Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы
ОглавлениеЛинейная алгебра

Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы


В предыдущем разделе были введены операции умножения матриц на число и сложения матриц, в частности, для матриц-столбцов [math](n\times1)[/math] и матриц-строк [math](1\times n)[/math]. Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой главе прописными буквами. При помощи этих операций можно составлять некоторые алгебраические выражения. Напомним, что равными считаются столбцы одинаковых размеров с равными соответствующими элементами.


Столбец [math]A[/math] называется линейной комбинацией столбцов [math]A_1,A_2,\ldots,A_k[/math] одинаковых размеров, если


[math]A=\alpha_1\cdot A_1+\alpha_2\cdot A_2+\ldots+\alpha_k\cdot A_k,[/math]
(3.1)

где [math]\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k[/math] — некоторые числа. В этом случае говорят, что столбец [math]A[/math] разложен по столбцам [math]A_1,A_2,\ldots,A_k[/math], а числа [math]\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k[/math] называют коэффициентами разложения. Линейная комбинация [math]A=0\cdot A_1+0\cdot A_2+\ldots+0\cdot A_k[/math] с нулевыми коэффициентами называется тривиальной.


Если столбцы в (3.1) имеют вид


[math]A=\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}\!,\quad A_1=\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots\\a_{n1}\end{pmatrix}\!,~\ldots,~ A_k=\begin{pmatrix}a_{1k}\\\vdots\\a_{nk}\end{pmatrix}\!,[/math]

то матричному равенству (3.1) соответствуют поэлементные равенства

[math]a_i=\alpha_1\cdot a_{i1}+\alpha_2\cdot a_{i2}+\ldots+ \alpha_{k}\cdot a_{ik},\quad i=1,2,\ldots,n.[/math]

Аналогично формулируется определение линейной комбинации строк одинаковых размеров.


Набор столбцов [math]A_1,A_2,\ldots,A_k[/math] одинаковых размеров называется системой столбцов.


Система из [math]k[/math] столбцов [math]A_1,A_2,\ldots,A_k[/math] называется линейно зависимой, если существуют такие числа [math]\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k[/math], не все равные нулю одновременно, что


[math]\alpha_1\cdot A_1+\alpha_2\cdot A_2+\ldots+\alpha_k\cdot A_k=o.[/math]
(3.2)

Здесь и далее символом о обозначается нулевой столбец соответствующих размеров.


Система из [math]k[/math] столбцов [math]A_1,A_2,\ldots,A_k[/math] называется линейно независимой, если равенство (3.2) возможно только при [math]\alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_k=0[/math], т.е. когда линейная комбинация в левой части (3.2) тривиальная. Аналогичные определения формулируются и для строк (матриц-строк).


Замечания 3.1


1. Один столбец [math]A_1[/math] тоже образует систему: при [math]A_1=o[/math] — линейно зависимую, а при [math]A_1\ne o[/math] линейно независимую.


2. Любая часть системы столбцов называется подсистемой.




Пример 3.1. Используя определение, установить линейную зависимость или линейную независимость систем столбцов


[math]\mathsf{1)}~ A_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\!,~A_2=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\!;\quad \mathsf{2)}~ A_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\!,~ A_2=\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. 1) Столбцы [math]A_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\!,~A_2=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}[/math] линейно зависимы, так как можно составить нетривиальную линейную комбинацию, например, с коэффициентами [math]\alpha_1=2,\,\alpha_2=-1[/math], которая равна нулевому столбцу: [math]2\cdot\! \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}-1\cdot\! \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}[/math].


2) Столбцы [math]A_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\!,~ A_2=\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}[/math] линейно независимы, так как равенство


[math]\alpha_1\cdot\! \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+ \alpha_2\cdot \begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\!,[/math] равносильное системе [math]\begin{cases}1\cdot\alpha_1=0,\\2\cdot\alpha_2=0,\end{cases}[/math]

оказывается верным только при [math]\alpha_1=\alpha_2=0[/math].



Свойства линейно зависимых и линейно независимых столбцов матриц


Понятия линейной зависимости и линейной независимости определяются для строк и столбцов одинаково. Поэтому свойства, связанные с этими понятиями, сформулированные для столбцов, разумеется, справедливы и для строк.


1. Если в систему столбцов входит нулевой столбец, то она линейно зависима.


2. Если в системе столбцов имеется два равных столбца, то она линейно зависима.


3. Если в системе столбцов имеется два пропорциональных столбца [math](A_i=\lambda A_j)[/math], то она линейно зависима.


4. Система из [math]k>1[/math] столбцов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов есть линейная комбинация остальных.


5. Любые столбцы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.


6. Система столбцов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.


7. Если система столбцов [math]A_1,A_2,\ldots,A_k[/math] — линейно независима, а после присоединения к ней столбца [math]A[/math] — оказывается линейно зависимой, то столбец [math]A[/math] можно разложить по столбцам [math]A_1,A_2,\ldots,A_k[/math], и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.


Докажем, например, последнее свойство. Так как система столбцов [math]A_1,A_2,\ldots,A_k,A[/math] линейно зависима, то существуют числа [math]\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k,\alpha[/math] не все равные 0, что


[math]\alpha_1\cdot A+\alpha_2\cdot A_2+\ldots+\alpha_k\cdot A_k+\alpha\cdot A=o.[/math]

В этом равенстве [math]\alpha\ne o[/math]. В самом деле, если [math]\alpha=0[/math], то

[math]\alpha_1\cdot A+\alpha_2\cdot A_2+\ldots+\alpha_k\cdot A_k=o.[/math]

Значит, нетривиальная линейная комбинация столбцов [math]A_1,A_2,\ldots,A_k[/math] равна нулевому столбцу, что противоречит линейной независимости системы [math]A_1,A_2,\ldots,A_k[/math]. Следовательно, [math]\alpha\ne0[/math] и тогда [math]A=-\frac{\alpha_1}{\alpha}A_1-\ldots-\frac{\alpha_k}{\alpha}A_k[/math], т.е. столбец [math]A[/math] есть линейная комбинация столбцов [math]A_1,A_2,\ldots,A_k[/math]. Осталось показать единственность такого представления. Предположим противное. Пусть имеется два разложения [math]A=\alpha_1 A+\ldots+\alpha_k A_k[/math] и [math]A=\beta_1 A_1+\ldots+\beta_k A_k[/math], причем не все коэффициенты разложений соответственно равны между собой (например, [math]\alpha_1=\beta_1[/math]). Тогда из равенства


[math]\alpha_1 A+\ldots+\alpha_k A_k=\beta_1 A_1+\ldots+\beta_k A_k[/math] получаем (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

последовательно, линейная комбинация столбцов [math]A_1,A_2,\ldots,A_k[/math] равна нулевому столбцу. Так как не все ее коэффициенты равны нулю (по крайней мере [math]\alpha_1-\beta_1\ne0[/math]), то эта комбинация нетривиальная, что противоречит условию линейной независимости столбцов [math]A_1,A_2,\ldots,A_k[/math]. Полученное противоречие подтверждает единственность разложения.




Пример 3.2. Доказать, что два ненулевых столбца [math]A_1[/math] и [math]A_2[/math] линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. [math]A_1=\lambda A_2[/math].


Решение. В самом деле, если столбцы [math]A_1[/math] и [math]A_2[/math] линейно зависимы, то существуют такие числа [math]\alpha_1,\,\alpha_2[/math], не равные нулю одновременно, что [math]\alpha_1A_1+\alpha_2A_2=o[/math]. Причем в этом равенстве [math]\alpha_1\ne0[/math]. Действительно, предположив, что [math]\alpha_1=0[/math], получим противоречие [math]\alpha_2A_2=o[/math], поскольку [math]\alpha_2\ne0[/math] и столбец [math]A_2[/math] — ненулевой. Значит, [math]\alpha_1\ne0[/math]. Поэтому найдется число [math]\lambda=-\frac{\alpha_1}{\alpha_2}[/math] такое, что [math]A_1=\lambda A_2[/math]. Необходимость доказана.


Наоборот, если [math]A_1=\lambda A_2[/math], то [math]1\cdot A_1+(-\lambda)A_2=o[/math]. Получили нетривиальную линейную комбинацию столбцов, равную нулевому столбцу. Значит, столбцы линейно зависимы.




Пример 3.3. Рассмотреть всевозможные системы, образованные из столбцов


[math]A_1=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\!,\quad A_2=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\!,\quad A_3=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\!,\quad A_4=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\!,\quad A_5=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}\!.[/math]

Исследовать каждую систему на линейную зависимость.

Решение. Рассмотрим пять систем, содержащих по одному столбцу. Согласно пункту 1 замечаний 3.1: системы [math]A_2,\,A_3,\,A_4,\,A_5[/math], линейно независимы, а система, состоящая из одного нулевого столбца [math]A_1[/math], линейно зависима.


Рассмотрим системы, содержащие по два столбца:


– каждая из четырех систем [math]A_1,A_2;~A_1,A_3;~A_1,A_4[/math] и [math]A_1,A_5[/math] линейно зависима, так как содержит нулевой столбец [math]A_1[/math] (свойство 1);


– система [math]A_2,\,A_3[/math] линейно зависима, так как столбцы пропорциональны (свойство 3): [math]A_3=2A_2[/math];


– каждая из пяти систем [math]A_1,A_4;~A_2,A_5;~A_3,A_4;~A_3,A_5[/math] и [math]A_4,A_5[/math] линейно независима, так как столбцы непропорциональные (см. утверждение примера 3.2).


Рассмотрим системы, содержащие три столбца:


– каждая из шести систем [math]A_1,A_2,A_3;~A_1,A_2,A_4;~A_1,A_2,A_5;~A_1,A_3,A_4;~A_1,A_3,A_5[/math] и [math]A_1,A_4,A_5[/math] линейно зависима, так как содержит нулевой столбец [math]A_1[/math] (свойство 1);


– системы [math]A_2,A_3,A_4;~A_2,A_3,A_5[/math] линейно зависимы, так как содержат линейно зависимую подсистему [math]A_2,A_3[/math] (свойство 6);


– системы [math]A_2,A_4,A_5[/math] и [math]A_3,A_4,A_5[/math] линейно зависимы, так как последний столбец линейно выражается через остальные (свойство 4): [math]A_5=2A_2+A_4[/math] и [math]A_5=A_3+A_4[/math] соответственно.


Наконец, системы из четырех или из пяти столбцов линейно зависимы (по свойству 6).


См. также Ранг системы столбцов (строк)


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved