Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова

Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова
(геометрический критерий устойчивости)


Пусть имеем линейное дифференциальное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами:


[math]a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_ny=0\quad (a_0,a_1,\ldots,a_n=\text{const},~a_0>0).[/math]
(1)

Нулевое решение [math]y\equiv0[/math] уравнения (1) асимптотически устойчиво, если все корни характеристического уравнения


[math]f(\lambda)\equiv a_0\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\ldots+a_n=0[/math]
(2)

имеют отрицательные вещественные части.


Критерий Рауса—Гурвица. Для того чтобы все корни уравнения (2) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все главные диагональные миноры матрицы Гурвица


[math]\begin{pmatrix}a_1&a_0&0&0&0&0&{}&0\\ a_3&a_2&a_1&a_0&0&0&{}&0\\ a_5&a_4&a_3&a_2&a_1&a_0&\cdots&0\\ \cdots&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots&\cdots\\ 0&0&0&0&0&0&{}&a_n \end{pmatrix}\!.[/math]
(3)

Матрица Гурвица составляется так. По главной диагонали выписываются коэффициенты многочлена (2), начиная с [math]a_1[/math] и оканчивая [math]a_n[/math]. Столбцы состоят поочередно из коэффициентов только с нечетными или только с четными индексами, причем в число последних включается коэффициент [math]a_0[/math]. Все остальные элементы матрицы, отвечающие коэффициентам с индексами, большими [math]n[/math] или меньшими [math]0[/math], полагаются равными нулю. Главные диагональные миноры матрицы Гурвица имеют вид


[math]\Delta_1=a_1,\quad \Delta_2=\begin{vmatrix}a_1&a_0\\a_3&a_2\end{vmatrix},\quad \Delta_3=\begin{vmatrix}a_1&a_0&0\\a_3&a_2&a_1\\a_5&a_4&a_3\end{vmatrix},\quad \ldots,\quad \Delta_n=\begin{vmatrix}a_1&a_0&0&{}&0\\a_3&a_2&a_1&{}&0\\a_5&a_4&a_3&{}&0\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&0&0&{}&a_n\end{vmatrix}.[/math]

Таким образом, условие Гурвица гласит: для устойчивости решения [math]y\equiv0[/math] уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения


[math]\Delta_1>0,\quad \Delta_2>0,\quad \ldots,\quad \Delta_n>0.[/math]
(4)

Так как [math]\Delta_n=a_n\Delta_{n-1}[/math], то условие [math]\Delta_n>0[/math] может быть заменено требованием [math]a_n>0[/math].




Пример 1. Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения


[math]y''''+5y'''+13y''+19y'+10y=0.[/math]
(11)

Решение. Составляем характеристическое уравнение


[math]f(\lambda)\equiv \lambda^4+5\lambda^3+13\lambda^2+19\lambda+10=0[/math]

Здесь [math]a_0=1,~a_1=5,~a_2=13,~a_3=19,~a_4=10[/math]. Выписываем диагональные миноры Гурвица


[math]\Delta_1=5>0,~ \Delta_2=\begin{vmatrix}5&1\\19&13\end{vmatrix}=46>0,~ \Delta_3=\begin{vmatrix}5&1&0\\19&13&5\\0&10&19\end{vmatrix}=424>0,~ \Delta_4=\begin{vmatrix}5&1&0&0\\19&13&5&1\\0&10&19&13\\0&0&0&10\end{vmatrix}=4240>0,[/math]

Итак, [math]\Delta_1>0,~\Delta_2>0,~\Delta_3>0,~\Delta_4>0[/math]. Следовательно, тривиальное решение [math]y\equiv0[/math] уравнения (5) асимптотически устойчиво.


Вычисление можно, например, организовать так. Составляем сначала старший минор Гурвица [math]\Delta_n[/math]. По нему легко выписываются все младшие миноры [math]\Delta_{n-1},\ldots,\Delta_1[/math]. Затем начинаем вычислять последовательно [math]\Delta_1,\,\Delta_2[/math] и т.д. Если встретился отрицательный минор, решение неустойчиво и дальнейший подсчет не нужен.




Геометрический критерий устойчивости (критерий Михайлова)


Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными вещественными коэффициентами


[math]a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_ny=0.[/math]
(1)

Его характеристическое уравнение


[math]f(\lambda)\equiv a_0\lambda^{n}+a_1\lambda^{n-1}+\ldots+a_n=0.[/math]
(2)

Критерий Михайлова позволяет решить вопрос о расположении корней характеристического уравнения (2) на комплексной плоскости и, следовательно, решить вопрос об устойчивости нулевого решения уравнения (1). Полагая [math]\lambda=i\omega[/math], получаем


[math]f(i\omega)= u(\omega)+iv(\omega),[/math]
где
[math]u(\omega)=a_n-a_{n-2}\omega^2+a_{n-4}\omega^4-\ldots,\quad v(\omega)=a_{n-1}\omega-a_{n-3}\omega^3+\ldots[/math]

Геометрический критерий устойчивости Михайлова

Величину [math]f(i\omega)[/math] при заданном значении параметра [math]\omega[/math] можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости [math]Ouv[/math] с началом в начале координат.


При изменении [math]\omega[/math] в интервале [math](-\infty,+\infty)[/math] конец этого вектора опишет некоторую кривую — так называемую кривую Михайлова (рис. 45). Так как функция [math]u(\omega)[/math] четная, то кривая Михайлова симметрична относительно оси [math]Ou[/math] и поэтому достаточно строить часть кривой, отвечающую изменению параметра [math]\omega[/math] от [math]0[/math] до [math]+\infty[/math].


Если многочлен [math]f(\lambda)[/math] степени [math]n[/math] имеет [math]m[/math] корней с положительной вещественной частью и [math]n-m[/math] корней с отрицательной, то угол [math]\varphi[/math] поворота вектора [math]f(i\omega)[/math] при изменении [math]\omega[/math] от [math]0[/math] до [math]+\infty[/math] равен [math]\varphi=(n-2m)\frac{\pi}{2}[/math].


Ясно, что для устойчивости решения уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы [math]m=0[/math].


Критерий Михайлова. Для устойчивости нулевого [math]y\equiv0[/math] решения уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы


1) вектор [math]f(i\omega)[/math] при изменении [math]\omega[/math] от [math]0[/math] до [math]+\infty[/math] совершил поворот на угол [math]\varphi=n\frac{\pi}{2}[/math], т.е. сделал [math]\frac{n}{4}[/math] оборотов против часовой стрелки;


2) годограф [math]f(i\omega)[/math] при изменении [math]\omega[/math] от [math]0[/math] до [math]+\infty[/math] не проходил через начало [math](0;0)[/math].


Отсюда следует, что для устойчивости решения уравнения (1) необходимо, чтобы все корни уравнений [math]u(\omega)=0,[/math] [math]v(\omega)=0[/math] были вещественными и перемежающимися друг с другом, т.е. между любыми двумя корнями одного уравнения должен находиться корень другого уравнения.




Пример 1. Исследовать на устойчивость нулевое решение [math]y\equiv0[/math] уравнения


[math]y^{\mathsf{IV}}+y'''+4y''+y'+y=0.[/math]

Решение. Составляем характеристический многочлен


[math]f(\lambda)=\lambda^4+\lambda^3+4\lambda^2+\lambda+1.[/math]
Далее,
[math]f(i\omega)=\omega^4-i\omega^3-4\omega^2+i\omega+1,\quad u(\omega)=\omega^4-4\omega^2+1,\quad v(\omega)=-\omega^3+\omega=\omega(1-\omega)(1+\omega).[/math]

Построим кривую (рис.46) [math]\begin{cases}u=u(\omega),\\ v=v(\omega),\end{cases}0\leqslant\omega<+\infty.[/math]


[math]\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \omega&0&\sqrt{2-\sqrt{3}}&1&\sqrt{2+\sqrt{3}}\\ \hline u&1&0&-2&0\\ \hline v&0&+&0&-\\ \hline\end{array}\quad \lim_{\omega\to+\infty}\frac{v}{u}=0.[/math]

Угол поворота радиуса-вектора [math]\varphi=4{\cdot}\frac{\pi}{2}=(n-2m)\frac{\pi}{2}[/math]. Отсюда [math]n-2m=4[/math] и так как [math]n=4[/math], то [math]m=0[/math], т.е. все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости. Значит, тривиальное решение [math]y\equiv0[/math] асимптотически устойчиво.


График кривой, заданной параметрически

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved