Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Конгруэнции и фактор-системы

Конгруэнции и фактор-системы


В этой лекции нам будет удобно использовать "бесскобочную" запись для обозначения результата применения n-арной операции [math]\omega[/math] к элементам [math]a_1,\ldots,a_n[/math] и писать [math]a_1\ldots a_n\omega[/math] вместо [math]\omega(a_1,\ldots,a_n)[/math].


Отношение эквивалентности [math]\rho[/math] на носителе алгебраической системы [math]\mathcal{A}[/math] называют конгруэнцией на алгебраической системе [math]\mathcal{A}[/math], если выполняются условия:


1) для любой n-арной [math](n\geqslant1)[/math] операции [math]\omega[/math] и любых элементов [math]a_1,\ldots,a_n,\,b_1,\ldots,b_n\in A[/math] из того, что [math]a_i\,\rho\,b_i[/math] для каждого [math]i=\overline{1,n}[/math], следует [math](a_1\ldots a_n\omega)\rho(b_1\ldots b_n\omega)[/math];


2) для любого n-арного [math](n\geqslant1)[/math] отношения [math]\pi[/math] и для любых элементов [math]a_1,\ldots,a_n,\,b_1,\ldots,b_n\in A[/math] из того, что [math]a_i\,\rho\,b_i[/math] для каждого [math]i=\overline{1,n}[/math] и [math](a_1,\ldots,a_n)\in\pi[/math], следует [math](b_1,\ldots,b_n)\in\pi[/math].


Первое условие означает, что результаты применения любой операции из [math]\Omega[/math] к попарно эквивалентным аргументам должны быть эквивалентными, а второе — что любое отношение из [math]\Pi[/math] содержит или не содержит кортеж [math](b_1,\ldots,b_n)[/math] независимо от того, какие именно элементы [math]b_i[/math] выбираются в соответствующем классе эквивалентности по отношению [math]\rho[/math].


Пример 4.4. а. Рассмотрим [math](\mathbb{R},+,\cdot,0,1)[/math] — поле действительных чисел. Докажем, что отношение равенства по модулю 1 (см. пример 1.14) не является конгруэнцией на этом поле, но является конгруэнцией на [math](\mathbb{R},+,\bold{0})[/math] — его аддитивной группе, т.е. на аддитивной группе действительных чисел.


Докажем сначала второе утверждение.


Пусть [math]a=b\pmod{1}[/math] и [math]c=d\pmod{1}[/math]. Тогда числа [math](a-b)[/math] и [math](c-d)[/math] являются целыми. Следовательно, и их сумма


[math](a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)[/math]

есть тоже целое число, т.е. [math]a+c=b+d\pmod{1}[/math]. Это и означает, что отношение равенства по модулю 1 является конгруэнцией на аддитивной группе действительных чисел.


Пусть, как и выше, [math]a=b\pmod{1}[/math] и [math]c=d\pmod{1}[/math]. Если бы (для любых [math]a,b,c,d[/math]) отсюда следовало, что [math]a\cdot c=b\cdot d\pmod{1}[/math], то тогда дробная часть [math]a\cdot c[/math] всегда совпадала бы с дробной частью [math]b\cdot d[/math]. Но каждое число равно по модулю 1 своей дробной части. Следовательно, тогда дробная часть произведения любых двух чисел должна была бы равняться произведению дробных частей этих чисел. Простой пример, приведенный ниже, показывает, что это не так.


При [math]b=a=1,\!1[/math] имеем [math]a=0,\!1\pmod{1},~ b=0,\!1\pmod{1}[/math] и [math]0,\!1^2=0,\!01[/math]. Так как [math]a\cdot b=1,\!1^2=1,\!21[/math], то [math]a\cdot b=0,\!21\pmod{1}[/math]. Это и означает, что равенство по модулю 1 не есть конгруэнция на поле действительных чисел [math](\mathbb{R},+,\cdot,0,1)[/math].


б. Пусть [math](\mathbb{Z},+,\cdot,0,1)[/math] — кольцо целых чисел. Отношение равенства по модулю [math]k[/math], введенное в ранее, будет конгруэнцией на данном кольце.


Действительно, пусть [math]m\equiv n\pmod{k}[/math] и [math]r\equiv s\pmod{k}[/math]. Тогда существуют такие целые числа [math]l_1[/math] и [math]l_2[/math], что


[math]m-n=l_1\cdot k\,,\qquad r-s=l_2\cdot k\,.[/math]
(4.1)

Складывая уравнения системы (4.1), получаем


[math](m+r)-(n+s)=(l_1+l_2)\cdot k[/math], то есть [math]m+r\equiv n+s\pmod{k}[/math].

Умножая первое уравнение системы (4.1) на [math]r[/math], второе — на [math]n[/math] и складывая результаты, получаем


[math]m\cdop r-n\cdot s=(l_1\cdot r+l_2\cdot s)\cdot k[/math], то есть [math]m\cdot r\equiv n\cdot s\pmod{k}[/math].

что и доказывает сформулированное выше утверждение.

в. Рассмотрим алгебраическую систему [math](\mathbb{Z},+,\cdot,0,1,\leqslant)[/math], образованную из кольца целых чисел добавлением отношения [math]\leqslant[/math] (естественного числового порядка). Тогда равенство по модулю [math]k[/math] уже не будет конгруэнцией на данной алгебраической системе. Действительно, если, скажем, [math]a[/math] и [math]b[/math] при делении на [math]k[/math] дают один и тот же остаток [math]l[/math], а [math]c[/math] и [math]d[/math] — один и тот же остаток [math]p[/math], то из [math]a\leqslant c[/math] не следует, вообще говоря, что [math]b\leqslant d[/math]. Например,


[math]5=17\pmod{4},\quad 6=10\pmod{4},\quad 5\leqslant6[/math], но [math]17>10[/math].

Таким образом, отношение равенства целых чисел по модулю [math]k[/math] не "сохраняет" отношения [math]\leqslant[/math], т.е. справедливость неравенства [math]a\leqslant b[/math] зависит от того, какие элементы [math]a[/math] и [math]b[/math] в соответствующих классах эквивалентности выбраны.


г. Пусть в линейном пространстве [math]L[/math] фиксировано линейное подпространство [math]V[/math]. Рассмотрим [math]L[/math] как модуль над полем действительных чисел [math](\mathbb{R},+,\cdot,0,1)[/math]. На множестве векторов [math]L[/math] зададим отношение [math]\sim_{V}[/math] так: [math]a\sim{V}b \Leftrightarrow a-b\in V[/math]. Нетрудно показать, что это отношение экивалентности. Далее, если [math]a\sim_{V}b[/math] и [math]c\sim_{V}d[/math], то


[math](a+c)-(b+d)= (a-b)+(c-d)\in V,[/math]

поскольку каждое слагаемое в последней сумме есть вектор из подпространства [math]V[/math]. Для произвольного действительного [math]\alpha[/math] из [math]a\sim_{V}b[/math] следует, что [math]\alpha a\sim_{V}\alpha b[/math], так как [math]\alpha a-\alpha b=\alpha(a-b)\in V[/math]. Таким образом, введенное отношение есть конгруэнция на линейном пространстве [math]L[/math].


Напомним, что множество векторов линейного пространства по сложению есть абелева группа. Следовательно, рассмотренное отношение эквивалентности [math]\sim_{V}[/math] есть конгруэнция на этой группе. Покажем, что указанную конгруэнцию можно распространить на произвольную абелеву группу. Пусть [math]\mathcal{G}=(G,+,\bold{0})[/math] — некоторая абелева группа, а [math]\mathcal{H}=(H,+,\bold{0})[/math] — произвольная подгруппа группы [math]\mathcal{G}[/math]. Зададим отношение [math]\sim_{H}[/math] так: [math]a\sim_{H}b \Leftrightarrow a-b\in H[/math]. Рассуждая так же, как и в случае множества векторов линейного пространства, можно показать, что отношение [math]\sim_{H}[/math] является конгруэнцией.


д. Пусть [math]\mathcal{A}=(A,\leqslant)[/math] и [math]\mathcal{B}=(B,\preceq)[/math] — упорядоченные множества. Зададим отображение [math]f\colon A\to B[/math] так, чтобы оно было монотонно, т.е. чтобы для любых [math]a,b\in A[/math] из [math]a\leqslant b[/math] следовало [math]f(a)\preceq f(b)[/math]. Введем отношение эквивалентности [math]\sim{F}[/math] на [math]A[/math], положив [math]a\sim_{f}b\Leftrightarrow f(a)=f(b)[/math]. Выясним, будет ли это отношение конгруэнцией на модели [math]\mathcal{A}=(A,\leqslant)[/math].


Пусть [math]a_1\sim_{f}b_1,~ a_2\sim_{f}b_2[/math] и [math]a_1\leqslant b_2[/math]. Тогда в силу монотонности отображения [math]f[/math] имеем [math]f(a_1)\preceq f(a_2)[/math], а так как [math]f(a_1)=f(b_1)[/math] и [math]f(a_2)=f(b_2)[/math], то и [math]f(b_1)\preceq f(b_2)[/math]. Отсюда, однако, нельзя в общем случае сделать вывод, что [math]b_1\leqslant b_2[/math]. На рис. 4.1 [math]f(2)\preceq f(4)[/math], но элементы 2 и 4 не сравнимы. Данное отображение (как нетрудно понять, монотонное) не будет конгруэнцией хотя бы потому, что [math]1\sim_{f}2[/math], но [math]1\leqslant2[/math], а 2 и 4 не сравнимы.


Отображение упорядоченных множеств

Если же отображение [math]f[/math] таково, что [math]a\leqslant b\Leftrightarrow f(a)\preceq f(b)[/math], то [math]\sim_{f}[/math] будет конгруэнцией. Например, если на диаграмме Хассе для множества [math]\mathcalA}[/math] на рис. 4.1 добавить "ребро", соединяющее элемент 2 с элементом 4 (см. штриховую линию), т.е. считать, что [math]2<4[/math], то можно будет получить конгруэнцию [math]\sim_{f}[/math] на множестве [math]A[/math].




Согласно определению конгруэнции, на алгебраической системе [math]\mathcal{A}[/math] классы эквивалентности [math][a_1]_{\rho},\ldots, [a_n]_{\rho}[/math] вместе с любой n-арной [math](n\geqslant1)[/math] операцией и однозначно определяют класс эквивалентности элемента [math][a_1\ldots a_n\omega]_{\rho}[/math]. Другими словами, для любых элементов [math]x_1\in[a_1]_{\rho},\ldots,x_{n}\in[a_n]_{\rho}[/math] класс эквивалентности элемента [math]x_1\ldots x_n\omega[/math] зависит только от классов эквивалентности элементов [math]x_i,~ i=\overline{1,n}[/math], но не зависит от выбора элемента в классе.


Таким образом, мы можем "перенести" операцию и на классы эквивалентности, положив


[math][a_1]_{\rho}\ldots [a_n]_{\rho}\omega= [a_1\ldots a_n\omega].[/math]

Аналогично для любого n-арного [math](n\geqslant1)[/math] отношения, по определению, полагаем (для любого [math]n\geqslant1[/math], любого [math]\pi\in\Pi^{(n)}[/math] и любых [math]a_1,\ldots,a_n[/math])


[math]\bigl([a_1]_{\rho},\ldots,[a_n]_{\rho}\bigr)\in\pi\quad \Leftrightarrow\quad (a_1,\ldots,a_n)\in\pi\,.[/math]

поскольку, согласно определению конгруэнтности, для любых [math]x_1\in[a_1]_{\rho}, \ldots, x_{n}\in [a_n]_{\rho}[/math] условие [math](x_1,\ldots,x_n)\in\pi[/math] зависит лишь от классов эквивалентности элементов [math]x_i,~ i=\overline{1,n}[/math].


Заметим, что в этом случае мы использовали одинаковые символы ([math]\omega[/math] и [math]\pi[/math]) для соответствующих операций и отношения на разных множествах, опираясь на соглашение о сигнатурах однотипных алгебраических систем.


Итак, операции и отношения исходной сигнатуры можно перенести на множество классов эквивалентности по конгруэнции [math]\rho[/math] согласно приведенным выше формулам. Получаемая при этом алгебраическая система (однотипная с исходной) имеет в качестве носителя фактор-множество [math]A/\rho[/math]. Ее называют фактор-системой алгебраической системы [math]A[/math] по конгруэнции [math]\rho[/math] и обозначают [math]\mathcal{A}/\rho[/math]. В том случае, когда исходная алгебраическая система [math]\mathcal{A}[/math] является алгеброй (моделью), ее фактор-систему [math]\mathcal{A}/\rho[/math] называют фактор-алгеброй (фактор-моделью соответственно).




Пример 4.5. Вернемся к примеру 4.4.а. Конгруэнция, определенная в этом примере, — не что иное, как отношение [math]\sim_{\mathbb{Z}}[/math] (напомним, что для действительных чисел [math]x,y[/math] имеем [math]x\sim_{\mathbb{Z}}y \Leftrightarrow x-y\in \mathbb{Z}[/math]). Следовательно, фактор-алгебра [math](\mathbb{R},+,0)[/math] аддитивной группы целых чисел по конгруэнции равенства по модулю 1 — это фактор-группа [math]\mathbb{R}/\mathbb{Z}[/math] аддитивной группы действительных чисел по нормальному делителю [math]\mathbb{Z}[/math], т.е. по подгруппе целых чисел.


Пример 4.5 есть проявление общей связи между понятиями конгруэнции и нормального делителя группы. Рассмотрим этот вопрос подробно.


Пусть [math]\mathcal{G}=(G,\cdot,\bold{1})[/math] — группа, а [math]\mathcal{H}= (H,\cdot, \bold{1})[/math] — ее подгруппа, являющаяся нормальным делителем. Отношение [math]\sim_{H}[/math], определенное на носителе [math]G[/math] исходной группы так, что


[math]a\sim_{H}b\quad \Leftrightarrow\quad aH=bH\,,[/math]

есть, согласно теореме 2.11, эквивалентность. Докажем, что [math]\sim_{H}[/math] является конгруэнцией. Для этого достаточно доказать, что для любых [math]a,b,c\in G[/math] из [math]a\sim_{H}c[/math] и [math]b\sim_{H}d[/math] следует [math]a\cdot b\sim_{H}c\cdot d[/math].


Имеем [math]a\sim_{H}c[/math], и это означает, что [math]aH=cH[/math]. Точно так же [math]bH=dH[/math] в силу [math]b\sim_{H}d[/math]. Так как [math]\mathcal{H}[/math] — нормальный делитель, то [math]abH=aHbH[/math]. Далее, [math]aHbH=cHdH[/math], и, снова используя свойство нормального делителя, получаем [math]cHdH=cdH[/math], откуда [math]abH=cdH[/math].


Фактор-алгебра группы [math]\mathcal{G}[/math] по конгруэнции [math]\sim_{H}[/math] совпадает (подчеркнем — не просто изоморфна, а именно совпадает) с фактор-группой группы [math]\mathcal{G}[/math] по нормальному делителю [math]H[/math].


В следующей лекции показано, что и, наоборот, фактор-алгебра любой группы по произвольной конгруэнции есть ее факторгруппа по некоторому нормальному делителю. Мы продолжим обсуждение идеи фактор-системы и поймем ее глубже, когда свяжем понятие фактор-системы с общим понятием гомоморфизма, знакомого нам пока только по частным случаям гомоморфизмов групп и колец.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved