Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Квадратичные неравенства с тремя неизвестными

Квадратичные неравенства с тремя неизвестными


Вещественная поверхность второго порядка


[math]p(x,y,z)=a_{11}x^2+ a_{22}y^2+ a_{33}z^2+ 2a_{12}xy+ 2a_{13}xz+ 2a_{23}yz+ 2a_1x+ 2a_2y+ 2a_3z+ a_0=0[/math]

разбивает координатное пространство [math]Oxyz[/math] на области. В силу свойств многочленов второй степени (в частности, их непрерывности) для решения квадратичных неравенств

[math]p(x,y,z)>0, \quad p(x,y,z)<0, \quad p(x,y,z)\geqslant0, \quad p(x,y,z)\leqslant0[/math]

достаточно определить знак многочлена [math]p(x,y,z)[/math] в одной внутренней точке какой-либо области. Знаки в других областях проставляются по правилу чередования знаков (аналогично методу интервалов): переходя через границу области, знак меняется на противоположный, за исключением совпадающих плоскостей (при переходе через них знак многочлена не меняется).

Для всех вещественных поверхностей, за исключением гиперболического параболоида и пары пересекающихся плоскостей, назовем внутренними те точки, координаты которых (в канонической системе координат) удовлетворяют неравенствам


[math]\begin{array}{*{20}{lll}}\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}<1,&\quad \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}<1,&\quad \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}<-1,\\[9pt] \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}<0,&\quad \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}<2\cdot z,&\quad \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}<1,\\[9pt] \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}<1,&\quad y^2<2\cdot p\cdot x,&\quad y^2-b^2<0 \end{array}[/math]

соответственно. Другими словами, во внутренних точках поверхности левая часть канонического уравнения меньше правой.

Внешними точками по отношению к каждой из перечисленных поверхностей назовем точки, для которых значения левой части канонического уравнения больше правой его части. На рис.4.52 внутренние точки отмечены минусом, а внешние — плюсом. Заметим, что для совпадающих плоскостей все точки, кроме точек, принадлежащих поверхности, являются внешними.


Учитывая пункт 9 замечаний 4.12, для уравнения (4.67) поверхности второго порядка в прямоугольной системе координат [math]Oxyz[/math] можно сформулировать условия, равносильные определениям внутренних и внешних точек поверхности.


Внутренние и внешние точки поверхностей второго порядка



Теорема 4.5 (о внутренних и внешних точках поверхности). Точка [math]M_1(x_1,y_1,z_1)[/math] является внутренней точкой поверхности (4.67) тогда и только тогда, когда


[math]\tau_1\cdot p(x_1,y_1,z_1)<0\Leftrightarrow \delta\cdot p(x_1,y_1,z_1)<0[/math] — для эллипсоида;


[math]\delta\cdot p(x_1,y_1,z_1)>0[/math] — для гиперболоидов и для конуса;


[math]\tau_1\cdot p(x_1,y_1,z_1)<0[/math] — для эллиптического параболоида, эллиптического и параболического цилиндров, пары параллельных плоскостей;


[math]\kappa_2\cdot p(x_1,y_1,z_1)<0[/math] — для гиперболического цилиндра.


Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 3.5.




Замечания 4.15.


1. Для гиперболического параболоида и пары пересекающихся плоскостей предлагаемое определение внутренних и внешних точек не годится, поскольку каждая из этих поверхностей разбивает пространства на "похожие", области, каждую из которых равным образом можно считать внутренней или внешней. Например, пара пересекающихся плоскостей [math]x^2-y^2=0[/math] разбивает пространство на четыре равные "четверти", которые "накладываются" одна на другую при помощи поворота вокруг оси [math]Oz[/math] на угол, кратный [math]\frac{\pi}{2}[/math]. Гиперболический параболоид [math]x^2-y^2=2z[/math] разбивает пространство на две равные области, которые симметричны прямой [math]\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{0}[/math].


2. При выборе положительного направления оси [math]O'z'[/math] канонической системы координат [math]O'x'y'z'[/math] для эллиптического параболоида, заданного уравнением [math]p(x,y,z)=0[/math], достаточно проверить, является ли точка [math]M[/math] с координатами [math]x'=0,[/math] [math]y'=0,[/math] [math]z'=1[/math] внутренней. Вычислим значение многочлена [math]p(x,y,z)[/math] в точке [math]M(x_1,y_1,z_1)[/math] в исходной системе координат [math]Oxyz[/math]. Из равенства


[math]\overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OO'}+\vec{s}_3= \vec{s}+\vec{s}_3,[/math]

где [math]s=\begin{pmatrix}x_0&y_0&z_0\end{pmatrix}^T[/math] — столбец координат точки [math]O'[/math], определяем координатный столбец точки [math]M(x_1,y_1,z_1)[/math]:


[math]\begin{pmatrix}x_1&y_1&z_1\end{pmatrix}^T=s+s_3[/math]

Подставляя этот столбец в квадратичную функцию [math]p(x,y,z)[/math], получаем

[math]\begin{aligned}p(x_1,y_1,z_1)&= (s+s_3)^T\cdot A\cdot(s+s_3)+2\cdot a^T\cdot(s+s_3)+a_0=\\[3pt] &=s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0+s^T\cdot A\cdot s_3+s_3^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s_3=\\[3pt] &=2\cdot a^T\cdot s_3,\end{aligned}[/math]

поскольку [math]s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0=0[/math] (точка [math]O'[/math] принадлежит поверхности параболоида), [math]A\cdot s_3=o[/math], так как [math]s_3[/math] — особый собственный вектор параболоида. Из теоремы 4.5 следует, что точка [math]M[/math] [math](\overrightarrow{OM}=\vec{s}+\vec{s}_3)[/math] является внутренней при условии [math]\tau_1\cdot p(x_1,y_1,z_1)<0[/math], т.е. при условии [math]\tau_1\cdot a^T\cdot s_3<0[/math].


Аналогично заключаем, что правильный выбор направления вектора [math]\vec{s}_1[/math], определяющего положительное направление оси [math]O'x'[/math] для параболического цилиндра, отвечает условию [math]\tau_1\cdot a^T\cdot s_1<0[/math].




Пример 4.21. Поверхности второго порядка заданы в прямоугольной системе координат Oxyz уравнениями (см. пример 4.18):


а) [math]x^2+y^2+2x-4y+2z+1=0[/math];

б) [math]x^2+6y-8z+10=0[/math];

в) [math]3x^2-7y^2+3z^2+8xy-8xz-8yz+10x-14y-6z-8=0[/math];


Внутренней или внешней точкой по отношению к каждой поверхности является начало координат [math]O(0,0,0)[/math]?

Решение. а) Заданная поверхность — эллиптический параболоид (см. рис.4.52(1) а) и решение примера 4.19,"а"). Согласно теореме 4.5, проверяем условие [math]\tau_1\cdot p(0,0,0)<0[/math], где


[math]p(x,y,z)=x^2+y^2+2\cdot x-4\cdot y+2\cdot z+1[/math]

— левая часть уравнения поверхности, [math]\tau_1=2[/math] (см. решение примера 4.19,"а"). Поскольку неравенство [math]\tau_1\cdot p(0,0,0)<0\Leftrightarrow2\cdot1<0[/math] неверное для точки [math]O(0,0,0)[/math], делаем вывод о том, что точка [math]O[/math] является внешней для заданной поверхности.

б) Заданная поверхность — параболический цилиндр (см. рис.4.52(1) б) и решение при мера 4.19,"б"). Согласно теореме 4.5, проверяем условие [math]\tau_1\cdot p(0,0,0)<0[/math], где


[math]p(x,y,z)=x^2+6\cdot y-8\cdot z+10[/math]

— левая часть уравнения поверхности, [math]\tau_1=1[/math] (см. решение примера 4.19,"б"). Поскольку неравенство [math]\tau_1\cdot p(0,0,0)<0\Leftrightarrow1\cdot10<0[/math] неверное для точки [math]O(0,0,0)[/math], делаем вывод о том, что точка [math]O[/math] является внешней для заданной поверхности.

в) Заданная поверхность — однополостный гиперболоид (см. рис.4.52(1) в) и решение примера 4.19,"в"). Согласно теореме 4.5, проверяем условие [math]\delta\cdot p(0,0,0)>0[/math], где [math]p(x,y,z)[/math] — левая часть уравнения поверхности, а [math]\delta=81[/math] (см. решение примера 4.19,"в"). Поскольку неравенство [math]\delta\cdot p(0,0,0)>0\Leftrightarrow81\cdot(-8)>0[/math] неверное для точки [math]O(0,0,0)[/math], делаем вывод о том, что точка [math]O[/math] является внешней для заданной поверхности.


Эллиптический параболоид, параболический цилиндр и однополостный гиперболоид

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved