Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Кривизна плоской кривой

Кривизна плоской кривой


Под кривизной линии понимают степень ее отклонения от прямой. Не давая пока точных определений, заметим, что чем больше радиус окружности, тем менее она искривлена, тем больше ее участок заданной длины [math]\ell[/math] напоминает отрезок прямой той же длины. При этом окружность одинаково искривлена во всех точках. В то же время парабола наиболее искривлена в ее вершине, а по мере удаления от вершины кривизна становится меньше.


Чтобы дать точное определение кривизны, рассмотрим гладкую дугу [math]\Gamma[/math]. Если бы эта дуга не была искривлена, т. е. если бы она была отрезком прямой линии, то касательные в начале и конце дуги имели бы одинаковое направление (совпадающее с направлением отрезка). Таким образом, за меру искривленности данной дуги в целом следует принять угол поворота касательной к этой дуге при движении от начала дуги к ее концу. Например, для полуокружности этот угол равен [math]\pi[/math] (рис. 55), для всей окружности он равен [math]2\pi[/math], а для дуги синусоиды, изображенной на рисунке 56, этот угол равен нулю, так как при обходе дуги касательная возвращается в исходное положение, не сделав при этом полного оборота.


Угол поворота касательной считают положительным, если вращение происходит против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.


Кривизны дуг окружности и синусоиды

Однако угол поворота касательной показывает лишь полную искривленность линии. Поэтому полуокружности малого и большого радиусов дают один и тот же угол поворота [math]\pi[/math], в то время как искривленность большой окружности в каждой точке меньше, чем малой. Это показывает, что нам надо учитывать не только угол поворота [math]\varphi[/math], но и длину дуги, на протяжении которой получился этот поворот касательной. Иными словами, следует рассчитывать угол поворота на единицу длины дуги, или, иначе, отношение величины этого угла [math]\varphi[/math] к длине [math]\ell[/math] дуги. Назовем это отношение средней кривизной данной дуги:


[math]k_{\text{sr}}= \frac{\varphi}{\ell}\,.[/math]

Например, длина полуокружности радиуса [math]R[/math] равна [math]\pi R[/math], а соответствующий ей угол поворота равен [math]\pi[/math]. Значит, средняя кривизна полуокружности равна


[math]k_{\text{sr}}= \frac{\pi}{\pi R} =\frac{1}{R}\,,[/math]

т. е. обратно пропорциональна радиусу. Очевидно, что тот же результат получился бы, если бы мы взяли любую другую дугу окружности радиуса [math]R[/math].


Углы наклона между касательными к кривой

Мы уже говорили, что, вообще говоря, кривизна данной линии различна в разных точках. Поэтому надо перейти от средней кривизны дуги к ее кривизне в данной точке. Введем следующее определение:


Определение. Кривизной [math]k[/math] дуги кривой [math]\Gamma[/math] в данной точке [math]M[/math] называется предел средней кривизны дуги [math]MM'[/math], когда длина [math]\Delta\ell[/math] этой дуги стремится к нулю:


[math]k=\lim_{\Delta\ell\to0}\frac{\varphi}{\Delta\ell}[/math]

(разумеется, если этот предел не существует, то кривизна линии в данной точке не определена).

Перейдем к выводу расчетной формулы для кривизны. Выберем декартову систему координат (рис. 57). Из рисунка видно, что угол между касательными в точках [math]A[/math] и [math]B[/math] равен разности углов [math]BQx[/math] и [math]ATx[/math], т. е. углов наклона касательных в этих точках к оси абсцисс. Это можно записать следующим образом: [math]\varphi=\Delta\alpha[/math], где [math]\alpha[/math] — угол наклона касательной [math](AT)[/math] к оси абсцисс. Поэтому формулу для кривизны можно переписать так:


[math]k=\lim_{\Delta\ell\to0}\frac{\varphi}{\Delta\ell}= \lim_{\Delta\ell\to0} \frac{\Delta\alpha}{\Delta\ell}= \frac{d\alpha}{d\ell}[/math]
(1)

Мы доказали, что кривизна [math]k[/math] дуги кривой является производной угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс по длине дуги.


Пусть кривая [math]\Gamma[/math] задана уравнением [math]y=f(x)[/math] на отрезке [math][a;b][/math], где функция [math]f(x)[/math] дважды дифференцируема. Тогда эта кривая спрямляема и имеет касательную в любой точке. При этом [math]d\ell= \sqrt{1+(y')^2}\,dx[/math], а так как [math]\operatorname{tg}\alpha=y'[/math], то [math]\alpha=\operatorname{arctg}y'[/math], и потому


[math]d\alpha= \frac{d(y')}{1+(y')^2} =\frac{y''\,dx}{1+(y')^2}\,.[/math]
Следовательно,
[math]k=\frac{d\alpha}{d\ell}= \frac{y''\,dx}{1+(y')^2}:\sqrt{1+(y')^2}\,dx= \frac{y''}{\bigl(1+(y')^2\bigr)^{3/2)}\,.[/math]
Итак,
[math]k=\frac{y''}{\bigl(1+(y')^2\bigr)^{3/2)}\,.[/math]
(2)



Пример 1. Найти кривизну гиперболы [math]y= \frac{5}{x}[/math] в точке [math]A(1;5)[/math].


Решение. Воспользуемся формулой (2) кривизны кривой. Имеем:


[math]y'=-\frac{5}{x^2}\,,\quad y''=\frac{10}{x^3}\,.[/math]

Вычислить значения производных в данной точке [math]A\colon\, y'(1)=-5,~ y''(1)=10[/math]. Таким образом,


[math]k=\frac{10}{(1+25)^{3/2}}= \frac{5}{13\sqrt{26}}\,.[/math]



Пример 2. Найти наибольшую кривизну линии кубической параболы [math]y=ax^3,~ x\in[0;+\infty)[/math].


Решение. Мы имеем: [math]y'=3ax^2,~ y''=6ax,~ k=\frac{6ax}{(1+ 9a^2x^4)^{3/2)}[/math].


Чтобы найти наибольшее значение кривизны, вычислим [math]k'=\frac{dk}{dx}:[/math]


[math]k'=\frac{6a(1-45a^2x^4)}{(1+9a^2x^4)^{5/2)}\,.[/math]

Приравнивая производную нулю, получаем: [math]x=\frac{1}{\sqrt[4]{45a^2}}[/math]. В этой точке [math]k=\frac{5}{3} \sqrt[4]{\frac{5a^4}{4}}[/math]. Отметим, что при [math]x=0[/math] имеем [math]k=0[/math], а при [math]x\to\infty[/math] будет [math]k\to0[/math]. Поэтому вдоль кривой [math]y=ax^3[/math] кривизна плавно возрастает от нуля до [math]\frac{5}{3} \sqrt[4]{\frac{5a^4}{4}}[/math], а потом плавно убывает.


Это используется при строительстве железных дорог для построения переходных кривых, вдоль которых кривизна плавно возрастает от нуля до требуемого значения.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved