Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Координаты вектора на плоскости и базис

Координаты вектора на плоскости и базис


Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2[/math] на этой плоскости, взятые в определённом порядке (рис. 1.29). Эти векторы [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2[/math] называются базисными.


Пусть на плоскости задан базис [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2[/math]. Построим прямые [math]l_1[/math] и [math]l_2[/math], содержащие базисные векторы [math]\vec{e}_1[/math] и [math]\vec{e}_2[/math] соответственно. Эти прямые пересекаются, так как базисные векторы неколлинеарные. Согласно пункт 1 теоремы 1.1, вектор [math]\vec{a}[/math] можно представить в виде [math]\vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2[/math], где [math]\vec{a}_1[/math] — проекция вектора [math]\vec{a}[/math] на [math]l_1[/math] вдоль [math]l_2[/math]; [math]\vec{a}_2[/math] — проекция вектора [math]\vec{a}[/math] на [math]l_2[/math] вдоль [math]l_1[/math], причем проекции определяются однозначно. Вектор [math]\vec{a}_1[/math], принадлежащий прямой [math]l_1[/math], можно разложить по базису [math]\vec{e}_1[/math] на этой прямой (см. разд. 1.7), т.е. представить в виде [math]\vec{a}_1=x_1\cdot\vec{e}_1[/math], причем число [math]x_1[/math] определяется однозначно. Вектор [math]\vec{a}_2[/math], принадлежащий прямой [math]l_2[/math], можно разложить по базису [math]\vec{e}_2[/math] на этой прямой (см. разд. 1.7), т.е. представить в виде [math]\vec{a}_2=x_2\cdot\vec{e}_2[/math], причем число [math]x_2[/math] определяется однозначно. Подставляя эти разложения в равенство [math]\vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2[/math], получаем разложение вектора по базисным векторам на плоскости


[math]\vec{a}=x_1\cdot\vec{e}_1+x_2\cdot\vec{e}_2\,.[/math]
(1.3)

Базис на плоскости

Таким образом, справедлива следующая теорема.


Теорема 1.4 (о разложении вектора по базису на плоскости). Любой вектор [math]\vec{a}[/math], принадлежащий плоскости, может быть разложен по базису [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2[/math] на этой плоскости, т.е. представлен в виде (1.3), где числа [math]x_1[/math] и [math]x_2[/math] определяются однозначно.


Коэффициенты [math]x_1[/math] и [math]x_2[/math] в разложении (1.3) называются координатами вектора [math]\vec{a}[/math] относительно базиса [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2[/math] (число [math]x_1[/math] называют абсциссой, а [math]x_2[/math] — ординатой вектора [math]\vec{a}[/math]). Например, числа 2 и -3 являются координатами вектора [math]\vec{a}=2\vec{e}_1-3\vec{e}_2[/math] ( [math]x_1=2[/math] — абсцисса, [math]x_2=-3[/math] — ордината вектора [math]\vec{a}=2\vec{e}_1-3\vec{e}_2[/math]).


Базисные векторы [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2[/math], отложенные от одной (произвольной) точки плоскости, называются репером на плоскости.




Ориентации базисов на плоскости


Базис на плоскости называется правым (или, что то же самое, упорядоченная пара неколлинеарных векторов называется правой парой), если кратчайший поворот от первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки (это направление поворота считается положительным). Базисные векторы [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2[/math] (рис.1.30,а) правого базиса расположены соответственно как большой и указательный пальцы правой руки, если, смотреть на ее ладонь.


Левый и правый базисы на плоскости

Левым базисом на плоскости (левой парой) называется такой базис, у которого кратчайший поворот от вектора [math]\vec{e}_1[/math] к вектору [math]\vec{e}_2[/math] происходит по часовой стрелке (такое направление вращения считается отрицательным). Базисные векторы [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2[/math] (рис. 1.30,б) левого базиса расположены соответственно как большой и указательный пальцы левой руки, если смотреть на ее ладонь.


Отметим следующее свойство: если неколлинеарные векторы [math]\vec{a},\vec{b}[/math] образуют правую пару, то пары, получающиеся перестановкой векторов (пара [math]\vec{a},\vec{b}[/math]) или заменой одного вектора противоположным (например, а [math]\vec{a},\bigl(-\vec{b}\bigl)[/math]), образуют левую пару.




Пример 1.9. В параллелограмме [math]OACB[/math] точка [math]N[/math] делит сторону [math]AC[/math] в отношении [math]AN:NC=2:1[/math]; точка [math]D[/math] — середина стороны [math]BC[/math]; [math]M[/math] — точка пересечения медиан треугольника [math]OAB[/math] (рис. 1.31). Разложить векторы [math]\overrightarrow{ND}[/math] и [math]\overrightarrow{MN}[/math] по векторам [math]\vec{a}= \overrightarrow{OA}[/math] и [math]\vec{b}= \overrightarrow{OB}[/math].


Параллелограмм и разложение векторов

Решение. Чтобы разложить вектор [math]\overrightarrow{ND}[/math], применяем правило ломаной: вектор [math]\overrightarrow{OD}[/math] замыкает ломаную [math]OBD[/math] и ломаную [math]OAND[/math].


Поэтому [math]\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BD}[/math] и [math]\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{ND}[/math], то есть


[math]\overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{BD}= \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{AN}+ \overrightarrow{ND}\,.[/math]

Выразим все векторы этого равенства, за исключением искомого вектора [math]\overrightarrow{ND}[/math], через векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math].


Учитывая, что [math]\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\cdot\vec{a}[/math] и [math]\overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\cdot\vec{b}[/math], получаем [math]\vec{b}+\frac{1}{2}\cdot\vec{a}=\vec{a}+\frac{2}{3}\cdot\vec{b}+\overrightarrow{ND}[/math].


Отсюда [math]\overrightarrow{ND}=\vec{b}+\frac{1}{2}\cdot\vec{a}-\vec{a}-\frac{2}{3}\cdot\vec{b}=-\frac{1}{2}\cdot\vec{a}+\frac{1}{3}\cdot\vec{b}[/math].


Так как точка [math]Q[/math] пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам, а точка [math]M[/math] делит медиану [math]OQ[/math] треугольника [math]OAB[/math] в отношении [math]OM:MQ=2:1[/math], заключаем, что [math]OM:OC=1:3[/math], т.е.


[math]\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\cdot\bigl(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\bigl)=\frac{1}{3}\cdot(\vec{a}+\vec{b}).[/math]

По правилу сложения векторов имеем [math]\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AN}[/math]. Следовательно, [math]\frac{1}{3}\cdot\bigl(\vec{a}+\vec{b}\bigl)+\overrightarrow{MN}=\vec{a}+\frac{2}{3}\cdot\vec{b}[/math]. Отсюда находим искомое разложение


[math]\overrightarrow{MN}=\vec{a}+\frac{2}{3}\cdot\vec{b}-\frac{1}{3}\cdot\bigl(\vec{a}+\vec{b}\bigl)=\frac{2}{3}\cdot\vec{a}+\frac{1}{3}\cdot\vec{b}.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved