Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Линейная зависимость и независимость векторов

Линейная зависимость и независимость векторов


Набор векторов [math]\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k[/math] называется системой векторов.


Система из [math]k[/math] векторов [math]\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k[/math] называется линейно зависимой, если существуют такие числа [math]\alpha_1,\alpha_2, \ldots,\alpha_k[/math], не все равные нулю одновременно, что


[math]\alpha_1\cdot\vec{a}_1+ \alpha_2\cdot\vec{a}_2+ \cdots+\alpha_k\cdot\vec{a}_k=\vec{o}.[/math]
(1.1)

Система из [math]k[/math] векторов [math]\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k[/math] называется линейно независимой, если равенство (1.1) возможно только при [math]\alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_k=0[/math], т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства (1.1) тривиальная.


Замечания 1.2


1. Один вектор [math]\vec{a}_1[/math] тоже образует систему: при [math]\vec{a}_1=\vec{o}[/math] — линейно зависимую, а при [math]\vec{a}_1\ne\vec{o}[/math] — линейно независимую.


2. Любая часть системы векторов называется подсистемой.




Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов


1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима

.

2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима.


3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора [math]\vec{a}_i=\lambda\vec{a}_j[/math], то она линейно зависима.


4. Система из [math]k>1[/math] векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.


5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.


6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.


7. Если система векторов [math]\vec{a}_1,\vec{a}_2, \ldots, \vec{a}_k[/math] линейно независима, а после присоединения к ней вектора [math]\vec{a}[/math] оказывается линейно зависимой, то вектор [math]\vec{a}[/math] можно разложить по векторам [math]\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k[/math], и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.




Докажем, например, последнее свойство. Так как система векторов [math]\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k,\vec{a}[/math] — линейно зависима, то существуют числа [math]\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k,\alpha[/math], не все равные 0, что [math]\alpha_1\cdot\vec{a}_1+\alpha_2\cdot\vec{a}_2+\cdots+\alpha_k\cdot\vec{a}_k+\alpha\vec{a}=\vec{o}[/math]. В этом равенстве [math]\alpha\ne0[/math]. В самом деле, если [math]\alpha=0[/math], то [math]\alpha_1\cdot\vec{a}_1+\alpha_2\cdot\vec{a}_2+\cdots+\alpha_k\cdot\vec{a}_k=\vec{o}[/math]. Значит, нетривиальная линейная комбинация векторов [math]\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k[/math] равна нулевому вектору, что противоречит линейной независимости системы [math]\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k[/math]. Следовательно, [math]\alpha\ne0[/math] и тогда [math]\vec{a}=-\frac{\alpha_1}{\alpha}\vec{a}_1-\cdots-\frac{\alpha_k}{\alpha}\vec{a}_k[/math], т.е. вектор [math]\vec{a}[/math] есть линейная комбинация векторов [math]\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k[/math]. Осталось показать единственность такого представления. Предположим противное. Пусть имеется два разложения [math]\vec{a}=\alpha_1\vec{a}_1+\cdots+\alpha_k\vec{a}_k[/math] и [math]\vec{a}=\beta_1\vec{a}_1+\cdots+\beta_k\vec{a}_k[/math], причем не все коэффициенты разложений соответственно равны между собой (например, [math]\alpha_1\ne\beta_1[/math]).


Тогда из равенства [math]\alpha_1\vec{a}_1+\cdots+\alpha_k\vec{a}_k=\beta_1\vec{a}_1+\cdots+\beta_k\vec{a}_k[/math] получаем [math](\alpha_1-\beta_1)\vec{a}_1+\cdots+(\alpha_k-\beta_k)\vec{a}_k=\vec{o}[/math].


Следовательно, линейная комбинация векторов [math]\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k[/math] равна нулевому вектору. Так как не все ее коэффициенты равны нулю (по крайней мере [math]\alpha_1-\beta_1\ne0[/math]), то эта комбинация нетривиальная, что противоречит условию линейной независимости векторов [math]\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k[/math]. Полученное противоречие подтверждает единственность разложения.




Параллелограмм, построенный на векторах

Пример 1.3. Параллелограмм [math]OACB[/math] построен на векторах [math]\overrightarrow{OA}[/math] и [math]\overrightarrow{OB}[/math]; точки [math]M[/math] и [math]N[/math] — середины сторон [math]AC[/math] и [math]BC[/math] соответственно (рис. 1.11). Требуется:


а) найти линейные комбинации векторов


[math]1\cdot\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{OA}\,;\quad 1\cdot \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{OB}\,;\quad \frac{3}{2}\cdot \overrightarrow{OA}+ 2\cdot \overrightarrow{MN}\,;[/math]

б) доказать, что векторы [math]\overrightarrow{OA}[/math],[math]\overrightarrow{OB}[/math],[math]\overrightarrow{MN}[/math] линейно зависимы.


Решение.


а) Так как [math]\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BN}[/math], то по правилу треугольника: [math]1\cdot\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{ON}[/math].


Рассуждая аналогично, получаем: [math]1\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}[/math]. Построим вектор [math]\overrightarrow{OK}=\frac{3}{2}\cdot\overrightarrow{OA}[/math]. Из равенства треугольников [math]AKM[/math] и [math]CMN[/math] следует, что [math]\overrightarrow{KN}=2\cdot\overrightarrow{MN}[/math]. Тогда [math]\frac{3}{2}\cdot\overrightarrow{OA}+2\cdot\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KN}=\overrightarrow{ON}[/math].


б) Учитывая, что [math]\overrightarrow{AB}=2\cdot\overrightarrow{MN}[/math] и [math]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}[/math], получаем: [math]2\cdot\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}[/math].


Перенося векторы в левую часть, приходим к равенству [math]1\cdot\overrightarrow{OA}+(-1)\cdot\overrightarrow{OB}+2\cdot\overrightarrow{MN}=\vec{o}[/math], т.е. нетривиальная линейная комбинация векторов [math]\overrightarrow{OA}[/math],[math]\overrightarrow{OB}[/math],[math]\overrightarrow{MN}[/math] равна нулевому вектору. Следовательно, векторы [math]\overrightarrow{OA}[/math],[math]\overrightarrow{OB}[/math],[math]\overrightarrow{MN}[/math] линейно зависимы, что и требовалось доказать.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved