Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Краевые задачи для уравнений высших порядков

Краевые задачи для уравнений высших порядков


Рассмотрим для простоты уравнение второго порядка


[math]y''+p_1(x)y'+p_2(x)y=0.[/math]
(1)

Коэффициенты [math]p_1(x)[/math] и [math]p_2(x)[/math] будем считать непрерывными в некотором интервале [math](a,b)[/math]. Тогда каждое решение [math]y(x)[/math] уравнения (1) будет определено во всем этом интервале. В дальнейшем вместо уравнения (1) будем рассматривать уравнение вида


[math][p(x)y']'+q(x)y=0, \quad p(x)>0.[/math]
(2)

Уравнения (1) и (2) могут быть преобразованы одно в другое. Уравнение вида (2) называются самосопряженными.


Решение дифференциального уравнения [math][p(x)y']'+q(x)y=0[/math] полностью определяется начальными условиями [math]y(x_0)=y_0,[/math] [math]y'(x_0)=y'_0[/math]. Однако во многих физических задачах приходится искать решения, заданные иным способом. Например, может быть поставлена задача: найти решение уравнения (2), принимающее в точках [math]a[/math] и [math]b[/math] заданные значения [math]y(a)[/math] и [math]y(b)[/math]. Обычно в таких случаях значения решения ищутся только для [math]x[/math] из [math](a,b)[/math]. Таким образом, заданные значения [math]y(a)[/math] и [math]y(b)[/math] находятся на концах интервала, поэтому задачи такого рода называются краевыми (граничными) задачами. В дальнейшем мы положим в основу интервал [math](0,\pi)[/math] (основной интервал), что не уменьшает общности рассуждений.


Весьма общий вид краевых условий для уравнения второго порядка следующий:


[math]h_0y(0)+h_1y'(0)=A, \quad k_0y(\pi)+k_1y'(\pi)=B,[/math]
(3)

где [math]h_0,h_1,k_0,k_1,A,B[/math] — заданные постоянные, причем [math]h_0,h_1,k_0,k_1[/math] не равны одновременно нулю.

Если [math]A=B=0[/math], то краевые условия называются однородными, например:


[math]\begin{gathered} \mathsf{1)}~y(0)=y(\pi)=0; \hfill\\ \mathsf{2)}~h_0y(0)=y'(0),~y'(\pi)=-h_1y(\pi),~h_0,h_1>0; \hfill\\ \mathsf{3)}~y'(0)=y'(\pi)=0; \hfill\\ \mathsf{4)}~y(0)=y(\pi),~ y'(0)=y'(\pi).\hfill \end{gathered}[/math]

Вообще говоря, краевые задачи не всегда разрешимы, т.е. не всегда существует такое решение, которое принимает требуемые значения на концах интервала. Например, краевая задача


[math]y''=0, \quad y(0)-y(\pi)=1, \quad y'(0)+y'(\pi)=0[/math]

не имеет ни одного решения. Задача

[math]y''+\lambda y=0, \quad y(0)=y(\pi)=0[/math]
(4)

имеет ненулевое решение только для целочисленных значений [math]\sqrt{\lambda}[/math]. В самом деле, из общего решения дифференциального уравнения (4)

[math]y=C_1e^{\sqrt{-\lambda x}}+C_2e^{-\sqrt{-\lambda x}}[/math]

вытекает, что краевые условия выполнимы в том и только в том случае, если [math]\lambda=n^2[/math] есть квадрат целого числа [math]n[/math]. Соответствующими решениями являются функции [math]y_n=\sin{nx}[/math].

Как видно из этого примера, если [math]q[/math] в уравнении (2) есть функция параметра [math]\lambda[/math], то при известных условиях существуют такие значения параметра, для которых однородная краевая задача для уравнения (2) имеет ненулевое решение. Эти значения [math]\lambda[/math] называются собственными значениями, а соответствующие им решения краевой задачи — собственными функциями. Последние определяются лишь с точностью до произвольного постоянного множителя. Так для краевой задачи [math]y''+\lambda y=0,[/math] [math]y(0)=y(\pi)=0[/math], числа [math]1^2,2^2,3^2,\ldots[/math] и функции [math]\sin{x},\sin2x,\ldots[/math] являются соответственно собственными значениями и собственными функциями задачи.


Наряду с простыми собственными значениями, когда одному собственному значению отвечает одна собственная функция (с точностью до постоянного множителя), существуют кратные собственные значения, когда собственному значению [math]\lambda[/math] отвечают две или более линейно независимые собственные функции.


При решении краевых задач (для линейных однородных дифференциальных уравнений) поступают так: находят общее решение данного дифференциального уравнения


[math]y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+\ldots+C_ny_n(x),[/math]

где [math]y_1(x),y_2(x),\ldots,y_n(x)[/math] — линейно независимые решения. Затем требуют, чтобы это решение [math]y(x)[/math] удовлетворяло заданным граничным условиям. Это приводит к некоторой линейной системе уравнений для определения [math]C_1,C_2,\ldots,C_n[/math]. Разрешая эту систему, если возможно, находят решение данной краевой задачи. При этом, если возникает задача о нахождении собственных значений, условие наличия ненулевого решения у системы, определяющей [math]C_1,C_2,\ldots,C_n[/math], является условием, определяющим собственные значения. Это бывает некоторое вообще трансцендентное уравнение для [math]\lambda[/math].



Пример 1. Решить краевую задачу [math]y''-y=0,~y'(0)=0,~y(1)=1[/math].


Решение. Общее решение данного уравнения


[math]y(x)=C_1e^x+C_2e^{-x},[/math]
(5)

отсюда
[math]y'(x)=C_1e^x-C_2e^{-x}.[/math]
(6)

Полагая [math]x=0[/math] в (6) и [math]x=1[/math] в (5) и учитывая краевые условия, получаем для нахождения значений постоянных [math]C_1[/math] и [math]C_2[/math] неоднородную линейную систему


[math]\left\{\!\begin{aligned}C_1-C_2&=0,\\C_1e+C_2e^{-1}&=1.\end{aligned}\right.[/math]

Определитель этой системы

[math]\Delta= \,\,\vline\,\begin{matrix}1&-1\\e&e^{-1}\end{matrix}\,\vline\,= e^{-1}+e= 2\operatorname{ch}1\ne0,[/math]

следовательно, она имеет единственное решение

[math]C_1=\frac{1}{2\operatorname{ch}1}, \quad C_2=\frac{1}{2\operatorname{ch}1}.[/math]

Подставляя найденные значения [math]C_1[/math] и [math]C_2[/math] в (5), получаем решение заданной краевой задачи


[math]y(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2\operatorname{ch}1},[/math] или [math]y(x)=\frac{\operatorname{ch}x}{\operatorname{ch}1}.[/math]



Пример 2. Найти собственные значения и собственные функции краевой задачи


[math]y''+\lambda^2y=0 \quad (\lambda\ne0),[/math]
(7)

[math]y'(0)=0, \quad y(\pi)=0.[/math]
(8)

Решение. Обшее решение уравнения (7)


[math]y(x)=C_1\cos\lambda x+C_2\sin\lambda x\,,[/math]
(9)

отсюда
[math]y'(x)=-C_1\lambda\sin\lambda x+C_2\lambda\cos\lambda x\,.[/math]
(10)

Полагая [math]x=\pi[/math] (9) и [math]x=0[/math] в (10) и учитывая краевые условия (8), получаем для нахождения [math]C_1[/math] и [math]C_2[/math] однородную линейную систему


[math]\left\{\!\begin{gathered} C_1\cos\lambda\pi+C_2\sin\lambda\pi=0,\hfill\\ C_2\lambda=0.\hfill \end{gathered}\right.[/math]
(11)

Система (11) будет иметь ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю; приравняв его нулю, получаем уравнение для нахождения собственных значений данной краевой задачи:


[math]\vline\,\begin{matrix}\cos\lambda\pi&\sin\lambda\pi\\0&\lambda\end{matrix}\,\vline\,=0,[/math] или [math]\lambda \cos\lambda\pi=0.[/math]

Так как по условию [math]\lambda\ne0[/math], то [math]\cos\lambda\pi=0[/math], а значит собственные значения


[math]\lambda=\lambda_n=\frac{2n+1}{2}, \quad n\in\{0\}\cup\mathbb{N}[/math]

Им соответствуют (с точностью до постоянного множителя [math]C_1[/math], который можно положить равным единице) собственные функции


[math]y_n(x)=\cos\!\left(\frac{2n+1}{2}x\right)\!,[/math]

являющиеся решениями краевой задачи (7)–(8).



Замечание. Собственные значения рассмотренных выше задач образуют возрастающую числовую последовательность. Если же коэффициенты дифференциального уравнения имеют особую точку на границе основной области или если основная область бесконечна, например вся числовая ось, то спектр, т.е. совокупность собственных значений, может обладать иной структурой. В частности, могут встретиться спектры, содержащие все числа какого-либо интервала значений [math]\lambda[/math], так называемые непрерывные спектры. Например, пусть требуется решить уравнение [math]y''+\lambda y=0[/math] для интервала [math]-\infty<x<+\infty[/math] при "краевых условиях": [math]y(x)[/math] ограничено на бесконечности. Очевидно, в этом случае всякое неотрицательное число [math]\lambda[/math] является собственным значением с собственными функциями [math]\sin(\sqrt{\lambda}x)[/math] и [math]\cos(\sqrt{\lambda}x)[/math].


При решении задач математической физики, приводящих к задачам на определение собственных значений, часто получаются дифференциальные уравнения вида


[math][p(x)y']'-q(x)y+\lambda p(x)y=0,[/math]

но такие, что в концевых точках основной области могут иметь место особенности дифференциального уравнения, например, обращение в ноль коэффициента [math]p(x)[/math]. Для этих особых точек из самого характера задачи возникают условия, например, непрерывности или ограниченности решения или обращение его в бесконечность не выше заданного порядка. Эти условия играют роль краевых условий. Типичным примером является уравнение Бесселя

[math](xy')'-\frac{n^2}{x}y+\lambda xy=0,[/math]
(12)

которое появляется в задачах математической физики. Здесь [math]p(x)\equiv x[/math] и сделанное выше предположение, что [math]p(x)>0[/math] во всей основной области [math]0\leqslant x\leqslant1[/math] здесь уже не выполняется, так как [math]p(0)=0[/math]. Точка [math]x=0[/math] является особой точкой для уравнения Бесселя.

Требование, чтобы решение было ограничено в этой точке, будет специального вида краевым условием для уравнения Бесселя: найти решение уравнения (12), ограниченное при [math]x=0[/math] и, например, обращающееся в ноль при [math]x=1[/math].




Пример 3. Решить краевую задачу


[math]x^2y''+2xy'-6y=0, \quad y(1)=1,[/math]

функция [math]y(x)[/math] ограничено при [math]x\to0[/math].

Решение. Данное уравнение является уравнением Эйлера. Его общее решение имеет вид


[math]y(x)=\frac{C_1}{x^3}+C_2x^2.[/math]

По условию решение [math]y(x)[/math] должно быть ограниченным при [math]x\to0[/math]. Это требование будет выполнено, если в общем решении положить [math]C_1=0[/math]. Тогда будем иметь [math]y(x)=C_2x^2[/math]. Краевое условие [math]y(1)=1[/math] дает [math]C_2=1[/math]. Следовательно, искомое решение [math]y=x^2[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved