Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова

Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова
(геометрический критерий устойчивости)


Пусть имеем линейное дифференциальное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами:


a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_ny=0\quad (a_0,a_1,\ldots,a_n=\text{const},~a_0>0).
(1)

Нулевое решение y\equiv0 уравнения (1) асимптотически устойчиво, если все корни характеристического уравнения


f(\lambda)\equiv a_0\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\ldots+a_n=0
(2)

имеют отрицательные вещественные части.


Критерий Рауса—Гурвица. Для того чтобы все корни уравнения (2) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все главные диагональные миноры матрицы Гурвица


\begin{pmatrix}a_1&a_0&0&0&0&0&{}&0\\ a_3&a_2&a_1&a_0&0&0&{}&0\\ a_5&a_4&a_3&a_2&a_1&a_0&\cdots&0\\ \cdots&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots&\cdots\\ 0&0&0&0&0&0&{}&a_n \end{pmatrix}\!.
(3)

Матрица Гурвица составляется так. По главной диагонали выписываются коэффициенты многочлена (2), начиная с a_1 и оканчивая a_n. Столбцы состоят поочередно из коэффициентов только с нечетными или только с четными индексами, причем в число последних включается коэффициент a_0. Все остальные элементы матрицы, отвечающие коэффициентам с индексами, большими n или меньшими 0, полагаются равными нулю. Главные диагональные миноры матрицы Гурвица имеют вид


\Delta_1=a_1,\quad \Delta_2=\begin{vmatrix}a_1&a_0\\a_3&a_2\end{vmatrix},\quad \Delta_3=\begin{vmatrix}a_1&a_0&0\\a_3&a_2&a_1\\a_5&a_4&a_3\end{vmatrix},\quad \ldots,\quad \Delta_n=\begin{vmatrix}a_1&a_0&0&{}&0\\a_3&a_2&a_1&{}&0\\a_5&a_4&a_3&{}&0\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&0&0&{}&a_n\end{vmatrix}.

Таким образом, условие Гурвица гласит: для устойчивости решения y\equiv0 уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения


\Delta_1>0,\quad \Delta_2>0,\quad \ldots,\quad \Delta_n>0.
(4)

Так как \Delta_n=a_n\Delta_{n-1}, то условие \Delta_n>0 может быть заменено требованием a_n>0.




Пример 1. Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения


y''''+5y'''+13y''+19y'+10y=0.
(11)

Решение. Составляем характеристическое уравнение


f(\lambda)\equiv \lambda^4+5\lambda^3+13\lambda^2+19\lambda+10=0

Здесь a_0=1,~a_1=5,~a_2=13,~a_3=19,~a_4=10. Выписываем диагональные миноры Гурвица


\Delta_1=5>0,~ \Delta_2=\begin{vmatrix}5&1\\19&13\end{vmatrix}=46>0,~ \Delta_3=\begin{vmatrix}5&1&0\\19&13&5\\0&10&19\end{vmatrix}=424>0,~ \Delta_4=\begin{vmatrix}5&1&0&0\\19&13&5&1\\0&10&19&13\\0&0&0&10\end{vmatrix}=4240>0,

Итак, \Delta_1>0,~\Delta_2>0,~\Delta_3>0,~\Delta_4>0. Следовательно, тривиальное решение y\equiv0 уравнения (5) асимптотически устойчиво.


Вычисление можно, например, организовать так. Составляем сначала старший минор Гурвица \Delta_n. По нему легко выписываются все младшие миноры \Delta_{n-1},\ldots,\Delta_1. Затем начинаем вычислять последовательно \Delta_1,\,\Delta_2 и т.д. Если встретился отрицательный минор, решение неустойчиво и дальнейший подсчет не нужен.




Геометрический критерий устойчивости (критерий Михайлова)


Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными вещественными коэффициентами


a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_ny=0.
(1)

Его характеристическое уравнение


f(\lambda)\equiv a_0\lambda^{n}+a_1\lambda^{n-1}+\ldots+a_n=0.
(2)

Критерий Михайлова позволяет решить вопрос о расположении корней характеристического уравнения (2) на комплексной плоскости и, следовательно, решить вопрос об устойчивости нулевого решения уравнения (1). Полагая \lambda=i\omega, получаем


f(i\omega)= u(\omega)+iv(\omega),
где
u(\omega)=a_n-a_{n-2}\omega^2+a_{n-4}\omega^4-\ldots,\quad v(\omega)=a_{n-1}\omega-a_{n-3}\omega^3+\ldots

Геометрический критерий устойчивости Михайлова

Величину f(i\omega) при заданном значении параметра \omega можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости Ouv с началом в начале координат.


При изменении \omega в интервале (-\infty,+\infty) конец этого вектора опишет некоторую кривую — так называемую кривую Михайлова (рис. 45). Так как функция u(\omega) четная, то кривая Михайлова симметрична относительно оси Ou и поэтому достаточно строить часть кривой, отвечающую изменению параметра \omega от 0 до +\infty.


Если многочлен f(\lambda) степени n имеет m корней с положительной вещественной частью и n-m корней с отрицательной, то угол \varphi поворота вектора f(i\omega) при изменении \omega от 0 до +\infty равен \varphi=(n-2m)\frac{\pi}{2}.


Ясно, что для устойчивости решения уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы m=0.


Критерий Михайлова. Для устойчивости нулевого y\equiv0 решения уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы


1) вектор f(i\omega) при изменении \omega от 0 до +\infty совершил поворот на угол \varphi=n\frac{\pi}{2}, т.е. сделал \frac{n}{4} оборотов против часовой стрелки;


2) годограф f(i\omega) при изменении \omega от 0 до +\infty не проходил через начало (0;0).


Отсюда следует, что для устойчивости решения уравнения (1) необходимо, чтобы все корни уравнений u(\omega)=0, v(\omega)=0 были вещественными и перемежающимися друг с другом, т.е. между любыми двумя корнями одного уравнения должен находиться корень другого уравнения.




Пример 1. Исследовать на устойчивость нулевое решение y\equiv0 уравнения


y^{\mathsf{IV}}+y'''+4y''+y'+y=0.

Решение. Составляем характеристический многочлен


f(\lambda)=\lambda^4+\lambda^3+4\lambda^2+\lambda+1.
Далее,
f(i\omega)=\omega^4-i\omega^3-4\omega^2+i\omega+1,\quad u(\omega)=\omega^4-4\omega^2+1,\quad v(\omega)=-\omega^3+\omega=\omega(1-\omega)(1+\omega).

Построим кривую (рис.46) \begin{cases}u=u(\omega),\\ v=v(\omega),\end{cases}0\leqslant\omega<+\infty.


\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \omega&0&\sqrt{2-\sqrt{3}}&1&\sqrt{2+\sqrt{3}}\\ \hline u&1&0&-2&0\\ \hline v&0&+&0&-\\ \hline\end{array}\quad \lim_{\omega\to+\infty}\frac{v}{u}=0.

Угол поворота радиуса-вектора \varphi=4{\cdot}\frac{\pi}{2}=(n-2m)\frac{\pi}{2}. Отсюда n-2m=4 и так как n=4, то m=0, т.е. все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости. Значит, тривиальное решение y\equiv0 асимптотически устойчиво.


График кривой, заданной параметрически
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved