Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Кортеж и декартово произведение множеств

Кортеж и декартово произведение множеств


Пусть A и B — произвольные множества. Неупорядоченная пара на множествах A и B — это любое множество \{a,b\}, где a\in A,~ b\in B или a\in B,~ b\in A.


Если A=B, тo говорят о неупорядоченной паре на множестве A. Исходя из понятия равенства множеств, можно утверждать, что неупорядоченная пара \{a,b\} равна неупорядоченной паре \{c,d\} если и только если a=c и b=d или a=d и b=c. Заметим, что равенство элементов множества понимается здесь (и далее в аналогичных ситуациях) как равенство индивидных констант.


В том случае, когда в неупорядоченной паре \{a,b\} элементы a и b совпадают, получаем, что \{a,b\}=\{a,a\}. Но такая запись, как мы условились выше, задает то же самое множество, что и \{a\}. Таким образом, при a=b неупорядоченная пара \{a,b\} "вырождается" в одноэлементное множество \{a\}. При a\ne b неупорядоченная пара будет двухэлементным множеством.


Упорядоченная пара на множествах A и B, обозначаемая записью (a,b), определяется не только самими элементами a\in A и b\in B, но и порядком, в котором они записаны. И в этом состоит ее существенное отличие от неупорядоченной пары. Если A=B, то говорят об упорядоченной паре на множестве A.


Существенная роль порядка, в котором перечисляются элементы упорядоченной пары, фиксируется определением равенства упорядоченных пар.


Определение 1.1. Две упорядоченные пары (a,b) и (a',b') на множествах A и B называют равными, если a=a' и b=b'.


Замечание 1.2. Упорядоченную пару (a,b) не следует связывать с множеством \{a,b\}, так как упорядоченная пара характеризуется не только составом, но и порядком элементов в ней. Более того, определение этого объекта вообще не позволяет рассматривать его как множество. Но упорядоченную пару можно определить и как множество, полагая, что упорядоченная пара (a,b) есть неупорядоченная пара \{a,\{a,b\}\}, включающая в себя одноэлементное множество \{a\} и неупорядоченную пару \{a,b\}. При a=b получаем (a,a)=\{\{a\}\}. Такое определение не изменит сути понятия, но тогда следует не определять явно равенство упорядоченных пар, а доказывать теорему о равенстве упорядоченных пар как определенного вида множеств.


Простейший и важнейший пример использования упорядоченных пар дает аналитическая геометрия. Если на плоскости введена некоторая прямоугольная система координат, то каждая точка плоскости однозначно задается упорядоченной парой действительных чисел — координатами этой точки. Ни у кого не возникает сомнений в том, что порядок, в котором перечисляются координаты точки, является существенным: точка, заданная координатами (1, 3), совсем не то же самое, что точка с координатами (3,1).


Обобщением понятия упорядоченной пары является упорядоченный n-набор, или кортеж. В отличие от конечного множества \{a_1,\ldots,a_n\} кортеж (a_1,\ldots,a_n) на множествах A_1,\ldots,A_n характеризуется не только входящими в него элементами a_1\in A_1,\ldots,a_n\in A_n, но и порядком, в котором они перечисляются. Как и для упорядоченных пар, роль порядка в кортеже фиксируется определением равенства кортежей.


Определение 1.2. Два кортежа (a_1,\ldots,a_n) и (b_1,\ldots,b_n) на множествах A_1,\ldots,A_n равны, если a_i=b_i,~ i=\overline{1,n}.


Число n называется длиной кортежа (или размерностью кортежа), а элемент a_i — i-й проекцией (компонентой) кортежа. Для двух кортежей одинаковой размерности их компоненты с одинаковыми номерами называют одноименными компонентами. Определение 1.2 равенства кортежей можно переформулировать так: два кортежа одинаковой размерности равны тогда и только тогда, когда их одноименные компоненты совпадают.


Простейшим примером кортежа является арифметический вектор.


Определение 1.3. Множество всех кортежей длины n на множествах A_1,\ldots,A_n называют декартовым (прямым) произведением множеств A_1,\ldots,A_n и обозначают A_1\times\ldots\times A_n.


Таким образом, A_1\times\ldots\times A_n= \bigl\{(a_1,\ldots,a_n)\colon\, a_1\in A_1,\ldots, a_n\in A_n\bigr\}.


Если все множества A_i,~ i=\overline{1,n}, равны между собой, то указанное декартово произведение называют n-й декартовой степенью множества A и обозначают A^n. В частности, при n=2 получаем декартов квадрат, а при n=3 — декартов куб множества A.


По определению полагают, что первая декартова степень любого множества A есть само множество A, т.е. A^1=A. Декартово произведение имеет следующие свойства:


1) A\times (B\cup C)= (A\times B)\cup (A\times C);
2) A\times (B\cap C)= (A\times B)\cap (A\times C);
3) A\times \varnothing= \varnothing\times A= \varnothing.

Эти свойства нетрудно доказать методом двух включений. Докажем, например, первое тождество. Если (x,y)\in A\times (B\cup C), то x\in A и y\in B\cup C. Из того, что y\in B\cup C, следует y\in B или y\in C. Если y\in B, то (x,y)\in A\times B, а если y\in C, то (x,y)\in A\times C. Итак, (x,y)\in A\times B или (x,y)\in A\times C, то есть (x,y)\in (A\times B)\cup (A\times C). Следовательно,


A\times (B\cup C)\subseteq (A\times B)\cup (A\times C).

Доказательство обратного включения аналогично.


Обратим внимание на последнее из записанных выше трех тождеств. Из него вытекает, что пустое множество при построении декартовых произведений множеств играет ту же роль, что и нуль при умножении чисел. Докажем справедливость этого тождества. В самом деле, множество \varnothing\times A (для любого A) есть множество всех упорядоченных пар (x,y), таких, что x\in\varnothing и y\in A. Но таких элементов x, что x\in\varnothing, не существует, и, следовательно, упорядоченных пар (x,y), принадлежащих декартову произведению \varnothing\times A, не существует, то есть \varnothing\times A=\varnothing. Аналогично доказывается, что и A\times \varnothing=\varnothing.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved