Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Линейные и аффинные подпространства

Линейные и аффинные подпространства


Линейное подпространство


Непустое подмножество [math]\mathbb{L}[/math] векторов из [math]\mathbb{R}^n[/math] называется линейным подпространством пространства [math]\mathbb{R}^n[/math], если:


1) [math]\vec{u}+\vec{v}\in\mathbb{L}~~\forall\vec{u},\vec{v}\in\mathbb{L}[/math] (подпространство замкнуто по отношению к операции сложения);


2) [math]\lambda\vec{v}\in\mathbb{L}~~\forall\vec{v}\in\mathbb{L}[/math] и любого действительного числа [math]\lambda[/math] (подпространство замкнуто по отношению к операции умножения вектора на число).


Для указания линейного подпространства будем использовать обозначение [math]\mathbb{L}\triangleleft\mathbb{R}^n[/math]. В частности, множество [math]\{\vec{o}\}[/math], состоящее из одного нулевого вектора, и все пространство [math]\mathbb{R}^n[/math] считаются подпространствами [math]\mathbb{R}^n[/math]: [math]\{\vec{o}\}\triangleleft\mathbb{R}^n,~\mathbb{R}^n\triangleleft\mathbb{R}^n[/math]. В "обычном" пространстве [math]\mathbb{R}^3[/math] координатная ось [math](\mathbb{R})[/math] и координатная плоскость [math](\mathbb{R}^2)[/math] являются подпространствами: [math]\mathbb{R}\triangleleft\mathbb{R}^2\triangleleft\mathbb{R}^3[/math].


Линейное подпространство [math]\mathbb{L}[/math] называется m-мерным, если в нем существует система из [math]m[/math] линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число [math]m[/math] называется размерностью (числом измерений) линейного подпространства [math]\mathbb{L}[/math] и обозначается [math]\dim\mathbb{L}[/math], в частности, [math]\dim\{\vec{o}\}=0[/math] (так как в множестве [math]\{\vec{o}\}[/math] нет линейно независимых векторов), [math]\dim\mathbb{R}^n=n[/math]. Другими словами, размерность подпространства — это максимальное число линейно независимых векторов этого подпространства.


Базисом m-мерного линейного подпространства называется упорядоченная совокупность [math]m[/math] линейно независимых векторов (базисных векторов). Например, векторы [math]\vec{i},\vec{j}[/math] образуют базис на координатной плоскости [math]\mathbb{R}^2[/math], являющейся подпространством [math]\mathbb{R}^3[/math].




Замечания 2.10


1. Линейное подпространство — это непустое подмножество [math]\mathbb{R}^n[/math], которое содержит любую линейную комбинацию своих векторов, т.е.


[math]\begin{gathered} \mathbb{L}\triangleleft\mathbb{R}^n\quad \Leftrightarrow\quad \alpha_1\cdot \vec{v}_1+ \alpha_2\cdot \vec{v}_2+ \cdots+\alpha_k\cdot\vec{v}_k\in\mathbb{L},\\[4pt] \forall\vec{v}_1\,\ldots, \vec{v}_k\in\mathbb{L}\quad \forall\alpha_1\,\ldots, \alpha_k\in\mathbb{R}\quad \forall k\in\mathbb{N}. \end{gathered}[/math]

Это утверждение следует из условий 1, 2 в определении линейного подпространства и может быть взято в качестве эквивалентного определения.

2. Базис линейного подпространства — это полная система векторов этого подпространства в том смысле, что любой вектор подпространства линейно выражается через базисные векторы. Другими словами, m-мерное линейное подпространство [math]\mathbb{L}[/math] есть линейная оболочка своих базисных векторов [math]\vec{l}_1,\ldots,\vec{l}_m\colon\mathbb{L}=\operatorname{Lin}(\vec{l}_1,\ldots,\vec{l}_m)[/math].


3. Базис линейного подпространства — это максимальная линейно независимая система векторов этого подпространства, так как базис — это линейно независимая система векторов, и ее нельзя дополнить каким-либо вектором из подпространства без потери линейной независимости.


4. Базис линейного подпространства — это полная линейно независимая система векторов линейного подпространства.




Аффинное подпространство


Непустое подмножество [math]\Pi[/math] точек из [math]\mathbb{R}^n[/math] называется аффинным подпространством, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и любую их аффинную комбинацию: для любых точек [math]A[/math] и [math]B[/math] (концов радиус-векторов [math]\vec{a},\vec{b}[/math] соответственно), принадлежащих [math]\Pi[/math], точка [math]C[/math] также принадлежит [math]\Pi[/math], радиус-вектор которой имеет вид


[math]\vec{c}=\alpha\cdot\vec{a}+\beta\cdot\vec{b},\quad \alpha+\beta=1,\quad \alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R}\,.[/math]

Например, аффинными подпространствами являются точка, прямая, плоскость или все пространство [math]\mathbb{R}^3[/math].


Покажем, что аффинное подпространство можно задать при помощи операции откладывания векторов от точки. Действительно, пусть [math]A[/math] — некоторая точка [math]\mathbb{R}^3[/math] ([math]\vec{a}[/math] — ее радиус-вектор), а [math]\mathbb{L}\triangleleft\mathbb{R}^n[/math] — линейное подпространство. Рассмотрим множество [math]\Pi[/math] таких точек [math]P[/math] ([math]\vec{p}[/math] — радиус-вектор точки [math]P[/math]) из [math]\mathbb{R}^n[/math], которые получаются в результате откладывания от точки [math]A[/math] векторов из [math]\mathbb{L}[/math] (рис.2.38):


[math]\Pi=\vec{a}+\mathbb{L}=\bigl\{\vec{p}\in \mathbb{R}^n \colon \vec{p}= \vec{a}+ \vec{l},\,\vec{l}\in \mathbb{L}\bigr\}.[/math]
(2.25)

Пусть точки [math]A_1[/math] и [math]A_2[/math] принадлежат [math]\Pi[/math], т.е. их радиус-векторы имеют вид [math]\vec{a}_1=\vec{a}+\vec{l}_1[/math] и [math]\vec{a}_2=\vec{a}+\vec{l}_2[/math]. Тогда их аффинная комбинация также принадлежит [math]\Pi[/math], так как


[math]\alpha_1\vec{a}_1+\alpha_2\vec{a}_2= \alpha_1(\vec{a}+\vec{l}_1)+\alpha_2(\vec{a}+\vec{l}_2)= \underbrace{(\alpha_1+\alpha_2)}_{=\,1}\vec{a}+\underbrace{\alpha_1\vec{l}_1+\alpha_2\vec{l}_2}_{=\,\vec{l}_3}= \vec{a}+\vec{l}_3,[/math]

где [math]\vec{l}_3\in\mathbb{L}[/math] ([math]\vec{l}_3[/math] — линейная комбинация векторов [math]\vec{l}_1[/math] и [math]\vec{l}_2[/math] из подпространства [math]\mathbb{L}[/math]).


Откладывание векторов от точки в аффинном подпространстве

Таким образом, множество [math]\Pi[/math] (2.25) является аффинным подпространством и называется плоскостью, проходящей через точку [math]A[/math] (конец радиус-вектора [math]\vec{a}[/math]) параллельно линейному подпространству [math]\mathbb{L}[/math]. При этом линейное подпространство [math]\mathbb{L}[/math] называется однородной частью аффинного подпространства [math]\Pi[/math]. Говорят также, что плоскость [math]\Pi[/math] получена в результате параллельного переноса линейного подпространства [math]\mathbb{L}[/math] на вектор [math]\vec{a}[/math].


Размерностью плоскости [math]\Pi[/math] называется размерность ее однородной части, т.е. [math]\dim\Pi=\dim\mathbb{L}[/math]. Например, точка, прямая, плоскость в "обычном" пространстве [math]\mathbb{R}^3[/math] являются нульмерным, одномерным, двумерным аффинными подпространствами соответственно. Плоскость размерности [math](n-1)[/math] в пространстве [math]\mathbb{R}^n[/math] называется гиперплоскостью. Прямая на координатной плоскости или плоскость в "обычном" пространстве [math]\mathbb{R}^3[/math] являются гиперплоскостями.




Замечания 2.11


1. Аффинное подпространство — это непустое подмножество [math]\mathbb{R}^n[/math], которое содержит любую аффинную комбинацию своих точек.


2. Точки [math]A_0,A_1,\ldots,A_r[/math] называются геометрически независимыми, если векторы [math]\overrightarrow{A_0A_1},\overrightarrow{A_0A_2},\ldots,\overrightarrow{A_0A_r}[/math] образуют линейно независимую систему. В r-мерной плоскости [math]\vec{a}_0+\mathbb{L}[/math] существует не более [math](r+1)[/math] геометрически независимых точек.


В самом деле, пусть [math]A_0[/math] — любая точка плоскости [math]\Pi[/math] ([math]\vec{a}_0[/math] — радиус-вектор точки [math]A_0[/math]), а [math]\vec{l}_1,\vec{l}_2,\ldots,\vec{l}_r[/math] — базис [math]\mathbb{L}[/math], тогда точки [math]A_0,A_1,\ldots,A_r[/math] — концы радиус-векторов [math]\vec{a}_0,\vec{a}_0+\vec{l}_1,\vec{a}_0+\vec{l}_2,\ldots,\vec{a}_0+\vec{l}_r[/math] геометрически независимы, так как векторы [math]\vec{l}_1,\vec{l}_2,\ldots,\vec{l}_r[/math] линейно независимы. Существование [math](r+1)[/math] геометрически независимых точек доказано. Предположим, что в r-мерной плоскости [math]\Pi[/math] имеются [math](r+2)[/math] геометрически независимых точек [math]B_0,B_1,\ldots,B_r,B_{r+1}[/math]. Тогда по определению получим линейно независимую систему [math](r+1)[/math] векторов


[math]\vec{l}_1=\overrightarrow{B_0B_1},\quad \vec{l}_2=\overrightarrow{B_0B_2},\quad \ldots,\quad \vec{l}_r=\overrightarrow{B_0B_r},\quad \vec{l}_{r+1}=\overrightarrow{B_0B_{r+1}}[/math]

подпространства [math]\mathbb{L}[/math], что противоречит его r-мерности.


3. Геометрически независимые точки аффинного подпространства аналогичны базису линейного подпространства, а именно: если [math]A_0,A_1,\ldots,A_r[/math] — геометрически независимые точки r-мерной плоскости [math]\Pi[/math], то


[math]\Pi=\operatorname{Aff}\!\left(\overrightarrow{OA_0},\overrightarrow{OA_1},\ldots,\overrightarrow{OA_r}\right).[/math]

4. Выпуклая комбинация [math]\operatorname{Aff}(\overrightarrow{OA_0},\overrightarrow{OA_1},\ldots,\overrightarrow{OA_r})[/math] геометрически независимых точек [math]A_0,A_1,\ldots,A_r[/math] (их радиус-векторов) называется г-мерным симплексом (с вершинами [math]A_0,A_1,\ldots,A_r[/math]) и обозначается [math]A_0A_1\ldots A_r[/math]. Например, в "обычном" пространстве [math]\mathbb{R}^3[/math]: тетраэдр [math]A_0A_1A_2A_3[/math] (включая его внутренние точки) является трехмерным симплексом, плоский треугольник [math]A_0A_1A_2[/math] — двумерным симплексом, отрезок [math]A_0A_1[/math] — одномерным симплексом, а точка [math]A_0[/math] — нульмерным симплексом.


Выпуклая комбинация [math]k~(0\leqslant k\leqslant r)[/math] точек из набора [math]A_0,A_1,\ldots,A_r[/math] называется k-мерной гранью r-мерного симплекса [math]A_0A_1\ldots A_r[/math]. Например, нульмерные грани тетраэдра [math]A_0A_1A_2A_3[/math] — это его вершины, одномерные грани — ребра, двумерные грани — "обычные" грани тетраэдра.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved