Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Конусы

Конусы


Конусом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат Oxyz каноническим уравнением


[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0,[/math]
(4.50)

где [math]a,b,c[/math] — положительные параметры, характеризующие конус, причем [math]a\geqslant b[/math].

Начало координат называется центром конуса (рис.4.44,а).


Конус является конической фигурой, поскольку вместе с любой своей точкой [math]M(x,y,z)[/math] уравнению (4.50) удовлетворяют также все точки [math](tx,\,ty,\,tz)[/math] при [math]t\geqslant0[/math] луча [math]OM[/math]. Точка [math]O[/math] является вершиной конуса (4.50), а любой луч [math]OM[/math], принадлежащий конусу, является его образующей.




Плоские сечения конуса


Сечения конуса координатными плоскостями [math]Oxz,\,Oyz[/math] представляют собой пары пересекающихся прямых, удовлетворяющих в этих плоскостях уравнениям [math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=0[/math] (при [math]y=0[/math]) или [math]\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0[/math] (при [math]x=0[/math]) соответственно.


Рассмотрим теперь сечение конуса плоскостями, параллельными плоскости [math]Oxy[/math]. Подставляя [math]z=h[/math], где [math]h[/math] — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.50), получаем


[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}\,.[/math]

При [math]h=0[/math] этому уравнению удовлетворяет одна вещественная точка — начало координат. При любом отличном от нуля значении параметра [math]h[/math] уравнение определяет эллипс [math]\frac{x^2}{(a')^2}+\frac{y^2}{(b')^2}=1[/math] с полуосями [math]a'=\frac{a}{c}|h|,[/math] [math]b'=\frac{b}{c}|h|[/math]. Следовательно, сечение конуса плоскостью [math]z=h[/math] представляет с собой эллипс, центр которого лежит на оси аппликат, а вершины принадлежат координатным плоскостям [math]Oxz[/math] и [math]Oyz[/math].


Таким образом, конус можно представить как поверхность, образованную эллипсами, центры которых лежат на оси аппликат, а вершины принадлежат координатным плоскостям [math]Oxz[/math] и [math]Oyz[/math] (см. рис.4.44,а).


Конус и плоские сечения, Асимптотический конус



Круговой конус


При [math]a=b[/math] все сечения конуса плоскостями [math]z=h\ne0[/math] становятся окружностями. Такой конус является фигурой вращения и называется прямым круговым конусом. Он может быть получен в результате вращения, например, прямой [math]z=\frac{c}{b}y[/math] (образующей) вокруг оси аппликат (рис.4.44,б).




Замечания 4.10.


1. Конус является линейчатой поверхностью, поскольку может быть получен при помощи перемещения прямой.


2. Конус, образованный асимптотами гипербол, получающихся при пересечении гиперболоида плоскостями, проходящими через ось [math]Oz[/math], называется асимптотическим конусом этого гиперболоида. На рис.4.44,в изображен асимптотический конус для однополостного и двуполостного гиперболоидов.


3. Конус (4.50) может быть получен из прямого кругового конуса [math]x^2+y^2-z^2=0[/math] (у которого [math]a=b=c=1[/math]) в результате двух сжатий (растяжений) к координатным плоскостям [math]Oxz[/math] и [math]Oyz[/math].


4. Начало канонической системы координат является центром симметрии конуса, координатные оси — осями симметрии конуса, координатные плоскости — плоскостями симметрии конуса.


В самом деле, если точка [math]M(x,y,z)[/math] принадлежит конусу, то точки с координатами [math](\pm x,\pm y,\pm z)[/math] при любом выборе знаков также принадлежат конусу, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.50).


5. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса [math]x^2+y^2-z^2=0[/math] плоскостями, не проходящими через его вершину, например, плоскостями [math]z=ky+1[/math], где [math]k[/math] — произвольная постоянная (параметр) — угловой коэффициент прямой [math]z=ky+1[/math] в плоскости [math]Oyz[/math]. Заметим, что образующие рассматриваемого конуса в плоскости [math]Oyz[/math] описываются уравнением [math]z=ky[/math] с угловым коэффициентом [math]k=\pm1[/math]. Подставляя [math]z=ky+1[/math] в уравнение конуса, получаем


[math]x^2+y^2-(ky+1)^2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2+(1-k^2)\cdot y^2-2\cdot k\cdot y-1=0.[/math]

Это уравнение проекции на координатную плоскость [math]Oxy[/math] линии пересечения плоскости с конусом. Вычисляем инварианты


[math]\delta= \,\vline\,\begin{matrix}1&0\\0&1-k^2\end{matrix}\,\vline\,\,=1-k^2; \quad \Delta=\,\vline\,\begin{matrix}1&0&0\\0&1-k^2&-k\\0&-k&-1\end{matrix}\,\vline\,\,=-1; \quad \tau=2-k^2.[/math]

При [math]|k|<1[/math] имеем [math]\delta>0,~\Delta\ne0,~\tau\cdot\Delta=k^2-2<0[/math]. По таблице 3.2 определяем, что рассматриваемое сечение, которое пересекает все образующие прямого кругового конуса, является эллипсом. При [math]|k|>1[/math] имеем [math]\delta<0,~\Delta\ne0[/math]. По таблице 3.2 определяем, что рассматриваемое сечение, которое параллельно двум образующим кругового конуса, является гиперболой. При [math]k=\pm1[/math] имеем [math]\delta=0,~\Delta\ne0[/math]. По таблице 3.2 определяем, что рассматриваемое сечение, которое параллельно одной образующей кругового конуса, является параболой. Поскольку при аффинных преобразованиях тип линий не изменяется, такой же вывод можно сделать для произвольного конуса (4.50):


– сечение конуса плоскостью, пересекающей все его образующие, является эллипсом (рис.4.45,а);

– сечение конуса плоскостью, параллельной двум его образующим, является гиперболой (рис.4.45,б);

– сечение конуса плоскостью, параллельной одной его образующей, является параболой (рис.4.45,в).


6. Конические сечения могут быть взяты в качестве эквивалентных определений эллипса, гиперболы, параболы.


Конические сечения

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved