Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Координаты вектора в пространстве и базис

Координаты вектора в пространстве и базис


Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math], взятые в определённом порядке (рис.1.32). Эти векторы [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math] называются базисными.


Пусть в пространстве задан базис [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math]. Построим прямые [math]l_1,l_2,l_3[/math], содержащие базисные векторы [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math] соответственно. Без ограничения общности можно считать, что эти прямые пересекаются в одной точке (в противном случае можно было взять любые пересекающиеся в одной точке прямые [math]l'_1,l'_2,l'_3[/math], параллельные прямым [math]l_1,l_2,l_3[/math] соответственно, поскольку проекции вектора на параллельные прямые равны. Тогда любой вектор [math]\vec{a}[/math] можно однозначно представить в виде суммы своих проекций: [math]\vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3[/math], где [math]\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3[/math] — векторы, принадлежащие прямым [math]l_1,l_2,l_3[/math] соответственно (см. п.2 теоремы 1.1). Раскладывая проекции [math]\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3[/math] по базисам на соответствующих прямых (см. разд.1.3.1), находим: [math]\vec{a}_1=x_1\vec{e}_1,\,\vec{a}_2=x_2\vec{e}_2,\,\vec{a}_3=x_3\vec{e}_3[/math]. Подставляя эти разложения в равенство [math]\vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3[/math], получаем


[math]\vec{a}=x_1\cdot\vec{e}_1+x_2\cdot\vec{e}_2+x_3\cdot\vec{e}_3.[/math]
(1.4)

Таким образом, справедлива следующая теорема.


Теорема 1.5 (о разложении вектора по базису в пространстве). Любой вектор [math]\vec{a}[/math] может быть разложен по базису [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math] в пространстве, т.е. представлен в виде (1.4), где числа [math]x_1,x_2,x_3[/math] определяются однозначно.


Коэффициенты [math]x_1,x_2,x_3[/math] в разложении (1.4) называются координатами вектора [math]\vec{a}[/math] относительно базиса [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math] (число [math]x_1[/math], называют абсциссой, [math]x_2[/math] — ординатой, а [math]x_3[/math] — аппликатой вектора [math]\vec{a}[/math]). Например, числа [math]3,2,-1[/math] являются координатами вектора [math]\vec{a}=3\vec{e}_1+2\vec{e}_2-\vec{e}_3[/math] ([math]x_1=3[/math] — абсцисса, [math]x_2=2[/math] — ордината, [math]x_3=-1[/math] — аппликата вектора [math]\vec{a}= 3\vec{e}_1+2\vec{e}_2=\vec{e}_3[/math]).


Базисные векторы [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math], отложенные от одной (произвольной) точки, называются репером.




Замечания 1.6


1. Базис на прямой, на плоскости, в пространстве определяется неоднозначно. Например, если [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math] — базис в пространстве, то система векторов [math]\lambda\vec{e}_1,\lambda\vec{e}_2,\lambda\vec{e}_3[/math] при любом [math]\lambda\ne0[/math] также является базисом.


2. Следующие свойства выражают геометрический смысл линейной зависимости и линейной независимости векторов:


а) два (и более) коллинеарных вектора линейно зависимы, и наоборот, два линейно зависимых вектора коллинеарны;
два линейно независимых вектора не коллинеарны;
б) три (и более) компланарных вектора линейно зависимы, и наоборот, три линейно зависимых вектора компланарны;
три линейно независимых вектора не компланарны;
в) четыре (и более) вектора линейно зависимы.

Докажем, например, последнее свойство. Пусть [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}[/math] — произвольные векторы. Если первые три вектора [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] линейно зависимы, то и вся система [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}[/math] — линейно зависима. Если же векторы [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] линейно независимы, то согласно пункту 2,"б" они не компланарны и, следовательно, образуют базис в пространстве. Тогда вектор [math]d[/math] можно разложить по этому базису, т.е. представить в виде линейной комбинации векторов [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math]. В этом случае система векторов [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}[/math] также линейно зависима (см. свойство 4 в разд. 1.1.3).


3. Понятие базиса непосредственно связано с понятием линейной независимости. Базис представляет собой упорядоченную совокупность линейно независимых векторов:


а) на прямой — это один линейно независимый вектор (см. пункт 1 замечаний 1.2);

б) на плоскости — это два линейно независимых вектора на этой плоскости, взятые в определённом порядке (см. пункт 2,"а");

в) в пространстве — это три линейно независимых вектора, взятые в определённом порядке (см. пункт 2,"б").


4. Теоремы 1.3-1.5 позволяют говорить, что базис — это полная система векторов (на прямой, на плоскости, в пространстве) в том смысле, что любой вектор (на прямой, на плоскости, в пространстве) линейно выражается через базисные векторы.


5. Теоремы 1.3-1.5 позволяют говорить, что базис — это максимальная линейно независимая система векторов (на прямой, на плоскости, в пространстве), так как базис — это линейно независимая система векторов, и ее нельзя дополнить каким-либо вектором без потери линейной независимости.


6. Базис — это полная линейно независимая система векторов (на прямой, на плоскости, в пространстве).




Ориентации базисов в пространстве


Базис в пространстве называется правым (или, что то же самое, упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой тройкой), если, наблюдая из конца третьего вектора, кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден происходящим против часовой стрелки (рис.1.33,а). Если описанный поворот виден происходящим по часовой стрелке, то базис называется левым (упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется левой тройкой) (рис. 1.33,б).


Отметим следующие свойства: если тройка некомпланарных векторов [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] — правая, то тройки, получающиеся "циклической" перестановкой трех векторов [math]\bigl(\vec{b},\vec{a},\vec{c};~\vec{c},\vec{a},\vec{b}\bigl)[/math] — также правые, а тройки, получающиеся перестановкой двух векторов [math]\bigl(\vec{b},\vec{a},\vec{c};~\vec{a},\vec{c},\vec{b};~\vec{c},\vec{b},\vec{a}\bigl)[/math] или заменой одного вектора противоположным (например, [math]\vec{a},(-\vec{b}),\vec{c}[/math] — левые).


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved