Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов
Понятие линейной зависимости и линейной независимости векторов
Для элементов линейного пространства были введены операции умножения вектора на число (из некоторого числового поля) и сложения векторов. При помощи этих операций можно составлять алгебраические выражения.
Вектор называется линейной комбинацией векторов , если
 (8.1)
где – некоторые числа. В этом случае говорят, что вектор разложен по векторам (вектор линейно выражается через векторы , а числа называют коэффициентами разложения. Линейная комбинация с нулевыми коэффициентами называется тривиальной.
Набор векторов из пространства называется системой векторов, а любая часть системы векторов – подсистемой.
Система из векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа не все равные нулю одновременно, что справедливо равенство
 (8.2)
т.е. линейная комбинация является нулевым вектором.
Система из векторов называется линейно независимой, если равенство (8.2) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части (8.2) тривиальная.
Замечания 8.2
1. Один вектор тоже образует систему: при — линейно зависимую, а при — линейно независимую.
2. Понятия линейной зависимости и линейной независимости для векторов определяются также, как для столбцов матриц. Поэтому все свойства, рассмотренные для столбцов матриц, переносятся на векторы. Применение свойств, доказанных для векторов, к столбцам, можно делать без обоснования, так как множество столбцов является линейным пространством (см. пункт 3 в примерах линейных пространств).
3. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов этой системы и обозначается .
Пример 8.1. Установить необходимые и достаточные условия линейной зависимости двух, трех, четырех ненулевых векторов пространства где — множество векторов (направленных отрезков) пространства (см. пункт 2 в примерах линейных пространств).
Решение. Из элементарной геометрии известно, что два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое число , что . Это равенство можно представить в виде , т.е. в виде нетривиальной линейной комбинации векторов и , равной нулевому вектору. Следовательно, условие коллинеарности необходимо и достаточно для линейной зависимости двух ненулевых векторов.
Рассмотрим три ненулевых вектора , и . Они компланарны (принадлежат или параллельны одной плоскости) тогда и только тогда, когда один из них может быть разложен по другим, т.е. когда существуют такие числа аир, что . Записав это равенство в виде равной нулевому вектору нетривиальной линейной комбинации:
делаем вывод, что три ненулевых вектора пространства линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.
Покажем, что любые четыре ненулевых вектора линейно зависимы. Если три вектора компланарны, то . От сюда получаем равенство , т.е. векторы линейно зависимы. Если же векторы не компланарны, то вектор может быть разложен по ним, т.е. представлен в виде , где — некоторые числа. Отсюда получаем равенство: . Значит, векторы линей но зависимы.
Свойства линейно зависимых и независимых n-мерных векторов
1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима.
2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима.
3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных (коллинеарных) вектора , то она линейно зависима.
4. Система из векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.
5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.
6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.
7. Если система векторов — линейно независима, а после присоединения к ней вектора — оказывается линейно зависимой, то вектор можно разложить по векторам и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения (8.1) находятся однозначно.
8. Пусть каждый вектор системы может быть разложен по векторам системы , т.е. (говорят, что система векторов линейно выражается через систему векторов ). Тогда, если , то система векторов — линейно зависима.
Докажем, например, последнее свойство. Составим линейную комбинацию векторов с коэффициентами и приравняем ее нулевому вектору:
 (8.3)
Надо показать, что эта линейная комбинация может быть нетривиальной, т.е. среди коэффициентов , можно взять числа, не равные нулю. Действительно, подставим в линейную комбинацию (8.3) разложения векторов по векторам системы 
Чтобы это равенство выполнялось, достаточно потребовать, чтобы . Таким образом, получили однородную систему линейных уравнений с неизвестными . Матрица системы имеет размеры , т.е. количество уравнений меньше количества неизвестных, так как . Поэтому , т.е. система имеет бесконечно много решений, в том числе и ненулевых (см. структуру общего решения системы уравнений). Таким образом, линейная комбинация в (8.3) может быть нетривиальной, т.е. система векторов линейно зависима.
Аффинные, неотрицательные и выпуклые комбинации векторов
Пусть дана система векторов вещественного линейного пространства (т.е. над полем ). Множество линейных комбинаций векторов называется их линейной оболочкой и обозначается:
Векторы называются образующими линейной оболочки .
Линейная комбинация векторов называется аффинной, если сумма ее коэффициентов равна единице. Множество аффинных комбинаций векторов называется их аффинной оболочкой и обозначается:
Линейная комбинация векторов называется неотрицательной, если все ее коэффициенты — неотрицательные числа. Множество неотрицательных комбинаций векторов называется их конической оболочкой и обозначается:
Линейная комбинация векторов называется выпуклой, если все ее коэффициенты — неотрицательные числа, а их сумма равна единице. Множество выпуклых комбинаций векторов называется их выпуклой оболочкой и обозначается:
Аналогично определению образующих линейной оболочки, векторы называют образующими множеств , , соответственно.
Понятия линейной, аффинной, конической и выпуклой оболочек, определенные для конечной системы векторов, можно обобщить.
Линейной оболочкой непустого подмножества линейного пространства называется множество всевозможных линейных комбинаций векторов из 
Аналогично определяются аффинная, коническая и выпуклая оболочки непустого подмножества 
Если множество пустое , то по определению считается, что
Из определений следуют включения:
и равенство .
Пример 8.2. В пространстве радиус-векторов на плоскости (см. пункт 3 в [url=http://mathhelpplanet.com/static.php?p=linyeinye-prostranstva]примерах линейных пространств[/ur]) даны два неколлинеарных вектора и (рис.8.1).
Найти .
Решение. . Любой радиус-вектор плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам этой плоскости, т.е. представить в виде линейной комбинации , где и . Следователь но, множество всевозможных линейных комбинаций векторов и сов падает со всем пространством радиус-векторов на плоскости, т.е. .
. Заметим, что точка — конец вектора при условии принадлежит прямой , так как (при )
т.е. радиус-вектор получается в результате прибавления к вектору некоторого вектора, параллельного прямой . Следовательно, — множество радиус-векторов, концы которых лежат на прямой, проходящей через точки и (см. рис.8.1).
. При умножении вектора на положительное число его на правление не изменяется. Поэтому вектор при можно рассматривать как сумму двух векторов, принадлежащих лучам и соответственно. По правилу сложения векторов заключаем, Что радиус-вектор лежит либо между этими лучами, либо на одном из них. Следовательно, множество образуют радиус-векторы, концы которых принадлежат углу (заштрихованное множество на рис. 8.1).
. Конец радиус-вектора при принадлежит прямой и углу одновременно. Следовательно, точка принадлежит отрезку . Поэтому — множество радиус-векторов, концы которых принадлежат отрезку (см. рис.8.1). Этот вывод соответствует указанному выше равенству .
Замечания 8.3
1. Свойство 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов можно сформулировать (без указания единственности разложения) следующим образом: если система векторов линейно независима, а после присоединения к ней вектора — оказывается линейно зависимой, то вектор .
2. Свойство 8 линейно зависимых и линейно независимых векторов можно сформулировать так: если каждый вектор системы принадлежит линейной оболочке и , то система векторов — линейно зависима.
3. Свойства аффинных оболочек будут рассматриваться в линейных многообразиях. Свойства конических и выпуклых оболочек относятся к выпуклому анализу и применяются в теории оптимизации.
4. В некоторых источниках для линейной оболочки векторов используется обозначение .
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|