Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Линейные многообразия: определение и примеры

Линейные многообразия: определение и примеры


Определение линейного многообразия


Пусть L подпространство линейного пространства V, а \mathbf{v}_0\in V — некоторый вектор. Множество векторов \mathbf{v}\in V, представимых в виде \mathbf{v}=\mathbf{v}_0+l, где l\in L, называется линейным многообразием, проходящим через вектор \mathbf{v}_0 параллельно подпространству L, и обозначается


\mathbf{v}_0+L=\{\mathbf{v}_0+l\colon\, l\in L\}.
(8.22)

Говорят также, что линейное многообразие получено параллельным сдвигом подпространства L на вектор \mathbf{v}_0, а подпространство L называют однородной частью линейного многообразия \mathbf{v}_0+L. Размерностью линейного многообразия называют размерность его однородной части, т.е. \dim{L}. B n-мерном линейном пространстве (n-l)-мерное линейное многообразие называется гиперплоскостью. Обратим внимание на то, что раз мерность многообразия равна максимальному числу линейно независимых векторов не самого многообразия, а его однородной части.




Примеры линейных многообразий


1. Любое подпространство L\triangleleft V является линейным многообразием \mathbf{o}+L, где \mathbf{o}\in V — нулевой вектор.


2. В пространстве { V_3} (радиус-векторов с общим началом в точке O) рассмотрим плоскость L, проходящую через точку O (рис.8.3) и плоскость \Pi, проходящую через конец вектора \vec{c} параллельно плоскости L.


Плоскость L через точку O (рис.8.3) и плоскость П, проходящую через конец вектора с параллельно плоскости

Любой вектор \vec{e}, конец которого принадлежит плоскости \Pi, можно пред ставить в виде \vec{e}=\vec{c}+\vec{d}, где \vec{d} — вектор, принадлежащий плоскости L. Следовательно, множество радиус-векторов, концы которых принадлежат плоскости \Pi, это линейное многообразие \vec{c}+L. Его размерность равна 2, так как \dim{L}=2 (базисом L являются любые два неколлинеарных вектора, принадлежащие L, например, векторы \vec{a} и \vec{b}). Заметим, что вектор \vec{c} в многообразии \vec{c}+L можно заменить любым радиус-вектором \vec{g}, конец которого принадлежит плоскости \Pi, т.е. \vec{c}+L=\vec{g}+L.




Свойства линейных многообразий


1. Линейное многообразие, параллельное линейному подпространству L\triangleleft V, однозначно определяется любым своим вектором, другими словами, если \mathbf{w}\in \mathbf{c}+L, то \mathbf{w}+L= \mathbf{v}+L.


2. Непустое пересечение линейных многообразий является линейным многообразием, другими словами, если \mathbf{v}= (\mathbf{v}_1+L_1)\cap (\mathbf{v}_2+ L_2), то (\mathbf{v}_1+L_1)\cap (\mathbf{v}_2+L_2)=\mathbf{v}+L_1\cap L_2, т.е. однородная часть пересечения совпадает с пересечением однородных частей многообразий, а вектор, определяющий сдвиг — это любой вектор пересечения многообразий.


3. Любое r-мерное линейное многообразие можно представить как аффинную оболочку не более, чем (r+1) векторов.


В самом деле, пусть \mathbf{v}_0+L — r-мерное линейное многообразие, т.е. \dim{L}=r. Выберем базис \mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_r подпространства L и образуем r векторов \mathbf{v}_1= \mathbf{v}_0+ \mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{v}_r=\mathbf{v}_0+\mathbf{e} линейного многообразия \mathbf{v}_0+L. Покажем, что \mathbf{v}_0+L= \operatorname{Aff} (\mathbf{v}_0,\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_r). Действительно, любой вектор \mathbf{v}\in \mathbf{v}_0+L можно представить в виде \mathbf{v}= \mathbf{v}_0+\alpha_1 \mathbf{e}_1+\ldots+\alpha_r \mathbf{e}_r. Преобразуем это выражение, подставляя \mathbf{e}_i=\mathbf{v}_i-\mathbf{v}_0,~ i=1,\ldots,r:


\mathbf{v}=\mathbf{v}_0+\alpha_1(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_0)+ \ldots+\alpha_r (\mathbf{v}_r-\mathbf{v}_0)= (1-\alpha_1-\ldots-\alpha_r)\mathbf{v}_0+\alpha_1\mathbf{v}_1+ \ldots+ \alpha \mathbf{v}_r.

Получили аффинную комбинацию векторов \mathbf{v}_0,\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_r, так как сумма коэффициентов равна единице. Следовательно, \mathbf{v}_0+L\subset \operatorname{Aff}( \mathbf{v}_0,\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_r).


Пусть теперь \mathbf{v}\in \operatorname{Aff}(\mathbf{v}_0,\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_r). Тогда \mathbf{v}=\alpha_0 \mathbf{v}_0+\alpha_1\mathbf{v}_1+\ldots+ \alpha_r\mathbf{v}_r, причем \alpha_0+\alpha_1+\ldots+\alpha_r=1. Подставляя \alpha_0=1-\alpha_1-\ldots-\alpha_r, получаем:


\begin{aligned}\mathbf{v}&= (1-\alpha_1-\ldots-\alpha_r)\mathbf{v}_0+ \alpha_1\mathbf{v}_1+ \ldots+\alpha_r \mathbf{v}_r=\\[2pt] &= \mathbf{v}_0+\alpha_1(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_0)+\ldots+ \alpha_r(\mathbf{v}_r-\mathbf{v}_0)=\\[2pt] &=\mathbf{v}_0+\alpha_1 \mathbf{e}_1+ \ldots+\alpha_r \mathbf{e}_r.\end{aligned}

то есть \mathbf{v}\in \mathbf{v}_0+L. Следовательно, \operatorname{Aff} (\mathbf{v}_0+\mathbf{v}_1+\ldots+\mathbf{v}_r)\subset \mathbf{v}_0+L.


Из двух включений получаем равенство \mathbf{v}_0+L= \operatorname{Aff} (\mathbf{v}_0,\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_r). Из доказательства следует, что


\operatorname{Aff} (\mathbf{v}_0,\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_r)= \mathbf{v}_0+ \operatorname{Lin}(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_0, \mathbf{v}_2-\mathbf{v}_0, \ldots,\mathbf{v}_r-\mathbf{v}_0).
(8.23)

4. Аффинная оболочка непустого подмножества конечномерного пространства является линейным многообразием.




Взаимное расположение линейных многообразий


Линейные многообразия обобщают обычные объекты стереометрии -прямые и плоскости. Следующие признаки и определения обобщают известные стереометрические свойства, характеризующие взаимное расположение прямых и плоскостей. Геометрическая терминология естественно применяется для многообразий. Говорят, что одно линейное многообразие лежит в другом, если первое многообразие является подмножеством второго. Пересечение или объединение линейных многообразий понимается как пересечение или объединение множеств векторов. Говорят, что линейные многообразия не пересекаются, если у них нет общих векторов, т.е. пересечение этих множеств пусто.


Приведем признаки включения и равенства (совпадения) линейных многообразий:


1) линейное многообразие \mathbf{v}_1+L_1 лежит в линейном многообразии \mathbf{v}_2+L_2 тогда и только тогда, когда \mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1\in L_2 и L_1\triangleleft L_2;


2) линейные многообразия \mathbf{v}_1+L_1 и \mathbf{v}_2+ L_2 совпадают тогда и толь ко тогда, когда L_1=L_2 и \mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1\in L_2.


Два непересекающихся линейных многообразия \mathbf{v}_1+L_1 и \mathbf{v}_2+ L_2 называются параллельными, если одно из подпространств L_1 или L_2 лежит в другом: L_1\triangleleft L_2 или L_2\triangleleft L_1 (иными словами, если одна из однородных частей содержится в другой).


Два непересекающихся линейных многообразия \mathbf{v}_1+L_1 и \mathbf{v}_2+ L_2 называются скрещивающимися, если пересечение подпространств L_1 и L_2 есть нулевой вектор: L_1\cap L_2=\mathbf{o}.




Способы описания линейных многообразий


Для линейных подпространств рассматривались два способа описания: внутренний (при помощи линейных оболочек) и внешний (при помощи однородной системы уравнений). Свойства 3, 4 определяют внутреннее описание линейных многообразий при помощи аффинных оболочек векторов. Внешнее описание линейных многообразий задается неоднородной системой линейных уравнений. Действительно, множество \{Ax=b\} решений будем рассматривать как подмножество я -мерного арифметического пространства \mathbb{R}^n. Структура общего решения неоднородной системы:


x=x^H+ C_1\cdot \varphi_1+ C_2\cdot\varphi_2+ \ldots+ C_{n-r}\cdot \varphi_{n-r},

где x^H — частное решение неоднородной системы, \varphi_1,\varphi_2, \ldots,\varphi_{n-r} — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы Ax=o; C_1,C_2,\ldots,C_{n-r} — произвольные постоянные, r=\operatorname{rg}A — ранг матрицы системы. Как показано ранее, множество \{Ax=o\} решений однородной системы является линейным подпространством \mathbb{R}^n, а именно \{Ax=o\}= \operatorname{Lin} (\varphi_1, \ldots,\varphi_{n-r}). Следовательно, множество \{Ax=b\} решений неоднородной системы является линейным многообразием в \mathbb{R}^n:


\{Ax=b\}= x^H+ \operatorname{Lin}(\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_{n-r}).
(8.24)

В частности, множество решений одного уравнения a_{11}x_1+\ldots+ a_{1n}x_{n}=b_1 с ненулевыми коэффициентами (хотя бы один коэффициент при неизвестных отличен от нуля), представляет собой гиперплоскость, т.е. линейное многообразие размерности (n-1), так как размерность (n-1) его однородной части \{Ax=o\}= \operatorname{Lin} (\varphi_1, \ldots,\varphi_{n-r}) равна (n-1), поскольку r=1. Поэтому множество решений системы m линейных уравнений можно представить как пересечение m гиперплоскостей. По свойству 2 пересечение линейных многообразий есть линейное многообразие.


Равенство (8.24) определяет переход от внешнего описания линейного многообразия (левая часть) к внутреннему описанию (правая часть). Рас смотрим обратный переход: от внутреннего описания к внешнему.


Пусть дано линейное многообразие a_0+\operatorname{Lin}(a_1,\ldots,a_k). Требуется составить неоднородную систему уравнений, множество решений которой совпадало бы с заданным многообразием. Учитывая, что разность двух решений неоднородной системы является решением однородной системы, используем переход от внутреннего описания линейного подпространства к внешнему. Для нахождения неоднородной системы нужно выполнить следующие действия.


1. Из данных столбцов составить матрицу A=\begin{pmatrix}a_1-a_0&a_2-a_0& \cdots &a_k-a_0\end{pmatrix} размеров (n\times k), а затем блочную матрицу (A\mid E), приписав к матрице A единичную матрицу E n-го порядка.


2. Элементарными преобразованиями над строками блочной матрицы и первыми k ее столбцами привести матрицу (A\mid E) к виду (\Lambda\mid S), где \Lambda — простейший вид матрицы A\colon\, \Lambda= \begin{pmatrix}E_r\!\!&\vline\!\!&O\\ O\!\!&\vline\!\!&O\end{pmatrix}\!; r=\operatorname{rg}A.


3. Из последних (n-r) строк матрицы S составить матрицу \Psi=(O\mid E_{n-r})S.


4. Записать искомую систему уравнений в форме \Psi x=\Psi a_0.




Пример 8.14. Многообразие \mathbf{A} задано аффинной оболочкой векторов


\mathbf{A}=\operatorname{Aff}(a_0,a_1,a_2,a_3), где a_0=\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\1 \end{pmatrix}\!,\quad a_1=\begin{pmatrix}1\\2\\0\\2\end{pmatrix}\!,\quad a_2=\begin{pmatrix} 1\\2\\1\\2 \end{pmatrix}\!,\quad a_3=\begin{pmatrix}1\\2\\2\\2\end{pmatrix}\!.

Составить систему неоднородных уравнений, задающую это же многообразие.

Решение. Согласно (8.23), зададим линейное многообразие в форме a_0+ \operatorname{Lin}(a_1-a_0,a_2-a_0,a_3-a_0).


1. Из данных столбцов составляем матрицу A=\begin{pmatrix}a_1-a_0&a_2-a_0&a_3-a_0 \end{pmatrix}, а затем блочную матрицу


(A\mid E)= \begin{pmatrix} 1&1&1\!\!&\vline\!\!&1&0&0&0\\ 1&1&1\!\!& \vline\!\!& 0&1&0&0\\ 0&1&2\!\!&\vline\!\!&0&0&1&0\\ 1&1&1\!\!&\vline\!\!&0&0&0&1 \end{pmatrix}\!.

2. Элементарными преобразованиями над строками блочной матрицы и над ее первыми тремя столбцами приводим левый блок к простейшему виду. Прибавляем ко второй и последней строке первую, умноженную на (-1), затем меняем местами вторую и третью строки:


(A\mid E)\sim \begin{pmatrix} 1&1&1\!\!&\vline\!\!&1&0&0&0\\ 0&0&0\!\!& \vline\!\!& -1&1&0&0\\ 0&1&2\!\!&\vline\!\!&0&0&1&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!&-1&0&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&1&1\!\!&\vline\!\!&1&0&0&0\\ 0&1&2\!\!& \vline\!\!& 0&0&1&0\\ 0&0&0\!\!& \vline\!\!&-1&1&0&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!&-1&0&0&1\end{pmatrix}\!.

Прибавим ко второму и третьему столбцам первый, умноженный на (-1), а затем к третьему столбцу — второй, умноженный на (-2). При этом в левом блоке получим простейший вид \Lambda матрицы A (ее ранг r=\operatorname{rg}A=2), а правый блок матрицы не изменится:


A\sim\Lambda= \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\!,\qquad S=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ -1&1&0&0\\ -1&0&0&1 \end{pmatrix}\!.

3. Из последних n-r=4-2=2 строк матрицы S составляем матрицу \Psi=\begin{pmatrix} -1&1&0&0\\ -1&0&0&1 \end{pmatrix}\!.


4. Записываем искомую систему уравнений в форме \Psi x=\Psi a_0\colon\, \begin{cases} -x_1+x_2=1,\\ -x_1+x_4=1.\end{cases}




Пример 8.15. Найти размерность пересечения многообразий \mathbf{A} и \mathbf{B}, если \mathbf{A} — многообразие, заданное в примере 8.14 аффинной оболочкой век торов, а многообразие \mathbf{B}=\{Bx=b\} — множество решений неоднородной системы


\begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=1,\\ 2x_1+3x_2+x_4=0,\\ 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=1. \end{cases}

Решение. В примере 8.14 найдена система неоднородных уравнений, описывающая многообразие \mathbf{A}=\{Ax=a\}\colon \begin{cases}-x_1+x_2=1,\\ -x_1+x_4=1. \end{cases} Составляя из систем Ax=a и Bx=b одну систему, получаем внешнее описание пересечения многообразий: \mathbf{A}\cap \mathbf{B}= \left\{\begin{matrix}Ax=a\\ Bx=b\end{matrix}\right\}. Найдем множество решений этой системы. Составляем матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду:


\begin{aligned}\begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&a\\\hline B\!\!&\vline\!\!&b \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1&1&0&0\!\!& \vline\!\!&1\\ -1&0&0&1\!\!&\vline\!\!&1\\\hline 1&1&2&1\!\!& \vline\!\!&1\\ 2&3&0&1\!\!&\vline\!\!&0\\ 3&4&2&2\!\!&\vline\!\!&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&-1&0&0\!\!&\vline\!\!&-1\\ 0&-1&0&1\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&2&2&1\!\!&\vline\!\!&2\\ 0&5&0& 1\!\!&\vline\!\!&2\\ 0&7&2&2\!\!& \vline\!\!&4\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-1&0&0\!\!& \vline\!\!&-1\\ 0&1&0&-1\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&0&2&3\!\!&\vline\!\!&2\\ 0&0&0& 6\!\!&\vline\!\!& 2\\ 0&0&2&9\!\!&\vline\!\!&4\end{pmatrix}\sim\\[2pt] &\sim \begin{pmatrix} 1&-1&0&0\!\!&\vline\!\!&-1\\ 0&1&0&-1\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&0&1&3/2\!\!&\vline\!\!&1\\ 0&0& 0&6\!\!&\vline\!\!&2\\ 0&0&0&6\!\!& \vline\!\!&2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&-1&0&0\!\!&\vline\!\!&-1\\ 0&1&0&-1\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&0&1&3/2\!\!&\vline\!\!&1\\ 0&0&0&1\!\!& \vline\!\!&1/3\\ 0&0&0&0\!\!& \vline\!\!&0 \end{pmatrix}\!.\end{aligned}

Система имеет единственное решение x=\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}& \dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3} \end{pmatrix}^T. Следовательно, пересечение многообразий состоит из одного вектора. Поскольку однороная часть пересечения представлена нулевым пространством, то \dim(\mathbf{A}\cap \mathbf{B})= \dim\{\mathbf{o}\}=0.




Пример 8.16. Исследовать взаимное расположение многообразий \mathbf{A},\, \mathbf{B} и \mathbf{C}, если \mathbf{A} — многообразие, заданное в примере 8.14 аффинной оболочкой векторов, \mathbf{C} — многообразие, заданное в примере 8.15 неоднородной системой уравнений, а многообразие \mathbf{C}= \mathbf{c}_0+\operatorname{Lin}(\mathbf{c}_1) — проходит через вектор \mathbf{c}_0= \begin{pmatrix}1&0&0&0 \end{pmatrix}^T параллельно линейной оболочке вектора \mathbf{c}_1=\begin{pmatrix}1&1&1&1\end{pmatrix}^T.


Решение. В примере 8.15 показано, что многообразия \mathbf{A} и \mathbf{B} пересекаются и \mathbf{A}\cap \mathbf{B}=\{\mathbf{x}\}, x=\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}& \dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3} \end{pmatrix}^T.


Найдем пересечения многообразия \mathbf{C} с многообразиями \mathbf{A} и \mathbf{B}. Любой вектор из \mathbf{C} имеет вид c=\begin{pmatrix}1+t&t&t&t\end{pmatrix}^T, где параметр t\in \mathbb{R}. Подставим выражения для координат этого вектора в системы, описывающие многообразия \mathbf{A} и \mathbf{B} (система для многообразия \mathbf{A} получена в примере 8.14):


\begin{cases}-(1+t)+t=1,\\ -(1+t)+t=1,\end{cases}\quad \begin{cases} (1+t)+t+2t+t=1,\\ 2(1+t)+3t+t=0,\\ 3(1+t)+4t+2t+2t=1. \end{cases}

Каждая из систем несовместна. Следовательно, многообразие \mathbf{C} не пересекает многообразий \mathbf{A} и \mathbf{B}.


Найдем пересечение однородной части \mathbf{C} с однородными частями \mathbf{A} и \mathbf{B}. Однородная часть \mathbf{C} задана линейной оболочкой \operatorname{Lin}(c_1). Однородную часть \mathbf{A} находим по правилу (8.23):


\mathbf{A}= \operatorname{Aff}(a_0,a_1,a_2,a_3)= a_0+ \operatorname{Lin}(a_1-a_0, a_2-a_0,a_3-a_0).

Так как a_2-a_1=\begin{pmatrix}1&1&1&1 \end{pmatrix}^T=c_1, то справедливо включение


\operatorname{Lin}(c_1)= \operatorname{Lin}(a_2-a_0)\subset \operatorname{Lin}( a_1-a_0, a_2-a_0,a_3-a_0).

Поскольку однородная часть многообразия \mathbf{C} содержится в однородной части многообразия \mathbf{A}, то, согласно определению, многообразия \mathbf{A} и \mathbf{C} параллельны.


Однородную часть \mathbf{B} определяем, используя структуру общего решения неоднородной системы (она была найдена при решении примера 5.5):


x=x^H+C_1\cdot\varphi_1+C_2\cdot\varphi_2= \begin{pmatrix}3\\-2\\0\\0\end{pmatrix}+ C_1\cdot\! \begin{pmatrix} -6\\4\\1\\0 \end{pmatrix}+ C_2\cdot\! \begin{pmatrix} -2\\1\\0\\1 \end{pmatrix}\!,

где C_1,\,C_2 — произвольные постоянные. По правилу (8.24) \mathbf{B}=x^H+ \operatorname{Lin}(\varphi_1,\varphi_2). Найдем пересечение подпространств \operatorname{Lin}(c_1),~k_1=1 и \operatorname{Lin} (\varphi_1,\varphi_2),~ k_2=2. Для этого составляем матрицу \begin{pmatrix} c_1\!\!&\vline\!\!& \varphi_1& \varphi_2\end{pmatrix} и приводим ее к ступенчатому виду


\begin{pmatrix}c_1\!\!&\vline\!\!& \varphi_1& \varphi_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\!\!&\vline\!\!&-6&-2\\ 1\!\!&\vline\!\!&4&1\\ 1\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 1\!\!&\vline\!\!&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1\!\!&\vline\!\!&0&1\\ 1\!\!&\vline\!\!&4&1\\ 1\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 1\!\!&\vline\!\!&-6&-2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1\!\!&\vline\!\!&0&1\\ 0\!\!&\vline\!\!&4&0\\ 0\!\!&\vline\!\!&1&-1\\ 0\!\!&\vline\!\!&-6&-3 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1\!\!&\vline\!\!&0&1\\ 0\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 0\!\!&\vline\!\!&0&1\\ 0\!\!&\vline\!\!&0&0 \end{pmatrix}\!.

Поскольку r=\operatorname{rg}\! \begin{pmatrix}c_1\!\!&\vline\!\!& \varphi_1& \varphi_2 \end{pmatrix}=3, то размерность пересечения равна нулю: k_1+k_2-r=1+2-3=0. Так как \operatorname{Lin}(c_1)\cap \operatorname{Lin} (\varphi_1,\varphi_2)= \{\mathbf{0}\} и многообразия \mathbf{B} и \mathbf{C} не пересекаются, то они скрещивающиеся.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved