Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов

Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов


Понятие линейной зависимости и линейной независимости векторов


Для элементов линейного пространства были введены операции умножения вектора на число (из некоторого числового поля) и сложения векторов. При помощи этих операций можно составлять алгебраические выражения.


Вектор \mathbf{v} называется линейной комбинацией векторов \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k, если


\mathbf{v}= \alpha_1\mathbf{v}_1+ \alpha_2\mathbf{v}_2+ \ldots+\alpha_k\mathbf{v}_k,
(8.1)

где \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k – некоторые числа. В этом случае говорят, что вектор \mathbf{v} разложен по векторам \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_k (вектор \mathbf{v} линейно выражается через векторы \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_k, а числа \alpha_1,\alpha_2,\ldots, \alpha_k называют коэффициентами разложения. Линейная комбинация с нулевыми коэффициентами \mathbf{v}=0\cdot\mathbf{v}_1+0\cdot\mathbf{v}_2+\ldots+ 0\cdot\mathbf{v}_k называется тривиальной.


Набор векторов \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_k из пространства {V} называется системой векторов, а любая часть системы векторов – подсистемой.


Система из k векторов \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_k называется линейно зависимой, если существуют такие числа \alpha_1,\alpha_2,\ldots, \alpha_k не все равные нулю одновременно, что справедливо равенство


\alpha_1\mathbf{v}_1+ \alpha_2\mathbf{v}_2+ \ldots+\alpha_k\mathbf{v}_k=\mathbf{o},
(8.2)

т.е. линейная комбинация является нулевым вектором.


Система из k векторов \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_k называется линейно независимой, если равенство (8.2) возможно только при \alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_k=0, т.е. когда линейная комбинация в левой части (8.2) тривиальная.




Замечания 8.2


1. Один вектор \mathbf{v}_1 тоже образует систему: при \mathbf{v}_1= \mathbf{o} — линейно зависимую, а при \mathbf{v}_1\ne \mathbf{o} — линейно независимую.


2. Понятия линейной зависимости и линейной независимости для векторов определяются также, как для столбцов матриц. Поэтому все свойства, рассмотренные для столбцов матриц, переносятся на векторы. Применение свойств, доказанных для векторов, к столбцам, можно делать без обоснования, так как множество столбцов является линейным пространством (см. пункт 3 в примерах линейных пространств).


3. Рангом системы векторов \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_k называется максимальное число линейно независимых векторов этой системы и обозначается \operatorname{rg}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k).




Пример 8.1. Установить необходимые и достаточные условия линейной зависимости двух, трех, четырех ненулевых векторов пространства V_3 где V_3 — множество векторов (направленных отрезков) пространства (см. пункт 2 в примерах линейных пространств).


Решение. Из элементарной геометрии известно, что два ненулевых вектора \vec{a} и \vec{b} коллинеарны (\vec{a}\parallel\vec{b}) тогда и только тогда, когда существует такое число \lambda, что \vec{a}=\lambda \vec{b}. Это равенство можно представить в виде 1\cdot\vec{a}+(-\lambda)\vec{b}=\vec{o}, т.е. в виде нетривиальной линейной комбинации векторов \vec{a} и \vec{b}, равной нулевому вектору. Следовательно, условие коллинеарности необходимо и достаточно для линейной зависимости двух ненулевых векторов.


Рассмотрим три ненулевых вектора \vec{a}, \vec{b} и \vec{c}. Они компланарны (принадлежат или параллельны одной плоскости) тогда и только тогда, когда один из них может быть разложен по другим, т.е. когда существуют такие числа аир, что \vec{c}=\alpha\cdot\vec{a}+\beta\cdot\vec{b}. Записав это равенство в виде равной нулевому вектору нетривиальной линейной комбинации:


\alpha \cdot\vec{a}+\beta \cdot\vec{b}+(-1)\cdot\vec{c}=\vec{o},

делаем вывод, что три ненулевых вектора пространства линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.


Покажем, что любые четыре ненулевых вектора \vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d} линейно зависимы. Если три вектора \vec{a},\vec{b},\vec{c} компланарны, то \vec{c}=\alpha \cdot\vec{a}+\beta \cdot\vec{b}. От сюда получаем равенство \alpha\cdot\vec{a}+\beta \cdot\vec{b}+(-1)\cdot\vec{c}+0\cdot\vec{c}=\vec{o}, т.е. векторы \vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d} линейно зависимы. Если же векторы \vec{a},\vec{b},\vec{c} не компланарны, то вектор \vec{d} может быть разложен по ним, т.е. представлен в виде \vec{d}=\alpha \cdot\vec{a}+ \beta\cdot\vec{b}+ \gamma\cdot\vec{c}, где \alpha,\beta,\gamma — некоторые числа. Отсюда получаем равенство: \alpha\cdot\vec{a}+\beta\cdot\vec{b}+\gamma\cdot\vec{c}+ (-1)\cdot\vec{d}= \vec{o}. Значит, векторы \vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d} линей но зависимы.




Свойства линейно зависимых и независимых n-мерных векторов


1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима.


2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима.


3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных (коллинеарных) вектора (\mathbf{v}_i=\lambda\cdot\mathbf{v}_j), то она линейно зависима.


4. Система из k>1 векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.


5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.


6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.


7. Если система векторов \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k — линейно независима, а после присоединения к ней вектора \mathbf{v} — оказывается линейно зависимой, то вектор \mathbf{v} можно разложить по векторам \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения (8.1) находятся однозначно.


8. Пусть каждый вектор системы \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\ldots, \mathbf{u}_m может быть разложен по векторам системы \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots,\mathbf{v}_k, т.е. \textstyle{\sum\limits_{j=1}^{k} a_{ji}\mathbf{v}_j,~ i=1,\ldots,m} (говорят, что система векторов \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\ldots, \mathbf{u}_m линейно выражается через систему векторов \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots,\mathbf{v}_k). Тогда, если m>k, то система векторов \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\ldots, \mathbf{u}_m — линейно зависима.


Докажем, например, последнее свойство. Составим линейную комбинацию векторов \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\ldots, \mathbf{u}_m с коэффициентами x_1,x_2,\ldots,x_m и приравняем ее нулевому вектору:


\sum\limits_{i=1}^{m} x_i \mathbf{u}_i= \mathbf{o}.
(8.3)

Надо показать, что эта линейная комбинация может быть нетривиальной, т.е. среди коэффициентов x_i,\,i=1,\ldots,m, можно взять числа, не равные нулю. Действительно, подставим в линейную комбинацию (8.3) разложения векторов \mathbf{u}_i по векторам системы \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k\colon


\mathbf{o}= \sum\limits_{i=1}^{m} x_i\mathbf{u}_i= \sum\limits_{i=1}^{m} x_i \sum\limits_{j=1}^{k} a_{ji}\mathbf{v}_j= \sum\limits_{j=1}^{k} \left(\sum\limits_{i=1}^{m}a_{ji}x_i\right)\!\mathbf{v}_j.


Чтобы это равенство выполнялось, достаточно потребовать, чтобы \textstyle{\sum\limits_{i=1}^{m}a_jix_i=0,~j=1,\ldots,k}. Таким образом, получили однородную систему Ax=\mathbf{o} линейных уравнений с неизвестными x_1,x_2,\ldots,x_m. Матрица A=(a_{ji}) системы имеет размеры k\times m, т.е. количество уравнений (k) меньше количества (m) неизвестных, так как m>k . Поэтому \operatorname{rg}A \leqslant k \leqslant m, т.е. система имеет бесконечно много решений, в том числе и ненулевых (см. структуру общего решения системы уравнений). Таким образом, линейная комбинация в (8.3) может быть нетривиальной, т.е. система векторов \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_m линейно зависима.




Аффинные, неотрицательные и выпуклые комбинации векторов


Пусть дана система векторов \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k вещественного линейного пространства {V} (т.е. над полем R). Множество линейных комбинаций векторов \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_k называется их линейной оболочкой и обозначается:


\operatorname{Lin}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k)= \Bigl\{\mathbf{v}\colon~ \mathbf{v}= \alpha_1\mathbf{v}_1+ \alpha_2\mathbf{v}_2+\ldots+\alpha_k \mathbf{v}_k;~ \alpha_i\in R,~ i=1,\ldots,k\Bigr\}.

Векторы \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k называются образующими линейной оболочки \operatorname{Lin}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k).


Линейная комбинация векторов \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k называется аффинной, если сумма ее коэффициентов равна единице. Множество аффинных комбинаций векторов \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k называется их аффинной оболочкой и обозначается:


\operatorname{Aff}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k)= \left\{\mathbf{v}\colon~ \mathbf{v}= \alpha_1\mathbf{v}_1+ \alpha_2\mathbf{v}_2+ \ldots+ \alpha_k\mathbf{v}_k;~ \sum\limits_{i=1}^{k}\alpha_i=1,~ \alpha_i\in R,~ i=1,\ldots,k\right\}.

Линейная комбинация векторов \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k называется неотрицательной, если все ее коэффициенты — неотрицательные числа. Множество неотрицательных комбинаций векторов \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_k называется их конической оболочкой и обозначается:


\operatorname{Con}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k)= \Bigl\{\mathbf{v}\colon~ \mathbf{v}= \alpha_1\mathbf{v}_1+ \alpha_2\mathbf{v}_2+\ldots+ \alpha_k\mathbf{v}_k;~ \alpha_i \geqslant 0,~ i=1,\ldots,k\Bigr\}.

Линейная комбинация векторов \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k называется выпуклой, если все ее коэффициенты — неотрицательные числа, а их сумма равна единице. Множество выпуклых комбинаций векторов \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_k называется их выпуклой оболочкой и обозначается:


\operatorname{Conv}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k)= \left\{\mathbf{v}\colon~ \mathbf{v}= \alpha_1\mathbf{v}_1+ \alpha_2\mathbf{v}_2+\ldots+ \alpha_k\mathbf{v}_k;~ \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha_i=1,~ \alpha_i \geqslant 0,~ i=1,\ldots,k\right\}.

Аналогично определению образующих линейной оболочки, векторы \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k называют образующими множеств \operatorname{Aff}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k), \operatorname{Con}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k), \operatorname{Conv}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k) соответственно.


Понятия линейной, аффинной, конической и выпуклой оболочек, определенные для конечной системы векторов, можно обобщить.


Линейной оболочкой непустого подмножества M линейного пространства V~(M \subset V,\,M\ne \varnothing) называется множество всевозможных линейных комбинаций векторов из M\colon


\operatorname{Lin}(M)= \left\{\mathbf{v}\colon~ \mathbf{v}= \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha_i \mathbf{v}_i;~ k\in \mathbb{N},~ \mathbf{v}_i\in M,~ \alpha_i\in \mathbb{R},~ i=1,\ldots,k\right\}.

Аналогично определяются аффинная, коническая и выпуклая оболочки непустого подмножества M\colon


\begin{aligned}\operatorname{Aff}(M)&= \left\{\mathbf{v}\colon~ \mathbf{v}=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha_i\mathbf{v}_i;~ k\in \mathbb{N},~ \mathbf{v}_i\in M,~ \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha_i=1,~ \alpha_i\in \mathbb{R},~ i=1,\ldots,k\right\};\\ \operatorname{Con}(M)&= \left\{\mathbf{v}\colon~ \mathbf{v}= \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha_i\mathbf{v}_i;~ k\in \mathbb{N},~ \mathbf{v}_i\in M,~ \alpha_i \geqslant 0,~ i=1,\ldots,k \right\};\\ \operatorname{Conv}(M)&= \left\{\mathbf{v}\colon~ \mathbf{v}= \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha_i\mathbf{v}_i,~ k\in \mathbb{N},~ \mathbf{v}_i\in M,~ \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha_i=1,~ \alpha_i \geqslant 0,~ i=1,\ldots,k \right\}.\end{aligned}

Если множество M пустое (M=\varnothing), то по определению считается, что


\operatorname{Lin}(M)= \operatorname{Aff}(M)= \operatorname{Con}(M)= \operatorname{Conv}(M)= \bigl\{\mathbf{o}\bigr\}.

Из определений следуют включения:


M \subset \operatorname{Conv}(M)\subset \operatorname{Aff}(M) \subset \operatorname{Lin}(M),\qquad M \subset \operatorname{Conv}(M)\subset \operatorname{Con}(M) \subset \operatorname{Lin}(M)

и равенство \operatorname{Conv}(M)=\operatorname{Con}(M)\cap \operatorname{Aff}(M).




Пример 8.2. В пространстве V_2 радиус-векторов на плоскости (см. пункт 3 в [url=http://mathhelpplanet.com/static.php?p=linyeinye-prostranstva]примерах линейных пространств[/ur]) даны два неколлинеарных вектора \vec{a}= \overrightarrow{OA} и \vec{b}=\overrightarrow{OB} (рис.8.1).


Найти \operatorname{Lin}\bigl(\vec{a},\vec{b}\bigr),~ \operatorname{Aff}\bigl(\vec{a},\vec{b}\bigr),~ \operatorname{Con}\bigl(\vec{a},\vec{b}\bigr),~ \operatorname{Conv}\bigl(\vec{a},\vec{b}\bigr).


Решение. \operatorname{Lin}\bigl(\vec{a},\vec{b}\bigr). Любой радиус-вектор \vec{c}=\overrightarrow{OC} плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам этой плоскости, т.е. представить в виде линейной комбинации \vec{c}= \alpha\cdot\vec{a}+ \beta\cdot\vec{b}, где \alpha\in \mathbb{R} и \beta\in \mathbb{R}. Следователь но, множество всевозможных линейных комбинаций векторов \vec{a} и \vec{b} сов падает со всем пространством V_2 радиус-векторов на плоскости, т.е. \operatorname{Lin}\bigl(\vec{a}, \vec{b}\bigr)=V_2.


\operatorname{Aff}\bigl(\vec{a},\vec{b}\bigr). Заметим, что точка C — конец вектора \overrightarrow{OC}= \alpha\cdot \overrightarrow{OA}+ \beta\cdot \overrightarrow{OB} при условии \alpha+\beta=1 принадлежит прямой AB, так как (при \alpha=1-\beta)


\overrightarrow{OC}= \overrightarrow{OA}+ \beta\cdot \Bigl(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\Bigr)= \overrightarrow{OA}+ \beta\cdot\overrightarrow{AB},

т.е. радиус-вектор \overrightarrow{OC} получается в результате прибавления к вектору \overrightarrow{OA} некоторого вектора, параллельного прямой AB. Следовательно, \operatorname{Aff}\bigl(\vec{a},\vec{b}\bigr) — множество радиус-векторов, концы которых лежат на прямой, проходящей через точки A и B (см. рис.8.1).


Векторы и линейная, аффинная, коническая, выпуклая оболочки

\operatorname{Con}\bigl(\vec{a},\vec{b}\bigr). При умножении вектора на положительное число его на правление не изменяется. Поэтому вектор \overrightarrow{OC}= \alpha\cdot\overrightarrow{OA}+ \beta\cdot\overrightarrow{BC} при \alpha \geqslant 0,~ \beta \geqslant 0 можно рассматривать как сумму двух векторов, принадлежащих лучам OA и OB соответственно. По правилу сложения векторов заключаем, Что радиус-вектор \overrightarrow{OC} лежит либо между этими лучами, либо на одном из них. Следовательно, множество \operatorname{Con} \bigl(\vec{a},\vec{b}\bigr) образуют радиус-векторы, концы которых принадлежат углу AOB (заштрихованное множество на рис. 8.1).


\operatorname{Conv}\bigl(\vec{a},\vec{b}\bigr). Конец радиус-вектора \overrightarrow{OC}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB} при \alpha+\beta=1,\alpha\geqslant0,\beta\geqslant0 принадлежит прямой AB и углу AOB одновременно. Следовательно, точка C принадлежит отрезку AB. Поэтому \operatorname{Conv}\bigl(\vec{a},\vec{b}\bigr) — множество радиус-векторов, концы которых принадлежат отрезку AB (см. рис.8.1). Этот вывод соответствует указанному выше равенству \operatorname{Conv}\bigl(\vec{a},\vec{b}\bigr)= \operatorname{Con}(M)\cap \operatorname{Aff}(M).




Замечания 8.3

1. Свойство 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов можно сформулировать (без указания единственности разложения) следующим образом: если система векторов \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k линейно независима, а после присоединения к ней вектора \mathbf{v} — оказывается линейно зависимой, то вектор \mathbf{v}\in \operatorname{Lin}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k).


2. Свойство 8 линейно зависимых и линейно независимых векторов можно сформулировать так: если каждый вектор системы \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\ldots, \mathbf{u}_m принадлежит линейной оболочке \operatorname{Lin}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k) и m>k, то система векторов \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\ldots,\mathbf{u}_m — линейно зависима.


3. Свойства аффинных оболочек будут рассматриваться в линейных многообразиях. Свойства конических и выпуклых оболочек относятся к выпуклому анализу и применяются в теории оптимизации.


4. В некоторых источниках для линейной оболочки векторов используется обозначение \operatorname{span}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved