Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Линейные и аффинные подпространства

Линейные и аффинные подпространства


Линейное подпространство


Непустое подмножество \mathbb{L} векторов из \mathbb{R}^n называется линейным подпространством пространства \mathbb{R}^n, если:


1) \vec{u}+\vec{v}\in\mathbb{L}~~\forall\vec{u},\vec{v}\in\mathbb{L} (подпространство замкнуто по отношению к операции сложения);


2) \lambda\vec{v}\in\mathbb{L}~~\forall\vec{v}\in\mathbb{L} и любого действительного числа \lambda (подпространство замкнуто по отношению к операции умножения вектора на число).


Для указания линейного подпространства будем использовать обозначение \mathbb{L}\triangleleft\mathbb{R}^n. В частности, множество \{\vec{o}\}, состоящее из одного нулевого вектора, и все пространство \mathbb{R}^n считаются подпространствами \mathbb{R}^n: \{\vec{o}\}\triangleleft\mathbb{R}^n,~\mathbb{R}^n\triangleleft\mathbb{R}^n. В "обычном" пространстве \mathbb{R}^3 координатная ось (\mathbb{R}) и координатная плоскость (\mathbb{R}^2) являются подпространствами: \mathbb{R}\triangleleft\mathbb{R}^2\triangleleft\mathbb{R}^3.


Линейное подпространство \mathbb{L} называется m-мерным, если в нем существует система из m линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число m называется размерностью (числом измерений) линейного подпространства \mathbb{L} и обозначается \dim\mathbb{L}, в частности, \dim\{\vec{o}\}=0 (так как в множестве \{\vec{o}\} нет линейно независимых векторов), \dim\mathbb{R}^n=n. Другими словами, размерность подпространства — это максимальное число линейно независимых векторов этого подпространства.


Базисом m-мерного линейного подпространства называется упорядоченная совокупность m линейно независимых векторов (базисных векторов). Например, векторы \vec{i},\vec{j} образуют базис на координатной плоскости \mathbb{R}^2, являющейся подпространством \mathbb{R}^3.




Замечания 2.10


1. Линейное подпространство — это непустое подмножество \mathbb{R}^n, которое содержит любую линейную комбинацию своих векторов, т.е.


\begin{gathered} \mathbb{L}\triangleleft\mathbb{R}^n\quad \Leftrightarrow\quad \alpha_1\cdot \vec{v}_1+ \alpha_2\cdot \vec{v}_2+ \cdots+\alpha_k\cdot\vec{v}_k\in\mathbb{L},\\[4pt] \forall\vec{v}_1\,\ldots, \vec{v}_k\in\mathbb{L}\quad \forall\alpha_1\,\ldots, \alpha_k\in\mathbb{R}\quad \forall k\in\mathbb{N}. \end{gathered}

Это утверждение следует из условий 1, 2 в определении линейного подпространства и может быть взято в качестве эквивалентного определения.

2. Базис линейного подпространства — это полная система векторов этого подпространства в том смысле, что любой вектор подпространства линейно выражается через базисные векторы. Другими словами, m-мерное линейное подпространство \mathbb{L} есть линейная оболочка своих базисных векторов \vec{l}_1,\ldots,\vec{l}_m\colon\mathbb{L}=\operatorname{Lin}(\vec{l}_1,\ldots,\vec{l}_m).


3. Базис линейного подпространства — это максимальная линейно независимая система векторов этого подпространства, так как базис — это линейно независимая система векторов, и ее нельзя дополнить каким-либо вектором из подпространства без потери линейной независимости.


4. Базис линейного подпространства — это полная линейно независимая система векторов линейного подпространства.




Аффинное подпространство


Непустое подмножество \Pi точек из \mathbb{R}^n называется аффинным подпространством, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и любую их аффинную комбинацию: для любых точек A и B (концов радиус-векторов \vec{a},\vec{b} соответственно), принадлежащих \Pi, точка C также принадлежит \Pi, радиус-вектор которой имеет вид


\vec{c}=\alpha\cdot\vec{a}+\beta\cdot\vec{b},\quad \alpha+\beta=1,\quad \alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R}\,.

Например, аффинными подпространствами являются точка, прямая, плоскость или все пространство \mathbb{R}^3.


Покажем, что аффинное подпространство можно задать при помощи операции откладывания векторов от точки. Действительно, пусть A — некоторая точка \mathbb{R}^3 (\vec{a} — ее радиус-вектор), а \mathbb{L}\triangleleft\mathbb{R}^n — линейное подпространство. Рассмотрим множество \Pi таких точек P (\vec{p} — радиус-вектор точки P) из \mathbb{R}^n, которые получаются в результате откладывания от точки A векторов из \mathbb{L} (рис.2.38):


\Pi=\vec{a}+\mathbb{L}=\bigl\{\vec{p}\in \mathbb{R}^n \colon \vec{p}= \vec{a}+ \vec{l},\,\vec{l}\in \mathbb{L}\bigr\}.
(2.25)

Пусть точки A_1 и A_2 принадлежат \Pi, т.е. их радиус-векторы имеют вид \vec{a}_1=\vec{a}+\vec{l}_1 и \vec{a}_2=\vec{a}+\vec{l}_2. Тогда их аффинная комбинация также принадлежит \Pi, так как


\alpha_1\vec{a}_1+\alpha_2\vec{a}_2= \alpha_1(\vec{a}+\vec{l}_1)+\alpha_2(\vec{a}+\vec{l}_2)= \underbrace{(\alpha_1+\alpha_2)}_{=\,1}\vec{a}+\underbrace{\alpha_1\vec{l}_1+\alpha_2\vec{l}_2}_{=\,\vec{l}_3}= \vec{a}+\vec{l}_3,

где \vec{l}_3\in\mathbb{L} (\vec{l}_3 — линейная комбинация векторов \vec{l}_1 и \vec{l}_2 из подпространства \mathbb{L}).


Откладывание векторов от точки в аффинном подпространстве

Таким образом, множество \Pi (2.25) является аффинным подпространством и называется плоскостью, проходящей через точку A (конец радиус-вектора \vec{a}) параллельно линейному подпространству \mathbb{L}. При этом линейное подпространство \mathbb{L} называется однородной частью аффинного подпространства \Pi. Говорят также, что плоскость \Pi получена в результате параллельного переноса линейного подпространства \mathbb{L} на вектор \vec{a}.


Размерностью плоскости \Pi называется размерность ее однородной части, т.е. \dim\Pi=\dim\mathbb{L}. Например, точка, прямая, плоскость в "обычном" пространстве \mathbb{R}^3 являются нульмерным, одномерным, двумерным аффинными подпространствами соответственно. Плоскость размерности (n-1) в пространстве \mathbb{R}^n называется гиперплоскостью. Прямая на координатной плоскости или плоскость в "обычном" пространстве \mathbb{R}^3 являются гиперплоскостями.




Замечания 2.11


1. Аффинное подпространство — это непустое подмножество \mathbb{R}^n, которое содержит любую аффинную комбинацию своих точек.


2. Точки A_0,A_1,\ldots,A_r называются геометрически независимыми, если векторы \overrightarrow{A_0A_1},\overrightarrow{A_0A_2},\ldots,\overrightarrow{A_0A_r} образуют линейно независимую систему. В r-мерной плоскости \vec{a}_0+\mathbb{L} существует не более (r+1) геометрически независимых точек.


В самом деле, пусть A_0 — любая точка плоскости \Pi (\vec{a}_0 — радиус-вектор точки A_0), а \vec{l}_1,\vec{l}_2,\ldots,\vec{l}_r — базис \mathbb{L}, тогда точки A_0,A_1,\ldots,A_r — концы радиус-векторов \vec{a}_0,\vec{a}_0+\vec{l}_1,\vec{a}_0+\vec{l}_2,\ldots,\vec{a}_0+\vec{l}_r геометрически независимы, так как векторы \vec{l}_1,\vec{l}_2,\ldots,\vec{l}_r линейно независимы. Существование (r+1) геометрически независимых точек доказано. Предположим, что в r-мерной плоскости \Pi имеются (r+2) геометрически независимых точек B_0,B_1,\ldots,B_r,B_{r+1}. Тогда по определению получим линейно независимую систему (r+1) векторов


\vec{l}_1=\overrightarrow{B_0B_1},\quad \vec{l}_2=\overrightarrow{B_0B_2},\quad \ldots,\quad \vec{l}_r=\overrightarrow{B_0B_r},\quad \vec{l}_{r+1}=\overrightarrow{B_0B_{r+1}}

подпространства \mathbb{L}, что противоречит его r-мерности.


3. Геометрически независимые точки аффинного подпространства аналогичны базису линейного подпространства, а именно: если A_0,A_1,\ldots,A_r — геометрически независимые точки r-мерной плоскости \Pi, то


\Pi=\operatorname{Aff}\!\left(\overrightarrow{OA_0},\overrightarrow{OA_1},\ldots,\overrightarrow{OA_r}\right).

4. Выпуклая комбинация \operatorname{Aff}(\overrightarrow{OA_0},\overrightarrow{OA_1},\ldots,\overrightarrow{OA_r}) геометрически независимых точек A_0,A_1,\ldots,A_r (их радиус-векторов) называется г-мерным симплексом (с вершинами A_0,A_1,\ldots,A_r) и обозначается A_0A_1\ldots A_r. Например, в "обычном" пространстве \mathbb{R}^3: тетраэдр A_0A_1A_2A_3 (включая его внутренние точки) является трехмерным симплексом, плоский треугольник A_0A_1A_2 — двумерным симплексом, отрезок A_0A_1 — одномерным симплексом, а точка A_0 — нульмерным симплексом.


Выпуклая комбинация k~(0\leqslant k\leqslant r) точек из набора A_0,A_1,\ldots,A_r называется k-мерной гранью r-мерного симплекса A_0A_1\ldots A_r. Например, нульмерные грани тетраэдра A_0A_1A_2A_3 — это его вершины, одномерные грани — ребра, двумерные грани — "обычные" грани тетраэдра.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved