Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Квадратичные неравенства с двумя неизвестными

Квадратичные неравенства с двумя неизвестными


Вещественная линия второго порядка [math]p(x,y)=0[/math] разбивает координатную плоскость Оху на области. В силу свойств многочленов второй степени (в частности, их непрерывности) для решения квадратичных неравенств [math]p(x,y)>0,[/math] [math]p(x,y)<0,[/math] [math]p(x,y)\geqslant0,[/math] [math]p(x,y)\leqslant0,[/math] достаточно определить знак многочлена [math]p(x,y)[/math] в одной внутренней точке какой-либо области. Знаки в других областях проставляются по правилу чередования знаков (аналогично методу интервалов): переходя через границу области, знак многочлена [math]p(x,y)[/math] меняется на противоположный, за исключением совпадающих прямых (при переходе через них знак многочлена не меняется). В случае мнимых линий знак многочлена сохраняется на всей координатной плоскости.


Для всех вещественных линий, за исключением пары пересекающихся прямых, назовем внутренними те точки, координаты которых (в канонической системе координат) удовлетворяют неравенствам


[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}<1, \quad \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}<1, \quad y^2<2\cdot p\cdot x, \quad y^2-b^2<0, \quad y^2<0[/math]

соответственно. Другими словами, во внутренних точках левая часть канонического уравнения линии меньше правой.


Внешними точками по отношению к каждой из перечисленных линий назовем точки, для которых значения левой части канонического уравнения больше правой его части. На рис.3.59 внутренние точки отмечены минусом, а внешние — плюсом. Заметим, что для совпадающих прямых все точки, кроме точек, принадлежащих линии, являются внешними.


Учитывая пункт 9 замечаний 3.12, для уравнения (3.59) линии второго порядка в прямоугольной системе координат [math]Oxy[/math] можно сформулировать условия, равносильные определениям внутренних и внешних точек линии.


Внутренние и внешние точки линий второго порядка - эллипса, гиперболы, параболы



Теорема (3.5) о внутренних и внешних точках линии второго порядка


Пусть уравнение [math]p(x,y)=0[/math] определяет вещественную линию второго порядка, за исключением пары пересекающихся прямых.


1. Если уравнение [math]p(x,y)=0[/math] определяет эллипс, параболу или пару параллельных прямых, то неравенству


[math]\tau\cdot p(x,y)<0 \quad (\tau\cdot p(x,y)>0)[/math]

удовлетворяют координаты всех внутренних (внешних) точек этих линий.


2. Если уравнение [math]p(x,y)=0[/math] определяет гиперболу, то неравенству


[math]\Delta\cdot p(x,y)<0 \quad (\Delta\cdot p(x,y)>0)[/math]

удовлетворяют координаты всех внутренних (внешних) точек гиперболы.


Справедливы и обратные утверждения.


В самом деле, пусть уравнение [math]p(x,y)=0[/math] определяет вещественную линию второго порядка, за исключением пары пересекающихся прямых. Тогда в канонической системе координат уравнение имеет вид (3.60): [math]\widetilde{p}(x',y')=0[/math], где квадратичная функция [math]\widetilde{p}(x',y')[/math] получена из квадратичной функции [math]p(x,y)[/math] в результате умножения на отличный от нуля множитель [math]\mu[/math] и ортогональной .замены переменных (3.62). По определению внутренние точки удовлетворяют неравенству [math]\widetilde{p}(x',y')<0[/math], которое равносильно неравенству [math]\mu\cdot p(x,y)<0[/math] в исходной системе координат.


Если уравнение [math]p(x,y)=0[/math] определяет эллипс, то [math]\mu=-\frac{\delta}{\Delta},~\delta>0[/math] и [math]\tau\cdot\Delta<0[/math] (см. определение вида канонического уравнения). Поэтому


[math]\mu\cdot p(x,y)<0 \quad \Leftrightarrow \quad -\frac{\delta}{\Delta}\cdot p(x,y)<0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{\Delta}\cdot p(x,y)>0 \quad \Leftrightarrow \quad \tau\cdot p(x,y)<0.[/math]

Если уравнение [math]p(x,y)=0[/math] определяет гиперболу, то math]\mu=-\frac{\delta}{\Delta}[/math] и [math]\delta<0[/math]. Поэтому


[math]\mu\cdot p(x,y)<0 \quad \Leftrightarrow \quad -\frac{\delta}{\Delta}\cdot p(x,y)<0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{\Delta}\cdot p(x,y)<0 \quad \Leftrightarrow \quad \Delta\cdot p(x,y)<0.[/math]

Если уравнение [math]p(x,y)=0[/math] определяет параболу или пару параллельных прямых, то [math]\mu=\frac{1}{\tau}[/math]. Поэтому


[math]\mu\cdot p(x,y)<0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{\tau}\cdot p(x,y)<0 \quad \Leftrightarrow \quad \tau\cdot p(x,y)<0.[/math]

Утверждения для внешних точек и обратные утверждения доказываются от противного.




Замечания 3.16.


1. Для пары пересекающихся прямых предлагаемое определение внутренних и внешних точек не годится, поскольку эта пара разбивает плоскость на "похожие" области, каждую из которых равным образом можно считать внутренней или внешней. Например, пара пересекающихся прямых [math]x^2-y^2=0[/math] разбивает плоскость на четыре прямых угла, т.е. на равные "четверти", которые "накладываются" одна на другую при помощи поворота вокруг начала координат на угол, кратный [math]\frac{\pi}{2}[/math].


2. При выборе положительного направления оси [math]O'x'[/math] канонической системы координат [math]O'x'y'[/math] для параболы, заданной уравнением (3.59) вида [math]p(x,y)=0[/math], достаточно проверить, является ли точка [math]M[/math] с координатами [math]x'=1,[/math] [math]y'=1[/math] внутренней. Этой точке соответствует координатный столбец [math]\begin{pmatrix}x_1&y_1\end{pmatrix}^T=s+s_1[/math] в исходной системе координат, где [math]s=\begin{pmatrix}x_0&y_0\end{pmatrix}^T[/math] –координатный столбец точки [math]O'[/math]. Вычислим значение квадратичной функции при подстановке координат [math]s+s_1:[/math]


[math]\begin{gathered}p(x_1,y_1)=(s+s_1)^T\cdot A\cdot(s+s_1)+2\cdot a^T\cdot(s+s_1)+a_0=\\ =s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0+s^T\cdot A\cdot s_1+ s_1^T\cdot A\cdot s+ 2\cdot a^T\cdot s_1= 2\cdot a^T\cdot s_1,\end{gathered}[/math]

поскольку [math]s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0=0[/math] (точка о' принадлежит параболе), а также [math]A\cdot s_1=o[/math], так как [math]s_1[/math] — особый собственный вектор параболы. Из теоремы 3.5 следует, что точка [math]M~(\overrightarrow{OM}=\vec{s}+\vec{s}_3)[/math] является внутренней при условии [math]\tau\cdot p(x_1,y_1)<0,[/math] т.е. при условии [math]\tau\cdot a^T\cdot s_1<0.[/math]


3. Из теоремы 3.5 следует, что градиент функции [math]p(x,y)[/math] в точках линии уровня [math]p(x,y)=0[/math] направлен при [math]\tau>0[/math] в сторону внешних точек эллипса или параболы, при [math]\Delta>0[/math] — в сторону внешних точек гиперболы, в противном случае, при [math]\tau<0[/math] для эллипса и параболы или при [math]\Delta<0[/math] для гиперболы градиент направлен в сторону внутренних точек (рис.3.60).


Направления градиента функции в точках линии уровня

4. Линии уровня [math]p(x,y)=\operatorname{const}[/math] квадратичной функции (3.57) являются линиями второго порядка. При изменении величины параметра [math](\operatorname{const})[/math] меняется свободный член функции [math]p(x,y)-\operatorname{const}[/math], однако при этом не изменяются выражения [math]\tau[/math] и [math]\delta[/math], а, следовательно, и корни характеристического уравнения, поскольку они не зависят от свободного члена. Поэтому тип линии уровня (эллиптический, гиперболический или параболический) сохраняется. Для всех центральных линий уровня [math]p(x,y)=\operatorname{const}[/math] сохраняется отношение [math]a:b[/math] сторон основного прямоугольника, а также эксцентриситет и фокальный параметр для эллипсов, гипербол и парабол. Вид линии может измениться, поскольку выражения [math]\Delta[/math] и [math]\kappa[/math] зависят от свободного члена. Например, при некоторых значениях постоянной [math](\operatorname{const})[/math] линия [math]p(x,y)=\operatorname{const}[/math] может быть вещественным эллипсом, при других значениях — мнимым эллипсом, а при одном значении — парой мнимых пересекающихся прямых.


5. Линии уровня [math]p(x,y)=\operatorname{const}[/math] заданной квадратичной функции при различных значениях параметра [math](\operatorname{const})[/math] имеют постоянные собственные направления, т.е. базисные векторы канонической системы координат не изменяются. Следовательно, если линии уровня [math]p(x,y)=\operatorname{const}[/math] центральные, то все они имеют одну и ту же систему координат. При возрастании параметра [math](\operatorname{const})[/math] эллипсы и гиперболы изменяются гомотетично (центр гомотетии совпадает с центром линии) в направлениях, указанных на рис.3.60. Если линии уровня [math]p(x,y)=\operatorname{const}[/math] параболические, то все они имеют одну и ту же ось абсцисс канонической системы координат. При возрастании параметра параболы перемещаются в направлениях, указанных на рис.3.60.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved