Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы
В предыдущем разделе были введены операции умножения матриц на число и сложения матриц, в частности, для матриц-столбцов и матриц-строк . Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой главе прописными буквами. При помощи этих операций можно составлять некоторые алгебраические выражения. Напомним, что равными считаются столбцы одинаковых размеров с равными соответствующими элементами.
Столбец называется линейной комбинацией столбцов одинаковых размеров, если
(3.1)
где — некоторые числа. В этом случае говорят, что столбец разложен по столбцам , а числа называют коэффициентами разложения. Линейная комбинация с нулевыми коэффициентами называется тривиальной.
Если столбцы в (3.1) имеют вид
то матричному равенству (3.1) соответствуют поэлементные равенства
Аналогично формулируется определение линейной комбинации строк одинаковых размеров.
Набор столбцов одинаковых размеров называется системой столбцов.
Система из столбцов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что
(3.2)
Здесь и далее символом о обозначается нулевой столбец соответствующих размеров.
Система из столбцов называется линейно независимой, если равенство (3.2) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части (3.2) тривиальная. Аналогичные определения формулируются и для строк (матриц-строк).
Замечания 3.1
1. Один столбец тоже образует систему: при — линейно зависимую, а при линейно независимую.
2. Любая часть системы столбцов называется подсистемой.
Пример 3.1. Используя определение, установить линейную зависимость или линейную независимость систем столбцов
Решение. 1) Столбцы линейно зависимы, так как можно составить нетривиальную линейную комбинацию, например, с коэффициентами , которая равна нулевому столбцу: .
2) Столбцы линейно независимы, так как равенство
равносильное системе
оказывается верным только при .
Свойства линейно зависимых и линейно независимых столбцов матриц
Понятия линейной зависимости и линейной независимости определяются для строк и столбцов одинаково. Поэтому свойства, связанные с этими понятиями, сформулированные для столбцов, разумеется, справедливы и для строк.
1. Если в систему столбцов входит нулевой столбец, то она линейно зависима.
2. Если в системе столбцов имеется два равных столбца, то она линейно зависима.
3. Если в системе столбцов имеется два пропорциональных столбца , то она линейно зависима.
4. Система из столбцов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов есть линейная комбинация остальных.
5. Любые столбцы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.
6. Система столбцов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.
7. Если система столбцов — линейно независима, а после присоединения к ней столбца — оказывается линейно зависимой, то столбец можно разложить по столбцам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.
Докажем, например, последнее свойство. Так как система столбцов линейно зависима, то существуют числа не все равные 0, что
В этом равенстве . В самом деле, если , то
Значит, нетривиальная линейная комбинация столбцов равна нулевому столбцу, что противоречит линейной независимости системы . Следовательно, и тогда , т.е. столбец есть линейная комбинация столбцов . Осталось показать единственность такого представления. Предположим противное. Пусть имеется два разложения и , причем не все коэффициенты разложений соответственно равны между собой (например, ). Тогда из равенства
получаем (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o
последовательно, линейная комбинация столбцов равна нулевому столбцу. Так как не все ее коэффициенты равны нулю (по крайней мере ), то эта комбинация нетривиальная, что противоречит условию линейной независимости столбцов . Полученное противоречие подтверждает единственность разложения.
Пример 3.2. Доказать, что два ненулевых столбца и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. .
Решение. В самом деле, если столбцы и линейно зависимы, то существуют такие числа , не равные нулю одновременно, что . Причем в этом равенстве . Действительно, предположив, что , получим противоречие , поскольку и столбец — ненулевой. Значит, . Поэтому найдется число такое, что . Необходимость доказана.
Наоборот, если , то . Получили нетривиальную линейную комбинацию столбцов, равную нулевому столбцу. Значит, столбцы линейно зависимы.
Пример 3.3. Рассмотреть всевозможные системы, образованные из столбцов
Исследовать каждую систему на линейную зависимость.
Решение. Рассмотрим пять систем, содержащих по одному столбцу. Согласно пункту 1 замечаний 3.1: системы , линейно независимы, а система, состоящая из одного нулевого столбца , линейно зависима.
Рассмотрим системы, содержащие по два столбца:
– каждая из четырех систем и линейно зависима, так как содержит нулевой столбец (свойство 1);
– система линейно зависима, так как столбцы пропорциональны (свойство 3): ;
– каждая из пяти систем и линейно независима, так как столбцы непропорциональные (см. утверждение примера 3.2).
Рассмотрим системы, содержащие три столбца:
– каждая из шести систем и линейно зависима, так как содержит нулевой столбец (свойство 1);
– системы линейно зависимы, так как содержат линейно зависимую подсистему (свойство 6);
– системы и линейно зависимы, так как последний столбец линейно выражается через остальные (свойство 4): и соответственно.
Наконец, системы из четырех или из пяти столбцов линейно зависимы (по свойству 6).
См. также Ранг системы столбцов (строк) матрицы
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|