Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова (геометрический критерий устойчивости)
Пусть имеем линейное дифференциальное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами:
 (1)
Нулевое решение уравнения (1) асимптотически устойчиво, если все корни характеристического уравнения
 (2)
имеют отрицательные вещественные части.
Критерий Рауса—Гурвица. Для того чтобы все корни уравнения (2) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все главные диагональные миноры матрицы Гурвица
 (3)
Матрица Гурвица составляется так. По главной диагонали выписываются коэффициенты многочлена (2), начиная с и оканчивая . Столбцы состоят поочередно из коэффициентов только с нечетными или только с четными индексами, причем в число последних включается коэффициент . Все остальные элементы матрицы, отвечающие коэффициентам с индексами, большими или меньшими , полагаются равными нулю. Главные диагональные миноры матрицы Гурвица имеют вид
Таким образом, условие Гурвица гласит: для устойчивости решения уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения
 (4)
Так как , то условие может быть заменено требованием .
Пример 1. Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения
 (11)
Решение. Составляем характеристическое уравнение
Здесь . Выписываем диагональные миноры Гурвица
Итак, . Следовательно, тривиальное решение уравнения (5) асимптотически устойчиво.
Вычисление можно, например, организовать так. Составляем сначала старший минор Гурвица . По нему легко выписываются все младшие миноры . Затем начинаем вычислять последовательно и т.д. Если встретился отрицательный минор, решение неустойчиво и дальнейший подсчет не нужен.
Геометрический критерий устойчивости (критерий Михайлова)
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными вещественными коэффициентами
 (1)
Его характеристическое уравнение
 (2)
Критерий Михайлова позволяет решить вопрос о расположении корней характеристического уравнения (2) на комплексной плоскости и, следовательно, решить вопрос об устойчивости нулевого решения уравнения (1). Полагая , получаем где
 Величину при заданном значении параметра можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости с началом в начале координат.
При изменении в интервале конец этого вектора опишет некоторую кривую — так называемую кривую Михайлова (рис. 45). Так как функция четная, то кривая Михайлова симметрична относительно оси и поэтому достаточно строить часть кривой, отвечающую изменению параметра от до .
Если многочлен степени имеет корней с положительной вещественной частью и корней с отрицательной, то угол поворота вектора при изменении от до равен .
Ясно, что для устойчивости решения уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы .
Критерий Михайлова. Для устойчивости нулевого решения уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы
1) вектор при изменении от до совершил поворот на угол , т.е. сделал оборотов против часовой стрелки;
2) годограф при изменении от до не проходил через начало .
Отсюда следует, что для устойчивости решения уравнения (1) необходимо, чтобы все корни уравнений были вещественными и перемежающимися друг с другом, т.е. между любыми двумя корнями одного уравнения должен находиться корень другого уравнения.
Пример 1. Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения
Решение. Составляем характеристический многочлен Далее,
Построим кривую (рис.46) 
Угол поворота радиуса-вектора . Отсюда и так как , то , т.е. все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости. Значит, тривиальное решение асимптотически устойчиво.
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|