Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Линейная независимость функций: определители Вронского и Грама

Линейная независимость функций. Определители Вронского и Грама


Пусть имеем конечную систему из n функций y_1(x),y_2(x),\ldots,y_n(x), определенных на интервале (a,b). Функции y_1(x),y_2(x),\ldots,y_n(x) называют линейно зависимыми на интервале (a,b), если существуют постоянные \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n, не все равные нулю, такие, что для всех значений x из этого интервала справедливо тождество


\alpha_1y_1(x)+\alpha_2y_2(x)+\ldots+\alpha_ny_n(x)\equiv0\,.

Если же это тождество выполняется только при \alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_n=0, то функции y_1(x),y_2(x),\ldots,y_n(x) называют линейно независимыми на интервале (a,b).


Пример 1. Показать, что система функций \alpha_1\cdot1+\alpha_2x+\alpha_3x^2+\alpha_4x^3=0 линейно независима на интервале (-\infty,+\infty).


Решение. В самом деле, равенство \alpha_1\cdot1+\alpha_2x+\alpha_3x^2+\alpha_4x^3=0 может выполняться для всех x\in(-\infty,+\infty) только при условии, что \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=0. Если же хоть одно из этих чисел не равно нулю, то в левой части равенства будем иметь многочлен степени не выше третьей, а он может обратиться в ноль не более, чем при трех значениях x из данного интервала.


Пример 2. Показать, что система функций e^{k_1x},e^{k_2x},e^{k_3x}, где k_1,k_2,k_3 попарно различны, линейно независима на интервале -\infty<x<+\infty.


Решение. Предположим обратное, т. е. что данная система функций линейно зависима на этом интервале. Тогда


\alpha_1\cdot e^{k_1x}+\alpha_2\cdot e^{k_2x}+\alpha_3\cdot e^{k_3x}\equiv0
(1)

на интервале (-\infty,+\infty), причем, по крайней мере, одно из чисел \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 отлично от нуля, например \alpha_3\ne0. Деля обе части тождества (1) на e^{k_1x}, будем иметь


\alpha_1+\alpha_2\cdot e^{(k_2-k_1)x}+\alpha_3\cdot e^{(k_3-k_1)x}\equiv0\,.

Дифференцируя тождество, получаем


\alpha_2\cdot(k_2-k_1)\cdot e^{(k_2-k_1)x}+\alpha_3\cdot(k_3-k_1)\cdot e^{(k_3-k_1)x}\equiv0\,.
(2)

Делим обе части тождества (2) на e^{(k_2-k_1)x}:


\alpha_2\cdot(k_2-k_1)+\alpha_3\cdot(k_3-k_1)\cdot e^{(k_3-k_2)x}\equiv0\,.
(3)

Дифференцируя (3), получаем \alpha_3(k_3-k_1)(k_3-k_2)e^{(k_3-k_2)x}\equiv0, что невозможно, так как \alpha_3\ne0 по предположению, k_3\ne k_1,~k_3\ne k_2 по условию, а e^{(k_3-k_2)x}\ne0.


Наше предположение о линейной зависимости данной системы функций привело к противоречию, следовательно, эта система функций линейно независима на интервале (-\infty,+\infty), т.е. тождество (1) будет выполняться только при \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3.




Пример 3. Показать, что система функций e^{ax}\sin{bx},~e^{ax}\cos{bx}, где \beta\ne0, линейно независима на интервале -\infty<x<+\infty.


Решение. Определим значения \alpha_1 и \alpha_2, при которых будет выполняться тождество


\alpha_1\cdot e^{ax}\sin{bx}+\alpha_2\cdot e^{ax}\cos{bx}\equiv0\,.
(4)

Разделим обе его части на e^{ax}:


\alpha_1\cdot\sin{bx}+\alpha_2\cdot\cos{bx}\equiv0\,.
(5)

Подставляя в (5) значение x=0, получаем \alpha_2=0 и, значит, \alpha_1\sin{bx}\equiv0; но функция \sin{bx} не равна тождественно нулю, поэтому \alpha_1=0. Тождество (5) и, следовательно, (4) имеют место только при \alpha_1=\alpha_2=0, т. е. данные функции линейно независимы в интервале -\infty<x<+\infty.


Замечание. Попутно доказана линейная независимость тригонометрических функций \sin{bx},~\cos{bx}.




Пример 4. Доказать, что функции


\sin{x}, \quad \sin\!\left(x+\frac{\pi}{8}\right)\!, \quad \sin\!\left(x-\frac{\pi}{8}\right)\!.
(6)

линейно зависимы в интервале (-\infty,+\infty).


Решение. Покажем, что существуют такие числа \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, не все равные нулю, что в интервале -\infty<x<+\infty справедливо тождество


\alpha_1\cdot\sin{x}+ \alpha_2\cdot\sin\!\left(x+\frac{\pi}{8}\right)+ \alpha_3\cdot\sin\!\left(x-\frac{\pi}{8}\right)\equiv0\,.
(7)

Предполагаем тождество (7) выполненным; положим, например, x=0,~x=\pi/4,~x=\pi/2. Тогда получим однородную систему трех уравнений с тремя неизвестными \alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3:


\left\{\!\begin{aligned} \alpha_2\sin\frac{\pi}{8}-\alpha_3\sin\frac{\pi}{8}&=0,\\\alpha_1\frac{1}{\sqrt{2}}+\alpha_2\sin\frac{3\pi}{8}+\alpha_3\sin\frac{\pi}{8}&=0,\\ \alpha_1+\alpha_2\sin\frac{5\pi}{8}+\alpha_3\sin\frac{3\pi}{8}&=0. \end{aligned} \right.
(8)

Определитель этой системы трёх уравнений с тремя неизвестными равен нулю:


\Delta= \begin{vmatrix} 0&\sin\dfrac{\pi}{8}&-\sin\dfrac{\pi}{8}\\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}&\sin\dfrac{3\pi}{8}&\sin\dfrac{\pi}{8}\\ 1&\sin\dfrac{5\pi}{8}&\sin\dfrac{3\pi}{8} \end{vmatrix}=0\,.

Следовательно, однородная система (8) имеет ненулевые решения, т. е. существуют числа \alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3, среди которых имеется по крайней мере одно отличное от нуля. Для нахождения такой тройки чисел \alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3 возьмем, например, два первых уравнения системы (8):


\begin{aligned}\alpha_2\sin\frac{\pi}{8}-\alpha_3\sin\frac{\pi}{8}&=0,\\ \alpha_1\frac{1}{\sqrt{2}}+\alpha_2\sin\frac{3\pi}{8}+\alpha_3\sin\frac{\pi}{8}&=0.\end{aligned}

Из первого уравнения имеем \alpha_2=\alpha_3, из второго \alpha_1=-2\cos\frac{\pi}{8}\cdot\alpha_3. Полагая \alpha_3=1, получим ненулевое решение системы (8):


\alpha_1=-2\cos\frac{\pi}{8}, \quad \alpha_2=1, \quad \alpha_3=1.

Покажем теперь, что при этих значениях \alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3 тождество (7) будет выполняться для всех x\in(-\infty,+\infty). Имеем


\alpha_1\sin{x}+ \alpha_2\sin\!\left(x+\frac{\pi}{8}\right)+ \alpha_3\sin\!\left(x-\frac{\pi}{8}\right)\equiv -2\cos\frac{\pi}{8}\sin{x}+2\sin{x}\cos\frac{\pi}{8}\equiv0,

каково бы ни было x. Следовательно, система функций (6) линейно зависима на интервале -\infty<x<+\infty.


Замечание. Для случая двух функций можно дать более простой критерий линейной независимости. Именно, функции \varphi_1(x) и \varphi_2(x) будут линейно независимыми на интервале (a,b), если их отношение не равно тождественной постоянной \left(\frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)} \not\equiv \text{const}\right) на этом интервале; если же \frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}\equiv\text{const}, то функции будут линейно зависимыми.




Пример 5. Функции \operatorname{tg}x и \operatorname{ctg}x линейно независимы в интервале 0<x<\frac{\pi}{2}, так как их отношение \frac{\operatorname{tg}x}{\operatorname{ctg}x}= \operatorname{tg}^2x \not\equiv \text{const} в этом интервале.


Пример 6. Функции \sin{2x} и \sin{x}\cos{x} линейно зависимы в интервале -\infty<x<+\infty, так как их отношение \frac{\sin2x}{\sin{x}\cos{x}}\equiv\frac{2\sin{x}\cos{x}}{\sin{x}\cos{x}}\equiv2=\text{const} в этом интервале (в точках разрыва функции \frac{\sin2x}{\sin{x}\cos{x}} доопределяем это отношение по непрерывности).


Пусть n функций y_1(x),y_2(x),\ldots,y_n(x) имеют производные (n–1)-го порядка. Определитель


W[y_1,y_2,\ldots,y_n]= \begin{vmatrix} y_1(x)&y_2(x)&\cdots&y_n(x)\\ y'_1(x)&y'_2(x)&\cdots&y'_n(x)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ y_1^{(n-1)}(x)&y_2^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x) \end{vmatrix}

называется определителем Вронского для этой системы функций. Определитель Вронского вообще является функцией от x, определенной в некотором интервале.


Пример 7. Найти определитель Вронского для функций y_1(x)=e^{k_1x},~y_2(x)=e^{k_2x},~y_3(x)=e^{k_3x}.


Решение. Имеем


W[y_1,y_2,y_3]= \,\,\vline\,\begin{matrix} e^{k_1x}&e^{k_2x}&e^{k_3x}\\[3pt] k_1e^{k_1x}&k_2e^{k_2x}&k_3e^{k_3x}\\[5pt] k_1^2e^{k_1x}&k_2^2e^{k_2x}&k_3^2e^{k_3x} \end{matrix}\,\,\vline\,= e^{(k_1+k_2+k_3)x}(k_2-k_1)(k_3-k_1)(k_3-k_2).

Пример 8. Найти определитель Вронского для функций:


y_1(x)=\sin{x}, \quad y_2(x)=\sin\!\left(x+\frac{\pi}{8}\right)\!, \quad y_3(x)= \sin\!\left(x-\frac{\pi}{8}\right)\!.

Решение. Имеем


W[y_1,y_2,y_3]= \begin{vmatrix} \sin{x}&\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right)&\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{8}\right)\\ \cos{x}&\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right)&\cos\!\left(x-\dfrac{\pi}{8}\right)\\ -\sin{x}&-\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right)&-\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{8}\right) \end{vmatrix}=0,

так как первая и последняя строки определителя пропорциональны.




Теорема. Если система функций y_1(x),y_2(x),\ldots,y_n(x) линейно зависима на отрезке [a,b], то ее определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке.


Так, например, система функций \sin{x},~\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right),~\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{8}\right) линейно зависима в интервале (-\infty,+\infty), и определитель Вронского этих функций равен нулю всюду в этом интервале (см. примеры 4 и 8).


Эта теорема дает необходимое условие линейной зависимости системы функций. Обратное утверждение неверно, т. е. определитель Вронского может тождественно обращаться в ноль и в том случае, когда данные функции образуют линейно независимую систему на некотором интервале.




Пример 9. Рассмотрим две функции:


y_1(x)= \left\{\!\!\begin{array}{cl}0,&0\leqslant x\leqslant\dfrac{1}{2},\\{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\!}^2,&\dfrac{1}{2}<x\leqslant1;\end{array}\right. \quad y_2(x)= \left\{\!\!\begin{array}{cl} {\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\!}^2,& 0\leqslant x\leqslant\dfrac{1}{2},\\ 0,&\dfrac{1}{2}<x\leqslant1.\end{array}\right.

Графики их имеют вид, указанный на рис. 25.


Графики кусочно-заданных функций

Эта система функций линейно независима, так как тождество \alpha_1y_1(x)+\alpha_2y_2(x)\equiv0 выполняется только при \alpha_1=\alpha_2=0 . В самом деле, рассматривая его на отрезке [0;1/2], мы получаем \alpha_2y_2(x)\equiv0, откуда \alpha_2=0, так как y_2(x) \not\equiv 0; на отрезке же [1/2;1] имеем \alpha_1y_1(x)\equiv0, откуда \alpha_1=0, так как y_1(x) \not\equiv 0 на этом отрезке.


Найдем определитель Вронского W[y_1,y_2] системы. На отрезках [0;1/2] и [1/2;1]:


\mathop{W[y_1,y_2]}\limits_{0\leqslant x\leqslant\frac{1}{2}}= \begin{vmatrix}0&{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\!}^2\\[5pt]0&2\!\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\end{vmatrix}=0, \quad \mathop{W[y_1,y_2]}\limits_{\frac{1}{2}\leqslant x\leqslant1}= \begin{vmatrix}{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\!}^2&0\\[5pt]2\!\left(x-\dfrac{1}{2}\right)&0\end{vmatrix}=0

Таким образом, определитель Вронского W[y_1,y_2] на отрезке [0,1] тождественно равен нулю.


Пусть имеем систему функций y_1(x),\,y_2(x),\,\ldots,\,y_n(x) на отрезке [a,b]. Положим


\langle y_i,y_j \rangle= \int\limits_{a}^{b}y_i(x)y_j(x)\,dx, \quad i\in\mathbb{N},~j\in\mathbb{N}\,.
Определитель
\Gamma(y_1,y_2,\ldots,y_n)= \begin{vmatrix} \langle y_1,y_1\rangle&\langle y_1,y_2\rangle&\cdots&\langle y_1,y_n\rangle\\ \langle y_2,y_1\rangle&\langle y_2,y_2\rangle &\cdots&\langle y_2,y_n\rangle\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \langle y_n,y_1\rangle&\langle y_n,y_2\rangle &\cdots&\langle y_n,y_n\rangle \end{vmatrix}

называется определителем Грама системы функций \{y_k(x)\}.


Теорема. Для того, чтобы система функций y_1(x),\,y_2(x),\,\ldots,\,y_n(x) была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Грама равнялся нулю.




Пример 10. Показать, что функции y_1=x и y_2=2x линейно зависимы на отрезке [0;1].


Решение. Имеем


\langle y_1,y_1\rangle= \int\limits_{0}^{1}x^2\,dx=\frac{1}{3}, \quad \langle y_1,y_2\rangle=\langle y_2,y_1\rangle = \int\limits_{0}^{1}2x^2\,dx=\frac{2}{3}, \quad \langle y_1,y_1\rangle= \int\limits_{0}^{1}4x^2\,dx=\frac{4}{3}\,,

Вычислим определитель Грама \Gamma(y_1,y_2)= \begin{vmatrix}1/3&2/3\\2/3&4/3 \end{vmatrix}=0\,, следовательно, функции y_1(x) и y_2(x) линейно зависимы.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved