Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Кортеж и декартово произведение множеств

Кортеж и декартово произведение множеств


Пусть [math]A[/math] и [math]B[/math] — произвольные множества. Неупорядоченная пара на множествах [math]A[/math] и [math]B[/math] — это любое множество [math]\{a,b\}[/math], где [math]a\in A,~ b\in B[/math] или [math]a\in B,~ b\in A[/math].


Если [math]A=B[/math], тo говорят о неупорядоченной паре на множестве [math]A[/math]. Исходя из понятия равенства множеств, можно утверждать, что неупорядоченная пара [math]\{a,b\}[/math] равна неупорядоченной паре [math]\{c,d\}[/math] если и только если [math]a=c[/math] и [math]b=d[/math] или [math]a=d[/math] и [math]b=c[/math]. Заметим, что равенство элементов множества понимается здесь (и далее в аналогичных ситуациях) как равенство индивидных констант.


В том случае, когда в неупорядоченной паре [math]\{a,b\}[/math] элементы [math]a[/math] и [math]b[/math] совпадают, получаем, что [math]\{a,b\}=\{a,a\}[/math]. Но такая запись, как мы условились выше, задает то же самое множество, что и [math]\{a\}[/math]. Таким образом, при [math]a=b[/math] неупорядоченная пара [math]\{a,b\}[/math] "вырождается" в одноэлементное множество [math]\{a\}[/math]. При [math]a\ne b[/math] неупорядоченная пара будет двухэлементным множеством.


Упорядоченная пара на множествах [math]A[/math] и [math]B[/math], обозначаемая записью [math](a,b)[/math], определяется не только самими элементами [math]a\in A[/math] и [math]b\in B[/math], но и порядком, в котором они записаны. И в этом состоит ее существенное отличие от неупорядоченной пары. Если [math]A=B[/math], то говорят об упорядоченной паре на множестве [math]A[/math].


Существенная роль порядка, в котором перечисляются элементы упорядоченной пары, фиксируется определением равенства упорядоченных пар.


Определение 1.1. Две упорядоченные пары [math](a,b)[/math] и [math](a',b')[/math] на множествах [math]A[/math] и [math]B[/math] называют равными, если [math]a=a'[/math] и [math]b=b'[/math].


Замечание 1.2. Упорядоченную пару [math](a,b)[/math] не следует связывать с множеством [math]\{a,b\}[/math], так как упорядоченная пара характеризуется не только составом, но и порядком элементов в ней. Более того, определение этого объекта вообще не позволяет рассматривать его как множество. Но упорядоченную пару можно определить и как множество, полагая, что упорядоченная пара [math](a,b)[/math] есть неупорядоченная пара [math]\{a,\{a,b\}\}[/math], включающая в себя одноэлементное множество [math]\{a\}[/math] и неупорядоченную пару [math]\{a,b\}[/math]. При [math]a=b[/math] получаем [math](a,a)=\{\{a\}\}[/math]. Такое определение не изменит сути понятия, но тогда следует не определять явно равенство упорядоченных пар, а доказывать теорему о равенстве упорядоченных пар как определенного вида множеств.


Простейший и важнейший пример использования упорядоченных пар дает аналитическая геометрия. Если на плоскости введена некоторая прямоугольная система координат, то каждая точка плоскости однозначно задается упорядоченной парой действительных чисел — координатами этой точки. Ни у кого не возникает сомнений в том, что порядок, в котором перечисляются координаты точки, является существенным: точка, заданная координатами (1, 3), совсем не то же самое, что точка с координатами [math](3,1)[/math].


Обобщением понятия упорядоченной пары является упорядоченный n-набор, или кортеж. В отличие от конечного множества [math]\{a_1,\ldots,a_n\}[/math] кортеж [math](a_1,\ldots,a_n)[/math] на множествах [math]A_1,\ldots,A_n[/math] характеризуется не только входящими в него элементами [math]a_1\in A_1,\ldots,a_n\in A_n[/math], но и порядком, в котором они перечисляются. Как и для упорядоченных пар, роль порядка в кортеже фиксируется определением равенства кортежей.


Определение 1.2. Два кортежа [math](a_1,\ldots,a_n)[/math] и [math](b_1,\ldots,b_n)[/math] на множествах [math]A_1,\ldots,A_n[/math] равны, если [math]a_i=b_i,~ i=\overline{1,n}[/math].


Число [math]n[/math] называется длиной кортежа (или размерностью кортежа), а элемент [math]a_i[/math] — i-й проекцией (компонентой) кортежа. Для двух кортежей одинаковой размерности их компоненты с одинаковыми номерами называют одноименными компонентами. Определение 1.2 равенства кортежей можно переформулировать так: два кортежа одинаковой размерности равны тогда и только тогда, когда их одноименные компоненты совпадают.


Простейшим примером кортежа является арифметический вектор.


Определение 1.3. Множество всех кортежей длины [math]n[/math] на множествах [math]A_1,\ldots,A_n[/math] называют декартовым (прямым) произведением множеств [math]A_1,\ldots,A_n[/math] и обозначают [math]A_1\times\ldots\times A_n[/math].


Таким образом, [math]A_1\times\ldots\times A_n= \bigl\{(a_1,\ldots,a_n)\colon\, a_1\in A_1,\ldots, a_n\in A_n\bigr\}[/math].


Если все множества [math]A_i,~ i=\overline{1,n}[/math], равны между собой, то указанное декартово произведение называют n-й декартовой степенью множества [math]A[/math] и обозначают [math]A^n[/math]. В частности, при [math]n=2[/math] получаем декартов квадрат, а при [math]n=3[/math] — декартов куб множества [math]A[/math].


По определению полагают, что первая декартова степень любого множества [math]A[/math] есть само множество [math]A[/math], т.е. [math]A^1=A[/math]. Декартово произведение имеет следующие свойства:


1) [math]A\times (B\cup C)= (A\times B)\cup (A\times C)[/math];
2) [math]A\times (B\cap C)= (A\times B)\cap (A\times C)[/math];
3) [math]A\times \varnothing= \varnothing\times A= \varnothing[/math].

Эти свойства нетрудно доказать методом двух включений. Докажем, например, первое тождество. Если [math](x,y)\in A\times (B\cup C)[/math], то [math]x\in A[/math] и [math]y\in B\cup C[/math]. Из того, что [math]y\in B\cup C[/math], следует [math]y\in B[/math] или [math]y\in C[/math]. Если [math]y\in B[/math], то [math](x,y)\in A\times B[/math], а если [math]y\in C[/math], то [math](x,y)\in A\times C[/math]. Итак, [math](x,y)\in A\times B[/math] или [math](x,y)\in A\times C[/math], то есть [math](x,y)\in (A\times B)\cup (A\times C)[/math]. Следовательно,


[math]A\times (B\cup C)\subseteq (A\times B)\cup (A\times C).[/math]

Доказательство обратного включения аналогично.


Обратим внимание на последнее из записанных выше трех тождеств. Из него вытекает, что пустое множество при построении декартовых произведений множеств играет ту же роль, что и нуль при умножении чисел. Докажем справедливость этого тождества. В самом деле, множество [math]\varnothing\times A[/math] (для любого [math]A[/math]) есть множество всех упорядоченных пар [math](x,y)[/math], таких, что [math]x\in\varnothing[/math] и [math]y\in A[/math]. Но таких элементов [math]x[/math], что [math]x\in\varnothing[/math], не существует, и, следовательно, упорядоченных пар [math](x,y)[/math], принадлежащих декартову произведению [math]\varnothing\times A[/math], не существует, то есть [math]\varnothing\times A=\varnothing[/math]. Аналогично доказывается, что и [math]A\times \varnothing=\varnothing[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved