Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Квадратичные неравенства с тремя неизвестными

Квадратичные неравенства с тремя неизвестными


Вещественная поверхность второго порядка


p(x,y,z)=a_{11}x^2+ a_{22}y^2+ a_{33}z^2+ 2a_{12}xy+ 2a_{13}xz+ 2a_{23}yz+ 2a_1x+ 2a_2y+ 2a_3z+ a_0=0

разбивает координатное пространство Oxyz на области. В силу свойств многочленов второй степени (в частности, их непрерывности) для решения квадратичных неравенств


p(x,y,z)>0, \quad p(x,y,z)<0, \quad p(x,y,z)\geqslant0, \quad p(x,y,z)\leqslant0

достаточно определить знак многочлена p(x,y,z) в одной внутренней точке какой-либо области. Знаки в других областях проставляются по правилу чередования знаков (аналогично методу интервалов): переходя через границу области, знак меняется на противоположный, за исключением совпадающих плоскостей (при переходе через них знак многочлена не меняется).


Для всех вещественных поверхностей, за исключением гиперболического параболоида и пары пересекающихся плоскостей, назовем внутренними те точки, координаты которых (в канонической системе координат) удовлетворяют неравенствам


\begin{array}{*{20}{lll}}\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}<1,&\quad \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}<1,&\quad \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}<-1,\\[9pt] \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}<0,&\quad \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}<2\cdot z,&\quad \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}<1,\\[9pt] \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}<1,&\quad y^2<2\cdot p\cdot x,&\quad y^2-b^2<0 \end{array}

соответственно. Другими словами, во внутренних точках поверхности левая часть канонического уравнения меньше правой.


Внешними точками по отношению к каждой из перечисленных поверхностей назовем точки, для которых значения левой части канонического уравнения больше правой его части. На рис.4.52 внутренние точки отмечены минусом, а внешние — плюсом. Заметим, что для совпадающих плоскостей все точки, кроме точек, принадлежащих поверхности, являются внешними.


Учитывая пункт 9 замечаний 4.12, для уравнения (4.67) поверхности второго порядка в прямоугольной системе координат Oxyz можно сформулировать условия, равносильные определениям внутренних и внешних точек поверхности.


Внутренние и внешние точки поверхностей второго порядка



Теорема 4.5 (о внутренних и внешних точках поверхности). Точка M_1(x_1,y_1,z_1) является внутренней точкой поверхности (4.67) тогда и только тогда, когда


\tau_1\cdot p(x_1,y_1,z_1)<0\Leftrightarrow \delta\cdot p(x_1,y_1,z_1)<0 — для эллипсоида;


\delta\cdot p(x_1,y_1,z_1)>0 — для гиперболоидов и для конуса;


\tau_1\cdot p(x_1,y_1,z_1)<0 — для эллиптического параболоида, эллиптического и параболического цилиндров, пары параллельных плоскостей;


\kappa_2\cdot p(x_1,y_1,z_1)<0 — для гиперболического цилиндра.


Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 3.5.




Замечания 4.15.


1. Для гиперболического параболоида и пары пересекающихся плоскостей предлагаемое определение внутренних и внешних точек не годится, поскольку каждая из этих поверхностей разбивает пространства на "похожие", области, каждую из которых равным образом можно считать внутренней или внешней. Например, пара пересекающихся плоскостей x^2-y^2=0 разбивает пространство на четыре равные "четверти", которые "накладываются" одна на другую при помощи поворота вокруг оси Oz на угол, кратный \pi\slash2. Гиперболический параболоид x^2-y^2=2z разбивает пространство на две равные области, которые симметричны прямой \frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{0}.


2. При выборе положительного направления оси O'z' канонической системы координат O'x'y'z' для эллиптического параболоида, заданного уравнением p(x,y,z)=0, достаточно проверить, является ли точка M с координатами x'=0, y'=0, z'=1 внутренней. Вычислим значение многочлена p(x,y,z) в точке M(x_1,y_1,z_1) в исходной системе координат Oxyz. Из равенства


\overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OO'}+\vec{s}_3= \vec{s}+\vec{s}_3,

где s=\begin{pmatrix}x_0&y_0&z_0\end{pmatrix}^T — столбец координат точки O', определяем координатный столбец точки M(x_1,y_1,z_1):


\begin{pmatrix}x_1&y_1&z_1\end{pmatrix}^T=s+s_3

Подставляя этот столбец в квадратичную функцию p(x,y,z), получаем


\begin{aligned}p(x_1,y_1,z_1)&= (s+s_3)^T\cdot A\cdot(s+s_3)+2\cdot a^T\cdot(s+s_3)+a_0=\\[3pt] &=s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0+s^T\cdot A\cdot s_3+s_3^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s_3=\\[3pt] &=2\cdot a^T\cdot s_3,\end{aligned}

поскольку s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0=0 (точка O' принадлежит поверхности параболоида), A\cdot s_3=o, так как s_3 — особый собственный вектор параболоида. Из теоремы 4.5 следует, что точка M (\overrightarrow{OM}=\vec{s}+\vec{s}_3) является внутренней при условии \tau_1\cdot p(x_1,y_1,z_1)<0, т.е. при условии \tau_1\cdot a^T\cdot s_3<0.


Аналогично заключаем, что правильный выбор направления вектора \vec{s}_1, определяющего положительное направление оси O'x' для параболического цилиндра, отвечает условию \tau_1\cdot a^T\cdot s_1<0.




Пример 4.21. Поверхности второго порядка заданы в прямоугольной системе координат Oxyz уравнениями (см. пример 4.18):


а) x^2+y^2+2x-4y+2z+1=0;

б) x^2+6y-8z+10=0;

в) 3x^2-7y^2+3z^2+8xy-8xz-8yz+10x-14y-6z-8=0;


Внутренней или внешней точкой по отношению к каждой поверхности является начало координат O(0,0,0)?


Решение. а) Заданная поверхность — эллиптический параболоид (см. рис.4.52(1) а) и решение примера 4.19,"а"). Согласно теореме 4.5, проверяем условие \tau_1\cdot p(0,0,0)<0, где


p(x,y,z)=x^2+y^2+2\cdot x-4\cdot y+2\cdot z+1

— левая часть уравнения поверхности, \tau_1=2 (см. решение примера 4.19,"а"). Поскольку неравенство \tau_1\cdot p(0,0,0)<0\Leftrightarrow2\cdot1<0 неверное для точки O(0,0,0), делаем вывод о том, что точка O является внешней для заданной поверхности.


б) Заданная поверхность — параболический цилиндр (см. рис.4.52(1) б) и решение при мера 4.19,"б"). Согласно теореме 4.5, проверяем условие \tau_1\cdot p(0,0,0)<0, где


p(x,y,z)=x^2+6\cdot y-8\cdot z+10

— левая часть уравнения поверхности, \tau_1=1 (см. решение примера 4.19,"б"). Поскольку неравенство \tau_1\cdot p(0,0,0)<0\Leftrightarrow1\cdot10<0 неверное для точки O(0,0,0), делаем вывод о том, что точка O является внешней для заданной поверхности.


в) Заданная поверхность — однополостный гиперболоид (см. рис.4.52(1) в) и решение примера 4.19,"в"). Согласно теореме 4.5, проверяем условие \delta\cdot p(0,0,0)>0, где p(x,y,z) — левая часть уравнения поверхности, а \delta=81 (см. решение примера 4.19,"в"). Поскольку неравенство \delta\cdot p(0,0,0)>0\Leftrightarrow81\cdot(-8)>0 неверное для точки O(0,0,0), делаем вывод о том, что точка O является внешней для заданной поверхности.


Эллиптический параболоид, параболический цилиндр и однополостный гиперболоид
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved