Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Линейные многообразия: определение и примеры

Линейные многообразия: определение и примеры


Определение линейного многообразия


Пусть [math]L[/math] подпространство линейного пространства [math]V[/math], а [math]\mathbf{v}_0\in V[/math] — некоторый вектор. Множество векторов [math]\mathbf{v}\in V[/math], представимых в виде [math]\mathbf{v}=\mathbf{v}_0+l[/math], где [math]l\in L[/math], называется линейным многообразием, проходящим через вектор [math]\mathbf{v}_0[/math] параллельно подпространству [math]L[/math], и обозначается


[math]\mathbf{v}_0+L=\{\mathbf{v}_0+l\colon\, l\in L\}.[/math]
(8.22)

Говорят также, что линейное многообразие получено параллельным сдвигом подпространства [math]L[/math] на вектор [math]\mathbf{v}_0[/math], а подпространство [math]L[/math] называют однородной частью линейного многообразия [math]\mathbf{v}_0+L[/math]. Размерностью линейного многообразия называют размерность его однородной части, т.е. [math]\dim{L}[/math]. B n-мерном линейном пространстве (n-l)-мерное линейное многообразие называется гиперплоскостью. Обратим внимание на то, что раз мерность многообразия равна максимальному числу линейно независимых векторов не самого многообразия, а его однородной части.




Примеры линейных многообразий


1. Любое подпространство [math]L\triangleleft V[/math] является линейным многообразием [math]\mathbf{o}+L[/math], где [math]\mathbf{o}\in V[/math] — нулевой вектор.


2. В пространстве [math]{ V_3}[/math] (радиус-векторов с общим началом в точке [math]O[/math]) рассмотрим плоскость [math]L[/math], проходящую через точку [math]O[/math] (рис.8.3) и плоскость [math]\Pi[/math], проходящую через конец вектора [math]\vec{c}[/math] параллельно плоскости [math]L[/math].


Плоскость L через точку O (рис.8.3) и плоскость П, проходящую через конец вектора с параллельно плоскости

Любой вектор [math]\vec{e}[/math], конец которого принадлежит плоскости [math]\Pi[/math], можно пред ставить в виде [math]\vec{e}=\vec{c}+\vec{d}[/math], где [math]\vec{d}[/math] — вектор, принадлежащий плоскости [math]L[/math]. Следовательно, множество радиус-векторов, концы которых принадлежат плоскости [math]\Pi[/math], это линейное многообразие [math]\vec{c}+L[/math]. Его размерность равна 2, так как [math]\dim{L}=2[/math] (базисом [math]L[/math] являются любые два неколлинеарных вектора, принадлежащие [math]L[/math], например, векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math]). Заметим, что вектор [math]\vec{c}[/math] в многообразии [math]\vec{c}+L[/math] можно заменить любым радиус-вектором [math]\vec{g}[/math], конец которого принадлежит плоскости [math]\Pi[/math], т.е. [math]\vec{c}+L=\vec{g}+L[/math].




Свойства линейных многообразий


1. Линейное многообразие, параллельное линейному подпространству [math]L\triangleleft V[/math], однозначно определяется любым своим вектором, другими словами, если [math]\mathbf{w}\in \mathbf{c}+L[/math], то [math]\mathbf{w}+L= \mathbf{v}+L[/math].


2. Непустое пересечение линейных многообразий является линейным многообразием, другими словами, если [math]\mathbf{v}= (\mathbf{v}_1+L_1)\cap (\mathbf{v}_2+ L_2)[/math], то [math](\mathbf{v}_1+L_1)\cap (\mathbf{v}_2+L_2)=\mathbf{v}+L_1\cap L_2[/math], т.е. однородная часть пересечения совпадает с пересечением однородных частей многообразий, а вектор, определяющий сдвиг — это любой вектор пересечения многообразий.


3. Любое r-мерное линейное многообразие можно представить как аффинную оболочку не более, чем [math](r+1)[/math] векторов.


В самом деле, пусть [math]\mathbf{v}_0+L[/math] — r-мерное линейное многообразие, т.е. [math]\dim{L}=r[/math]. Выберем базис [math]\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_r[/math] подпространства [math]L[/math] и образуем [math]r[/math] векторов [math]\mathbf{v}_1= \mathbf{v}_0+ \mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{v}_r=\mathbf{v}_0+\mathbf{e}[/math] линейного многообразия [math]\mathbf{v}_0+L[/math]. Покажем, что [math]\mathbf{v}_0+L= \operatorname{Aff} (\mathbf{v}_0,\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_r)[/math]. Действительно, любой вектор [math]\mathbf{v}\in \mathbf{v}_0+L[/math] можно представить в виде [math]\mathbf{v}= \mathbf{v}_0+\alpha_1 \mathbf{e}_1+\ldots+\alpha_r \mathbf{e}_r[/math]. Преобразуем это выражение, подставляя [math]\mathbf{e}_i=\mathbf{v}_i-\mathbf{v}_0,~ i=1,\ldots,r:[/math]


[math]\mathbf{v}=\mathbf{v}_0+\alpha_1(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_0)+ \ldots+\alpha_r (\mathbf{v}_r-\mathbf{v}_0)= (1-\alpha_1-\ldots-\alpha_r)\mathbf{v}_0+\alpha_1\mathbf{v}_1+ \ldots+ \alpha \mathbf{v}_r.[/math]

Получили аффинную комбинацию векторов [math]\mathbf{v}_0,\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_r[/math], так как сумма коэффициентов равна единице. Следовательно, [math]\mathbf{v}_0+L\subset \operatorname{Aff}( \mathbf{v}_0,\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_r)[/math].


Пусть теперь [math]\mathbf{v}\in \operatorname{Aff}(\mathbf{v}_0,\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_r)[/math]. Тогда [math]\mathbf{v}=\alpha_0 \mathbf{v}_0+\alpha_1\mathbf{v}_1+\ldots+ \alpha_r\mathbf{v}_r[/math], причем [math]\alpha_0+\alpha_1+\ldots+\alpha_r=1[/math]. Подставляя [math]\alpha_0=1-\alpha_1-\ldots-\alpha_r[/math], получаем:


[math]\begin{aligned}\mathbf{v}&= (1-\alpha_1-\ldots-\alpha_r)\mathbf{v}_0+ \alpha_1\mathbf{v}_1+ \ldots+\alpha_r \mathbf{v}_r=\\[2pt] &= \mathbf{v}_0+\alpha_1(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_0)+\ldots+ \alpha_r(\mathbf{v}_r-\mathbf{v}_0)=\\[2pt] &=\mathbf{v}_0+\alpha_1 \mathbf{e}_1+ \ldots+\alpha_r \mathbf{e}_r.\end{aligned}[/math]

то есть [math]\mathbf{v}\in \mathbf{v}_0+L[/math]. Следовательно, [math]\operatorname{Aff} (\mathbf{v}_0+\mathbf{v}_1+\ldots+\mathbf{v}_r)\subset \mathbf{v}_0+L[/math].


Из двух включений получаем равенство [math]\mathbf{v}_0+L= \operatorname{Aff} (\mathbf{v}_0,\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_r)[/math]. Из доказательства следует, что


[math]\operatorname{Aff} (\mathbf{v}_0,\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_r)= \mathbf{v}_0+ \operatorname{Lin}(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_0, \mathbf{v}_2-\mathbf{v}_0, \ldots,\mathbf{v}_r-\mathbf{v}_0).[/math]
(8.23)

4. Аффинная оболочка непустого подмножества конечномерного пространства является линейным многообразием.




Взаимное расположение линейных многообразий


Линейные многообразия обобщают обычные объекты стереометрии -прямые и плоскости. Следующие признаки и определения обобщают известные стереометрические свойства, характеризующие взаимное расположение прямых и плоскостей. Геометрическая терминология естественно применяется для многообразий. Говорят, что одно линейное многообразие лежит в другом, если первое многообразие является подмножеством второго. Пересечение или объединение линейных многообразий понимается как пересечение или объединение множеств векторов. Говорят, что линейные многообразия не пересекаются, если у них нет общих векторов, т.е. пересечение этих множеств пусто.


Приведем признаки включения и равенства (совпадения) линейных многообразий:


1) линейное многообразие [math]\mathbf{v}_1+L_1[/math] лежит в линейном многообразии [math]\mathbf{v}_2+L_2[/math] тогда и только тогда, когда [math]\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1\in L_2[/math] и [math]L_1\triangleleft L_2[/math];


2) линейные многообразия [math]\mathbf{v}_1+L_1[/math] и [math]\mathbf{v}_2+ L_2[/math] совпадают тогда и толь ко тогда, когда [math]L_1=L_2[/math] и [math]\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1\in L_2[/math].


Два непересекающихся линейных многообразия [math]\mathbf{v}_1+L_1[/math] и [math]\mathbf{v}_2+ L_2[/math] называются параллельными, если одно из подпространств [math]L_1[/math] или [math]L_2[/math] лежит в другом: [math]L_1\triangleleft L_2[/math] или [math]L_2\triangleleft L_1[/math] (иными словами, если одна из однородных частей содержится в другой).


Два непересекающихся линейных многообразия [math]\mathbf{v}_1+L_1[/math] и [math]\mathbf{v}_2+ L_2[/math] называются скрещивающимися, если пересечение подпространств [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] есть нулевой вектор: [math]L_1\cap L_2=\mathbf{o}[/math].




Способы описания линейных многообразий


Для линейных подпространств рассматривались два способа описания: внутренний (при помощи линейных оболочек) и внешний (при помощи однородной системы уравнений). Свойства 3, 4 определяют внутреннее описание линейных многообразий при помощи аффинных оболочек векторов. Внешнее описание линейных многообразий задается неоднородной системой линейных уравнений. Действительно, множество [math]\{Ax=b\}[/math] решений будем рассматривать как подмножество я -мерного арифметического пространства [math]\mathbb{R}^n[/math]. Структура общего решения неоднородной системы:


[math]x=x^H+ C_1\cdot \varphi_1+ C_2\cdot\varphi_2+ \ldots+ C_{n-r}\cdot \varphi_{n-r},[/math]

где [math]x^H[/math] — частное решение неоднородной системы, [math]\varphi_1,\varphi_2, \ldots,\varphi_{n-r}[/math] — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы [math]Ax=o;[/math] [math]C_1,C_2,\ldots,C_{n-r}[/math] — произвольные постоянные, [math]r=\operatorname{rg}A[/math] — ранг матрицы системы. Как показано ранее, множество [math]\{Ax=o\}[/math] решений однородной системы является линейным подпространством [math]\mathbb{R}^n[/math], а именно [math]\{Ax=o\}= \operatorname{Lin} (\varphi_1, \ldots,\varphi_{n-r})[/math]. Следовательно, множество [math]\{Ax=b\}[/math] решений неоднородной системы является линейным многообразием в [math]\mathbb{R}^n:[/math]


[math]\{Ax=b\}= x^H+ \operatorname{Lin}(\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_{n-r}).[/math]
(8.24)

В частности, множество решений одного уравнения [math]a_{11}x_1+\ldots+ a_{1n}x_{n}=b_1[/math] с ненулевыми коэффициентами (хотя бы один коэффициент при неизвестных отличен от нуля), представляет собой гиперплоскость, т.е. линейное многообразие размерности [math](n-1)[/math], так как размерность [math](n-1)[/math] его однородной части [math]\{Ax=o\}= \operatorname{Lin} (\varphi_1, \ldots,\varphi_{n-r})[/math] равна [math](n-1)[/math], поскольку [math]r=1[/math]. Поэтому множество решений системы [math]m[/math] линейных уравнений можно представить как пересечение [math]m[/math] гиперплоскостей. По свойству 2 пересечение линейных многообразий есть линейное многообразие.


Равенство (8.24) определяет переход от внешнего описания линейного многообразия (левая часть) к внутреннему описанию (правая часть). Рас смотрим обратный переход: от внутреннего описания к внешнему.


Пусть дано линейное многообразие [math]a_0+\operatorname{Lin}(a_1,\ldots,a_k)[/math]. Требуется составить неоднородную систему уравнений, множество решений которой совпадало бы с заданным многообразием. Учитывая, что разность двух решений неоднородной системы является решением однородной системы, используем переход от внутреннего описания линейного подпространства к внешнему. Для нахождения неоднородной системы нужно выполнить следующие действия.


1. Из данных столбцов составить матрицу [math]A=\begin{pmatrix}a_1-a_0&a_2-a_0& \cdots &a_k-a_0\end{pmatrix}[/math] размеров [math](n\times k)[/math], а затем блочную матрицу [math](A\mid E)[/math], приписав к матрице [math]A[/math] единичную матрицу [math]E[/math] n-го порядка.


2. Элементарными преобразованиями над строками блочной матрицы и первыми [math]k[/math] ее столбцами привести матрицу [math](A\mid E)[/math] к виду [math](\Lambda\mid S)[/math], где [math]\Lambda[/math] — простейший вид матрицы [math]A\colon\, \Lambda= \begin{pmatrix}E_r\!\!&\vline\!\!&O\\ O\!\!&\vline\!\!&O\end{pmatrix}\!;[/math] [math]r=\operatorname{rg}A[/math].


3. Из последних [math](n-r)[/math] строк матрицы [math]S[/math] составить матрицу [math]\Psi=(O\mid E_{n-r})S[/math].


4. Записать искомую систему уравнений в форме [math]\Psi x=\Psi a_0[/math].




Пример 8.14. Многообразие [math]\mathbf{A}[/math] задано аффинной оболочкой векторов


[math]\mathbf{A}=\operatorname{Aff}(a_0,a_1,a_2,a_3),[/math] где [math]a_0=\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\1 \end{pmatrix}\!,\quad a_1=\begin{pmatrix}1\\2\\0\\2\end{pmatrix}\!,\quad a_2=\begin{pmatrix} 1\\2\\1\\2 \end{pmatrix}\!,\quad a_3=\begin{pmatrix}1\\2\\2\\2\end{pmatrix}\!.[/math]

Составить систему неоднородных уравнений, задающую это же многообразие.

Решение. Согласно (8.23), зададим линейное многообразие в форме [math]a_0+ \operatorname{Lin}(a_1-a_0,a_2-a_0,a_3-a_0)[/math].


1. Из данных столбцов составляем матрицу [math]A=\begin{pmatrix}a_1-a_0&a_2-a_0&a_3-a_0 \end{pmatrix}[/math], а затем блочную матрицу


[math](A\mid E)= \begin{pmatrix} 1&1&1\!\!&\vline\!\!&1&0&0&0\\ 1&1&1\!\!& \vline\!\!& 0&1&0&0\\ 0&1&2\!\!&\vline\!\!&0&0&1&0\\ 1&1&1\!\!&\vline\!\!&0&0&0&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

2. Элементарными преобразованиями над строками блочной матрицы и над ее первыми тремя столбцами приводим левый блок к простейшему виду. Прибавляем ко второй и последней строке первую, умноженную на (-1), затем меняем местами вторую и третью строки:


[math](A\mid E)\sim \begin{pmatrix} 1&1&1\!\!&\vline\!\!&1&0&0&0\\ 0&0&0\!\!& \vline\!\!& -1&1&0&0\\ 0&1&2\!\!&\vline\!\!&0&0&1&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!&-1&0&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&1&1\!\!&\vline\!\!&1&0&0&0\\ 0&1&2\!\!& \vline\!\!& 0&0&1&0\\ 0&0&0\!\!& \vline\!\!&-1&1&0&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!&-1&0&0&1\end{pmatrix}\!.[/math]

Прибавим ко второму и третьему столбцам первый, умноженный на (-1), а затем к третьему столбцу — второй, умноженный на (-2). При этом в левом блоке получим простейший вид [math]\Lambda[/math] матрицы [math]A[/math] (ее ранг [math]r=\operatorname{rg}A=2[/math]), а правый блок матрицы не изменится:


[math]A\sim\Lambda= \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\!,\qquad S=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ -1&1&0&0\\ -1&0&0&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

3. Из последних [math]n-r=4-2=2[/math] строк матрицы [math]S[/math] составляем матрицу [math]\Psi=\begin{pmatrix} -1&1&0&0\\ -1&0&0&1 \end{pmatrix}\!.[/math]


4. Записываем искомую систему уравнений в форме [math]\Psi x=\Psi a_0\colon\, \begin{cases} -x_1+x_2=1,\\ -x_1+x_4=1.\end{cases}[/math]




Пример 8.15. Найти размерность пересечения многообразий [math]\mathbf{A}[/math] и [math]\mathbf{B}[/math], если [math]\mathbf{A}[/math] — многообразие, заданное в примере 8.14 аффинной оболочкой век торов, а многообразие [math]\mathbf{B}=\{Bx=b\}[/math] — множество решений неоднородной системы


[math]\begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=1,\\ 2x_1+3x_2+x_4=0,\\ 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=1. \end{cases}[/math]

Решение. В примере 8.14 найдена система неоднородных уравнений, описывающая многообразие [math]\mathbf{A}=\{Ax=a\}\colon[/math] [math]\begin{cases}-x_1+x_2=1,\\ -x_1+x_4=1. \end{cases}[/math] Составляя из систем [math]Ax=a[/math] и [math]Bx=b[/math] одну систему, получаем внешнее описание пересечения многообразий: [math]\mathbf{A}\cap \mathbf{B}= \left\{\begin{matrix}Ax=a\\ Bx=b\end{matrix}\right\}[/math]. Найдем множество решений этой системы. Составляем матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду:


[math]\begin{aligned}\begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&a\\\hline B\!\!&\vline\!\!&b \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1&1&0&0\!\!& \vline\!\!&1\\ -1&0&0&1\!\!&\vline\!\!&1\\\hline 1&1&2&1\!\!& \vline\!\!&1\\ 2&3&0&1\!\!&\vline\!\!&0\\ 3&4&2&2\!\!&\vline\!\!&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&-1&0&0\!\!&\vline\!\!&-1\\ 0&-1&0&1\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&2&2&1\!\!&\vline\!\!&2\\ 0&5&0& 1\!\!&\vline\!\!&2\\ 0&7&2&2\!\!& \vline\!\!&4\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-1&0&0\!\!& \vline\!\!&-1\\ 0&1&0&-1\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&0&2&3\!\!&\vline\!\!&2\\ 0&0&0& 6\!\!&\vline\!\!& 2\\ 0&0&2&9\!\!&\vline\!\!&4\end{pmatrix}\sim\\[2pt] &\sim \begin{pmatrix} 1&-1&0&0\!\!&\vline\!\!&-1\\ 0&1&0&-1\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&0&1&3/2\!\!&\vline\!\!&1\\ 0&0& 0&6\!\!&\vline\!\!&2\\ 0&0&0&6\!\!& \vline\!\!&2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&-1&0&0\!\!&\vline\!\!&-1\\ 0&1&0&-1\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&0&1&3/2\!\!&\vline\!\!&1\\ 0&0&0&1\!\!& \vline\!\!&1/3\\ 0&0&0&0\!\!& \vline\!\!&0 \end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]

Система имеет единственное решение [math]x=\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}& \dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3} \end{pmatrix}^T[/math]. Следовательно, пересечение многообразий состоит из одного вектора. Поскольку однороная часть пересечения представлена нулевым пространством, то [math]\dim(\mathbf{A}\cap \mathbf{B})= \dim\{\mathbf{o}\}=0[/math].




Пример 8.16. Исследовать взаимное расположение многообразий [math]\mathbf{A},\, \mathbf{B}[/math] и [math]\mathbf{C}[/math], если [math]\mathbf{A}[/math] — многообразие, заданное в примере 8.14 аффинной оболочкой векторов, [math]\mathbf{C}[/math] — многообразие, заданное в примере 8.15 неоднородной системой уравнений, а многообразие [math]\mathbf{C}= \mathbf{c}_0+\operatorname{Lin}(\mathbf{c}_1)[/math] — проходит через вектор [math]\mathbf{c}_0= \begin{pmatrix}1&0&0&0 \end{pmatrix}^T[/math] параллельно линейной оболочке вектора [math]\mathbf{c}_1=\begin{pmatrix}1&1&1&1\end{pmatrix}^T[/math].


Решение. В примере 8.15 показано, что многообразия [math]\mathbf{A}[/math] и [math]\mathbf{B}[/math] пересекаются и [math]\mathbf{A}\cap \mathbf{B}=\{\mathbf{x}\}[/math], [math]x=\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}& \dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3} \end{pmatrix}^T[/math].


Найдем пересечения многообразия [math]\mathbf{C}[/math] с многообразиями [math]\mathbf{A}[/math] и [math]\mathbf{B}[/math]. Любой вектор из [math]\mathbf{C}[/math] имеет вид [math]c=\begin{pmatrix}1+t&t&t&t\end{pmatrix}^T[/math], где параметр [math]t\in \mathbb{R}[/math]. Подставим выражения для координат этого вектора в системы, описывающие многообразия [math]\mathbf{A}[/math] и [math]\mathbf{B}[/math] (система для многообразия [math]\mathbf{A}[/math] получена в примере 8.14):


[math]\begin{cases}-(1+t)+t=1,\\ -(1+t)+t=1,\end{cases}\quad \begin{cases} (1+t)+t+2t+t=1,\\ 2(1+t)+3t+t=0,\\ 3(1+t)+4t+2t+2t=1. \end{cases}[/math]

Каждая из систем несовместна. Следовательно, многообразие [math]\mathbf{C}[/math] не пересекает многообразий [math]\mathbf{A}[/math] и [math]\mathbf{B}[/math].


Найдем пересечение однородной части [math]\mathbf{C}[/math] с однородными частями [math]\mathbf{A}[/math] и [math]\mathbf{B}[/math]. Однородная часть [math]\mathbf{C}[/math] задана линейной оболочкой [math]\operatorname{Lin}(c_1)[/math]. Однородную часть [math]\mathbf{A}[/math] находим по правилу (8.23):


[math]\mathbf{A}= \operatorname{Aff}(a_0,a_1,a_2,a_3)= a_0+ \operatorname{Lin}(a_1-a_0, a_2-a_0,a_3-a_0).[/math]

Так как [math]a_2-a_1=\begin{pmatrix}1&1&1&1 \end{pmatrix}^T=c_1[/math], то справедливо включение


[math]\operatorname{Lin}(c_1)= \operatorname{Lin}(a_2-a_0)\subset \operatorname{Lin}( a_1-a_0, a_2-a_0,a_3-a_0).[/math]

Поскольку однородная часть многообразия [math]\mathbf{C}[/math] содержится в однородной части многообразия [math]\mathbf{A}[/math], то, согласно определению, многообразия [math]\mathbf{A}[/math] и [math]\mathbf{C}[/math] параллельны.


Однородную часть [math]\mathbf{B}[/math] определяем, используя структуру общего решения неоднородной системы (она была найдена при решении примера 5.5):


[math]x=x^H+C_1\cdot\varphi_1+C_2\cdot\varphi_2= \begin{pmatrix}3\\-2\\0\\0\end{pmatrix}+ C_1\cdot\! \begin{pmatrix} -6\\4\\1\\0 \end{pmatrix}+ C_2\cdot\! \begin{pmatrix} -2\\1\\0\\1 \end{pmatrix}\!,[/math]

где [math]C_1,\,C_2[/math] — произвольные постоянные. По правилу (8.24) [math]\mathbf{B}=x^H+ \operatorname{Lin}(\varphi_1,\varphi_2)[/math]. Найдем пересечение подпространств [math]\operatorname{Lin}(c_1),~k_1=1[/math] и [math]\operatorname{Lin} (\varphi_1,\varphi_2),~ k_2=2[/math]. Для этого составляем матрицу [math]\begin{pmatrix} c_1\!\!&\vline\!\!& \varphi_1& \varphi_2\end{pmatrix}[/math] и приводим ее к ступенчатому виду


[math]\begin{pmatrix}c_1\!\!&\vline\!\!& \varphi_1& \varphi_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\!\!&\vline\!\!&-6&-2\\ 1\!\!&\vline\!\!&4&1\\ 1\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 1\!\!&\vline\!\!&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1\!\!&\vline\!\!&0&1\\ 1\!\!&\vline\!\!&4&1\\ 1\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 1\!\!&\vline\!\!&-6&-2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1\!\!&\vline\!\!&0&1\\ 0\!\!&\vline\!\!&4&0\\ 0\!\!&\vline\!\!&1&-1\\ 0\!\!&\vline\!\!&-6&-3 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1\!\!&\vline\!\!&0&1\\ 0\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 0\!\!&\vline\!\!&0&1\\ 0\!\!&\vline\!\!&0&0 \end{pmatrix}\!.[/math]

Поскольку [math]r=\operatorname{rg}\! \begin{pmatrix}c_1\!\!&\vline\!\!& \varphi_1& \varphi_2 \end{pmatrix}=3[/math], то размерность пересечения равна нулю: [math]k_1+k_2-r=1+2-3=0[/math]. Так как [math]\operatorname{Lin}(c_1)\cap \operatorname{Lin} (\varphi_1,\varphi_2)= \{\mathbf{0}\}[/math] и многообразия [math]\mathbf{B}[/math] и [math]\mathbf{C}[/math] не пересекаются, то они скрещивающиеся.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved