Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Линейная зависимость и независимость векторов

Линейная зависимость и независимость векторов


Набор векторов \vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k называется системой векторов.


Система из k векторов \vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k называется линейно зависимой, если существуют такие числа \alpha_1,\alpha_2, \ldots,\alpha_k, не все равные нулю одновременно, что


\alpha_1\cdot\vec{a}_1+ \alpha_2\cdot\vec{a}_2+ \cdots+\alpha_k\cdot\vec{a}_k=\vec{o}.
(1.1)

Система из k векторов \vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k называется линейно независимой, если равенство (1.1) возможно только при \alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_k=0, т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства (1.1) тривиальная.


Замечания 1.2


1. Один вектор \vec{a}_1 тоже образует систему: при \vec{a}_1=\vec{o} — линейно зависимую, а при \vec{a}_1\ne\vec{o} — линейно независимую.


2. Любая часть системы векторов называется подсистемой.




Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов


1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима

.

2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима.


3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора \vec{a}_i=\lambda\vec{a}_j, то она линейно зависима.


4. Система из k>1 векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.


5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.


6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.


7. Если система векторов \vec{a}_1,\vec{a}_2, \ldots, \vec{a}_k линейно независима, а после присоединения к ней вектора \vec{a} оказывается линейно зависимой, то вектор \vec{a} можно разложить по векторам \vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k, и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.




Докажем, например, последнее свойство. Так как система векторов \vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k,\vec{a} — линейно зависима, то существуют числа \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k,\alpha, не все равные 0, что \alpha_1\cdot\vec{a}_1+\alpha_2\cdot\vec{a}_2+\cdots+\alpha_k\cdot\vec{a}_k+\alpha\vec{a}=\vec{o}. В этом равенстве \alpha\ne0. В самом деле, если \alpha=0, то \alpha_1\cdot\vec{a}_1+\alpha_2\cdot\vec{a}_2+\cdots+\alpha_k\cdot\vec{a}_k=\vec{o}. Значит, нетривиальная линейная комбинация векторов \vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k равна нулевому вектору, что противоречит линейной независимости системы \vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k. Следовательно, \alpha\ne0 и тогда \vec{a}=-\frac{\alpha_1}{\alpha}\vec{a}_1-\cdots-\frac{\alpha_k}{\alpha}\vec{a}_k, т.е. вектор \vec{a} есть линейная комбинация векторов \vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k. Осталось показать единственность такого представления. Предположим противное. Пусть имеется два разложения \vec{a}=\alpha_1\vec{a}_1+\cdots+\alpha_k\vec{a}_k и \vec{a}=\beta_1\vec{a}_1+\cdots+\beta_k\vec{a}_k, причем не все коэффициенты разложений соответственно равны между собой (например, \alpha_1\ne\beta_1).


Тогда из равенства \alpha_1\vec{a}_1+\cdots+\alpha_k\vec{a}_k=\beta_1\vec{a}_1+\cdots+\beta_k\vec{a}_k получаем (\alpha_1-\beta_1)\vec{a}_1+\cdots+(\alpha_k-\beta_k)\vec{a}_k=\vec{o}.


Следовательно, линейная комбинация векторов \vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k равна нулевому вектору. Так как не все ее коэффициенты равны нулю (по крайней мере \alpha_1-\beta_1\ne0), то эта комбинация нетривиальная, что противоречит условию линейной независимости векторов \vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k. Полученное противоречие подтверждает единственность разложения.




Параллелограмм, построенный на векторах

Пример 1.3. Параллелограмм OACB построен на векторах \overrightarrow{OA} и \overrightarrow{OB}; точки M и N — середины сторон AC и BC соответственно (рис. 1.11). Требуется:


а) найти линейные комбинации векторов


1\cdot\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{OA}\,;\quad 1\cdot \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{OB}\,;\quad \frac{3}{2}\cdot \overrightarrow{OA}+ 2\cdot \overrightarrow{MN}\,;

б) доказать, что векторы \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{MN} линейно зависимы.


Решение.


а) Так как \frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BN}, то по правилу треугольника: 1\cdot\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{ON}.


Рассуждая аналогично, получаем: 1\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}. Построим вектор \overrightarrow{OK}=\frac{3}{2}\cdot\overrightarrow{OA}. Из равенства треугольников AKM и CMN следует, что \overrightarrow{KN}=2\cdot\overrightarrow{MN}. Тогда \frac{3}{2}\cdot\overrightarrow{OA}+2\cdot\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KN}=\overrightarrow{ON}.


б) Учитывая, что \overrightarrow{AB}=2\cdot\overrightarrow{MN} и \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}, получаем: 2\cdot\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}.


Перенося векторы в левую часть, приходим к равенству 1\cdot\overrightarrow{OA}+(-1)\cdot\overrightarrow{OB}+2\cdot\overrightarrow{MN}=\vec{o}, т.е. нетривиальная линейная комбинация векторов \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{MN} равна нулевому вектору. Следовательно, векторы \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{MN} линейно зависимы, что и требовалось доказать.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved