Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Линейная независимость функций: определители Вронского и Грама

Линейная независимость функций. Определители Вронского и Грама


Пусть имеем конечную систему из [math]n[/math] функций [math]y_1(x),y_2(x),\ldots,y_n(x)[/math], определенных на интервале [math](a,b)[/math]. Функции [math]y_1(x),y_2(x),\ldots,y_n(x)[/math] называют линейно зависимыми на интервале [math](a,b)[/math], если существуют постоянные [math]\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n[/math], не все равные нулю, такие, что для всех значений [math]x[/math] из этого интервала справедливо тождество


[math]\alpha_1y_1(x)+\alpha_2y_2(x)+\ldots+\alpha_ny_n(x)\equiv0\,.[/math]

Если же это тождество выполняется только при [math]\alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_n=0[/math], то функции [math]y_1(x),y_2(x),\ldots,y_n(x)[/math] называют линейно независимыми на интервале [math](a,b)[/math].


Пример 1. Показать, что система функций [math]\alpha_1\cdot1+\alpha_2x+\alpha_3x^2+\alpha_4x^3=0[/math] линейно независима на интервале [math](-\infty,+\infty)[/math].


Решение. В самом деле, равенство [math]\alpha_1\cdot1+\alpha_2x+\alpha_3x^2+\alpha_4x^3=0[/math] может выполняться для всех [math]x\in(-\infty,+\infty)[/math] только при условии, что [math]\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=0[/math]. Если же хоть одно из этих чисел не равно нулю, то в левой части равенства будем иметь многочлен степени не выше третьей, а он может обратиться в ноль не более, чем при трех значениях [math]x[/math] из данного интервала.


Пример 2. Показать, что система функций [math]e^{k_1x},e^{k_2x},e^{k_3x}[/math], где [math]k_1,k_2,k_3[/math] попарно различны, линейно независима на интервале [math]-\infty<x<+\infty[/math].


Решение. Предположим обратное, т. е. что данная система функций линейно зависима на этом интервале. Тогда


[math]\alpha_1\cdot e^{k_1x}+\alpha_2\cdot e^{k_2x}+\alpha_3\cdot e^{k_3x}\equiv0[/math]
(1)

на интервале [math](-\infty,+\infty)[/math], причем, по крайней мере, одно из чисел [math]\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3[/math] отлично от нуля, например [math]\alpha_3\ne0[/math]. Деля обе части тождества (1) на [math]e^{k_1x}[/math], будем иметь

[math]\alpha_1+\alpha_2\cdot e^{(k_2-k_1)x}+\alpha_3\cdot e^{(k_3-k_1)x}\equiv0\,.[/math]

Дифференцируя тождество, получаем

[math]\alpha_2\cdot(k_2-k_1)\cdot e^{(k_2-k_1)x}+\alpha_3\cdot(k_3-k_1)\cdot e^{(k_3-k_1)x}\equiv0\,.[/math]
(2)

Делим обе части тождества (2) на [math]e^{(k_2-k_1)x}[/math]:

[math]\alpha_2\cdot(k_2-k_1)+\alpha_3\cdot(k_3-k_1)\cdot e^{(k_3-k_2)x}\equiv0\,.[/math]
(3)

Дифференцируя (3), получаем [math]\alpha_3(k_3-k_1)(k_3-k_2)e^{(k_3-k_2)x}\equiv0[/math], что невозможно, так как [math]\alpha_3\ne0[/math] по предположению, [math]k_3\ne k_1,~k_3\ne k_2[/math] по условию, а [math]e^{(k_3-k_2)x}\ne0[/math].

Наше предположение о линейной зависимости данной системы функций привело к противоречию, следовательно, эта система функций линейно независима на интервале [math](-\infty,+\infty)[/math], т.е. тождество (1) будет выполняться только при [math]\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3[/math].




Пример 3. Показать, что система функций [math]e^{ax}\sin{bx},~e^{ax}\cos{bx}[/math], где [math]\beta\ne0[/math], линейно независима на интервале [math]-\infty<x<+\infty[/math].


Решение. Определим значения [math]\alpha_1[/math] и [math]\alpha_2[/math], при которых будет выполняться тождество


[math]\alpha_1\cdot e^{ax}\sin{bx}+\alpha_2\cdot e^{ax}\cos{bx}\equiv0\,.[/math]
(4)

Разделим обе его части на [math]e^{ax}[/math]:

[math]\alpha_1\cdot\sin{bx}+\alpha_2\cdot\cos{bx}\equiv0\,.[/math]
(5)

Подставляя в (5) значение [math]x=0[/math], получаем [math]\alpha_2=0[/math] и, значит, [math]\alpha_1\sin{bx}\equiv0[/math]; но функция [math]\sin{bx}[/math] не равна тождественно нулю, поэтому [math]\alpha_1=0[/math]. Тождество (5) и, следовательно, (4) имеют место только при [math]\alpha_1=\alpha_2=0[/math], т. е. данные функции линейно независимы в интервале [math]-\infty<x<+\infty[/math].


Замечание. Попутно доказана линейная независимость тригонометрических функций [math]\sin{bx},~\cos{bx}[/math].




Пример 4. Доказать, что функции


[math]\sin{x}, \quad \sin\!\left(x+\frac{\pi}{8}\right)\!, \quad \sin\!\left(x-\frac{\pi}{8}\right)\!.[/math]
(6)

линейно зависимы в интервале [math](-\infty,+\infty)[/math].

Решение. Покажем, что существуют такие числа [math]\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3[/math], не все равные нулю, что в интервале [math]-\infty<x<+\infty[/math] справедливо тождество


[math]\alpha_1\cdot\sin{x}+ \alpha_2\cdot\sin\!\left(x+\frac{\pi}{8}\right)+ \alpha_3\cdot\sin\!\left(x-\frac{\pi}{8}\right)\equiv0\,.[/math]
(7)

Предполагаем тождество (7) выполненным; положим, например, [math]x=0,~x=\pi/4,~x=\pi/2[/math]. Тогда получим однородную систему трех уравнений с тремя неизвестными [math]\alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3:[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned} \alpha_2\sin\frac{\pi}{8}-\alpha_3\sin\frac{\pi}{8}&=0,\\\alpha_1\frac{1}{\sqrt{2}}+\alpha_2\sin\frac{3\pi}{8}+\alpha_3\sin\frac{\pi}{8}&=0,\\ \alpha_1+\alpha_2\sin\frac{5\pi}{8}+\alpha_3\sin\frac{3\pi}{8}&=0. \end{aligned}[/math]
(8)

Определитель этой системы трёх уравнений с тремя неизвестными равен нулю:

[math]\Delta= \,\,\vline\,\begin{matrix} 0&\sin\dfrac{\pi}{8}&-\sin\dfrac{\pi}{8}\\[9pt] \dfrac{1}{\sqrt{2}}&\sin\dfrac{3\pi}{8}&\sin\dfrac{\pi}{8}\\[9pt] 1&\sin\dfrac{5\pi}{8}&\sin\dfrac{3\pi}{8} \end{matrix}\,\,\vline\,=0\,.[/math]

Следовательно, однородная система (8) имеет ненулевые решения, т. е. существуют числа [math]\alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3[/math], среди которых имеется по крайней мере одно отличное от нуля. Для нахождения такой тройки чисел [math]\alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3[/math] возьмем, например, два первых уравнения системы (8):


[math]\begin{aligned}\alpha_2\sin\frac{\pi}{8}-\alpha_3\sin\frac{\pi}{8}&=0,\\ \alpha_1\frac{1}{\sqrt{2}}+\alpha_2\sin\frac{3\pi}{8}+\alpha_3\sin\frac{\pi}{8}&=0.\end{aligned}[/math]

Из первого уравнения имеем [math]\alpha_2=\alpha_3[/math], из второго [math]\alpha_1=-2\cos\frac{\pi}{8}\cdot\alpha_3[/math]. Полагая [math]\alpha_3=1[/math], получим ненулевое решение системы (8):


[math]\alpha_1=-2\cos\frac{\pi}{8}, \quad \alpha_2=1, \quad \alpha_3=1.[/math]

Покажем теперь, что при этих значениях [math]\alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3[/math] тождество (7) будет выполняться для всех [math]x\in(-\infty,+\infty)[/math]. Имеем


[math]\alpha_1\sin{x}+ \alpha_2\sin\!\left(x+\frac{\pi}{8}\right)+ \alpha_3\sin\!\left(x-\frac{\pi}{8}\right)\equiv -2\cos\frac{\pi}{8}\sin{x}+2\sin{x}\cos\frac{\pi}{8}\equiv0,[/math]

каково бы ни было [math]x[/math]. Следовательно, система функций (6) линейно зависима на интервале [math]-\infty<x<+\infty[/math].

Замечание. Для случая двух функций можно дать более простой критерий линейной независимости. Именно, функции [math]\varphi_1(x)[/math] и [math]\varphi_2(x)[/math] будут линейно независимыми на интервале [math](a,b)[/math], если их отношение не равно тождественной постоянной [math]\left(\frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)} \not\equiv \text{const}\right)[/math] на этом интервале; если же [math]\frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}\equiv\text{const}[/math], то функции будут линейно зависимыми.




Пример 5. Функции [math]\operatorname{tg}x[/math] и [math]\operatorname{ctg}x[/math] линейно независимы в интервале [math]0<x<\frac{\pi}{2}[/math], так как их отношение [math]\frac{\operatorname{tg}x}{\operatorname{ctg}x}= \operatorname{tg}^2x \not\equiv \text{const}[/math] в этом интервале.


Пример 6. Функции [math]\sin{2x}[/math] и [math]\sin{x}\cos{x}[/math] линейно зависимы в интервале [math]-\infty<x<+\infty[/math], так как их отношение [math]\frac{\sin2x}{\sin{x}\cos{x}}\equiv\frac{2\sin{x}\cos{x}}{\sin{x}\cos{x}}\equiv2=\text{const}[/math] в этом интервале (в точках разрыва функции [math]\frac{\sin2x}{\sin{x}\cos{x}}[/math] доопределяем это отношение по непрерывности).


Пусть [math]n[/math] функций [math]y_1(x),y_2(x),\ldots,y_n(x)[/math] имеют производные (n–1)-го порядка. Определитель


[math]W[y_1,y_2,\ldots,y_n]= \,\,\vline\,\begin{matrix} y_1(x)&y_2(x)&\cdots&y_n(x)\\ y'_1(x)&y'_2(x)&\cdots&y'_n(x)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ y_1^{(n-1)}(x)&y_2^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x) \end{matrix}\,\,\vline[/math]

называется определителем Вронского для этой системы функций. Определитель Вронского вообще является функцией от [math]x[/math], определенной в некотором интервале.

Пример 7. Найти определитель Вронского для функций [math]y_1(x)=e^{k_1x},~y_2(x)=e^{k_2x},~y_3(x)=e^{k_3x}[/math].


Решение. Имеем


[math]W[y_1,y_2,y_3]= \,\,\vline\,\begin{matrix} e^{k_1x}&e^{k_2x}&e^{k_3x}\\[3pt] k_1e^{k_1x}&k_2e^{k_2x}&k_3e^{k_3x}\\[5pt] k_1^2e^{k_1x}&k_2^2e^{k_2x}&k_3^2e^{k_3x} \end{matrix}\,\,\vline\,= e^{(k_1+k_2+k_3)x}(k_2-k_1)(k_3-k_1)(k_3-k_2).[/math]

Пример 8. Найти определитель Вронского для функций:


[math]y_1(x)=\sin{x}, \quad y_2(x)=\sin\!\left(x+\frac{\pi}{8}\right)\!, \quad y_3(x)= \sin\!\left(x-\frac{\pi}{8}\right)\!.[/math]

Решение. Имеем


[math]W[y_1,y_2,y_3]= \,\,\vline\,\begin{matrix} \sin{x}&\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right)&\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{8}\right)\\[9pt] \cos{x}&\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right)&\cos\!\left(x-\dfrac{\pi}{8}\right)\\[9pt] -\sin{x}&-\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right)&-\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{8}\right) \end{matrix}\,\,\vline\,=0,[/math]

так как первая и последняя строки определителя пропорциональны.



Теорема. Если система функций [math]y_1(x),y_2(x),\ldots,y_n(x)[/math] линейно зависима на отрезке [math][a,b][/math], то ее определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке.


Так, например, система функций [math]\sin{x},~\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right),~\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{8}\right)[/math] линейно зависима в интервале [math](-\infty,+\infty)[/math], и определитель Вронского этих функций равен нулю всюду в этом интервале (см. примеры 4 и 8).


Эта теорема дает необходимое условие линейной зависимости системы функций. Обратное утверждение неверно, т. е. определитель Вронского может тождественно обращаться в ноль и в том случае, когда данные функции образуют линейно независимую систему на некотором интервале.




Пример 9. Рассмотрим две функции:


[math]y_1(x)= \left\{\!\!\begin{array}{cl}0,&0\leqslant x\leqslant\dfrac{1}{2},\\{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\!}^2,&\dfrac{1}{2}<x\leqslant1;\end{array}\right. \quad y_2(x)= \left\{\!\!\begin{array}{cl} {\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\!}^2,& 0\leqslant x\leqslant\dfrac{1}{2},\\ 0,&\dfrac{1}{2}<x\leqslant1.\end{array}\right.[/math]

Графики их имеют вид, указанный на рис. 25.

Графики кусочно-заданных функций

Эта система функций линейно независима, так как тождество [math]\alpha_1y_1(x)+\alpha_2y_2(x)\equiv0[/math] выполняется только при [math]\alpha_1=\alpha_2=0[/math] . В самом деле, рассматривая его на отрезке [math][0;1/2][/math], мы получаем [math]\alpha_2y_2(x)\equiv0[/math], откуда [math]\alpha_2=0[/math], так как [math]y_2(x) \not\equiv 0[/math]; на отрезке же [math][1/2;1][/math] имеем [math]\alpha_1y_1(x)\equiv0[/math], откуда [math]\alpha_1=0[/math], так как [math]y_1(x) \not\equiv 0[/math] на этом отрезке.


Найдем определитель Вронского [math]W[y_1,y_2][/math] системы. На отрезках [math][0;1/2][/math] и [math][1/2;1][/math]:


[math]\mathop{W[y_1,y_2]}\limits_{0\leqslant x\leqslant\frac{1}{2}}= \,\,\vline\,\begin{matrix}0&{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\!}^2\\[5pt]0&2\!\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\end{matrix}\,\,\vline\,=0, \quad \mathop{W[y_1,y_2]}\limits_{\frac{1}{2}\leqslant x\leqslant1}= \,\,\vline\,\begin{matrix}{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\!}^2&0\\[5pt]2\!\left(x-\dfrac{1}{2}\right)&0\end{matrix}\,\,\vline\,=0[/math]

Таким образом, определитель Вронского [math]W[y_1,y_2][/math] на отрезке [math][0,1][/math] тождественно равен нулю.


Пусть имеем систему функций [math]y_1(x),\,y_2(x),\,\ldots,\,y_n(x)[/math] на отрезке [math][a,b][/math]. Положим


[math]\langle y_i,y_j \rangle= \int\limits_{a}^{b}y_i(x)y_j(x)\,dx, \quad i\in\mathbb{N},~j\in\mathbb{N}\,.[/math]
Определитель
[math]\Gamma(y_1,y_2,\ldots,y_n)= \,\,\vline\,\begin{matrix} \langle y_1,y_1\rangle&\langle y_1,y_2\rangle&\cdots&\langle y_1,y_n\rangle\\ \langle y_2,y_1\rangle&\langle y_2,y_2\rangle &\cdots&\langle y_2,y_n\rangle\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \langle y_n,y_1\rangle&\langle y_n,y_2\rangle &\cdots&\langle y_n,y_n\rangle \end{matrix}\,\,\vline[/math]

называется определителем Грама системы функций [math]\{y_k(x)\}[/math].

Теорема. Для того, чтобы система функций [math]y_1(x),\,y_2(x),\,\ldots,\,y_n(x)[/math] была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Грама равнялся нулю.




Пример 10. Показать, что функции [math]y_1=x[/math] и [math]y_2=2x[/math] линейно зависимы на отрезке [math][0;1][/math].


Решение. Имеем


[math]\langle y_1,y_1\rangle= \int\limits_{0}^{1}x^2\,dx=\frac{1}{3}, \quad \langle y_1,y_2\rangle=\langle y_2,y_1\rangle = \int\limits_{0}^{1}2x^2\,dx=\frac{2}{3}, \quad \langle y_1,y_1\rangle= \int\limits_{0}^{1}4x^2\,dx=\frac{4}{3}\,,[/math]

Вычислим определитель Грама [math]\Gamma(y_1,y_2)=\,\,\vline\,\begin{matrix}1/3&2/3\\2/3&4/3\end{matrix}\,\,\vline\,=0\,,[/math] следовательно, функции [math]y_1(x)[/math] и [math]y_2(x)[/math] линейно зависимы.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved