединяющая левый нижний угол (элемент a_{n1}) с правым верхним углом (элемент a_{1n}), называется побочной.


Квадратная матрица вида


A=\begin{pmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\\ 0&a_{22}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\!,

у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной и обозначается \operatorname{diag}(a_{11},a_{22},\ldots,a_{nn}). Частным случаем диагональной матрицы служит квадратная матрица


E=\begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{pmatrix}\!,

которая называется единичной (n-го порядка) и обозначается E (или E_n).


Диагональная, верхняя и нижняя треугольные матрицы

Если все элементы квадратной матрицы, расположенные ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, то матрицу называют верхней треугольной (нижней треугольной). На рис. 1.2 изображены диагональная и треугольные матрицы (здесь и далее будем полагать, что в частях матрицы, помеченных символом O, все элементы равны нулю, а в частях, помеченных символом * и линиями, элементы матрицы могут быть произвольными). Заметим, что диагональная матрица, в частности единичная, является одновременно верхней и нижней треугольной.


Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.




Пример 1.2. Определить типы матриц


\begin{gathered}A=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&4&5\\0&0&9\end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\!,\quad D=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\!,\quad E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\!,\\[3pt] F=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!,\quad G=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&3&0\\4&5&6\end{pmatrix}\!,\quad H=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!.\end{gathered}

Решение. Матрица A — прямоугольная размеров 2\times 3, нулевая; матрица B -верхняя треугольная третьего порядка; C — нижняя треугольная второго порядка; D — квадратная второго порядка, нулевая; E — единичная второго порядка; F — единичная третьего порядка; G — нижняя треугольная третьего порядка; H — диагональная третьего порядка.




Сложение матриц


Пусть A=(a_{ij}) и B=(b_{ij}) — матрицы одинаковых размеров m\times n. Матрица C=(c_{ij}) тех же размеров m\times n называется суммой матриц A и B, если ее элементы равны сумме соответствующих элементов матриц A и B: c_{ij}=a_{ij}+b_{ij} i=1,\ldots,m; j=1,\ldots,n. Сумма матриц обозначается C=A+B. Операция сложения матриц определена только для матриц одинаковых размеров и выполняется поэлементно:


\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ b_{21}&b_{22} &\cdots&b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{m1}&b_{m2}&\cdots&b_{mn}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12} &\cdots&a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots&a_{2n}+b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots&a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}\!.

Из определения следует, что складывать можно только матрицы одинаковых размеров. Нельзя, например, найти суммы вида


\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix} или \begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\!.



Пример 1.3. Найти сумму двух матриц A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}\!,~B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\0&0\end{pmatrix}.


Решение. Складывая соответствующие элементы матриц, получаем


C= \underbrace{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}_{(3\times2)}+ \underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\0&0\end{pmatrix}}_{(3\times2)}= \underbrace{\begin{pmatrix}1+0&2+1\\3+1&4+0\\5+0&6+0\end{pmatrix}}_{(3\times2)}= \begin{pmatrix}1&3\\4&4\\5&6\end{pmatrix}\!.



Умножение матрицы на число


Произведением матрицы A=(a_{ij}) на число \lambda называется матрица C=(c_{ij}) тех же размеров, что и матрица A, каждый элемент которой равен произведению числа \lambda на соответствующий элемент матрицы A:


c_{ij}=\lambda\,a_{ij},\quad i=1,\ldots,m;~j=1,\cdots,n.

Произведение обозначается \lambda A или A\lambda. Операция умножения матрицы на число выполняется поэлементно:


\lambda\! \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda a_{11}& \lambda a_{12}&\cdots&\lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21}&\lambda a_{22}&\cdots&\lambda a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \lambda a_{m1}&\lambda a_{m1}&\cdots&\lambda a_{mn}\end{pmatrix}\!.

Умножить на число можно любую матрицу, при этом каждый ее элемент умножается на это число.


Пример 1.4. Найти произведение матрицы A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix} на число 2.


Решение. Умножая на 2 каждый элемент матрицы A, получаем


C=2\cdot A=A\cdot 2=2\cdot \begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\cdot2&2\cdot2\\3\cdot2&4\cdot2\\5\cdot2&6\cdot2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&4\\6&8\\10&12\end{pmatrix}\!.



Матрица (-1)\cdot A называется противоположной матрице A и обозначается (-A). Сумма матриц B и (-A) называется разностью матриц и обозначается B-A. Для нахождения разности матриц B-A следует из элементов матрицы B вычесть соответствующие элементы матрицы A. Вычитать можно только матрицы одинаковых размеров.


Пример 1.5. Даны матрицы \begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}\!,~B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\0&0\end{pmatrix}. Найти разности B-A и A-B.


Решение. Вычитая друг из друга соответствующие элементы, находим


B-A=\begin{pmatrix}0-1&1-2\\1-3&0-4\\0-5&0-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-1\\-2&-4\\-5&-6\end{pmatrix}\!,\quad A-B=\begin{pmatrix}1-0&2-1\\3-1&4-0\\5-0&6-0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&1\\2&4\\5&6\end{pmatrix}\!.



Свойства линейных операций над матрицами


Операции сложения матриц и умножения матрицы на число называются линейными операциями над матрицами. Непосредственно из определений вытекают следующие свойства линейных операций.


Для любых матриц A,B,C одинаковых размеров и любых чисел \alpha,\beta справедливы равенства:


1. A+B=B+A (коммутативность сложения);


2. (A+B)+C=A+(B+C) (ассоциативность сложения);


3. существует нулевая матрица O (тех же размеров, что и A): A+O=A;


4. существует матрица (-A), противоположная матрице A\colon\,A+(-A)=O;


5. \alpha (A+B)=\alpha\,A+\alpha\,B;


6. (\alpha+\beta)A=\alpha\,A+\beta\,A;


7. (\alpha\,\beta)A=\alpha (\beta\,A);


8. 1\cdot A=A.


Замечание 1.1. Свойства 5 и 6 определяют законы дистрибутивности: умножение матрицы на число дистрибутивно по отношению к сложению матриц (свойство 5); умножение матрицы на число дистрибутивно по отношению к сложению чисел (свойство 6).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved