Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Конгруэнции и фактор-системы

Конгруэнции и фактор-системы


В этой лекции нам будет удобно использовать "бесскобочную" запись для обозначения результата применения n-арной операции \omega к элементам a_1,\ldots,a_n и писать a_1\ldots a_n\omega вместо \omega(a_1,\ldots,a_n).


Отношение эквивалентности \rho на носителе алгебраической системы \mathcal{A} называют конгруэнцией на алгебраической системе \mathcal{A}, если выполняются условия:


1) для любой n-арной (n\geqslant1) операции \omega и любых элементов a_1,\ldots,a_n,\,b_1,\ldots,b_n\in A из того, что a_i\,\rho\,b_i для каждого i=\overline{1,n}, следует (a_1\ldots a_n\omega)\rho(b_1\ldots b_n\omega);


2) для любого n-арного (n\geqslant1) отношения \pi и для любых элементов a_1,\ldots,a_n,\,b_1,\ldots,b_n\in A из того, что a_i\,\rho\,b_i для каждого i=\overline{1,n} и (a_1,\ldots,a_n)\in\pi, следует (b_1,\ldots,b_n)\in\pi.


Первое условие означает, что результаты применения любой операции из \Omega к попарно эквивалентным аргументам должны быть эквивалентными, а второе — что любое отношение из \Pi содержит или не содержит кортеж (b_1,\ldots,b_n) независимо от того, какие именно элементы b_i выбираются в соответствующем классе эквивалентности по отношению \rho.


Пример 4.4. а. Рассмотрим (\mathbb{R},+,\cdot,0,1) — поле действительных чисел. Докажем, что отношение равенства по модулю 1 (см. пример 1.14) не является конгруэнцией на этом поле, но является конгруэнцией на (\mathbb{R},+,\bold{0}) — его аддитивной группе, т.е. на аддитивной группе действительных чисел.


Докажем сначала второе утверждение.


Пусть a=b\pmod{1} и c=d\pmod{1}. Тогда числа (a-b) и (c-d) являются целыми. Следовательно, и их сумма


(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)

есть тоже целое число, т.е. a+c=b+d\pmod{1}. Это и означает, что отношение равенства по модулю 1 является конгруэнцией на аддитивной группе действительных чисел.


Пусть, как и выше, a=b\pmod{1} и c=d\pmod{1}. Если бы (для любых a,b,c,d) отсюда следовало, что a\cdot c=b\cdot d\pmod{1}, то тогда дробная часть a\cdot c всегда совпадала бы с дробной частью b\cdot d. Но каждое число равно по модулю 1 своей дробной части. Следовательно, тогда дробная часть произведения любых двух чисел должна была бы равняться произведению дробных частей этих чисел. Простой пример, приведенный ниже, показывает, что это не так.


При b=a=1,\!1 имеем a=0,\!1\pmod{1},~ b=0,\!1\pmod{1} и 0,\!1^2=0,\!01. Так как a\cdot b=1,\!1^2=1,\!21, то a\cdot b=0,\!21\pmod{1}. Это и означает, что равенство по модулю 1 не есть конгруэнция на поле действительных чисел (\mathbb{R},+,\cdot,0,1).


б. Пусть (\mathbb{Z},+,\cdot,0,1) — кольцо целых чисел. Отношение равенства по модулю k, введенное в ранее, будет конгруэнцией на данном кольце.


Действительно, пусть m\equiv n\pmod{k} и r\equiv s\pmod{k}. Тогда существуют такие целые числа l_1 и l_2, что


m-n=l_1\cdot k\,,\qquad r-s=l_2\cdot k\,.
(4.1)

Складывая уравнения системы (4.1), получаем


(m+r)-(n+s)=(l_1+l_2)\cdot k, то есть m+r\equiv n+s\pmod{k}.

Умножая первое уравнение системы (4.1) на r, второе — на n и складывая результаты, получаем


m\cdot r-n\cdot s=(l_1\cdot r+l_2\cdot s)\cdot k, то есть m\cdot r\equiv n\cdot s\pmod{k}.

что и доказывает сформулированное выше утверждение.

в. Рассмотрим алгебраическую систему (\mathbb{Z},+,\cdot,0,1,\leqslant), образованную из кольца целых чисел добавлением отношения \leqslant (естественного числового порядка). Тогда равенство по модулю k уже не будет конгруэнцией на данной алгебраической системе. Действительно, если, скажем, a и b при делении на k дают один и тот же остаток l, а c и d — один и тот же остаток p, то из a\leqslant c не следует, вообще говоря, что b\leqslant d. Например,


5=17\pmod{4},\quad 6=10\pmod{4},\quad 5\leqslant6, но 17>10.

Таким образом, отношение равенства целых чисел по модулю k не "сохраняет" отношения \leqslant, т.е. справедливость неравенства a\leqslant b зависит от того, какие элементы a и b в соответствующих классах эквивалентности выбраны.


г. Пусть в линейном пространстве L фиксировано линейное подпространство V. Рассмотрим L как модуль над полем действительных чисел (\mathbb{R},+,\cdot,0,1). На множестве векторов L зададим отношение \sim_{V} так: a\sim{V}b \Leftrightarrow a-b\in V. Нетрудно показать, что это отношение экивалентности. Далее, если a\sim_{V}b и c\sim_{V}d, то


(a+c)-(b+d)= (a-b)+(c-d)\in V,

поскольку каждое слагаемое в последней сумме есть вектор из подпространства V. Для произвольного действительного \alpha из a\sim_{V}b следует, что \alpha a\sim_{V}\alpha b, так как \alpha a-\alpha b=\alpha(a-b)\in V. Таким образом, введенное отношение есть конгруэнция на линейном пространстве L.


Напомним, что множество векторов линейного пространства по сложению есть абелева группа. Следовательно, рассмотренное отношение эквивалентности \sim_{V} есть конгруэнция на этой группе. Покажем, что указанную конгруэнцию можно распространить на произвольную абелеву группу. Пусть \mathcal{G}=(G,+,\bold{0}) — некоторая абелева группа, а \mathcal{H}=(H,+,\bold{0}) — произвольная подгруппа группы \mathcal{G}. Зададим отношение \sim_{H} так: a\sim_{H}b \Leftrightarrow a-b\in H. Рассуждая так же, как и в случае множества векторов линейного пространства, можно показать, что отношение \sim_{H} является конгруэнцией.


д. Пусть \mathcal{A}=(A,\leqslant) и \mathcal{B}=(B,\preceq) — упорядоченные множества. Зададим отображение f\colon A\to B так, чтобы оно было монотонно, т.е. чтобы для любых a,b\in A из a\leqslant b следовало f(a)\preceq f(b). Введем отношение эквивалентности \sim{F} на A, положив a\sim_{f}b\Leftrightarrow f(a)=f(b). Выясним, будет ли это отношение конгруэнцией на модели \mathcal{A}=(A,\leqslant).


Пусть a_1\sim_{f}b_1,~ a_2\sim_{f}b_2 и a_1\leqslant b_2. Тогда в силу монотонности отображения f имеем f(a_1)\preceq f(a_2), а так как f(a_1)=f(b_1) и f(a_2)=f(b_2), то и f(b_1)\preceq f(b_2). Отсюда, однако, нельзя в общем случае сделать вывод, что b_1\leqslant b_2. На рис. 4.1 f(2)\preceq f(4), но элементы 2 и 4 не сравнимы. Данное отображение (как нетрудно понять, монотонное) не будет конгруэнцией хотя бы потому, что 1\sim_{f}2, но 1\leqslant2, а 2 и 4 не сравнимы.


Отображение упорядоченных множеств

Если же отображение f таково, что a\leqslant b\Leftrightarrow f(a)\preceq f(b), то \sim_{f} будет конгруэнцией. Например, если на диаграмме Хассе для множества \mathcal{A} на рис. 4.1 добавить "ребро", соединяющее элемент 2 с элементом 4 (см. штриховую линию), т.е. считать, что 2<4, то можно будет получить конгруэнцию \sim_{f} на множестве A.




Согласно определению конгруэнции, на алгебраической системе \mathcal{A} классы эквивалентности [a_1]_{\rho},\ldots, [a_n]_{\rho} вместе с любой n-арной (n\geqslant1) операцией и однозначно определяют класс эквивалентности элемента [a_1\ldots a_n\omega]_{\rho}. Другими словами, для любых элементов x_1\in[a_1]_{\rho},\ldots,x_{n}\in[a_n]_{\rho} класс эквивалентности элемента x_1\ldots x_n\omega зависит только от классов эквивалентности элементов x_i,~ i=\overline{1,n}, но не зависит от выбора элемента в классе.


Таким образом, мы можем "перенести" операцию и на классы эквивалентности, положив


[a_1]_{\rho}\ldots [a_n]_{\rho}\omega= [a_1\ldots a_n\omega].

Аналогично для любого n-арного (n\geqslant1) отношения, по определению, полагаем (для любого n\geqslant1, любого \pi\in\Pi^{(n)} и любых a_1,\ldots,a_n)


\bigl([a_1]_{\rho},\ldots,[a_n]_{\rho}\bigr)\in\pi\quad \Leftrightarrow\quad (a_1,\ldots,a_n)\in\pi\,.

поскольку, согласно определению конгруэнтности, для любых x_1\in[a_1]_{\rho}, \ldots, x_{n}\in [a_n]_{\rho} условие (x_1,\ldots,x_n)\in\pi зависит лишь от классов эквивалентности элементов x_i,~ i=\overline{1,n}.


Заметим, что в этом случае мы использовали одинаковые символы (\omega и \pi) для соответствующих операций и отношения на разных множествах, опираясь на соглашение о сигнатурах однотипных алгебраических систем.


Итак, операции и отношения исходной сигнатуры можно перенести на множество классов эквивалентности по конгруэнции \rho согласно приведенным выше формулам. Получаемая при этом алгебраическая система (однотипная с исходной) имеет в качестве носителя фактор-множество A/\rho. Ее называют фактор-системой алгебраической системы A по конгруэнции \rho и обозначают \mathcal{A}/\rho. В том случае, когда исходная алгебраическая система \mathcal{A} является алгеброй (моделью), ее фактор-систему \mathcal{A}/\rho называют фактор-алгеброй (фактор-моделью соответственно).




Пример 4.5. Вернемся к примеру 4.4.а. Конгруэнция, определенная в этом примере, — не что иное, как отношение \sim_{\mathbb{Z}} (напомним, что для действительных чисел x,y имеем x\sim_{\mathbb{Z}}y \Leftrightarrow x-y\in \mathbb{Z}). Следовательно, фактор-алгебра (\mathbb{R},+,0) аддитивной группы целых чисел по конгруэнции равенства по модулю 1 — это фактор-группа \mathbb{R}/\mathbb{Z} аддитивной группы действительных чисел по нормальному делителю \mathbb{Z}, т.е. по подгруппе целых чисел.


Пример 4.5 есть проявление общей связи между понятиями конгруэнции и нормального делителя группы. Рассмотрим этот вопрос подробно.


Пусть \mathcal{G}=(G,\cdot,\bold{1}) — группа, а \mathcal{H}= (H,\cdot, \bold{1}) — ее подгруппа, являющаяся нормальным делителем. Отношение \sim_{H}, определенное на носителе G исходной группы так, что


a\sim_{H}b\quad \Leftrightarrow\quad aH=bH\,,

есть, согласно теореме 2.11, эквивалентность. Докажем, что \sim_{H} является конгруэнцией. Для этого достаточно доказать, что для любых a,b,c\in G из a\sim_{H}c и b\sim_{H}d следует a\cdot b\sim_{H}c\cdot d.


Имеем a\sim_{H}c, и это означает, что aH=cH. Точно так же bH=dH в силу b\sim_{H}d. Так как \mathcal{H} — нормальный делитель, то abH=aHbH. Далее, aHbH=cHdH, и, снова используя свойство нормального делителя, получаем cHdH=cdH, откуда abH=cdH.


Фактор-алгебра группы \mathcal{G} по конгруэнции \sim_{H} совпадает (подчеркнем — не просто изоморфна, а именно совпадает) с фактор-группой группы \mathcal{G} по нормальному делителю H.


В следующей лекции показано, что и, наоборот, фактор-алгебра любой группы по произвольной конгруэнции есть ее факторгруппа по некоторому нормальному делителю. Мы продолжим обсуждение идеи фактор-системы и поймем ее глубже, когда свяжем понятие фактор-системы с общим понятием гомоморфизма, знакомого нам пока только по частным случаям гомоморфизмов групп и колец.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved