Кортеж и декартово произведение множеств
Пусть и — произвольные множества. Неупорядоченная пара на множествах и — это любое множество , где или .
Если , тo говорят о неупорядоченной паре на множестве . Исходя из понятия равенства множеств, можно утверждать, что неупорядоченная пара равна неупорядоченной паре если и только если и или и . Заметим, что равенство элементов множества понимается здесь (и далее в аналогичных ситуациях) как равенство индивидных констант.
В том случае, когда в неупорядоченной паре элементы и совпадают, получаем, что . Но такая запись, как мы условились выше, задает то же самое множество, что и . Таким образом, при неупорядоченная пара "вырождается" в одноэлементное множество . При неупорядоченная пара будет двухэлементным множеством.
Упорядоченная пара на множествах и , обозначаемая записью , определяется не только самими элементами и , но и порядком, в котором они записаны. И в этом состоит ее существенное отличие от неупорядоченной пары. Если , то говорят об упорядоченной паре на множестве .
Существенная роль порядка, в котором перечисляются элементы упорядоченной пары, фиксируется определением равенства упорядоченных пар.
Определение 1.1. Две упорядоченные пары и на множествах и называют равными, если и .
Замечание 1.2. Упорядоченную пару не следует связывать с множеством , так как упорядоченная пара характеризуется не только составом, но и порядком элементов в ней. Более того, определение этого объекта вообще не позволяет рассматривать его как множество. Но упорядоченную пару можно определить и как множество, полагая, что упорядоченная пара есть неупорядоченная пара , включающая в себя одноэлементное множество и неупорядоченную пару . При получаем . Такое определение не изменит сути понятия, но тогда следует не определять явно равенство упорядоченных пар, а доказывать теорему о равенстве упорядоченных пар как определенного вида множеств.
Простейший и важнейший пример использования упорядоченных пар дает аналитическая геометрия. Если на плоскости введена некоторая прямоугольная система координат, то каждая точка плоскости однозначно задается упорядоченной парой действительных чисел — координатами этой точки. Ни у кого не возникает сомнений в том, что порядок, в котором перечисляются координаты точки, является существенным: точка, заданная координатами (1, 3), совсем не то же самое, что точка с координатами .
Обобщением понятия упорядоченной пары является упорядоченный n-набор, или кортеж. В отличие от конечного множества кортеж на множествах характеризуется не только входящими в него элементами , но и порядком, в котором они перечисляются. Как и для упорядоченных пар, роль порядка в кортеже фиксируется определением равенства кортежей.
Определение 1.2. Два кортежа и на множествах равны, если .
Число называется длиной кортежа (или размерностью кортежа), а элемент — i-й проекцией (компонентой) кортежа. Для двух кортежей одинаковой размерности их компоненты с одинаковыми номерами называют одноименными компонентами. Определение 1.2 равенства кортежей можно переформулировать так: два кортежа одинаковой размерности равны тогда и только тогда, когда их одноименные компоненты совпадают.
Простейшим примером кортежа является арифметический вектор.
Определение 1.3. Множество всех кортежей длины на множествах называют декартовым (прямым) произведением множеств и обозначают .
Таким образом, .
Если все множества , равны между собой, то указанное декартово произведение называют n-й декартовой степенью множества и обозначают . В частности, при получаем декартов квадрат, а при — декартов куб множества .
По определению полагают, что первая декартова степень любого множества есть само множество , т.е. . Декартово произведение имеет следующие свойства:
Эти свойства нетрудно доказать методом двух включений. Докажем, например, первое тождество. Если , то и . Из того, что , следует или . Если , то , а если , то . Итак, или , то есть . Следовательно,
Доказательство обратного включения аналогично.
Обратим внимание на последнее из записанных выше трех тождеств. Из него вытекает, что пустое множество при построении декартовых произведений множеств играет ту же роль, что и нуль при умножении чисел. Докажем справедливость этого тождества. В самом деле, множество (для любого ) есть множество всех упорядоченных пар , таких, что и . Но таких элементов , что , не существует, и, следовательно, упорядоченных пар , принадлежащих декартову произведению , не существует, то есть . Аналогично доказывается, что и .
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|