Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Линейные операторы (преобразования)

Линейные операторы (преобразования)


Определение линейных операторов (преобразований)


Линейным преобразованием (линейным оператором) линейного пространства [math]{V}[/math] называется линейное отображение [math]\mathcal{A}\colon V\to V[/math] пространства [math]{V}[/math] в себя.


Поскольку линейное преобразование является частным случаем линейного отображения, к нему применимы все понятия и свойства, рассмотренные для отображений: инъективность, сюръективность, биективность, обратимость, ядро, образ, дефект, ранг и т.д.


Матрицей линейного оператора (преобразования) [math]\mathcal{A}\colon V\to V[/math] в базисе [math]\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n[/math] пространства [math]{V}[/math] называется квадратная матрица [math]A[/math], составленная из координатных столбцов образов базисных векторов [math]\mathcal{A}(\mathbf{e}_1),\ldots,\mathcal{A}(\mathbf{e}_n)[/math], найденных относительно базиса [math]\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n[/math].


Матрица биективного линейного оператора (преобразования) обратима, т.е. невырождена. Поэтому биективное (обратимое) преобразование называют также невырожденным.




Примеры линейных операторов (преобразований)


1. Обозначим [math]\mathcal{O}\colon V\to V[/math] — нулевое преобразование n-мерного пространства [math]{V}[/math], которое ставит в соответствие любому вектору [math]\mathbf{v}\in V[/math] нулевой элемент [math]\boldsymbol{o}[/math] пространства [math]{V}[/math]. Это преобразование не является инъективным, сюръективным, биективным, обратимым. Матрица нулевого преобразования (в любом базисе) нулевая, ядро преобразования [math]\ker \mathcal{O}=V[/math], образ преобразования [math]\operatorname{im} \mathcal{O}=\{\boldsymbol{o}\}[/math], дефект [math]d=n[/math], ранг [math]r=0[/math].


2. Обозначим [math]\mathcal{E}\colon V\to V[/math] — тождественное преобразование n-мерного пространства [math]{V}[/math], которое ставит в соответствие каждому вектору [math]\mathbf{v}\in V[/math] этот же вектор [math]\mathcal{E}(\mathbf{v})=\mathbf{v}[/math]. Это преобразование является инъективным, сюръективным, биективным, обратимым. Матрица тождественного преобразования (в любом базисе) единичная n-го порядка, ядро преобразования [math]\ker \mathcal{E}=\{\boldsymbol{o}\}[/math], образ преобразования [math]\operatorname{im} \mathcal{E}=V[/math], дефект [math]d=0[/math], ранг [math]r=n[/math].


3. Обозначим [math]\mathcal{Z}_{\boldsymbol{o}}\colon V\to V[/math] — центральную симметрию n-мерного пространства [math]V[/math] (относительно нулевого вектора [math]\boldsymbol{o}[/math]), т.е. преобразование, которое каждому вектору ставит в соответствие противоположный ему вектор: [math]\mathcal{Z}_{\boldsymbol{o}}(\mathbf{v})=-\mathbf{v}[/math]. Это преобразование линейное, инъективное, сюръективное, биективное, обратимое. Матрица преобразования противоположна единичной (в любом базисе): [math]Z_0=E[/math]; ядро преобразования [math]\ker \mathcal{Z}_{\boldsymbol{o}}=\{\boldsymbol{o}\}[/math], образ преобразования [math]\operatorname{im} \mathcal{Z}_{\boldsymbol{o}}=V[/math], дефект [math]d=o[/math], ранг [math]r=n[/math].


4. Обозначим [math]\mathcal{H}_{\lambda}\colon V\to V[/math] — гомотетию n-мерного пространства [math]{V}[/math] (с коэффициентом [math]\lambda[/math]), т.е. преобразование, которое каждому вектору ставит в соответствие коллинеарный ему вектор: [math]\mathcal{H}_{\lambda} (\mathbf{v})=\lambda\cdot \mathbf{v}[/math]. Это преобразование линейное. При [math]\lambda\ne0[/math] оно инъективное, сюръективное, биективное, обратимое. Матрица преобразования пропорциональна единичной (в любом базисе): [math]H_{\lambda}=\lambda\cdot E[/math], ядро преобразования [math]\ker \mathcal{H}_{\lambda}= \{\boldsymbol{0}\}[/math], образ преобразования [math]\operatorname{im} \mathcal{H}_{\lambda}= V[/math], дефект [math]d=0[/math], ранг [math]r=n[/math]. При [math]\lambda=0\colon\, \mathcal{H}_{0}=\mathcal{O}[/math] (см. пункт 1); при [math]\lambda=1\colon\, \mathcal{H}_1= \mathcal{E}[/math] (см. пункт 2); при [math]\lambda=-1\colon\, \mathcal{H}_{(-1}}= \mathcal{Z}_{\boldsymbol{o}}[/math] (см. пункт 3).


5. Рассмотрим линейное пространство [math]V_2[/math] радиус-векторов (с общим началом в точке [math]O[/math]), принадлежащих одной плоскости (рис. 9.1). Обозначим [math]\mathcal{R}_{\varphi}\colon V_2\to V_2[/math] — поворот вокруг точки [math]O[/math] (на угол [math]\varphi[/math] в положительном направлении (против часовой стрелки)). Это преобразование линейное, инъективное, сюръективное, биективное, обратимое. Найдем матрицу поворота в стандартном ортонормированием базисе [math]\vec{i},\vec{j}[/math]. Раскладывая образы [math]\vec{i}\,'= \mathcal{R}_{\varphi}(\vec{i}),~ \vec{j}\,'= \mathcal{R}_{\varphi}(\vec{j})[/math] базисных векторов по базису, получаем


Линейное пространство радиус-векторов
[math]\begin{cases} \vec{i}\,'= \vec{i}\cdot \cos\varphi+\vec{j}\cdot \sin\varphi\,,\\ \vec{j}\,'= -\vec{i}\cdot \sin\varphi+ \vec{j}\cdot \cos\varphi\,.\end{cases}[/math]

Составляем матрицу (9.1) преобразования (оператора), записывая найденные координаты образов по столбцам:


[math]R_{\varphi}= \begin{pmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\ \sin\varphi& \cos\varphi \end{pmatrix}\!.[/math]

Ядро оператора (преобразования) [math]\ker \mathcal{R}_{\varphi}=\{\boldsymbol{o}\}[/math], образ преобразования [math]\operatorname{im} \mathcal{R}_{\varphi}=V_2[/math], дефект [math]d=0[/math], ранг [math]r=2[/math]. При [math]\varphi=2\pi k,~ k\in \mathbb{Z}\colon[/math] [math]\mathcal{R}_{2\pi k}= \mathcal{E}[/math] (см. пункт 2); при [math]\varphi=\pi+2\pi k,~ k\in \mathbb{Z}\colon[/math] [math]\mathcal{R}_{\pi+2\pi k}= \mathcal{Z}_{\boldsymbol{o}}[/math] (см. пункт 3).


6. Обозначим [math]\mathcal{D}\colon P_n(\mathbb{R})\to P_{n}(\mathbb{R})[/math] — оператор дифференцирования, который каждому многочлену степени не выше и ставит в соответствие его производную, рассматриваемую как многочлен степени не выше [math]n\colon\, \mathcal{D}(p(x))= p'(x)[/math]. Это преобразование линейное, неинъективное, несюръективное, небиективное, необратимое. Квадратная матрица ((n+l)-го порядка) преобразования в стандартном базисе имеет вид


[math]D=\begin{pmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots& \ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&n\\ 0&0&0&\cdots&0 \end{pmatrix}\!.[/math]

Ядро преобразования [math]\ker \mathcal{D}=P_0(\mathbb{R})[/math] — пространство многочленов нулевой степени, образ [math]\operatorname{im} \mathcal{D}=P_{n-1}(\mathbb{R})[/math] — пространство многочленов степени не выше [math](n-1)[/math], дефект [math]d=1[/math], ранг [math]r=1,[/math] [math]\dim P_n(\mathbb{R})=n+1[/math].


Рассмотрим преобразование [math]\mathcal{D}\colon T_{\omega}(\mathbb{R})\to T_{\omega} (\mathbb{R})[/math] линейного пространства тригонометрических многочленов (частоты [math]\omega\ne0[/math]) с действительными коэффициентами: [math]T_{\omega}(\mathbb{R})= \operatorname{Lin} (\sin\omega t,\cos\omega t)[/math], т.е. [math]T_{\omega}(\mathbb{R})[/math] — множество функций вида [math]f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t[/math], где [math]a,b\in \mathbb{R}[/math]. Заметим, что это множество является двумерным вещественным линейным пространством. Стандартный базис пространства [math]T_{\omega}(\mathbb{R})[/math] образуют функции [math]\mathbf{e}_1(t)=\sin\omega t,[/math] [math]\mathbf{e}_2(t)=\cos\omega t[/math], поскольку они линейно независимы (тождественное равенство нулю [math]a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0[/math] возможно только в тривиальном случае [math]a=b=0[/math]). При дифференцировании функции [math]f(t)[/math] получаем функцию [math]f'(t)=-b\omega \sin\omega t+a\omega\cos\omega t[/math] того же вида. Следовательно, преобразование [math]\mathcal{D}\colon T_{\omega}(\mathbb{R})\to T_{\omega} (\mathbb{R})[/math] определено. Это преобразование линейное, инъективное, сюръективное, биективное, обратимое. Найдем матрицу преобразования в стандартном базисе [math]\mathbf{e}_1(t)=\sin\omega t,[/math] [math]\mathbf{e}_2(t)=\cos\omega t[/math]. Раскладывая образы базисных векторов, получаем


[math]\begin{aligned} \mathcal{D}(\mathbf{e}_1)&= \omega\cos\omega t= 0\cdot\sin\omega t+\omega\cos\omega t\,,\\[5pt] \mathcal{D}(\mathbf{e}_2)&= -\omega\sin\omega t= -\omega\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t\,.\end{aligned}[/math]

Составляем матрицу (9.1) преобразования, записывая найденные координаты образов по столбцам: [math]D=\begin{pmatrix}0&-\omega\\ \omega&0\end{pmatrix}[/math]. Ядро преобразования [math]\ker \mathcal{D}= \{\boldsymbol{o}(t)\}[/math] — нулевое подпространство, образ [math]\operatorname{im} \mathcal{D}=T_{\omega}(\mathbb{R})[/math], дефект [math]d=0[/math], ранг [math]r=2[/math], [math]\boldsymbol{o}(t)= 0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t[/math].


Аналогичными свойствами обладает преобразование [math]\mathcal{D}\colon T_{\omega} (\mathbb{C})\to T_{\omega}(\mathbb{C})[/math], где [math]T_{\omega}(\mathbb{C})= \operatorname{Lin} (\sin\omega t,\cos\omega t)[/math] — множество функций вида [math]a\sin\omega t+b\cos\omega t[/math] с комплексными коэффициентами [math]a\in \mathbb{C}[/math] и [math]b\in \mathbb{C}[/math]. Множество [math]T_{\omega}(\mathbb{C})[/math] является двумерным комплексным линейным пространством.


7. Пусть линейное пространство разлагается в прямую сумму подпространств [math]V=L_1\oplus L_2[/math]. Обозначим [math]\Pi_{L_1}\colon V\to V[/math] — оператор проектирования на подпространство [math]L_1[/math] параллельно подпространству [math]L_2[/math], который каждому вектору [math]\mathbf{v}=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2[/math], где [math]\mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2\in L_2[/math], ставит в соответствие его составляющую (проекцию) [math]\mathbf{v}_1\in L_1[/math], т.е. [math]\Pi_{L_1}(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)= \mathbf{v}_1[/math] (рис.9.2). Это преобразование линейное. При [math]L_1\ne V[/math] оно неинъективное, несюръективное, небиективное, необратимое. Ядро преобразования [math]\ker \Pi_{L_1}=L_2[/math], образ преобразования [math]\operatorname{im} \Pi_{L_1}=L_1[/math], дефект [math]d=\dim{L_2}[/math], Ранг [math]r=\dim{L_1}[/math],. При [math]L_1=V\colon\, \Pi_V=\mathcal{E}[/math]; при [math]L_2=V\colon\, \Pi_{\{\boldsymbol{o}\}}= \mathcal{O}[/math].


Оператор проектирования на подпространство параллельно подпространству

8. Пусть линейное пространство разлагается в прямую сумму подпространств [math]V=L_1\oplus L_2[/math]. Обозначим [math]\mathcal{Z}_{L_1}\colon V\to V[/math] — оператор отражения в подпространстве [math]L_1[/math] параллельно подпространству [math]L_2[/math] (или преобразование симметрии относительно подпространства [math]L_1[/math] параллельно подпространству [math]L_2[/math]), который каждому вектору [math]\mathbf{v}=\mathbf{v}_1+ \mathbf{v}_2[/math], где [math]\mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2\in L_2[/math], ставит в соответствие вектор [math](\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)[/math], т.е. [math]\mathcal{Z}_{L_1} (\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)= \mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2[/math] (рис. 9.3). Это преобразование линейное, инъективное, сюръективное, биективное, обратимое. Ядро преобразования [math]\ker \mathcal{Z}_{L_1}=\{\boldsymbol{o}\}[/math], образ преобразования [math]\operatorname{im} \mathcal{Z}_{L_1}=V[/math], дефект [math]d=0[/math], ранг [math]r=\dim{V}[/math]. При [math]L_1=V\colon\, \mathcal{Z}_{L_1}= \mathcal{E}[/math].




Матрицы линейного оператора (преобразования) в разных базисах


Найдем связь матриц одного и того же линейного оператора (преобразования) в разных базисах.


Пусть в базисе [math](\mathbf{e})=(\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n)[/math] преобразование [math]\mathcal{A}\colon V\to V[/math] имеет матрицу [math]\mathop{A}\limits_{(\mathbf{e})}[/math], а в базисе [math](\mathbf{f})=(\mathbf{f}_1,\ldots, \mathbf{}_n)[/math] — матрицу [math]\mathop{A}\limits_{(\mathbf{f})}[/math]. Если [math]S[/math] — матрица перехода от базиса [math](\mathbf{e})[/math] к базису [math](\mathbf{f})[/math], то


[math]\mathop{A}\limits_{(\mathbf{f})}= S^{-1}\cdot \mathop{A}\limits_{(\mathbf{e})} \cdot S.[/math]
(9.4)

Докажем формулу (9.4). Пусть векторы [math]\mathbf{v}[/math] и [math]\mathbf{w}[/math] в базисах [math](\mathbf{e})[/math] и [math](\mathbf{f})[/math] имеют координатные столбцы [math]\mathop{v}\limits_{(\mathbf{e})}, \mathop{v}\limits_{(\mathbf{f})}[/math] и [math]\mathop{w}\limits_{(\mathbf{e})}, \mathop{w}\limits_{(\mathbf{f})}[/math] соответственно. Если [math]w=\mathcal{A}(\mathbf{v})[/math], то по формуле (9.2) имеем


[math]\mathop{w}\limits_{(\mathbf{e})}= \mathop{A}\limits_{(\mathbf{e})}\cdot \mathop{v}\limits_{(\mathbf{e})},\qquad \mathop{w}\limits_{(\mathbf{f})}= \mathop{A}\limits_{(\mathbf{f})}\cdot \mathop{v}\limits_{(\mathbf{f})}.[/math]

Подставляя в первое равенство связи координат векторов в разных базисах [math]\mathop{v}\limits_{(\mathbf{e})}= S\cdot \mathop{v}\limits_{(\mathbf{f})},[/math] [math]\mathop{w}\limits_{(\mathbf{e})}= S\cdot \mathop{w}\limits_{(\mathbf{f})}[/math] получаем [math]S\cdot \mathop{w}\limits_{(\mathbf{f})}= \mathop{A}\limits_{(\mathbf{e})}\cdot S\cdot \mathop{v}\limits_{(\mathbf{f})}[/math] или, учитывая обратимость матрицы [math]S\colon[/math] [math]\mathop{w}\limits_{(\mathbf{f})}= S^{-1}\cdot \mathop{A}\limits_{(\mathbf{e})}\cdot S\cdot \mathop{v}\limits_{(\mathbf{f})}[/math]. Сравнивая последнее равенство с [math]\mathop{w}\limits_{(\mathbf{f})}= \mathop{A}\limits_{(\mathbf{f})}\cdot \mathop{v}\limits_{(\mathbf{f})}[/math], убеждаемся в справедливости (9.4).


Замечания 9.2


1. Матрицы линейного преобразования в разных базисах оказываются подобными. И наоборот, любые две подобные матрицы являются матрицами некоторого линейного преобразования, найденными относительно разных базисов.


2. Для матриц преобразований справедливы свойства, рассмотренные ранее. В частности, при фиксированном базисе матрица суммы преобразований равна сумме их матриц, матрица произведения преобразования на число равна произведению матрицы преобразования на это же число, матрица композиции преобразований равна произведению матриц преобразований, матрица обратного преобразования является обратной для матрицы обратимого преобразования.




Алгебра линейных операторов (преобразований)


Рассмотрим множество [math]\mathcal{L}(V)[/math] — линейных преобразований (операторов) n-мерного линейного пространства [math]V[/math]. Напомним, что два преобразования [math]\mathcal{A}\colon V\to V[/math] и [math]\mathcal{B}\colon V\to V[/math] называются равными, если [math]\mathcal{A}(\mathbf{v})= \mathcal{B}(\mathbf{v})~ \forall \mathbf{v}\in V[/math].


На множестве [math]\mathcal{L}(V)[/math] определены две линейные операции: сложение преобразований и умножение преобразования на число, поскольку в результате этих операций получается линейное преобразование.


Нетрудно показать, что эти операции удовлетворяют условиям:


1. [math]\mathcal{A}+\mathcal{B}= \mathcal{B}+\mathcal{A}\quad \forall \mathcal{A},\mathcal{B}\in \mathcal{L}(V)[/math];


2. [math]\mathcal{A}+(\mathcal{B}+\mathcal{C})= (\mathcal{A}+\mathcal{B})+\mathcal{C}\quad \forall \mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}\in \mathcal{L}(V)[/math];


3. существует нулевое преобразование [math]\mathcal{O}\in\mathcal{L}(V)[/math] такое, что [math]\mathcal{A}+\mathcal{O}=\mathcal{A}~ \forall \mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)[/math];


4. для каждого преобразования [math]\mathcal{A}[/math] существует противоположное преобразование [math](-\mathcal{A})=(-1)\cdot \mathcal{A}[/math] такое, что [math]\mathcal{A}+(-\mathcal{A})=\mathcal{O}[/math];


5. [math]\lambda\cdot(\mathcal{A}+\mathcal{B})= \lambda\cdot \mathcal{A}+\lambda\cdot \mathcal{B}~ \forall \mathcal{A},\mathcal{B}\in \mathcal{L}(V)[/math] и любого числа [math]\lambda[/math];


6. [math](\lambda+\mu)\cdot \mathcal{A}= \lambda\cdot \mathcal{A}+\mu\cdot \mathcal{A}~ \forall \mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)[/math] и любых чисел [math]\lambda,\,\mu[/math];


7. [math]\lambda\cdot (\mu\cdot \mathcal{A})=(\lambda\mu)\cdot \mathcal{A}~ \forall \mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)[/math] и любых чисел [math]\lambda,\,\mu[/math];


8. [math]1\cdot \mathcal{A}\quad \forall \mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)[/math].


В условиях 5-7 говорится о числах из того же числового поля, над которым определено линейное пространство [math]{V}[/math].


Условия 1-8 повторяют аксиомы линейного пространства. Поэтому множество [math]\mathcal{L}(V)[/math] с линейными операциями является линейным пространством. Если пространство [math]{V}[/math] вещественное (комплексное), то и пространство [math]\mathcal{L}(V)[/math] вещественное (комплексное).


Найдем размерность пространства [math]\mathcal{L}(V)[/math]. При фиксированном базисе имеется взаимно однозначное соответствие между линейными преобразованиями и их матрицами, причем это соответствие сохраняет линейные операции. Следовательно, пространство [math]\mathcal{L}(V)[/math] изоморфно пространству [math]M_{n\times n}[/math] — квадратных матриц n-го порядка. Размерность пространства [math]M_{n\times n}[/math] равна [math]n^2[/math]. По теореме 8.3:


[math]\dim\matcal{L}(V)= \dim M_{n\times n}=n^2,[/math] то есть [math]\dim\mathcal{L}(V)= (\dim{V})^2.[/math]

Кроме линейных операций в множестве [math]\mathcal{L}(V)[/math] определена операция умножения элементов. Произведением преобразований [math]\mathcal{A}[/math] и [math]\mathcal{B}[/math] назовем их композицию, т.е. [math]\mathcal{A}\mathcal{B}= \mathcal{A}\circ \mathcal{B}[/math]. В результате композиции линейных преобразований получается линейное преобразование. Операция умножения удовлетворяет следующим условиям:


1. [math]\mathcal{A}(\mathcal{B}\mathcal{C})= (\mathcal{A}\mathcal{B})\mathcal{C}\quad \forall \mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}\in \mathcal{L}(V)[/math];


2. [math]\mathcal{A}(\mathcal{B}+\mathcal{C})= \mathcal{A}\mathcal{B}+\mathcal{A} \mathcal{C} \quad \forall \mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}\in \mathcal{L}(V)[/math];


3. [math](\mathcal{A}+\mathcal{B})\mathcal{C}= \mathcal{A}\mathcal{C}+\mathcal{B}\mathcal{C} \quad \forall \mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}\in \mathcal{L}(V)[/math];


4. существует тождественное преобразование [math]\mathcal{E}[/math] такое, что [math]\mathcal{A} \mathcal{E}= \mathcal{E}\mathcal{A}= \mathcal{A}~ \forall \mathcal{A}\in \mathcal{L}(V)[/math].


Первое условие выражает ассоциативность операции умножения, условия 2 и 3 — законы дистрибутивности, условие 4 — существование нейтрального элемента. Множество [math]\mathcal{L}(V)[/math] с операциями сложения и умножения элементов является кольцом с единицей (вообще говоря, некоммутативное, так как в общем случае [math]\mathcal{A} \mathcal{B}\ne \mathcal{B}\mathcal{A}[/math]).


Операции умножения операторов (преобразований) и произведения операторов на число (из заданного числового поля) удовлетворяют условию:


5. [math](\lambda\cdot \mathcal{A})\mathcal{B}= \mathcal{A}(\lambda\cdot \mathcal{B})= \lambda\cdot (\mathcal{A}\mathcal{B}).[/math]


Линейное пространство, которое является кольцом, удовлетворяющим условию 5, называется алгеброй. Поэтому множество [math]\mathcal(V)[/math] называют алгеброй линейных операторов (преобразований).




Многочлены от линейного оператора (преобразования)


В алгебре [math]\mathcal(V)[/math] можно определить целую неотрицательную степень оператора [math]\mathcal{A}\colon V\to V[/math] , полагая по определению


[math]\mathcal{A}^0=\mathcal{E},\quad \mathcal{A}^1=\mathcal{A},\quad \mathcal{A}^2=\mathcal{A}\mathcal{A},\ldots, \mathcal{A}^n=\mathcal{A}^{n-1}\mathcal{A}.[/math]

Пусть [math]p(\lambda)=a_m \lambda^m+\ldots+a_1 \lambda+a_0[/math] — многочлен переменной [math]\lambda[/math]. Многочленом [math]p(\mathcal{A})[/math] от линейного преобразования [math]\mathcal{A}[/math] называется преобразование [math]p(\mathcal{A})= a_m \mathcal{A}^m+\ldots+ a_1 \mathcal{A}+ a_0 \mathcal{E}[/math].


Многочлен [math]p(\lambda)=a_m \lambda^m+\ldots+a_1 \lambda+a_0[/math] называется аннулирующим для линейного преобразования [math]\mathcal{A}[/math], если [math]p(\mathcal{A})= \mathcal{O}[/math] — нулевое преобразование. Заметим, что у каждого линейного преобразования [math]\mathcal{A}\colon V\to V[/math] n-мерного линейного пространства [math]V[/math] существует аннулирующий многочлен степени не выше [math]n^2[/math]. Действительно, система из [math](n^2+1)[/math] элементов [math]\mathcal{E}, \mathcal{A},\ldots,\mathcal{A}^{n^2}[/math] линейного пространства [math]\mathcal{L}(V)[/math] линейно зависима (так как [math]\dim\mathcal{L}(V)=n^2[/math]). Поэтому существуют такие числа [math]a_0,a_1,\ldots,a_{n^2}[/math], не все равные нулю одновременно, что [math]a_{n^2} \mathcal{A}^{n^2}+ \ldots+ a_1 \mathcal{A}+a_0 \mathcal{E}=\mathcal{O}[/math]. Следовательно, многочлен [math]p(\lambda)= a_{n^2}\lambda^{n^2}+\ldots+ a_1 \lambda+a_0[/math] — аннулирующий для преобразования [math]\mathcal{A}[/math].




Замечания 9.3

1. При фиксированном базисе каждому преобразованию (оператору) можно сопоставить его матрицу. Свойства линейных операций 1-8, записанные для матриц преобразований, повторяют свойства линейных операций с матрицами, а свойствам 1-5 произведения операторов отвечают свойства операции умножения матриц.


2. При фиксированном базисе многочлен [math]p(\mathcal{A})[/math] от линейного преобразования [math]\mathcal{A}[/math] имеет матрицу [math]p(A)=a_m A^m+\ldots +a_1A+a_0E[/math], где [math]A[/math] — матрица преобразования [math]\mathcal{A}[/math] в том же базисе. Поэтому свойства многочленов от матриц переносятся на многочлены от линейного преобразования. В частности, многочлены от одного преобразования перестановочны:


[math]\begin{aligned}p(\mathcal{A})\cdot q(\mathcal{A})&= \Biggl(\sum_{i=1}^{m}a_i \mathcal{A}^i\Biggr)\cdot \Biggl(\sum_{j=1}^{k}b_j \mathcal{A}^j\Biggr)= \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} a_ib_j \mathcal{A}^{i+j}=\\[2pt] &= \sum_{j=1}^{k} \sum_{i=1}^{m} b_ja_i \mathcal{A}^{j+i}= \Biggl(\sum_{j=1}^{k}b_j \mathcal{A}^j\Biggr)\cdot \Biggl(\sum_{i=1}^{m} a_{i}\mathcal{A}^i\Biggr)= q(\mathcal{A})\cdot p(\mathcal{A}). \end{aligned}[/math]

3. Функции от матриц определяются при помощи многочленов от матриц. Поэтому можно определить функции от линейных преобразований.



Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved