Квадратичные неравенства с тремя неизвестными
Вещественная поверхность второго порядка
разбивает координатное пространство на области. В силу свойств многочленов второй степени (в частности, их непрерывности) для решения квадратичных неравенств
достаточно определить знак многочлена в одной внутренней точке какой-либо области. Знаки в других областях проставляются по правилу чередования знаков (аналогично методу интервалов): переходя через границу области, знак меняется на противоположный, за исключением совпадающих плоскостей (при переходе через них знак многочлена не меняется).
Для всех вещественных поверхностей, за исключением гиперболического параболоида и пары пересекающихся плоскостей, назовем внутренними те точки, координаты которых (в канонической системе координат) удовлетворяют неравенствам
соответственно. Другими словами, во внутренних точках поверхности левая часть канонического уравнения меньше правой.
Внешними точками по отношению к каждой из перечисленных поверхностей назовем точки, для которых значения левой части канонического уравнения больше правой его части. На рис.4.52 внутренние точки отмечены минусом, а внешние — плюсом. Заметим, что для совпадающих плоскостей все точки, кроме точек, принадлежащих поверхности, являются внешними.
Учитывая пункт 9 замечаний 4.12, для уравнения (4.67) поверхности второго порядка в прямоугольной системе координат можно сформулировать условия, равносильные определениям внутренних и внешних точек поверхности.
Теорема 4.5 (о внутренних и внешних точках поверхности). Точка является внутренней точкой поверхности (4.67) тогда и только тогда, когда
— для эллипсоида;
— для гиперболоидов и для конуса;
— для эллиптического параболоида, эллиптического и параболического цилиндров, пары параллельных плоскостей;
— для гиперболического цилиндра.
Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 3.5.
Замечания 4.15.
1. Для гиперболического параболоида и пары пересекающихся плоскостей предлагаемое определение внутренних и внешних точек не годится, поскольку каждая из этих поверхностей разбивает пространства на "похожие", области, каждую из которых равным образом можно считать внутренней или внешней. Например, пара пересекающихся плоскостей разбивает пространство на четыре равные "четверти", которые "накладываются" одна на другую при помощи поворота вокруг оси на угол, кратный . Гиперболический параболоид разбивает пространство на две равные области, которые симметричны прямой .
2. При выборе положительного направления оси канонической системы координат для эллиптического параболоида, заданного уравнением , достаточно проверить, является ли точка с координатами внутренней. Вычислим значение многочлена в точке в исходной системе координат . Из равенства
где — столбец координат точки , определяем координатный столбец точки :
Подставляя этот столбец в квадратичную функцию , получаем
поскольку (точка принадлежит поверхности параболоида), , так как — особый собственный вектор параболоида. Из теоремы 4.5 следует, что точка является внутренней при условии , т.е. при условии .
Аналогично заключаем, что правильный выбор направления вектора , определяющего положительное направление оси для параболического цилиндра, отвечает условию .
Пример 4.21. Поверхности второго порядка заданы в прямоугольной системе координат Oxyz уравнениями (см. пример 4.18):
а) ; б) ; в) ;
Внутренней или внешней точкой по отношению к каждой поверхности является начало координат ?
Решение. а) Заданная поверхность — эллиптический параболоид (см. рис.4.52(1) а) и решение примера 4.19,"а"). Согласно теореме 4.5, проверяем условие , где
— левая часть уравнения поверхности, (см. решение примера 4.19,"а"). Поскольку неравенство неверное для точки , делаем вывод о том, что точка является внешней для заданной поверхности.
б) Заданная поверхность — параболический цилиндр (см. рис.4.52(1) б) и решение при мера 4.19,"б"). Согласно теореме 4.5, проверяем условие , где
— левая часть уравнения поверхности, (см. решение примера 4.19,"б"). Поскольку неравенство неверное для точки , делаем вывод о том, что точка является внешней для заданной поверхности.
в) Заданная поверхность — однополостный гиперболоид (см. рис.4.52(1) в) и решение примера 4.19,"в"). Согласно теореме 4.5, проверяем условие , где — левая часть уравнения поверхности, а (см. решение примера 4.19,"в"). Поскольку неравенство неверное для точки , делаем вывод о том, что точка является внешней для заданной поверхности.
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|