Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы

Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы


В предыдущем разделе были введены операции умножения матриц на число и сложения матриц, в частности, для матриц-столбцов (n\times1) и матриц-строк (1\times n). Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой главе прописными буквами. При помощи этих операций можно составлять некоторые алгебраические выражения. Напомним, что равными считаются столбцы одинаковых размеров с равными соответствующими элементами.


Столбец A называется линейной комбинацией столбцов A_1,A_2,\ldots,A_k одинаковых размеров, если


A=\alpha_1\cdot A_1+\alpha_2\cdot A_2+\ldots+\alpha_k\cdot A_k,
(3.1)

где \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k — некоторые числа. В этом случае говорят, что столбец A разложен по столбцам A_1,A_2,\ldots,A_k, а числа \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k называют коэффициентами разложения. Линейная комбинация A=0\cdot A_1+0\cdot A_2+\ldots+0\cdot A_k с нулевыми коэффициентами называется тривиальной.


Если столбцы в (3.1) имеют вид


A=\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}\!,\quad A_1=\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots\\a_{n1}\end{pmatrix}\!,~\ldots,~ A_k=\begin{pmatrix}a_{1k}\\\vdots\\a_{nk}\end{pmatrix}\!,

то матричному равенству (3.1) соответствуют поэлементные равенства


a_i=\alpha_1\cdot a_{i1}+\alpha_2\cdot a_{i2}+\ldots+ \alpha_{k}\cdot a_{ik},\quad i=1,2,\ldots,n.

Аналогично формулируется определение линейной комбинации строк одинаковых размеров.


Набор столбцов A_1,A_2,\ldots,A_k одинаковых размеров называется системой столбцов.


Система из k столбцов A_1,A_2,\ldots,A_k называется линейно зависимой, если существуют такие числа \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k, не все равные нулю одновременно, что


\alpha_1\cdot A_1+\alpha_2\cdot A_2+\ldots+\alpha_k\cdot A_k=o.
(3.2)

Здесь и далее символом о обозначается нулевой столбец соответствующих размеров.


Система из k столбцов A_1,A_2,\ldots,A_k называется линейно независимой, если равенство (3.2) возможно только при \alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_k=0, т.е. когда линейная комбинация в левой части (3.2) тривиальная. Аналогичные определения формулируются и для строк (матриц-строк).


Замечания 3.1


1. Один столбец A_1 тоже образует систему: при A_1=o — линейно зависимую, а при A_1\ne o линейно независимую.


2. Любая часть системы столбцов называется подсистемой.




Пример 3.1. Используя определение, установить линейную зависимость или линейную независимость систем столбцов


\mathsf{1)}~ A_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\!,~A_2=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\!;\quad \mathsf{2)}~ A_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\!,~ A_2=\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}\!.

Решение. 1) Столбцы A_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\!,~A_2=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix} линейно зависимы, так как можно составить нетривиальную линейную комбинацию, например, с коэффициентами \alpha_1=2,\,\alpha_2=-1, которая равна нулевому столбцу: 2\cdot\! \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}-1\cdot\! \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}.


2) Столбцы A_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\!,~ A_2=\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix} линейно независимы, так как равенство


\alpha_1\cdot\! \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+ \alpha_2\cdot \begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\!, равносильное системе \begin{cases}1\cdot\alpha_1=0,\\2\cdot\alpha_2=0,\end{cases}

оказывается верным только при \alpha_1=\alpha_2=0.




Свойства линейно зависимых и линейно независимых столбцов матриц


Понятия линейной зависимости и линейной независимости определяются для строк и столбцов одинаково. Поэтому свойства, связанные с этими понятиями, сформулированные для столбцов, разумеется, справедливы и для строк.


1. Если в систему столбцов входит нулевой столбец, то она линейно зависима.


2. Если в системе столбцов имеется два равных столбца, то она линейно зависима.


3. Если в системе столбцов имеется два пропорциональных столбца (A_i=\lambda A_j), то она линейно зависима.


4. Система из k>1 столбцов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов есть линейная комбинация остальных.


5. Любые столбцы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.


6. Система столбцов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.


7. Если система столбцов A_1,A_2,\ldots,A_k — линейно независима, а после присоединения к ней столбца A — оказывается линейно зависимой, то столбец A можно разложить по столбцам A_1,A_2,\ldots,A_k, и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.


Докажем, например, последнее свойство. Так как система столбцов A_1,A_2,\ldots,A_k,A линейно зависима, то существуют числа \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k,\alpha не все равные 0, что


\alpha_1\cdot A+\alpha_2\cdot A_2+\ldots+\alpha_k\cdot A_k+\alpha\cdot A=o.

В этом равенстве \alpha\ne o. В самом деле, если \alpha=0, то


\alpha_1\cdot A+\alpha_2\cdot A_2+\ldots+\alpha_k\cdot A_k=o.

Значит, нетривиальная линейная комбинация столбцов A_1,A_2,\ldots,A_k равна нулевому столбцу, что противоречит линейной независимости системы A_1,A_2,\ldots,A_k. Следовательно, \alpha\ne0 и тогда A=-\frac{\alpha_1}{\alpha}A_1-\ldots-\frac{\alpha_k}{\alpha}A_k, т.е. столбец A есть линейная комбинация столбцов A_1,A_2,\ldots,A_k. Осталось показать единственность такого представления. Предположим противное. Пусть имеется два разложения A=\alpha_1 A+\ldots+\alpha_k A_k и A=\beta_1 A_1+\ldots+\beta_k A_k, причем не все коэффициенты разложений соответственно равны между собой (например, \alpha_1=\beta_1). Тогда из равенства


\alpha_1 A+\ldots+\alpha_k A_k=\beta_1 A_1+\ldots+\beta_k A_k получаем (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

последовательно, линейная комбинация столбцов A_1,A_2,\ldots,A_k равна нулевому столбцу. Так как не все ее коэффициенты равны нулю (по крайней мере \alpha_1-\beta_1\ne0), то эта комбинация нетривиальная, что противоречит условию линейной независимости столбцов A_1,A_2,\ldots,A_k. Полученное противоречие подтверждает единственность разложения.




Пример 3.2. Доказать, что два ненулевых столбца A_1 и A_2 линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. A_1=\lambda A_2.


Решение. В самом деле, если столбцы A_1 и A_2 линейно зависимы, то существуют такие числа \alpha_1,\,\alpha_2, не равные нулю одновременно, что \alpha_1A_1+\alpha_2A_2=o. Причем в этом равенстве \alpha_1\ne0. Действительно, предположив, что \alpha_1=0, получим противоречие \alpha_2A_2=o, поскольку \alpha_2\ne0 и столбец A_2 — ненулевой. Значит, \alpha_1\ne0. Поэтому найдется число \lambda=-\frac{\alpha_1}{\alpha_2} такое, что A_1=\lambda A_2. Необходимость доказана.


Наоборот, если A_1=\lambda A_2, то 1\cdot A_1+(-\lambda)A_2=o. Получили нетривиальную линейную комбинацию столбцов, равную нулевому столбцу. Значит, столбцы линейно зависимы.




Пример 3.3. Рассмотреть всевозможные системы, образованные из столбцов


A_1=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\!,\quad A_2=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\!,\quad A_3=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\!,\quad A_4=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\!,\quad A_5=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}\!.

Исследовать каждую систему на линейную зависимость.


Решение. Рассмотрим пять систем, содержащих по одному столбцу. Согласно пункту 1 замечаний 3.1: системы A_2,\,A_3,\,A_4,\,A_5, линейно независимы, а система, состоящая из одного нулевого столбца A_1, линейно зависима.


Рассмотрим системы, содержащие по два столбца:


– каждая из четырех систем A_1,A_2;~A_1,A_3;~A_1,A_4 и A_1,A_5 линейно зависима, так как содержит нулевой столбец A_1 (свойство 1);


– система A_2,\,A_3 линейно зависима, так как столбцы пропорциональны (свойство 3): A_3=2A_2;


– каждая из пяти систем A_2,A_4;~A_2,A_5;~A_3,A_4;~A_3,A_5 и A_4,A_5 линейно независима, так как столбцы непропорциональные (см. утверждение примера 3.2).


Рассмотрим системы, содержащие три столбца:


– каждая из шести систем A_1,A_2,A_3;~A_1,A_2,A_4;~A_1,A_2,A_5;~A_1,A_3,A_4;~A_1,A_3,A_5 и A_1,A_4,A_5 линейно зависима, так как содержит нулевой столбец A_1 (свойство 1);


– системы A_2,A_3,A_4;~A_2,A_3,A_5 линейно зависимы, так как содержат линейно зависимую подсистему A_2,A_3 (свойство 6);


– системы A_2,A_4,A_5 и A_3,A_4,A_5 линейно зависимы, так как последний столбец линейно выражается через остальные (свойство 4): A_5=2A_2+A_4 и A_5=A_3+A_4 соответственно.


Наконец, системы из четырех или из пяти столбцов линейно зависимы (по свойству 6).


См. также Ранг системы столбцов (строк) матрицы

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved